ในบทนี้ เราจะดูการดำเนินการกับเวกเตอร์อีกสองรายการ: ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์และ ผลคูณของเวกเตอร์ (ลิงค์ทันทีสำหรับผู้ที่ต้องการมัน)- ไม่เป็นไร บางครั้งมันก็เกิดขึ้นเพื่อความสุขที่สมบูรณ์นอกเหนือจากนั้น ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์จำเป็นต้องมีมากขึ้นเรื่อยๆ นี่คือการเสพติดเวกเตอร์ อาจดูเหมือนว่าเรากำลังเข้าสู่ป่าแห่งเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ นี่เป็นสิ่งที่ผิด ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงส่วนนี้ โดยทั่วไปแล้วจะมีไม้เพียงเล็กน้อย ยกเว้นบางทีอาจจะเพียงพอสำหรับพินอคคิโอ ในความเป็นจริงวัสดุนี้เป็นเรื่องธรรมดาและเรียบง่าย - แทบจะไม่ซับซ้อนไปกว่านี้อีกแล้ว ผลิตภัณฑ์ดอทจะมีงานทั่วไปน้อยลงด้วยซ้ำ สิ่งสำคัญในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ อย่างที่หลายคนเชื่อหรือเชื่ออยู่แล้ว ไม่ใช่การทำผิดพลาดในการคำนวณ ทำซ้ำเหมือนมนต์สะกดแล้วคุณจะมีความสุข =)

หากเวกเตอร์ส่องแสงอยู่ที่ไหนสักแห่งที่อยู่ห่างไกล เช่น ฟ้าแลบบนขอบฟ้า ก็ไม่สำคัญ ให้เริ่มด้วยบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองเพื่อฟื้นฟูหรือรับความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ ผู้อ่านที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถทำความคุ้นเคยกับข้อมูลแบบคัดเลือกได้ ฉันพยายามรวบรวมตัวอย่างที่สมบูรณ์ที่สุดที่มักพบในงานภาคปฏิบัติ

อะไรจะทำให้คุณมีความสุขทันที? เมื่อตอนที่ฉันยังเด็ก ฉันสามารถเล่นปาหี่ลูกบอลสองหรือสามลูกได้ มันได้ผลดี ตอนนี้คุณไม่จำเป็นต้องเล่นปาหี่เลยเพราะเราจะพิจารณา เวกเตอร์เชิงพื้นที่เท่านั้นและเวกเตอร์แฟลตที่มีพิกัดสองพิกัดจะถูกละไว้ ทำไม นี่คือที่มาของการกระทำเหล่านี้ - เวกเตอร์และผลคูณผสมของเวกเตอร์ถูกกำหนดและทำงานในพื้นที่สามมิติ ง่ายกว่านี้แล้ว!

การดำเนินการนี้เหมือนกับผลคูณสเกลาร์ที่เกี่ยวข้อง เวกเตอร์สองตัว- ปล่อยให้สิ่งเหล่านี้เป็นตัวอักษรที่ไม่เน่าเปื่อย

การกระทำนั้นเอง แสดงโดยดังนี้: . มีตัวเลือกอื่นๆ แต่ฉันคุ้นเคยกับการแทนผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ด้วยวิธีนี้ในวงเล็บเหลี่ยมที่มีเครื่องหมายกากบาท

และทันที คำถาม: ถ้าเข้า. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เวกเตอร์สองตัวเกี่ยวข้องกัน และตรงนี้เวกเตอร์สองตัวก็คูณด้วย อะไรคือความแตกต่าง- ความแตกต่างที่ชัดเจนประการแรกคือในผลลัพธ์:

ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์คือ NUMBER:

ผลลัพธ์ของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์คือ VECTOR: นั่นคือเราคูณเวกเตอร์แล้วได้เวกเตอร์อีกครั้ง สโมสรปิด. ที่จริงแล้วนี่คือที่มาของชื่อของการดำเนินการ ในวรรณกรรมด้านการศึกษาต่างๆ การกำหนดอาจแตกต่างกันไป ฉันจะใช้ตัวอักษร

คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม

อันดับแรกจะมีคำจำกัดความพร้อมรูปภาพแล้วแสดงความคิดเห็น

คำนิยาม: สินค้าเวกเตอร์ ไม่ใช่คอลลิเนียร์เวกเตอร์, ดำเนินการตามลำดับนี้เรียกว่าเวกเตอร์ ความยาวซึ่งเป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์และได้รับการกำกับเพื่อให้พื้นฐานมีทิศทางที่ถูกต้อง:

เรามาแจกแจงคำจำกัดความกันดีกว่า มีสิ่งที่น่าสนใจมากมายที่นี่!

ดังนั้นจึงสามารถเน้นประเด็นสำคัญต่อไปนี้ได้:

1) เวกเตอร์ดั้งเดิม ระบุด้วยลูกศรสีแดง ตามคำจำกัดความ ไม่ใช่แนวตรง- จะเหมาะสมที่จะพิจารณากรณีของเวกเตอร์คอลลิเนียร์ในภายหลังเล็กน้อย

2) ถ่ายเวกเตอร์ ตามลำดับที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด: – "a" คูณด้วย "เป็น"และไม่ใช่ "เป็น" กับ "a" ผลลัพธ์ของการคูณเวกเตอร์คือ VECTOR ซึ่งระบุด้วยสีน้ำเงิน หากคูณเวกเตอร์ในลำดับย้อนกลับ เราจะได้เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม (สีราสเบอร์รี่) นั่นคือความเท่าเทียมกันเป็นจริง .

3) ตอนนี้เรามาทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กันดีกว่า นี่เป็นจุดสำคัญมาก! ความยาวของเวกเตอร์สีน้ำเงิน (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเวกเตอร์สีแดงเข้ม) จึงเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ ในรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นสีเทาดำ

บันทึก : การวาดภาพเป็นแผนผังและโดยธรรมชาติแล้วความยาวที่ระบุของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ให้เรานึกถึงสูตรเรขาคณิตสูตรหนึ่ง: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของด้านที่อยู่ติดกันและไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านั้น- ดังนั้น จากสูตรข้างต้น สูตรคำนวณ LENGTH ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงใช้ได้:

ฉันขอย้ำว่าสูตรนี้เกี่ยวกับ LENGTH ของเวกเตอร์ และไม่เกี่ยวกับเวกเตอร์นั้นเอง ความหมายเชิงปฏิบัติคืออะไร? และความหมายก็คือในปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานมักพบผ่านแนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

เรามาสูตรสำคัญที่สองกัน เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เส้นประสีแดง) แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน ดังนั้นจึงสามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างบนเวกเตอร์ (การแรเงาสีแดง) ได้โดยใช้สูตร:

4) ข้อเท็จจริงที่สำคัญไม่แพ้กันก็คือ เวกเตอร์นั้นตั้งฉากกับเวกเตอร์ นั่นก็คือ - แน่นอนว่า เวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงกันข้าม (ลูกศรราสเบอร์รี่) ก็มีตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมเช่นกัน

5) เวกเตอร์ถูกกำหนดทิศทางเช่นนั้น พื้นฐานมี ขวาปฐมนิเทศ. ในบทเรียนเกี่ยวกับ การเปลี่ยนไปสู่พื้นฐานใหม่ฉันพูดรายละเอียดเพียงพอเกี่ยวกับ การวางแนวเครื่องบินและตอนนี้เราจะหาว่าการวางแนวของอวกาศคืออะไร ฉันจะอธิบายบนนิ้วของคุณ มือขวา- ประสานจิต นิ้วชี้ด้วยเวกเตอร์และ นิ้วกลางด้วยเวกเตอร์ นิ้วนางและนิ้วก้อยกดมันลงบนฝ่ามือของคุณ ส่งผลให้ นิ้วหัวแม่มือ– ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะค้นหาขึ้น นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้อง (นี่คืออันนี้ในรูป) ตอนนี้เปลี่ยนเวกเตอร์ ( นิ้วชี้และนิ้วกลาง) ในบางสถานที่ ผลก็คือ นิ้วหัวแม่มือจะหมุน และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะมองลงมาแล้ว นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้องเช่นกัน บางทีคุณอาจมีคำถาม: พื้นฐานใดที่ออกจากการปฐมนิเทศ? “กำหนด” ให้เป็นนิ้วเดียวกัน มือซ้ายเวกเตอร์ และรับพื้นฐานด้านซ้ายและการวางแนวด้านซ้ายของปริภูมิ (ในกรณีนี้นิ้วหัวแม่มือจะอยู่ในทิศทางของเวกเตอร์ด้านล่าง)- หากพูดเป็นรูปเป็นร่าง ฐานเหล่านี้จะ "บิด" หรือปรับทิศทางพื้นที่ไปในทิศทางที่ต่างกัน และแนวคิดนี้ไม่ควรถือเป็นสิ่งที่ลึกซึ้งหรือเป็นนามธรรม - ตัวอย่างเช่น การวางแนวของอวกาศถูกเปลี่ยนโดยกระจกธรรมดาที่สุด และหากคุณ "ดึงวัตถุที่สะท้อนออกจากกระจกมอง" ในกรณีทั่วไป จะไม่สามารถรวมเข้ากับ "ต้นฉบับ" ได้ ยังไงก็ตาม ชูสามนิ้วขึ้นไปที่กระจกแล้ววิเคราะห์การสะท้อน ;-)

...ตอนนี้คุณรู้ดีแค่ไหนแล้ว ไปทางขวาและซ้ายฐานเพราะคำพูดของอาจารย์บางคนเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงการวางแนวนั้นน่ากลัว =)

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์คอลลิเนียร์

มีการพูดคุยถึงคำจำกัดความโดยละเอียดแล้ว ยังคงต้องรอดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน หากเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ก็สามารถวางพวกมันบนเส้นตรงเส้นเดียวได้ และสี่เหลี่ยมด้านขนานของเราก็จะ "พับ" ให้เป็นเส้นตรงเส้นเดียวด้วย ดังที่นักคณิตศาสตร์กล่าวว่า เสื่อมโทรมสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากับศูนย์ ตามมาจากสูตรเดียวกัน - ไซน์ของศูนย์หรือ 180 องศาเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าพื้นที่เป็นศูนย์

ดังนั้น ถ้า แล้ว และ - โปรดทราบว่าผลคูณเวกเตอร์นั้นมีค่าเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ แต่ในทางปฏิบัติมักถูกละเลยและเขียนไว้ว่ามันเท่ากับศูนย์ด้วย

กรณีพิเศษคือผลคูณไขว้ของเวกเตอร์กับตัวมันเอง:

เมื่อใช้ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ คุณสามารถตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์สามมิติได้ และเราจะวิเคราะห์ปัญหานี้และอื่นๆ ด้วย

เพื่อแก้ตัวอย่างเชิงปฏิบัติที่คุณอาจต้องการ ตารางตรีโกณมิติเพื่อหาค่าของไซน์จากมัน

มาจุดไฟกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 1

ก) จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ ถ้า

b) ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ ถ้า

สารละลาย: ไม่ นี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด ฉันจงใจทำให้ข้อมูลเริ่มต้นในส่วนคำสั่งเหมือนกัน เพราะการออกแบบโซลูชั่นจะแตกต่างออกไป!

ก) ตามเงื่อนไขคุณต้องค้นหา ความยาวเวกเตอร์ (ผลคูณข้าม) ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

หากคุณถูกถามเกี่ยวกับความยาว ในคำตอบเราจะระบุมิติ - หน่วย

b) ตามเงื่อนไขคุณต้องค้นหา สี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นตัวเลขเท่ากับความยาวของผลคูณเวกเตอร์:

คำตอบ:

โปรดทราบว่าคำตอบไม่ได้พูดถึงผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เลย พื้นที่ของรูปดังนั้น มิติข้อมูลจึงเป็นหน่วยสี่เหลี่ยม

เรามักจะมองหาสิ่งที่เราต้องค้นหาตามเงื่อนไข และจากสิ่งนี้ เราจึงกำหนดสูตรขึ้นมา ชัดเจนคำตอบ. อาจดูเหมือนเป็นวรรณกรรมตามตัวอักษร แต่มีครูที่เป็นวรรณกรรมจำนวนมาก และงานที่ได้รับมอบหมายก็มีโอกาสดีที่จะถูกส่งกลับเพื่อแก้ไข แม้ว่านี่จะไม่ใช่การพูดเล่นที่ลึกซึ้งนัก แต่หากคำตอบไม่ถูกต้อง เราก็จะรู้สึกว่าบุคคลนั้นไม่เข้าใจสิ่งง่ายๆ และ/หรือไม่เข้าใจแก่นแท้ของงาน ประเด็นนี้จะต้องถูกควบคุมเสมอเมื่อแก้ไขปัญหาใดๆ ในคณิตศาสตร์ขั้นสูงและในวิชาอื่นๆ ด้วย

ตัวอักษรตัวใหญ่ “en” หายไปไหน? โดยหลักการแล้ว มันอาจจะแนบมากับโซลูชันเพิ่มเติมได้ แต่เพื่อที่จะย่อรายการให้สั้นลง ฉันไม่ได้ทำเช่นนี้ ฉันหวังว่าทุกคนจะเข้าใจสิ่งนั้นและเป็นการกำหนดสิ่งเดียวกัน

ตัวอย่างยอดนิยมสำหรับโซลูชัน DIY:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์ถ้า

สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านผลคูณเวกเตอร์มีระบุไว้ในความคิดเห็นต่อคำจำกัดความ คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

ในทางปฏิบัติ งานนี้เป็นเรื่องธรรมดามาก โดยทั่วไปแล้ว รูปสามเหลี่ยมสามารถทรมานคุณได้

เพื่อแก้ไขปัญหาอื่น ๆ เราจะต้อง:

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์

เราได้พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แล้ว แต่ฉันจะรวมคุณสมบัติเหล่านี้ไว้ในรายการนี้

สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดเองและตัวเลขที่กำหนดเอง คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง:

1) ในแหล่งข้อมูลอื่นๆ รายการนี้มักจะไม่ได้เน้นในคุณสมบัติ แต่มีความสำคัญมากในแง่การปฏิบัติ ดังนั้นปล่อยให้มันเป็นไป

2) – ทรัพย์สินมีการกล่าวถึงข้างต้นเช่นกัน บางครั้งเรียกว่า ต่อต้านการเปลี่ยนแปลง- กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับของเวกเตอร์มีความสำคัญ

3) – เชื่อมโยงหรือ เชื่อมโยงกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ค่าคงที่สามารถเคลื่อนย้ายออกไปนอกผลคูณเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย จริงๆ แล้วพวกเขาควรทำอะไรที่นั่น?

4) – การจำหน่ายหรือ การกระจายกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ไม่มีปัญหาในการเปิดวงเล็บเช่นกัน

เพื่อสาธิต ลองดูตัวอย่างสั้นๆ:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาว่า

สารละลาย:เงื่อนไขนี้จำเป็นต้องค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์อีกครั้ง มาวาดภาพจิ๋วของเรากันเถอะ:

(1) ตามกฎการเชื่อมโยง เราใช้ค่าคงที่อยู่นอกขอบเขตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

(2) เราย้ายค่าคงที่ออกไปนอกโมดูล และโมดูลจะ "กิน" เครื่องหมายลบ ความยาวต้องไม่เป็นลบ

(3) ส่วนที่เหลือชัดเจน

คำตอบ:

ถึงเวลาเพิ่มฟืนลงในกองไฟแล้ว:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์ถ้า

สารละลาย: หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตร - สิ่งที่จับได้ก็คือเวกเตอร์ "tse" และ "de" นั้นถูกนำเสนอเป็นผลรวมของเวกเตอร์ อัลกอริทึมที่นี่เป็นมาตรฐานและค่อนข้างชวนให้นึกถึงตัวอย่างหมายเลข 3 และ 4 ของบทเรียน ผลคูณดอทของเวกเตอร์- เพื่อความชัดเจน เราจะแบ่งวิธีแก้ปัญหาออกเป็นสามขั้นตอน:

1) ในขั้นตอนแรก เราแสดงผลคูณเวกเตอร์ผ่านผลคูณเวกเตอร์ อันที่จริง ลองเขียนเวกเตอร์ในรูปของเวกเตอร์กัน- ยังไม่มีคำว่ายาว!

(1) แทนนิพจน์ของเวกเตอร์

(2) ใช้กฎการกระจาย เราจะเปิดวงเล็บตามกฎการคูณพหุนาม

(3) การใช้กฎเชื่อมโยง เราย้ายค่าคงที่ทั้งหมดไปไกลกว่าผลคูณเวกเตอร์ ด้วยประสบการณ์เพียงเล็กน้อยก็สามารถดำเนินการขั้นตอนที่ 2 และ 3 พร้อมกันได้

(4) เทอมแรกและเทอมสุดท้ายมีค่าเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์) เนื่องจากคุณสมบัติที่ดี ในระยะที่สอง เราใช้คุณสมบัติของการต่อต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

(5) เรานำเสนอข้อกำหนดที่คล้ายกัน

เป็นผลให้เวกเตอร์แสดงผ่านเวกเตอร์ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นจะต้องทำให้สำเร็จ:

2) ในขั้นตอนที่สอง เราจะหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ที่เราต้องการ การดำเนินการนี้คล้ายกับตัวอย่างที่ 3:

3) ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ต้องการ:

ขั้นที่ 2-3 ของการแก้ปัญหาสามารถเขียนเป็นบรรทัดเดียวได้

คำตอบ:

ปัญหาที่พิจารณานั้นค่อนข้างบ่อยในการทดสอบ นี่คือตัวอย่างสำหรับการแก้ไขด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาว่า

คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน มาดูกันว่าคุณใส่ใจแค่ไหนเมื่อศึกษาตัวอย่างก่อนหน้านี้ ;-)

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ในพิกัด

ระบุไว้ตามหลักออร์โธนอร์มอล แสดงโดยสูตร:

สูตรนั้นง่ายมาก: ในบรรทัดบนสุดของดีเทอร์มิแนนต์เราเขียนเวกเตอร์พิกัดในบรรทัดที่สองและสามเรา "ใส่" พิกัดของเวกเตอร์แล้วใส่ ตามลำดับที่เข้มงวด– ขั้นแรกพิกัดของเวกเตอร์ “ve” ตามด้วยพิกัดของเวกเตอร์ “double-ve” หากจำเป็นต้องคูณเวกเตอร์ในลำดับอื่น ควรสลับแถว:

ตัวอย่างที่ 10

ตรวจสอบว่าเวกเตอร์อวกาศต่อไปนี้เป็นเส้นตรงหรือไม่:
ก)
ข)

สารละลาย: การตรวจสอบจะขึ้นอยู่กับข้อความใดข้อความหนึ่งในบทเรียนนี้: ถ้าเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ผลคูณของเวกเตอร์จะเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์): .

ก) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

ดังนั้นเวกเตอร์จึงไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

b) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

คำตอบ: ก) ไม่ใช่เส้นตรง b)

นี่อาจเป็นข้อมูลพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์

ส่วนนี้จะไม่ใหญ่มาก เนื่องจากมีปัญหาเล็กน้อยในการใช้ผลคูณของเวกเตอร์ผสม ในความเป็นจริงทุกอย่างจะขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ ความหมายทางเรขาคณิต และสูตรการทำงานสองสามสูตร

ผลคูณของเวกเตอร์คือผลคูณของเวกเตอร์สามตัว:

ดังนั้นพวกเขาจึงเข้าแถวเหมือนรถไฟและแทบรอไม่ไหวที่จะถูกระบุตัวตน

ประการแรก อีกครั้ง คำจำกัดความและรูปภาพ:

คำนิยาม: งานผสม ไม่ใช่ระนาบเวกเตอร์, ดำเนินการตามลำดับนี้, เรียกว่า ปริมาตรที่ขนานกันสร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้ โดยมีเครื่องหมาย “+” หากฐานถูกต้อง และเครื่องหมาย “–” หากเหลือฐาน

มาวาดรูปกันเถอะ เส้นที่เรามองไม่เห็นนั้นถูกวาดด้วยเส้นประ:

มาดำดิ่งสู่คำจำกัดความ:

2) ถ่ายเวกเตอร์ ในลำดับที่แน่นอนนั่นคือการจัดเรียงเวกเตอร์ในผลิตภัณฑ์ใหม่ตามที่คุณอาจเดาได้จะไม่เกิดขึ้นโดยไม่มีผลกระทบ

3) ก่อนที่จะแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิต ฉันจะทราบข้อเท็จจริงที่ชัดเจน: ผลคูณผสมของเวกเตอร์คือ NUMBER- ในวรรณกรรมด้านการศึกษาการออกแบบอาจแตกต่างกันเล็กน้อย ฉันคุ้นเคยกับการแสดงถึงผลิตภัณฑ์แบบผสม และผลลัพธ์ของการคำนวณด้วยตัวอักษร "pe"

ตามคำนิยาม ผลคูณที่ผสมคือปริมาตรของเส้นขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์ (รูปวาดด้วยเวกเตอร์สีแดงและเส้นสีดำ) นั่นคือจำนวนเท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่กำหนด

บันทึก : ภาพวาดเป็นแผนผัง

4) ไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องการวางแนวของพื้นฐานและพื้นที่อีกต่อไป ความหมายของส่วนสุดท้ายคือสามารถเพิ่มเครื่องหมายลบลงในโวลุ่มได้ พูดง่ายๆ ก็คือ ผลิตภัณฑ์แบบผสมอาจเป็นค่าลบ:

โดยตรงจากคำจำกัดความเป็นไปตามสูตรในการคำนวณปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์สามตัวและคุณสมบัติของมัน

งานผสมเวกเตอร์สามตัวเรียกว่าตัวเลขเท่ากับ กำหนด - ตรงนี้ เวกเตอร์สองตัวแรกจะถูกคูณด้วยเวกเตอร์ จากนั้นเวกเตอร์ที่ได้จะถูกคูณด้วยเวกเตอร์ตัวที่สามแบบสเกลาร์ แน่นอนว่าผลิตภัณฑ์ดังกล่าวมีจำนวนที่แน่นอน

พิจารณาคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ผสม

1. ความหมายทางเรขาคณิตงานผสม ผลคูณผสมของเวกเตอร์ 3 ตัวจนถึงเครื่องหมายเท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้เช่นเดียวกับที่ขอบเช่น -

   ดังนั้นและ .

   

   การพิสูจน์- ลองแยกเวกเตอร์ออกจากจุดกำเนิดทั่วไปและสร้างเส้นขนานบนพวกมัน ให้เราแสดงและสังเกตว่า . ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์

   สมมติว่าและแสดงถึงโดย ชม.จงหาความสูงของด้านขนาน

   ดังนั้นเมื่อ

   ถ้าเป็นเช่นนั้น เพราะฉะนั้น, .

   เมื่อรวมทั้งสองกรณีนี้เข้าด้วยกัน เราจะได้ หรือ

   จากการพิสูจน์คุณสมบัตินี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะตามมาว่าหากเวกเตอร์สามตัวเป็นแบบถนัดขวา ผลคูณผสมจะเป็น และหากเป็นแบบถนัดซ้าย แล้ว

2. สำหรับเวกเตอร์ใดๆ , , ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

   หลักฐานของทรัพย์สินนี้ตามมาจากทรัพย์สินที่ 1 แท้จริงแล้วเป็นการแสดงให้เห็นได้ง่าย และ ยิ่งไปกว่านั้น เครื่องหมาย “+” และ “–” จะถูกถ่ายพร้อมกันเพราะว่า มุมระหว่างเวกเตอร์ และ และ และ มีทั้งมุมแหลมและมุมป้าน

3. เมื่อมีการจัดเรียงปัจจัยสองประการใหม่ ผลิตภัณฑ์ผสมจะเปลี่ยนเครื่องหมาย

   แท้จริงแล้วหากเราพิจารณาผลิตภัณฑ์แบบผสมก็เช่นหรือ

4. ผลคูณผสมก็ต่อเมื่อปัจจัยตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์หรือเวกเตอร์เป็นระนาบเดียวกัน

   การพิสูจน์.

   ดังนั้น เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับ coplanarity ของเวกเตอร์ 3 ตัวคือผลคูณผสมของพวกมันมีค่าเท่ากับศูนย์ นอกจากนี้ จะเป็นไปตามนั้นด้วยเวกเตอร์สามตัวที่สร้างพื้นฐานในอวกาศ ถ้า

   หากให้เวกเตอร์อยู่ในรูปแบบพิกัด แสดงว่าสูตรพบผลคูณผสมของเวกเตอร์:

   .

   ดังนั้น ผลคูณผสมจึงเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สาม ซึ่งมีพิกัดของเวกเตอร์แรกในบรรทัดแรก พิกัดของเวกเตอร์ที่สองในบรรทัดที่สอง และพิกัดของเวกเตอร์ที่สามในบรรทัดที่สาม

   ตัวอย่าง.

เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ในอวกาศ

สมการ ฉ(x, y, z)= 0 กำหนดในช่องว่าง อ็อกซิซพื้นผิวบางส่วน เช่น ตำแหน่งของจุดที่มีพิกัด x, y, zเป็นไปตามสมการนี้ สมการนี้เรียกว่าสมการพื้นผิว และ x, y, z– พิกัดปัจจุบัน

อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่พื้นผิวไม่ได้ระบุด้วยสมการ แต่เป็นเซตของจุดในอวกาศที่มีคุณสมบัติอย่างใดอย่างหนึ่ง ในกรณีนี้ จำเป็นต้องค้นหาสมการของพื้นผิวตามคุณสมบัติทางเรขาคณิต

เครื่องบิน.

เวกเตอร์เครื่องบินปกติ

สมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดที่กำหนด

ให้เราพิจารณาระนาบใดก็ได้ σ ในอวกาศ ตำแหน่งถูกกำหนดโดยการระบุเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบนี้และจุดคงที่บางจุด M0(x 0, ใช่ 0, ซี 0) นอนอยู่ในระนาบ σ

เรียกว่าเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบ σ ปกติเวกเตอร์ของเครื่องบินลำนี้ ให้เวกเตอร์มีพิกัด

ลองหาสมการของระนาบ σ ที่ผ่านจุดนี้มา M0และมีเวกเตอร์ตั้งฉาก เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ใช้จุดใดก็ได้บนระนาบ σ ม(x, ย, z)และพิจารณาเวกเตอร์

ไม่ว่าจะจุดไหนก็ตาม มО σ เป็นเวกเตอร์ ดังนั้น ผลคูณสเกลาร์ของพวกมันจึงเท่ากับศูนย์ ความเท่าเทียมกันนี้คือเงื่อนไขที่จุด มโอซิ. ใช้ได้กับทุกจุดของระนาบนี้และถูกละเมิดทันทีที่จุดนั้น มจะอยู่นอกระนาบ σ

ถ้าเราแทนจุดด้วยเวกเตอร์รัศมี ม, – เวกเตอร์รัศมีของจุด M0จึงสามารถเขียนสมการได้ในรูป

สมการนี้เรียกว่า เวกเตอร์สมการระนาบ ลองเขียนมันในรูปแบบพิกัดกัน ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

เราก็ได้สมการของระนาบที่ผ่านจุดนี้มา ดังนั้น เพื่อสร้างสมการของระนาบ คุณจำเป็นต้องทราบพิกัดของเวกเตอร์ปกติและพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งที่วางอยู่บนระนาบ

โปรดทราบว่าสมการของระนาบคือสมการระดับที่ 1 เทียบกับพิกัดปัจจุบัน เอ็กซ์, ยและ z.

ตัวอย่าง.

สมการทั่วไปของเครื่องบิน

จะเห็นได้ว่าสมการดีกรีหนึ่งใดๆ เทียบกับพิกัดคาร์ทีเซียน x, y, zแสดงถึงสมการของระนาบที่แน่นอน สมการนี้เขียนเป็น:

ขวาน+โดย+Cz+D=0

และถูกเรียกว่า สมการทั่วไประนาบและพิกัด ก, บี, ซีนี่คือพิกัดของเวกเตอร์ปกติของเครื่องบิน

ให้เราพิจารณากรณีพิเศษของสมการทั่วไป เรามาดูกันว่าระนาบนั้นสัมพันธ์กับระบบพิกัดอย่างไรหากค่าสัมประสิทธิ์ของสมการตั้งแต่หนึ่งค่าขึ้นไปกลายเป็นศูนย์

A คือความยาวของส่วนที่ตัดออกโดยระนาบบนแกน วัว- ในทำนองเดียวกันก็สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า ขและ ค– ความยาวของปล้องที่เครื่องบินตัดออกโดยพิจารณาบนแกน เฮ้ยและ ออนซ์.

สะดวกในการใช้สมการของระนาบในส่วนต่างๆ เพื่อสร้างระนาบ

ในบทความนี้ เราจะกล่าวถึงรายละเอียดเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัว เราจะให้คำจำกัดความที่จำเป็น เขียนสูตรสำหรับค้นหาพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ แสดงรายการและปรับคุณสมบัติของมัน หลังจากนี้ เราจะเน้นไปที่ความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว และพิจารณาวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างทั่วไปต่างๆ

การนำทางหน้า

คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม

ก่อนที่จะกำหนดผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ มาทำความเข้าใจการวางแนวของเวกเตอร์สามลำดับในปริภูมิสามมิติก่อน

ลองพลอตเวกเตอร์จากจุดหนึ่งกัน ทั้งสามสามารถไปทางขวาหรือซ้ายก็ได้ ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ ลองดูจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ว่าการเปลี่ยนจากเวกเตอร์ไปเป็นช่วงที่สั้นที่สุดเป็นอย่างไร ถ้าการหมุนที่สั้นที่สุดเกิดขึ้นทวนเข็มนาฬิกา ก็จะเรียกเวกเตอร์ทั้งสามตัว ขวา, มิฉะนั้น - ซ้าย.

ทีนี้ลองหาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัวและ ให้เราพล็อตเวกเตอร์และจากจุด A ลองสร้างเวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้ง และ และ แน่นอนว่า เมื่อสร้างเวกเตอร์ เราสามารถทำได้สองสิ่ง โดยกำหนดให้เป็นทิศทางเดียวหรือตรงกันข้าม (ดูภาพประกอบ)

ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ ทริปเปิลลำดับของเวกเตอร์สามารถเป็นแบบทางขวาหรือทางซ้ายก็ได้

นี่ทำให้เราเข้าใกล้คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มากขึ้น กำหนดไว้สำหรับเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ

คำนิยาม.

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวและ ที่ระบุในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ เรียกว่าเวกเตอร์ในลักษณะนั้น

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ และแสดงเป็น

พิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ตอนนี้เราจะให้คำจำกัดความที่สองของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ซึ่งช่วยให้คุณสามารถค้นหาพิกัดของมันจากพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดและ

คำนิยาม.

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว และ คือเวกเตอร์ โดยที่เวกเตอร์พิกัดอยู่ที่ไหน

คำจำกัดความนี้ให้ผลคูณไขว้ในรูปแบบพิกัด

เป็นการสะดวกที่จะแสดงผลคูณเวกเตอร์เป็นตัวดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสอันดับสาม แถวแรกคือเวกเตอร์ แถวที่สองประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ และแถวที่สามประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ในตำแหน่งที่กำหนด ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม:

หากเราขยายดีเทอร์มิแนนต์นี้เป็นองค์ประกอบของแถวแรก เราจะได้ค่าความเท่าเทียมกันจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในพิกัด (หากจำเป็น โปรดดูบทความ):

ควรสังเกตว่ารูปแบบพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์นั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ในย่อหน้าแรกของบทความนี้อย่างสมบูรณ์ นอกจากนี้ คำจำกัดความทั้งสองนี้ของผลิตภัณฑ์ข้ามก็เทียบเท่ากัน คุณสามารถดูข้อพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ได้ในหนังสือที่แสดงอยู่ท้ายบทความ

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

เนื่องจากผลคูณเวกเตอร์ในพิกัดสามารถแสดงเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ได้ จึงสามารถให้เหตุผลต่อไปนี้บนพื้นฐานได้อย่างง่ายดาย คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ครอส:

ตัวอย่างเช่น ขอให้เราพิสูจน์คุณสมบัติต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ตามคำนิยาม และ - เรารู้ว่าค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะกลับกันหากมีการสลับสองแถว ดังนั้น ซึ่งพิสูจน์คุณสมบัติต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ - ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

ปัญหาส่วนใหญ่มีสามประเภท

ในโจทย์ประเภทแรก จะต้องระบุความยาวของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น และคุณจำเป็นต้องค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ ในกรณีนี้จะใช้สูตร .

ตัวอย่าง.

ค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ และ หากทราบ .

สารละลาย.

เรารู้จากคำจำกัดความว่าความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ และ เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และด้วยไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ดังนั้น .

คำตอบ:

.

ปัญหาประเภทที่สองเกี่ยวข้องกับพิกัดของเวกเตอร์ โดยค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ ความยาวหรือสิ่งอื่นใดผ่านพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนด และ .

มีตัวเลือกต่างๆ มากมายที่เป็นไปได้ที่นี่ ตัวอย่างเช่น ไม่ใช่พิกัดของเวกเตอร์และสามารถระบุได้ แต่สามารถขยายเป็นเวกเตอร์พิกัดของแบบฟอร์มได้ และ หรือเวกเตอร์ และสามารถระบุได้ด้วยพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

ลองดูตัวอย่างทั่วไป

ตัวอย่าง.

เวกเตอร์สองตัวจะได้รับในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม - ค้นหาผลิตภัณฑ์ข้ามของพวกเขา

สารละลาย.

ตามคำจำกัดความที่สอง ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวในพิกัดจะถูกเขียนเป็น:

เราคงจะได้ผลลัพธ์เดียวกันนี้ถ้าผลคูณเวกเตอร์ถูกเขียนในรูปของดีเทอร์มิแนนต์

คำตอบ:

.

ตัวอย่าง.

ค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ และ โดยที่ เวกเตอร์หน่วยของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมอยู่ที่ไหน

สารละลาย.

อันดับแรก เราจะหาพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด

เนื่องจากเวกเตอร์และมีพิกัดและตามลำดับ (หากจำเป็นดูพิกัดบทความของเวกเตอร์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม) จากนั้นตามคำจำกัดความที่สองของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่เรามี

นั่นคือผลคูณเวกเตอร์ มีพิกัดในระบบพิกัดที่กำหนด

เราค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์เป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัดของมัน (เราได้รับสูตรนี้สำหรับความยาวของเวกเตอร์ในส่วนการค้นหาความยาวของเวกเตอร์):

คำตอบ:

.

ตัวอย่าง.

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม พิกัดสามจุดจะได้รับ ค้นหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากและในเวลาเดียวกัน

สารละลาย.

เวกเตอร์และมีพิกัดและตามลำดับ (ดูบทความการหาพิกัดของเวกเตอร์ผ่านพิกัดของจุด) หากเราพบผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ และ ตามนิยามแล้ว มันคือเวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้ง ถึง และ ถึง นั่นคือ มันเป็นวิธีแก้ปัญหาของเรา มาหาเขากันเถอะ

คำตอบ:

- หนึ่งในเวกเตอร์ตั้งฉาก

ในปัญหาประเภทที่สามจะมีการทดสอบทักษะในการใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ หลังจากใช้คุณสมบัติแล้ว จะใช้สูตรที่เกี่ยวข้องกัน

ตัวอย่าง.

เวกเตอร์ และ ตั้งฉากกัน และมีความยาวเท่ากับ 3 และ 4 ตามลำดับ หาความยาวของผลคูณกากบาท .

สารละลาย.

ด้วยคุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราสามารถเขียนได้

เนื่องจากคุณสมบัติเชิงผสม เราจึงนำค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขออกจากเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในนิพจน์สุดท้าย:

ผลคูณเวกเตอร์และมีค่าเท่ากับศูนย์เนื่องจาก และ , แล้ว .

เนื่องจากผลคูณเวกเตอร์เป็นแบบต้านการสับเปลี่ยน ดังนั้น

ดังนั้น เมื่อใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ เราจึงได้ความเท่าเทียมกัน .

ตามเงื่อนไข เวกเตอร์ และ ตั้งฉาก นั่นคือ มุมระหว่างพวกมันเท่ากับ . นั่นคือเรามีข้อมูลทั้งหมดเพื่อค้นหาความยาวที่ต้องการ

คำตอบ:

.

ความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ตามคำนิยาม ความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์คือ - และจากหลักสูตรเรขาคณิตระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย เรารู้ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยมและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ดังนั้นความยาวของผลคูณเวกเตอร์จึงเท่ากับสองเท่าของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นเวกเตอร์ และ หากพวกมันถูกพล็อตจากจุดหนึ่ง กล่าวอีกนัยหนึ่งความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ และ เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านข้าง และ และมุมระหว่างพวกมันเท่ากับ . นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

7.1. คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม

เวกเตอร์ a, b และ c ที่ไม่ใช่ระนาบระนาบสามตัว ถ่ายตามลำดับที่ระบุ สร้างแฝดสามทางขวา ถ้าจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สาม c เห็นการหมุนที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์แรก a ถึงเวกเตอร์ b ที่สอง ทวนเข็มนาฬิกา และแฝดซ้ายถ้าตามเข็มนาฬิกา (ดูรูปที่ 16)

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a และเวกเตอร์ b เรียกว่าเวกเตอร์ c ซึ่ง:

1. ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b เช่น c ^ a และ c ^ ข ;

2. มีความยาวเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ a และขเช่นเดียวกับด้านข้าง (ดูรูปที่ 17) เช่น

3. เวกเตอร์ a, b และ c ประกอบเป็นรูปสามเท่าของมือขวา

ผลคูณกากบาทแสดงเป็น x b หรือ [a,b] ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างเวกเตอร์หน่วยที่ฉันติดตามโดยตรงจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เจ และ(ดูรูปที่ 18):

ฉัน x เจ = k, เจ x k = ฉัน, k x i = เจ
ให้เราพิสูจน์เป็นตัวอย่างว่าฉัน xj = k

1) k ^ ฉัน, k ^ เจ ;

2) |k |=1 แต่ | ฉัน x เจ- = |ฉัน |

|เจ | บาป(90°)=1; และ 3) เวกเตอร์ ผม, เจ และ

สร้างสามด้านขวา (ดูรูปที่ 16)

7.2.

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ข้าม 1. เมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย เช่น = -(และ xb =(b xa) (ดูรูปที่ 19)).

เวกเตอร์ a xb และ b xa เป็นเส้นตรง มีโมดูลเดียวกัน (พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานยังคงไม่เปลี่ยนแปลง) แต่มีทิศทางตรงกันข้าม (สามเท่า a, b, xb และ a, b, b x a ในทิศทางตรงกันข้าม) ดังนั้น

เอ๊กซ์บี ขxa 2. ผลคูณเวกเตอร์มีคุณสมบัติการรวมโดยคำนึงถึงปัจจัยสเกลาร์ เช่น l (a xb) = (l a) x b = a x (l b) ขให้ l >0 เวกเตอร์ l (a xb) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b เวกเตอร์ ( ขล ขxaขวาน ขxaยังตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ ขxa 2. ผลคูณเวกเตอร์มีคุณสมบัติการรวมโดยคำนึงถึงปัจจัยสเกลาร์ เช่น l (a xb) = (l a) x b = a x (l b) ข(เวกเตอร์ ก,

แต่นอนอยู่ในระนาบเดียวกัน) นี่หมายความว่าเวกเตอร์ ขxa(กxb) และ ( ขxaคอลลิเนียร์ เห็นได้ชัดว่าทิศทางของพวกเขาตรงกัน มีความยาวเท่ากัน: ขxa<0.

นั่นเป็นเหตุผล ข(กxb)=<=>เอ็กซ์บี ก็ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกันสำหรับ

3. เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองตัว a และ

เป็นเส้นตรงก็ต่อเมื่อผลคูณเวกเตอร์ของพวกมันเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ นั่นคือ a ||b

(และ xb = 0โดยเฉพาะอย่างยิ่ง i *i =j *j =k *k =0 ข 4. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มีคุณสมบัติการกระจาย:

ก+ข)

xc = ก xc +

xs ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างเวกเตอร์หน่วยที่ฉันติดตามโดยตรงจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เราจะยอมรับโดยไม่มีข้อพิสูจน์

7.3. การแสดงผลคูณไขว้ในแง่ของพิกัด

เราจะใช้ตารางผลคูณของเวกเตอร์ i ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างเวกเตอร์หน่วยที่ฉันติดตามโดยตรงจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์และเค: และถ้าทิศทางของเส้นทางที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์แรกไปวินาทีตรงกับทิศทางของลูกศร ผลคูณจะเท่ากับเวกเตอร์ที่สาม หากไม่ตรงกัน เวกเตอร์ที่สามจะถูกใช้เครื่องหมายลบ ให้เวกเตอร์สองตัว a =a x i +a y ได้รับ+ก ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างเวกเตอร์หน่วยที่ฉันติดตามโดยตรงจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์และ ข = ข x และฉัน

+บี

+บีซ

- ลองหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์เหล่านี้โดยการคูณมันเป็นพหุนาม (ตามคุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์):

สูตรผลลัพธ์สามารถเขียนได้สั้นยิ่งขึ้น:

เนื่องจากด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (7.1) สอดคล้องกับการขยายตัวของปัจจัยลำดับที่สามในแง่ขององค์ประกอบของแถวแรก ความเท่าเทียมกัน (7.2) นั้นง่ายต่อการจดจำ

7.4. การใช้งานบางส่วนของผลิตภัณฑ์ข้าม การสร้างความสัมพันธ์เชิงเส้นของเวกเตอร์การหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานและสามเหลี่ยม ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ก

และข

|a xb | - |a | * |b |sin g เช่น S คู่ = |a x b | ดังนั้น D S =1/2|a x b |การหาโมเมนต์แรงรอบจุดหนึ่ง ให้ออกแรงที่จุด A- บางจุดในอวกาศ (ดูรูปที่ 20)

เป็นที่ทราบกันดีจากฟิสิกส์ว่า ช่วงเวลาแห่งพลัง เอฟ สัมพันธ์กับประเด็น ให้ออกแรงที่จุด Aเรียกว่าเวกเตอร์ เอ็มซึ่งผ่านจุดนั้นไป ให้ออกแรงที่จุด Aและ:

1) ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ โอ้, ก, บี;

2) ตัวเลขเท่ากับผลคูณของแรงต่อแขน

3) สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้านขวาด้วยเวกเตอร์ OA และ A B

ดังนั้น M = OA x F

การหาความเร็วการหมุนเชิงเส้น

ความเร็ว โวลต์จุด M ของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม วรอบแกนคงที่ จะถูกกำหนดโดยสูตรของออยเลอร์ v =w xr โดยที่ r =OM โดยที่ O คือจุดคงที่ของแกน (ดูรูปที่ 21)

ก่อนที่จะให้แนวคิดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ ให้เราหันมาที่คำถามเกี่ยวกับการวางแนวของเวกเตอร์ลำดับสามของ a →, b →, c → ในปริภูมิสามมิติ

ขั้นแรก ให้แยกเวกเตอร์ a → , b → , c → ออกจากจุดหนึ่ง การวางแนวของสาม a → , b → , c → สามารถเป็นได้ทั้งทางขวาหรือซ้าย ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ c → นั่นเอง ประเภทของทริปเปิ้ล a → , b → , c → จะถูกกำหนดจากทิศทางที่เวกเตอร์ a → ถึง b → จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ c → หมุนที่สั้นที่สุด

หากการหมุนทวนเข็มนาฬิกาสั้นที่สุดจะเรียกว่าสามเวกเตอร์ a → , b → , c → ขวาถ้าตามเข็มนาฬิกา – ซ้าย.

จากนั้น หาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัว a → และ b → จากนั้นให้เราพลอตเวกเตอร์ A B → = a → และ AC → = b → จากจุด A เรามาสร้างเวกเตอร์ A D → = c → ซึ่งตั้งฉากกับทั้ง A B → และ A C → พร้อมกัน ดังนั้น เมื่อสร้างเวกเตอร์ด้วยตัว A D → = c → เราสามารถทำได้สองวิธี โดยกำหนดให้เป็นทิศทางเดียวหรือตรงกันข้าม (ดูภาพประกอบ)

ตามที่เราพบ เวกเตอร์สามเท่าของลำดับ a → , b → , c → สามารถเป็นได้ทั้งทางขวาหรือทางซ้าย ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์

จากที่กล่าวมาข้างต้น เราสามารถแนะนำคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้ คำจำกัดความนี้ให้ไว้สำหรับเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ

คำจำกัดความ 1

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว a → และ b → เราจะเรียกเวกเตอร์ดังกล่าวซึ่งกำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติดังนี้:

• ถ้าเวกเตอร์ a → และ b → เป็นเส้นตรง มันจะเป็นศูนย์
• มันจะตั้งฉากกับทั้งเวกเตอร์ a → ​​​​ และเวกเตอร์ b → นั่นคือ ∠ ก → ค → = ∠ ข → ค → = π 2 ;
• ความยาวถูกกำหนดโดยสูตร: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• เวกเตอร์สามเท่า a → , b → , c → มีทิศทางเดียวกับระบบพิกัดที่กำหนด

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → และ b → มีเครื่องหมายดังนี้: a → × b →

พิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

เนื่องจากเวกเตอร์ใดๆ มีพิกัดที่แน่นอนในระบบพิกัด เราจึงสามารถแนะนำคำจำกัดความที่สองของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้ ซึ่งจะช่วยให้เราค้นหาพิกัดของมันโดยใช้พิกัดที่กำหนดของเวกเตอร์ได้

คำจำกัดความ 2

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว a → = (a x ; a y ; a z) และ b → = (b x ; b y ; b z) เรียกว่าเวกเตอร์ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → โดยที่ i → , j → , k → เป็นเวกเตอร์พิกัด

ผลคูณเวกเตอร์สามารถแสดงเป็นตัวดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสอันดับสาม โดยที่แถวแรกประกอบด้วยเวกเตอร์เวกเตอร์ i → , j → , k → แถวที่สองประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ a → และแถวที่สาม มีพิกัดของเวกเตอร์ b → ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด นี่คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มีลักษณะดังนี้: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

เมื่อขยายดีเทอร์มิแนนต์นี้เข้าไปในองค์ประกอบของแถวแรก เราจะได้ความเท่าเทียมกัน: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (มี b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ข้าม

เป็นที่ทราบกันดีว่าผลคูณเวกเตอร์ในพิกัดนั้นแสดงเป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z จากนั้นบนพื้นฐาน คุณสมบัติของตัวกำหนดเมทริกซ์ต่อไปนี้จะปรากฏขึ้น คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

1. การต่อต้านการกลายพันธุ์ a → × b → = - b → × a → ;
2. การกระจายตัว a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → หรือ a → × b (1) → + b (2) → = a → × ข (1) → + ก → × ข (2) → ;
3. การเชื่อมโยง แล a → × b → = แลม → × b → หรือ a → × (แลม b →) = แลม → × b → โดยที่ แล คือจำนวนจริงใดๆ

คุณสมบัติเหล่านี้มีการพิสูจน์ง่ายๆ

ตามตัวอย่าง เราสามารถพิสูจน์คุณสมบัติต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้

หลักฐานการต่อต้านการเปลี่ยนแปลง

ตามคำนิยาม a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z และ b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z และถ้ามีการสลับเมทริกซ์สองแถว ค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ควรเปลี่ยนไปตรงกันข้าม ดังนั้น a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → ซึ่งและพิสูจน์ว่าผลคูณเวกเตอร์เป็นแบบต้านการเปลี่ยนแปลง

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ - ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

ในกรณีส่วนใหญ่ จะมีปัญหาสามประเภท

ในโจทย์ประเภทแรก มักจะให้ความยาวของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น และคุณจำเป็นต้องค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ ในกรณีนี้ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้ c → = a → · b → · sin ∠ a → , b →

ตัวอย่างที่ 1

จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → และ b → ถ้าคุณรู้ a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4

สารละลาย

โดยการหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → และ b → เราจะแก้ปัญหานี้: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

คำตอบ: 15 2 2 .

ปัญหาประเภทที่สองมีความเกี่ยวข้องกับพิกัดของเวกเตอร์ โดยในนั้นคือผลคูณเวกเตอร์ ความยาวของมัน ฯลฯ ถูกค้นหาผ่านพิกัดที่ทราบของเวกเตอร์ที่กำหนด ก → = (ก x; ก ย; ก z) และ ข → = (ข x ; โดย ; ข z) .

สำหรับปัญหาประเภทนี้ คุณสามารถแก้ไขตัวเลือกงานได้มากมาย ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถระบุพิกัดของเวกเตอร์ a → และ b → ได้ แต่จะขยายเป็นเวกเตอร์พิกัดของแบบฟอร์มไม่ได้ b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → และ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → หรือเวกเตอร์ a → และ b → สามารถระบุได้ด้วยพิกัดจุดเริ่มต้น และจุดสิ้นสุด

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ให้เวกเตอร์สองตัว: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1) ค้นหาผลิตภัณฑ์ข้ามของพวกเขา

สารละลาย

ตามคำจำกัดความที่สอง เราจะพบผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวในพิกัดที่กำหนด: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · by - ay · bx) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

หากเราเขียนผลคูณเวกเตอร์ผ่านดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ แล้วคำตอบของตัวอย่างนี้จะเป็นแบบนี้: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 ผม → - 2 เจ → - 2 k → .

คำตอบ: ก → × b → = - 2 ผม → - 2 เจ → - 2 k → .

ตัวอย่างที่ 3

จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ i → - j → และ i → + j → + k → โดยที่ i →, j →, k → เป็นเวกเตอร์หน่วยของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม

สารละลาย

ก่อนอื่น เรามาค้นหาพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่กำหนด i → - j → × i → + j → + k → ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด

เป็นที่ทราบกันว่าเวกเตอร์ i → - j → และ i → + j → + k → มีพิกัด (1; - 1; 0) และ (1; 1; 1) ตามลำดับ ลองหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ จากนั้นเราจะได้ i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - เจ → + 2 k → .

ดังนั้น ผลคูณเวกเตอร์ i → - j → × i → + j → + k → มีพิกัด (- 1 ; - 1 ; 2) ในระบบพิกัดที่กำหนด

เราค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์โดยใช้สูตร (ดูหัวข้อการหาความยาวของเวกเตอร์): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

คำตอบ: ผม → - เจ → × ผม → + เจ → + k → = 6 . -

ตัวอย่างที่ 4

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม พิกัดสามจุด A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) จะได้รับ จงหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ A B → และ A C → ในเวลาเดียวกัน

สารละลาย

เวกเตอร์ A B → และ AC → มีพิกัดต่อไปนี้ (- 1 ; 2 ; 2) และ (0 ; 4 ; 1) ตามลำดับ เมื่อพบผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ A B → และ A C → เห็นได้ชัดว่ามันเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากตามคำจำกัดความของทั้ง A B → และ A C → นั่นคือมันเป็นวิธีแก้ปัญหาของเรา ลองหามันมา A B → × AC → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

คำตอบ: - 6 ผม → + เจ → - 4 k → . - หนึ่งในเวกเตอร์ตั้งฉาก

ปัญหาประเภทที่สามจะเน้นไปที่การใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ หลังจากสมัครแล้วเราจะได้แนวทางแก้ไขปัญหาที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 5

เวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉากกัน และมีความยาวเท่ากับ 3 และ 4 ตามลำดับ จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · ก → × - 2 · ข → + - ข → × ก → + - ข → × - 2 · ข → .

สารละลาย

ด้วยคุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราสามารถเขียนได้ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 ก → × ก → + 3 ก → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

ด้วยคุณสมบัติของการเชื่อมโยงเราจะนำค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขออกจากเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในนิพจน์สุดท้าย: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - ข → × - 2 · ข → = = 3 · ก → × ก → + 3 · (- 2) · ก → × ข → + (- 1) · ข → × ก → + (- 1) · (- 2) · ข → × ข → = = 3 ก → × ก → - 6 ก → × ข → - ข → × ก → + 2 ข → × ข →

ผลคูณเวกเตอร์ a → × a → และ b → × b → เท่ากับ 0 เนื่องจาก a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 และ b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0 จากนั้น 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → -

จากการต้านคอมมิวทิวิตี้ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ดังนี้ - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × ข → . -

เมื่อใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ เราจะได้ความเท่าเทียมกัน 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

ตามเงื่อนไข เวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉากกัน นั่นคือมุมระหว่างพวกมันเท่ากับ π 2 ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่ค่าที่พบเป็นสูตรที่เหมาะสม: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · บาป (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · บาป π 2 = 60 .

คำตอบ: 3 ก → - ข → × ก → - 2 ข → = 60

ความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ตามคำจำกัดความ เท่ากับ a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → เนื่องจากเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว (จากหลักสูตรของโรงเรียน) ว่าพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของทั้งสองด้านคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านี้ ดังนั้นความยาวของผลคูณเวกเตอร์จึงเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน - สามเหลี่ยมสองเท่าคือผลคูณของด้านข้างในรูปแบบของเวกเตอร์ a → และ b → วางลงจากจุดหนึ่งโดยไซน์ของ มุมระหว่างพวกเขา บาป ∠ a →, b →

นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ในกลศาสตร์ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของฟิสิกส์ ต้องขอบคุณผลคูณเวกเตอร์ คุณสามารถกำหนดโมเมนต์ของแรงสัมพันธ์กับจุดในอวกาศได้

คำจำกัดความ 3

เมื่อถึงโมเมนต์ของแรง F → ที่ใช้กับจุด B สัมพันธ์กับจุด A เราจะเข้าใจผลคูณเวกเตอร์ต่อไปนี้ A B → × F →

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter