Ako sa vypočíta prirodzený logaritmus? Vlastnosti prirodzených logaritmov: graf, báza, funkcie, limita, vzorce a definičný obor
Uvádzajú sa základné vlastnosti prirodzeného logaritmu, graf, definičný obor, množina hodnôt, základné vzorce, derivácia, integrál, rozšírenie mocninného radu a reprezentácia funkcie ln x pomocou komplexných čísel.
Definícia
Prirodzený logaritmus je funkcia y = ln x, inverzná hodnota exponenciály, x = e y, a je logaritmus k základu čísla e: ln x = log e x.
Prirodzený logaritmus je široko používaný v matematike, pretože jeho derivát má najjednoduchšiu formu: (ln x)' = 1/ x.
Na základe definície, základom prirodzeného logaritmu je číslo e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
Graf funkcie y = ln x.
Graf prirodzeného logaritmu (funkcie y = ln x) sa získa z exponenciálneho grafu zrkadlovým odrazom vzhľadom na priamku y = x.
Prirodzený logaritmus je definovaný pre kladné hodnoty premennej x.
Vo svojej doméne definície sa zvyšuje monotónne. 0 Pri x →
limita prirodzeného logaritmu je mínus nekonečno (-∞).
Ako x → + ∞ je limita prirodzeného logaritmu plus nekonečno (+ ∞). Pre veľké x sa logaritmus zvyšuje pomerne pomaly. Akákoľvek mocninná funkcia x a s kladným exponentom a rastie rýchlejšie ako logaritmus.
Vlastnosti prirodzeného logaritmu
Doména definície, množina hodnôt, extrémy, nárast, pokles
Prirodzený logaritmus je monotónne rastúca funkcia, takže nemá žiadne extrémy. Hlavné vlastnosti prirodzeného logaritmu sú uvedené v tabuľke.
ln x hodnoty
ln 1 = 0
Základné vzorce pre prirodzené logaritmy
Vzorce vyplývajúce z definície inverznej funkcie:
Hlavná vlastnosť logaritmov a jej dôsledky
Vzorec na nahradenie bázy
Akýkoľvek logaritmus možno vyjadriť prirodzenými logaritmami pomocou základného substitučného vzorca:
Dôkazy týchto vzorcov sú uvedené v časti "Logaritmus".
Inverzná funkcia
Inverzná k prirodzenému logaritmu je exponent.
Ak, potom
Ak teda.
Derivát ln x
.
Derivácia prirodzeného logaritmu:
.
Derivácia prirodzeného logaritmu modulu x:
.
Derivát n-tého rádu:
Odvodzovanie vzorcov >> >
Integrálny
.
Integrál sa vypočíta integráciou po častiach:
takže,
Výrazy využívajúce komplexné čísla
.
Zvážte funkciu komplexnej premennej z: Vyjadrime komplexnú premennú z cez modul r φ
:
.
Pomocou vlastností logaritmu máme:
.
Alebo
.
Argument φ nie je jednoznačne definovaný. Ak položíte
, kde n je celé číslo,
bude to rovnaké číslo pre rôzne n.
Preto prirodzený logaritmus ako funkcia komplexnej premennej nie je funkciou s jednou hodnotou.
Rozšírenie výkonového radu
Keď dôjde k expanzii:
Použitá literatúra:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.
Môže to byť napríklad kalkulačka zo základnej sady programov operačného systému Windows. Odkaz na jeho spustenie je celkom skrytý v hlavnej ponuke operačného systému - otvorte ho kliknutím na tlačidlo „Štart“, potom otvorte jeho časť „Programy“, prejdite do podsekcie „Štandard“ a potom do časti „Pomocné nástroje“ a nakoniec kliknite na položku „Kalkulačka“ " Namiesto myši a navigácie v ponukách môžete použiť klávesnicu a dialógové okno spustenia programu - stlačte kombináciu klávesov WIN + R, napíšte calc (toto je názov spustiteľného súboru kalkulačky) a stlačte Enter.
Prepnite rozhranie kalkulačky do pokročilého režimu, ktorý vám umožní... V predvolenom nastavení sa otvorí v „normálnom“ zobrazení, ale potrebujete „inžinierstvo“ alebo „ “ (v závislosti od verzie operačného systému, ktorý používate). Rozbaľte časť „Zobraziť“ v ponuke a vyberte príslušný riadok.
Zadajte argument, ktorého prirodzenú hodnotu chcete vyhodnotiť. Môžete to urobiť buď z klávesnice alebo kliknutím na príslušné tlačidlá v rozhraní kalkulačky na obrazovke.
Kliknite na tlačidlo označené ln - program vypočíta logaritmus so základom e a zobrazí výsledok.
Použite jednu z kalkulačiek ako alternatívu k výpočtu hodnoty prirodzeného logaritmu. Napríklad ten, ktorý sa nachádza na http://calc.org.ua. Jeho rozhranie je veľmi jednoduché - existuje jediné vstupné pole, do ktorého musíte zadať hodnotu čísla, ktorého logaritmus musíte vypočítať. Medzi tlačidlami nájdite a kliknite na to, ktoré hovorí ln. Skript tejto kalkulačky nevyžaduje odosielanie údajov na server a odpoveď, takže výsledok výpočtu dostanete takmer okamžite. Jediná vlastnosť, ktorú treba vziať do úvahy, je, že oddeľovač medzi zlomkovou a celočíselnou časťou zadaného čísla musí byť bodka a nie .
termín " logaritmus“ pochádza z dvoch gréckych slov, jedno znamená „číslo“ a druhé „pomer“. Označuje matematickú operáciu výpočtu premennej veličiny (exponentu), ku ktorej sa musí zvýšiť konštantná hodnota (základ), aby sa získalo číslo uvedené pod znamienkom logaritmus A. Ak sa základ rovná matematickej konštante nazývanej číslo "e", potom logaritmus nazývaný „prirodzený“.
Budete potrebovať
- Prístup na internet, Microsoft Office Excel alebo kalkulačka.
Pokyny
Použite množstvo kalkulačiek dostupných na internete - je to možno jednoduchý spôsob výpočtu prirodzeného a. Nemusíte hľadať vhodnú službu, pretože mnohé vyhľadávacie nástroje majú vstavané kalkulačky, ktoré sú celkom vhodné na prácu s logaritmus ami. Prejdite napríklad na domovskú stránku najväčšieho online vyhľadávača – Google. Tu nie sú potrebné žiadne tlačidlá na zadávanie hodnôt alebo výber funkcií, stačí zadať požadovanú matematickú akciu do poľa na zadanie dopytu. Povedzme, počítať logaritmus a číslo 457 v základe „e“, zadajte ln 457 – to bude stačiť na to, aby Google zobrazil s presnosťou na osem desatinných miest (6,12468339) aj bez stlačenia tlačidla na odoslanie požiadavky na server.
Ak potrebujete vypočítať hodnotu prirodzeného, použite príslušnú vstavanú funkciu logaritmus a vyskytuje sa pri práci s údajmi v populárnom tabuľkovom editore Microsoft Office Excel. Táto funkcia sa tu volá pomocou bežného zápisu ako napr logaritmus a veľkými písmenami - LN. Vyberte bunku, v ktorej sa má zobraziť výsledok výpočtu, a zadajte znamienko rovnosti - takto by mali záznamy v tomto tabuľkovom editore začínať v bunkách, ktoré obsahujú v podsekcii „Štandard“ v časti „Všetky programy“ hlavnej ponuky. Prepnite kalkulačku do funkčnejšieho režimu stlačením klávesovej skratky Alt + 2. Potom zadajte hodnotu, natural logaritmus ktoré chcete vypočítať a kliknite v rozhraní programu na tlačidlo označené symbolmi ln. Aplikácia vykoná výpočet a zobrazí výsledok.
Video k téme
často brať číslo e = 2,718281828 . Logaritmy založené na tejto báze sa nazývajú prirodzené. Pri výpočtoch s prirodzenými logaritmami je bežné pracovať so znamienkom ln, nie log; kým číslo 2,718281828 , definujúce základ, nie sú uvedené.
Inými slovami, formulácia bude vyzerať takto: prirodzený logaritmusčísla X- toto je exponent, na ktorý sa musí zvýšiť číslo e dostať x.
takže, ln(7 389...)= 2, pretože e 2 =7,389... . Prirodzený logaritmus samotného čísla e= 1 pretože e 1 =e a prirodzený logaritmus jednoty je nula, keďže e 0 = 1.
Samotné číslo e definuje limitu monotónnej ohraničenej postupnosti
vypočítal to e = 2,7182818284... .
Pomerne často, aby sa zafixovalo číslo v pamäti, sú číslice požadovaného čísla spojené s nejakým nevybaveným dátumom. Rýchlosť zapamätania si prvých deviatich číslic čísla e za desatinnou čiarkou sa zvýši, ak si všimnete, že rok 1828 je rokom narodenia Leva Tolstého!
Dnes existujú celkom kompletné tabuľky prirodzených logaritmov.
Graf prirodzeného logaritmu(funkcie y =ln x) je dôsledkom toho, že exponentový graf je zrkadlovým obrazom priamky y = x a má tvar:
Prirodzený logaritmus možno nájsť pre každé kladné reálne číslo a ako oblasť pod krivkou r = 1/x od 1 do a.
Elementárna povaha tejto formulácie, ktorá je v súlade s mnohými inými vzorcami, v ktorých je zahrnutý prirodzený logaritmus, bola dôvodom na vytvorenie názvu „prírodný“.
Ak analyzujete prirodzený logaritmus, ako reálna funkcia reálnej premennej, potom pôsobí inverzná funkcia na exponenciálnu funkciu, ktorá sa redukuje na identity:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
Analogicky so všetkými logaritmami, prirodzený logaritmus prevádza násobenie na sčítanie, delenie na odčítanie:
ln(xy) = ln(x) + ln(r)
ln(x/y)= lnx - lny
Logaritmus možno nájsť pre každý kladný základ, ktorý sa nerovná jednej, nielen pre e, ale logaritmy pre iné základy sa líšia od prirodzeného logaritmu iba konštantným faktorom a sú zvyčajne definované v podmienkach prirodzeného logaritmu.
Po analýze graf prirodzeného logaritmu, zistíme, že existuje pre kladné hodnoty premennej x. Vo svojej doméne definície sa zvyšuje monotónne.
O x → 0 limit prirodzeného logaritmu je mínus nekonečno ( -∞ ).V x → +∞ limit prirodzeného logaritmu je plus nekonečno ( + ∞ ). Na slobode x Logaritmus sa zvyšuje pomerne pomaly. Akákoľvek funkcia napájania xa s kladným exponentom a rastie rýchlejšie ako logaritmus. Prirodzený logaritmus je monotónne rastúca funkcia, takže nemá žiadne extrémy.
Použitie prirodzené logaritmy veľmi racionálne pri absolvovaní vyššej matematiky. Preto je použitie logaritmu vhodné na nájdenie odpovedí na rovnice, v ktorých sa neznáme objavujú ako exponenty. Použitie prirodzených logaritmov vo výpočtoch umožňuje výrazne zjednodušiť veľké množstvo matematických vzorcov. Logaritmy na základňu e sú prítomné pri riešení značného množstva fyzikálnych problémov a sú prirodzene zahrnuté v matematickom popise jednotlivých chemických, biologických a iných procesov. Logaritmy sa teda používajú na výpočet konštanty rozpadu pre známy polčas rozpadu alebo na výpočet času rozpadu pri riešení problémov rádioaktivity. Hrajú vedúcu úlohu v mnohých oblastiach matematiky a praktických vied, využívajú sa v oblasti financií na riešenie veľkého množstva problémov vrátane výpočtu zloženého úroku.
Prirodzený logaritmus
Graf funkcie prirodzeného logaritmu. Funkcia sa pomaly približuje k kladnému nekonečnu, keď sa zvyšuje x a rýchlo sa blíži k zápornému nekonečnu, keď x má tendenciu k 0 („pomaly“ a „rýchlo“ v porovnaní s akoukoľvek funkciou napájania x).
Prirodzený logaritmus je logaritmus k základni , Kde e- iracionálna konštanta rovnajúca sa približne 2,718281 828. Prirodzený logaritmus sa zvyčajne píše ako ln( x), denník e (x) alebo niekedy sa len prihláste ( x), ak základ e implicitne.
Prirodzený logaritmus čísla x(napísané ako ln(x)) je exponent, na ktorý sa musí číslo zvýšiť e dostať x. napr. ln(7 389...) sa rovná 2, pretože e 2 =7,389... . Prirodzený logaritmus samotného čísla e (ln(e)) sa rovná 1, pretože e 1 = e a prirodzený logaritmus je 1 ( ln(1)) sa rovná 0, pretože e 0 = 1.
Prirodzený logaritmus možno definovať pre akékoľvek kladné reálne číslo a ako oblasť pod krivkou r = 1/x od 1 do a. Jednoduchosť tejto definície, ktorá je v súlade s mnohými ďalšími vzorcami, ktoré používajú prirodzený logaritmus, viedla k názvu „prirodzený“. Táto definícia môže byť rozšírená na komplexné čísla, ako je uvedené nižšie.
Ak považujeme prirodzený logaritmus za reálnu funkciu reálnej premennej, potom je to inverzná funkcia exponenciálnej funkcie, ktorá vedie k identitám:
Rovnako ako všetky logaritmy, prirodzený logaritmus mapuje násobenie na sčítanie:
Logaritmická funkcia je teda izomorfizmus skupiny kladných reálnych čísel vzhľadom na násobenie skupinou reálnych čísel vzhľadom na sčítanie, ktoré možno znázorniť ako funkciu:
Logaritmus možno definovať pre akýkoľvek kladný základ iný ako 1, nie len e, ale logaritmy pre iné základy sa líšia od prirodzeného logaritmu iba konštantným faktorom a sú zvyčajne definované v podmienkach prirodzeného logaritmu. Logaritmy sú užitočné pri riešení rovníc, ktoré zahŕňajú neznáme ako exponenty. Napríklad logaritmy sa používajú na nájdenie konštanty rozpadu pre známy polčas rozpadu alebo na nájdenie času rozpadu pri riešení problémov s rádioaktivitou. Hrajú dôležitú úlohu v mnohých oblastiach matematiky a aplikovaných vied a používajú sa vo financiách na riešenie mnohých problémov vrátane hľadania zloženého úročenia.
Príbeh
Prvú zmienku o prirodzenom logaritme urobil Nicholas Mercator vo svojej práci Logaritmotechnia, publikované v roku 1668, hoci učiteľ matematiky John Spidell zostavil tabuľku prirodzených logaritmov už v roku 1619. Predtým sa nazýval hyperbolický logaritmus, pretože zodpovedá ploche pod hyperbolou. Niekedy sa nazýva Napierov logaritmus, hoci pôvodný význam tohto výrazu bol trochu iný.
Konvencie označovania
Prirodzený logaritmus sa zvyčajne označuje ako „ln( x)", logaritmus na základ 10 - cez "lg( x)“ a iné dôvody sú zvyčajne výslovne označené symbolom „log“.
V mnohých prácach o diskrétnej matematike, kybernetike a informatike autori používajú označenie „log( x)“ pre logaritmy na základ 2, ale táto konvencia nie je všeobecne akceptovaná a vyžaduje si objasnenie buď v zozname použitých zápisov, alebo (ak taký zoznam neexistuje) pomocou poznámky pod čiarou alebo komentára pri prvom použití.
Zátvorky okolo argumentu logaritmu (ak to nevedie k chybnému prečítaniu vzorca) sa zvyčajne vynechávajú a pri umocnení logaritmu sa exponent priradí priamo znamienku logaritmu: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .
Anglo-americký systém
Matematici, štatistici a niektorí inžinieri zvyčajne používajú výraz „prirodzený logaritmus“ alebo „log( x)" alebo "ln( x)“ a na označenie základného 10 logaritmu - „log 10 ( x)».
Niektorí inžinieri, biológovia a iní špecialisti vždy píšu „ln( x)“ (alebo príležitostne „log e ( x)), keď znamenajú prirodzený logaritmus a zápis „log( x)“ znamenajú log 10 ( x).
log e je "prirodzený" logaritmus, pretože sa vyskytuje automaticky a v matematike sa objavuje veľmi často. Zvážte napríklad problém derivácie logaritmickej funkcie:
Ak základ b rovná sa e, potom je derivácia jednoducho 1/ x, a kedy x= 1 táto derivácia sa rovná 1. Ďalší dôvod, prečo základ e Najprirodzenejšia vec na logaritme je, že ho možno definovať celkom jednoducho pomocou jednoduchého integrálu alebo Taylorovho radu, čo sa o iných logaritmoch povedať nedá.
Ďalšie zdôvodnenia prirodzenosti nesúvisia so zápisom. Napríklad existuje niekoľko jednoduchých sérií s prirodzenými logaritmami. Volali ich Pietro Mengoli a Nicholas Mercator logaritmus naturalis niekoľko desaťročí, kým Newton a Leibniz vyvinuli diferenciálny a integrálny počet.
Definícia
Formálne ln( a) možno definovať ako plochu pod krivkou grafu 1/ x od 1 do a, teda ako integrál:
Je to skutočne logaritmus, pretože spĺňa základnú vlastnosť logaritmu:
Dá sa to demonštrovať za predpokladu, že:
Číselná hodnota
Na výpočet číselnej hodnoty prirodzeného logaritmu čísla môžete použiť jeho rozšírenie Taylorovho radu v tvare:
Ak chcete dosiahnuť lepšiu mieru konvergencie, môžete použiť nasledujúcu identitu:
Pre ln( x), kde x> 1, čím je hodnota bližšie x na 1, tým rýchlejšia je miera konvergencie. Identity spojené s logaritmom možno použiť na dosiahnutie cieľa:
Tieto metódy sa používali ešte pred príchodom kalkulačiek, pre ktoré sa používali číselné tabuľky a vykonávali sa manipulácie podobné tým, ktoré sú opísané vyššie.
Vysoká presnosť
Na výpočet prirodzeného logaritmu s veľkým počtom presných číslic nie je Taylorov rad efektívny, pretože jeho konvergencia je pomalá. Alternatívou je použiť Newtonovu metódu na invertovanie na exponenciálnu funkciu, ktorej rad konverguje rýchlejšie.
Alternatívou pre veľmi vysokú presnosť výpočtu je vzorec:
Kde M označuje aritmeticko-geometrický priemer 1 a 4/s, a
m zvolený tak, že p dosiahnu známky presnosti. (Vo väčšine prípadov postačuje hodnota 8 pre m.) V skutočnosti, ak sa použije táto metóda, na efektívny výpočet exponenciálnej funkcie možno použiť Newtonovu inverziu prirodzeného logaritmu. (Konštanty ln 2 a pi je možné vopred vypočítať s požadovanou presnosťou pomocou ktorejkoľvek zo známych rýchlo konvergentných sérií.)
Výpočtová zložitosť
Výpočtová zložitosť prirodzených logaritmov (pomocou aritmeticko-geometrického priemeru) je O( M(n)ln n). Tu n je počet číslic presnosti, pre ktoré sa musí vyhodnotiť prirodzený logaritmus a M(n) je výpočtová zložitosť vynásobenia dvoch n-ciferné čísla.
Pokračujúce zlomky
Aj keď neexistujú jednoduché reťazové zlomky na vyjadrenie logaritmu, možno použiť niekoľko zovšeobecnených reťazových zlomkov, vrátane:
Komplexné logaritmy
Exponenciálna funkcia môže byť rozšírená na funkciu, ktorá dáva komplexné číslo tvaru e x pre ľubovoľné komplexné číslo x, v tomto prípade nekonečný rad s komplexom x. Táto exponenciálna funkcia môže byť invertovaná, aby vytvorila komplexný logaritmus, ktorý bude mať väčšinu vlastností bežných logaritmov. Sú tu však dve ťažkosti: nie je x, pre ktoré e x= 0 a ukázalo sa, že e 2πi = 1 = e 0 Pretože vlastnosť multiplikatívnosti platí pre komplexnú exponenciálnu funkciu e Vyjadrime komplexnú premennú = e Vyjadrime komplexnú premennú+2nπi pre všetky komplexné Vyjadrime komplexnú premennú a celý n.
Logaritmus nie je možné definovať v celej komplexnej rovine a aj tak je viachodnotový – každý komplexný logaritmus možno nahradiť „ekvivalentným“ logaritmom pridaním ľubovoľného celočíselného násobku 2. πi. Komplexný logaritmus môže mať iba jednu hodnotu na výseku komplexnej roviny. Napríklad ln i = 1/2 πi alebo 5/2 πi alebo -3/2 πi, atď., a hoci i 4 = 1,4 log i možno definovať ako 2 πi, alebo 10 πi alebo -6 πi, a tak ďalej.
Pozri tiež
- John Napier - vynálezca logaritmov
Poznámky
- Matematika pre fyzikálnu chémiu. - 3. - Academic Press, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5,Výňatok zo strany 9
- JJO"Connor a EF RobertsonČíslo e. Archív histórie matematiky MacTutor (september 2001). Archivované
- Cajori Florián História matematiky, 5. vydanie. - Kníhkupectvo AMS, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024
- Flashman, Martin Odhad integrálov pomocou polynómov. Archivované z originálu 12. februára 2012.
Logaritmus daného čísla sa nazýva exponent, na ktorý treba zvýšiť ďalšie číslo, tzv základ logaritmus na získanie tohto čísla. Napríklad základný 10 logaritmus 100 je 2. Inými slovami, 10 musí byť odmocnené, aby sa dostalo 100 (10 2 = 100). Ak n- dané číslo, b– základ a l– teda logaritmus b l = n. číslo n tiež nazývaný základný antilogaritmus bčísla l. Napríklad antilogaritmus 2 k základu 10 sa rovná 100. To možno zapísať vo forme protokolu vzťahov b n = l a antilog b l = n.
Základné vlastnosti logaritmov:
Akékoľvek iné kladné číslo ako jedna môže slúžiť ako základ pre logaritmy, ale bohužiaľ sa ukazuje, že ak b A n sú racionálne čísla, potom v zriedkavých prípadoch takéto racionálne číslo existuje l, Čo? b l = n. Je však možné definovať iracionálne číslo l napríklad také, že 10 l= 2; toto je iracionálne číslo l možno aproximovať s akoukoľvek požadovanou presnosťou racionálnymi číslami. Ukazuje sa, že vo vyššie uvedenom príklade l sa približne rovná 0,3010 a túto aproximáciu základného 10 logaritmu 2 možno nájsť v štvorciferných tabuľkách desiatkových logaritmov. Logaritmy so základňou 10 (alebo logaritmy so základňou 10) sa vo výpočtoch tak bežne používajú, že sa nazývajú obyčajný logaritmy a zapísané ako log2 = 0,3010 alebo log2 = 0,3010, pričom sa vynechá explicitná indikácia základu logaritmu. Logaritmy na základňu e, transcendentálne číslo približne rovné 2,71828 prirodzené logaritmy. Nachádzajú sa najmä v prácach o matematickej analýze a jej aplikáciách v rôznych vedách. Prirodzené logaritmy sa tiež píšu bez explicitného označenia základu, ale pomocou špeciálneho zápisu ln: napríklad ln2 = 0,6931, pretože e 0,6931 = 2.
Použitie tabuliek bežných logaritmov.
Pravidelný logaritmus čísla je exponent, na ktorý sa musí zvýšiť 10, aby sa získalo dané číslo. Keďže 10 0 = 1, 10 1 = 10 a 10 2 = 100, okamžite dostaneme, že log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 atď. pre rastúce celočíselné mocniny 10. Rovnako 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 a teda log0,1 = –1, log0,01 = –2 atď. pre všetky záporné celočíselné mocniny 10. Zvyčajné logaritmy zostávajúcich čísel sú uzavreté medzi logaritmy najbližších celých čísel 10; log2 musí byť medzi 0 a 1, log20 musí byť medzi 1 a 2 a log0.2 musí byť medzi -1 a 0. Logaritmus teda pozostáva z dvoch častí, celého čísla a desatinného čísla, uzavretých medzi 0 a 1. celočíselná časť tzv charakteristický logaritmus a je určený samotným číslom, nazýva sa zlomková časť mantisa a nájdete ich v tabuľkách. Tiež log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logaritmus 2 je 0,3010, takže log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Podobne log0,2 = log(2®10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Po odčítaní dostaneme log0,2 = – 0,6990. Je však vhodnejšie uviesť log0,2 ako 0,3010 – 1 alebo ako 9,3010 – 10; Dá sa sformulovať aj všeobecné pravidlo: všetky čísla získané z daného čísla vynásobením mocninou 10 majú zhodné mantisy rovné mantise daného čísla. Väčšina tabuliek zobrazuje mantisy čísel v rozsahu od 1 do 10, pretože mantisy všetkých ostatných čísel možno získať z čísel uvedených v tabuľke.
Väčšina tabuliek uvádza logaritmy so štyrmi alebo piatimi desatinnými miestami, hoci existujú aj sedemmiestne tabuľky a tabuľky s ešte väčším počtom desatinných miest. Najjednoduchší spôsob, ako sa naučiť používať takéto tabuľky, sú príklady. Aby sme našli log3.59, najprv si všimnime, že číslo 3,59 sa nachádza medzi 10 0 a 10 1, takže jeho charakteristika je 0. Nájdeme číslo 35 (vľavo) v tabuľke a posunieme sa po riadku na stĺpec, ktorý má navrchu číslo 9; priesečník tohto stĺpca a riadku 35 je 5551, takže log3,59 = 0,5551. Ak chcete nájsť mantisu čísla so štyrmi platnými číslicami, musíte použiť interpoláciu. V niektorých tabuľkách je interpolácia uľahčená proporciami uvedenými v posledných deviatich stĺpcoch na pravej strane každej strany tabuliek. Teraz nájdime log736.4; číslo 736,4 leží medzi 10 2 a 10 3, preto charakteristika jeho logaritmu je 2. V tabuľke nájdeme riadok, naľavo od neho je 73 a stĺpec 6. Na priesečníku tohto riadka a tohto stĺpca je číslo 8669. Medzi lineárnymi časťami nájdeme stĺpec 4 Na priesečníku riadku 73 a stĺpca 4 je číslo 2. Pripočítaním 2 k 8669 dostaneme mantisu - rovná sa 8671. Log736,4. = 2,8671.
Prirodzené logaritmy.
Tabuľky a vlastnosti prirodzených logaritmov sú podobné tabuľkám a vlastnostiam bežných logaritmov. Hlavný rozdiel medzi oboma je v tom, že celočíselná časť prirodzeného logaritmu nie je podstatná pri určovaní polohy desatinnej čiarky, a preto rozdiel medzi mantisou a charakteristikou nehrá zvláštnu úlohu. Prirodzené logaritmy čísel 5,432; 54,32 a 543,2 sa rovnajú 1,6923; 3,9949 a 6,2975. Vzťah medzi týmito logaritmami bude zrejmý, ak vezmeme do úvahy rozdiely medzi nimi: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; posledné číslo nie je nič iné ako prirodzený logaritmus čísla 10 (napísané takto: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; posledné číslo je 2ln10. Ale 543,2 = 10ґ54,32 = 10 2ґ5,432. Teda prirodzeným logaritmom daného čísla a môžete nájsť prirodzené logaritmy čísel, ktoré sa rovnajú súčinom čísla a pre akýkoľvek stupeň nčísla 10 ak do ln a pridajte ln10 vynásobte n, t.j. ln( aґ10n) = log a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Napríklad ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Preto tabuľky prirodzených logaritmov, podobne ako tabuľky bežných logaritmov, zvyčajne obsahujú iba logaritmy čísel od 1 do 10. V systéme prirodzených logaritmov možno hovoriť o antilogaritmoch, ale častejšie sa hovorí o exponenciálnej funkcii alebo exponente. Ak x= log r, To r = e x, A r nazývaný exponentom x(pre typografické pohodlie často píšu r= exp x). Exponent hrá úlohu antilogaritmu čísla x.
Pomocou tabuliek desiatkových a prirodzených logaritmov môžete vytvárať tabuľky logaritmov v akomkoľvek inom základe ako 10 a e. Ak log b a = x, To b x = a, a preto log c b x=log c a alebo x log c b=log c a, alebo x=log c a/log c b=log b a. Preto použite tento inverzný vzorec zo základnej logaritmickej tabuľky c môžete zostaviť tabuľky logaritmov v akejkoľvek inej základni b. Násobiteľ 1/log c b volal prechodový modul zo základne c do základne b. Nič nebráni napríklad použitiu inverzného vzorca alebo prechodu z jedného systému logaritmov do druhého, nájdeniu prirodzených logaritmov z tabuľky bežných logaritmov alebo vykonaniu spätného prechodu. Napríklad log105.432 = log e 5,432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Číslo 0,4343, ktorým sa musí prirodzený logaritmus daného čísla vynásobiť, aby sa získal obyčajný logaritmus, je modul prechodu do systému obyčajných logaritmov.
Špeciálne stoly.
Logaritmy boli pôvodne vynájdené tak, že pomocou ich vlastností log ab=log a+ denník b a log a/b=log a– log b, premeniť produkty na súčty a podiely na rozdiely. Inými slovami, ak log a a log b sú známe, potom pomocou sčítania a odčítania môžeme ľahko nájsť logaritmus súčinu a kvocientu. V astronómii sa však často uvádzajú hodnoty log a a log b treba nájsť log( a + b) alebo log( a – b). Samozrejme, najprv by sa dalo nájsť z tabuliek logaritmov a A b, potom vykonajte uvedené sčítanie alebo odčítanie a opätovným otočením k tabuľkám nájdite požadované logaritmy, ale takýto postup by si vyžadoval, aby ste sa na tabuľky odvolávali trikrát. Z. Leonelli v roku 1802 zverejnil tabuľky tzv. Gaussove logaritmy– logaritmy na sčítanie súčtov a rozdielov – čo umožnilo obmedziť sa na jeden prístup k tabuľkám.
V roku 1624 I. Kepler navrhol tabuľky proporcionálnych logaritmov, t.j. logaritmy čísel a/x, Kde a– nejaká kladná konštantná hodnota. Tieto tabuľky používajú predovšetkým astronómovia a navigátori.
Proporcionálne logaritmy pri a= 1 sa nazývajú pomocou logaritmov a používajú sa pri výpočtoch, keď sa musíme zaoberať produktmi a podielmi. Kolaritmus čísla n rovná sa logaritmu recipročného čísla; tie. kolínska voda n= log1/ n= – log n. Ak log2 = 0,3010, potom colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Výhodou použitia kologaritmov je, že pri výpočte hodnoty logaritmu výrazov ako napr. pq/cez modul trojitý súčet kladných desatinných miest log p+ denník q+ kol cez modul je ľahšie nájsť ako zmiešaný denník súčtu a rozdielu p+ denník q– log cez modul.
Príbeh.
Princíp, ktorý je základom každého systému logaritmov, je známy už veľmi dlho a možno ho vysledovať až do starovekej babylonskej matematiky (približne 2000 pred Kristom). V tých dňoch sa na výpočet zloženého úroku používala interpolácia medzi tabuľkovými hodnotami kladných celočíselných mocnín celých čísel. Oveľa neskôr Archimedes (287 – 212 pred n. l.) použil mocniny 108 na nájdenie hornej hranice počtu zŕn piesku potrebných na úplné zaplnenie vtedy známeho vesmíru. Archimedes upozornil na vlastnosť exponentov, ktorá je základom účinnosti logaritmov: súčin mocnin zodpovedá súčtu exponentov. Na konci stredoveku a na začiatku novoveku sa matematici čoraz viac začali obracať na vzťah medzi geometrickými a aritmetickými postupmi. M. Stiefel vo svojej eseji Celočíselná aritmetika(1544) dal tabuľku kladných a záporných mocnín čísla 2:
Stiefel si všimol, že súčet dvoch čísel v prvom rade (riadok s exponentmi) sa rovná exponentu dvoch zodpovedajúcich súčinu dvoch zodpovedajúcich čísel v spodnom riadku (riadok s exponentmi). V súvislosti s touto tabuľkou Stiefel sformuloval štyri pravidlá ekvivalentné štyrom moderným pravidlám pre operácie s exponentmi alebo štyrom pravidlám pre operácie s logaritmami: súčet na hornom riadku zodpovedá súčinu na spodnom riadku; odčítanie na hornom riadku zodpovedá deleniu na spodnom riadku; násobenie na hornom riadku zodpovedá umocňovaniu na spodnom riadku; rozdelenie na hornom riadku zodpovedá zakoreneniu na spodnom riadku.
Pravidlá podobné Stiefelovým pravidlám viedli J. Napera k formálnemu zavedeniu prvého systému logaritmov vo svojej práci. Popis úžasnej tabuľky logaritmov, publikované v roku 1614. Ale Napierove myšlienky sa zaoberali problémom prepočtu produktov na sumy odvtedy, viac ako desať rokov pred vydaním svojej práce, dostal Napier správu z Dánska, že na observatóriu Tycha Braheho mali jeho asistenti metódu, vďaka ktorej je možné previesť produkty na sumy. Metóda diskutovaná v správe, ktorú Napier dostal, bola založená na použití trigonometrických vzorcov ako napr
preto Naperove tabuľky pozostávali hlavne z logaritmov goniometrických funkcií. Hoci pojem základ nebol explicitne zahrnutý v definícii navrhnutej Napierom, úlohu ekvivalentnú základni systému logaritmov v jeho systéme zohrávalo číslo (1 – 10 –7)ґ10 7, približne rovné 1/ e.
Nezávisle od Napera a takmer súčasne s ním vymyslel a vydal v roku 1620 J. Bürgi v Prahe typovo veľmi podobný systém logaritmov. Aritmetické a geometrické progresívne tabuľky. Boli to tabuľky antilogaritmov k základu (1 + 10 –4) ґ10 4, pomerne dobrá aproximácia počtu e.
V systéme Naper sa logaritmus čísla 107 považoval za nulu a keď sa čísla znižovali, logaritmy sa zvyšovali. Keď G. Briggs (1561–1631) navštívil Napier, obaja sa zhodli, že by bolo vhodnejšie použiť ako základ číslo 10 a logaritmus jednotky považovať za nulu. Potom, ako sa čísla zvýšili, ich logaritmy sa zvýšili. Získali sme tak moderný systém desiatkových logaritmov, ktorého tabuľku publikoval Briggs vo svojej práci Logaritmická aritmetika(1620). Logaritmy na základňu e, aj keď nie presne tie, ktoré predstavil Naper, sa často nazývajú Naperove. Pojmy "charakteristika" a "mantisa" navrhol Briggs.
Prvé logaritmy z historických dôvodov používali aproximácie k číslam 1/ e A e. O niečo neskôr sa myšlienka prirodzených logaritmov začala spájať so štúdiom oblastí pod hyperbolou xy= 1 (obr. 1). V 17. storočí ukázalo sa, že oblasť ohraničená touto krivkou, os x a ordináty x= 1 a x = a(na obr. 1 je táto oblasť pokrytá výraznejšími a riedkymi bodkami) zvyšuje aritmetický postup, keď a rastie exponenciálne. Práve táto závislosť vzniká v pravidlách pre operácie s exponentmi a logaritmami. To viedlo k tomu, že sa Naperove logaritmy nazývali „hyperbolické logaritmy“.
Logaritmická funkcia.
Boli časy, keď sa logaritmy považovali len za výpočtový prostriedok, ale v 18. storočí sa najmä vďaka Eulerovmu dielu vytvoril koncept logaritmickej funkcie. Graf takejto funkcie r= log x, ktorého súradnice sa zvyšujú v aritmetickej progresii, zatiaľ čo úsečky sa zvyšujú v geometrickej progresii, je znázornené na obr. 2, A. Graf inverznej alebo exponenciálnej (exponenciálnej) funkcie y = e x, ktorého súradnice sa zvyšujú v geometrickej progresii a ktorých úsečky sa zvyšujú v aritmetickej progresii, je znázornené na obr. 2, b. (Krivky r=log x A r = 10x tvarom podobný krivkám r= log x A r = e x.) Boli navrhnuté aj alternatívne definície logaritmickej funkcie, napr.
kpi; a podobne prirodzené logaritmy čísla -1 sú komplexné čísla tvaru (2 k + 1)pi, Kde k– celé číslo. Podobné tvrdenia platia pre všeobecné logaritmy alebo iné systémy logaritmov. Okrem toho, definícia logaritmov môže byť zovšeobecnená pomocou Eulerových identít tak, aby zahŕňala komplexné logaritmy komplexných čísel.
Alternatívnu definíciu logaritmickej funkcie poskytuje funkčná analýza. Ak f(x) – spojitá funkcia reálneho čísla x, ktorý má tieto tri vlastnosti: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), To f(x) je definovaný ako logaritmus čísla x na základe b. Táto definícia má oproti definícii uvedenej na začiatku tohto článku množstvo výhod.
Aplikácie.
Logaritmy sa pôvodne používali výlučne na zjednodušenie výpočtov a táto aplikácia je stále jednou z ich najdôležitejších. Výpočet súčinov, kvocientov, mocnín a koreňov uľahčuje nielen široká dostupnosť publikovaných tabuliek logaritmov, ale aj použitie tzv. logaritmické pravítko - výpočtový nástroj, ktorého princíp fungovania je založený na vlastnostiach logaritmov. Pravítko je vybavené logaritmickými stupnicami, t.j. vzdialenosť od čísla 1 k ľubovoľnému číslu x zvolená tak, aby sa rovnala log x; Posunutím jednej stupnice voči druhej je možné vykresliť súčty alebo rozdiely logaritmov, čo umožňuje čítať priamo zo stupnice súčiny alebo podiely zodpovedajúcich čísel. Môžete tiež využiť výhody reprezentácie čísel v logaritmickej forme. logaritmický papier na vykresľovanie grafov (papier s logaritmickými stupnicami vytlačenými na oboch súradnicových osiach). Ak funkcia spĺňa mocninný zákon tvaru y = kxn, potom jeho logaritmický graf vyzerá ako priamka, pretože log r=log k + n log x– rovnica lineárna vzhľadom na log r a log x. Naopak, ak logaritmický graf nejakej funkčnej závislosti vyzerá ako priamka, potom je táto závislosť mocninová. Semi-log papier (kde os y má logaritmickú mierku a os x má jednotnú mierku) je užitočný, keď potrebujete identifikovať exponenciálne funkcie. Rovnice formulára y = kb rx sa vyskytujú vždy, keď sa množstvo, ako napríklad počet obyvateľov, množstvo rádioaktívneho materiálu alebo bankový zostatok, znižuje alebo zvyšuje rýchlosťou úmernou množstvu obyvateľstva, rádioaktívneho materiálu alebo peňazí, ktoré sú v súčasnosti k dispozícii. Ak sa takáto závislosť nakreslí na semilogaritmický papier, graf bude vyzerať ako priamka.
Logaritmická funkcia vzniká v spojení so širokou škálou prírodných foriem. Kvety v súkvetiach slnečnice sú usporiadané v logaritmických špirálach, lastúry mäkkýšov sú skrútené Nautilus, rohy horských oviec a zobáky papagájov. Všetky tieto prirodzené tvary môžu slúžiť ako príklady krivky známej ako logaritmická špirála, pretože v polárnom súradnicovom systéme je jej rovnica r = ae bq, alebo ln cez modul= log a + bq. Takáto krivka je opísaná pohyblivým bodom, ktorého vzdialenosť od pólu sa geometrickým postupom zväčšuje a uhol opísaný jeho vektorom polomeru sa zväčšuje v aritmetickom postupe. Všadeprítomnosť takejto krivky, a teda aj logaritmickej funkcie, dobre ilustruje skutočnosť, že sa vyskytuje v takých vzdialených a úplne odlišných oblastiach, ako je obrys excentrickej vačky a trajektória nejakého hmyzu letiaceho smerom k svetlu.