การฉายภาพ(lat. Projicio - โยนไปข้างหน้า) - กระบวนการรับภาพของวัตถุ (วัตถุเชิงพื้นที่) บนพื้นผิวใด ๆ โดยใช้แสงหรือรังสีที่มองเห็น (รังสีที่เชื่อมต่อดวงตาของผู้สังเกตการณ์อย่างมีเงื่อนไขกับจุดใด ๆ ของวัตถุเชิงพื้นที่) ซึ่งเรียกว่า กำลังฉาย

มีสองวิธีการฉายภาพที่รู้จัก: ศูนย์กลางและ ขนาน .

เซ็นทรัลการฉายภาพ ประกอบด้วยการวาดผ่านแต่ละจุด ( ก, บี, ซี,...) ของวัตถุที่ปรากฎและเลือกด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง ศูนย์ฉายภาพ (ส) เส้นตรง ( เอส.เอ., เอส.บี., >… — ลำแสงฉาย).

รูปที่ 1.1 – การฉายภาพส่วนกลาง

ขอแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้ (รูปที่ 1.1):

ส– ศูนย์ฉายภาพ (ตาของผู้สังเกตการณ์);

π 1 – ระนาบการฉายภาพ;

ก, บี, ซี

เอส.เอ., เอส.บี.– การฉายเส้นตรง (การฉายรังสี)

บันทึก: ด้วยปุ่มซ้ายของเมาส์ คุณสามารถย้ายจุดในระนาบแนวนอนได้ เมื่อคุณคลิกบนจุดด้วยปุ่มซ้ายของเมาส์ ทิศทางของการเคลื่อนไหวจะเปลี่ยนไปและคุณสามารถย้ายในแนวตั้งได้

จุดฉายกลาง เรียกว่าจุดตัดของเส้นฉายภาพที่ผ่านศูนย์กลางของการฉายภาพและวัตถุฉายภาพ (จุด) ที่มีระนาบการฉายภาพ

คุณสมบัติ 1. แต่ละจุดในอวกาศสอดคล้องกับการฉายภาพเดียว แต่แต่ละจุดบนระนาบการฉายภาพสอดคล้องกับหลายจุดในอวกาศที่วางอยู่บนเส้นฉายภาพ

ลองพิสูจน์ข้อความนี้กัน

ในรูปที่ 1.1: จุด ก 1 – เส้นโครงตรงกลางของจุด A บนระนาบฉายภาพ π 1 แต่ทุกจุดที่วางอยู่บนเส้นฉายภาพสามารถมีเส้นฉายภาพเดียวกันได้ มาดูแนวฉายกัน เอส.เอ.จุด กับ- การฉายภาพตรงกลางของจุด กับ(กับ 1) บนระนาบการฉายภาพ π 1 เกิดขึ้นพร้อมกับการฉายภาพจุด ก(ก 1):

1. กับ∈ เอส.เอ.;
2. เอส.ซี.∩ π 1 = ค 1 →ค 1 ≡ ก 1 .

ข้อสรุปตามมาว่าจากการฉายภาพจุดหนึ่งเราไม่สามารถตัดสินตำแหน่งในอวกาศได้อย่างชัดเจน

เพื่อขจัดความไม่แน่นอนนี้ กล่าวคือ วาดรูป ย้อนกลับได้เราแนะนำระนาบฉายภาพอื่น (π 2) และจุดฉายภาพอื่น ( ส 2) (รูปที่ 1.2)

รูปที่ 1.2 – ภาพประกอบของคุณสมบัติที่ 1 และ 2

มาสร้างเส้นโครงของจุดกัน กบนระนาบการฉายภาพ π 2 จากทุกจุดในอวกาศมีเพียงจุดเดียวเท่านั้น กมีการคาดการณ์ ก 1 ถึงระนาบ π 1 และ ก 2 คูณ π 2 พร้อมกัน จุดอื่นๆ ทั้งหมดที่วางอยู่บนรังสีที่ฉายจะต้องมีการฉายภาพที่แตกต่างจากการฉายภาพของจุดอย่างน้อยหนึ่งจุด ก(เช่น จุด ใน).

คุณสมบัติ 2. การฉายเส้นตรงเป็นเส้นตรง

มาพิสูจน์คุณสมบัตินี้กัน

มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ กและ ในซึ่งกันและกัน (รูปที่ 1.2) เราได้รับส่วน เอบีกำหนดเส้นตรง สามเหลี่ยม Δ สบกำหนดระนาบที่เขียนแทนด้วย σ เป็นที่ทราบกันว่าระนาบสองระนาบตัดกันเป็นเส้นตรง: σ∩π 1 = ก 1 ใน 1 ที่ไหน ก 1 ใน 1 – เส้นโครงตรงกลางของเส้นตรงที่กำหนดโดยส่วน เอบี.

วิธีการฉายภาพส่วนกลางเป็นแบบจำลองการรับรู้ภาพด้วยตา ซึ่งส่วนใหญ่ใช้ในการสร้างภาพเปอร์สเปคทีฟของสถานที่ก่อสร้าง การตกแต่งภายใน รวมถึงในเทคโนโลยีภาพยนตร์และทัศนศาสตร์ วิธีการฉายภาพจากส่วนกลางไม่ได้ช่วยแก้ปัญหางานหลักที่วิศวกรต้องเผชิญ - เพื่อสะท้อนรูปร่าง ขนาดของวัตถุ และอัตราส่วนขนาดขององค์ประกอบต่างๆ ได้อย่างแม่นยำ

1.2. การฉายภาพแบบขนาน

ลองพิจารณาวิธีการฉายภาพแบบขนาน ให้เรากำหนดข้อ จำกัด สามประการที่จะช่วยให้เราได้รับภาพวาดที่สะดวกยิ่งขึ้นสำหรับใช้ในทางปฏิบัติ: แม้ว่าจะต้องสูญเสียความชัดเจนของภาพก็ตาม

1. ลองลบจุดศูนย์กลางทั้งสองของเส้นโครงออกจนถึงระยะอนันต์ ดังนั้น เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่ารังสีที่ฉายจากแต่ละจุดศูนย์กลางจะขนานกัน และด้วยเหตุนี้ อัตราส่วนของความยาวที่แท้จริงของส่วนของเส้นตรงและความยาวของเส้นโครงจะขึ้นอยู่กับมุมเอียงของส่วนนี้กับการฉายภาพเท่านั้น เครื่องบินและไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของศูนย์กลางของเส้นโครง
2. ให้เรากำหนดทิศทางของการฉายภาพที่สัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ
3. ลองวางระนาบการฉายภาพตั้งฉากกัน ซึ่งจะทำให้ง่ายต่อการย้ายจากภาพบนระนาบการฉายไปที่ วัตถุจริงในอวกาศ

ดังนั้น เมื่อกำหนดข้อจำกัดเหล่านี้กับวิธีการฉายภาพส่วนกลาง เราก็มาถึงกรณีพิเศษของมัน - วิธีการฉายภาพแบบขนาน(รูปที่ 1.3) การฉายภาพ ซึ่งรังสีฉายที่ผ่านแต่ละจุดของวัตถุจะขนานกับทิศทางการฉายภาพที่เลือก ป, เรียกว่า ขนาน .

รูปที่ 1.3 – วิธีการฉายภาพแบบขนาน

ขอแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:

ร– ทิศทางของการฉายภาพ

π 1 – ระนาบการฉายภาพแนวนอน

เอ,บี– วัตถุฉาย – จุด;

ก 1 และ ใน 1 – การคาดคะเนของจุด กและ ในลงบนระนาบการฉายภาพ π 1

การฉายภาพแบบขนานของจุด คือจุดตัดของเส้นฉายที่ขนานกับทิศทางของเส้นฉายที่กำหนด รโดยมีระนาบฉายภาพ π 1

ลองวาดผ่านจุดต่างๆ กและ ในฉายรังสีขนานกับทิศทางการฉายภาพที่กำหนด ร- ลำแสงฉายทะลุผ่านจุดหนึ่ง กจะตัดระนาบการฉายภาพ π 1 ที่จุดนั้น ก 1. ในทำนองเดียวกัน รังสีที่ฉายทะลุผ่านจุดหนึ่ง ในตัดกับระนาบการฉายภาพ ณ จุดนั้น ใน 1. การเชื่อมต่อจุดต่างๆ ก 1 และ ใน 1 , เราได้รับส่วน ก 1 ใน 1 – เส้นโครงของส่วน AB ลงบนระนาบ π 1

1.3. การฉายภาพมุมฉาก วิธีการมอง

หากทิศทางการฉายภาพ รตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพ p 1 จากนั้นจึงเรียกการฉายภาพ สี่เหลี่ยม (รูปที่ 1.4)หรือ ตั้งฉาก (กรีก ออร์โธส- ตรง, โกเนีย– มุม) ถ้า รไม่ตั้งฉากกับ π 1 จึงเรียกว่าเส้นโครง เฉียง .

จัตุรัส เอเอ 1 ใน 1 ในกำหนดระนาบ γ ซึ่งเรียกว่าการฉายภาพเนื่องจากตั้งฉากกับระนาบ π 1 (γ⊥π 1) ต่อไปนี้เราจะใช้การฉายภาพสี่เหลี่ยมเท่านั้น

รูปที่ 1.4 - การฉายภาพมุมฉาก รูปที่ 1.5 - Monge, Gaspard (1746-1818)

ผู้ก่อตั้งการฉายภาพมุมฉากถือเป็นนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Gaspard Monge (รูปที่ 1.5)

ก่อน Monge ช่างก่อสร้าง ศิลปิน และนักวิทยาศาสตร์มีข้อมูลที่ค่อนข้างสำคัญเกี่ยวกับวิธีการฉายภาพ แต่มีเพียง Gaspard Monge เท่านั้นที่เป็นผู้สร้างเรขาคณิตเชิงพรรณนาในฐานะวิทยาศาสตร์

Gaspard Monge เกิดเมื่อวันที่ 9 พฤษภาคม พ.ศ. 2289 ในเมืองเล็ก ๆ แห่งโบน (เบอร์กันดี) ทางตะวันออกของฝรั่งเศสในครอบครัวของพ่อค้าในท้องถิ่น เขาเป็นลูกคนโตในบรรดาลูกห้าคน ซึ่งพ่อของเขาแม้จะมีต้นกำเนิดต่ำและค่อนข้างยากจนในครอบครัว แต่ก็พยายามหาเลี้ยงชีพให้ได้มากที่สุด การศึกษาที่ดีขึ้นจากสิ่งที่มีอยู่ในขณะนั้นไปจนถึงคนชั้นล่าง หลุยส์ ลูกชายคนที่สองของเขา กลายเป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์ ส่วนฌองคนสุดท้องก็เป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ อุทกศาสตร์ และการนำทางด้วย Gaspard Monge ได้รับการศึกษาเบื้องต้นที่โรงเรียนประจำเมืองของ Oratorian Order หลังจากสำเร็จการศึกษาในปี พ.ศ. 2305 นักเรียนที่ดีที่สุดเขาเข้าเรียนที่วิทยาลัยลียงซึ่งเป็นของนักปราศรัยด้วย ในไม่ช้า กัสปาร์ดก็ได้รับความไว้วางใจให้สอนฟิสิกส์ที่นั่น ในฤดูร้อนปี 1764 Monge ได้จัดทำแผนที่มีความแม่นยำอย่างน่าทึ่ง บ้านเกิดโบนา. คอมไพเลอร์เป็นผู้คิดค้นวิธีการและเครื่องมือที่จำเป็นสำหรับการวัดมุมและการวาดเส้นเอง

ในขณะที่ศึกษาอยู่ที่ลียง เขาได้รับข้อเสนอให้เข้าร่วมคำสั่งและยังคงเป็นครูวิทยาลัย อย่างไรก็ตาม หลังจากที่ได้แสดงความสามารถที่ยอดเยี่ยมในด้านคณิตศาสตร์ การวาดภาพและการวาดภาพ เขาจึงสามารถเข้าเรียนที่ Mézières School of Military Engineers ได้ แต่ (เนื่องจาก ต้นกำเนิดของเขา) เฉพาะในฐานะนายทหารชั้นประทวนผู้ช่วยและไม่มีเงินเดือน อย่างไรก็ตาม ความสำเร็จในทางวิทยาศาสตร์ที่แน่นอนและวิธีแก้ปัญหาดั้งเดิมสำหรับปัญหาสำคัญของป้อมปราการ (การวางป้อมปราการขึ้นอยู่กับตำแหน่งของปืนใหญ่ของศัตรู) ทำให้เขากลายเป็นผู้ช่วย (ผู้ช่วยครู) ในวิชาคณิตศาสตร์ในปี พ.ศ. 2312 จากนั้นใน ฟิสิกส์และมีเงินเดือนที่เหมาะสมอยู่ที่ 1,800 ชีวิตต่อปี

ในปี พ.ศ. 2313 เมื่ออายุ 24 ปี Monge ดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์ในสองแผนกพร้อมกัน - คณิตศาสตร์และฟิสิกส์และนอกจากนี้เขายังสอนชั้นเรียนการตัดหินอีกด้วย เริ่มต้นด้วยงานตัดหินอย่างแม่นยำตามแบบร่างที่เกี่ยวข้องกับสถาปัตยกรรมและป้อมปราการ Monge มาถึงการสร้างวิธีการที่เขาสรุปในภายหลัง วิทยาศาสตร์ใหม่– เรขาคณิตเชิงพรรณนาซึ่งเป็นผู้สร้างที่เขาได้รับการพิจารณาอย่างถูกต้อง เมื่อพิจารณาถึงความเป็นไปได้ของการใช้วิธีการเรขาคณิตเชิงพรรณนาเพื่อจุดประสงค์ทางทหารในการสร้างป้อมปราการ ผู้นำของโรงเรียน Mézières ไม่อนุญาตให้ตีพิมพ์แบบเปิดเผยจนกระทั่งปี ค.ศ. 1799 หนังสือเล่มนี้ได้รับการตีพิมพ์ภายใต้ชื่อ เรขาคณิตเชิงพรรณนา (เรขาคณิตบรรยาย) (บันทึกย่อของการบรรยายเหล่านี้จัดทำขึ้นในปี พ.ศ. 2338) แนวทางในการบรรยายเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์นี้และแบบฝึกหัดที่ระบุไว้ในนั้นยังคงอยู่มาจนถึงทุกวันนี้ ผลงานสำคัญอีกประการหนึ่งของ Monge คือ การประยุกต์การวิเคราะห์ทางเรขาคณิต (L'application de l'analyse à la geometrie, 1795) - เป็นตำราเรียนเรขาคณิตวิเคราะห์ ซึ่งเน้นเป็นพิเศษเกี่ยวกับความสัมพันธ์เชิงอนุพันธ์

ในปี ค.ศ. 1780 เขาได้รับเลือกให้เป็นสมาชิกของ Paris Academy of Sciences และในปี ค.ศ. 1794 เขาได้เป็นผู้อำนวยการของ Ecole Polytechnique เขาทำหน้าที่เป็นรัฐมนตรีว่าการกระทรวงกองทัพเรือในรัฐบาลของนโปเลียนเป็นเวลาแปดเดือน ดูแลโรงงานดินปืนและปืนใหญ่ของสาธารณรัฐ และร่วมเดินทางไปอียิปต์ร่วมกับนโปเลียน (พ.ศ. 2341-2344) นโปเลียนมอบตำแหน่งเคานต์แก่เขาและมอบเกียรติบัตรอื่นๆ อีกมากมายแก่เขา

วิธีการแสดงวัตถุของ Monge ประกอบด้วยประเด็นหลัก 2 ประการ คือ

1. ตำแหน่งของวัตถุเรขาคณิตในอวกาศ ในตัวอย่างนี้คะแนน กถือว่าสัมพันธ์กับระนาบที่ตั้งฉากกันสองระนาบ π 1 และ π 2(รูปที่ 1.6)

พวกเขาแบ่งพื้นที่ออกเป็นสี่ส่วนตามอัตภาพ จุด กตั้งอยู่ในจตุภาคแรก ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับการฉายภาพมอนเจ Monge แทนที่แนวคิดของแกนฉายภาพด้วยเส้นตัดของระนาบฉายภาพ ( แกนประสานงาน) และเสนอให้รวมระนาบพิกัดให้เป็นระนาบเดียวโดยหมุนไปรอบแกนพิกัด

รูปที่ 1.6 – แบบจำลองสำหรับการสร้างการฉายภาพแบบจุด

π 1 – ระนาบการฉายภาพแนวนอน (อันแรก)

π 2 – ระนาบการฉายภาพด้านหน้า (วินาที)

π 1 ∩π 2 - แกนฉายภาพ (แทน π 2 /π 1)

ลองดูตัวอย่างการฉายภาพแบบจุด กลงบนระนาบฉายภาพที่ตั้งฉากกันสองระนาบ π 1 และ π 2

ให้หลุดจากจุดนั้น กตั้งฉาก (รังสีฉาย) บนระนาบ π 1 และ π 2 และทำเครื่องหมายฐานของมัน นั่นคือ จุดตัดกันของเส้นตั้งฉากเหล่านี้ (รังสีฉาย) กับระนาบฉายภาพ ก 1 – การฉายภาพแนวนอน (ครั้งแรก) ของจุด ก;ก 2 – การฉายภาพด้านหน้า (วินาที) ของจุด ก;เอเอ 1 และ เอเอ 2 – การฉายเส้นตรง ลูกศรแสดงทิศทางของการฉายภาพบนระนาบการฉายภาพ π 1 และ π 2 ระบบดังกล่าวช่วยให้คุณสามารถกำหนดตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ π 1 และ π 2 ได้อย่างชัดเจน:

เอเอ 1 ⊥π 1

ก 2 ก 0 ⊥π 2 /π 1 เอเอ 1 = ก 2 ก 0 - ระยะห่างจากจุด A ถึงระนาบ π 1

เอเอ 2 ⊥π 2

ก 1 ก 0 ⊥π 2 /π 1 เอเอ 2 = A 1 A 0 - ระยะห่างจากจุด A ถึงระนาบ π 2

2. ลองจัดแนวระนาบฉายรอบแกนฉาย π 2 /π 1 ให้เป็นระนาบเดียว(π 1 กับ π 2) แต่เพื่อให้ภาพไม่ทับซ้อนกัน (ในทิศทาง α รูปที่ 1.6) เราจะได้ภาพที่เรียกว่ารูปวาดสี่เหลี่ยม (รูปที่ 1.7):

รูปที่ 1.7 – การเขียนแบบมุมฉาก

เรียกว่าสี่เหลี่ยมหรือมุมฉาก แผนภาพมอนจ์ .

ตรง ก 2 ก 1 เรียกว่า สายสื่อสารฉายภาพ ซึ่งเชื่อมโยงเส้นโครงด้านตรงข้ามของจุด ( ก 2 - หน้าผากและ ก 1 - แนวนอน) ตั้งฉากกับแกนฉายภาพเสมอ (แกนพิกัด) ก 2 ก 1 ⊥π 2 /π 1 . ในแผนภาพ ส่วนต่างๆ ที่ระบุด้วยวงเล็บปีกกาแสดงถึง:

• ก 0 ก 1 – ระยะห่างจากจุด กไปที่ระนาบπ 2 ซึ่งสอดคล้องกับพิกัด y A;
• ก 0 ก 2 – ระยะห่างจากจุด กไปยังระนาบ π 1 ซึ่งสอดคล้องกับพิกัด z A

1.4. เส้นโครงสี่เหลี่ยมของจุด คุณสมบัติการเขียนแบบออโธกราฟิก

1. เส้นโครงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองจุดของจุดหนึ่งอยู่บนเส้นเชื่อมต่อเส้นโครงเดียวกัน ซึ่งตั้งฉากกับแกนของเส้นโครง

2. เส้นโครงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองจุดของจุดหนึ่งจะกำหนดตำแหน่งในอวกาศโดยสัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพโดยไม่ซ้ำกัน

มาตรวจสอบความถูกต้องของคำสั่งสุดท้าย ซึ่งเราหมุนระนาบ π 1 ไปยังตำแหน่งเดิม (เมื่อ π 1 ⊥π 2) เพื่อสร้างจุด กจำเป็นจากจุด ก 1 และ ก 2 เพื่อคืนรังสีที่ฉายออกมาและในความเป็นจริง - ตั้งฉากกับระนาบ π 1 และ π 2 ตามลำดับ จุดตัดของเส้นตั้งฉากเหล่านี้จะแก้ไขจุดที่ต้องการในอวกาศ ก- พิจารณาการวาดจุดตั้งฉาก ก(รูปที่ 1.8)

รูปที่ 1.8 – การสร้างไดอะแกรมของจุด

ขอแนะนำระนาบที่สาม (โปรไฟล์) ของเส้นโครง π 3 ตั้งฉากกับ π 1 และ π 2 (ระบุโดยแกนของเส้นโครง π 2 /π 3)

ระยะทางจากการฉายโปรไฟล์ของจุดหนึ่งถึง แกนแนวตั้งการคาดการณ์ ก‘ 0 ก 3 ช่วยให้คุณกำหนดระยะห่างจากจุดหนึ่งได้ กไปยังระนาบส่วนหน้าของเส้นโครง π 2 เป็นที่ทราบกันว่าตำแหน่งของจุดในอวกาศสามารถกำหนดได้โดยสัมพันธ์กับระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่ใช้ ตัวเลขสามตัว(พิกัด) ก(เอ็กซ์ก; ยก; ซี A) หรือสัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพโดยใช้การฉายภาพมุมฉากสองภาพ ( ก 1 =(เอ็กซ์ก; ยก); ก 2 =(เอ็กซ์ก; ซีก)). ในการวาดภาพมุมฉาก โดยใช้เส้นโครงสองจุดของจุด คุณสามารถกำหนดพิกัดสามจุดของมันได้ และในทางกลับกัน ใช้พิกัดสามจุดของจุดเพื่อสร้างเส้นโครงของมัน (รูปที่ 1.9, a และ b)

รูปที่ 1.9 – การสร้างไดอะแกรมของจุดโดยใช้พิกัด

ตามตำแหน่งของเส้นโครงของจุดบนแผนภาพเราสามารถตัดสินตำแหน่งของมันในอวกาศ:

• ก — ก 1 อยู่ใต้แกนพิกัด เอ็กซ์และอันข้างหน้า - ก 2 – เหนือแกน เอ็กซ์แล้วเราก็บอกจุดนั้นได้ กอยู่ในจตุภาคที่ 1;
• หากมีการฉายภาพแนวนอนของจุดบนแผนภาพ ก — ก 1 อยู่เหนือแกนพิกัด เอ็กซ์และอันข้างหน้า - ก 2 – ใต้แกน เอ็กซ์แล้วชี้ กอยู่ในจตุภาคที่ 3;
• ก — ก 1 และ ก 2 อยู่เหนือแกน เอ็กซ์แล้วชี้ กอยู่ในจตุภาคที่ 2;
• หากแผนภาพเป็นแนวนอนและ การฉายภาพด้านหน้าคะแนน ก — ก 1 และ ก 2 นอนอยู่ใต้แกน เอ็กซ์แล้วชี้ กอยู่ในจตุภาคที่ 4;
• หากบนแผนภาพการฉายภาพจุดหนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับจุดนั้นเองแสดงว่าจุดนั้นเป็นของระนาบการฉายภาพ
• เรียกว่าจุดที่เป็นของระนาบการฉายภาพหรือแกนฉายภาพ (แกนพิกัด) จุดส่วนตัว.

ในการพิจารณาว่าจุดนั้นอยู่ในพื้นที่จตุภาคใด การระบุพิกัดของจุดนั้นก็เพียงพอแล้ว

การขึ้นต่อกันของจตุภาคของตำแหน่งจุดและสัญญาณพิกัด

	เอ็กซ์	ย	ซี
ฉัน	+	+	+
ครั้งที่สอง	+	—	+
ที่สาม	+	—	—
IV	+	+	—

ออกกำลังกาย

สร้างเส้นโครงมุมฉากของจุดด้วยพิกัด ก(60, 20, 40) และพิจารณาว่าจุดนั้นอยู่ในจตุภาคใด

วิธีแก้ปัญหา: ตามแนวแกน วัวกันค่าพิกัดไว้ XA =60แล้วผ่านจุดนี้บนแกน วัวคืนค่าเส้นเชื่อมต่อการฉายภาพที่ตั้งฉากกับ วัวซึ่งค่าพิกัดจะถูกพล็อตขึ้นด้านบน Z A =40และลง – ค่าพิกัด ใช่ =20(รูปที่ 1.10) พิกัดทั้งหมดเป็นค่าบวก ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นอยู่ในจตุภาคแรก

รูปที่ 1.10 – แนวทางแก้ไขปัญหา

1.5. ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

1. ใช้แผนภาพกำหนดตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ (รูปที่ 1.11)

รูปที่ 1.11

2. ทำเส้นโครงมุมฉากที่ขาดหายไปของจุดให้สมบูรณ์ ก, ใน, กับบนระนาบการฉายภาพ π 1, π 2, π 3 (รูปที่ 1.12)

รูปที่ 1.12

3. สร้างเส้นโครงของจุด:

• อี, จุดสมมาตร กสัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ π 1 ;
• เอฟ, จุดสมมาตร ในสัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ π 2 ;
• ช, จุดสมมาตร กับสัมพันธ์กับแกนฉาย π 2 /π 1 ;
• ชม, จุดสมมาตร ดีสัมพันธ์กับระนาบเส้นแบ่งครึ่งของจตุภาคที่สองและสี่

4. สร้างเส้นโครงมุมฉากของจุด ถึงซึ่งอยู่ในจตุภาคที่สองและอยู่ห่างจากระนาบฉายภาพ π 1 คูณ 40 มม. จาก π 2 คูณ 15 มม.

จะได้ภาพบนเครื่องบิน วิธีการฉายภาพ- เครื่องฉายภาพแสดงในรูปที่ 1

รูปที่ 1 อุปกรณ์ฉายภาพ

วัตถุฉายภาพ - จุด ก- ผ่านจุด กผ่าน ลำแสงฉาย ฉัน โดยมีทิศมุ่งหน้าสู่ระนาบภาพ เรียกว่า เครื่องบินฉายภาพ- เรียกว่าจุดตัดของรังสีที่ฉายกับระนาบการฉายภาพ การฉายภาพจุด- การกำหนดจุดฉายจะต้องมีดัชนีของระนาบการฉายภาพ เช่น เมื่อฉายภาพบนเครื่องบิน ป n การฉายภาพจะถูกระบุ - หนึ่ง .

ประเภทของการฉายภาพ

แยกแยะ ศูนย์กลางและ การฉายภาพแบบขนาน- ในกรณีแรก แหล่งกำเนิดรังสีตั้งอยู่ในอวกาศที่สังเกตได้ - จุด S เป็นของตัวเอง ประการที่สอง แหล่งกำเนิดรังสีตั้งอยู่ที่ระยะอนันต์ โครงร่างของการฉายภาพส่วนกลางและขนานแสดงในรูปที่ 2 และ 3 ตามลำดับ แบบจำลองการฉายภาพส่วนกลางคือปิรามิด (รูปที่ 4) หรือรูปกรวย รูปแบบการฉายภาพแบบขนาน - ปริซึม (รูปที่ 5) หรือทรงกระบอก

รูปที่ 2 แผนภาพการฉายภาพตรงกลาง

เมื่อฉายภาพลงบนระนาบการฉายภาพเดียว จะได้ภาพที่ไม่ได้ระบุรูปร่างและขนาดของวัตถุอย่างชัดเจน ในรูปที่ 1 การฉายภาพจุด A - An ไม่ได้กำหนดตำแหน่งของจุดในอวกาศเนื่องจากการฉายภาพครั้งเดียวจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดระยะทางที่จุดนั้นอยู่ห่างจากระนาบ ป- การฉายภาพเพียงครั้งเดียวจะทำให้เกิดความไม่แน่นอนของภาพ ในกรณีเช่นนี้ เมื่อเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างภาพเชิงพื้นที่ (ต้นฉบับ) ของวัตถุขึ้นมาใหม่ พวกเขาพูดถึงสิ่งที่ภาพวาดไม่สามารถย้อนกลับได้

รูปที่ 3 วงจรการฉายภาพแบบขนาน

รูปที่ 4 แบบจำลองการฉายภาพส่วนกลาง (ปิรามิด)

รูปที่ 5 โมเดลการฉายภาพแบบขนาน (ปริซึม)

เพื่อขจัดความไม่แน่นอน วัตถุจะถูกฉายลงบนระนาบการฉายภาพสองหรือสามลำขึ้นไป การฉายภาพมุมฉากบนระนาบสองลำถูกเสนอโดยนักเรขาคณิตชาวฝรั่งเศส กัสปาร์ด มองจ์ (ศตวรรษที่ 18) วิธีการของ Monge แสดงในรูปที่ 6, a, b, c (a คือการแสดงจุดในมุมไดฮีดรัลด้วยสายตา, b คือการวาดจุดที่ซับซ้อน, c คือการสร้างวัตถุขึ้นใหม่, จุด A ในอวกาศจาก การคาดการณ์)

รูปที่ 6 การฉายจุด:
ก - การก่อตัวของการฉายภาพของจุดเชิงพื้นที่ A;
b - การวาดจุด A;
c - การฟื้นฟูภาพเชิงพื้นที่ของจุด A โดยใช้เส้นโครง A1 และ A2

คุณสมบัติคงที่ของการฉายภาพแบบขนาน:

• เส้นโครงของจุดคือจุด
• เส้นโครงโดยทั่วไปจะเป็นเส้น;
• เส้นโครงของเส้นขนานกันในกรณีทั่วไปคือเส้นขนาน
• เส้นโครงของเส้นตัดกัน - เส้นตัดกันโดยมีจุดตัดของเส้นโครงของเส้นที่วางอยู่บนตั้งฉากเดียวกันกับแกนของเส้นโครง;
• ถ้ารูปร่างแบนอยู่ในตำแหน่งที่ขนานกับระนาบของเส้นโครง ก็จะถูกฉายบนระนาบนี้ให้เป็นรูปร่างที่เท่ากันทุกประการ

มีเส้นโครงขนานเฉียงและสี่เหลี่ยม ถ้ารังสีที่ฉายพุ่งไปยังระนาบการฉายภาพในมุมอื่นที่ไม่ใช่เส้นตรง เส้นฉายจะเรียกว่าเฉียง ถ้ารังสีที่ฉายตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพ ผลลัพธ์ที่ได้จะเรียกว่าสี่เหลี่ยม สำหรับการฉายภาพเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จะใช้คำว่า orthogonal จากภาษากรีกว่า ortos - เส้นตรง

ด้วยการฉายภาพมุมฉาก จะมีการนำระนาบที่ตั้งฉากกันสองหรือสามระนาบขึ้นสู่อวกาศ ซึ่งได้รับชื่อและการกำหนดดังต่อไปนี้:

• เครื่องบินฉายแนวนอน - P1
• เครื่องบินฉายภาพด้านหน้า - P2
• เครื่องบินฉายโปรไฟล์ - P3

ระนาบการฉายภาพนั้นไม่มีที่สิ้นสุด และเมื่อตัดกัน จะแบ่งช่องว่างออกเป็นแปดส่วน - ออคแทนต์ ดังแสดงในรูปที่ 7

รูปที่ 7 ระนาบการฉายภาพตั้งฉากกันสามระนาบ P1, P2 และ P3 แบ่งช่องว่างออกเป็นแปดส่วน (octants)

ในทางปฏิบัติในการสร้างภาพ มักใช้เลขฐานแปดแรก ซึ่งเราจะเรียกต่อไปว่ามุมสามเหลี่ยม การแสดงมุมสามเหลี่ยมด้วยสายตาจะแสดงในรูปที่ 8

รูปที่ 8. มุมสามเหลี่ยม, เลขฐานแปดแรก

เมื่อระนาบการฉายภาพตัดกัน เส้นตรงจะเกิดขึ้น - แกนฉายภาพ:

แกน X (x) - แกน abscissa แกน Y (y) - แกนกำหนดแกน Z (z) - แกนที่ใช้

หากคุณปรับเทียบแกน คุณจะได้รับระบบพิกัดซึ่งง่ายต่อการสร้างวัตถุตามพิกัดที่กำหนด ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเสนอโดยเดส์การตส์ (ศตวรรษที่ 18) เส้นโครงออร์โธกราฟิกมีคุณสมบัติทั้งหมดของเส้นโครงแบบขนาน รูปที่ 9 แสดงการเปลี่ยนแปลงของมุมสามเหลี่ยมและการก่อตัวของการวาดจุดที่ซับซ้อน ก.

รูปที่ 9 การเปลี่ยนแปลงของมุมสามเหลี่ยมและการก่อตัวของจุดในการฉายภาพสามจุด
ก - ภาพที่มองเห็น b - การพัฒนามุมสามเหลี่ยม c - ​​การวาดจุด

รูปที่ 10 แสดงการวาดแบบครอบคลุมของกรวยกลมด้านขวา โดยมีการทำเครื่องหมายจุดไว้ ส - ด้านบนของกรวย แกนฉายภาพ X, Y, Zไม่แสดง ซึ่งมักใช้ในการฝึกวาดภาพ.

ในปัจจุบัน อุปกรณ์แสดงผลที่พบบ่อยที่สุดคืออุปกรณ์ที่สังเคราะห์ภาพบนเครื่องบิน - หน้าจอแสดงผลหรือกระดาษ อุปกรณ์ที่สร้างภาพสามมิติอย่างแท้จริงยังค่อนข้างหายาก แต่ข้อมูลเกี่ยวกับการพัฒนาดังกล่าวกำลังปรากฏมากขึ้นเรื่อยๆ เช่น เกี่ยวกับจอแสดงผลเชิงปริมาตร หรือแม้แต่เกี่ยวกับเครื่องพิมพ์สามมิติ

เมื่อใช้อุปกรณ์กราฟิกใดๆ มักจะใช้การฉายภาพ การฉายภาพระบุวิธีการแสดงวัตถุบนอุปกรณ์กราฟิก เราจะพิจารณาเฉพาะการฉายภาพบนเครื่องบินเท่านั้น

พิกัดโลกและหน้าจอ

เมื่อแสดงวัตถุเชิงพื้นที่บนหน้าจอหรือบนแผ่นกระดาษโดยใช้เครื่องพิมพ์ คุณจำเป็นต้องทราบพิกัดของวัตถุ เราจะพิจารณาระบบพิกัดสองระบบ อันดับแรก - พิกัดโลก ซึ่งอธิบาย ตำแหน่งที่แท้จริงวัตถุในอวกาศด้วยความแม่นยำที่กำหนด อีกประการหนึ่งคือระบบพิกัดของอุปกรณ์ภาพซึ่งภาพของวัตถุจะแสดงในการฉายภาพที่กำหนด

ให้พิกัดโลกเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน 3 มิติ ตำแหน่งที่ควรวางศูนย์กลางพิกัด และหน่วยวัดในแต่ละแกนจะเป็นเท่าใดนั้นยังไม่มีความสำคัญสำหรับเรามากนัก สิ่งสำคัญก็คือสำหรับ รูปภาพเราจะรู้ค่าตัวเลขของพิกัดของวัตถุที่แสดง

เพื่อให้ได้ภาพในการฉายภาพที่เฉพาะเจาะจง จำเป็นต้องคำนวณพิกัดการฉายภาพ จากนั้นคุณจะได้รับพิกัดสำหรับอุปกรณ์กราฟิก - มาเรียกพวกเขากันดีกว่า พิกัดหน้าจอในการสังเคราะห์ภาพบนเครื่องบิน ระบบพิกัดสองมิติก็เพียงพอแล้ว อย่างไรก็ตาม อัลกอริธึมการเรนเดอร์บางตัวใช้พิกัดหน้าจอ 3 มิติ เช่น อัลกอริธึม Z-buffer

ประเภทหลักของการคาดการณ์

พบมากที่สุดในคอมพิวเตอร์กราฟิก ขนานและ ศูนย์กลางประมาณการ (รูปที่ 2.15)

สำหรับการฉายภาพส่วนกลาง (เรียกอีกอย่างว่า มีแนวโน้ม)รังสีฉายมีต้นกำเนิดจากจุดเดียวที่วางอยู่ในระยะห่างจำกัดจากวัตถุและระนาบการฉายภาพ สำหรับการฉายภาพแบบขนาน รังสีที่ฉายจะขนานกัน

การฉายภาพแอกโซโนเมตริก

การฉายภาพแบบแอกโซโนเมตริกเป็นการฉายภาพแบบขนานประเภทหนึ่ง ด้วยเหตุนี้รังสีฉายทั้งหมดจะอยู่ที่มุมฉากกับระนาบการฉายภาพ (รูปที่ 2.16)

[มากำหนดตำแหน่งของระนาบการฉายภาพโดยใช้สองมุม - α และ β กัน , ลองวางตำแหน่งกล้องเพื่อให้การฉายภาพแกน z บนระนาบการฉายภาพ X0Y จะเป็นเส้นแนวตั้ง (ขนานกับแกนของ op-amp)

ข้าว. 2.16. การฉายภาพแอกโซโนเมตริก

เพื่อที่จะหาความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดต่างๆ (x, y,z) และ (เอ็กซ์, ย, ซี) สำหรับจุดใดๆ ในปริภูมิสามมิติ ให้พิจารณาการแปลงระบบพิกัด ( เอ็กซ์, ใช่z) เข้าสู่ระบบ (เอ็กซ์, ย, ซี) ให้เรานิยามการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเป็นสองขั้นตอน

ที่ 1 ขั้นตอนการหมุนระบบพิกัดรอบแกน z โดยมุม α การหมุนของแกนนี้อธิบายโดยเมทริกซ์

2 ขั้นตอนการหมุนระบบพิกัด (x′ , คุณ",z") สัมพันธ์กับแกน เอ็กซ์"โดยมุม β - รับพิกัด (เอ็กซ์, ย, ซี). เมทริกซ์การหมุน

เราแสดงการแปลงพิกัดด้วยผลคูณของเมทริกซ์ ข*ก:

มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า
การแปลงพิกัดการฉายภาพในรูปแบบของสูตร:

คุณคิดว่าจะได้รับการฉายภาพเดียวกันหรือไม่หากอธิบายการแปลงพิกัดในสองขั้นตอนเดียวกัน แต่ในลำดับที่แตกต่างกัน - ขั้นแรกให้หมุนระบบพิกัดสัมพันธ์กับแกน x โดย มุมβ , แล้วหมุนระบบพิกัดสัมพันธ์กับแกน z" โดยมุม α? และจะมีเส้นแนวตั้งในระบบพิกัดหรือไม่ (x, ย, z) วาดโดยแนวตั้งในระบบพิกัดด้วย (เอ็กซ์, คุณ,จ)? กล่าวอีกนัยหนึ่งคือทำ ก*บี - บี*เอ?การแปลงพิกัดผกผันการฉายภาพแบบแอกโซโนเมตริก เพื่อให้พิกัดการฉายภาพ (เอ็กซ์, ย, ซี) แปลงเป็นพิกัดโลก (x, y,z), คุณต้องทำลำดับการเลี้ยวย้อนกลับ ขั้นแรกให้หมุนตามมุม -β แล้วจึงหมุนตามมุม - α . ลองเขียนการแปลงผกผันในรูปแบบเมทริกซ์กัน

เมทริกซ์การหมุน:

เมื่อคูณเมทริกซ์ A -1 และ B -1 เราจะได้เมทริกซ์การแปลงผกผัน:

ให้เราเขียนการแปลงผกผันในรูปแบบของสูตรด้วย

การฉายภาพเปอร์สเปคทีฟ

ก่อนอื่นเราจะพิจารณาการฉายภาพเปอร์สเปคทีฟ (รูปที่ 2.17) ด้วยตำแหน่งกล้องแนวตั้ง เมื่อใด ก=β= 0 การฉายภาพดังกล่าวสามารถจินตนาการได้ว่าเป็นภาพบนกระจกที่ผู้สังเกตการณ์ซึ่งอยู่เหนือจุดนั้นมองผ่าน (x, y,z) = (0, 0, zk) ตรงนี้ระนาบการฉายภาพจะขนานกับระนาบ (xOy).

จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม เราเขียนสัดส่วนต่อไปนี้:

เมื่อพิจารณาถึงพิกัด Z ด้วย:

ในรูปแบบเมทริกซ์ การแปลงพิกัดสามารถเขียนได้ดังนี้

ข้าว. 2.17. การฉายภาพเปอร์สเปคทีฟ

โปรดทราบว่าที่นี่ค่าสัมประสิทธิ์เมทริกซ์ขึ้นอยู่กับพิกัด z (ในตัวส่วนของเศษส่วน) ซึ่งหมายความว่าการแปลงพิกัดไม่เป็นเชิงเส้น (หรือค่อนข้างเป็นเชิงเส้นเศษส่วน) ซึ่งอยู่ในคลาส ฉายภาพการเปลี่ยนแปลง

ทีนี้ลองพิจารณากรณีทั่วไป - สำหรับมุมเอียงของกล้องโดยพลการ (กและ พี)เช่นเดียวกับการฉายภาพแอกโซโนเมตริกแบบขนาน อนุญาต (เอ็กซ์", ย",z 1 ) - พิกัดสำหรับระบบพิกัดที่หมุนสัมพันธ์กับระบบเริ่มต้น (x, y,z) ถึงมุม α และ β .

ให้เราเขียนการแปลงพิกัดการฉายเปอร์สเปคทีฟในรูปแบบ:

ลำดับของการแปลงพิกัดสามารถอธิบายได้ดังต่อไปนี้:

โดยทั่วไปการแปลงจะไม่เป็นเชิงเส้น ไม่สามารถอธิบายได้ด้วยเมทริกซ์เดียวที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่สำหรับวัตถุทั้งหมดในฉาก (แม้ว่ารูปแบบเมทริกซ์สามารถใช้เพื่อแปลงพิกัดได้ก็ตาม)

สำหรับการฉายภาพเปอร์สเปคทีฟ ระนาบการฉายภาพจะตั้งฉากกับรังสีที่เล็ดลอดออกมาจากจุดศูนย์กลาง (x, y,z)= (0, 0, 0) และเอียงที่มุม α , β . หากกล้องถูกย้ายออกจากศูนย์กลางพิกัด การฉายภาพส่วนกลางจะเปลี่ยนไป เมื่อกล้องอยู่ที่ระยะอนันต์ การฉายภาพตรงกลางจะลดลงเป็นการฉายภาพแบบขนาน

ให้เราระบุคุณสมบัติหลักของการเปลี่ยนแปลงเปอร์สเปคทีฟ ในภาคกลาง

ประมาณการ:

□ อัตราส่วนของความยาวและพื้นที่ไม่คงอยู่

□ เส้นตรงแสดงเป็นเส้นตรง

□ เส้นคู่ขนานถูกแสดงเป็นการบรรจบกันที่จุดหนึ่ง

คุณสมบัติสุดท้ายมีการใช้กันอย่างแพร่หลายใน เรขาคณิตเชิงพรรณนาสำหรับวาดภาพด้วยมือบนกระดาษ ให้เราอธิบายสิ่งนี้โดยใช้ตัวอย่างโครงบ้าน (รูปที่ 2.18)

มีการฉายเปอร์สเปคทีฟอื่นๆ ที่แตกต่างกันในตำแหน่งของระนาบการฉายภาพและตำแหน่งของจุดบรรจบกันของรังสีที่ฉาย นอกจากนี้การฉายภาพสามารถทำได้ไม่ใช่บนเครื่องบิน แต่สามารถทำได้บนพื้นผิวทรงกลมหรือทรงกระบอก

พิจารณาการฉายภาพเฉียงซึ่งรังสีฉายไม่ตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพ แนวคิดหลักของการฉายภาพนี้คือให้ยกกล้องขึ้นให้สูง ชม. ในขณะที่รักษาตำแหน่งแนวตั้งของระนาบการออกแบบ (รูปที่ 2.19)

ข้าว. 2.18. เส้นขนานปรากฏอยู่ในภาพฉายกลางมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง

ข้าว. 2.19. การฉายภาพเฉียง

คุณสามารถรับการฉายภาพได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

1. หมุนรอบแกน z ในมุมหนึ่ง ก.

2. เราแทนที่ z" บน -y", au" ถึง z"

3. เลื่อนระบบพิกัดขึ้นไปที่ความสูงของกล้อง ชม.

4. ในเครื่องบิน (เอ็กซ์", ย", 0) เราสร้างการฉายเปอร์สเปคทีฟโดยใช้วิธีการที่กล่าวไว้ข้างต้น (จุดที่หายไปของรังสีบนแกน z).

การแปลงพิกัดสามารถอธิบายได้ด้วยวิธีนี้ ขั้นแรกให้กำหนด (x", คุณ",z′ ).

จากนั้นจึงทำการแปลงเปอร์สเปคทีฟ

การฉายภาพนี้มีข้อดีในการรักษาเส้นแนวตั้งที่ขนานกัน ซึ่งบางครั้งมีประโยชน์เมื่อวาดภาพบ้านในระบบคอมพิวเตอร์ทางสถาปัตยกรรม

ตัวอย่างภาพในการฉายภาพแบบต่างๆเราจะยกตัวอย่างภาพของวัตถุที่เหมือนกันในการฉายภาพต่างๆ วัตถุจะเป็นลูกบาศก์ที่มีขนาดเท่ากัน ตำแหน่งกล้องถูกกำหนดโดยมุมเอียง α = 27°, เบต้า = 70°.

ตัวอย่างของการฉายภาพแอกโซโนเมตริกจะแสดงในรูปที่ 1 2.20.

ข้าว. 2.20.การฉายภาพแอกโซโนเมตริก

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างสำหรับการฉายภาพเปอร์สเปคทีฟ แตกต่างจากการฉายภาพแบบขนาน ภาพในการฉายเปอร์สเปคทีฟจะขึ้นอยู่กับตำแหน่งของระนาบการฉายภาพและระยะห่างจากกล้องอย่างมาก

ในระบบออปติคอล แนวคิดนี้เป็นที่รู้จัก ทางยาวโฟกัสยิ่งมาก. ทางยาวโฟกัสเลนส์ ยิ่งการรับรู้เปอร์สเปคทีฟมีขนาดเล็กลง (รูปที่ 2.21" และในทางกลับกัน สำหรับเลนส์โฟกัสสั้นเปอร์สเปคทีฟก็จะยิ่งยิ่งใหญ่ที่สุด (รูปที่ 2.22) คุณอาจสังเกตเห็นเอฟเฟกต์นี้แล้วหากคุณถ่ายด้วยกล้องวิดีโอหรือกล้องถ่ายภาพ ในตัวอย่างของเรา คุณสามารถสังเกตความสอดคล้องบางอย่างในระยะห่างจากกล้องถึงระนาบการฉายภาพ { z เค – z กรุณา ) และทางยาวโฟกัสของเลนส์ อย่างไรก็ตาม การโต้ตอบนี้มีเงื่อนไขและเป็นการเปรียบเทียบกับ ระบบแสงที่นี่ไม่สมบูรณ์

สำหรับตัวอย่างด้านล่าง (รูปที่ 2.21, 2.22) z กรุณา = 700 มุมเอียงของกล้อง α = 27°, เบต้า = 70°.

ข้าว. 2.21.การฉายภาพเปอร์สเปคทีฟสำหรับกล้องโฟกัสยาว( z เค = 2000)

ข้าว. 2.22.การฉายเปอร์สเปคทีฟสำหรับกล้องระยะสั้น( z เค = 1200)

ในกรณีของกล้องระยะสั้น (z เค = 1200) การรับรู้เปอร์สเปคทีฟจะสังเกตเห็นได้ชัดเจนที่สุดสำหรับลูกบาศก์ที่อยู่ใกล้กับกล้องมากที่สุด เส้นแนวตั้งของวัตถุไม่อยู่ในแนวตั้งในการฉายภาพ (วัตถุแตกสลาย")

ลองดูตัวอย่างการฉายภาพเฉียง (รูปที่ 2.23, 2.24) สำหรับเธอ เส้นแนวตั้งของวัตถุจะรักษาตำแหน่งแนวตั้งในการฉายภาพ อธิบายตำแหน่งของกล้อง (จุดที่มาบรรจบกันของรังสีที่ฉาย) มุมการหมุน α = 27° และความสูงในการยก ชม. = 500 ระนาบการฉายขนานกับระนาบ (เอ็กซ์"โอ้")และอยู่ในระยะไกล z กรุณา = 700.

ข้าว.2.23. การฉายภาพแนวเฉียงสำหรับกล้องโฟกัสยาว( z เค = 2000)

ข้าว. 2.24.การฉายภาพแบบเฉียงสำหรับกล้องระยะสั้น( z เค = 1200)

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่งของภาพฉายกลาง - แท็กในรูปแบบของภาพยนตร์ Star Wars:

แสดงในหน้าต่าง

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วข้างต้น การทำแผนที่บนระนาบการฉายภาพจะสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงพิกัดบางอย่าง การแปลงพิกัดนี้จะแตกต่างกันไปสำหรับการฉายภาพประเภทต่างๆ แต่ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง การเปลี่ยนแปลงจะเกิดขึ้นกับระบบพิกัดใหม่ - พิกัดการฉายภาพ พิกัดการฉายภาพสามารถใช้เพื่อสร้างภาพโดยใช้อุปกรณ์เอาต์พุตกราฟิก อย่างไรก็ตาม อาจต้องมีการแปลงเพิ่มเติม เนื่องจากระบบพิกัดในระนาบการฉายภาพอาจไม่ตรงกับระบบพิกัดของอุปกรณ์แสดงผล ตัวอย่างเช่น จะต้องแสดงวัตถุที่มีหน่วยเป็นกิโลเมตร แต่ในการแสดงแรสเตอร์ หน่วยการวัดคือพิกเซล จะแสดงกิโลเมตรเป็นพิกเซลได้อย่างไร?

นอกจากนี้ คุณคงเคยเห็นแล้วว่าบนหน้าจอคอมพิวเตอร์ คุณสามารถแสดงภาพวัตถุที่ขยายหรือเล็กลง และยังสามารถเคลื่อนย้ายวัตถุเหล่านั้นได้ด้วย วิธีนี้ทำอย่างไร?

ให้เราแนะนำสัญกรณ์บางอย่าง อนุญาต (เขา, อู๋,ซีจ)คือพิกัดหน้าจอของวัตถุในอุปกรณ์แสดงผลกราฟิก โปรดทราบว่าเราไม่ควรใช้คำว่า "หน้าจอ" เหมือนกับว่าเรากำลังพูดถึงเฉพาะจอแสดงผลเท่านั้น ข้อมูลทั้งหมดต่อไปนี้สามารถนำไปใช้กับอุปกรณ์อื่นๆ ที่ใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้ เราแสดงพิกัดการฉายภาพที่นี่เป็น (เอ็กซ์, ย, ซ)

โทรเลย หน้าต่างพื้นที่เอาต์พุตสี่เหลี่ยมพร้อมพิกัดหน้าจอ

เอ็กซ์เอ่อนาทีUetp) - (เฮทาห์ อูเอทาห์) -โดยปกติคุณจะต้องแสดงในหน้าต่างหรือทั้งหมด

ฉากหรือส่วนแยกต่างหาก (รูปที่ 2.25)

ข้าว. 2.25. การแสดงการฉายภาพฉาก

a - ขอบเขตของฉากในพิกัดการฉายภาพข - ส่วนหนึ่งของฉากอยู่ในหน้าต่าง c - ฉากทั้งหมดถูกจารึกไว้ที่หน้าต่างโดยยังคงรักษาสัดส่วนไว้

การแปลงพิกัดการฉายภาพเป็นพิกัดหน้าจอสามารถระบุได้เป็นการยืด/หด และแรงเฉือน:

เอ็กซ์ อี = เคเอ็กซ์+ดีเอ็กซ์, ; ย อี = KY+ ดี้; ซีอี =เคซี.

การเปลี่ยนแปลงนี้จะรักษาสัดส่วนของวัตถุไว้เนื่องจากมีอัตราส่วนการยืด/การหดตัวเท่าเดิม (ถึง)สำหรับทุกพิกัด โปรดทราบว่าสำหรับการทำแผนที่แบบเรียบ คุณสามารถละทิ้งพิกัด Z ได้ มาดูวิธีคำนวณกัน ถึง,ดีเอ็กซ์และดี้. ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องปรับภาพฉากทั้งหมดให้พอดีกับหน้าต่างที่มีขนาดที่กำหนด สภาพความพอดีสามารถกำหนดได้ดังนี้:

ถ้าเราบวก (1) ถึง (3) เราจะได้:

จากความไม่เท่าเทียมกัน (2) และ (4) จะเป็นดังนี้:

คำตอบของระบบ (1)-(4) สำหรับ K จะเป็น: ถึง≤ นาที (Kx, Ku) = เค นาที .

หากมีค่า ถึง เอ็กซ์ หรือความหมาย เค ย เท่ากับอนันต์จึงต้องละทิ้งไป ถ้าทั้งสองอย่าง - ก็คือค่า ถึง นาทีสามารถกำหนดให้เท่ากับหนึ่งได้ ดีจีเอ| เพื่อให้รูปภาพในหน้าต่างมีขนาดใหญ่ที่สุดเราเลือก ถึง= ถึง นาที ตอนนี้คุณสามารถหาได้แล้ว ดีเอ็กซ์. จากความไม่เท่าเทียมกัน (1):

จากความไม่เท่าเทียมกัน (3): I

เนื่องจาก ดีเอ็กซ์1 < ดีเอ็กซ์2, แล้วค่า ดีเอ็กซ์ สามารถเลือกได้จากช่วง I ดีเอ็กซ์1 ≤ดีเอ็กซ์≤ ดีเอ็กซ์2. มาเลือกตำแหน่งกลางในหน้าต่างกันดีกว่า: I

เราก็หาได้เหมือนกัน ดี:

ด้วยคุณค่าดังกล่าว ดีเอ็กซ์และดี้ ศูนย์กลางของฉากจะอยู่ตรงกลางหน้าต่าง

ในกรณีอื่นๆ เมื่อจำเป็นต้องแสดงเพียงบางส่วนของฉากในหน้าต่างด้วยมาตราส่วนที่เหมาะสม คุณสามารถตั้งค่ามาตราส่วนตัวเลขได้โดยตรง (ถึง)และพิกัดเลื่อน (ดีเอ็กซ์, ดี้- ที่การออกแบบส่วนต่อประสาน ระบบกราฟิกขอแนะนำให้จำกัดการเลือก ถึง,ดีเอ็กซ์, ดี้ ช่วงของค่าที่ยอมรับได้

ระบบกราฟิกใช้วิธีการต่างๆ มากมายในการระบุเค้าโครงการแสดงผลและกำหนดขอบเขตของฉากเพื่อแสดงในหน้าต่างรับชม ตัวอย่างเช่น แถบเลื่อนมักใช้ในการเลื่อน นอกจากนี้ ให้ชี้เคอร์เซอร์ไปทางทิศใต้ที่จุดใดจุดหนึ่งบนฉาก จากนั้นจุดนี้จะกลายเป็นจุดศูนย์กลางของหน้าต่าง หรือคุณสามารถร่างกรอบสี่เหลี่ยมโดยเน้นขอบเขตของส่วนของฉาก จากนั้นส่วนนี้จะถูกจารึกไว้ใน หน้าต่าง และอื่นๆ วิธีการแสดงผลทั้งหมดนี้ขึ้นอยู่กับการยืดและการบีบอัด (การปรับขนาด) เช่นเดียวกับการเปลี่ยนแปลง และอธิบายโดยการแปลงพิกัดแบบสัมพันธ์

บนพื้นผิวใดๆ (แบน ทรงกระบอก ทรงกลม ทรงกรวย) โดยใช้รังสีฉาย

การฉายภาพสามารถทำได้โดยใช้วิธีการต่างๆ

วิธีการฉายภาพ เป็นวิธีการรับภาพโดยใช้ชุดวิธีการฉายภาพเฉพาะ (จุดศูนย์กลางการฉายภาพ ทิศทางการฉายภาพ รังสีการฉายภาพ ระนาบการฉายภาพ (พื้นผิว)) ซึ่งกำหนดผลลัพธ์ - ภาพที่ฉายที่สอดคล้องกันและคุณสมบัติต่างๆ

เพื่อให้ได้ภาพใดๆ ของวัตถุบนระนาบ จำเป็นต้องวางไว้ด้านหน้าระนาบการฉายภาพ และวาดรังสีที่ฉายในจินตนาการจากศูนย์กลางของการฉายภาพ โดยเจาะทุกจุดบนพื้นผิวของวัตถุ จุดตัดกันของรังสีเหล่านี้กับระนาบการฉายภาพทำให้เกิดชุดของจุด ซึ่งผลรวมของการสร้างภาพของวัตถุเรียกว่าการฉายภาพ ขอให้เราพิจารณาคำจำกัดความทั่วไปนี้โดยใช้ตัวอย่างการฉายจุด เส้นตรง สามเหลี่ยม และปริซึมสามเหลี่ยมบนระนาบการฉายภาพ H

การฉายภาพจุด (รูปที่ 52, a) ลองใช้จุด A ในอวกาศโดยพลการแล้ววางไว้เหนือระนาบการฉายภาพ H ลองวาดรังสีที่ฉายผ่านจุด A เพื่อให้มันตัดกันระนาบ H ที่จุด A ซึ่งจะเป็นเส้นโครงของจุด A (ที่นี่และใน สิ่งต่อไปนี้เราจะแสดงถึงประเด็นในเรื่อง เป็นตัวพิมพ์ใหญ่แบบอักษรการวาดและการฉายภาพ - ตัวพิมพ์เล็ก) อย่างที่คุณเห็นโดยใช้วิธีการฉายภาพคุณสามารถรับการฉายภาพของวัตถุศูนย์มิติ - จุด

การฉายเส้นตรง (รูปที่ 52, b) ลองจินตนาการถึงเส้นตรงที่เป็นจุดรวม โดยใช้วิธีการฉายภาพ เราจะวาดชุดของรังสีฉายภาพคู่ขนานผ่านจุดที่ประกอบเป็นเส้นตรงจนกระทั่งพวกมันตัดกับระนาบการฉายภาพ การฉายภาพจุดที่เกิดขึ้นจะทำให้เกิดการฉายเส้นตรงที่กำหนดซึ่งเป็นวัตถุหนึ่งมิติ

การฉายภาพสามเหลี่ยม (รูปที่ 52, c) ลองวางสามเหลี่ยม ABC ไว้หน้าระนาบ H โดยนำจุดยอดของสามเหลี่ยมเป็นจุด A, B, C แยกจากกัน เราจะฉายแต่ละจุดบนระนาบการฉายภาพ เราได้เส้นโครงของจุดยอดของสามเหลี่ยม - a, b, c การเชื่อมต่อเส้นโครงของจุดยอดอย่างต่อเนื่อง (a และ b; b และ c; c และ a) เราได้เส้นโครงของด้านข้างของสามเหลี่ยม (ab, bc, ca) ส่วนของระนาบที่ถูกจำกัดด้วยภาพของด้านข้างของสามเหลี่ยม abc จะเป็นการฉายภาพของสามเหลี่ยม ABC บนระนาบ H ดังนั้นเมื่อใช้วิธีการฉายภาพคุณสามารถรับการฉายภาพแบบแบน - สองมิติ วัตถุ.

การฉายภาพปริซึม (รูปที่ 52, d) สำหรับ ลองมาดูตัวอย่างกันปริซึมสามเหลี่ยมเอียงแล้วฉายลงบนระนาบการฉายภาพ H จากการฉายปริซึมบนระนาบ H เราได้ภาพ (การฉายภาพ) ของฐาน - สามเหลี่ยม - abc และ a 1 b 1 c 1 และใบหน้าด้านข้าง - สี่เหลี่ยม abb 1 a 1 และ bcc 1 b 1 ดังนั้นจากการฉายภาพบนระนาบ H จึงได้ภาพฉายของปริซึมสามเหลี่ยม ดังนั้น เมื่อใช้วิธีการฉายภาพ จึงสามารถแสดงวัตถุสามมิติใดๆ ได้

ข้าว. 52. การฉายภาพวัตถุศูนย์, หนึ่ง, สองและสามมิติ: a - จุด;
ข - ตรง; ค - สามเหลี่ยม; ก. - ปริซึม

ดังนั้น เมื่อใช้วิธีการฉายภาพ คุณสามารถแสดงวัตถุใดๆ (ศูนย์ หนึ่ง สอง และสามมิติ) บนระนาบได้ ในเรื่องนี้วิธีการฉายภาพเป็นแบบสากล

สาระสำคัญของการฉายภาพจะเข้าใจได้ง่ายขึ้นหากเรานึกถึงการรับภาพในโรงภาพยนตร์: ฟลักซ์แสงของหลอดฉายภาพยนตร์จะส่องผ่านฟิล์มและโยนภาพลงบนผืนผ้าใบ ในกรณีนี้ ภาพบนจอภาพยนตร์จะมีขนาดใหญ่กว่าภาพบนแผ่นฟิล์มหลายเท่า

มีการฉายภาพจากส่วนกลาง (หรือเปอร์สเปคทีฟ) และการฉายภาพคู่ขนาน การฉายภาพแบบขนานอาจเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (มุมฉาก) หรือแนวเฉียง (ตารางที่ 5)

5. วิธีการฉายภาพ

การฉายภาพตรงกลาง (เปอร์สเปคทีฟ) มีลักษณะเฉพาะคือรังสีที่ฉายออกมาจากจุดเดียว (S) ที่เรียกว่า ศูนย์ฉายภาพ - ภาพที่ออกมาเรียกว่า การฉายภาพส่วนกลาง .

มุมมองสื่อถึงรูปร่างภายนอกของวัตถุตามที่วิสัยทัศน์ของเรารับรู้

ด้วยการฉายภาพจากศูนย์กลาง หากวัตถุอยู่ระหว่างศูนย์กลางของการฉายภาพและระนาบการฉายภาพ ขนาดของฉายภาพจะมีขนาดใหญ่กว่าเดิม หากวัตถุตั้งอยู่ด้านหลังระนาบการฉายภาพ ขนาดของการฉายภาพจะมีขนาดเล็กกว่าขนาดจริงของวัตถุที่แสดงให้เห็น

การฉายภาพแบบขนานนั้นมีลักษณะเฉพาะคือรังสีที่ฉายนั้นขนานกัน ในกรณีนี้ สันนิษฐานว่าจุดศูนย์กลางของเส้นโครง (S) ถูกลบออกไปจนถึงระยะอนันต์

ภาพที่เกิดจากการฉายภาพแบบขนานเรียกว่าการฉายภาพแบบขนาน

หากรังสีที่ฉายขนานกันและตกลงบนระนาบการฉายภาพในมุมฉาก การฉายภาพจะเรียกว่าสี่เหลี่ยม (มุมฉาก) และการฉายภาพผลลัพธ์จะเรียกว่าสี่เหลี่ยม (มุมฉาก) หากรังสีที่ฉายขนานกัน แต่ตกลงบนระนาบการฉายภาพในมุมอื่นที่ไม่ใช่เส้นตรง การฉายภาพจะเรียกว่าเฉียง และผลลัพธ์ที่ได้จะเรียกว่าการฉายภาพเฉียง เมื่อฉายภาพ วัตถุจะถูกวางไว้ด้านหน้าระนาบการฉายภาพในลักษณะที่สร้างภาพที่มีข้อมูลมากที่สุดเกี่ยวกับรูปร่าง

การบรรยาย: การฉายภาพและประเภทการวาดภาพขั้นพื้นฐาน

องค์ประกอบของเรขาคณิตเชิงพรรณนา

ขนาดที่ให้ไว้ในการวาดชิ้นส่วน

1. การเขียนแบบการฉายภาพ 2

2.วิธีการรับภาพกราฟิก 2

3.การฉายภาพแบบศูนย์กลางและแบบขนาน 3

4. การฉายภาพมุมฉากและประเภทการวาดภาพขั้นพื้นฐาน 6

5. การประมาณการประเด็นที่ 10

6.การฉายภาพโดยตรง 17

7. วิธีการตั้งค่าเครื่องบินบนแผนภาพ 24

8. ตำแหน่งสัมพันธ์ของเส้น จุด และระนาบ 29

9. จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบและจุดตัดของสองระนาบ 33

10. ส่วน ส่วน และมุมมอง 40

11. ขนาดที่รวมอยู่ในการวาดชิ้นส่วน 43

1. การวาดภาพฉาย

เรขาคณิตเชิงพรรณนา ศึกษาวิธีการสร้างภาพอวกาศบนเครื่องบินและแก้ปัญหาเชิงพื้นที่ในรูปวาด

การวาดภาพฉาย ตรวจสอบประเด็นในทางปฏิบัติของการสร้างแบบร่างและแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการที่กล่าวถึงในเรขาคณิตเชิงพรรณนา ขั้นแรกในการเขียนแบบตัวเรขาคณิต และจากนั้นในการเขียนแบบแบบจำลองและชิ้นส่วนทางเทคนิค

1. วิธีการรับภาพกราฟิก

รูปร่างของวัตถุใด ๆ ถือได้ว่าเป็นการผสมผสานระหว่างตัวเรขาคณิตธรรมดา ๆ และในการพรรณนารูปร่างทางเรขาคณิต คุณต้องสามารถพรรณนาพวกมันได้ แต่ละองค์ประกอบ: จุดยอด (จุด), ขอบ (เส้นตรง), ใบหน้า (ระนาบ)

พื้นฐานในการสร้างภาพคือวิธีการฉายภาพ การได้ภาพของวัตถุหมายถึงการฉายภาพวัตถุนั้นลงบนระนาบการวาด เช่น ฉายองค์ประกอบแต่ละส่วน เนื่องจากองค์ประกอบที่ง่ายที่สุดของรูปใดๆ ก็ตามคือจุด การศึกษาการฉายภาพจึงเริ่มต้นด้วยการฉายภาพจุด

เพื่อให้ได้ภาพของจุด A บนระนาบ P (รูปที่ 4.1) ลำแสง Aa ที่ฉายจะถูกส่งผ่านจุด A จุดตัดของรังสีที่ฉายกับระนาบ P จะเป็นภาพของจุด A บนระนาบ P (จุด a) นั่นคือการฉายภาพบนระนาบ P

กระบวนการรับภาพ (การฉายภาพ) นี้เรียกว่าการฉายภาพ ระนาบ P คือระนาบการฉายภาพ เมื่อได้รับภาพ (การฉายภาพ) ของวัตถุมา ในกรณีนี้คะแนน

หลักการของการฉายภาพสามารถเข้าใจได้ง่ายโดยตัวอย่างการรับเงาของวัตถุบนผนังหรือแผ่นกระดาษ ในรูป 4.1 แสดงเงาของดินสอที่ส่องสว่างด้วยโคมไฟ และในรูป 4.2 - เงาของดินสอที่ส่องสว่างจากแสงแดด หากเราจินตนาการถึงรังสีของแสงว่าเป็นเส้นตรง นั่นคือการฉายรังสี และเงาเป็นการฉายภาพ (ภาพ) ของวัตถุบนเครื่องบิน ก็เป็นเรื่องง่ายที่จะจินตนาการถึงกลไกการฉายภาพ

ขึ้นอยู่กับตำแหน่งสัมพัทธ์ของรังสีที่ฉาย การฉายภาพจะแบ่งออกเป็นส่วนกลางและขนาน

1. การฉายภาพแบบกึ่งกลางและแบบขนาน

การฉายภาพตรงกลาง - รับการฉายภาพโดยใช้รังสีฉายผ่านจุด S ซึ่งเรียกว่าศูนย์กลางการฉายภาพ (รูปที่ 4.3) หากเราถือว่าหลอดไฟเป็นแหล่งกำเนิดแสงแบบจุดรังสีที่ฉายจะออกมาจากจุดหนึ่งดังนั้นบนระนาบ P จึงได้เส้นโครงดินสอตรงกลาง (รูปที่ 4.1)

ตัวอย่างของการฉายภาพที่อยู่ตรงกลางคือการฉายเฟรมภาพยนตร์หรือสไลด์ลงบนหน้าจอ โดยที่เฟรมเป็นวัตถุของการฉายภาพ ภาพบนหน้าจอคือการฉายภาพเฟรม และโฟกัสของเลนส์เป็นจุดศูนย์กลางของการฉายภาพ .

ภาพที่เกิดจากการฉายภาพจากส่วนกลางจะคล้ายกับภาพบนเรตินาของดวงตาของเรา สิ่งเหล่านี้เป็นภาพและเข้าใจได้สำหรับเรา เนื่องจากพวกมันแสดงให้เราเห็นวัตถุของความเป็นจริงโดยรอบเมื่อเราคุ้นเคยกับการมองเห็นพวกมัน แต่การบิดเบือนขนาดของวัตถุและความซับซ้อนของการสร้างภาพระหว่างการฉายภาพจากส่วนกลางไม่อนุญาตให้นำไปใช้ในการวาดภาพ

การฉายภาพส่วนกลางใช้กันอย่างแพร่หลายเฉพาะเมื่อต้องการความชัดเจนของภาพ เช่น ในภาพวาดทางสถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง เมื่อแสดงมุมมองของอาคาร ถนน จัตุรัส ฯลฯ

การฉายภาพแบบขนาน - ถ้าศูนย์กลางของเส้นฉายภาพคือจุด S ถูกลบออกไปจนเหลือระยะอนันต์ รังสีที่ฉายจะขนานกัน ในรูป รูปที่ 4.4 แสดงการรับการฉายภาพแบบขนานของจุด A และ B บนระนาบ P

ขึ้นอยู่กับทิศทางของรังสีที่ฉายซึ่งสัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ การฉายภาพแบบขนานจะถูกแบ่งออกเป็น เฉียงและสี่เหลี่ยม.

ที่ การฉายภาพเฉียงมุมเอียงของรังสีที่ฉายไปยังระนาบการฉายภาพไม่เท่ากับ 90° (รูปที่ 4.5)

ด้วยการฉายภาพเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า รังสีที่ฉายจะตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพ (รูปที่ 4.6)

วิธีการฉายภาพที่กล่าวถึงข้างต้นไม่ได้สร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างวัตถุ (จุด A) และภาพ (การฉายภาพ) สำหรับทิศทางที่กำหนดของรังสีที่ฉายบนระนาบการฉายภาพจะมีการฉายจุดเดียวเท่านั้นเสมอ แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินตำแหน่งของจุดในอวกาศจากการฉายภาพครั้งหนึ่งเนื่องจากในรังสีที่ฉายภาพเดียวกัน Aa ( รูปที่ 4.7) จุดสามารถครอบครองตำแหน่งที่แตกต่างกัน สูงหรือต่ำลง จุดที่กำหนดให้ A และเป็นไปไม่ได้ที่จะระบุตำแหน่งของจุดในอวกาศที่ตรงกับภาพ (การฉายภาพ)

ข้าว. 4.4. ข้าว. 4.5. ข้าว. 4.6.

เพื่อกำหนดตำแหน่งในอวกาศจากภาพของจุดหนึ่ง จำเป็นต้องมีเส้นโครงของจุดนี้อย่างน้อยสองครั้ง ในกรณีนี้ ต้องทราบตำแหน่งสัมพัทธ์ของระนาบการฉายภาพและทิศทางของการฉายภาพ จากนั้นเมื่อมีภาพของจุด A สองภาพ คุณก็สามารถจินตนาการได้ว่าจุดนั้นอยู่ในอวกาศได้อย่างไร

วิธีที่ง่ายและสะดวกที่สุดคือการฉายภาพบนระนาบการฉายภาพที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันโดยใช้รังสีฉายที่ตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพ

เส้นโครงนี้เรียกว่าเส้นโครงมุมฉาก และภาพที่ได้เรียกว่าเส้นโครงมุมฉาก