Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie

Najväčšia hodnota funkcie je najväčšia, najmenšia hodnota je najmenšia zo všetkých jej hodnôt.

Funkcia môže mať iba jednu najväčšiu a iba jednu najmenšiu hodnotu alebo nemusí mať žiadnu. Hľadanie najväčších a najmenších hodnôt spojitých funkcií je založené na nasledujúcich vlastnostiach týchto funkcií:

1) Ak je v určitom intervale (konečnom alebo nekonečnom) funkcia y=f(x) spojitá a má len jeden extrém a ak je toto maximum (minimum), potom to bude najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie v tomto intervale.

2) Ak je funkcia f(x) spojitá na určitom segmente, potom má nevyhnutne najväčšie a najmenšie hodnoty na tomto segmente. Tieto hodnoty sa dosahujú buď v extrémnych bodoch ležiacich vo vnútri segmentu, alebo na hraniciach tohto segmentu.

Ak chcete nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty v segmente, odporúča sa použiť nasledujúcu schému:

1. Nájdite deriváciu.

2. Nájdite kritické body funkcie, v ktorých =0 alebo neexistuje.

3. Nájdite hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu a vyberte z nich najväčšie f max a najmenšie f max.

Pri riešení aplikovaných problémov, najmä optimalizačných, sú dôležité problémy s nájdením najväčších a najmenších hodnôt (globálneho maxima a globálneho minima) funkcie na intervale X , vyberte nezávislú premennú a prostredníctvom tejto premennej vyjadrite skúmanú hodnotu. Potom nájdite požadovanú najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu výslednej funkcie. V tomto prípade sa z podmienok úlohy určí aj interval zmeny nezávislej premennej, ktorý môže byť konečný alebo nekonečný.

Príklad. Nádrž, ktorá má tvar otvoreného vrchu pravouhlého rovnobežnostena so štvorcovým dnom, musí byť vo vnútri pocínovaná. Aké by mali byť rozmery nádrže, ak je jej kapacita 108 litrov? vody, aby náklady na jej pocínovanie boli minimálne?

Riešenie. Náklady na potiahnutie nádrže cínom budú minimálne, ak je pri danej kapacite jej povrch minimálny. Označme a dm stranu základne, b dm výšku nádrže. Potom sa plocha S jeho povrchu rovná

A

Výsledný vzťah stanovuje vzťah medzi povrchom nádrže S (funkcia) a stranou základne a (argument). Preskúmajme funkciu S pre extrém. Poďme nájsť prvú deriváciu, prirovnať ju k nule a vyriešiť výslednú rovnicu:

Preto a = 6. (a) > 0 pre a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Príklad. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na intervale.

Riešenie: Daná funkcia je súvislá pozdĺž celej číselnej osi. Derivácia funkcie

Derivát pre a pre . Vypočítajme funkčné hodnoty v týchto bodoch:

.

Hodnoty funkcie na koncoch daného intervalu sú rovnaké. Preto sa najväčšia hodnota funkcie rovná at , najmenšia hodnota funkcie sa rovná at .

Samotestovacie otázky

1. Formulujte L'Hopitalovo pravidlo na odhaľovanie neurčitostí formy. Uveďte rôzne typy neistôt, na vyriešenie ktorých možno použiť L'Hopitalovo pravidlo.

2. Formulujte znaky rastúcich a klesajúcich funkcií.

3. Definujte maximum a minimum funkcie.

4. Formulujte nevyhnutnú podmienku existencie extrému.

5. Aké hodnoty argumentu (ktoré body) sa nazývajú kritické? Ako nájsť tieto body?

6. Aké sú dostatočné znaky existencie extrému funkcie? Načrtnite schému na štúdium funkcie v extréme pomocou prvej derivácie.

7. Načrtnite schému na štúdium funkcie v extréme pomocou druhej derivácie.

8. Definujte konvexnosť a konkávnosť krivky.

9. Čo sa nazýva inflexný bod grafu funkcie? Uveďte spôsob nájdenia týchto bodov.

10. Formulujte potrebné a dostatočné znaky konvexnosti a konkávnosti krivky na danom segmente.

11. Definujte asymptotu krivky. Ako nájsť zvislé, vodorovné a šikmé asymptoty grafu funkcie?

12. Načrtnite všeobecnú schému na štúdium funkcie a zostrojenie jej grafu.

13. Formulujte pravidlo na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie na danom intervale.

Z praktického hľadiska je najväčší záujem použiť deriváciu na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie. S čím to súvisí? Maximalizácia zisku, minimalizácia nákladov, určenie optimálneho zaťaženia zariadení... Inými slovami, v mnohých oblastiach života musíme riešiť problémy s optimalizáciou niektorých parametrov. A to sú úlohy nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Je potrebné poznamenať, že najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie sa zvyčajne hľadajú na určitom intervale X, ktorý je buď celým oborom funkcie, alebo časťou oblasti definície. Samotný interval X môže byť segment, otvorený interval , nekonečný interval.

V tomto článku budeme hovoriť o hľadaní najväčších a najmenších hodnôt explicitne špecifikovanej funkcie jednej premennej y=f(x) .

Navigácia na stránke.

Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie - definície, ilustrácie.

Pozrime sa stručne na hlavné definície.

Najväčšia hodnota funkcie že pre kohokoľvek nerovnosť je pravdivá.

Najmenšia hodnota funkcie y=f(x) na intervale X sa nazýva takáto hodnota že pre kohokoľvek nerovnosť je pravdivá.

Tieto definície sú intuitívne: najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie je najväčšia (najmenšia) akceptovaná hodnota na uvažovanom intervale na vodorovnej osi.

Stacionárne body– toto sú hodnoty argumentu, pri ktorých sa derivácia funkcie stáva nulou.

Prečo potrebujeme stacionárne body pri hľadaní najväčších a najmenších hodnôt? Odpoveď na túto otázku dáva Fermatova veta. Z tejto vety vyplýva, že ak má diferencovateľná funkcia v určitom bode extrém (lokálne minimum alebo lokálne maximum), potom je tento bod stacionárny. Funkcia teda často nadobúda svoju najväčšiu (najmenšiu) hodnotu na intervale X v jednom zo stacionárnych bodov z tohto intervalu.

Funkcia môže tiež často nadobúdať svoje najväčšie a minimálne hodnoty v bodoch, v ktorých prvá derivácia tejto funkcie neexistuje a funkcia samotná je definovaná.

Okamžite odpovedzme na jednu z najčastejších otázok na túto tému: „Je vždy možné určiť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie“? Nie, nie vždy. Niekedy sa hranice intervalu X zhodujú s hranicami definičného oboru funkcie, alebo je interval X nekonečný. A niektoré funkcie v nekonečne a na hraniciach oblasti definície môžu nadobúdať nekonečne veľké aj nekonečne malé hodnoty. V týchto prípadoch nemožno nič povedať o najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Pre prehľadnosť uvedieme grafické znázornenie. Pozrite sa na obrázky a mnohé bude jasnejšie.

Na segmente

Na prvom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch umiestnených vo vnútri segmentu [-6;6].

Zvážte prípad zobrazený na druhom obrázku. Zmeňme segment na . V tomto príklade sa najmenšia hodnota funkcie dosiahne v stacionárnom bode a najväčšia v bode s osou zodpovedajúcou pravej hranici intervalu.

Na obrázku 3 sú hraničné body segmentu [-3;2] úsečkami bodov zodpovedajúcich najväčšej a najmenšej hodnote funkcie.

Na otvorenom intervale

Na štvrtom obrázku funkcia naberá najväčšie (max y) a najmenšie (min y) hodnoty v stacionárnych bodoch umiestnených vo vnútri otvoreného intervalu (-6;6).

Pri intervale nemožno vyvodiť závery o najväčšej hodnote.

V nekonečne

V príklade uvedenom na siedmom obrázku má funkcia najväčšiu hodnotu (max y) v stacionárnom bode s os x=1 a najmenšiu hodnotu (min y) dosiahne na pravej hranici intervalu. V mínus nekonečne sa hodnoty funkcie asymptoticky blížia k y=3.

V priebehu intervalu funkcia nedosahuje ani najmenšiu, ani najväčšiu hodnotu. Keď sa x=2 približuje sprava, funkčné hodnoty majú tendenciu k mínus nekonečnu (čiara x=2 je vertikálna asymptota) a keď sa úsečka blíži k plus nekonečnu, funkčné hodnoty sa asymptoticky približujú k y=3. Grafické znázornenie tohto príkladu je znázornené na obrázku 8.

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie na segmente.

Napíšme algoritmus, ktorý nám umožní nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente.

1. Nájdeme doménu definície funkcie a skontrolujeme, či obsahuje celý segment.
2. Nájdeme všetky body, v ktorých prvá derivácia neexistuje a ktoré sú obsiahnuté v segmente (zvyčajne takéto body nájdeme vo funkciách s argumentom pod znamienkom modulu a v mocninných funkciách s zlomkovo-racionálnym exponentom). Ak takéto body neexistujú, prejdite na ďalší bod.
3. Určíme všetky stacionárne body spadajúce do segmentu. Aby sme to urobili, vyrovnáme sa nule, vyriešime výslednú rovnicu a vyberieme vhodné korene. Ak neexistujú žiadne stacionárne body alebo žiadny z nich nespadá do segmentu, prejdite na ďalší bod.
4. Hodnoty funkcie vypočítame vo vybraných stacionárnych bodoch (ak existujú), v bodoch, v ktorých prvá derivácia neexistuje (ak existuje), ako aj v x=a a x=b.
5. Zo získaných hodnôt funkcie vyberieme najväčšiu a najmenšiu - budú to požadované najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie.

Poďme analyzovať algoritmus na riešenie príkladu, aby sme našli najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na segmente.

Príklad.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

• na segmente;
• na segmente [-4;-1] .

Riešenie.

Definičný obor funkcie je celá množina reálnych čísel, teda s výnimkou nuly. Oba segmenty spadajú do definičnej domény.

Nájdite deriváciu funkcie vzhľadom na:

Je zrejmé, že derivácia funkcie existuje vo všetkých bodoch segmentov a [-4;-1].

Z rovnice určíme stacionárne body. Jediný skutočný koreň je x=2. Tento stacionárny bod spadá do prvého segmentu.

V prvom prípade vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v stacionárnom bode, teda pre x=1, x=2 a x=4:

Preto najväčšia hodnota funkcie sa dosiahne pri x=1 a najmenšej hodnote - pri x=2.

V druhom prípade vypočítame funkčné hodnoty iba na koncoch segmentu [-4;-1] (keďže neobsahuje jediný stacionárny bod):

V tomto článku budem hovoriť o tom, ako aplikovať zručnosť hľadania na štúdium funkcie: nájsť jej najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu. A potom vyriešime niekoľko problémov z úlohy B15 z otvorenej banky úloh pre.

Ako obvykle, najprv si pripomeňme teóriu.

Na začiatku každého štúdia funkcie ju nájdeme

Ak chcete nájsť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie, musíte preskúmať, v ktorých intervaloch funkcia rastie a v ktorých klesá.

Aby sme to dosiahli, musíme nájsť deriváciu funkcie a preskúmať jej intervaly konštantného znamienka, teda intervaly, v ktorých si derivácia zachováva svoje znamienko.

Intervaly, počas ktorých je derivácia funkcie kladná, sú intervaly rastúcej funkcie.

Intervaly, v ktorých je derivácia funkcie záporná, sú intervaly klesajúcej funkcie.

1. Vyriešme úlohu B15 (č. 245184)

Aby sme to vyriešili, budeme postupovať podľa nasledujúceho algoritmu:

a) Nájdite definičný obor funkcie

b) Nájdime deriváciu funkcie.

c) Prirovnajme to k nule.

d) Nájdite intervaly konštantného znamienka funkcie.

e) Nájdite bod, v ktorom funkcia nadobúda najväčšiu hodnotu.

f) Nájdite hodnotu funkcie v tomto bode.

Podrobné riešenie tejto úlohy vysvetľujem vo VIDEONÁVODE:

Váš prehliadač pravdepodobne nie je podporovaný. Ak chcete použiť simulátor zjednotenej štátnej skúšky, skúste si ho stiahnuť
Firefox

2. Vyriešme úlohu B15 (č. 282862)

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie na segmente

Je zrejmé, že funkcia nadobúda najväčšiu hodnotu na segmente v maximálnom bode, pri x=2. V tomto bode nájdeme hodnotu funkcie:

odpoveď: 5

3. Vyriešme úlohu B15 (č. 245180):

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Pretože podľa domény definície pôvodnej funkcie title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Čitateľ sa rovná nule v . Skontrolujeme, či ODZ patrí do funkcie. Ak to chcete urobiť, skontrolujte, či je podmienka title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

to znamená, že bod patrí do funkcie ODZ

Pozrime sa na znamienko derivácie napravo a naľavo od bodu:

Vidíme, že funkcia nadobúda najväčšiu hodnotu v bode . Teraz nájdime hodnotu funkcie na:

Poznámka 1. Všimnite si, že v tejto úlohe sme nenašli definičný definičný obor funkcie: len sme opravili obmedzenia a skontrolovali, či bod, v ktorom sa derivácia rovná nule, patrí do definičného oboru funkcie. To sa ukázalo ako dostatočné na túto úlohu. Nie vždy to však platí. Závisí to od úlohy.

Poznámka 2. Pri štúdiu správania komplexnej funkcie môžete použiť nasledujúce pravidlo:

• ak vonkajšia funkcia komplexnej funkcie rastie, potom funkcia nadobúda najväčšiu hodnotu v tom istom bode, v ktorom má vnútorná funkcia najväčšiu hodnotu. Vyplýva to z definície rastúcej funkcie: funkcia rastie na intervale I, ak väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.
• ak vonkajšia funkcia komplexnej funkcie klesá, potom funkcia nadobudne svoju najväčšiu hodnotu v tom istom bode, v ktorom vnútorná funkcia nadobudne svoju najmenšiu hodnotu . Vyplýva to z definície klesajúcej funkcie: funkcia klesá na intervale I, ak väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

V našom príklade sa vonkajšia funkcia zvyšuje v celej oblasti definície. Pod znamienkom logaritmu je výraz - štvorcová trojčlenka, ktorá so záporným vodiacim koeficientom nadobúda najväčšiu hodnotu v bode. . Ďalej túto hodnotu x dosadíme do rovnice funkcie a nájsť jeho najväčšiu hodnotu.

V tomto článku budem hovoriť o algoritmus na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie, minimálny a maximálny počet bodov.

Z teórie sa nám to určite bude hodiť derivačná tabuľka A pravidlá diferenciácie. Všetko je na tomto tanieri:

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt.

Je pre mňa pohodlnejšie vysvetliť to na konkrétnom príklade. Zvážte:

Príklad: Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=x^5+20x^3–65x na segmente [–4;0].

Krok 1 Berieme derivát.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Krok 2 Hľadanie extrémnych bodov.

Extrémny bod nazývame tie body, v ktorých funkcia dosiahne svoju najväčšiu alebo minimálnu hodnotu.

Ak chcete nájsť extrémne body, musíte prirovnať deriváciu funkcie k nule (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Teraz riešime túto bikvadratickú rovnicu a nájdené korene sú našimi extrémnymi bodmi.

Takéto rovnice riešim nahradením t = x^2, potom 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Zmenšíme rovnicu o 5, dostaneme: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Urobíme opačnú zmenu x^2 = t:

X_(1 a 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 a 4) = ±sqrt(-13) (vylučujeme, pod koreňom nemôžu byť záporné čísla, pokiaľ samozrejme nehovoríme o komplexných číslach)

Celkom: x_(1) = 1 a x_(2) = -1 - to sú naše extrémne body.

Krok 3. Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu.

Substitučná metóda.

V podmienke sme dostali segment [b][–4;0]. Bod x=1 nie je zahrnutý v tomto segmente. Takže o tom neuvažujeme. Ale okrem bodu x=-1 musíme zvážiť aj ľavú a pravú hranicu nášho segmentu, teda body -4 a 0. Aby sme to dosiahli, dosadíme všetky tieto tri body do pôvodnej funkcie. Všimnite si, že pôvodný je ten, ktorý je uvedený v podmienke (y=x^5+20x^3–65x), niektorí ľudia ho začnú dosadzovať do derivátu...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

To znamená, že najväčšia hodnota funkcie je [b]44 a je dosiahnutá v bode [b]-1, ktorý sa nazýva maximálny bod funkcie na segmente [-4; 0].

Rozhodli sme sa a dostali odpoveď, sme skvelí, môžete si oddýchnuť. Ale prestaň! Nezdá sa vám, že vypočítať y(-4) je nejako príliš náročné? V podmienkach obmedzeného času je lepšie použiť inú metódu, nazývam ju takto:

Prostredníctvom intervalov stálosti znamienka.

Tieto intervaly nájdeme pre deriváciu funkcie, teda pre našu bikvadratickú rovnicu.

Ja to robím takto. Nakreslím nasmerovaný segment. Body umiestňujem: -4, -1, 0, 1. Napriek tomu, že 1 v danom segmente nie je zahrnutá, treba si to ešte všimnúť, aby sa správne určili intervaly stálosti znamienka. Zoberme si nejaké číslo mnohonásobne väčšie ako 1, povedzme 100, a v duchu ho dosaďte do našej bikvadratickej rovnice 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Aj bez toho, aby sme čokoľvek spočítali, je zrejmé, že v bode 100 funkcia má znamienko plus. To znamená, že pre intervaly od 1 do 100 má znamienko plus. Pri prechode cez 1 (ideme sprava doľava) funkcia zmení znamienko na mínus. Pri prechode cez bod 0 si funkcia zachová svoje znamienko, pretože toto je len hranica segmentu a nie koreň rovnice. Pri prechode cez -1 funkcia opäť zmení znamienko na plus.

Z teórie vieme, že kde je derivácia funkcie (a presne pre ňu sme to nakreslili) zmení znamienko z plus na mínus (v našom prípade bod -1) funkcia dosiahne jeho lokálne maximum (y(-1)=44, ako bolo vypočítané skôr) na tomto segmente (to je logicky veľmi pochopiteľné, funkcia sa prestala zvyšovať, pretože dosiahla maximum a začala klesať).

V súlade s tým, kde derivácia funkcie zmení znamienko z mínus na plus, je dosiahnuté lokálne minimum funkcie. Áno, áno, tiež sme zistili, že bod lokálneho minima je 1 a y(1) je minimálna hodnota funkcie na segmente, povedzme od -1 do +∞. Upozorňujeme, že toto je len MIESTNE MINIMUM, teda minimum na určitom segmente. Keďže skutočné (globálne) minimum funkcie dosiahne niekde tam, na -∞.

Podľa môjho názoru je prvý spôsob jednoduchší teoreticky a druhý je jednoduchší z hľadiska aritmetických operácií, ale oveľa zložitejší z hľadiska teórie. Koniec koncov, niekedy existujú prípady, keď funkcia pri prechode cez koreň rovnice nezmení znamienko a vo všeobecnosti sa môžete s týmito lokálnymi, globálnymi maximami a minimami pomýliť, aj keď to budete musieť aj tak dobre ovládať, ak plánovať vstúpiť na technickú univerzitu (a prečo inak absolvovať profilovú jednotnú štátnu skúšku a vyriešiť túto úlohu). Ale prax a len prax vás naučí takéto problémy raz a navždy vyriešiť. A cvičiť môžete na našej stránke. tu .

Ak máte nejaké otázky alebo vám niečo nie je jasné, určite sa pýtajte. Rád vám odpoviem a urobím zmeny a doplnky v článku. Pamätajte, že túto stránku tvoríme spoločne!

Štandardný algoritmus na riešenie takýchto problémov zahŕňa po nájdení núl funkcie určenie znamienok derivácie na intervaloch. Potom výpočet hodnôt v zistených maximálnych (alebo minimálnych) bodoch a na hranici intervalu, v závislosti od toho, aká otázka je v stave.

Radím vám robiť veci trochu inak. prečo? O tomto som písal.

Navrhujem riešiť takéto problémy nasledovne:

1. Nájdite deriváciu.
2. Nájdite nuly derivácie.
3. Určte, ktoré z nich patria do tohto intervalu.
4. Vypočítame hodnoty funkcie na hraniciach intervalu a bodov kroku 3.
5. Vyvodíme záver (odpovedzte na položenú otázku).

Pri riešení prezentovaných príkladov nie je podrobne rozoberané riešenie kvadratických rovníc, mali by ste to zvládnuť. Mali by tiež vedieť.

Pozrime sa na príklady:

77422. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=x 3 –3x+4 na segmente [–2;0].

Nájdite nuly derivácie:

Bod x = –1 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.

Hodnoty funkcie vypočítame v bodoch –2, –1 a 0:

Najväčšia hodnota funkcie je 6.

odpoveď: 6

77425. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y = x 3 – 3x 2 + 2 na úsečke.

Poďme nájsť deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie:

Interval uvedený v podmienke obsahuje bod x = 2.

Vypočítame hodnoty funkcie v bodoch 1, 2 a 4:

Najmenšia hodnota funkcie je –2.

Odpoveď: -2

77426. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y = x 3 – 6x 2 na úsečke [–3;3].

Poďme nájsť deriváciu danej funkcie:

Nájdite nuly derivácie:

Bod x = 0 patrí do intervalu uvedeného v podmienke.

Hodnoty funkcie vypočítame v bodoch –3, 0 a 3:

Najmenšia hodnota funkcie je 0.

odpoveď: 0

77429. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y = x 3 – 2x 2 + x +3 na úsečke.

Poďme nájsť deriváciu danej funkcie:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Dostaneme korene: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Interval uvedený v podmienke obsahuje iba x = 1.

Nájdite hodnoty funkcie v bodoch 1 a 4:

Zistili sme, že najmenšia hodnota funkcie je 3.

odpoveď: 3

77430. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y = x 3 + 2x 2 + x + 3 na úsečke [– 4; –1].

Poďme nájsť deriváciu danej funkcie:

Poďme nájsť nuly derivácie a vyriešiť kvadratickú rovnicu:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Poďme ku koreňom:

Koreň x = –1 patrí do intervalu špecifikovaného v podmienke.

Hodnoty funkcie nájdeme v bodoch –4, –1, –1/3 a 1:

Zistili sme, že najväčšia hodnota funkcie je 3.

odpoveď: 3

77433. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y = x 3 – x 2 – 40x +3 na úsečke.

Poďme nájsť deriváciu danej funkcie:

Poďme nájsť nuly derivácie a vyriešiť kvadratickú rovnicu:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Poďme ku koreňom:

Interval uvedený v podmienke obsahuje koreň x = 4.

Nájdite hodnoty funkcií v bodoch 0 a 4:

Zistili sme, že najmenšia hodnota funkcie je –109.

Odpoveď: -109

Uvažujme o spôsobe, ako určiť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcií bez derivácie. Tento prístup je možné použiť, ak máte veľké problémy s určením derivácie. Princíp je jednoduchý - do funkcie dosadíme všetky celočíselné hodnoty z intervalu (faktom je, že vo všetkých takýchto prototypoch je odpoveď celé číslo).

77437. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y=7+12x–x 3 na segmente [–2;2].

Náhradné body z –2 na 2: Zobraziť riešenie

77434. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 na segmente [–2;0].

To je všetko. Nech sa vám darí!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.