Čo je ostrý vpísaný uhol? N. Nikitin Geometria

Stredový uhol- je uhol, ktorý zvierajú dva polomery kruh. Príkladom stredového uhla je uhol AOB, BOC, COE atď.

O centrálny roh A oblúk medzi jej stranami sa hovorí korešpondovať navzájom.

1. ak stredové uhly oblúky sú si rovní.

2. ak stredové uhly nie sú rovnaké, potom väčší z nich zodpovedá väčšiemu oblúk.

Nech AOB a COD sú dva stredové uhly, rovnaké alebo nerovnaké. Otočme sektor AOB okolo stredu v smere naznačenom šípkou tak, aby sa polomer OA zhodoval s OC. Potom, ak sú stredové uhly rovnaké, potom sa polomer OA zhoduje s OD a oblúk AB s oblúkom CD. .

To znamená, že tieto oblúky budú rovnaké.

Ak stredové uhly nie sú rovnaké, potom polomer OB nepôjde pozdĺž OD, ale v nejakom inom smere, napríklad pozdĺž OE alebo OF. V oboch prípadoch väčší uhol samozrejme zodpovedá väčšiemu oblúku.

Veta, ktorú sme dokázali pre jeden kruh, zostáva platná rovnaké kruhy, pretože takéto kruhy sa od seba v ničom nelíšia okrem svojej polohy.

Obrátené ponuky bude tiež pravda . V jednom kruhu alebo v rovnakých kruhoch:

1. ak oblúky sú rovnaké, potom im zodpovedajú stredové uhly sú si rovní.

2. ak oblúky nie sú rovnaké, potom väčší z nich zodpovedá väčšiemu stredový uhol.

V jednom kruhu alebo v rovnakých kruhoch sú stredové uhly spojené ako ich zodpovedajúce oblúky. Alebo parafrázovaním dostaneme, že stredový uhol proporcionálne jemu zodpovedajúci oblúk.

Vpísaný uhol, teória problému. Priatelia! V tomto článku budeme hovoriť o úlohách, pre ktoré potrebujete poznať vlastnosti vpísaného uhla. Ide o celú skupinu úloh, sú zahrnuté v Jednotnej štátnej skúške. Väčšina z nich sa dá vyriešiť veľmi jednoducho, jedným úkonom.

Existujú zložitejšie problémy, ale nebudú pre vás predstavovať veľké ťažkosti, musíte poznať vlastnosti vpísaného uhla. Postupne rozoberieme všetky prototypy úloh, pozývam vás na blog!

Teraz potrebná teória. Pripomeňme si, čo je stredový a vpísaný uhol, tetiva, oblúk, na ktorom spočívajú tieto uhly:

Stredový uhol v kruhu je rovinný uhol svrchol v jeho strede.

Časť kruhu umiestnená vo vnútri rovinného uhlanazývaný oblúk kruhu.

Miera stupňa oblúka kruhu sa nazýva miera stupňazodpovedajúci stredový uhol.

Uhol sa hovorí, že je vpísaný do kruhu, ak vrchol uhla ležína kruhu a strany uhla pretínajú tento kruh.

Úsečka spájajúca dva body na kružnici sa nazývaakord. Najväčší akord prechádza stredom kruhu a je tzvpriemer.

Ak chcete vyriešiť problémy zahŕňajúce uhly vpísané do kruhu,musíte poznať nasledujúce vlastnosti:

1. Vpísaný uhol sa rovná polovici stredového uhla na základe rovnakého oblúka.

2. Všetky vpísané uhly zvierajúce rovnaký oblúk sú rovnaké.

3. Všetky vpísané uhly založené na tej istej tetive a ktorých vrcholy ležia na tej istej strane tejto tetivy sú rovnaké.

4. Ľubovoľná dvojica uhlov založených na tej istej tetive, ktorej vrcholy ležia na opačných stranách tetivy, tvorí súčet 180°.

Dôsledok: opačné uhly štvoruholníka vpísaného do kruhu tvoria 180 stupňov.

5. Všetky vpísané uhly zovreté priemerom sú pravé uhly.

Vo všeobecnosti je táto vlastnosť dôsledkom vlastnosti (1); Pozrite sa - stredový uhol sa rovná 180 stupňom (a tento rozvinutý uhol nie je nič iné ako priemer), čo znamená, že podľa prvej vlastnosti sa vpísaný uhol C rovná jeho polovici, teda 90 stupňom.

Znalosť tejto vlastnosti pomáha pri riešení mnohých problémov a často vám umožňuje vyhnúť sa zbytočným výpočtom. Po dobrom zvládnutí budete vedieť viac ako polovicu problémov tohto typu vyriešiť ústne. Možno vyvodiť dva závery:

Dôsledok 1: ak je trojuholník vpísaný do kruhu a jedna z jeho strán sa zhoduje s priemerom tohto kruhu, potom je trojuholník pravouhlý (vrchol pravého uhla leží na kruhu).

Dôsledok 2: stred kružnice opísanej pravouhlému trojuholníku sa zhoduje so stredom jeho prepony.

Mnohé prototypy stereometrických úloh sa riešia aj využitím tejto vlastnosti a týchto dôsledkov. Pamätajte na samotný fakt: ak je priemer kruhu stranou vpísaného trojuholníka, potom je tento trojuholník pravouhlý (uhol oproti priemeru je 90 stupňov). Všetky ostatné závery a dôsledky si môžete vyvodiť sami, nemusíte ich učiť.

Spravidla sa polovica problémov o vpísaných uhloch uvádza s náčrtom, ale bez symbolov. Na pochopenie procesu uvažovania pri riešení problémov (nižšie v článku) sú zavedené zápisy vrcholov (uhlov). Nemusíte to robiť na Jednotnej štátnej skúške.Zoberme si úlohy:

Akú hodnotu má ostrý vpísaný uhol zovretý tetivou, ktorá sa rovná polomeru kružnice? Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Zostrojme stredový uhol pre daný vpísaný uhol a označme vrcholy:

Podľa vlastnosti uhla vpísaného do kruhu:

Uhol AOB sa rovná 60 0, pretože trojuholník AOB je rovnostranný a v rovnostrannom trojuholníku sú všetky uhly rovné 60 0. Strany trojuholníka sú rovnaké, pretože podmienka hovorí, že tetiva sa rovná polomeru.

Vpísaný uhol ACB sa teda rovná 30 0.

odpoveď: 30

Nájdite tetivu podoprenú uhlom 300 vpísaným do kruhu s polomerom 3.

Toto je v podstate opačný problém (predchádzajúci). Zostrojme stredový uhol.

Je dvakrát väčší ako vpísaný, to znamená, že uhol AOB sa rovná 60 0. Z toho môžeme usúdiť, že trojuholník AOB je rovnostranný. Tetiva sa teda rovná polomeru, teda trom.

odpoveď: 3

Polomer kružnice je 1. Nájdite veľkosť tupého vpísaného uhla zovretého tetivou rovnú odmocnine dvoch. Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Zostrojme stredový uhol:

Keď poznáme polomer a tetivu, môžeme nájsť stredový uhol ASV. Dá sa to urobiť pomocou kosínusovej vety. Keď poznáme stredový uhol, môžeme ľahko nájsť vpísaný uhol ACB.

Kosínusová veta: druhá mocnina ktorejkoľvek strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán bez toho, aby bol súčin týchto strán dvojnásobkom kosínusu uhla medzi nimi.

Preto je druhý stredový uhol 360° – 90 0 = 270 0 .

Uhol ACB sa podľa vlastnosti vpísaného uhla rovná jeho polovici, teda 135 stupňom.

odpoveď: 135

Nájdite tetivu zovretú o uhol 120 stupňov vpísanú do kruhu s odmocninou z troch.

Spojme body A a B so stredom kružnice. Označme to ako O:

Poznáme polomer a vpísaný uhol ASV. Môžeme nájsť stredový uhol AOB (väčší ako 180 stupňov), potom nájsť uhol AOB v trojuholníku AOB. A potom pomocou kosínusovej vety vypočítajte AB.

Podľa vlastnosti vpísaného uhla sa stredový uhol AOB (ktorý je väčší ako 180 stupňov) bude rovnať dvojnásobku vpísaného uhla, to znamená 240 stupňov. To znamená, že uhol AOB v trojuholníku AOB sa rovná 360 0 – 240 0 = 120 0.

Podľa kosínusovej vety:

Odpoveď: 3

Nájdite vpísaný uhol zovretý oblúkom, ktorý je 20 % kruhu. Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Podľa vlastnosti vpísaného uhla je polovičný ako stredový uhol založený na rovnakom oblúku, v r. v tomto prípade Hovoríme o oblúku AB.

Hovorí sa, že oblúk AB je 20 percent obvodu. To znamená, že stredový uhol AOB je tiež 20 percent z 360 0.*Kruh je uhol 360 stupňov. znamená,

Vpísaný uhol ACB je teda 36 stupňov.

odpoveď: 36

Oblúk kruhu A.C., ktorá neobsahuje bod B, je 200 stupňov. A oblúk kruhu pred naším letopočtom, ktorý neobsahuje bod A, je 80 stupňov. Nájdite vpísaný uhol ACB. Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Pre prehľadnosť označme oblúky, ktorých uhlové miery sú dané. Oblúk zodpovedajúci 200 stupňom je modrý, oblúk zodpovedajúci 80 stupňom je červený, zvyšná časť kruhu je žltá.

Miera stupňa oblúka AB (žltá), a teda stredový uhol AOB je: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Vpísaný uhol ACB je polovičný ako stredový uhol AOB, to znamená 40 stupňov.

odpoveď: 40

Aký je vpísaný uhol, ktorý zviera priemer kruhu? Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Stredový uhol je uhol, ktorého vrchol je v strede kružnice.
Vpísaný uhol- uhol, ktorého vrchol leží na kružnici a ktorého strany ju pretínajú.

Na obrázku sú znázornené stredové a vpísané uhly, ako aj ich najdôležitejšie vlastnosti.

takže, veľkosť stredového uhla sa rovná uhlovej veľkosti oblúka, na ktorom spočíva. To znamená, že stredový uhol 90 stupňov bude spočívať na oblúku rovnajúcom sa 90°, teda kruhu. Stredový uhol rovný 60° spočíva na oblúku 60 stupňov, teda na šiestej časti kruhu.

Veľkosť vpísaného uhla je dvakrát menšia ako stredový uhol založený na rovnakom oblúku.

Na vyriešenie problémov budeme potrebovať aj pojem „akord“.

Rovnaké stredové uhly tvoria rovnaké tetivy.

1. Aký je vpísaný uhol zovretý priemeru kružnice? Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Vpísaný uhol zovretý priemerom je pravý uhol.

2. Stredový uhol je o 36° väčší ako ostrý vpísaný uhol zvieraný rovnakým kruhovým oblúkom. Nájdite vpísaný uhol. Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Stredový uhol nech je rovný x a vpísaný uhol zovretý tým istým oblúkom nech je rovný y.

Vieme, že x = 2y.
Preto 2y = 36 + y,
y = 36.

3. Polomer kružnice sa rovná 1. Nájdite hodnotu tupého vpísaného uhla zovretého tetivou, ktorá sa rovná . Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Nech akord AB sa rovná . Tupý vpísaný uhol zvieraný touto tetivou bude označený α.
V trojuholníku AOB sa strany AO a OB rovnajú 1, strana AB sa rovná . S takýmito trojuholníkmi sme sa už stretli. Je zrejmé, že trojuholník AOB je pravouhlý a rovnoramenný, to znamená, že uhol AOB je 90°.
Potom sa oblúk ACB rovná 90° a oblúk AKB sa rovná 360° - 90° = 270°.
Vpísaný uhol α spočíva na oblúku AKB a rovná sa polovici uhlovej hodnoty tohto oblúka, teda 135°.

odpoveď: 135.

4. Tetiva AB rozdeľuje kruh na dve časti, ktorých hodnoty stupňov sú v pomere 5:7. Pod akým uhlom je táto tetiva viditeľná z bodu C, ktorý patrí menšiemu oblúku kružnice? Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Hlavnou vecou v tejto úlohe je správne kreslenie a pochopenie podmienok. Ako chápete otázku: "Pod akým uhlom je tetiva viditeľná z bodu C?"
Predstavte si, že sedíte v bode C a potrebujete vidieť všetko, čo sa deje na akorde AB. Je to ako keby akord AB bol plátno v kine :-)
Je zrejmé, že musíte nájsť uhol ACB.
Súčet dvoch oblúkov, na ktoré tetiva AB rozdeľuje kružnicu, sa rovná 360°, tj.
5x + 7x = 360°
Preto x = 30° a potom vpísaný uhol ACB spočíva na oblúku rovnajúcom sa 210°.
Veľkosť vpísaného uhla sa rovná polovici uhlovej veľkosti oblúka, na ktorom spočíva, čo znamená, že uhol ACB sa rovná 105°.

KRUH A KRUH. VALEC.

§ 76. ZAPÍSANÉ A NIEKTORÉ INÉ UHLY.

1. Vpísaný uhol.

Uhol, ktorého vrchol je na kruhu a ktorého strany sú tetivy, sa nazýva vpísaný uhol.

Uhol ABC je vpísaný uhol. Opiera sa o oblúk AC, uzavretý medzi jeho stranami (obr. 330).

Veta. Vpísaný uhol sa meria polovicou oblúka, na ktorom sa nachádza.

Toto by sa malo chápať takto: vpísaný uhol obsahuje toľko uhlových stupňov, minút a sekúnd, koľko je oblúkových stupňov, minút a sekúnd obsiahnutých v polovici oblúka, na ktorom spočíva.

Pri dokazovaní tejto vety je potrebné zvážiť tri prípady.

Prvý prípad. Stred kruhu leží na strane vpísaného uhla (obr. 331).

Nechaj / ABC je vpísaný uhol a stred kružnice O leží na strane BC. Je potrebné preukázať, že sa meria polovicou oblúka AC.

Spojme bod A so stredom kruhu. Dostaneme rovnoramenný /\ AOB, v ktorom
AO = OB, ako polomery tej istej kružnice. teda / A = / IN. / AOC je teda externý trojuholníku AOB / AOC = / A+ / B (§ 39 ods. 2), a keďže uhly A a B sú rovnaké, tak / B je 1/2 / AOC.

ale / AOC sa meria pomocou oblúka AC, preto / B sa meria polovicou oblúka AC.

Napríklad, ak AC obsahuje 60° 18", potom / B obsahuje 30°9".

Druhý prípad. Stred kružnice leží medzi stranami vpísaného uhla (obr. 332).

Nechaj / ABD - vpísaný uhol. Stred kruhu O leží medzi jeho stranami. Je potrebné to dokázať / ABD sa meria polovicou oblúka AD.

Aby sme to dokázali, nakreslíme priemer slnka. Uhol ABD je rozdelený do dvoch uhlov: / 1 a / 2.

/ 1 sa meria polovicou oblúka AC a / 2 je meraná polovicou oblúka CD, teda celým / ABD sa meria ako 1/2 AC + 1/2 CD, t.j. polovica oblúka AD.
Napríklad, ak AD obsahuje 124°, potom / B obsahuje 62°.

Tretí prípad. Stred kruhu leží mimo vpísaného uhla (obr. 333).

Nechaj / MAD - vpísaný uhol. Stred kruhu O je mimo rohu. Je potrebné to dokázať / MAD sa meria polovicou oblúka MD.

Aby sme to dokázali, nakreslíme priemer AB. / MAD = / MAV- / DAB. ale / MAV sa meria pri 1/2 MV a / DAB sa meria ako 1/2 DB. teda / MAD sa meria
1/2 (MB - DB), teda 1/2 MD.
Napríklad, ak MD obsahuje 48° 38"16", potom / MAD obsahuje 24° 19" 8".

Dôsledky. 1. Všetky vpísané uhly zvierajúce rovnaký oblúk sú si navzájom rovné, pretože sú merané polovicou toho istého oblúka (Obrázok 334, a).

2. Vpísaný uhol zovretý priemerom je pravý uhol, pretože zviera polovicu kruhu. Polovica kruhu obsahuje 180 oblúkových stupňov, čo znamená, že uhol založený na priemere obsahuje 90 oblúkových stupňov (obr. 334, b).

2. Uhol tvorený dotyčnicou a tetivou.

Veta. Uhol tvorený dotyčnicou a tetivou sa meria polovicou oblúka uzavretého medzi jej stranami.

Nechaj / CAB je zložená z tetivy CA a dotyčnice AB (obr. 335). Je potrebné preukázať, že sa meria polovicou SA. Nakreslíme priamku CD cez bod C || AB. Zapísané / ACD sa meria polovicou oblúka AD, ale AD = CA, pretože sú obsiahnuté medzi dotyčnicou a tetivou rovnobežnou s ňou. teda / DCA sa meria polovicou oblúka CA. Od tohto / CAB = / DCA, potom sa meria polovicou oblúka CA.

Cvičenia.

1. Na výkrese 336 nájdite dotyčnice ku kružnici blokov.

2. Podľa nákresu 337 dokážte, že uhol ADC sa meria polovicou súčtu oblúkov AC a BC.

3. Pomocou výkresu 337, b, dokážte, že uhol AMB sa meria polovičným rozdielom oblúkov AB a CE.

4. Pomocou rysovacieho trojuholníka nakreslite tetivu cez bod A, ktorý leží vo vnútri kruhu tak, aby sa v bode A rozdelil na polovicu.

5. Pomocou rysovacieho trojuholníka rozdeľte oblúk na 2, 4, 8... rovnakých častí.

6. Opíšte kružnicu prechádzajúcu cez dva dané body s daným polomerom. Koľko riešení má problém?

7. Koľko kružníc možno nakresliť cez daný bod?

Toto je uhol tvorený dvoma akordy, pochádzajúce z jedného bodu na kruhu. Hovorí sa, že vpísaný uhol je odpočíva na oblúku uzavretom medzi jeho stranami.

Vpísaný uhol rovná polovici oblúka, na ktorom spočíva.

Inými slovami, vpísaný uhol zahŕňa toľko uhlových stupňov, minút a sekúnd, koľko oblúkové stupne, minúty a sekundy sú obsiahnuté v polovici oblúka, na ktorom spočíva. Aby sme to odôvodnili, analyzujme tri prípady:

Prvý prípad:

Stred O sa nachádza na boku vpísaný uhol ABC. Nakreslením polomeru AO dostaneme ΔABO, v ňom OA = OB (ako polomery) a podľa toho ∠ABO = ∠BAO. V súvislosti s týmto trojuholník, uhol AOC - vonkajší. A to znamená, že sa rovná súčtu uhlov ABO a BAO alebo sa rovná dvojitému uhlu ABO. Takže ∠ABO sa rovná polovici stredový uhol AOC. Ale tento uhol sa meria oblúkom AC. To znamená, že vpísaný uhol ABC sa meria polovicou oblúka AC.

Druhý prípad:

Stred O sa nachádza medzi stranami vpísaný uhol ABC Po nakreslení priemeru BD rozdelíme uhol ABC na dva uhly, z ktorých je podľa prvého prípadu jeden meraný na polovicu. oblúky AD a druhá polovica oblúkového CD. A podľa toho sa meria uhol ABC (AD+DC) /2, t.j. 1/2 AC.

Tretí prípad:

Centrum O sa nachádza vonku vpísaný uhol ABC. Nakreslením priemeru BD budeme mať:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Ale uhly ABD a CBD sa merajú na základe predtým odôvodnenej polovice oblúk AD a CD. A keďže ∠ABC sa meria pomocou (AD-CD)/2, to znamená polovica oblúka AC.

Dôsledok 1. Všetky založené na rovnakom oblúku sú rovnaké, to znamená, že sú si navzájom rovné. Keďže každý z nich je meraný polovicou toho istého oblúky .

Dôsledok 2. Vpísaný uhol, na základe priemeru - pravý uhol. Pretože každý takýto uhol sa meria polovicou polkruhu a podľa toho obsahuje 90°.