คำตอบแบบกราฟิกของอสมการ ระบบเซตของอสมการที่มีตัวแปรสองตัว การแก้สมการ อสมการ ระบบโดยใช้กราฟฟังก์ชัน

ประเภทบทเรียน:

ประเภทบทเรียน:การบรรยายบทเรียนการแก้ปัญหา

ระยะเวลา: 2 ชั่วโมง.

เป้าหมาย:1)เรียนรู้วิธีการแบบกราฟิก

2) แสดงการใช้โปรแกรม Maple ในการแก้ระบบอสมการโดยใช้วิธีกราฟิก

3) พัฒนาการรับรู้และการคิดในหัวข้อนี้

แผนการสอน:

ความคืบหน้าของบทเรียน

ขั้นที่ 1: วิธีการแบบกราฟิกประกอบด้วยการสร้างชุดวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สำหรับ PLP และการค้นหาในขั้นตอนนี้จะเป็นการกำหนดจุดที่สอดคล้องกับฟังก์ชันวัตถุประสงค์สูงสุด/ต่ำสุด

เนื่องจากความเป็นไปได้ที่จำกัดในการแสดงภาพกราฟิก วิธีนี้จึงใช้เฉพาะกับระบบที่มีความไม่เท่ากันเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าสองตัว และระบบที่สามารถลดให้อยู่ในรูปแบบนี้ได้

เพื่อแสดงให้เห็นวิธีการแบบกราฟิกอย่างชัดเจน เรามาแก้ไขปัญหาต่อไปนี้กัน:

1. ในขั้นแรก จำเป็นต้องสร้างขอบเขตของแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้ สำหรับตัวอย่างนี้จะสะดวกที่สุดในการเลือก X2 เป็น abscissa และ X1 เป็นลำดับ และเขียนอสมการในรูปแบบต่อไปนี้:

เนื่องจากทั้งกราฟและพื้นที่การแก้ปัญหาเป็นไปได้อยู่ในช่วงไตรมาสแรก เพื่อที่จะหาจุดขอบเขต เราจะแก้สมการ (1)=(2), (1)=(3) และ (2)=(3)

ดังที่เห็นได้จากภาพประกอบ รูปทรงหลายเหลี่ยม ABCDE ก่อให้เกิดขอบเขตของคำตอบที่เป็นไปได้

หากขอบเขตของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ไม่ปิด ดังนั้นจะเป็นค่า max(f)=+ ? หรือ min(f)= -?

2. ตอนนี้เราสามารถดำเนินการค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน f ได้โดยตรงแล้ว

ด้วยการสลับพิกัดของจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมไปเป็นฟังก์ชัน f แล้วเปรียบเทียบค่า เราจะพบว่า f(C)=f(4;1)=19 คือค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

แนวทางนี้ค่อนข้างมีประโยชน์เมื่อมีจุดยอดจำนวนน้อย แต่ขั้นตอนนี้อาจใช้เวลานานหากมีจุดยอดค่อนข้างมาก

ในกรณีนี้ จะสะดวกกว่าหากพิจารณาเส้นระดับในรูปแบบ f=a ด้วยการเพิ่มจำนวนซ้ำซากจำเจจาก -? ถึง +? เส้นตรง f=a ถูกเลื่อนไปตามเวกเตอร์ปกติ เวกเตอร์ปกติมีพิกัด (C1;C2) โดยที่ C1 และ C2 เป็นสัมประสิทธิ์สำหรับค่าที่ไม่รู้จักในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ f=C1?X1+C2?X2+C0.. ด้วยการเคลื่อนที่ของเส้นระดับ มีจุดหนึ่ง X เป็นจุดร่วมจุดแรกของโดเมนของคำตอบที่เป็นไปได้ (รูปทรงหลายเหลี่ยม ABCDE) และเส้นระดับ จากนั้น f(X) คือค่าต่ำสุดของ f บนเซต ABCDE ถ้า X เป็นจุดตัดสุดท้ายของเส้นระดับกับเซต ABCDE แล้ว f(X) คือค่าสูงสุดบนเซตของคำตอบที่เป็นไปได้ ถ้าเป็น>-? เส้นตรง f=a ตัดกับเซตของคำตอบที่เป็นไปได้ จากนั้น min(f)= -? หากสิ่งนี้เกิดขึ้นสำหรับ a>+? ดังนั้น max(f)=+?

ในตัวอย่างของเรา เส้นตรง f=a ตัดกับขอบเขต ABCDE ที่จุด C(4;1) เนื่องจากนี่คือจุดตัดสุดท้าย สูงสุด(f)=f(C)=f(4;1)=19

แก้ระบบอสมการแบบกราฟิก ค้นหาวิธีแก้ปัญหามุม

x1>= 0, x2>=0

> ด้วย(แปลง);

> ด้วย (เครื่องมือพล็อต);

> S1:=แก้ปัญหา((f1x = X6, f2x = X6), );

คำตอบ: ทุกจุด Si โดยที่ i=1..10 โดยที่ x และ y เป็นบวก

พื้นที่ที่ถูกจำกัดด้วยจุดเหล่านี้: (54/11.2/11) (5/7.60/7) (0.5) (10/3, 10/3)

ด่าน 3 นักเรียนแต่ละคนจะได้รับหนึ่งใน 20 ตัวเลือก โดยให้นักเรียนแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้วิธีการแบบกราฟิกอย่างอิสระ และตัวอย่างที่เหลือจะให้เป็นการบ้าน

บทที่ 4 วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

ประเภทบทเรียน:บทเรียนการเรียนรู้เนื้อหาใหม่

ประเภทบทเรียน:การบรรยาย+บทเรียนการแก้ปัญหา

ระยะเวลา: 2 ชั่วโมง.

เป้าหมาย: 1) ศึกษาวิธีแก้ปัญหาเชิงกราฟิกของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

2) เรียนรู้การใช้โปรแกรม Maple เมื่อแก้ไขปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

2) พัฒนาการรับรู้และการคิด

แผนการสอน:ขั้นที่ 1: การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

ขั้นที่ 2: ทำงานกับวัสดุใหม่ในแพ็คเกจทางคณิตศาสตร์ของ Maple

ขั้นตอนที่ 3: ตรวจสอบเนื้อหาที่เรียนและการบ้าน

ความคืบหน้าของบทเรียน

วิธีการแบบกราฟิกค่อนข้างง่ายและใช้งานง่ายสำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว มันขึ้นอยู่กับ เรขาคณิตการนำเสนอแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้และ TFs ของปัญหา

ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละประการของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น (1.2) กำหนดครึ่งระนาบที่แน่นอนบนระนาบพิกัด (รูปที่ 2.1) และระบบความไม่เท่าเทียมกันโดยรวมจะกำหนดจุดตัดของระนาบที่สอดคล้องกัน เซตของจุดตัดกันของระนาบครึ่งระนาบเหล่านี้เรียกว่า พื้นที่ของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้(โอดีอาร์) ODR เป็นตัวแทนเสมอ นูนรูปเช่น มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: หากจุด A และ B สองจุดอยู่ในรูปนี้แสดงว่าส่วน AB ทั้งหมดเป็นของมัน ODR สามารถแสดงเป็นกราฟิกด้วยรูปหลายเหลี่ยมนูน พื้นที่โพลิกอนนูนไม่จำกัด ส่วน รังสี หรือจุดเดียว หากระบบข้อจำกัดในปัญหา (1.2) ไม่สอดคล้องกัน ODS จะเป็นเซตว่าง

ทั้งหมดข้างต้นยังใช้กับกรณีที่ระบบข้อจำกัด (1.2) มีความเท่าเทียมกัน เนื่องจากความเท่าเทียมกันใดๆ

สามารถแสดงเป็นระบบของความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองได้ (ดูรูปที่ 2.1)

ตัวกรองดิจิทัลที่มีค่าคงที่จะกำหนดเส้นตรงบนระนาบ โดยการเปลี่ยนค่าของ L เราจะได้ตระกูลเส้นคู่ขนานที่เรียกว่า เส้นระดับ.

นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าการเปลี่ยนแปลงค่า L จะนำมาซึ่งการเปลี่ยนแปลงเฉพาะในความยาวของส่วนที่ถูกตัดออกโดยเส้นระดับบนแกน (กำหนดเริ่มต้น) และค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงจะยังคงที่ (ดู มะเดื่อ 2.1) ดังนั้นเพื่อแก้ปัญหามันจะเพียงพอที่จะสร้างเส้นระดับหนึ่งเส้นโดยเลือกค่าของ L โดยพลการ

เวกเตอร์ที่มีพิกัดจากค่าสัมประสิทธิ์ CF ที่ และ ตั้งฉากกับเส้นระดับแต่ละเส้น (ดูรูปที่ 2.1) ทิศทางของเวกเตอร์เกิดขึ้นพร้อมกับทิศทาง เพิ่มขึ้น TF ซึ่งเป็นจุดสำคัญในการแก้ปัญหา ทิศทาง จากมากไปน้อย CF อยู่ตรงข้ามกับทิศทางของเวกเตอร์

สาระสำคัญของวิธีกราฟิกมีดังนี้ ในทิศทาง (ตรงข้าม) ของเวกเตอร์ใน ODR จุดที่เหมาะสมที่สุดจะถูกค้นหา จุดที่เหมาะสมที่สุดคือจุดที่เส้นระดับผ่าน ซึ่งสอดคล้องกับค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชัน วิธีแก้ไขที่ดีที่สุดจะอยู่ที่ขอบเขตของ ODD เสมอ เช่น ที่จุดยอดสุดท้ายของรูปหลายเหลี่ยม ODD ที่เส้นเป้าหมายจะผ่านไป หรือที่ด้านข้างทั้งหมด

เมื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น สถานการณ์ต่อไปนี้เป็นไปได้: มีวิธีแก้ไขปัญหาเฉพาะตัว มีวิธีการแก้ปัญหาจำนวนอนันต์ (ทางเลือก); TF ไม่จำกัด; ขอบเขตของแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้คือจุดเดียว ปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข

รูปที่ 2.1 การตีความทางเรขาคณิตของข้อจำกัดและ CF ของปัญหา

เทคนิคการแก้ปัญหา LP โดยใช้วิธีกราฟิก

I. ในข้อจำกัดของปัญหา (1.2) ให้แทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายความเท่าเทียมกันทุกประการ และสร้างเส้นตรงที่สอดคล้องกัน

ครั้งที่สอง ค้นหาและแรเงาครึ่งระนาบที่อนุญาตโดยข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันของปัญหา (1.2) ในการดำเนินการนี้ คุณต้องแทนที่พิกัดของจุด [เช่น (0;0)] ลงในความไม่เท่าเทียมกันเฉพาะ และตรวจสอบความจริงของความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น

ถ้าความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง

ที่จำเป็นต้องแรเงาครึ่งระนาบที่มีจุดนี้

มิฉะนั้น(ความไม่เท่าเทียมกันเป็นเท็จ) เราต้องแรเงาครึ่งระนาบที่ไม่มีจุดที่กำหนด

เนื่องจาก และ ต้องไม่เป็นลบ ค่าที่อนุญาตจะอยู่เหนือแกนและทางด้านขวาของแกนเสมอ เช่น ในจตุภาคแรก

ข้อจำกัดด้านความเท่าเทียมกันอนุญาตเฉพาะจุดที่อยู่ในเส้นตรงเท่านั้น ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเน้นเส้นตรงดังกล่าวบนกราฟ

III. กำหนด ODR ให้เป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่เป็นของพื้นที่ที่ได้รับอนุญาตทั้งหมดพร้อมกัน และเลือก ในกรณีที่ไม่มี ODD ปัญหาก็ไม่มีทางแก้ไข

IV. หาก ODR ไม่ใช่เซตว่าง คุณจะต้องสร้างเส้นเป้าหมาย เช่น เส้นระดับใด ๆ (โดยที่ L เป็นตัวเลขที่กำหนดเองเช่นผลคูณและนั่นคือสะดวกสำหรับการคำนวณ) วิธีการก่อสร้างจะคล้ายกับการสร้างข้อจำกัดโดยตรง

V. สร้างเวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่จุด (0;0) และสิ้นสุดที่จุด หากเส้นเป้าหมายและเวกเตอร์ถูกสร้างขึ้นอย่างถูกต้อง ก็จะเป็นเช่นนั้น ตั้งฉาก.

วี. เมื่อค้นหา CF สูงสุด คุณจะต้องย้ายเส้นเป้าหมาย ในทิศทางเวกเตอร์เมื่อค้นหา CF ขั้นต่ำ - ต่อต้านทิศทางเวกเตอร์ จุดบนสุดของ ODR ในทิศทางการเคลื่อนที่จะเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดของ CF หากไม่มีประเด็นดังกล่าว เราก็สามารถสรุปได้ว่า TF ไม่ จำกัด ในหลาย ๆ แผนจากด้านบน (เมื่อค้นหาสูงสุด) หรือจากด้านล่าง (เมื่อค้นหาขั้นต่ำ)

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว กำหนดพิกัดของจุดสูงสุด (นาที) ของตัวกรองดิจิทัล และคำนวณค่าของตัวกรองดิจิทัล ในการคำนวณพิกัดของจุดที่เหมาะสมที่สุดจำเป็นต้องแก้ระบบสมการของเส้นตรงจุดตัดที่จุดนั้นตั้งอยู่

แก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

1. f(x)=2x1+x2 ->บวก

x1>= 0, x2>=0

> แปลง ((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2..5, b=-2..5, optionsfeasible=(สี=สีแดง),

optionsopen=(สี=สีน้ำเงิน, ความหนา=2),

optionsclosed=(สี=เขียว, ความหนา=3),

optionsexcluded=(สี=เหลือง));

> ด้วย (เริม):

> C:=( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=setup(( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

> n:=พื้นฐาน(dp);

ช จอแสดงผล(C,);

> L:=cterm(C);

ช X:=คู่(f,C,p);

ช f_max:=ย่อย(R,f);

ช R1:=ย่อเล็กสุด(f,C ,ไม่ติดลบ);

f_min:=ย่อย(R1,f);

คำตอบ: เมื่อไหร่ x 1 =5/4 x 2 =5/4 f_สูงสุด=15/4; ที่ x 1 =0 x 2 =0 f_min=0;

บทเรียนที่ 5 การแก้เกมเมทริกซ์โดยใช้วิธีการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและวิธีซิมเพล็กซ์

ประเภทบทเรียน:การควบคุมบทเรียน + บทเรียนการเรียนรู้เนื้อหาใหม่ ประเภทบทเรียน: การบรรยาย.

ระยะเวลา: 2 ชั่วโมง.

เป้าหมาย:1)ตรวจสอบและรวบรวมความรู้ของเนื้อหาที่ผ่านมาในบทเรียนก่อนหน้า

2) เรียนรู้วิธีใหม่ในการแก้ปัญหาเกมเมทริกซ์

3) พัฒนาความจำ การคิดทางคณิตศาสตร์ และความสนใจ

ขั้นที่ 1: ตรวจการบ้านของคุณว่าเป็นงานอิสระ

ขั้นที่ 2:อธิบายวิธีซิกแซกโดยย่อ

ขั้นที่ 3:รวมเนื้อหาใหม่และมอบหมายการบ้าน

ความคืบหน้าของบทเรียน

วิธีการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเป็นวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุด ซึ่งสามารถลดให้เป็นรูปแบบการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นอย่างเป็นทางการได้

ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นใดๆ สามารถลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานเพื่อลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้นให้เหลือน้อยที่สุดด้วยข้อจำกัดประเภทความเท่าเทียมกันเชิงเส้น เนื่องจากจำนวนตัวแปรในปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมากกว่าจำนวนข้อจำกัด (n > m) จึงเป็นไปได้ที่จะได้คำตอบโดยการตั้งค่าตัวแปร (n - m) ที่เรียกว่า ฟรี- ตัวแปร m ที่เหลือเรียกว่า ขั้นพื้นฐานสามารถกำหนดได้อย่างง่ายดายจากระบบข้อจำกัดความเท่าเทียมกันโดยใช้วิธีปกติของพีชคณิตเชิงเส้น หากมีวิธีแก้ปัญหาอยู่ก็จะเรียกว่า ขั้นพื้นฐาน- หากยอมรับวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานได้ก็จะเรียกว่า พื้นฐานที่อนุญาต- ในเชิงเรขาคณิต วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่เป็นไปได้นั้นสอดคล้องกับจุดยอด (จุดสูงสุด) ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ซึ่งล้อมรอบชุดของคำตอบที่เป็นไปได้ ถ้าปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมีวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด อย่างน้อยก็มีหนึ่งในนั้นที่เป็นพื้นฐาน

ข้อควรพิจารณาข้างต้นหมายความว่าเมื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น ก็เพียงพอที่จะจำกัดตัวเราเองในการแจกแจงวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่เป็นไปได้ จำนวนวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานเท่ากับจำนวนชุดค่าผสมของตัวแปร n ตัวในหน่วย m:

ค = นาที! / ไม่ใช่ม! * (น - ม)!

และสามารถมีขนาดใหญ่พอที่จะระบุได้โดยการค้นหาโดยตรงแบบเรียลไทม์ ความจริงที่ว่าไม่สามารถใช้วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานทั้งหมดได้นั้นไม่ได้เปลี่ยนสาระสำคัญของปัญหา เนื่องจากจะต้องได้รับการประเมินความสามารถในการยอมรับวิธีแก้ปัญหาขั้นพื้นฐาน

ปัญหาของการแจงนับอย่างมีเหตุผลของวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานสำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นได้รับการแก้ไขครั้งแรกโดย J. Dantzig วิธีซิมเพล็กซ์ที่เขาเสนอยังคงเป็นวิธีการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นทั่วไปที่ใช้กันมากที่สุด วิธี Simplex ใช้การค้นหาโดยตรงของโซลูชันพื้นฐานที่ยอมรับได้ตามจุดสุดยอดที่สอดคล้องกันของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนของโซลูชันที่ยอมรับได้ในรูปแบบของกระบวนการวนซ้ำซึ่งในแต่ละขั้นตอนค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะลดลงอย่างเคร่งครัด การเปลี่ยนระหว่างจุดสุดขั้วจะดำเนินการตามขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนของสารละลายที่ยอมรับได้ ตามการแปลงพีชคณิตเชิงเส้นอย่างง่ายของระบบข้อ จำกัด เนื่องจากจำนวนจุดสุดขั้วนั้นมีจำกัด และฟังก์ชันวัตถุประสงค์จึงเป็นเส้นตรง จากนั้นเมื่อค้นหาผ่านจุดสุดขั้วในทิศทางที่จะลดฟังก์ชันวัตถุประสงค์ วิธีซิมเพล็กซ์จะบรรจบกันที่ค่าต่ำสุดโดยรวมในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด

การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นที่ใช้ส่วนใหญ่ วิธีซิมเพล็กซ์ช่วยให้สามารถค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดในขั้นตอนที่ค่อนข้างน้อย เมื่อเทียบกับจำนวนจุดสุดขั้วทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ยอมรับได้ ในเวลาเดียวกัน เป็นที่ทราบกันว่าสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นบางปัญหาที่มีรูปแบบที่เลือกมาเป็นพิเศษของขอบเขตที่ยอมรับได้ การใช้วิธีซิมเพล็กซ์จะนำไปสู่การแจงนับจุดสุดยอดโดยสมบูรณ์ ข้อเท็จจริงนี้กระตุ้นการค้นหาวิธีการใหม่ที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในระดับหนึ่ง โดยอาศัยแนวคิดอื่นนอกเหนือจากวิธีแบบซิมเพล็กซ์ ซึ่งช่วยให้สามารถแก้ไขปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด ซึ่งน้อยกว่าจำนวนจุดสุดขั้วอย่างมาก .

ในบรรดาวิธีการโปรแกรมเชิงเส้นพหุนามที่ไม่แปรผันกับการกำหนดค่าช่วงของค่าที่ยอมรับได้ วิธีที่พบบ่อยที่สุดคือวิธีการของ L.G. คาชิยาน. อย่างไรก็ตาม แม้ว่าวิธีนี้จะมีการประมาณความซับซ้อนแบบพหุนามซึ่งขึ้นอยู่กับขนาดของปัญหา แต่กลับกลายเป็นว่าไม่สามารถแข่งขันได้เมื่อเปรียบเทียบกับวิธีแบบซิมเพล็กซ์ เหตุผลก็คือ การขึ้นต่อกันของจำนวนครั้งของวิธีซิมเพล็กซ์กับมิติของปัญหาจะแสดงด้วยพหุนามลำดับที่สามสำหรับปัญหาเชิงปฏิบัติส่วนใหญ่ ในขณะที่วิธีคาชียัน การพึ่งพานี้มีลำดับที่เสมอ ลำดับที่สี่น้อยที่สุด ข้อเท็จจริงนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการปฏิบัติ โดยที่ปัญหาที่ประยุกต์ซึ่งยากสำหรับวิธีซิมเพล็กซ์นั้นหายากมาก

ควรสังเกตว่าสำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นประยุกต์ที่มีความสำคัญในทางปฏิบัตินั้น วิธีการพิเศษได้รับการพัฒนาโดยคำนึงถึงลักษณะเฉพาะของข้อจำกัดของปัญหา โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับปัญหาการขนส่งที่เป็นเนื้อเดียวกันนั้นจะใช้อัลกอริธึมพิเศษสำหรับการเลือกพื้นฐานเริ่มต้นซึ่งมีชื่อเสียงที่สุดคือวิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือและวิธีการ Vogel โดยประมาณและการใช้อัลกอริธึมของวิธีซิมเพล็กซ์นั้นใกล้เคียงกับลักษณะเฉพาะของ ปัญหา เพื่อแก้ปัญหาการกำหนดเชิงเส้น (ปัญหาการเลือก) แทนที่จะใช้วิธีซิมเพล็กซ์ โดยปกติจะใช้อัลกอริธึมภาษาฮังการีอย่างใดอย่างหนึ่ง โดยอิงจากการตีความปัญหาในแง่ของทฤษฎีกราฟในฐานะปัญหาในการค้นหาการจับคู่น้ำหนักสูงสุดที่สมบูรณ์แบบในการแบ่งส่วน กราฟหรือวิธีของแม็ค

แก้เกมเมทริกซ์ 3x3

ฉ(x)=x 1 +x 2 +x 3

x1>= 0, x2>=0, x3>=0

> ด้วย (เริม):

> ค:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

ช จอแสดงผล(C,);

> เป็นไปได้ (C, ไม่ติดลบ, "NewC", "การแปลง");

> S:=คู่(f,C,p);

ช R:=ขยายใหญ่สุด(f,C ,ไม่ติดลบ);

ช f_max:=ย่อย(R,f);

ช R1:=ย่อเล็กสุด(S ,ไม่ติดลบ);

> กรัม:=p1+p2+p3;

> f_min:=ย่อย(R1,G);

มาดูราคาตัวเกมกัน

> วี:=1/f_สูงสุด;

เรามาค้นหากลยุทธ์ที่ดีที่สุดของผู้เล่นคนแรกกัน > X:=V*R1;

มาหากลยุทธ์ที่ดีที่สุดของผู้เล่นคนที่สองกันดีกว่า

คำตอบ: เมื่อ X=(3/7, 3/7,1/7) V=9/7; เมื่อ Y=(3/7.1/7.3/7) V=9/7;

นักเรียนแต่ละคนจะได้รับหนึ่งใน 20 ตัวเลือกโดยให้นักเรียนแก้เกมเมทริกซ์ 2x2 อย่างอิสระและตัวอย่างที่เหลือเป็นการบ้าน

อนุญาต ฉ(x,y)และ ก.(x, ย)- สองนิพจน์พร้อมตัวแปร เอ็กซ์และ ที่และขอบเขต เอ็กซ์- แล้วความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม ฉ(x, ย) > ก.(x, ย)หรือ ฉ(x, ย) < ก.(x, ย)เรียกว่า อสมการที่มีตัวแปรสองตัว .

ความหมายของตัวแปร เอ็กซ์, ยจากหลาย ๆ คน เอ็กซ์ซึ่งอสมการกลายเป็นอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริงเรียกว่า การตัดสินใจ และถูกกำหนดไว้ (x, ย). แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน - นี่หมายถึงการค้นหาคู่ดังกล่าวมากมาย

ถ้าแต่ละคู่มีเลข (x, ย)จากชุดการแก้ปัญหาไปจนถึงความไม่เท่าเทียมกันให้ตรงประเด็น ม(x, ย)เราได้เซตของคะแนนบนระนาบที่ระบุโดยอสมการนี้ พวกเขาเรียกเขาว่า กราฟของความไม่เท่าเทียมกันนี้ - กราฟของความไม่เท่าเทียมกันมักเป็นพื้นที่บนระนาบ

เพื่อพรรณนาชุดวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ฉ(x, ย) > ก.(x, ย)ให้ดำเนินการดังนี้ ขั้นแรก ให้แทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายเท่ากับแล้วหาเส้นตรงที่มีสมการ ฉ(x,y) = ก.(x,ย)- เส้นนี้แบ่งเครื่องบินออกเป็นหลายส่วน หลังจากนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะหยิบจุดหนึ่งในแต่ละส่วนและตรวจสอบว่าจุดนี้เป็นที่พอใจหรือไม่ ฉ(x, ย) > ก.(x, ย)- หากดำเนินการ ณ จุดนี้ ก็จะถูกดำเนินการในส่วนทั้งหมดที่จุดนี้อยู่ เมื่อรวมส่วนต่างๆ ดังกล่าวเข้าด้วยกัน ทำให้เราพบวิธีแก้ปัญหามากมาย

งาน. ย > x.

สารละลาย.ขั้นแรก เราแทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายเท่ากับ และสร้างเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่มีสมการ ย = x.

เส้นนี้แบ่งเครื่องบินออกเป็นสองส่วน หลังจากนี้ให้หยิบจุดหนึ่งในแต่ละส่วนและตรวจสอบว่าตรงจุดนี้หรือไม่ ย > x.

งาน.แก้อสมการแบบกราฟิก
เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 25 ปอนด์

ข้าว. 18.

สารละลาย.ขั้นแรก ให้แทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายเท่ากับแล้วลากเส้น เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 = 25 นี่คือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและมีรัศมี 5 วงกลมที่ได้จะแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน การตรวจสอบความพึงพอใจของความไม่เท่าเทียมกัน เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 ปอนด์ ในแต่ละส่วน เราพบว่ากราฟเป็นเซตของจุดบนวงกลมและส่วนของระนาบภายในวงกลม

ปล่อยให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันสองประการ ฉ 1(x, ย) > ก 1(x, ย)และ ฉ 2(x, ย) > ก 2(x, ย).

ระบบเซตอสมการที่มีตัวแปรสองตัว

ระบบความไม่เท่าเทียมกัน แสดงถึง ตัวคุณเอง การรวมกันของความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ โซลูชั่นระบบ คือทุกความหมาย (x, ย)ซึ่งเปลี่ยนอสมการแต่ละรายการให้เป็นอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง โซลูชั่นมากมาย ระบบ อสมการคือจุดตัดของชุดวิธีแก้ปัญหาอสมการที่สร้างระบบที่กำหนด

ชุดของความไม่เท่าเทียมกัน แสดงถึง ตัวคุณเอง การแตกแยกของสิ่งเหล่านี้ ความไม่เท่าเทียมกัน ตั้งค่าโซลูชัน คือทุกความหมาย (x, ย)ซึ่งแปลงชุดอสมการอย่างน้อยหนึ่งชุดให้เป็นอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง โซลูชั่นมากมาย จำนวนทั้งสิ้น คือการรวมกันของเซตของคำตอบสำหรับอสมการที่ก่อตัวเป็นเซต

งาน.แก้ระบบอสมการแบบกราฟิก

สารละลาย. ย = xและ เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 = 25 เราแก้อสมการของระบบแต่ละข้อ

กราฟของระบบจะเป็นเซตของจุดบนระนาบที่เป็นจุดตัดกัน (ฟักคู่) ของเซตของคำตอบของอสมการที่หนึ่งและสอง

งาน.แก้ชุดอสมการแบบกราฟิก

สารละลาย.ขั้นแรก เราแทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายเท่ากับแล้วลากเส้นในระบบพิกัดเดียวกัน ย = x+4 และ เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 = 16. แก้ความไม่เท่าเทียมกันของประชากรแต่ละอย่าง กราฟของประชากรจะเป็นเซตของจุดบนระนาบ ซึ่งเป็นการรวมกันของเซตของคำตอบของอสมการที่หนึ่งและสอง

แบบฝึกหัดสำหรับงานอิสระ

1. แก้ความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก: ก) ที่> 2x- ข) ที่< 2x + 3;

วี) x 2+ ย 2 > 9; ช) x 2+ ย 2 4 ปอนด์

2. แก้ระบบอสมการแบบกราฟิก:

ก) ข)

วิธีกราฟิกเป็นหนึ่งในวิธีหลักในการแก้อสมการกำลังสอง ในบทความเราจะนำเสนออัลกอริทึมสำหรับการใช้วิธีการแบบกราฟิก จากนั้นพิจารณากรณีพิเศษโดยใช้ตัวอย่าง

สาระสำคัญของวิธีการแบบกราฟิก

วิธีนี้ใช้ได้กับการแก้ไขอสมการใดๆ ไม่ใช่แค่สมการกำลังสองเท่านั้น สาระสำคัญของมันคือ: ด้านขวาและด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันถือเป็นสองฟังก์ชันที่แยกจากกัน y = f (x) และ y = g (x) กราฟของพวกมันถูกพล็อตในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและดูว่ากราฟใดเป็น อยู่เหนือสิ่งอื่นใดและในช่วงเวลาใด ช่วงเวลาได้รับการประเมินดังนี้:

คำจำกัดความ 1

การแก้อสมการ f (x) > g (x) คือช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชัน f สูงกว่ากราฟของฟังก์ชัน g
คำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน f (x) ≥ g (x) คือช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชัน f ไม่ต่ำกว่ากราฟของฟังก์ชัน g
วิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
การแก้อสมการ f (x) ≤ g (x) คือช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชัน f ไม่สูงกว่ากราฟของฟังก์ชัน g
พิกัดของจุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน f และ g คือคำตอบของสมการ f (x) = g (x)

ลองดูอัลกอริทึมข้างต้นโดยใช้ตัวอย่าง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้อสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) และรับฟังก์ชันสองฟังก์ชันจากฟังก์ชันนั้น ทางด้านซ้ายของอสมการจะตรงกับ y = a · x 2 + b · x + c (ในกรณีนี้ f (x) = a · x 2 + b · x + c) และด้านขวา y = 0 ( ในกรณีนี้ g (x) = 0)

กราฟของฟังก์ชันแรกคือพาราโบลา ส่วนกราฟที่สองเป็นเส้นตรงซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับแกน x Ox มาวิเคราะห์ตำแหน่งของพาราโบลาที่สัมพันธ์กับแกน O x กัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาเขียนแบบแผนกัน

กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น ตัดแกน O x ที่จุดต่างๆ x1และ x2- สัมประสิทธิ์ a ในกรณีนี้คือค่าบวก เนื่องจากเป็นตัวกำหนดทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา ค่าจำแนกประเภทเป็นค่าบวก ซึ่งบ่งชี้ว่าค่าตรีโนเมียลกำลังสองนั้นมีรากอยู่ 2 ราก ก x 2 + ข x + ค- เราแสดงว่ารากของตรีโกณมิติเป็น x1และ x2และก็เป็นที่ยอมรับกันว่า x1< x 2 เนื่องจากจุดที่มีจุดหักเหปรากฏอยู่บนแกน O x x1ทางด้านซ้ายของจุดแอบซิสซา x2.

ส่วนของพาราโบลาที่อยู่เหนือแกน O x จะแสดงด้วยสีแดง ด้านล่าง - เป็นสีน้ำเงิน สิ่งนี้จะทำให้เราวาดภาพได้ชัดเจนยิ่งขึ้น

เรามาเลือกช่องว่างที่ตรงกับส่วนต่างๆ เหล่านี้และทำเครื่องหมายในช่องสีที่ต้องการในรูปภาพ

เราทำเครื่องหมายช่วงเวลา (− ∞, x 1) และ (x 2, + ∞) ด้วยสีแดง โดยพาราโบลาอยู่เหนือแกน O x พวกมันคือ a · x 2 + b · x + c > 0 เราทำเครื่องหมายช่วงเวลาด้วยสีน้ำเงิน (x 1 , x 2) ซึ่งเป็นคำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน a · x 2 + b · x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

เรามาสรุปวิธีแก้ปัญหาโดยย่อกัน สำหรับ a > 0 และ D = b 2 − 4 a c > 0 (หรือ D " = D 4 > 0 สำหรับสัมประสิทธิ์คู่ b) เราจะได้:

วิธีแก้ของอสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c > 0 คือ (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x< x 1 , x >x2;
วิธีแก้อสมการกำลังสอง a · x 2 + b · x + c ≥ 0 คือ (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
การแก้อสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
คำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c ≤ 0 คือ [ x 1 , x 2 ] หรือในรูปแบบอื่น x 1 ≤ x ≤ x 2

โดยที่ x 1 และ x 2 คือรากของตรีโกณมิติกำลังสอง a x 2 + b x + c และ x 1< x 2 .

ในรูปนี้ พาราโบลาสัมผัสแกน O x เพียงจุดเดียว ซึ่งกำหนดให้เป็น x 0 ก > 0. ด=0ดังนั้น ตรีโกณมิติกำลังสองจึงมีรากเดียว x 0.

พาราโบลาจะอยู่เหนือแกน O x โดยสมบูรณ์ ยกเว้นจุดสัมผัสของแกนพิกัด มาระบายสีช่วงเวลากัน (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞)

มาเขียนผลลัพธ์กัน ที่ ก > 0และ ด=0:

การแก้อสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c > 0คือ (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x ≠ x 0;
การแก้อสมการกำลังสอง ก x 2 + ข x + ค ≥ 0เป็น (− ∞ , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x ∈ R;
อสมการกำลังสอง ก x 2 + ข x + ค< 0 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่มีช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน โอ้ x);
อสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c ≤ 0มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร x = x 0(ได้รับจากจุดติดต่อ)

ที่ไหน x 0- รากของกำลังสองตรีโกณมิติ ก x 2 + ข x + ค.

ลองพิจารณากรณีที่สาม เมื่อกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้นและไม่สัมผัสแกน โอ้ x- กิ่งก้านของพาราโบลาหงายขึ้น ซึ่งหมายความว่า ก > 0- ตรีโกณมิติกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริงเพราะว่า ดี< 0 .

ไม่มีช่วงใดบนกราฟที่พาราโบลาจะอยู่ต่ำกว่าแกน x เราจะคำนึงถึงสิ่งนี้เมื่อเลือกสีสำหรับรูปวาดของเรา

ปรากฎว่าเมื่อไร. ก > 0และ ดี< 0 การแก้อสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c > 0และ ก x 2 + ข x + ค ≥ 0คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดและอสมการ ก x 2 + ข x + ค< 0 และ a x 2 + b x + c ≤ 0ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

เรามีทางเลือกอีก 3 ทางให้พิจารณาเมื่อกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลง ไม่จำเป็นต้องดูรายละเอียดทั้งสามตัวเลือกนี้ เนื่องจากเมื่อเราคูณทั้งสองด้านของอสมการด้วย −1 เราจะได้อสมการที่เทียบเท่ากับสัมประสิทธิ์บวกสำหรับ x 2

การพิจารณาส่วนก่อนหน้าของบทความได้เตรียมเราให้พร้อมสำหรับการรับรู้อัลกอริธึมในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้วิธีการแบบกราฟิก ในการคำนวณ เราจำเป็นต้องใช้ภาพวาดในแต่ละครั้ง ซึ่งจะแสดงถึงเส้นพิกัด O x และพาราโบลาที่สอดคล้องกับฟังก์ชันกำลังสอง y = ก x 2 + ข x + ค- ในกรณีส่วนใหญ่ เราจะไม่แสดงภาพแกน O y เนื่องจากไม่จำเป็นสำหรับการคำนวณ และจะเป็นเพียงการโอเวอร์โหลดภาพวาดเท่านั้น

ในการสร้างพาราโบลา เราจะต้องรู้สองสิ่ง:

คำจำกัดความ 2

ทิศทางของกิ่งก้านซึ่งกำหนดโดยค่าสัมประสิทธิ์ a;
การปรากฏตัวของจุดตัดของพาราโบลาและแกน abscissa ซึ่งถูกกำหนดโดยค่าของการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสอง ก · x 2 + ข · x + ค .

เราจะแสดงจุดตัดกันและสัมผัสกันด้วยวิธีปกติเมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวดและว่างเปล่าเมื่อแก้ไขค่าที่เข้มงวด

การมีภาพวาดที่เสร็จสมบูรณ์ทำให้คุณสามารถไปยังขั้นตอนถัดไปของการแก้ปัญหาได้ โดยเกี่ยวข้องกับการกำหนดช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่เหนือหรือใต้แกน O x ช่วงเวลาและจุดตัดกันคือคำตอบของอสมการกำลังสอง หากไม่มีจุดตัดกันหรือสัมผัสกันและไม่มีช่วงเวลาใดจะถือว่าความไม่เท่าเทียมกันที่ระบุในเงื่อนไขของปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข

ทีนี้มาแก้อสมการกำลังสองหลาย ๆ ตัวโดยใช้อัลกอริธึมด้านบน

ตัวอย่างที่ 1

จำเป็นต้องแก้อสมการ 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 แบบกราฟิก

สารละลาย

ลองวาดกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 กัน ค่าสัมประสิทธิ์ที่ x2บวกเพราะมันเท่ากัน 2 - ซึ่งหมายความว่ากิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น

ขอให้เราคำนวณการแบ่งแยกของกำลังสองตรีโนเมียล 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 เพื่อดูว่าพาราโบลามีจุดร่วมกับแกนแอบซิสซาหรือไม่ เราได้รับ:

ง = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

ดังที่เราเห็น D มากกว่าศูนย์ ดังนั้นเราจึงมีจุดตัดกันสองจุด: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 และ x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2 นั่นคือ x 1 = - 3และ x 2 = 1 3.

เราแก้อสมการแบบไม่เข้มงวด ดังนั้นเราจึงใส่จุดธรรมดาบนกราฟ ลองวาดพาราโบลากัน อย่างที่คุณเห็นภาพวาดนั้นมีลักษณะเหมือนกับในเทมเพลตแรกที่เราพิจารณา

อสมการของเรามีเครื่องหมาย ≤ ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องเน้นช่วงเวลาบนกราฟที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน O x และเพิ่มจุดตัดเข้าไป

ช่วงเวลาที่เราต้องการคือ 3, 1 3 เราเพิ่มจุดตัดเข้าไปและรับส่วนตัวเลข − 3, 1 3 นี่คือวิธีแก้ไขปัญหาของเรา คำตอบสามารถเขียนเป็นอสมการสองเท่าได้: − 3 ≤ x ≤ 1 3

คำตอบ:− 3 , 1 3 หรือ − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

ตัวอย่างที่ 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 วิธีการแบบกราฟิก

สารละลาย

กำลังสองของตัวแปรมีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขเป็นลบ ดังนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ลง ลองคำนวณส่วนที่สี่ของการเลือกปฏิบัติกัน D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1- ผลลัพธ์นี้บอกเราว่าจะมีจุดตัดกันสองจุด

ลองคำนวณรากของตรีโกณมิติกำลังสอง: x 1 = - 8 + 1 - 1 และ x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 และ x 2 = 9.

ปรากฎว่าพาราโบลาตัดแกน x ที่จุดนั้น 7 และ 9 - เรามาทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนกราฟว่าว่างเปล่า เนื่องจากเรากำลังดำเนินการกับอสมการที่เข้มงวด หลังจากนั้น ให้วาดพาราโบลาที่ตัดแกน O x ที่จุดที่ทำเครื่องหมายไว้

เราจะสนใจช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน O x ลองทำเครื่องหมายช่วงเวลาเหล่านี้เป็นสีน้ำเงิน

เราได้รับคำตอบ: วิธีแก้อสมการคือช่วงเวลา (− ∞, 7) , (9, + ∞)

คำตอบ:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x< 7 , x > 9 .

ในกรณีที่ค่าการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสองเป็นศูนย์ จำเป็นต้องพิจารณาอย่างรอบคอบว่าจะรวมค่า abscissa ของจุดสัมผัสกันในคำตอบหรือไม่ เพื่อการตัดสินใจที่ถูกต้องจำเป็นต้องคำนึงถึงสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันด้วย ในอสมการเข้มงวด จุดแทนเจนต์ของแกน x ไม่ใช่วิธีแก้อสมการ แต่ในอสมการที่ไม่เข้มงวดคือคำตอบ

ตัวอย่างที่ 3

แก้อสมการกำลังสอง 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0วิธีการแบบกราฟิก

สารละลาย

กิ่งก้านของพาราโบลาในกรณีนี้จะชี้ขึ้น มันจะสัมผัสแกน Ox ที่จุด 0, 7 ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ลองพลอตฟังก์ชันกัน y = 10 x 2 − 14 x + 4.9- กิ่งก้านของมันพุ่งขึ้นเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ที่ x2เป็นบวก และสัมผัสกับแกน x ที่จุดแกน x 0 , 7 , เพราะ D " = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0จากที่ x 0 = 7 10 หรือ 0 , 7 .

ลองวางจุดแล้ววาดพาราโบลากัน

เราแก้อสมการแบบไม่เข้มงวดด้วยเครื่องหมาย ≤ เพราะฉะนั้น. เราจะสนใจช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน x และจุดสัมผัสกัน ไม่มีช่วงเวลาในรูปที่จะเป็นไปตามเงื่อนไขของเรา มีเพียงจุดติดต่อ 0, 7 นี่คือทางออกที่เรากำลังมองหา

คำตอบ:อสมการมีคำตอบเดียวคือ 0, 7

ตัวอย่างที่ 4

แก้อสมการกำลังสอง – x 2 + 8 x − 16< 0 .

สารละลาย

กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลง การเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์ จุดตัด x 0 = 4.

เราทำเครื่องหมายจุดสัมผัสบนแกน x แล้ววาดพาราโบลา

เรากำลังเผชิญกับความไม่เท่าเทียมกันอย่างรุนแรง ดังนั้นเราจึงสนใจช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน O x มาทำเครื่องหมายด้วยสีน้ำเงินกัน

จุดที่มีแอบซิสซา 4 ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา เนื่องจากพาราโบลาที่อยู่จุดนั้นไม่ได้อยู่ใต้แกน O x ดังนั้นเราจึงได้สองช่วงเวลา (− ∞ , 4) , (4 , + ∞)

คำตอบ: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x ≠ 4

ไม่เสมอไป หากค่าการแบ่งแยกเป็นลบ ความไม่เท่าเทียมกันก็จะไม่มีวิธีแก้ปัญหา มีหลายกรณีที่ผลเฉลยคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 5

แก้อสมการกำลังสอง 3 x 2 + 1 > 0 แบบกราฟิก

สารละลาย

สัมประสิทธิ์ a เป็นบวก การเลือกปฏิบัติเป็นลบ กิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น ไม่มีจุดตัดกันของพาราโบลากับแกน O x มาดูภาพวาดกัน

เราทำงานด้วยความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดซึ่งมีเครื่องหมาย > ซึ่งหมายความว่าเราสนใจช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่เหนือแกน x จะเป็นเช่นนี้ทุกประการเมื่อคำตอบคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

คำตอบ:(− ∞, + ∞) หรือประมาณนั้น x ∈ R

ตัวอย่างที่ 6

จำเป็นต้องหาทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0แบบกราฟิก

สารละลาย

กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลง การแบ่งประเภทเป็นลบ ดังนั้นจึงไม่มีจุดร่วมระหว่างพาราโบลากับแกน x มาดูภาพวาดกัน

เรากำลังดำเนินการกับอสมการแบบไม่เข้มงวดด้วยเครื่องหมาย ≥ ดังนั้นช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่เหนือแกน x จึงเป็นที่สนใจของเรา ดูจากกราฟแล้วไม่มีช่องว่างดังกล่าว ซึ่งหมายความว่าความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดในเงื่อนไขของปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข

คำตอบ:ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ระดับรายการ

การแก้สมการ อสมการ ระบบโดยใช้กราฟฟังก์ชัน คู่มือภาพ (2019)

งานหลายอย่างที่เราใช้ในการคำนวณเชิงพีชคณิตเพียงอย่างเดียวสามารถแก้ไขได้ง่ายกว่าและเร็วกว่ามาก การใช้กราฟฟังก์ชันจะช่วยเราในเรื่องนี้ คุณพูดว่า “เป็นยังไงบ้าง” วาดอะไรบางอย่างและจะวาดอะไร? เชื่อฉันเถอะว่าบางครั้งมันก็สะดวกและง่ายกว่า เรามาเริ่มต้นกันดีไหม? เริ่มจากสมการกันก่อน!

การแก้สมการเชิงกราฟิก

ผลเฉลยกราฟิกของสมการเชิงเส้น

ดังที่คุณทราบแล้วว่ากราฟของสมการเชิงเส้นเป็นเส้นตรง จึงเป็นที่มาของชื่อประเภทนี้ สมการเชิงเส้นค่อนข้างง่ายในการแก้พีชคณิต - เราถ่ายโอนสิ่งที่ไม่ทราบทั้งหมดไปยังด้านหนึ่งของสมการ ทุกสิ่งที่เรารู้ไปยังอีกด้านหนึ่ง และ voila! เราพบต้นตอแล้ว ตอนนี้ฉันจะแสดงวิธีการทำ แบบกราฟิก

ดังนั้นคุณจะได้สมการ:

จะแก้ปัญหาอย่างไร?
ตัวเลือกที่ 1และสิ่งที่พบบ่อยที่สุดคือการย้ายสิ่งที่ไม่รู้ไปด้านหนึ่งและสิ่งที่รู้ไปอีกด้านหนึ่ง เราจะได้:

ตอนนี้เรามาสร้างกัน คุณได้อะไร?

คุณคิดว่าอะไรคือรากของสมการของเรา? ถูกต้องแล้ว พิกัดของจุดตัดของกราฟคือ:

คำตอบของเราคือ

นั่นคือภูมิปัญญาทั้งหมดของโซลูชันกราฟิก อย่างที่คุณสามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ รากของสมการของเราคือตัวเลข!

อย่างที่ผมบอกไปข้างต้น นี่เป็นตัวเลือกที่พบบ่อยที่สุด ใกล้เคียงกับคำตอบพีชคณิต แต่คุณสามารถแก้มันด้วยวิธีอื่นได้ หากต้องการพิจารณาวิธีแก้อื่น ให้กลับไปที่สมการของเรา:

ครั้งนี้เราจะไม่ย้ายอะไรจากด้านหนึ่งไปอีกด้าน แต่จะสร้างกราฟโดยตรงดังที่เป็นอยู่ตอนนี้:

สร้าง? มาดูกัน!

แนวทางแก้ไขในครั้งนี้คืออะไร? ถูกต้องแล้ว สิ่งเดียวกัน - พิกัดของจุดตัดของกราฟ:

และอีกครั้งคำตอบของเราคือ

อย่างที่คุณเห็น ด้วยสมการเชิงเส้น ทุกอย่างง่ายมาก ถึงเวลาดูสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้แล้ว... ตัวอย่างเช่น คำตอบกราฟิกของสมการกำลังสอง

คำตอบกราฟิกของสมการกำลังสอง

ทีนี้มาเริ่มแก้สมการกำลังสองกันดีกว่า สมมติว่าคุณต้องค้นหารากของสมการนี้:

แน่นอน ตอนนี้คุณสามารถเริ่มนับแบบแบ่งแยกหรือตามทฤษฎีบทของ Vieta ได้แล้ว แต่หลายๆ คนกลับรู้สึกวิตกกังวลเมื่อคูณหรือยกกำลังสอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากตัวอย่างมีจำนวนจำนวนมาก และอย่างที่คุณทราบ คุณจะชนะ ไม่มีเครื่องคิดเลขในการสอบ... งั้นเราลองผ่อนคลายสักหน่อยแล้ววาดรูปไปพร้อมกับแก้สมการนี้ดู

คำตอบของสมการนี้สามารถพบได้ในรูปแบบกราฟิกในรูปแบบต่างๆ ลองดูตัวเลือกต่าง ๆ แล้วคุณสามารถเลือกอันที่คุณชอบที่สุดได้

วิธีที่ 1. โดยตรง

เราเพียงแค่สร้างพาราโบลาโดยใช้สมการนี้:

เพื่อให้ดำเนินการได้รวดเร็ว ฉันจะให้คำแนะนำเล็กๆ น้อยๆ แก่คุณ: สะดวกในการเริ่มการก่อสร้างโดยกำหนดจุดยอดของพาราโบลาสูตรต่อไปนี้จะช่วยกำหนดพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา:

คุณจะพูดว่า “หยุด! สูตรสำหรับนั้นคล้ายกันมากกับสูตรในการค้นหาตัวแบ่งแยก" ใช่แล้ว และนี่คือข้อเสียอย่างมากของการสร้างพาราโบลา "โดยตรง" เพื่อค้นหารากของมัน อย่างไรก็ตาม มานับจนจบกันดีกว่า แล้วฉันจะแสดงให้คุณเห็นว่าต้องทำอย่างไรให้ง่ายขึ้นมาก (มาก!)!

คุณนับไหม? คุณได้พิกัดอะไรสำหรับจุดยอดของพาราโบลา? ลองคิดดูด้วยกัน:

คำตอบเดียวกันเป๊ะเลยเหรอ? ทำได้ดี! และตอนนี้เรารู้พิกัดของจุดยอดแล้ว แต่เพื่อสร้างพาราโบลา เราจำเป็นต้องมี... จุดมากกว่านี้ คุณคิดว่าเราต้องการคะแนนขั้นต่ำกี่คะแนน? ขวา, .

คุณรู้ไหมว่าพาราโบลามีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดยอดของมัน ตัวอย่างเช่น

ดังนั้นเราจึงต้องการอีกสองจุดบนกิ่งซ้ายหรือขวาของพาราโบลา และในอนาคต เราจะสะท้อนจุดเหล่านี้ทางฝั่งตรงข้ามอย่างสมมาตร:

ลองกลับไปที่พาราโบลาของเราอีกครั้ง สำหรับกรณีของเราช่วงเวลา เราต้องการอีกสองแต้ม เพื่อเราจะได้แต้มบวก หรือแต้มลบ? จุดไหนสะดวกสำหรับคุณมากที่สุด? มันสะดวกกว่าสำหรับฉันที่จะทำงานกับสิ่งที่เป็นบวก ดังนั้นฉันจะคำนวณที่ และ

ตอนนี้เรามีจุดสามจุดแล้ว เราสามารถสร้างพาราโบลาได้อย่างง่ายดายโดยสะท้อนจุดสองจุดสุดท้ายที่สัมพันธ์กับจุดยอดของมัน:

คุณคิดว่าอะไรคือคำตอบของสมการ? ถูกต้องจุดที่นั่นคือและ เพราะ.

และถ้าเราพูดอย่างนั้นก็หมายความว่ามันจะต้องเท่ากันด้วยหรือ.

แค่? เราแก้สมการในรูปแบบกราฟิกที่ซับซ้อนเสร็จแล้ว ไม่เช่นนั้นจะมีมากกว่านี้!

แน่นอน คุณสามารถตรวจสอบคำตอบของเราในเชิงพีชคณิตได้ โดยคุณสามารถคำนวณรากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta หรือ Discriminant คุณได้อะไร? เหมือนกันเหรอ? คุณเห็นไหม! ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากราฟิกง่ายๆ กัน ฉันแน่ใจว่าคุณจะต้องชอบมันมาก!

วิธีที่ 2. แบ่งออกเป็นหลายฟังก์ชั่น

ลองใช้สมการเดียวกัน: แต่เราจะเขียนให้แตกต่างออกไปเล็กน้อย กล่าวคือ:

เราเขียนแบบนี้ได้ไหม? เราทำได้ เนื่องจากการแปลงเทียบเท่ากัน มาดูกันต่อ

มาสร้างสองฟังก์ชันแยกกัน:

- กราฟเป็นพาราโบลาธรรมดา ซึ่งคุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยไม่ต้องกำหนดจุดยอดโดยใช้สูตรและวาดตารางเพื่อกำหนดจุดอื่นๆ
- กราฟเป็นเส้นตรงซึ่งคุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยการประมาณค่าในหัวของคุณโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

สร้าง? มาเปรียบเทียบกับสิ่งที่ฉันได้รับ:

คุณคิดว่ารากของสมการในกรณีนี้คืออะไร? ขวา! พิกัดที่ได้รับจากจุดตัดของกราฟทั้งสองและนั่นคือ:

ดังนั้นคำตอบของสมการนี้คือ:

คุณพูดอะไร? เห็นด้วยวิธีการแก้ปัญหานี้ง่ายกว่าวิธีก่อนหน้ามากและง่ายกว่าการค้นหารากผ่านการแยกแยะ! หากเป็นเช่นนั้น ให้ลองแก้สมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีนี้:

คุณได้อะไร? ลองเปรียบเทียบกราฟของเรา:

กราฟแสดงว่าคำตอบคือ:

คุณจัดการหรือไม่? ทำได้ดี! ทีนี้มาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้อีกหน่อยนั่นคือการแก้สมการผสมนั่นคือสมการที่มีฟังก์ชันประเภทต่างๆ

ผลเฉลยกราฟิกของสมการผสม

ตอนนี้เรามาลองแก้ปัญหาต่อไปนี้:

แน่นอน คุณสามารถนำทุกอย่างมาเป็นตัวส่วนร่วม ค้นหารากของสมการผลลัพธ์ได้ โดยไม่ลืมคำนึงถึง ODZ แต่อีกครั้ง เราจะพยายามแก้มันแบบกราฟิกเหมือนที่เราทำในกรณีก่อนหน้านี้ทั้งหมด

คราวนี้เรามาสร้างกราฟ 2 อันต่อไปนี้:

- กราฟเป็นไฮเปอร์โบลา
- กราฟเป็นเส้นตรงซึ่งคุณสามารถสร้างได้อย่างง่ายดายโดยการประมาณค่าในหัวของคุณโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

เข้าใจไหม? ตอนนี้เริ่มสร้าง

นี่คือสิ่งที่ฉันได้รับ:

มองภาพนี้ บอกฉันหน่อยว่ารากของสมการของเราคืออะไร?

ถูกต้องและ. นี่คือการยืนยัน:

ลองแทนรากของเราเข้ากับสมการ มันได้ผลเหรอ?

ถูกต้อง! เห็นด้วยการแก้สมการดังกล่าวแบบกราฟิกเป็นเรื่องที่น่ายินดี!

ลองแก้สมการแบบกราฟิกด้วยตัวเอง:

ฉันจะให้คำแนะนำแก่คุณ: ย้ายส่วนหนึ่งของสมการไปทางด้านขวาเพื่อให้ฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการสร้างอยู่ทั้งสองด้าน คุณได้รับคำใบ้หรือไม่? ดำเนินการ!

มาดูกันว่าคุณได้อะไรบ้าง:

ตามลำดับ:

- ลูกบาศก์พาราโบลา
- เส้นตรงธรรมดา

มาสร้างกันดีกว่า:

ดังที่คุณเขียนไว้นานแล้ว รากของสมการนี้คือ -

หลังจากอ่านตัวอย่างมามากมาย ฉันแน่ใจว่าคุณคงตระหนักได้ว่าการแก้สมการแบบกราฟิกนั้นง่ายและรวดเร็วเพียงใด ถึงเวลาหาวิธีแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีนี้

โซลูชั่นกราฟิกของระบบ

ระบบการแก้แบบกราฟิกโดยพื้นฐานแล้วไม่แตกต่างจากการแก้สมการแบบกราฟิก เราจะสร้างกราฟขึ้นมาสองกราฟด้วย และจุดตัดกันของพวกมันจะเป็นรากของระบบนี้ กราฟหนึ่งคือสมการหนึ่ง กราฟที่สองคืออีกสมการหนึ่ง ทุกอย่างง่ายมาก!

เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด - การแก้ระบบสมการเชิงเส้น

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น

สมมติว่าเรามีระบบดังต่อไปนี้:

ก่อนอื่นเรามาแปลงมันเพื่อให้ทุกสิ่งที่เชื่อมโยงอยู่ทางด้านซ้ายและทางขวา - ทุกสิ่งที่เชื่อมต่อด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลองเขียนสมการเหล่านี้เป็นฟังก์ชันในรูปแบบปกติของเรา:

ตอนนี้เราแค่สร้างเส้นตรงสองเส้น วิธีแก้ปัญหาในกรณีของเราคืออะไร? ขวา! จุดตัดของพวกเขา! และที่นี่คุณต้องระวังให้มาก! ลองคิดดูว่าทำไม? ผมขอบอกใบ้หน่อยนะครับ เรากำลังจัดการกับระบบ ในระบบก็มีทั้งสองอย่าง และ... รู้คำใบ้ไหม?

ถูกต้อง! เมื่อแก้ระบบ เราต้องดูทั้งสองพิกัด ไม่ใช่แค่แก้สมการเท่านั้น! สิ่งสำคัญอีกประการหนึ่งคือต้องจดให้ถูกต้องและไม่สับสนว่าความหมายของเราอยู่ที่ไหนและความหมายอยู่ที่ไหน! คุณเขียนมันลงไปหรือเปล่า? ทีนี้ลองเปรียบเทียบทุกอย่างตามลำดับ:

และคำตอบ: และ. ทำการตรวจสอบ - แทนที่รูทที่พบเข้าสู่ระบบและตรวจสอบให้แน่ใจว่าเราแก้ไขมันอย่างถูกต้องหรือไม่?

การแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรามีสมการกำลังสองแทนที่จะเป็นเส้นตรงเส้นเดียวล่ะ? ใช้ได้! คุณแค่สร้างพาราโบลาแทนที่จะเป็นเส้นตรง! ไม่เชื่อฉันเหรอ? ลองแก้ไขระบบต่อไปนี้:

ขั้นตอนต่อไปของเราคืออะไร? ถูกต้อง จดบันทึกไว้เพื่อให้เราสร้างกราฟได้สะดวก:

และตอนนี้มันเป็นเรื่องเล็กๆ น้อยๆ - สร้างมันขึ้นมาอย่างรวดเร็วและนี่คือวิธีแก้ปัญหาของคุณ! เรากำลังสร้าง:

กราฟออกมาเหมือนเดิมหรือเปล่า? ตอนนี้ทำเครื่องหมายวิธีแก้ปัญหาของระบบในรูปและจดคำตอบที่ระบุให้ถูกต้อง!

คุณทำทุกอย่างแล้วหรือยัง? เปรียบเทียบกับบันทึกย่อของฉัน:

ทุกอย่างถูกต้องหรือไม่? ทำได้ดี! คุณกำลังแคร็กงานประเภทนี้เหมือนถั่วอยู่แล้ว! ถ้าเป็นเช่นนั้น เราจะให้ระบบที่ซับซ้อนกว่านี้แก่คุณ:

เรากำลังทำอะไรอยู่? ขวา! เราเขียนระบบเพื่อให้สะดวกในการสร้าง:

ฉันจะให้คำแนะนำเล็กน้อย เนื่องจากระบบดูซับซ้อนมาก! เมื่อสร้างกราฟ ให้สร้างกราฟให้ "มากขึ้น" และที่สำคัญที่สุด ไม่ต้องแปลกใจกับจำนวนจุดตัดกัน

ไปกันเลย! หายใจออกเหรอ? ตอนนี้เริ่มสร้าง!

แล้วยังไงล่ะ? สวย? คุณได้จุดตัดกี่จุด? ฉันมีสาม! ลองเปรียบเทียบกราฟของเรา:

อีกด้วย? ตอนนี้เขียนโซลูชันทั้งหมดของระบบของเราอย่างระมัดระวัง:

ตอนนี้ดูที่ระบบอีกครั้ง:

คุณนึกภาพออกไหมว่าคุณแก้ไขปัญหานี้ได้ภายในเวลาเพียง 15 นาที? เห็นด้วย คณิตศาสตร์ยังคงง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อดูสำนวน คุณไม่กลัวที่จะทำผิด แต่เพียงแค่รับมันและแก้ไขมัน! คุณเก่งมาก!

คำตอบแบบกราฟิกของอสมการ

คำตอบเชิงกราฟิกของอสมการเชิงเส้น

หลังจากตัวอย่างที่แล้วจะทำอะไรก็ได้! ทีนี้หายใจออก - เมื่อเทียบกับส่วนก่อนๆ ข้อนี้จะง่ายมาก!

เราจะเริ่มตามปกติด้วยวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการเชิงเส้น ตัวอย่างเช่นอันนี้:

ขั้นแรก เรามาดำเนินการแปลงที่ง่ายที่สุด - เปิดวงเล็บของกำลังสองสมบูรณ์แล้วนำเสนอคำที่คล้ายกัน:

อสมการไม่ได้เข้มงวด ดังนั้นจึงไม่รวมไว้ในช่วงเวลา และคำตอบจะเป็นจุดทั้งหมดที่อยู่ทางขวา เนื่องจากมากขึ้น มากขึ้น และอื่นๆ:

คำตอบ:

แค่นั้นแหละ! อย่างง่ายดาย? มาแก้อสมการง่ายๆ ด้วยตัวแปรสองตัวกัน:

ลองวาดฟังก์ชันในระบบพิกัดกัน

คุณได้รับกำหนดการเช่นนี้หรือไม่? ทีนี้เรามาดูอย่างละเอียดกันดีกว่าว่าเรามีความไม่เท่าเทียมกันอะไรบ้าง? น้อย? ซึ่งหมายความว่าเราทาสีทับทุกสิ่งที่อยู่ทางด้านซ้ายของเส้นตรง ถ้ามีมากกว่านี้ล่ะ? ถูกต้อง จากนั้นเราจะทาสีทับทุกสิ่งที่อยู่ทางด้านขวาของเส้นตรง มันง่ายมาก

คำตอบทั้งหมดของอสมการนี้จะแรเงาด้วยสีส้ม เพียงเท่านี้ความไม่เท่าเทียมกันของตัวแปรสองตัวก็ได้รับการแก้ไขแล้ว ซึ่งหมายความว่าพิกัดของจุดใดๆ จากพื้นที่แรเงาคือคำตอบ

คำตอบแบบกราฟิกของอสมการกำลังสอง

ตอนนี้เราจะเข้าใจวิธีการแก้อสมการกำลังสองแบบกราฟิก

แต่ก่อนที่เราจะพูดถึงเรื่องนั้น เรามาทบทวนเนื้อหาเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองกันก่อน

ผู้เลือกปฏิบัติต้องรับผิดชอบอะไร? ถูกต้องแล้ว สำหรับตำแหน่งของกราฟที่สัมพันธ์กับแกน (หากคุณจำสิ่งนี้ไม่ได้ ให้อ่านทฤษฎีเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองอย่างแน่นอน)

ไม่ว่าในกรณีใด ต่อไปนี้เป็นคำเตือนเล็กๆ น้อยๆ สำหรับคุณ:

ตอนนี้เราได้รีเฟรชเนื้อหาทั้งหมดในหน่วยความจำของเราแล้ว มาเริ่มธุรกิจกันดีกว่า - แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก

ฉันจะบอกคุณทันทีว่ามีสองทางเลือกในการแก้ปัญหา

ตัวเลือกที่ 1

เราเขียนพาราโบลาเป็นฟังก์ชัน:

เมื่อใช้สูตรเราจะกำหนดพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา (เหมือนกับเมื่อแก้สมการกำลังสอง):

คุณนับไหม? คุณได้อะไร?

ทีนี้ลองหาจุดที่แตกต่างกันอีกสองจุดแล้วคำนวณหามัน:

มาเริ่มสร้างพาราโบลาสาขาหนึ่งกันดีกว่า:

เราสะท้อนจุดของเราอย่างสมมาตรไปยังกิ่งอื่นของพาราโบลา:

ทีนี้ กลับมาที่อสมการของเรากัน.

เราต้องการให้มีค่าน้อยกว่าศูนย์ ตามลำดับ:

เนื่องจากในความไม่เท่าเทียมกันของเราเครื่องหมายจึงน้อยกว่าอย่างเคร่งครัดเราจึงแยกจุดสิ้นสุดออก - "การเจาะออก"

คำตอบ:

ทางยาวใช่ไหม? ตอนนี้ ฉันจะแสดงเวอร์ชันที่เรียบง่ายของโซลูชันกราฟิกให้คุณดูโดยใช้ตัวอย่างความไม่เท่าเทียมกันแบบเดียวกัน:

ตัวเลือกที่ 2

เรากลับไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันและทำเครื่องหมายช่วงเวลาที่เราต้องการ:

เห็นด้วยมันเร็วกว่ามาก

ให้เราเขียนคำตอบตอนนี้:

ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาอื่นที่ทำให้ส่วนพีชคณิตง่ายขึ้น แต่สิ่งสำคัญคืออย่าสับสน

คูณด้านซ้ายและขวาด้วย:

พยายามแก้อสมการกำลังสองต่อไปนี้ด้วยตัวเองด้วยวิธีใดก็ได้:

คุณจัดการหรือไม่?

ดูว่ากราฟของฉันเป็นอย่างไร:

คำตอบ: .

คำตอบแบบกราฟิกของอสมการแบบผสม

ทีนี้เรามาดูอสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า!

คุณชอบสิ่งนี้อย่างไร:

มันน่าขนลุกใช่มั้ย? จริงๆ แล้ว ฉันไม่รู้ว่าจะแก้พีชคณิตนี้อย่างไร... แต่ก็ไม่จำเป็น กราฟิกไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับเรื่องนี้! ตากลัวแต่มือทำ!

สิ่งแรกที่เราจะเริ่มต้นด้วยการสร้างกราฟสองอัน:

ฉันจะไม่เขียนตารางสำหรับแต่ละคน - ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถทำได้อย่างสมบูรณ์แบบด้วยตัวเอง (ว้าว มีตัวอย่างมากมายให้แก้!)

คุณทาสีมันเหรอ? ตอนนี้สร้างกราฟสองอัน

มาเปรียบเทียบภาพวาดของเรากัน?

มันเหมือนกันกับคุณหรือเปล่า? ยอดเยี่ยม! ตอนนี้เรามาจัดเรียงจุดตัดกันและใช้สีเพื่อกำหนดว่ากราฟใดที่เราควรมีให้ใหญ่กว่าในทางทฤษฎี นั่นก็คือ ดูสิ่งที่เกิดขึ้นในท้ายที่สุด:

ทีนี้มาดูกันว่ากราฟที่เราเลือกอยู่ตรงไหนสูงกว่ากราฟกัน? อย่าลังเลที่จะใช้ดินสอและทาสีบริเวณนี้! เธอจะเป็นทางออกของความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อนของเรา!

เราอยู่สูงกว่าช่วงใดของแกน? ขวา, . นี่คือคำตอบ!

ตอนนี้คุณสามารถจัดการกับสมการ ระบบใดก็ได้ และยิ่งกว่านั้น อสมการใดๆ ก็ตาม!

สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการโดยใช้กราฟฟังก์ชัน:

มาแสดงออกผ่าน
มากำหนดประเภทของฟังก์ชันกันดีกว่า
มาสร้างกราฟของฟังก์ชันผลลัพธ์กัน
ลองหาจุดตัดกันของกราฟกัน
มาเขียนคำตอบให้ถูกต้อง (โดยคำนึงถึง ODZ และสัญญาณอสมการ)
ลองตรวจสอบคำตอบกัน (แทนรากลงในสมการหรือระบบ)

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการสร้างกราฟฟังก์ชัน โปรดดูหัวข้อ “”

วิธีการแบบกราฟิกประกอบด้วยการสร้างชุดวิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับได้สำหรับ PLP และการค้นหาในเซตนี้จะสอดคล้องกับฟังก์ชันวัตถุประสงค์สูงสุด/นาที

2. ตอนนี้เราสามารถดำเนินการค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน f ได้โดยตรงแล้ว

โดยการสลับพิกัดของจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมไปเป็นฟังก์ชัน f แล้วเปรียบเทียบค่า เราจะพบว่า f(C)=f (4; 1)=19 คือค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

ในกรณีนี้ จะสะดวกกว่าหากพิจารณาเส้นระดับในรูปแบบ f=a ด้วยการเพิ่มจำนวนซ้ำซากจำเจจาก -? ถึง +? เส้นตรง f=a ถูกเลื่อนไปตามเวกเตอร์ปกติ หากด้วยการเคลื่อนที่ของเส้นระดับดังกล่าว มีจุด X จุดหนึ่ง - จุดร่วมจุดแรกของขอบเขตของคำตอบที่เป็นไปได้ (รูปทรงหลายเหลี่ยม ABCDE) และเส้นระดับ ดังนั้น f(X) คือค่าต่ำสุดของ f บนเซต เอบีดีอี. ถ้า X เป็นจุดตัดสุดท้ายของเส้นระดับกับเซต ABCDE แล้ว f(X) คือค่าสูงสุดบนเซตของคำตอบที่เป็นไปได้ ถ้าเป็น>-? เส้นตรง f=a ตัดกับเซตของคำตอบที่เป็นไปได้ จากนั้น min(f)= -? หากสิ่งนี้เกิดขึ้นสำหรับ a>+? ดังนั้น max(f)=+?