Testovacie úlohy

Úloha 1 - 10. Sú dané vektory.

Ukážte, že vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru a nájdite súradnice vektora v tomto základe:

Dané vektory ε 1 (3;1;6), ε 2 (-2;2;-3), ε 3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Ukážte, že vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru a nájdite súradnice vektora X v tomto základe.

Táto úloha pozostáva z dvoch častí. Najprv musíte skontrolovať, či vektory tvoria základ. Vektory tvoria základ, ak je determinant zložený zo súradníc týchto vektorov nenulový, inak vektory nie sú základné a vektor X sa cez túto bázu nedá rozšíriť.

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

Vypočítajme determinant matice:

Determinant matice je ∆ =37

Keďže determinant je nenulový, vektory tvoria bázu, preto je možné vektor X rozšíriť cez túto bázu. Tie. existujú čísla α 1, α 2, α 3 také, že platí rovnosť:

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

Napíšme túto rovnosť v súradnicovom tvare:

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

Pomocou vlastností vektorov získame nasledujúcu rovnosť:

(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)

Podľa vlastnosti rovnosti vektorov máme:

3ai-2a2-4a3 = 3

1α1 + 2α2 + 5α3 = 0

6ai-3a2-1a3 = 1 Výslednú sústavu rovníc riešime Gaussova metóda alebo.

Cramerova metóda

X = ei + 2e2-e3

Riešenie bolo prijaté a spracované pomocou služby:

Vektorové súradnice v základe

Spolu s týmto problémom riešia aj:

Riešenie maticových rovníc

Cramerova metóda

Gaussova metóda

Inverzná matica pomocou Jordano-Gaussovej metódy

Inverzná matica cez algebraické doplnky

Online násobenie matíc Základ vesmíru
nazývajú taký systém vektorov, v ktorom môžu byť všetky ostatné vektory v priestore reprezentované ako lineárna kombinácia vektorov zahrnutých v základe. V praxi je to všetko implementované celkom jednoducho. Základ sa spravidla kontroluje v rovine alebo v priestore, a preto musíte nájsť determinant matice druhého, tretieho rádu zloženej z vektorových súradníc. Nižšie sú schematicky napísané

podmienky, za ktorých vektory tvoria základ Komu
rozviňte vektor b na základné vektory e,e...,e[n] je potrebné nájsť koeficienty x, ..., x[n], pre ktoré sa lineárna kombinácia vektorov e,e...,e[n] rovná vektor
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Na tento účel by sa vektorová rovnica mala previesť na systém lineárnych rovníc a mali by sa nájsť riešenia. To je tiež celkom jednoduché na implementáciu.
Nájdené koeficienty x, ..., x[n] sa volajú súradnice vektora b v zákl e,e...,e[n].
Prejdime k praktickej stránke témy.

Rozklad vektora na bázové vektory

Úloha 1. Skontrolujte, či vektory a1, a2 tvoria základ v rovine

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Riešenie: Zo súradníc vektorov poskladáme determinant a vypočítame ho

Determinant nie je nula, teda vektory sú lineárne nezávislé, čo znamená, že tvoria základ.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Riešenie: Vypočítame determinant zložený z vektorov

Determinant sa rovná 13 (nerovná sa nule) - z toho vyplýva, že vektory a1, a2 sú bázou v rovine.

---=================---

Pozrime sa na typické príklady z programu MAUP v disciplíne „Vyššia matematika“.

Úloha 2. Ukážte, že vektory a1, a2, a3 tvoria základ trojrozmerného vektorového priestoru a rozšírte vektor b podľa tohto základu (použite Cramerovu metódu pri riešení sústavy lineárnych algebraických rovníc).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (-3; 1; 2).
Riešenie: Najprv zvážte sústavu vektorov a1, a2, a3 a skontrolujte determinant matice A

postavené na nenulových vektoroch. Matica obsahuje jeden nulový prvok, preto je vhodnejšie vypočítať determinant ako rozvrh v prvom stĺpci alebo treťom riadku.

Ako výsledok výpočtov sme zistili, že determinant je odlišný od nuly vektory a1, a2, a3 sú lineárne nezávislé.
Podľa definície vektory tvoria základ v R3. Zapíšme si rozvrh vektora b na základe

Vektory sú rovnaké, keď sú ich zodpovedajúce súradnice rovnaké.
Preto z vektorovej rovnice získame sústavu lineárnych rovníc

Poďme vyriešiť SLAE Cramerova metóda. Za týmto účelom napíšeme sústavu rovníc do formulára

Hlavný determinant SLAE sa vždy rovná determinantu zloženému zo základných vektorov

Preto sa v praxi dvakrát nepočíta. Aby sme našli pomocné determinanty, umiestnime stĺpec voľných členov na miesto každého stĺpca hlavného determinantu. Determinanty sa počítajú pomocou trojuholníkového pravidla



Nájdené determinanty dosadíme do Cramerovho vzorca



Takže rozšírenie vektora b z hľadiska bázy má tvar b=-4a1+3a2-a3. Súradnice vektora b v báze a1, a2, a3 budú (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Riešenie: Skontrolujeme vektory na základ - zo súradníc vektorov poskladáme determinant a vypočítame ho

Determinant sa teda nerovná nule vektory tvoria základ v priestore. Zostáva nájsť rozvrh vektora b prostredníctvom tohto základu. Aby sme to dosiahli, napíšeme vektorovú rovnicu

a transformovať na sústavu lineárnych rovníc

Napíšeme maticovú rovnicu

Ďalej pre Cramerove vzorce nájdeme pomocné determinanty



Aplikujeme Cramerove vzorce



Daný vektor b má teda rozvrh cez dva základné vektory b=-2a1+5a3 a jeho súradnice v základe sú rovné b(-2,0, 5).

Lineárna závislosť a lineárna nezávislosť vektorov.
Základy vektorov. Afinný súradnicový systém

V hľadisku je vozík s čokoládami a každý návštevník dnes dostane sladkú dvojicu - analytickú geometriu s lineárnou algebrou. Tento článok sa dotkne dvoch častí vyššej matematiky naraz a uvidíme, ako koexistujú v jednom obale. Dajte si pauzu, zjedzte Twix! ...sakra, aká kopa nezmyslov. Aj keď, dobre, nedám gól, nakoniec by ste mali mať pozitívny vzťah k štúdiu.

Lineárna závislosť vektorov, lineárna vektorová nezávislosť, základ vektorov a iné pojmy majú nielen geometrický výklad, ale predovšetkým algebraický význam. Samotný pojem „vektor“ z pohľadu lineárnej algebry nie je vždy „obyčajným“ vektorom, ktorý môžeme zobraziť v rovine alebo v priestore. Dôkaz nemusíte hľadať ďaleko, skúste nakresliť vektor päťrozmerného priestoru . Alebo vektor počasia, pre ktorý som práve išiel do Gismetea: teplota a atmosférický tlak. Príklad je, samozrejme, nesprávny z hľadiska vlastností vektorového priestoru, ale napriek tomu nikto nezakazuje formalizovať tieto parametre ako vektor. Dych jesene...

Nie, nebudem vás nudiť teóriou, lineárne vektorové priestory, úlohou je pochopiť definície a vety. Nové pojmy (lineárna závislosť, nezávislosť, lineárna kombinácia, báza atď.) platia z algebraického hľadiska pre všetky vektory, ale budú uvedené geometrické príklady. Všetko je teda jednoduché, prístupné a prehľadné. Okrem problémov analytickej geometrie sa budeme zaoberať aj niektorými typickými problémami algebry. Na zvládnutie materiálu je vhodné oboznámiť sa s lekciami Vektory pre figuríny A Ako vypočítať determinant?

Lineárna závislosť a nezávislosť rovinných vektorov.
Rovinný základ a afinný súradnicový systém

Zoberme si rovinu vášho počítačového stola (stačí stôl, nočný stolík, podlaha, strop, čokoľvek chcete). Úloha bude pozostávať z nasledujúcich akcií:

1) Vyberte základ roviny. Zhruba povedané, doska stola má dĺžku a šírku, takže je intuitívne, že na vytvorenie základne budú potrebné dva vektory. Jeden vektor zjavne nestačí, tri vektory sú príliš veľa.

2) Na základe zvoleného základu nastaviť súradnicový systém(súradnicová mriežka) na priradenie súradníc všetkým objektom na stole.

Nečudujte sa, najprv budú vysvetlenia na prstoch. Navyše na tej vašej. Umiestnite prosím ľavý ukazovák na okraj dosky stola tak, aby sa pozeral na monitor. Toto bude vektor. Teraz miesto pravý malíček na okraj stola rovnakým spôsobom - tak, aby smeroval na obrazovku monitora. Toto bude vektor. Usmej sa, vyzeráš skvele! Čo môžeme povedať o vektoroch? Dátové vektory kolineárne, čo znamená lineárne vyjadrené cez seba:
, no, alebo naopak: , kde je nejaké číslo iné ako nula.

Môžete vidieť obrázok tejto akcie v triede. Vektory pre figuríny, kde som vysvetlil pravidlo pre násobenie vektora číslom.

Nastavia vaše prsty základ na rovine počítačového stola? Očividne nie. Kolineárne vektory sa pohybujú tam a späť sám smer a rovina má dĺžku a šírku.

Takéto vektory sa nazývajú lineárne závislé.

Referencia: Slová „lineárne“, „lineárne“ označujú skutočnosť, že v matematických rovniciach a výrazoch nie sú žiadne štvorce, kocky, iné mocniny, logaritmy, sínusy atď. Existujú iba lineárne (1. stupeň) výrazy a závislosti.

Dva rovinné vektory lineárne závislé vtedy a len vtedy, ak sú kolineárne.

Prekrížte prsty na stole tak, aby medzi nimi bol iný uhol ako 0 alebo 180 stupňov. Dva rovinné vektorylineárne nie závislé vtedy a len vtedy, ak nie sú kolineárne. Takže základ je získaný. Netreba sa hanbiť za to, že základ sa ukázal byť „skreslený“ nekolmými vektormi rôznych dĺžok. Veľmi skoro uvidíme, že na jeho konštrukciu je vhodný nielen uhol 90 stupňov, ale nielen jednotkové vektory rovnakej dĺžky.

Akékoľvek rovinný vektor jediný spôsob sa rozširuje podľa základu:
, kde sú reálne čísla. Čísla sa volajú vektorové súradnice v tomto základe.

Tiež sa to hovorí vektorprezentované ako lineárna kombinácia bázové vektory. To znamená, že výraz sa nazýva vektorový rozkladpodľa základu Gaussova metóda lineárna kombinácia bázové vektory.

Napríklad môžeme povedať, že vektor je rozložený pozdĺž ortonormálnej bázy roviny, alebo môžeme povedať, že je reprezentovaný ako lineárna kombinácia vektorov.

Poďme formulovať definícia základu formálne: Základ lietadla sa nazýva dvojica lineárne nezávislých (nekolineárnych) vektorov, , zatiaľ čo akékoľvek rovinný vektor je lineárna kombinácia základných vektorov.

Podstatným bodom definície je fakt, že vektory sa berú v určitom poradí. Základy – to sú dva úplne odlišné základy! Ako sa hovorí, nemôžete nahradiť malíček ľavej ruky namiesto malíčka pravej ruky.

Základ sme vymysleli, ale nestačí nastaviť súradnicovú mriežku a priradiť súradnice každej položke na vašom počítači. Prečo to nestačí? Vektory sú voľné a pohybujú sa po celej rovine. Ako teda priradíte súradnice k tým malým špinavým miestam na stole, ktoré zostali z divokého víkendu? Je potrebný východiskový bod. A takým orientačným bodom je každému známy bod - pôvod súradníc. Poďme pochopiť súradnicový systém:

Začnem „školským“ systémom. Už v úvodnej lekcii Vektory pre figuríny Zdôraznil som niektoré rozdiely medzi pravouhlým súradnicovým systémom a ortonormálnym základom. Tu je štandardný obrázok:

Keď hovoria o pravouhlý súradnicový systém, potom najčastejšie znamenajú počiatok, súradnicové osi a mierku pozdĺž osí. Skúste zadať do vyhľadávača „obdĺžnikový súradnicový systém“ a uvidíte, že mnohé zdroje vám povedia o súradnicových osiach známych z 5. – 6. ročníka a o tom, ako zakresliť body do roviny.

Na druhej strane sa zdá, že pravouhlý súradnicový systém možno definovať z hľadiska ortonormálneho základu. A to je takmer pravda. Znenie je nasledovné:

pôvodu, A ortonormálny základ je nastavený Kartézsky súradnicový systém pravouhlej roviny . Teda pravouhlý súradnicový systém určite je definovaný jedným bodom a dvoma jednotkovými ortogonálnymi vektormi. Preto vidíte kresbu, ktorú som uviedol vyššie - v geometrických úlohách sa často (ale nie vždy) kreslia vektory aj súradnicové osi.

Myslím, že každý chápe, že pomocou bodu (pôvodu) a ortonormálneho základu AKÝKOĽVEK BOD v lietadle a AKÝKOĽVEK VEKTOR v lietadle je možné priradiť súradnice. Obrazne povedané, „všetko na lietadle sa dá očíslovať“.

Vyžaduje sa, aby súradnicové vektory boli jednotkou? Nie, môžu mať ľubovoľnú nenulovú dĺžku. Uvažujme bod a dva ortogonálne vektory ľubovoľnej nenulovej dĺžky:

Takýto základ je tzv ortogonálne. Počiatok súradníc s vektormi je definovaný súradnicovou sieťou a každý bod v rovine, ľubovoľný vektor má svoje súradnice v danej báze. Napríklad, alebo. Zjavnou nevýhodou je, že súradnicové vektory vo všeobecnom prípade majú rôzne dĺžky iné ako jednota. Ak sa dĺžky rovnajú jednote, získa sa obvyklý ortonormálny základ.

! Poznámka : v ortogonálnej základni, ako aj nižšie v afinných základniach roviny a priestoru sa berú do úvahy jednotky pozdĺž osí PODMIENKY. Napríklad jedna jednotka pozdĺž osi x obsahuje 4 cm, jedna jednotka pozdĺž osi 2 cm Táto informácia je dostatočná na to, aby sa v prípade potreby previedli „neštandardné“ súradnice na „naše obvyklé centimetre“.

A druhá otázka, ktorá už bola vlastne zodpovedaná, je, či uhol medzi základnými vektormi musí byť rovný 90 stupňom? Nie! Ako uvádza definícia, základné vektory musia byť len nekolineárne. V súlade s tým môže byť uhol akýkoľvek okrem 0 a 180 stupňov.

Bod v lietadle tzv pôvodu, A nekolineárne vektory, , sada afinný rovinný súradnicový systém :

Niekedy sa takýto súradnicový systém nazýva šikmé systém. Ako príklady sú na výkrese znázornené body a vektory:

Ako viete, afinný súradnicový systém je ešte menej pohodlný, vzorce pre dĺžky vektorov a segmentov, o ktorých sme hovorili v druhej časti lekcie, v ňom nefungujú; Vektory pre figuríny, veľa lahodných vzorcov súvisiacich s skalárny súčin vektorov. Platia však pravidlá pre sčítanie vektorov a násobenie vektora číslom, vzorce na delenie segmentu v tomto vzťahu, ako aj niektoré ďalšie typy problémov, ktoré čoskoro zvážime.

A záver je, že najvhodnejším špeciálnym prípadom afinného súradnicového systému je karteziánsky pravouhlý systém. Preto ju musíš najčastejšie vidieť, moja drahá. ...Všetko v tomto živote je však relatívne - je veľa situácií, v ktorých šikmý uhol (alebo nejaký iný, napr. polárny) súradnicový systém. A humanoidom by sa takéto systémy mohli páčiť =)

Prejdime k praktickej časti. Všetky problémy v tejto lekcii platia pre pravouhlý súradnicový systém aj pre všeobecný afinný prípad. Nie je tu nič zložité, všetok materiál je prístupný aj pre školáka.

Ako určiť kolinearitu rovinných vektorov?

Typická vec. Aby boli dva rovinné vektory boli kolineárne, je potrebné a postačujúce, aby ich zodpovedajúce súradnice boli proporcionálne V podstate ide o súradnicu po súradnici podrobne o zjavnom vzťahu.

Príklad 1

a) Skontrolujte, či sú vektory kolineárne .
b) Tvoria vektory základ? ?

Riešenie:
a) Zistite, či existuje pre vektory koeficient proporcionality tak, aby boli splnené rovnosti:

Určite vám poviem o „fupskej“ verzii uplatňovania tohto pravidla, ktorá v praxi funguje celkom dobre. Cieľom je okamžite vytvoriť pomer a zistiť, či je správny:

Urobme pomer z pomerov zodpovedajúcich súradníc vektorov:

Skrátime:
, takže zodpovedajúce súradnice sú úmerné, preto

Vzťah by sa mohol vytvoriť opačne, toto je ekvivalentná možnosť:

Pre autotest môžete využiť skutočnosť, že kolineárne vektory sú lineárne vyjadrené cez seba. V tomto prípade dochádza k rovnosti . Ich platnosť možno ľahko overiť pomocou elementárnych operácií s vektormi:

b) Dva rovinné vektory tvoria základ, ak nie sú kolineárne (lineárne nezávislé). Skúmame kolinearitu vektorov . Vytvorme si systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že , z druhej rovnice, že , čo znamená systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Zodpovedajúce súradnice vektorov teda nie sú proporcionálne.

Záver: vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

Zjednodušená verzia riešenia vyzerá takto:

Zo zodpovedajúcich súradníc vektorov urobme pomer :
, čo znamená, že tieto vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

Obyčajne túto možnosť recenzenti neodmietajú, ale problém nastáva v prípadoch, keď sa niektoré súradnice rovnajú nule. takto: . Alebo takto: . Alebo takto: . Ako sa tu dopracovať k pomeru? (naozaj nemôžete deliť nulou). Z tohto dôvodu som zjednodušené riešenie nazval „fupské“.

odpoveď: a) , b) formulár.

Malý kreatívny príklad pre vaše vlastné riešenie:

Príklad 2

Na akej hodnote parametra sú vektory budú kolineárne?

Vo vzorovom riešení sa parameter nachádza prostredníctvom podielu.

Existuje elegantný algebraický spôsob, ako skontrolovať kolinearitu vektorov, systematizujme naše znalosti a pridajte ich ako piaty bod:

Pre dva rovinné vektory sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:

2) vektory tvoria základ;
3) vektory nie sú kolineárne;

+ 5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov je nenulový.

resp. nasledujúce opačné tvrdenia sú ekvivalentné:
1) vektory sú lineárne závislé;
2) vektory netvoria základ;
3) vektory sú kolineárne;
4) vektory môžu byť navzájom lineárne vyjadrené;
+ 5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov sa rovná nule.

Naozaj, naozaj dúfam, že už rozumiete všetkým pojmom a vyhláseniam, s ktorými ste sa stretli.

Pozrime sa bližšie na nový, piaty bod: dva rovinné vektory sú kolineárne práve vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc daných vektorov rovná nule:. Ak chcete použiť túto funkciu, samozrejme, musíte byť schopní nájsť determinanty.

Rozhodnime sa Príklad 1 druhým spôsobom:

a) Vypočítajme determinant tvorený súradnicami vektorov :
, čo znamená, že tieto vektory sú kolineárne.

b) Dva rovinné vektory tvoria základ, ak nie sú kolineárne (lineárne nezávislé). Vypočítajme determinant tvorený vektorovými súradnicami :
, čo znamená, že vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

odpoveď: a) , b) formulár.

Vyzerá oveľa kompaktnejšie a krajšie ako riešenie s proporciami.

Pomocou uvažovaného materiálu je možné stanoviť nielen kolinearitu vektorov, ale aj dokázať rovnobežnosť úsečiek a priamok. Uvažujme o niekoľkých problémoch so špecifickými geometrickými tvarmi.

Príklad 3

Dané sú vrcholy štvoruholníka. Dokážte, že štvoruholník je rovnobežník.

Dôkaz: V úlohe nie je potrebné vytvárať kresbu, pretože riešenie bude čisto analytické. Pripomeňme si definíciu rovnobežníka:
Paralelogram Štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú v pároch rovnobežné, sa nazýva.

Preto je potrebné preukázať:
1) rovnobežnosť protiľahlých strán a;
2) rovnobežnosť protiľahlých strán a.

Dokazujeme:

1) Nájdite vektory:

2) Nájdite vektory:

Výsledkom je rovnaký vektor („podľa školy“ – rovnaké vektory). Kolinearita je celkom zrejmá, ale je lepšie formalizovať rozhodnutie jasne, s usporiadaním. Vypočítajme determinant tvorený vektorovými súradnicami:
, čo znamená, že tieto vektory sú kolineárne a .

Záver: Protiľahlé strany štvoruholníka sú v pároch rovnobežné, čo znamená, že ide podľa definície o rovnobežník. Q.E.D.

Viac dobrých a odlišných postáv:

Príklad 4

Dané sú vrcholy štvoruholníka. Dokážte, že štvoruholník je lichobežník.

Pre rigoróznejšiu formuláciu dôkazu je samozrejme lepšie získať definíciu lichobežníka, ale stačí si jednoducho zapamätať, ako vyzerá.

Toto je úloha, ktorú musíte vyriešiť sami. Úplné riešenie na konci lekcie.

A teraz je čas pomaly sa presunúť z lietadla do vesmíru:

Ako určiť kolinearitu priestorových vektorov?

Pravidlo je veľmi podobné. Aby boli dva priestorové vektory kolineárne, je potrebné a postačujúce, aby ich zodpovedajúce súradnice boli proporcionálne.

Príklad 5

Zistite, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:

A);
b)
V)

Riešenie:
a) Skontrolujte, či existuje koeficient proporcionality pre zodpovedajúce súradnice vektorov:

Systém nemá žiadne riešenie, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne.

„Zjednodušené“ sa formalizuje kontrolou pomeru. V tomto prípade:
– zodpovedajúce súradnice nie sú proporcionálne, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne.

odpoveď: vektory nie sú kolineárne.

b-c) Toto sú body pre nezávislé rozhodnutie. Vyskúšajte to dvoma spôsobmi.

Existuje metóda na kontrolu kolinearity priestorových vektorov prostredníctvom determinantu tretieho rádu, táto metóda je uvedená v tomto článku Vektorový súčin vektorov.

Podobne ako v prípade roviny možno uvažované nástroje použiť na štúdium rovnobežnosti priestorových segmentov a priamok.

Vitajte v druhej časti:

Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov v trojrozmernom priestore.
Priestorová báza a afinný súradnicový systém

Mnohé zo vzorov, ktoré sme skúmali v lietadle, budú platiť aj pre vesmír. Snažil som sa minimalizovať teoretické poznámky, keďže leví podiel informácií už bol prežutý. Odporúčam však, aby ste si pozorne prečítali úvodnú časť, pretože sa objavia nové pojmy a pojmy.

Teraz namiesto roviny počítačového stola skúmame trojrozmerný priestor. Najprv vytvoríme jeho základ. Niekto je teraz vnútri, niekto vonku, no v žiadnom prípade nemôžeme uniknúť trom rozmerom: šírka, dĺžka a výška. Preto na vytvorenie základne budú potrebné tri priestorové vektory. Jeden alebo dva vektory nestačia, štvrtý je nadbytočný.

A opäť sa zahrievame na prstoch. Zdvihnite ruku a roztiahnite ju rôznymi smermi palec, ukazovák a prostredník. Budú to vektory, vyzerajú rôznymi smermi, majú rôzne dĺžky a majú rôzne uhly medzi sebou. Gratulujeme, základ trojrozmerného priestoru je pripravený! Mimochodom, učiteľom to netreba demonštrovať, nech krútite prstami akokoľvek, ale z definícií niet úniku =)

Ďalej si položme dôležitú otázku: tvoria akékoľvek tri vektory základ trojrozmerného priestoru? Pevne zatlačte tromi prstami na hornú časť stola počítača. čo sa stalo? Tri vektory sú umiestnené v rovnakej rovine a zhruba povedané, stratili sme jeden z rozmerov - výšku. Takéto vektory sú koplanárny a je celkom zrejmé, že základ trojrozmerného priestoru nie je vytvorený.

Treba poznamenať, že koplanárne vektory nemusia ležať v rovnakej rovine, môžu byť v rovnobežných rovinách (len to nerobte prstami, urobil to iba Salvador Dali =)).

Definícia: volajú sa vektory koplanárny, ak existuje rovina, s ktorou sú rovnobežné. Tu je logické dodať, že ak takáto rovina neexistuje, potom vektory nebudú koplanárne.

Tri koplanárne vektory sú vždy lineárne závislé, to znamená, že sú lineárne vyjadrené cez seba. Pre jednoduchosť si opäť predstavme, že ležia v rovnakej rovine. Po prvé, vektory nie sú len koplanárne, môžu byť aj kolineárne, potom môže byť akýkoľvek vektor vyjadrený prostredníctvom akéhokoľvek vektora. V druhom prípade, ak napríklad vektory nie sú kolineárne, tretí vektor sa cez ne vyjadrí jedinečným spôsobom: (a prečo je ľahké uhádnuť z materiálov v predchádzajúcej časti).

Opak je tiež pravdou: tri nekoplanárne vektory sú vždy lineárne nezávislé, to znamená, že sa v žiadnom prípade nevyjadrujú cez seba. A samozrejme, iba takéto vektory môžu tvoriť základ trojrozmerného priestoru.

Definícia: Základ trojrozmerného priestoru sa nazýva trojica lineárne nezávislých (nekoplanárnych) vektorov, prijaté v určitom poradí a ľubovoľný vektor priestoru jediný spôsob sa rozloží na daný základ, kde sú súradnice vektora v tomto základe

Pripomínam, že môžeme tiež povedať, že vektor je reprezentovaný vo forme lineárna kombinácia bázové vektory.

Koncept súradnicového systému je zavedený presne rovnakým spôsobom ako v prípade roviny, stačí jeden bod a tri ľubovoľné lineárne nezávislé vektory:

pôvodu, A nekoplanárne vektory, prijaté v určitom poradí, sada afinný súradnicový systém trojrozmerného priestoru :

Samozrejme, že súradnicová mriežka je „šikmá“ a nepohodlná, ale napriek tomu nám vytvorený súradnicový systém umožňuje určite určiť súradnice ľubovoľného vektora a súradnice ľubovoľného bodu v priestore. Podobne ako v rovine, niektoré vzorce, ktoré som už spomenul, nebudú fungovať v afinnom súradnicovom systéme priestoru.

Najznámejší a najpohodlnejší špeciálny prípad afinného súradnicového systému, ako každý háda, je pravouhlý priestorový súradnicový systém:

Bod vo vesmíre tzv pôvodu, A ortonormálny základ je nastavený Kartézsky pravouhlý priestorový súradnicový systém . Známy obrázok:

Skôr než prejdeme k praktickým úlohám, opäť systematizujeme informácie:

Pre tri priestorové vektory sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:
1) vektory sú lineárne nezávislé;
2) vektory tvoria základ;
3) vektory nie sú koplanárne;
4) vektory nemôžu byť lineárne vyjadrené cez seba;
5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov je odlišný od nuly.

Myslím, že opačné tvrdenia sú pochopiteľné.

Lineárna závislosť/nezávislosť priestorových vektorov sa tradične kontroluje pomocou determinantu (bod 5). Zostávajúce praktické úlohy budú mať jednoznačne algebraický charakter. Je čas zavesiť geometrickú palicu a ovládať baseballovú pálku lineárnej algebry:

Tri vektory priestoru sú koplanárne vtedy a len vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc daných vektorov rovná nule: .

Chcel by som upozorniť na malú technickú nuansu: súradnice vektorov je možné zapisovať nielen do stĺpcov, ale aj do riadkov (hodnota determinantu sa od toho nezmení - pozri vlastnosti determinantov). Ale je to oveľa lepšie v stĺpcoch, pretože je to výhodnejšie na riešenie niektorých praktických problémov.

Pre tých čitateľov, ktorí trochu zabudli na metódy výpočtu determinantov, alebo im možno len málo rozumejú, odporúčam jednu z mojich najstarších lekcií: Ako vypočítať determinant?

Príklad 6

Skontrolujte, či nasledujúce vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru:

Riešenie: V skutočnosti celé riešenie spočíva vo výpočte determinantu.

a) Vypočítajme determinant tvorený vektorovými súradnicami (determinant je uvedený v prvom riadku):

, čo znamená, že vektory sú lineárne nezávislé (nie koplanárne) a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

Odpoveď: tieto vektory tvoria základ

b) Toto je bod pre nezávislé rozhodnutie. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Existujú aj kreatívne úlohy:

Príklad 7

Pri akej hodnote parametra budú vektory koplanárne?

Riešenie: Vektory sú koplanárne vtedy a len vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc týchto vektorov rovná nule:

V podstate musíte vyriešiť rovnicu s determinantom. Znášame nuly ako šarkany na jerboas - najlepšie je otvoriť determinant v druhom riadku a okamžite sa zbaviť mínusov:

Vykonávame ďalšie zjednodušenia a redukujeme záležitosť na najjednoduchšiu lineárnu rovnicu:

Odpoveď: o

Je to jednoduché skontrolovať, aby ste to urobili, musíte nahradiť výslednú hodnotu pôvodným determinantom a uistiť sa , znova ho otvoríte.

Na záver zvážime ďalší typický problém, ktorý má viac algebraický charakter a je tradične zahrnutý do kurzu lineárnej algebry. Je taký bežný, že si zaslúži vlastnú tému:

Dokážte, že 3 vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru
a nájdite súradnice 4. vektora v tomto základe

Príklad 8

Sú uvedené vektory. Ukážte, že vektory tvoria základ v trojrozmernom priestore a nájdite súradnice vektora v tomto základe.

Riešenie: Najprv sa pozrime na podmienku. Podľa podmienky sú dané štyri vektory, a ako vidíte, už majú súradnice na nejakom základe. Aký je tento základ, nás nezaujíma. A nasledujúca vec je zaujímavá: tri vektory môžu dobre tvoriť nový základ. A prvá fáza sa úplne zhoduje s riešením príkladu 6, je potrebné skontrolovať, či sú vektory skutočne lineárne nezávislé:

Vypočítajme determinant tvorený vektorovými súradnicami:

, čo znamená, že vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

! Dôležité : vektorové súradnice Nevyhnutne zapísať do stĺpcov determinant, nie v reťazcoch. V opačnom prípade nastane zmätok v ďalšom algoritme riešenia.

Príklad 8

Sú uvedené vektory. Ukážte, že vektory tvoria základ v trojrozmernom priestore a nájdite súradnice vektora v tomto základe.

Riešenie: Najprv sa pozrime na podmienku. Podľa podmienky sú dané štyri vektory a ako vidíte, už majú súradnice na nejakom základe. Aký je tento základ, nás nezaujíma. A nasledujúca vec je zaujímavá: tri vektory môžu dobre tvoriť nový základ. A prvá fáza sa úplne zhoduje s riešením príkladu 6, je potrebné skontrolovať, či sú vektory skutočne lineárne nezávislé:

Vypočítajme determinant tvorený vektorovými súradnicami:

, čo znamená, že vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

! Dôležité: vektorové súradnice Nevyhnutne zapísať do stĺpcov determinant, nie v reťazcoch. V opačnom prípade nastane zmätok v ďalšom algoritme riešenia.

Teraz si spomeňme na teoretickú časť: ak vektory tvoria základ, potom je možné ľubovoľný vektor v danej báze rozšíriť jedinečným spôsobom: , kde sú súradnice vektora v základe.

Keďže naše vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru (to už bolo dokázané), vektor sa dá jedinečným spôsobom rozšíriť nad tento základ:
, kde sú súradnice vektora v zákl.

Podľa stavu a je potrebné nájsť súradnice.

Pre ľahšie vysvetlenie vymením diely: . Aby ste to našli, mali by ste si zapísať túto rovnosť súradnicu po súradnici:

Na základe čoho sú stanovené koeficienty? Všetky koeficienty na ľavej strane sú presne prenesené z determinantu , súradnice vektora sú napísané na pravej strane.

Výsledkom je sústava troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi. Zvyčajne sa to rieši Cramerove vzorce, často aj v problémovom vyhlásení je takáto požiadavka.

Hlavný determinant systému už bol nájdený:
, čo znamená, že systém má jedinečné riešenie.

To, čo nasleduje, je otázkou techniky:

Takto:
– rozšírenie vektora podľa zákl.

odpoveď:

Ako som už poznamenal, problém má algebraický charakter. Uvažované vektory nie sú nevyhnutne tie vektory, ktoré možno nakresliť v priestore, ale predovšetkým abstraktné vektory priebehu lineárnej algebry. Pre prípad dvojrozmerných vektorov je možné podobný problém sformulovať a vyriešiť oveľa jednoduchšie; V praxi som sa však s takouto úlohou ešte nestretol, preto som ju v predchádzajúcej časti preskočil.

Rovnaký problém s trojrozmernými vektormi pre nezávislé riešenie:

Príklad 9

Sú uvedené vektory. Ukážte, že vektory tvoria základ a nájdite súradnice vektora v tomto základe. Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Kompletné riešenie a približná ukážka finálneho návrhu na konci hodiny.

Podobne môžeme uvažovať o štvorrozmernom, päťrozmernom atď. vektorové priestory, kde vektory majú 4, 5 alebo viac súradníc. Pre tieto vektorové priestory existuje aj pojem lineárna závislosť, lineárna nezávislosť vektorov, existuje báza vrátane ortonormálnej bázy, expanzia vektora vzhľadom na bázu. Áno, takéto priestory sa nedajú nakresliť geometricky, ale fungujú v nich všetky pravidlá, vlastnosti a vety dvoj a trojrozmerných prípadov – čistá algebra. Vlastne ma už lákalo rozprávať o filozofických otázkach v článku Parciálne derivácie funkcie troch premenných, ktorý sa objavil skôr ako táto lekcia.

Milujte vektory a vektory vás budú milovať!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie: urobme pomer zo zodpovedajúcich súradníc vektorov:

odpoveď: pri

Príklad 4: Dôkaz: HrazdaŠtvoruholník sa nazýva štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a ostatné dve strany nie sú rovnobežné.
1) Skontrolujeme rovnobežnosť protiľahlých strán a .
Poďme nájsť vektory:


, čo znamená, že tieto vektory nie sú kolineárne a strany nie sú rovnobežné.
2) Skontrolujte rovnobežnosť protiľahlých strán a .
Poďme nájsť vektory:

Vypočítajme determinant tvorený vektorovými súradnicami:
, čo znamená, že tieto vektory sú kolineárne a .
Záver: Dve strany štvoruholníka sú rovnobežné, ale ostatné dve strany nie sú rovnobežné, čo znamená, že ide podľa definície o lichobežník. Q.E.D.

Príklad 5: Riešenie:
b) Skontrolujte, či existuje koeficient úmernosti pre zodpovedajúce súradnice vektorov:

Systém nemá žiadne riešenie, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne.
Jednoduchší dizajn:
– druhá a tretia súradnica nie sú proporcionálne, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne.
odpoveď: vektory nie sú kolineárne.
c) Skúmame kolinearitu vektorov . Vytvorme si systém:

Zodpovedajúce súradnice vektorov sú proporcionálne, čo znamená
Toto je miesto, kde metóda „fópskeho“ dizajnu zlyháva.
odpoveď:

Príklad 6: Riešenie: b) Vypočítajme determinant zložený z vektorových súradníc (determinant je uvedený v prvom riadku):

, čo znamená, že vektory sú lineárne závislé a netvoria základ trojrozmerného priestoru.
Odpoveď : tieto vektory netvoria základ

Príklad 9: Riešenie: Vypočítajme determinant tvorený vektorovými súradnicami:


Vektory sú teda lineárne nezávislé a tvoria základ.
Predstavme si vektor ako lineárnu kombináciu základných vektorov:

Súradnicovo:

Poďme vyriešiť systém pomocou Cramerových vzorcov:
, čo znamená, že systém má jedinečné riešenie.

odpoveď:Vektory tvoria základ,

Vyššia matematika pre korešpondenčných študentov a ďalšie >>>

(Prejsť na hlavnú stránku)

Krížový súčin vektorov.
Zmiešaný súčin vektorov

V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve operácie s vektormi: vektorový súčin vektorov A zmiešaný súčin vektorov. To je v poriadku, niekedy sa stane, že pre úplné šťastie, navyše skalárny súčin vektorov, sú potrebné ďalšie a ďalšie. Toto je vektorová závislosť. Môže sa zdať, že sa dostávame do džungle analytickej geometrie. Toto je nesprávne. V tejto sekcii vyššej matematiky je vo všeobecnosti málo dreva, možno až dosť na Pinocchia. V skutočnosti je materiál veľmi bežný a jednoduchý - sotva komplikovanejší ako ten istý bodkový produkt, bude dokonca menej typických úloh. Hlavná vec v analytickej geometrii, ako sa mnohí presvedčia alebo už presvedčili, je NEROBIŤ CHYBY VO VÝPOČTOCH. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní =)

Ak niekde ďaleko zažiaria vektory, ako blesky na obzore, nevadí, začnite s lekciou Vektory pre figuríny obnoviť alebo znovu získať základné vedomosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu zoznámiť s informáciami selektívne. Snažil som sa zhromaždiť čo najkompletnejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často vyskytujú v praktickej práci

Čo vás hneď poteší? Keď som bol malý, vedel som žonglovať s dvomi alebo aj tromi loptičkami. Dobre to dopadlo. Teraz už nebudete musieť vôbec žonglovať, pretože zvážime iba priestorové vektory a ploché vektory s dvoma súradnicami budú vynechané. prečo? Takto sa zrodili tieto akcie – vektor a zmiešaný súčin vektorov sú definované a fungujú v trojrozmernom priestore. Už je to jednoduchšie!