Najväčší počet na svete. Nekonečné "čísla"

Dve veci sú skutočne nekonečné:
Vesmír a ľudská hlúposť.
Avšak o Vesmíre, ktorý mám
existujú určité pochybnosti.
Albert Einstein

Túto otázku sme už nastolili nedávno, ale je taká dôležitá, že stojí za to sa jej venovať podrobnejšie.

Ak sa niekedy o jednom predmete hovoria rovnaké slová ako o inom, neznamená to, že tieto predmety majú rovnaké vlastnosti.

Toto je dlhá a nezrozumiteľná veta, preto vysvetlím na príklade:
Môžete povedať „zavolať na telefón“ alebo môžete povedať „zazvoniť na zvonček“ – veľmi odlišné akcie, ale jedno sloveso. Z toho nemôžeme usúdiť, že všetky ostatné úkony s telefónom (prijímanie SMS, pamäť na 200 čísel a pod.) sú pre zvonček charakteristické. Je to také zrejmé, že tento odsek vyzerá absurdne.

Ale prečo potom mnohí ľudia tak ľahko operujú so slovom nekonečno, akoby to bolo číslo? Áno, na nekonečno môžete použiť niektoré akcie, ktoré úspešne fungujú s číslami ( vykonaním potrebných rezervácií):
2 + ∞ = ∞,
∞ - 5 = ∞,
2 * ∞ = ∞,
∞ / 5 = ∞,
∞ + ∞ = ∞ (navyše rad reálnych čísel je často rozšírený o dvojicu prvkov +∞ a -∞, ale prísne stanoviť ako sa s nimi dá zaobchádzať).

To znamená, že nie všetko sa dá robiť s takýmito „nekonečnosťami“. Napríklad ∞ - ∞ = ? (tu máme neistotu, pretože nemôžeme dať odpoveď bez toho, aby sme poznali povahu týchto dvoch „nekonečností“). V každom prípade je naivné hneď povedať, že rozdiel bude nula.

A ak sa začne hovoriť o tom, že nejaké množstvo má tendenciu k nule alebo nekonečnu, potom veľmi často nikdy nedôjde k správnemu uvažovaniu. Mimochodom, pred šiestimi mesiacmi sme sa zaoberali každodenným používaním pojmu nekonečno. Potom sa nám podarilo „dokázať“, že súčet ramien trojuholníka sa vždy rovná prepone. Nebol to veľmi jednoduchý príklad, ale bol to užitočný príklad. Existujú oveľa starodávnejšie a slávnejšie stavby, ktoré vyzerajú tak jednoducho, že vôbec nie je jasné, ako sú s nimi možné nejaké problémy.

Spomeňme si na Zenónovu klasickú apóriu:
Ak je známe, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je od nej vo vzdialenosti 1 kilometer, potom za čas, ktorý Achilles strávi na tomto kilometri, sa korytnačka plazí 100 metrov. Preto, keď Achilles prebehne ďalších 100 metrov, korytnačka sa plazí 10 metrov atď. Proces bude pokračovať donekonečna a Achilles už nikdy nebude môcť korytnačku dobehnúť, hoci sa pohybuje rýchlejšie.

Schopnosť povedať o takýchto problémoch zrozumiteľné veci je nevyhnutná na to, aby sme aspoň ako-tak pochopili úvahy o ašpirácii, limite, nekonečne a iných intuitívne jasných, ale dosť zložitých pojmoch. Bez toho sa konverzácia zvyčajne zvrhne na „kto má hlasnejší hlas“, hoci zmyslom matematickej vedy vôbec nie je brániť sa za každú cenu presvedčiť sa. Bohužiaľ, v posledných desaťročiach čoraz menej ľudí rozlišuje správne od vedeckého, takže sa často považuje za dôležitejšie prestať kričať a presvedčiť, ako sa priblížiť k pravde.

Ako teda môžeme vyriešiť problém Achilla a korytnačky? Prosím, nepíšte, že keď Achilles prebehne druhý kilometer, korytnačka zostane ďaleko pozadu. To je každému jasné, ale vôbec to nepomáha. Tu treba cítiť problém v pôvodnom riešení, a nie prísť s vlastným pohľadom na rovnaký stav.

Prajem pekný deň!

Kedysi v detstve sme sa učili počítať do desať, potom do sto a potom do tisíc. Aké najväčšie číslo teda poznáte? Tisíc, milión, miliarda, bilión... A potom? Petallion, povie niekto a bude sa mýliť, pretože si predponu SI mýli s úplne iným pojmom.

V skutočnosti otázka nie je taká jednoduchá, ako sa na prvý pohľad zdá. Po prvé, hovoríme o pomenovaní mien mocností tisíc. A tu je prvá nuansa, ktorú mnohí poznajú z amerických filmov, že našu miliardu nazývajú miliardou.

Ďalej existujú dva typy šupín - dlhé a krátke. U nás sa používa krátka stupnica. V tejto mierke sa pri každom kroku mantisa zväčší o tri rády, t.j. vynásobiť tisícom - tisíc 10 3, miliónom 10 6, miliardou/miliardou 10 9, biliónom (10 12). V dlhom meradle je po miliarde 10 9 miliarda 10 12 a následne sa mantisa zväčší o šesť rádov a ďalšie číslo, ktoré sa nazýva bilión, už znamená 10 18.

Vráťme sa však k našej rodnej mierke. Chcete vedieť, čo príde po trilióne? prosím:

10 3 tisíc
10 6 miliónov
10 9 miliárd
10 12 biliónov
10 15 kvadriliónov
10 18 kvintiliónov
10 21 sexiliónov
10 24 septiliónov
10 27 biliónov
10 30 miliónov
10 33 deciliónov
10 36 undecillion
10 39 dodeciliónov
10 42 tredeciliónov
10 45 quattoordecillion
10 48 päťtisíc
10 51 cedeciliónov
10 54 septdeciliónov
10 57 duodevigintillion
10 60 undevigintillion
10 63 bdelosti
10 66 predzvesť
10 69 duovigintillion
10 72 trevigintiliónov
10 75 quattorvigintillion
10 78 quinvigintillion
10 81 sexvigintillion
10 84 septemvigintilión
10 87 oktovigintiliónov
10 90 novemvigintillion
10 93 trigintiliónov
10 96 antigintillion

Pri tomto čísle to naša krátka šupina nevydrží a následne sa kudlanka postupne zväčšuje.

10 100 googli
10 123 kvadragintiliónov
10 153 quinquagintiliónov
10 183 sexagintiliónov
10 213 septuaginiliónov
10 243 oktogintiliónov
10 273 nonagintiliónov
10 303 centiliónov
10 306 stot
10 309 stotónov
10 312 centiliónov
10 315 centkvadriliónov
10 402 stredových trigintiliónov
10 603 mil
10 903 tricentiliónov
10 1203 kvadringentiliónov
10 1503 kvingentiliónov
10 1803 sec
10 2103 septingentiliónov
10 2403 oxtingentiliónov
10 2703 nongentillion
10 3003 miliónov
10 6003 dvojmilión
10 9003 tri milióny
10 3000003 mil
10 6000003 duomimiliaillion
10 10 100 googolplex
10 3×n+3 bilióny

Google(z anglického googol) - číslo reprezentované v sústave desiatkových čísel jednotkou, za ktorou nasleduje 100 núl:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
V roku 1938 sa americký matematik Edward Kasner (1878-1955) prechádzal v parku so svojimi dvoma synovcami a diskutoval s nimi o veľkých číslach. Počas rozhovoru sme sa rozprávali o čísle so sto nulami, ktoré nemalo vlastný názov. Jeden zo synovcov, deväťročný Milton Sirotta, navrhol nazvať toto číslo „googol“. V roku 1940 Edward Kasner spolu s Jamesom Newmanom napísal populárnu vedeckú knihu „Matematika a predstavivosť“ („Nové mená v matematike“), kde milovníkom matematiky povedal o čísle googol.
Pojem „googol“ nemá žiadny vážny teoretický ani praktický význam. Kasner ho navrhol na ilustráciu rozdielu medzi nepredstaviteľne veľkým počtom a nekonečnom a tento termín sa na tento účel niekedy používa vo vyučovaní matematiky.

Googolplex(z anglického googolplex) - číslo reprezentované jednotkou s googolom núl. Podobne ako googol, aj termín „googolplex“ vymysleli americký matematik Edward Kasner a jeho synovec Milton Sirotta.
Počet googolov je väčší ako počet všetkých častíc v nám známej časti vesmíru, ktorý sa pohybuje od 1079 do 1081. Číslo googolplex, pozostávajúce z (googol + 1) číslic, teda nemožno zapísať do klasickej „desiatkovej“ forme, aj keď sa všetka hmota v známych častiach vesmíru zmenila na papier a atrament alebo na diskový priestor počítača.

Zillion(anglicky zillion) - všeobecný názov pre veľmi veľké čísla.

Tento pojem nemá striktnú matematickú definíciu. V roku 1996 Conway (eng. J. H. Conway) a Guy (eng. R. K. Guy) vo svojej knihe English. Kniha čísel definovala bilión až n-tá mocnina ako 10 3×n+3 pre systém menovania čísel s krátkou stupnicou.

Filozofické problémy sa prejavia, keď sa vo vnútri jedného nekonečna zrazu objaví ďalšie. Napríklad výberom iba párnych čísel medzi všetkými číslami dostaneme opäť nekonečnú postupnosť 2, 4, 6, ... Aby sa matematici neplietli s nekonečnami, začali matematici hovoriť o množinách a mohutnostiach: o množine prirodzených čísel. , hoci je nekonečný, je mohutnosťou rovný množine párne Vyplýva to z existencie jednoduchého pravidla, ktoré vytvára spojenie medzi týmito dvoma množinami: stačí vydeliť ľubovoľné párne číslo 2 alebo vynásobiť ľubovoľné prirodzené číslo 2, aby sa zabezpečilo, že toto pravidlo bude jedna ku jednej.

Podobné pravidlo – len o niečo zložitejšie – spája prirodzené čísla jedna k jednej so všetkými jednoduchými zlomkami. Inými slovami, jednoduché zlomky sa dajú aj prečíslovať. To znamená, že množina racionálnych čísel má rovnakú silu ako množina racionálnych čísel, to znamená, že tieto dve nekonečná sú si navzájom „rovnaké“. Takže možno je nekonečno jedno a všetky nekonečné množiny v tomto zmysle sú si vždy „rovnaké“? Ale nie: po prvé, nie je možné prečíslovať iracionálne čísla – a táto množina sa ukáže byť „väčšou“ ako množina prirodzených čísel – a po druhé, pre akúkoľvek množinu je možné zostaviť „väčšiu“.

Nemecký nepoctivý matematik

Obe tieto tvrdenia dokázal nemecký matematik Georg Cantor (1845-1918). Keďže nekonečná sú rôzne, môžete pre ne zadať aj svoje vlastné mená - takpovediac transfinitné čísla. Cantor označil mocnosť prirodzeného radu písmenom aleph z hebrejskej abecedy s indexom nula: א o a pre silu kontinua - ide o súvislý segment priamky alebo celej priamky - použil rovnaké písmeno , ale s indexom jedna: א l, čo naznačuje, že medzi א o a א l nemôže byť žiadne iné prechodné číslo.

Skutočnosť, že kontinuum možno považovať za množinu bodov, sa stala známou krátko pred Cantorom, ale dokázal to znova, keď sa mu podarilo „prečíslovať“ všetky body priamky – presnejšie jednotkového segmentu. Len úlohou „čísel“ v tomto prípade nie sú prirodzené čísla, ale nekonečné postupnosti čísel. Stačia aj len nuly a jednotky (ak predpokladáme, že každé „číslo“ je zapísané v dvojkovej sústave): množina zlomkov tvaru 0,100010100111... úplne stelesňuje množinu všetkých racionálnych čísel spolu s iracionálnymi od 0. do 1. Z Cantorovej teórie však vyplývalo niečo viac: jeho „alefy“ umožnili očíslovať body, pre ktoré je priamka príliš krátka (odtiaľ názov transfinite – teda nachádzajúce sa „za nekonečnom“).

Nápady Cantora stáli veľké nešťastie. Mnohí jeho kolegovia našli v teórii „alefov“ nielen množstvo matematických paradoxov a absurdít – to by nebolo až také zlé. Cantorove úvahy odhalili jeho hlbokú religiozitu a túžbu pochopiť „Absolútno“. Ako rozvíjal svoju teóriu, jeho vzťah s nadriadenými na univerzite v meste Halle bol čoraz nepokojnejší a opustili ju aj tí matematici, ktorí ňou boli spočiatku nadšení. Centrom matematického myslenia na konci 19. storočia bolo Francúzsko, ale dvaja poprední francúzski matematici Charles Hermite (1822-1901) a Paul Emile Appel (1855-1930) sa dokonca vyslovili proti prekladu Cantorových diel do francúzštiny. Dalo by sa očakávať, že nové myšlienky podporí patriarcha francúzskej matematiky, muž, ktorý v mnohom predvídal jej budúci vývoj v dvadsiatom storočí - Henri Poincaré (, 1854-1912) ... Ale nie - a tiež odmietol hovoriť „o skutočnom nekonečne“.

Samotného Cantora ku koncu storočia čoraz častejšie napádali záchvaty depresie. Postupne začína byť zrejmé, že hovoríme o vážnom ochorení – maniodepresívnej psychóze. Emile Borel (1871-1956), jeden z mladých priaznivcov teórie množín, k nej postupne začal pociťovať averziu, ktorá sa len stupňovala od klebiet o chorobách iných matematikov. O mnoho rokov neskôr napísal svojmu priateľovi Paulovi Valérymu (Paul Valéry, 1871-1945), že musí zanechať štúdium teórie množín „pre prepracovanosť, ktorá ho postihla a prinútila ho báť sa vážnej choroby, ak bude pokračovať v štúdiu. práca."

Otázku uzavrel ďalší autoritatívny matematik, Jacques Hadamard (1865-1963), ktorý dospel k záveru, že celá zápletka prekročila „hranice matematiky“ a začala sa vzťahovať „k psychológii, k vlastnostiam našej mysle“. Toto rozhodnutie sa mnohým zdalo geniálne, no podľa Lauren Graham a Jean-Michel Cantor znamenalo odchod francúzskej matematiky z popredia. Ruskí matematici, ktorí videli seriózny matematický obsah pri porovnávaní veľkostí nekonečných množín a usporiadaní ich nekonečných podmnožín, dokázali postaviť školu, ktorá zostala dlho prvou a dodnes úplne nestratila svoj význam.

Božie číslo

Tvorca teórie množín strávil prvých jedenásť rokov svojho života v Petrohrade. Klíma tohto mesta sa však ukázala byť pre jeho otca príliš škodlivá a v roku 1856 sa celá rodina presťahovala do oveľa priaznivejšieho podnebia Frankfurtu nad Mohanom. Štúdium prírodných a technických vied vykonával mladý Cantor v rôznych mestách Európy – od Darmstadtu po Zürich – a sprevádzal ho úplne očakávaný boj s rodičmi, ktorí boli radšej, že vo svojom dieťati vidia inžiniera, skôr inžiniera. než matematik so zjavnými filozofickými sklonmi. Georg však postupne ich odpor prekonal a ako už bolo spomenuté, ocitol sa na univerzite v Halle.

Svoje filozofické názory definoval formulou „umiernený aristotelovský realizmus“, ale pytagorejský platonizmus je v nich jasne rozpoznateľný. Aktuálne nekonečno, vyjadrené transfinitnými číslami, pre neho zaujíma medzipolohu medzi konečným a absolútne nekonečným – teda božským. Uvedomujúc si, že takáto formulácia otázky môže byť skôr blízka filozofom ako matematikom, adresoval svoje hlavné dielo „Matematická a filozofická skúsenosť v doktríne nekonečna“ skôr filozofom ako matematikom:

Mal som na mysli dva druhy čitateľov – na jednej strane filozofov, ktorí sledovali vývoj matematiky až po súčasnosť, a na druhej strane matematikov, ktorí poznajú najdôležitejšie fakty antickej a modernej filozofie..

A tento druh čitateľov našiel – vo svojej domovine. Nie je prekvapujúce, že sa z nich stali predovšetkým pytagorejskí platonici a kresťanskí mystici. Snáď najznámejší z nich teraz - (1882-1937) - pochopili, v akom zmysle môžeme hovoriť o čísle, ktoré je väčšie ako akékoľvek prirodzené číslo:

V tom istom zmysle môžeme povedať, že Božia moc je aktuálna a nekonečná, pretože, keďže je určená (lebo v Bohu nie je žiadna zmena), je zároveň väčšia ako akákoľvek obmedzená moc..

Táto metafora vôbec nebola metaforou v očiach samotného Florenského, pre ktorého osobitnú hranicu medzi teológiou a matematikou ani nenaznačovala. A okrem toho náboženský a filozofický smer, ktorý Florenskij rozvinul na začiatku dvadsiateho storočia, predpokladal, že „meno Boha je sám Boh“. Ale toto meno samo o sebe predstavovalo nekonečné množstvo mien vrátane čísel.

Zbohom Lusitania!

V roku 1900 nastúpil Florenskij na fyzikálno-matematickú fakultu Moskovskej štátnej univerzity, no o štyri roky neskôr z matematiky odišiel na cirkevnú a teologickú dráhu. Už v sovietskych časoch však prestal študovať aj filozofiu a teológiu a úplne sa ponoril do výlučne praktických inžinierskych otázok. Robil veľa elektrotechniky, podieľal sa na vývoji plánu GOELRO, študoval vlastnosti permafrostu. To všetko ho nezachránilo pred represiami novej vlády a po niekoľkých zatknutiach v roku 1937 bol zastrelený.

Pre Florenského odchod z matematiky neznamenal odchod z matematickej komunity. Medzi jeho najbližších patrili Nikolaj Nikolajevič Luzin (1883-1950) a Dmitrij Fedorovič Egorov (1869-1931). Nestačí povedať, že obaja sú veľkí matematici: v roku 1923 bol Egorov zvolený za prezidenta a vymenovaný za riaditeľa Ústavu matematiky a mechaniky Prvej moskovskej štátnej univerzity práve v ňom vidia moderní historici kľúčovú postavu vznik a rozvoj teórie funkcií. Medzi Luzinove vynikajúce úspechy patria nielen samotné matematické výsledky, ale aj jeho jedinečná pedagogická energia: takmer všetci významní ruskí matematici boli jeho žiakmi alebo žiakmi jeho žiakov. , ktorá sa formovala už v 20. rokoch, sa volala „Lusitania“. Boli to práve oni, ktorí už v 30. rokoch mali robiť objavy, ktoré otvorili cestu k dnes tak populárnym témam, akými sú fraktály a chaos.

Osud vedy veľmi často určuje menej úspech pri riešení problémov a viac ich správna voľba. Ktovie, aké argumenty si dáva matematik, ktorý sa presviedča, aby sa ujal riešenia jedného z nich a nie riešenia iných. V prípade Egorova a Luzina mali podľa Lauren Graham a Jean-Michel Cantor zásadný význam ich náboženské názory a schopnosť vidieť za hrou mien vzdialené matematické perspektívy. Cantorove filozofické myšlienky, ktoré tak značne skomplikovali prijatie jeho matematiky v západoeurópskych krajinách a predovšetkým v racionalistickom Francúzsku, zohrali presne opačnú úlohu v Rusku, kde existovala opačná – mystická – filozofická tradícia.

Samozrejme, toto tvrdenie je dosť ťažké dokázať a malo by sa to považovať za krásnu a produktívnu hypotézu, ale stále je to hypotéza. Už ho kritizovali – pravdepodobne celkom oprávnene – naši matematici aj naši filozofi. Ale aj ako hypotéza je obraz navrhovaný západnými výskumníkmi veľmi atraktívny: po „striebornom veku“ ruskej poézie a umenia všeobecne prichádza „renesancia“ filozofie, ktorá je nahradená „zlatým vekom“ matematiky. Potom, samozrejme, všetko pominie, všetka krása, ak nezahynie, je prinajmenšom zmrzačená: v roku 1931 bol zastrelený Egorov, čoskoro nato sa otvoril prípad proti Luzinovi, len zázrakom unikol z žalára, ale korčuľovanie klzisko represie nešetrilo svojich študentov... A predsa zostáva spomienka na krásu v minulosti a rozjímanie o nej vyvoláva dôveru - nebolo to náhodné.

Partnerské novinky

10 až 3003. mocnina

Spory o to, čo je najväčšie číslo na svete, pokračujú. Rôzne systémy výpočtu ponúkajú rôzne možnosti a ľudia nevedia, čomu majú veriť a ktoré číslo považovať za najväčšie.

Táto otázka zaujíma vedcov už od čias Rímskej ríše. Najväčší problém spočíva v definícii toho, čo je „číslo“ a čo je „číslica“. Kedysi ľudia dlho považovali za najväčšie číslo decilión, teda 10 až 33. mocnina. Keď však vedci začali aktívne študovať americký a anglický metrický systém, zistilo sa, že najväčší počet na svete je 10 až 3003 – milión. Ľudia v každodennom živote veria, že najväčší počet je bilión. Navyše je to celkom formálne, pretože po bilióne sa mená jednoducho neuvádzajú, pretože počítanie začína byť príliš zložité. Čisto teoreticky však možno počet núl pridávať donekonečna. Preto je takmer nemožné predstaviť si čo i len čisto vizuálne bilión a to, čo po ňom nasleduje.

Rímskymi číslicami

Na druhej strane, definícia „čísla“, ako ju chápu matematici, je trochu iná. Číslo znamená znamenie, ktoré je všeobecne akceptované a používa sa na označenie množstva vyjadreného v číselnom ekvivalente. Druhý pojem „číslo“ znamená vyjadrenie kvantitatívnych charakteristík vo vhodnej forme pomocou čísel. Z toho vyplýva, že čísla sa skladajú z číslic. Je tiež dôležité, aby číslo malo symbolické vlastnosti. Sú podmienené, rozpoznateľné, nemenné. Čísla majú tiež vlastnosti znamienka, ale vyplývajú z toho, že čísla pozostávajú z číslic. Z toho môžeme usúdiť, že bilión nie je vôbec číslo, ale číslo. Aké je potom najväčšie číslo na svete, ak to nie je bilión, čo je číslo?

Dôležité je, že čísla sa používajú ako zložky čísel, ale nielen to. Číslo je však rovnaké číslo, ak hovoríme o niektorých veciach, počítajúc ich od nuly do deviatich. Tento systém znakov platí nielen pre známe arabské číslice, ale aj pre rímske I, V, X, L, C, D, M. Ide o rímske číslice. Na druhej strane V I I I je rímska číslica. V arabskom kalkule to zodpovedá číslu osem.

V arabských číslach

Ukazuje sa teda, že počítanie jednotiek od nuly do deviatich sa považuje za čísla a všetko ostatné sú čísla. Z toho vyplýva záver, že najväčší počet na svete je deväť. 9 je znak a číslo je jednoduchá kvantitatívna abstrakcia. Bilión je číslo a vôbec nie číslo, a preto nemôže byť najväčším číslom na svete. Trilión možno nazvať najväčším číslom na svete, a to čisto nominálne, keďže čísla možno počítať do nekonečna. Počet číslic je prísne obmedzený - od 0 do 9.

Malo by sa tiež pamätať na to, že číslice a čísla rôznych číselných systémov sa nezhodujú, ako sme videli na príkladoch s arabskými a rímskymi číslicami a číslicami. Deje sa to preto, lebo čísla a čísla sú jednoduché pojmy, ktoré vymyslel sám človek. Preto číslo v jednej číselnej sústave môže byť pokojne číslo v inej a naopak.

Najväčšie číslo je teda nespočetné, pretože sa môže naďalej neobmedzene sčítať z číslic. Pokiaľ ide o samotné čísla, vo všeobecne akceptovanom systéme sa za najväčšie číslo považuje 9.

Existujú aj dlhšie skupiny číslic, ktoré tým, že sú na konci čísel, sú zachované aj v ich súčine. Počet takýchto skupín čísel, ako si ukážeme, je nekonečne veľký.

Poznáme dvojciferné skupiny čísel, ktoré majú túto vlastnosť: sú to 25 a 76. Aby ste našli trojciferné skupiny, musíte pred číslo 25 alebo 76 pridať číslicu tak, aby výsledná trojciferná skupina čísel má tiež požadovanú vlastnosť.

Akú číslicu treba priradiť číslu 76? Označme ho k. Potom sa zobrazí požadované trojmiestne číslo:

100 000 + 76.

Všeobecný výraz pre čísla končiace touto skupinou číslic je:

1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76 atď.

Vynásobme dve čísla tohto typu; dostaneme:

1000000ab + 100000ak + 100000bk + 76000a + 76000b + 10000k 2 + 15200k + 5776.

Všetky pojmy, okrem posledných dvoch, majú na konci aspoň tri nuly. Preto súčin končí na 1006+76, ak je rozdiel

15200k + 5776 - (100k + 76) = 15100k + 5700 = 15000k + 5000 + 100 (k + 7)

je deliteľné 1000. To sa samozrejme stane len pre k = 3.

Požadovaná skupina čísel má teda tvar 376. Preto každá mocnina čísla 376 končí na 376. Napríklad:

376 2 = 141376.

Ak teraz chceme nájsť štvorcifernú skupinu číslic, ktorá má rovnakú vlastnosť, budeme musieť pridať ďalšiu číslicu na 376 dopredu. Ak tento údaj označíme l, tak sa dostávame k problému: za aký l je produkt

(10000a + 1000l + 376) (10000b + 1000l + 376)

končí pri 1000l + 376? Ak v tomto produkte otvoríme zátvorky a zahodíme všetky výrazy, ktoré končia 4 nulami alebo viac, výrazy zostanú

752000l + 141376.

Produkt končí na 1000l + 376 ak je rozdiel

752000l + 141376 - (1000l + 376) = 751000l + 141000 = (750000l + 140000) + 1000(l + 1)

je deliteľné 10 000. To sa samozrejme stane len vtedy, keď l = 9.

Požadovaná štvorciferná skupina čísel je 9376.

Výsledná štvorciferná skupina čísel môže byť doplnená o jedno ďalšie číslo, ktoré musíte zdôvodniť presne rovnakým spôsobom ako vyššie. Dostaneme 09376. Urobme ešte jeden krok a nájdeme skupinu čísel 109376, potom 7109376 atď.

Toto priradenie čísel vľavo je možné vykonať neobmedzene veľakrát. Výsledkom je „číslo“, ktoré má nekonečne veľa číslic:

7109376.

Takéto „čísla“ je možné sčítať a násobiť podľa zvyčajných pravidiel: napokon sa píšu sprava doľava a sčítanie a násobenie („stĺpec“) sa tiež vykonáva sprava doľava, takže v súčte a súčine z dvoch takýchto čísel sa dá vypočítať jedna číslica za druhou - koľko chcete čísel

Je zaujímavé, že vyššie napísané nekonečné „číslo“ spĺňa, aj keď sa to môže zdať neuveriteľné, rovnicu

X2 = x.

V skutočnosti druhá mocnina tohto „čísla“ (teda jeho samotného súčinu) končí na 76, pretože každý z faktorov má na konci 76; z rovnakého dôvodu druhá mocnina písaného „čísla“ končí na 376; sa končí na 9376 atď. Inými slovami, ak spočítame jednu po druhej číslice „čísla“ x 2, kde x =... 7109376, dostaneme rovnaké číslice, ktoré sú v čísle x, takže x 2 = x.

Pozreli sme sa na skupiny čísel končiacich na 76 *. Ak sa podobné zdôvodnenie vykoná pre skupiny čísel končiacich na 5, dostaneme nasledujúce skupiny čísel:

5, 25, 625, 0625, 90625, 890625, 2890 625 atď.

* (Všimnite si, že dvojcifernú skupinu číslic 76 možno nájsť podobným uvažovaním, ako je uvedené vyššie: stačí vyriešiť otázku, ktorá číslica musí byť priradená pred číslo 6, aby výsledná dvojciferná skupina digits má príslušnú vlastnosť. Preto „číslo“ ... 7109376 možno získať pridaním čísel na začiatok šestky, jedno po druhom.)

V dôsledku toho budeme môcť napísať ďalšie nekonečné „číslo“

2890625,

tiež spĺňajúce rovnicu x 2 = x. Dalo by sa ukázať, že toto nekonečné „číslo“ sa „rovná“

5 2 2 2...

Zaujímavý výsledok získaný v reči nekonečných „čísel“ je formulovaný takto: rovnica x 2 = x má (okrem zvyčajných x = 0 a x = 1) dve „nekonečné“ riešenia:

X = ...7109376 a x = ...2890625,

a nemá žiadne iné riešenia (v desiatkovej číselnej sústave) *.

* (Nekonečné „čísla“ možno uvažovať nielen v desiatkovej, ale aj v iných číselných sústavách. Takéto čísla, uvažované v číselnej sústave so základom p, sa nazývajú p-adické čísla. Niečo o týchto číslach si môžete prečítať v knihe „Matematické rozhovory“ od E. B. Dynkina a V. A. Uspenského (Gostekhizdat, 1952).)