Dokážte, že funkcia je všeobecných príkladov tvaru. Párne a nepárne funkcie
aj keď pre všetky \(x\) z domény definície platí nasledovné: \(f(-x)=f(x)\) .
Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi \(y\):
Príklad: funkcia \(f(x)=x^2+\cos x\) je párna, pretože \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) Funkcia \(f(x)\) sa nazýva nepárna, ak pre všetky \(x\) z jej definičnej domény platí: \(f(-x)=-f(x) \) .
Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu:
Príklad: funkcia \(f(x)=x^3+x\) je nepárna, pretože \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) Funkcie, ktoré nie sú párne ani nepárne, sa nazývajú funkcie všeobecného tvaru. Takáto funkcia môže byť vždy jednoznačne reprezentovaná ako súčet párnej a nepárnej funkcie.
Napríklad funkcia \(f(x)=x^2-x\) je súčtom párnej funkcie \(f_1=x^2\) a nepárnej \(f_2=-x\) .
\(\blacktriangleright\) Niektoré vlastnosti:
1) Súčin a podiel dvoch funkcií rovnakej parity je párna funkcia.
2) Súčin a kvocient dvoch funkcií rôznych parít je nepárna funkcia.
3) Súčet a rozdiel párnych funkcií je párna funkcia.
4) Súčet a rozdiel nepárnych funkcií - nepárna funkcia.
5) Ak \(f(x)\) je párna funkcia, potom rovnica \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) má jedinečný koreň vtedy a len vtedy, keď \( x = 0\).
6) Ak \(f(x)\) je párna alebo nepárna funkcia a rovnica \(f(x)=0\) má koreň \(x=b\), potom táto rovnica bude mať určite sekundu koreň \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) Funkcia \(f(x)\) sa nazýva periodická na \(X\), ak pre nejaké číslo \(T\ne 0\) platí: \(f(x)=f( x+T) \), kde \(x, x+T\v X\) . Najmenšia \(T\), pre ktorú je táto rovnosť splnená, sa nazýva hlavná (hlavná) perióda funkcie.
Periodická funkcia má ľubovoľné číslo v tvare \(nT\) , kde \(n\in \mathbb(Z)\) bude tiež bodka.
Príklad: každá goniometrická funkcia je periodická;
pre funkcie \(f(x)=\sin x\) a \(f(x)=\cos x\) sa hlavná perióda rovná \(2\pi\), pre funkcie \(f(x) )=\mathrm( tg)\,x\) a \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) hlavná perióda sa rovná \(\pi\) .
Aby ste vytvorili graf periodickej funkcie, môžete jej graf nakresliť na ľubovoľný segment dĺžky \(T\) (hlavná perióda); potom sa graf celej funkcie dokončí posunutím zostrojenej časti o celý počet období doprava a doľava:
\(\blacktriangleright\) Oblasť \(D(f)\) funkcie \(f(x)\) je množina pozostávajúca zo všetkých hodnôt argumentu \(x\), pre ktoré má funkcia zmysel (je definovaný).
Príklad: funkcia \(f(x)=\sqrt x+1\) má doménu definície: \(x\in
Úloha 1 #6364
Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške
Pri akých hodnotách parametra \(a\) platí rovnica
má jediné riešenie?
Všimnite si, že keďže \(x^2\) a \(\cos x\) sú párne funkcie, ak má rovnica koreň \(x_0\) , bude mať aj koreň \(-x_0\) .
Nech je \(x_0\) koreň, to znamená, že rovnosť \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) je pravdivá. Nahradiť \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\ ,(\cos x_0)+a^2=0\) .
Ak teda \(x_0\ne 0\) , rovnica už bude mať aspoň dva korene. Preto \(x_0=0\) . potom:
Pre parameter \(a\) sme dostali dve hodnoty. Všimnite si, že sme použili skutočnosť, že \(x=0\) je presne koreňom pôvodnej rovnice. Ale nikdy sme nevyužili to, že je jediný. Preto je potrebné dosadiť výsledné hodnoty parametra \(a\) do pôvodnej rovnice a skontrolovať, pre ktoré konkrétne \(a\) bude koreň \(x=0\) skutočne jedinečný.
1) Ak \(a=0\) , potom rovnica bude mať tvar \(2x^2=0\) . Je zrejmé, že táto rovnica má iba jeden koreň \(x=0\) . Preto nám vyhovuje hodnota \(a=0\).
2) Ak \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , tak rovnica bude mať tvar \ Rovnicu prepíšeme do tvaru \ Od \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , potom \(- \mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\) . V dôsledku toho hodnoty pravej strany rovnice (*) patria do segmentu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\) .
Keďže \(x^2\geqslant 0\) , potom je ľavá strana rovnice (*) väčšia alebo rovná \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Rovnosť (*) teda môže byť splnená iba vtedy, keď sa obe strany rovnice rovnajú \(\mathrm(tg)^2\,1\) . To znamená, že \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \ mathrm( tg)\,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\, (\ cos x)=\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Preto nám vyhovuje hodnota \(a=-\mathrm(tg)\,1\) .
odpoveď:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Úloha 2 #3923
Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške
Nájdite všetky hodnoty parametra \(a\) , pre každú z nich je graf funkcie \
symetrické podľa pôvodu.
Ak je graf funkcie symetrický podľa počiatku, potom je takáto funkcia nepárna, to znamená, že \(f(-x)=-f(x)\) platí pre ľubovoľné \(x\) z definičného oboru. funkcie. Preto je potrebné nájsť tie hodnoty parametrov, pre ktoré \(f(-x)=-f(x).\)
\[\začiatok(zarovnané) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(zarovnané)\]
Posledná rovnica musí byť splnená pre všetky \(x\) z oblasti definície \(f(x)\), preto \(\sin(2\pi a)=0 \Šípka doprava a=\dfrac n2, n \in\ mathbb(Z)\) .
odpoveď:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Úloha 3 #3069
Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške
Nájdite všetky hodnoty parametra \(a\) , pre každé z nich má rovnica \ 4 riešenia, kde \(f\) je párna periodická funkcia s periódou \(T=\dfrac(16)3\) definované na celej číselnej osi a \(f(x)=ax^2\) pre \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Úloha od predplatiteľov)
Keďže \(f(x)\) je párna funkcia, jej graf je symetrický vzhľadom na zvislú os, preto pre \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^ 2\). Takže pre \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , a toto je segment dĺžky \(\dfrac(16)3\), funkcia je \(f(x)=ax^2\ ).
1) Nech \(a>0\) . Potom bude graf funkcie \(f(x)\) vyzerať takto: 
Potom, aby rovnica mala 4 riešenia, je potrebné, aby graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) prechádzal bodom \(A\) : 
Preto \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zhromaždené)\begin(zarovnané) &9(a+2)=32a\\ &9 (a+2)=-32a\koniec (zarovnané)\koniec (zhromaždené)\vpravo. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zhromaždené)\begin(zarovnané) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(zarovnané) \end( zhromaždené)\vpravo.\] Keďže \(a>0\) , potom je vhodné \(a=\dfrac(18)(23)\).
2) Nech \(a0\) ). Ak je súčin dvoch koreňov kladný a ich súčet kladný, potom samotné korene budú kladné. Preto potrebujete: \[\začiatok(prípady) 12-a>0\\-(a-10)>0\koniec (prípady)\štvorica\šípka vľavo\štvorica a 0 na (x_(1); x_(2) ) ) \cup (x_(3); +\infty)
Intervaly, v ktorých je funkcia záporná, tj f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})
Funkcia y=f(x), x \in X sa zvyčajne nazýva ohraničená nižšie, keď existuje číslo A, pre ktoré platí nerovnosť f(x) \geq A pre ľubovoľné x \in X .
Príklad funkcie ohraničenej zdola: y=\sqrt(1+x^(2)) keďže y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 pre ľubovoľné x .
Funkciu y=f(x), x \in X nazývame ohraničenou, ak existuje číslo B, pre ktoré platí nerovnosť f(x) \neq B pre ľubovoľné x \in X .
Príklad funkcie ohraničenej zdola: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] keďže y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 pre ľubovoľné x \ v [-1;1] .
Funkcia y=f(x), x \in X sa zvyčajne nazýva ohraničená, keď existuje číslo K > 0, pre ktoré platí nerovnosť \left | f(x)\vpravo | \neq K pre ľubovoľné x \in X .
Príklad ohraničenej funkcie: y=\sin x je ohraničené na celej číselnej osi, keďže \left | \sin x \right | \neq 1 .
Zvyšovanie a znižovanie funkcieJe zvykom hovoriť o funkcii, ktorá narastá v uvažovanom intervale, ako o rastúcej funkcii, keď väčšia hodnota x zodpovedá väčšej hodnote funkcie y=f(x) . Z toho vyplýva, že ak vezmeme dve ľubovoľné hodnoty argumentu x_(1) a x_(2) z uvažovaného intervalu, s x_(1) > x_(2) , výsledkom bude y(x_(1)) > y(x_(2)).
Funkcia, ktorá klesá na uvažovanom intervale, sa nazýva klesajúca funkcia, keď väčšia hodnota x zodpovedá menšej hodnote funkcie y(x). Z toho vyplýva, že ak vezmeme dve ľubovoľné hodnoty argumentu x_(1) a x_(2) z uvažovaného intervalu, s x_(1) > x_(2) , výsledkom bude y(x_(1))< y(x_{2}) .
Korene funkcie sa zvyčajne nazývajú body, v ktorých funkcia F=y(x) pretína os x (získame ich riešením rovnice y(x)=0).
a) Ak pre x > 0 párna funkcia narastá, potom pre x klesá< 0
b) Keď párna funkcia klesá pri x > 0, potom sa zvyšuje pri x< 0
.png)
c) Keď sa nepárna funkcia zvýši pri x > 0, zvýši sa aj pri x< 0
d) Keď sa nepárna funkcia zníži pre x > 0, potom sa zníži aj pre x< 0
.png)
Minimálny bod funkcie y=f(x) sa zvyčajne nazýva bod x=x_(0), ktorého okolie bude mať ďalšie body (okrem bodu x=x_(0)) a pre ne potom nerovnosť f( x) > f(x_(0)) . y_(min) - označenie funkcie v bode min.
Maximálny bod funkcie y=f(x) sa zvyčajne nazýva bod x=x_(0), ktorého okolie bude mať ďalšie body (okrem bodu x=x_(0)) a pre ne potom nerovnosť f( x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
PredpokladPodľa Fermatovej vety: f"(x)=0, keď funkcia f(x), ktorá je diferencovateľná v bode x_(0), bude mať v tomto bode extrém.
Dostatočný stavKroky výpočtu:
Štúdia funkcie.
1) D(y) – Definičný obor: množina všetkých týchto hodnôt premennej x. pre ktoré dávajú zmysel algebraické výrazy f(x) a g(x).
Ak je funkcia daná vzorcom, potom oblasť definície pozostáva zo všetkých hodnôt nezávislej premennej, pre ktoré má vzorec zmysel.
2) Vlastnosti funkcie: párne/nepárne, periodicita:
Funkcie, ktorých grafy sú symetrické vzhľadom na zmeny znamienka argumentu, sa nazývajú nepárne a párne.
Nepárna funkcia je funkcia, ktorá pri zmene znamienka nezávislej premennej (symetricky podľa stredu súradníc) mení svoju hodnotu na opačnú.
Párna funkcia je funkcia, ktorá nemení svoju hodnotu pri zmene znamienka nezávislej premennej (symetricky podľa ordináty).
Ani párna, ani nepárna funkcia (funkcia všeobecného tvaru) nie je funkciou, ktorá nemá symetriu. Táto kategória obsahuje funkcie, ktoré nespadajú pod predchádzajúce 2 kategórie.
Volajú sa funkcie, ktoré nepatria do žiadnej z vyššie uvedených kategórií ani párne, ani nepárne(alebo všeobecné funkcie).
Nepárne funkcie
Nepárna mocnina kde je ľubovoľné celé číslo.
Dokonca aj funkcie
Dokonca aj mocnina kde je ľubovoľné celé číslo.
Periodická funkcia je funkcia, ktorá opakuje svoje hodnoty po určitom pravidelnom intervale argumentov, to znamená, že nemení svoju hodnotu, keď k argumentu pridáva nejaké pevné nenulové číslo (periódu funkcie) v celej doméne definícia.
3) Nuly (korene) funkcie sú body, kde sa stáva nulou.
Nájdenie priesečníka grafu s osou Oj. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať hodnotu f(0). Nájdite tiež priesečníky grafu s osou Ox, prečo nájsť korene rovnice f(x) = 0 (alebo sa uistite, že neexistujú žiadne korene).
Body, v ktorých graf pretína os, sa nazývajú nuly funkcie. Ak chcete nájsť nuly funkcie, musíte vyriešiť rovnicu, to znamená nájsť tie hodnoty „x“, pri ktorých sa funkcia stáva nulou.
4) Intervaly stálosti znakov, znaky v nich.
Intervaly, v ktorých si funkcia f(x) zachováva znamienko.
Interval konštantného znamienka je interval, v ktorom je funkcia kladná alebo záporná.
NAD osou x.
POD osou.
5) Spojitosť (body diskontinuity, povaha diskontinuity, asymptoty).
Spojitá funkcia je funkcia bez „skokov“, teda taká, v ktorej malé zmeny v argumente vedú k malým zmenám v hodnote funkcie.
Odnímateľné body zlomuAk je limita funkcie existuje, ale funkcia nie je v tomto bode definovaná, alebo sa limit nezhoduje s hodnotou funkcie v tomto bode:
,
potom sa bod nazýva odnímateľný bod zlomu funkcie (v komplexnej analýze odnímateľný singulárny bod).
Ak funkciu „opravíme“ v bode odstrániteľnej diskontinuity a vložíme 
, potom dostaneme funkciu, ktorá je v danom bode spojitá. Táto operácia s funkciou sa volá rozšírenie funkcie na nepretržitú alebo predefinovanie funkcie kontinuitou, čo odôvodňuje názov bodu ako bod odnímateľné prasknutie.
Body diskontinuity prvého a druhého druhu
Ak má funkcia v danom bode diskontinuitu (to znamená, že limita funkcie v danom bode chýba alebo sa nezhoduje s hodnotou funkcie v danom bode), potom pre numerické funkcie existujú dve možné možnosti: spojené s existenciou numerických funkcií jednostranné limity:
ak obe jednostranné limity existujú a sú konečné, potom sa takýto bod nazýva bodom diskontinuity prvého druhu.
Odnímateľné body diskontinuity sú body diskontinuity prvého druhu;
ak aspoň jedna z jednostranných limitov neexistuje alebo nie je konečnou hodnotou, potom sa takýto bod nazýva bodom nespojitosti druhého druhu. asymptota - rovno , ktorá má vlastnosť, že vzdialenosť od bodu na krivke k tomuto má tendenciu k nule, keď sa bod vzďaľuje pozdĺž vetvy do nekonečna.
Vertikálne
Vertikálna asymptota - limitná čiara 
.
Spravidla pri určovaní vertikálnej asymptoty nehľadajú jednu limitu, ale dve jednostranné (ľavú a pravú). Toto sa robí s cieľom určiť, ako sa funkcia správa, keď sa približuje k vertikálnej asymptote z rôznych smerov. Napríklad:
HorizontálneHorizontálna asymptota - asymptota - druhov, ktoré podliehajú existencii limit
.
Šikmá asymptota - asymptota - druhov, ktoré podliehajú existencii limity
Poznámka: funkcia nemôže mať viac ako dve šikmé (horizontálne) asymptoty.
Poznámka: ak aspoň jedna z dvoch limitov uvedených vyššie neexistuje (alebo sa rovná ), potom šikmá asymptota v (alebo ) neexistuje.
ak v položke 2.), potom , a limita sa nájde pomocou vzorca horizontálnej asymptoty, 
.
6) Hľadanie intervalov monotónnosti. Nájdite intervaly monotónnosti funkcie f(x) (teda intervaly zvyšovania a znižovania). Robí sa to skúmaním znamienka derivácie f(x). Ak to chcete urobiť, nájdite derivát f(x) a vyriešte nerovnosť f(x)0. Na intervaloch, kde platí táto nerovnosť, funkcia f(x)zvyšuje. Kde platí obrátená nerovnosť f(x)0, funkcia f(x) klesá.
Nájdenie lokálneho extrému. Po zistení intervalov monotónnosti môžeme okamžite určiť miestne extrémy, kde je nárast nahradený poklesom, nachádzajú sa lokálne maximá a kde je pokles nahradený nárastom, nachádzajú sa lokálne minimá. Vypočítajte hodnotu funkcie v týchto bodoch. Ak má funkcia kritické body, ktoré nie sú lokálnymi extrémnymi bodmi, potom je užitočné vypočítať hodnotu funkcie aj v týchto bodoch.
Nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie y = f(x) na segmente (pokračovanie)
|
1. Nájdite deriváciu funkcie: f(x). 2. Nájdite body, v ktorých je derivácia nula: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Určte príslušnosť bodov X 1 ,X 2 , … segment [ a; b]: nech x 1a;b, A x 2a;b . |
Ako vložiť matematické vzorce na webovú stránku?
Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa na stránku jednoducho vkladajú vo forme obrázkov, ktoré automaticky generuje Wolfram Alpha. . Táto univerzálna metóda okrem jednoduchosti pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky vo vyhľadávačoch. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je už morálne zastarané.
Ak na svojej stránke pravidelne používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax – špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.
Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax k vašej webovej stránke, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) stiahnite si skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob – zložitejší a časovo náročnejší – zrýchli načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax z nejakého dôvodu stane dočasne nedostupným, váš vlastný web to nijako neovplyvní. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a už za 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.
Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo na stránke dokumentácie:
Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky alebo bezprostredne za značku. Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky monitoruje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.
Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu vyššie uvedeného kódu na stiahnutie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do webových stránok vašej lokality.
Akýkoľvek fraktál je skonštruovaný podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.
Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Výsledkom je sada pozostávajúca zo zvyšných 20 menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.
Ktoré vám boli do istej miery povedomé. Bolo tam tiež poznamenané, že zásoba funkčných vlastností sa bude postupne dopĺňať. V tejto časti sa budú diskutovať o dvoch nových vlastnostiach.
Definícia 1.
Funkcia y = f(x), x є X sa volá aj vtedy, ak pre ľubovoľnú hodnotu x z množiny X platí rovnosť f (-x) = f (x).
Definícia 2.
Funkcia y = f(x), x є X sa nazýva nepárna, ak pre ľubovoľnú hodnotu x z množiny X platí rovnosť f (-x) = -f (x).
Dokážte, že y = x 4 je párna funkcia.
Riešenie. Máme: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ale (-x) 4 = x 4. To znamená, že pre ľubovoľné x platí rovnosť f(-x) = f(x), t.j. funkcia je párna.
Podobne sa dá dokázať, že funkcie y - x 2, y = x 6, y - x 8 sú párne.
Dokážte, že y = x 3 ~ nepárna funkcia.
Riešenie. Máme: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ale (-x) 3 = -x 3. To znamená, že pre ľubovoľné x platí rovnosť f (-x) = -f (x), t.j. funkcia je nepárna.
Podobne sa dá dokázať, že funkcie y = x, y = x 5, y = x 7 sú nepárne.
Vy a ja sme sa už viackrát stretli s tým, že nové pojmy v matematike majú najčastejšie „pozemský“ pôvod, t.j. dajú sa nejako vysvetliť. To je prípad párnych aj nepárnych funkcií. Pozri: y - x 3, y = x 5, y = x 7 sú nepárne funkcie, zatiaľ čo y = x 2, y = x 4, y = x 6 sú párne funkcie. A vo všeobecnosti, pre akúkoľvek funkciu tvaru y = x" (nižšie budeme konkrétne študovať tieto funkcie), kde n je prirodzené číslo, môžeme dospieť k záveru: ak je n nepárne číslo, potom funkcia y = x" je nepárny; ak je n párne číslo, potom funkcia y = xn je párna.
Existujú aj funkcie, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takou je napríklad funkcia y = 2x + 3. Skutočne, f(1) = 5 a f (-1) = 1. Ako vidíte, tu teda ani identita f(-x) = f (x), ani identitu f(-x) = -f(x).
Takže funkcia môže byť párna, nepárna alebo žiadna.
Štúdium toho, či je daná funkcia párna alebo nepárna, sa zvyčajne nazýva štúdium parity.
Definície 1 a 2 sa týkajú hodnôt funkcie v bodoch x a -x. To predpokladá, že funkcia je definovaná v bode x aj v bode -x. To znamená, že bod -x patrí do definičného oboru funkcie súčasne s bodom x. Ak číselná množina X spolu s každým jej prvkom x obsahuje aj opačný prvok -x, potom sa X nazýva symetrická množina. Povedzme, že (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sú symetrické množiny, zatiaľ čo )