Stredná úroveň

Sektor trojuholníka. Podrobná teória s príkladmi (2019)

Sektor trojuholníka a jeho vlastnosti

Viete, čo je stred segmentu? Samozrejme, že áno. A čo stred kruhu? To isté. Aký je stred uhla? Dá sa povedať, že sa to nedeje. Ale prečo môže byť segment rozdelený na polovicu, ale uhol nie? Je to celkom možné - len nie bodka, ale... riadok.

Pamätáte si ten vtip: bisector je potkan, ktorý behá okolo rohov a delí roh na polovicu. Takže skutočná definícia osi je veľmi podobná tomuto vtipu:

Sektor trojuholníka- toto je úsečka uhla trojuholníka spájajúca vrchol tohto uhla s bodom na opačnej strane.

Kedysi starovekí astronómovia a matematici objavili mnohé zaujímavé vlastnosti osi. Toto poznanie výrazne zjednodušilo životy ľudí. Zjednodušilo sa stavanie, počítanie vzdialeností, dokonca aj úprava streľby z kanónov... Znalosť týchto vlastností nám pomôže vyriešiť niektoré úlohy GIA a Unified State Examination!

Prvý poznatok, ktorý s tým pomôže, je stred rovnoramenného trojuholníka.

Mimochodom, pamätáte si všetky tieto pojmy? Pamätáte si, ako sa navzájom líšia? nie? Nie strašidelné. Poďme na to teraz.

takže, základňa rovnoramenného trojuholníka- toto je strana, ktorá sa nerovná žiadnej inej. Pozrite sa na obrázok, ktorá strana to podľa vás je? Správne - toto je strana.

Stred je čiara vedená z vrcholu trojuholníka a deliaca opačnú stranu (to je zase ono) na polovicu.

Všimnite si, že nehovoríme "stredná hodnota rovnoramenného trojuholníka." vieš prečo? Pretože medián nakreslený z vrcholu trojuholníka pretína opačnú stranu v AKEJKOĽVEK trojuholníku.

No, výška je čiara vedená zhora a kolmá na základňu. Všimli ste si? Hovoríme opäť o akomkoľvek trojuholníku, nielen o rovnoramennom. Výška v AKEJKOĽVEK trojuholníku je vždy kolmá na základňu.

Tak čo, prišli ste na to? No skoro. Aby ste ešte lepšie pochopili a navždy si zapamätali, čo je to bisector, medián a výška, musíte ich navzájom porovnať a pochopiť, ako sú podobné a ako sa navzájom líšia. Zároveň, aby sme si lepšie zapamätali, je lepšie opísať všetko v „ľudskom jazyku“. Potom sa budete ľahko pohybovať v jazyku matematiky, ale najprv tomuto jazyku nerozumiete a musíte všetko pochopiť vo svojom vlastnom jazyku.

V čom sú si teda podobné? Stred, stred a nadmorská výška - všetky „vychádzajú“ z vrcholu trojuholníka a spočívajú na opačnej strane a „niečo robia“ buď s uhlom, z ktorého vychádzajú, alebo s opačnou stranou. Myslím, že je to jednoduché, nie?

V čom sa líšia?

• Osa rozdeľuje uhol, z ktorého vychádza, na polovicu.
• Medián rozdeľuje opačnú stranu na polovicu.
• Výška je vždy kolmá na opačnú stranu.

Teraz je to všetko. Je ľahké to pochopiť. A keď pochopíte, môžete si spomenúť.

Teraz ďalšia otázka. Prečo je v prípade rovnoramenného trojuholníka stredom aj nadmorskou výškou stred?

Môžete sa jednoducho pozrieť na obrázok a uistiť sa, že stred sa rozdeľuje na dva absolútne rovnaké trojuholníky. To je všetko! Matematici však neradi veria vlastným očiam. Potrebujú všetko dokázať. Strašidelné slovo? Nič také – je to jednoduché! Pozrite sa: obaja majú rovnaké strany a vo všeobecnosti majú spoločnú stranu a. (- bisector!) A tak sa ukáže, že dva trojuholníky majú dve rovnaké strany a uhol medzi nimi. Pripomíname si prvý znak rovnosti trojuholníkov (ak si nepamätáte, pozrite sa do témy) a dospeli sme k záveru, že a teda = a.

To je už dobré - to znamená, že sa ukázalo, že je to medián.

Ale čo to je?

Pozrime sa na obrázok - . A dostali sme to. Takže tiež! Konečne hurá! A.

Zdal sa vám tento dôkaz trochu ťažký? Pozrite sa na obrázok - dva rovnaké trojuholníky hovoria samy za seba.

V každom prípade si pevne zapamätajte:

Teraz je to ťažšie: budeme počítať uhol medzi osami v ľubovoľnom trojuholníku! Nebojte sa, nie je to také zložité. Pozrite sa na obrázok:

Poďme si to spočítať. pamätáš si to? súčet uhlov trojuholníka je?

Aplikujme tento úžasný fakt.

Na jednej strane od:

Teda.

Teraz sa pozrime na:

Ale osi, osi!

Pripomeňme si o:

Teraz cez listy

\uhol AOC=90()^\circ +\frac(\uhol B)(2)

Nie je to prekvapujúce? Ukázalo sa, že uhol medzi osami dvoch uhlov závisí len od tretieho uhla!

Nuž, pozreli sme sa na dve osi. Čo ak sú traja??!! Pretnú sa všetky v jednom bode?

Alebo to bude takto?

ako myslíš? Matematici teda mysleli, mysleli a dokázali:

No nie je to skvelé?

Chcete vedieť, prečo sa to deje?

Takže...dva pravouhlé trojuholníky: a. Majú:

• Všeobecná hypotenzia.
• (pretože je to bisector!)

To znamená - podľa uhla a prepony. Preto sú zodpovedajúce nohy týchto trojuholníkov rovnaké! Teda.

Dokázali sme, že bod je rovnako (alebo rovnako) vzdialený od strán uhla. Bod 1 sa rieši. Teraz prejdime k bodu 2.

Prečo je 2 pravda?

A spojme bodky a.

To znamená, že leží na osi!

To je všetko!

Ako sa to všetko dá uplatniť pri riešení problémov? Napríklad v problémoch sa často vyskytuje nasledujúca fráza: „Kruh sa dotýka strán uhla...“. No treba si niečo nájsť.

Potom si to rýchlo uvedomíte

A môžete použiť rovnosť.

3. Tri osi v trojuholníku sa pretínajú v jednom bode

Z vlastnosti osy byť miestom bodov rovnako vzdialených od strán uhla vyplýva nasledovné tvrdenie:

Ako presne to vychádza? Ale pozrite sa: dve osi sa určite pretnú, však?

A tretia os by mohla vyzerať takto:

Ale v skutočnosti je všetko oveľa lepšie!

Pozrime sa na priesečník dvoch priesečníkov. Nazvime to .

Čo sme tu použili oba razy? áno bod 1, samozrejme! Ak bod leží na osi, potom je rovnako vzdialený od strán uhla.

A tak sa aj stalo.

Ale pozorne sa pozrite na tieto dve rovnosti! Veď z nich vyplýva, že a teda .

A teraz to príde na rad bod 2: ak sú vzdialenosti strán uhla rovnaké, potom bod leží na osnici...akého uhla? Pozrite sa ešte raz na obrázok:

a sú vzdialenosti od strán uhla a sú rovnaké, čo znamená, že bod leží na oske uhla. Tretia os prešla tým istým bodom! Všetky tri osi sa pretínajú v jednom bode! A ako ďalší darček -

Polomery zapísané kruhy.

(Pre istotu si pozrite inú tému).

Teraz už nikdy nezabudnete:

Priesečníkom priesečníkov trojuholníka je stred kružnice, ktorá je do neho vpísaná.

Prejdime k ďalšej vlastnosti... Páni, stred má veľa vlastností, však? A to je skvelé, pretože čím viac vlastností, tým viac nástrojov na riešenie problémov s osou.

4. Osa a rovnobežnosť, osy susedných uhlov

Skutočnosť, že os rozdeľuje uhol na polovicu, v niektorých prípadoch vedie k úplne neočakávaným výsledkom. Tu je napr.

Prípad 1

Skvelé, však? Poďme pochopiť, prečo je to tak.

Na jednej strane nakreslíme osičku!

Ale na druhej strane existujú uhly, ktoré ležia krížom-krážom (pamätajte na tému).

A teraz sa ukazuje, že; vyhodiť stred: ! - rovnoramenný!

Prípad 2

Predstavte si trojuholník (alebo sa pozrite na obrázok)

Pokračujme stranou za bodom. Teraz máme dva uhly:

• - vnútorný roh
• - vonkajší roh je vonku, však?

Takže teraz niekto chcel nakresliť nie jednu, ale dve osi naraz: pre aj pre. čo sa stane?

Vyjde to? obdĺžnikový!

Prekvapivo je to presne tento prípad.

Poďme na to.

Aká je podľa vás suma?

Samozrejme, - koniec koncov, všetci spolu zvierajú taký uhol, že sa ukáže ako priamka.

Teraz si to zapamätajme a sú to osi a uvidíme, že vo vnútri uhla je presne polovicu zo súčtu všetkých štyroch uhlov: a - - teda presne. Môžete to napísať aj ako rovnicu:

Takže neuveriteľné, ale pravdivé:

Uhol medzi osami vnútorného a vonkajšieho uhla trojuholníka je rovnaký.

Prípad 3

Vidíte, že je tu všetko rovnaké ako pri vnútorných a vonkajších rohoch?

Alebo sa znova zamyslime, prečo sa to deje?

Opäť, pokiaľ ide o susedné rohy,

(ako korešponduje s paralelnými bázami).

A opäť tvoria presne polovica zo sumy

Záver: Ak problém obsahuje osy priľahlé uhly alebo osy relevantné uhly rovnobežníka alebo lichobežníka, potom v tomto probléme určite ide o pravouhlý trojuholník alebo možno aj celý obdĺžnik.

5. Bisector a opačná strana

Ukazuje sa, že osi uhla trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu nielen nejakým spôsobom, ale zvláštnym a veľmi zaujímavým spôsobom:

To je:

Úžasný fakt, však?

Teraz túto skutočnosť dokážeme, ale pripravte sa: bude to o niečo ťažšie ako predtým.

Opäť - výstup do "vesmíru" - dodatočná formácia!

Poďme rovno.

za čo? Teraz uvidíme.

Pokračujme v osi, kým sa nepretína s priamkou.

Je to známy obrázok? Áno, áno, áno, presne to isté ako v bode 4, prípad 1 - ukazuje sa, že (- osi)

Ležať krížom krážom

Takže aj to.

Teraz sa pozrime na trojuholníky a.

Čo o nich poviete?

Sú...podobní. Áno, ich uhly sú rovnaké ako vertikálne. Takže v dvoch rohoch.

Teraz máme právo napísať vzťahy príslušných strán.

A teraz v skratke:

Oh! Niečo mi to pripomína, však? Nie je to to, čo sme chceli dokázať? Áno, áno, presne tak!

Vidíte, ako skvelý sa ukázal byť „spacewalk“ – výstavba ďalšej priamky – bez nej by sa nič nestalo! A tak sme to dokázali

Teraz ho môžete bezpečne používať! Pozrime sa ešte na jednu vlastnosť osi uhlov trojuholníka – nezľaknite sa, teraz je najťažšia časť za nami – bude to jednoduchšie.

Chápeme to

Veta 1:

Veta 2:

Veta 3:

Veta 4:

Veta 5:

Veta 6:

Aká je os uhla trojuholníka? Na túto otázku niektorým ľuďom vychádza z úst povestná krysa, ktorá behá po kútoch a delí roh napoly." Ak by mala byť odpoveď „humorná", tak možno je správna. Ale z vedeckého hľadiska, odpoveď na túto otázku by mala znieť: asi takto: začať na vrchole uhla a rozdeliť ho na dve rovnaké časti.“ V geometrii je tento obrazec tiež vnímaný ako segment osi, kým sa nepretína s opačnou stranou trojuholníka. Toto nie je mylná predstava. Čo je ešte známe o osi uhla okrem jeho definície?

Ako každé geometrické miesto bodov má svoje vlastné charakteristiky. Prvým z nich nie je ani znamienko, ale veta, ktorú možno stručne vyjadriť takto: „Ak je protiľahlá strana rozdelená na dve časti sektorom, potom ich pomer bude zodpovedať pomeru strany veľkého trojuholníka."

Druhá vlastnosť, ktorú má: priesečník osí všetkých uhlov sa nazýva stred.

Tretie znamienko: osy jedného vnútorného a dvoch vonkajších uhlov trojuholníka sa pretínajú v strede jednej z troch vpísaných kružníc.

Štvrtou vlastnosťou osi uhla trojuholníka je, že ak je každý rovnaký, potom je ten druhý rovnoramenný.

Piate znamienko sa tiež týka rovnoramenného trojuholníka a je hlavným vodítkom pre jeho rozpoznanie na kresbe pomocou osi, a to: v rovnoramennom trojuholníku slúži súčasne ako stred a nadmorská výška.

Sektor uhla možno zostrojiť pomocou kompasu a pravítka:

Šieste pravidlo hovorí, že nie je možné zostrojiť trojuholník s použitím posledne menovaného len s existujúcimi osami, rovnako ako nie je možné týmto spôsobom zostrojiť zdvojnásobenie kocky, kvadratúru kruhu a trisekciu uhla. Presne povedané, toto sú všetky vlastnosti osi uhla trojuholníka.

Ak ste si pozorne prečítali predchádzajúci odsek, možno vás zaujala jedna fráza. "Čo je trisekcia uhla?" - asi sa opýtate. Trisektor je trochu podobný osi, ale ak ju nakreslíte, uhol sa rozdelí na dve rovnaké časti a pri konštrukcii trisekcie sa rozdelí na tri. Prirodzene, osička uhla je ľahšie zapamätateľná, pretože trisekcia sa v škole nevyučuje. Ale pre úplnosť vám o tom tiež poviem.

Ako som už povedal, trisektor sa nedá zostrojiť iba pomocou kružidla a pravítka, ale dá sa vytvoriť pomocou Fujitových pravidiel a niektorých kriviek: Pascalove slimáky, kvadratrixy, Nicomedove lastúry, kužeľosečky,

Problémy s trisekciou uhla sú celkom jednoducho vyriešené pomocou nevsis.

V geometrii existuje veta o trisektoroch uhla. Nazýva sa to Morleyho teorém. Uvádza, že priesečníky trisektorov každého uhla umiestneného v strede budú vrcholy

Malý čierny trojuholník vo vnútri veľkého bude vždy rovnostranný. Túto vetu objavil britský vedec Frank Morley v roku 1904.

Tu je, koľko sa toho môžete dozvedieť o delení uhla: Trisektor a bisektor uhla vždy vyžadujú podrobné vysvetlenie. Ale tu bolo uvedených veľa definícií, ktoré som ešte nezverejnil: Pascalov slimák, Nicomedesova lastúra atď. Buďte si istí, dá sa o nich písať oveľa viac.

Pokyny

Ak je daný trojuholník rovnoramenný alebo pravidelný, potom má
dve alebo tri strany, potom jeho stred podľa vlastnosti trojuholník, bude tiež mediánom. A preto sa protiľahlý rozdelí na polovicu pomocou osi.

Odmerajte opačnú stranu pomocou pravítka trojuholník, kde bude smerovať osička. Túto stranu rozdeľte na polovicu a do stredu strany umiestnite bodku.

Nakreslite priamku prechádzajúcu zostrojeným bodom a opačným vrcholom. Toto bude stred trojuholník.

Zdroje:

• Mediány, osi a výšky trojuholníka

Rozdelenie uhla na polovicu a výpočet dĺžky čiary nakreslenej z jej vrcholu na opačnú stranu je niečo, čo musia vedieť rezači, geodeti, inštalatéri a ľudia niektorých iných profesií.

Budete potrebovať

• Pomôcky Ceruzka Pravítko Uhlomer Tabuľky sínusov a kosínusov Matematické vzorce a pojmy: Definícia osi Sínusové a kosínusové vety Veta o sekere

Pokyny

Zostrojte trojuholník požadovanej veľkosti v závislosti od toho, čo je vám dané? dfe strany a uhol medzi nimi, tri strany alebo dva uhly a strana umiestnená medzi nimi.

Označte vrcholy rohov a strán tradičnými latinskými písmenami A, B a C. Vrcholy rohov sú označené a protiľahlé strany sú označené malými písmenami. Označte uhly gréckymi písmenami?,? a?

Pomocou viet o sínusoch a kosínusoch vypočítajte uhly a strany trojuholník.

Pamätajte na bisektory. Bisector - rozdelenie uhla na polovicu. Sektor uhla trojuholník rozdeľuje opak na dva segmenty, ktoré sa rovnajú pomeru dvoch susedných strán trojuholník.

Nakreslite osy uhlov. Výsledné segmenty označte názvami uhlov napísanými malými písmenami dolným indexom l. Strana c je rozdelená na segmenty a a b s indexmi l.

Vypočítajte dĺžky výsledných segmentov pomocou sínusového zákona.

Video k téme

Vezmite prosím na vedomie

Dĺžka úsečky, ktorá je súčasne stranou trojuholníka tvoreného jednou zo strán pôvodného trojuholníka, osi a úsečkou samotnou, sa vypočíta pomocou sínusového zákona. Ak chcete vypočítať dĺžku ďalšieho segmentu rovnakej strany, použite pomer výsledných segmentov a priľahlých strán pôvodného trojuholníka.

Užitočné rady

Aby nedošlo k zámene, nakreslite osy rôznych uhlov v rôznych farbách.

Bisector uhol nazývaný lúč, ktorý začína vo vrchole uhol a rozdelí ho na dve rovnaké časti. Tie. míňať bisector, musíte nájsť stred uhol. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je pomocou kompasu. V tomto prípade nemusíte robiť žiadne výpočty a výsledok nebude závisieť od toho, či je množstvo uhol celé číslo.

Budete potrebovať

• kružidlo, ceruzka, pravítko.

Pokyny

Ponechajte šírku otvoru kompasu rovnakú, umiestnite ihlu na koniec segmentu na jednej zo strán a nakreslite časť kruhu tak, aby sa nachádzal vo vnútri uhol. Urobte to isté s druhým. Skončíte s dvoma časťami kruhov, ktoré sa budú vo vnútri pretínať uhol- približne v strede. Časti kružníc sa môžu pretínať v jednom alebo dvoch bodoch.

Video k téme

Užitočné rady

Na vytvorenie osy uhla môžete použiť uhlomer, ale táto metóda vyžaduje väčšiu presnosť. Navyše, ak hodnota uhla nie je celé číslo, zvyšuje sa pravdepodobnosť chýb pri konštrukcii osi.

Pri stavbe alebo vývoji projektov domáceho dizajnu je často potrebné stavať rohu rovná tomu, čo je už k dispozícii. Na pomoc prichádzajú šablóny a školské znalosti z geometrie.

Pokyny

Uhol tvoria dve priame čiary vychádzajúce z jedného bodu. Tento bod sa bude nazývať vrchol uhla a čiary budú stranami uhla.

Použite tri na označenie rohov: jeden hore, dva po stranách. Volaný rohu, počnúc písmenom, ktoré stojí na jednej strane, potom sa nazýva písmeno, ktoré stojí hore, a potom písmenom na druhej strane. Ak chcete inak, použite iné na označenie uhlov. Niekedy je pomenované len jedno písmeno, ktoré je hore. A uhly môžete označiť gréckymi písmenami, napríklad α, β, γ.

Sú situácie, keď je to potrebné rohu, tak aby bol užší ako daný roh. Ak pri konštrukcii nie je možné použiť uhlomer, vystačíte si len s pravítkom a kružidlom. Predpokladajme, že na priamke označenej písmenami MN musíte skonštruovať rohu v bode K tak, aby sa rovnal uhlu B. To znamená, že z bodu K je potrebné nakresliť priamku s čiarou MN rohu, ktorý sa bude rovnať uhlu B.

Najprv označte bod na každej strane daného uhla, napríklad body A a C, potom body C a A spojte priamkou. Získajte tre rohu nik ABC.

Teraz postavte rovnaký tre na priamke MN rohu tak, aby jeho vrchol B bol na priamke v bode K. Použite pravidlo na zostrojenie trojuholníka rohu nnik v troch. Odložte segment KL z bodu K. Musí sa rovnať segmentu BC. Získajte bod L.

Z bodu K nakreslite kružnicu s polomerom rovným segmentu BA. Z L nakreslite kružnicu s polomerom CA. Spojte výsledný bod (P) priesečníka dvoch kružníc s K. Získajte tri rohu KPL, čo sa bude rovnať trom rohu Kniha ABC. Takto sa dostanete rohu K. Bude sa rovnať uhlu B. Aby to bolo pohodlnejšie a rýchlejšie, oddeľte rovnaké segmenty od vrcholu B pomocou jedného otvoru kompasu, bez pohybu nôh, opíšte z bodu K kružnicu s rovnakým polomerom.

Video k téme

Tip 5: Ako zostrojiť trojuholník pomocou dvoch strán a mediánu

Trojuholník je najjednoduchší geometrický útvar, ktorý má tri vrcholy spojené v pároch segmentmi, ktoré tvoria strany tohto mnohouholníka. Segment spájajúci vrchol so stredom opačnej strany sa nazýva medián. Keď poznáte dĺžky dvoch strán a medián spájajúci sa v jednom z vrcholov, môžete vytvoriť trojuholník bez toho, aby ste mali informácie o dĺžke tretej strany alebo veľkosti uhlov.

Pokyny

Nakreslite úsečku z bodu A, ktorej dĺžka je jednou zo známych strán trojuholníka (a). Označte koncový bod tohto segmentu písmenom B. Potom už môže byť jedna zo strán (AB) požadovaného trojuholníka považovaná za skonštruovanú.

Pomocou kružidla nakreslite kružnicu s polomerom rovným dvojnásobku dĺžky mediánu (2∗m) a so stredom v bode A.

Pomocou kružidla nakreslite druhú kružnicu s polomerom rovným dĺžke známej strany (b) a so stredom v bode B. Kružidlo na chvíľu odložte, ale nameraný nechajte na ňom – budete potrebovať opäť o niečo neskôr.

Zostrojte úsečku spájajúcu bod A s priesečníkom dvoch čiar, ktoré ste nakreslili. Polovica tohto segmentu bude tá, ktorú staviate – zmerajte túto polovicu a umiestnite bod M. V tejto chvíli máte jednu stranu požadovaného trojuholníka (AB) a jeho stred (AM).

Pomocou kružidla nakreslite kružnicu s polomerom rovným dĺžke druhej známej strany (b) so stredom v bode A.

Nakreslite segment, ktorý by mal začínať v bode B, prechádzať bodom M a končiť v bode priesečníka priamky s kružnicou, ktorú ste nakreslili v predchádzajúcom kroku. Označte priesečník písmenom C. Teraz je strana BC, neznáma podľa podmienok úlohy, skonštruovaná v želanej.

Schopnosť rozdeliť ľubovoľný uhol osou je potrebná nielen na získanie „A“ v matematike. Tieto znalosti budú veľmi užitočné pre staviteľov, dizajnérov, geodetov a krajčírok. V živote musíte vedieť rozdeliť veľa vecí na polovicu.

Všetci v škole sa naučili vtip o potkanovi, ktorý behá za rohy a rozdeľuje roh na polovicu. Tento šikovný a inteligentný hlodavec sa volal Bisector. Nie je známe, ako potkan rozdelil roh, ale v školskej učebnici „Geometria“ možno pre matematikov navrhnúť nasledujúce metódy.

Pomocou uhlomeru

Najjednoduchší spôsob vedenia osi je pomocou zariadenia na. Musíte pripevniť uhlomer na jednu stranu uhla, pričom referenčný bod zarovnáte s jeho hrotom O. Potom zmerajte hodnotu uhla v stupňoch alebo radiánoch a vydeľte ho dvoma. Pomocou toho istého uhlomeru odložte získané stupne z jednej zo strán a nakreslite priamku, ktorá sa stane osou, k počiatočnému bodu uhla O.

Pomocou kompasu

Musíte si vziať kompas a presunúť ho na ľubovoľnú veľkosť (v medziach výkresu). Po umiestnení hrotu do počiatočného bodu uhla O nakreslite oblúk pretínajúci lúče a označte na nich dva body. Sú označené A1 a A2. Potom umiestnením kompasu striedavo do týchto bodov by ste mali nakresliť dva kruhy s rovnakým ľubovoľným priemerom (v mierke výkresu). Body ich priesečníka sú označené C a B. Ďalej musíte nakresliť priamku cez body O, C a B, čo bude požadovaná os.

Pomocou pravítka

Aby ste pomocou pravítka nakreslili osičku uhla, musíte oddeliť segmenty rovnakej dĺžky z bodu O na lúčoch (stranách) a označiť ich ako body A a B. Potom by ste ich mali spojiť priamkou a pomocou pravítka rozdeľte výsledný segment na polovicu a označte bod C. Ak nakreslíte priamku cez body C a O, získate stred.

Žiadne nástroje

Ak neexistujú žiadne meracie nástroje, môžete použiť svoju vynaliezavosť. Stačí jednoducho nakresliť uhol na pauzovací papier alebo obyčajný tenký papier a kus papiera opatrne zložiť tak, aby sa lúče uhla zarovnali. Čiara ohybu na výkrese bude požadovaná os.

Priamy uhol

Uhol väčší ako 180 stupňov možno rozdeliť pomocou rovnakých metód. Bude potrebné rozdeliť nie to, ale ostrý uhol priľahlý k nemu, ktorý zostáva z kruhu. Pokračovaním nájdenej osy sa stane požadovaná priamka, ktorá rozdelí rozvinutý uhol na polovicu.

Uhly v trojuholníku

Malo by sa pamätať na to, že v rovnostrannom trojuholníku je stred aj stred a nadmorská výška. Preto možno stred v nej nájsť jednoduchým znížením kolmice na stranu oproti uhlu (výška) alebo rozdelením tejto strany na polovicu a spojením stredu s opačným uhlom (medián).

Video k téme

Mnemotechnické pravidlo „priečna je krysa, ktorá behá okolo rohov a delí ich na polovicu“ popisuje podstatu konceptu, ale neposkytuje odporúčania na vytvorenie osy. Na jeho nakreslenie budete potrebovať okrem pravidla aj kružidlo a pravítko.

Pokyny

Povedzme, že potrebujete stavať bisector uhol A. Vezmite kružidlo, umiestnite jeho hrot do bodu A (uhol) a nakreslite kružnicu ľubovoľného . Tam, kde pretína strany rohu, umiestnite body B a C.

Zmerajte polomer prvého kruhu. Nakreslite ďalší s rovnakým polomerom a umiestnite kružidlo do bodu B.

Nakreslite nasledujúci kruh (rovnajúci sa veľkosti predchádzajúcich) so stredom v bode C.

Všetky tri kružnice sa musia pretínať v jednom bode – nazvime ho F. Pomocou pravítka nakreslite lúč prechádzajúci bodmi A a F. Toto bude požadovaná os uhla A.

Existuje niekoľko pravidiel, ktoré vám pomôžu nájsť. Napríklad v , je opačný, rovný pomeru dvoch susedných strán. V rovnoramennom

Trojuholník je mnohouholník s tromi stranami alebo uzavretá prerušovaná čiara s tromi článkami alebo obrazec tvorený tromi segmentmi spájajúcimi tri body, ktoré neležia na rovnakej priamke (pozri obr. 1).

Základné prvky trojuholníka abc

Vrcholy – body A, B a C;

strany – segmenty a = BC, b = AC a c = AB spájajúce vrcholy;

Uhly – α, β, γ tvorené tromi pármi strán. Uhly sú často označené rovnakým spôsobom ako vrcholy s písmenami A, B a C.

Uhol, ktorý zvierajú strany trojuholníka a leží v jeho vnútornej oblasti, sa nazýva vnútorný uhol a ten, ktorý k nemu susedí, je priľahlý uhol trojuholníka (2, s. 534).

Výšky, stredy, osy a stredy trojuholníka

Okrem hlavných prvkov v trojuholníku sa berú do úvahy aj ďalšie segmenty so zaujímavými vlastnosťami: výšky, mediány, osy a stredové čiary.

Výška

Výšky trojuholníka- sú to kolmice spadnuté z vrcholov trojuholníka na opačné strany.

Ak chcete vykresliť výšku, musíte vykonať nasledujúce kroky:

1) nakreslite priamku obsahujúcu jednu zo strán trojuholníka (ak je výška nakreslená od vrcholu ostrého uhla v tupom trojuholníku);

2) z vrcholu ležiaceho oproti nakreslenej čiare nakreslite úsečku od bodu k tejto čiare a zvierajte s ňou uhol 90 stupňov.

Priesečník nadmorskej výšky so stranou trojuholníka sa nazýva výškový základ (pozri obr. 2).

Vlastnosti výšok trojuholníkov

V pravouhlom trojuholníku nadmorská výška nakreslená od vrcholu pravého uhla ho rozdeľuje na dva trojuholníky podobné pôvodnému trojuholníku.

V ostrom trojuholníku jeho dve nadmorské výšky z neho odrežú podobné trojuholníky.

Ak je trojuholník ostrý, potom všetky základne výšok patria stranám trojuholníka a v tupom trojuholníku pripadajú dve výšky na pokračovanie strán.

Tri výšky v ostrom trojuholníku sa pretínajú v jednom bode a tento bod sa nazýva ortocentrum trojuholník.

Medián

Mediány(z lat. mediana – „stred“) – sú to segmenty spájajúce vrcholy trojuholníka so stredmi protiľahlých strán (pozri obr. 3).

Ak chcete vytvoriť medián, musíte vykonať nasledujúce kroky:

1) nájdite stred strany;

2) bod, ktorý je stredom strany trojuholníka s opačným vrcholom, spojte úsečkou.

Vlastnosti stredov trojuholníka

Medián rozdeľuje trojuholník na dva trojuholníky rovnakej plochy.

Strednice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý rozdeľuje každý z nich v pomere 2:1, počítajúc od vrcholu. Tento bod sa nazýva ťažisko trojuholník.

Celý trojuholník je rozdelený stredom na šesť rovnakých trojuholníkov.

Bisector

Bisectors(z lat. bis - dvakrát a seko - rez) sú úsečky priamej čiary uzavreté vo vnútri trojuholníka, ktoré pretínajú jeho uhly (pozri obr. 4).

Ak chcete vytvoriť os, musíte vykonať nasledujúce kroky:

1) zostrojte lúč vychádzajúci z vrcholu uhla a rozdeľujúci ho na dve rovnaké časti (sektor uhla);

2) nájdite priesečník osi uhla trojuholníka s opačnou stranou;

3) vyberte segment spájajúci vrchol trojuholníka s priesečníkom na opačnej strane.

Vlastnosti osi trojuholníka

Osa uhla trojuholníka rozdeľuje opačnú stranu v pomere, ktorý sa rovná pomeru dvoch susedných strán.

Osy vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Tento bod sa nazýva stred vpísanej kružnice.

Osy vnútorného a vonkajšieho uhla sú kolmé.

Ak os vonkajšieho uhla trojuholníka pretína rozšírenie opačnej strany, potom ADBD=ACBC.

Osy jedného vnútorného a dvoch vonkajších uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Tento bod je stredom jednej z troch kružníc tohto trojuholníka.

Základny osi dvoch vnútorných a jedného vonkajšieho uhla trojuholníka ležia na tej istej priamke, ak osi vonkajšieho uhla nie je rovnobežná s opačnou stranou trojuholníka.

Ak osy vonkajších uhlov trojuholníka nie sú rovnobežné s opačnými stranami, potom ich základne ležia na rovnakej priamke.