Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie

Najväčšia hodnota funkcie je najväčšia, najmenšia hodnota je najmenšia zo všetkých jej hodnôt.

Funkcia môže mať iba jednu najväčšiu a iba jednu najmenšiu hodnotu alebo nemusí mať žiadnu. Hľadanie najväčších a najmenších hodnôt spojitých funkcií je založené na nasledujúcich vlastnostiach týchto funkcií:

1) Ak je v určitom intervale (konečnom alebo nekonečnom) funkcia y=f(x) spojitá a má len jeden extrém a ak je toto maximum (minimum), potom to bude najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie v tomto intervale.

2) Ak je funkcia f(x) spojitá na určitom segmente, potom má nevyhnutne najväčšie a najmenšie hodnoty na tomto segmente. Tieto hodnoty sa dosahujú buď v extrémnych bodoch ležiacich vo vnútri segmentu, alebo na hraniciach tohto segmentu.

Ak chcete nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty v segmente, odporúča sa použiť nasledujúcu schému:

1. Nájdite deriváciu.

2. Nájdite kritické body funkcie, v ktorých =0 alebo neexistuje.

3. Nájdite hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu a vyberte z nich najväčšie f max a najmenšie f max.

Pri riešení aplikovaných problémov, najmä optimalizačných, sú dôležité problémy s nájdením najväčších a najmenších hodnôt (globálneho maxima a globálneho minima) funkcie na intervale X , vyberte nezávislú premennú a prostredníctvom tejto premennej vyjadrite skúmanú hodnotu. Potom nájdite požadovanú najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu výslednej funkcie. V tomto prípade sa z podmienok úlohy určí aj interval zmeny nezávislej premennej, ktorá môže byť konečná alebo nekonečná.

Príklad. Nádrž, ktorá má tvar otvoreného vrchného obdĺžnikového rovnobežnostena so štvorcovým dnom, musí byť vo vnútri pocínovaná. Aké by mali byť rozmery nádrže, ak je jej objem 108 litrov? vody, aby náklady na jej pocínovanie boli minimálne?

Riešenie. Náklady na potiahnutie nádrže cínom budú minimálne, ak je pri danej kapacite jej povrch minimálny. Označme a dm stranu základne, b dm výšku nádrže. Potom sa plocha S jeho povrchu rovná

A

Výsledný vzťah stanovuje vzťah medzi povrchom nádrže S (funkcia) a stranou základne a (argument). Preskúmajme funkciu S pre extrém. Poďme nájsť prvú deriváciu, prirovnať ju k nule a vyriešiť výslednú rovnicu:

Preto a = 6. (a) > 0 pre a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Príklad. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na intervale.

Riešenie: Daná funkcia je súvislá pozdĺž celej číselnej osi. Derivácia funkcie

Derivát pre a pre . Vypočítajme funkčné hodnoty v týchto bodoch:

.

Hodnoty funkcie na koncoch daného intervalu sú rovnaké. Preto sa najväčšia hodnota funkcie rovná at , najmenšia hodnota funkcie sa rovná at .

Samotestovacie otázky

1. Formulujte L'Hopitalovo pravidlo na odhaľovanie neurčitostí formy. Zoznam Rôzne druhy neistoty, pre ktoré možno použiť L'Hopitalovo pravidlo.

2. Formulujte znaky rastúcich a klesajúcich funkcií.

3. Definujte maximum a minimum funkcie.

4. Formulujte nevyhnutnú podmienku existencie extrému.

5. Aké hodnoty argumentu (ktoré body) sa nazývajú kritické? Ako nájsť tieto body?

6. Aké sú dostatočné znaky existencie extrému funkcie? Načrtnite schému na štúdium funkcie v extréme pomocou prvej derivácie.

7. Načrtnite schému na štúdium funkcie v extréme pomocou druhej derivácie.

8. Definujte konvexnosť a konkávnosť krivky.

9. Čo sa nazýva inflexný bod grafu funkcie? Uveďte spôsob nájdenia týchto bodov.

10. Formulujte potrebné a dostatočné znaky konvexnosti a konkávnosti krivky na danom segmente.

11. Definujte asymptotu krivky. Ako nájsť zvislé, vodorovné a šikmé asymptoty grafu funkcie?

12. Načrtnite všeobecnú schému na štúdium funkcie a zostrojenie jej grafu.

13. Formulujte pravidlo na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie na danom intervale.

Pozrime sa, ako skúmať funkciu pomocou grafu. Ukazuje sa, že pri pohľade na graf môžeme zistiť všetko, čo nás zaujíma, a to:

• doména funkcie
• funkčný rozsah
• funkčné nuly
• intervaly zvyšovania a znižovania
• maximálny a minimálny počet bodov
• najväčšia a najmenšia hodnota funkcie na segmente.

Ujasnime si terminológiu:

Abscisa je horizontálna súradnica bodu.
Ordinovať- vertikálna súradnica.
Abscisová os- vodorovná os, najčastejšie nazývaná os.
os Y- vertikálna os, alebo os.

Argument- nezávislá premenná, od ktorej závisia funkčné hodnoty. Najčastejšie indikované.
Inými slovami, vyberieme , dosadíme funkcie do vzorca a dostaneme .

doména funkcie - množina tých (a iba tých) hodnôt argumentov, pre ktoré funkcia existuje.
Označuje: alebo.

Na našom obrázku je doménou definície funkcie segment. Práve na tomto segmente je nakreslený graf funkcie. Toto je jediné miesto, kde táto funkcia existuje.

Rozsah funkcií je množina hodnôt, ktoré premenná nadobúda. Na našom obrázku ide o segment – ​​od najnižšej po najvyššiu hodnotu.

Funkčné nuly- body, kde je hodnota funkcie nula, tzn. Na našom obrázku sú to body a .

Funkčné hodnoty sú kladné kde . Na našom obrázku sú to intervaly a .
Funkčné hodnoty sú záporné kde . Pre nás je to interval (alebo interval) od do .

Najdôležitejšie pojmy - zvyšovanie a znižovanie funkcie na nejakej zostave. Ako množinu môžete vziať segment, interval, spojenie intervalov alebo celú číselnú os.

Funkcia zvyšuje

Inými slovami, čím viac, tým viac, to znamená, že graf ide doprava a nahor.

Funkcia klesá na množine, ak pre nejaké a patriace do množiny, nerovnosť implikuje nerovnosť .

Pre klesajúcu funkciu väčšia hodnota zodpovedá menšej hodnote. Graf ide doprava a dole.

Na našom obrázku funkcia rastie na intervale a klesá na intervaloch a .

Definujme, čo to je maximálne a minimálne body funkcie.

Maximálny bod- toto je vnútorný bod definičného oboru, takže hodnota funkcie v ňom je väčšia ako vo všetkých bodoch dostatočne blízko k nemu.
Inými slovami, maximálny bod je bod, v ktorom je hodnota funkcie viac ako v susedných. Toto je miestny „kopec“ na mape.

Na našom obrázku je maximálny bod.

Minimálny bod- vnútorný bod definičného oboru, takže hodnota funkcie v ňom je menšia ako vo všetkých bodoch dostatočne blízko k nemu.
To znamená, že minimálny bod je taký, že hodnota funkcie v ňom je menšia ako v jeho susedoch. Toto je lokálna „diera“ na grafe.

Na našom obrázku je minimálny bod.

Pointa je hranica. Nie je vnútorným bodom domény definície, a preto nezodpovedá definícii maximálneho bodu. Veď ona nemá susedov vľavo. Rovnako tak na našom grafe nemôže byť minimálny bod.

Maximálny a minimálny počet bodov sa nazývajú spolu extrémne body funkcie. V našom prípade je to a .

Čo robiť, ak potrebujete nájsť napr. minimálna funkcia v segmente? V tomto prípade je odpoveď: . Pretože minimálna funkcia je jeho hodnota v minimálnom bode.

Podobne maximum našej funkcie je . Dosahuje sa v bode .

Môžeme povedať, že extrémy funkcie sa rovnajú a .

Problémy niekedy vyžadujú hľadanie najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v danom segmente. Nemusia sa nevyhnutne zhodovať s extrémami.

V našom prípade najmenšia funkčná hodnota na segmente sa rovná minimu funkcie a zhoduje sa s ním. Ale jeho najväčšia hodnota v tomto segmente sa rovná . Dosahuje sa na ľavom konci segmentu.

V každom prípade sa najväčšie a najmenšie hodnoty spojitej funkcie na segmente dosiahnu buď v extrémnych bodoch alebo na koncoch segmentu.

S touto službou môžete nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie jedna premenná f(x) s riešením naformátovaným vo Worde. Ak je teda daná funkcia f(x,y), je potrebné nájsť extrém funkcie dvoch premenných. Môžete tiež nájsť intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

y=

na segmente [ ;]

Zahrňte teóriu

Pravidlá pre zadávanie funkcií:

Nevyhnutná podmienka pre extrém funkcie jednej premennej

Rovnica f" 0 (x *) = 0 je nevyhnutnou podmienkou pre extrém funkcie jednej premennej, t.j. v bode x * musí prvá derivácia funkcie zaniknúť. Identifikuje stacionárne body x c, v ktorých funkcia nezaniká. zvýšiť alebo znížiť.

Dostatočná podmienka pre extrém funkcie jednej premennej

Nech f 0 (x) je dvakrát diferencovateľné vzhľadom na x patriace do množiny D. Ak je v bode x * splnená podmienka:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Potom bod x * je bod lokálneho (globálneho) minima funkcie.

Ak je v bode x * splnená podmienka:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Potom bod x * je lokálne (globálne) maximum.

Príklad č.1. Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie: na segmente.
Riešenie.

Kritický bod je jeden x 1 = 2 (f’(x) = 0). Tento bod patrí do segmentu. (Bod x=0 nie je kritický, pretože 0∉).
Vypočítame hodnoty funkcie na koncoch segmentu a v kritickom bode.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Odpoveď: f min = 5 / 2 pri x = 2; f max = 9 pri x = 1

Príklad č.2. Pomocou derivácií vyššieho rádu nájdite extrém funkcie y=x-2sin(x) .
Riešenie.
Nájdite deriváciu funkcie: y’=1-2cos(x) . Nájdite kritické body: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Nájdeme y’’=2sin(x), vypočítame , čo znamená x= π / 3 +2πk, k∈Z sú minimálne body funkcie; , čo znamená x=- π / 3 +2πk, k∈Z sú maximálne body funkcie.

Príklad č.3. Preskúmajte extrémnu funkciu v blízkosti bodu x=0.
Riešenie. Tu je potrebné nájsť extrémy funkcie. Ak extrém x=0, zistite jeho typ (minimum alebo maximum). Ak medzi nájdenými bodmi nie je x = 0, vypočítajte hodnotu funkcie f(x=0).
Treba si uvedomiť, že keď derivácia na každej strane daného bodu nemení svoje znamienko, nevyčerpajú sa možné situácie ani pre diferencovateľné funkcie: môže sa stať, že pre ľubovoľne malé okolie na jednej strane bodu x 0 resp. na oboch stranách derivácia mení znamienko. V týchto bodoch je potrebné použiť iné metódy na štúdium funkcií v extréme.

V tomto článku budem hovoriť o tom, ako aplikovať zručnosť hľadania na štúdium funkcie: nájsť jej najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu. A potom vyriešime niekoľko problémov z úlohy B15 z otvorenej banky úloh pre.

Ako obvykle, najprv si pripomeňme teóriu.

Na začiatku každého štúdia funkcie ju nájdeme

Ak chcete nájsť najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu funkcie, musíte preskúmať, v ktorých intervaloch funkcia rastie a v ktorých klesá.

Aby sme to dosiahli, musíme nájsť deriváciu funkcie a preskúmať jej intervaly konštantného znamienka, teda intervaly, v ktorých si derivácia zachováva svoje znamienko.

Intervaly, počas ktorých je derivácia funkcie kladná, sú intervaly rastúcej funkcie.

Intervaly, na ktorých je derivácia funkcie záporná, sú intervaly klesajúcej funkcie.

1. Vyriešme úlohu B15 (č. 245184)

Aby sme to vyriešili, budeme postupovať podľa nasledujúceho algoritmu:

a) Nájdite definičný obor funkcie

b) Nájdime deriváciu funkcie.

c) Prirovnajme to k nule.

d) Nájdite intervaly konštantného znamienka funkcie.

e) Nájdite bod, v ktorom funkcia nadobúda najväčšiu hodnotu.

f) Nájdite hodnotu funkcie v tomto bode.

Podrobné riešenie tejto úlohy vysvetľujem vo VIDEONÁVODE:

Váš prehliadač pravdepodobne nie je podporovaný. Ak chcete použiť simulátor „Unified State Exam Hour“, skúste si ho stiahnuť
Firefox

2. Vyriešme úlohu B15 (č. 282862)

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie na segmente

Je zrejmé, že funkcia nadobúda najväčšiu hodnotu na segmente v maximálnom bode, pri x=2. V tomto bode nájdeme hodnotu funkcie:

odpoveď: 5

3. Riešime úlohu B15 (č. 245180):

Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Pretože podľa domény definície pôvodnej funkcie title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Čitateľ sa rovná nule v . Skontrolujeme, či ODZ patrí do funkcie. Ak to chcete urobiť, skontrolujte, či je podmienka title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

to znamená, že bod patrí do funkcie ODZ

Pozrime sa na znamienko derivácie napravo a naľavo od bodu:

Vidíme, že funkcia nadobúda svoju najväčšiu hodnotu v bode . Teraz nájdime hodnotu funkcie na:

Poznámka 1. Všimnite si, že v tejto úlohe sme nenašli definičný definičný obor funkcie: len sme opravili obmedzenia a skontrolovali, či bod, v ktorom sa derivácia rovná nule, patrí do definičného oboru funkcie. To sa ukázalo ako dostatočné na túto úlohu. Nie vždy to však platí. Závisí to od úlohy.

Poznámka 2. Pri štúdiu správania komplexnej funkcie môžete použiť nasledujúce pravidlo:

• ak vonkajšia funkcia komplexnej funkcie rastie, potom funkcia nadobúda najväčšiu hodnotu v tom istom bode, v ktorom má vnútorná funkcia najväčšiu hodnotu. Vyplýva to z definície rastúcej funkcie: funkcia rastie na intervale I, ak väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.
• ak vonkajšia funkcia komplexnej funkcie klesá, potom funkcia nadobudne svoju najväčšiu hodnotu v tom istom bode, v ktorom vnútorná funkcia nadobudne svoju najmenšiu hodnotu . Vyplýva to z definície klesajúcej funkcie: funkcia klesá na intervale I, ak väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

V našom príklade sa vonkajšia funkcia zvyšuje v celej oblasti definície. Pod znamienkom logaritmu je výraz - štvorcová trojčlenka, ktorá so záporným vodiacim koeficientom nadobúda najväčšiu hodnotu v bode. . Ďalej túto hodnotu x dosadíme do rovnice funkcie a nájsť jeho najväčšiu hodnotu.