Iracionálne nerovnosti a ich systémy. Intervalová metóda: riešenie najjednoduchších striktných nerovností

Napríklad nerovnosť je výraz \(x>5\).

Druhy nerovností:

Ak sú \(a\) a \(b\) čísla alebo , potom sa volá nerovnosť číselné. Ide vlastne len o porovnanie dvoch čísel. Takéto nerovnosti sa delia na verný A neverný.

Napríklad:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) je nesprávna číselná nerovnosť, pretože \(17+3=20\) a \(20\) je menšie ako \(115\) (a nie väčšie alebo rovné) .

Ak sú \(a\) a \(b\) výrazy obsahujúce premennú, potom máme nerovnosť s premennou. Takéto nerovnosti sú rozdelené do typov v závislosti od obsahu:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variabilné len na prvú mocninu
\(3x^2-x+5>0\)				V druhej mocnine (štvorci) je premenná, ale neexistujú žiadne vyššie mocniny (tretia, štvrtá atď.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... a tak ďalej.

Aké je riešenie nerovnosti?

Ak do nerovnice dosadíte číslo namiesto premennej, zmení sa na číselnú.

Ak daná hodnota pre x zmení pôvodnú nerovnosť na skutočnú numerickú, potom sa volá riešenie nerovnosti. Ak nie, potom táto hodnota nie je riešením. A tak to vyriešiť nerovnosť– musíte nájsť všetky jeho riešenia (alebo ukázať, že žiadne neexistujú).

napr. ak do lineárnej nerovnosti \(x+6>10\) dosadíme číslo \(7\), dostaneme správnu číselnú nerovnosť: \(13>10\). A ak dosadíme \(2\), vznikne nesprávna číselná nerovnosť \(8>10\). To znamená, že \(7\) je riešením pôvodnej nerovnosti, ale \(2\) nie.

Nerovnosť \(x+6>10\) má však aj iné riešenia. Pri dosadení \(5\) a \(12\) a \(138\) skutočne dostaneme správne číselné nerovnosti... A ako nájdeme všetky možné riešenia? Na to používajú Pre náš prípad máme:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

To znamená, že akékoľvek číslo väčšie ako štyri je pre nás vhodné. Teraz musíte odpoveď napísať. Riešenia nerovností sa zvyčajne zapisujú číselne, navyše sú vyznačené na číselnej osi tieňovaním. Pre náš prípad máme:

odpoveď: \(x\in(4;+\infty)\)

Kedy sa zmení znak nerovnosti?

V nerovnostiach je jedna veľká pasca, do ktorej študenti skutočne „radi“ padajú:

Pri vynásobení (alebo delení) nerovnosti záporným číslom sa táto nerovnosť obráti („viac“ za „menej“, „viac alebo rovné“ za „menej alebo rovné“ atď.)

Prečo sa to deje? Aby sme to pochopili, pozrime sa na transformácie numerickej nerovnosti \(3>1\). Správne, tri je skutočne väčšie ako jedna. Najprv to skúsme vynásobiť ľubovoľným kladným číslom, napríklad dvoma:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Ako vidíme, po vynásobení nerovnosť zostáva pravdivá. A bez ohľadu na to, akým kladným číslom vynásobíme, vždy dostaneme správnu nerovnosť. Teraz skúsme vynásobiť záporným číslom, napríklad mínus tri:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Výsledkom je nesprávna nerovnosť, pretože mínus deväť je menej ako mínus tri! To znamená, že aby sa nerovnosť stala pravdivou (a teda transformácia násobenia záporom bola „legálna“), musíte otočiť znamienko porovnania takto: \(−9<− 3\).
S delením to vyjde rovnako, môžete si to overiť sami.

Vyššie napísané pravidlo platí pre všetky typy nerovností, nielen pre číselné.

Príklad: Vyriešte nerovnosť \(2(x+1)-1<7+8x\)
Riešenie:

\(2x+2-1<7+8x\)	Presuňme sa \(8x\) doľava a \(2\) a \(-1\) doprava, pričom nezabudneme zmeniť znamienka
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Vydeľme obe strany nerovnosti \(-6\), pričom nezabudnime zmeniť z „menej“ na „viac“
	Vyznačme si na osi číselný interval. Nerovnosť, preto „vypichneme“ samotnú hodnotu \(-1\) a neberieme to ako odpoveď
	Odpoveď napíšeme ako interval

odpoveď: \(x\in(-1;\infty)\)

Nerovnosti a postihnutie

Nerovnice, rovnako ako rovnice, môžu mať obmedzenia na , teda na hodnoty x. V súlade s tým by tie hodnoty, ktoré sú podľa DZ neprijateľné, mali byť vylúčené z rozsahu riešení.

Príklad: Vyriešte nerovnosť \(\sqrt(x+1)<3\)

Riešenie: Je jasné, že na to, aby bola ľavá strana menšia ako \(3\), musí byť radikálny výraz menší ako \(9\) (veď z \(9\) práve \(3\)). Získame:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

všetky? Vyhovuje nám akákoľvek hodnota x menšia ako \(8\)? Nie! Pretože ak vezmeme napríklad hodnotu \(-5\), ktorá sa zdá byť v súlade s požiadavkou, nebude to riešenie pôvodnej nerovnosti, pretože nás to privedie k výpočtu odmocniny záporného čísla.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Preto musíme brať do úvahy aj obmedzenia hodnoty X – nemôže byť také, aby pod odmocninou bolo záporné číslo. Máme teda druhú požiadavku na x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

A aby x bolo konečným riešením, musí spĺňať obe požiadavky naraz: musí byť menšie ako \(8\) (aby bolo riešením) a väčšie ako \(-1\) (aby bolo v zásade prípustné). Keď to nakreslíme na číselnú os, máme konečnú odpoveď:

odpoveď: \(\left[-1;8\right)\)

Ako vyriešiť lineárne nerovnosti? Na začiatok musíme zjednodušiť nerovnosť: otvorte zátvorky a uveďte podobné výrazy.

Pozrime sa na príklady riešenia lineárnych nerovníc s jednou premennou.

Otváranie zátvoriek. Ak je pred zátvorkami faktor, vynásobte ho každým výrazom v zátvorke. Ak je pred zátvorkami znamienko plus, znaky v zátvorkách sa nemenia. Ak je pred zátvorkami znamienko mínus, znamienka v zátvorkách sa obrátia.

Uvádzame podobné pojmy.

Dostali sme nerovnosť v tvare ax+b≤cx+d. Neznáme presúvame na jednu stranu, známe na druhú opačnými znamienkami (najskôr by sme mohli presunúť neznáme na jednu stranu, známe na druhú a až potom priniesť podobné pojmy).

Obidve strany nerovnosti vydelíme číslom pred X. Keďže 8 je väčšie ako nula, znamienko nerovnosti sa nemení:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Od je bod -2 označený na číselnej osi ako tieňovaný. od -2 do mínus nekonečna.

Keďže nerovnosť nie je striktná a bod je vytieňovaný, odpoveď -2 píšeme hranatou zátvorkou.

Ak chcete prejsť z desatinných miest na celé čísla, môžete obe strany nerovnosti vynásobiť 10 (nie je to potrebné. Môžete pracovať s desatinnými miestami).

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Keď sa obe strany vynásobia kladným číslom, znamienko nerovnosti sa nezmení. Každý výraz je potrebné vynásobiť 10. Pri násobení súčinu 10 využívame asociatívnu vlastnosť násobenia, teda násobíme len jeden faktor 10.

Rozšírenie zátvoriek:

Tu sú podobné výrazy:

Neznáme posúvame jedným smerom, známe druhým opačnými znamienkami:

Obidve strany nerovnosti vydelíme číslom pred X. Keďže -6 je záporné číslo, znamienko nerovnosti je obrátené:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Zredukujeme zlomok:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Keďže nerovnosť je prísna, na číselnej osi označíme -2/3 dierovanou bodkou. Tieňovanie ide doprava do plus nekonečna:

Nerovnosť je strohá, chýba bodka, preto napíšeme odpoveď -2/3 so zátvorkou:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Otváranie zátvoriek. Ak súčinu dvoch zátvoriek predchádza znamienko mínus, je vhodné najskôr vykonať násobenie a až potom otvoriť zátvorky a zmeniť znamienko každého výrazu na opak:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Tu sú podobné výrazy:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Neznáme - v jednom smere, známe - v druhom s opačnými znamienkami:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Obidve strany nerovnosti vydelíme číslom pred X. Od -10<0, знак неравенства меняется на противоположный:

Keďže nerovnosť je prísna, na číselnej osi označíme 1,6 dierovanou bodkou. Tieňovanie od 1,6 ide doľava do mínus nekonečna:

Keďže nerovnosť je strohá a bodka chýba, do odpovede so zátvorkou napíšeme 1,6.

Koncept matematickej nerovnosti vznikol v staroveku. Stalo sa tak, keď primitívny človek začal mať potrebu porovnávať ich množstvo a veľkosť pri počítaní a manipulácii s rôznymi predmetmi. Od staroveku Archimedes, Euclid a ďalší slávni vedci: matematici, astronómovia, dizajnéri a filozofi používali nerovnosti vo svojich úvahách.

Vo svojich dielach však spravidla používali slovnú terminológiu. Po prvýkrát boli v Anglicku vynájdené a uvedené do praxe moderné značky na označenie pojmov „viac“ a „menej“ v podobe, v akej ich dnes pozná každý školák. Takúto službu poskytol svojim potomkom matematik Thomas Harriot. A to sa stalo asi pred štyrmi storočiami.

Je známych veľa druhov nerovností. Sú medzi nimi jednoduché, obsahujúce jednu, dve alebo viac premenných, kvadratické, zlomkové, komplexné pomery a dokonca aj tie, ktoré sú reprezentované sústavou výrazov. Najlepší spôsob, ako pochopiť, ako riešiť nerovnosti, je použiť rôzne príklady.

Nenechajte si ujsť vlak

Na začiatok si predstavme, že obyvateľ vidieckej oblasti sa ponáhľa na železničnú stanicu, ktorá sa nachádza 20 km od jeho dediny. Aby nezmeškal vlak odchádzajúci o 11. hodine, musí odísť z domu včas. V akom čase to treba urobiť, ak je rýchlosť 5 km/h? Riešenie tohto praktického problému spočíva v splnení podmienok výrazu: 5 (11 - X) ≥ 20, kde X je čas odchodu.

Je to pochopiteľné, pretože vzdialenosť, ktorú musí dedinčan prejsť na stanicu, sa rovná rýchlosti pohybu vynásobenej počtom hodín na ceste. Človek môže prísť skôr, ale nemôže meškať. Keď viete, ako vyriešiť nerovnosti a uplatníte svoje zručnosti v praxi, skončíte s X ≤ 7, čo je odpoveď. To znamená, že dedinčan by mal ísť na železničnú stanicu o siedmej ráno alebo o niečo skôr.

Číselné intervaly na súradnicovej čiare

Teraz poďme zistiť, ako mapovať opísané vzťahy na vyššie získanú nerovnosť nie je striktná. To znamená, že premenná môže nadobúdať hodnoty menšie ako 7 alebo sa môže rovnať tomuto číslu. Uveďme ďalšie príklady. Aby ste to dosiahli, starostlivo zvážte štyri obrázky uvedené nižšie.

Na prvom z nich je možné vidieť grafické znázornenie intervalu [-7; 7]. Pozostáva zo sady čísel umiestnených na súradnicovej čiare a umiestnených medzi -7 a 7, vrátane hraníc. V tomto prípade sú body na grafe zobrazené ako vyplnené kruhy a interval sa zaznamenáva pomocou

Druhý údaj je grafickým znázornením striktnej nerovnosti. V tomto prípade hraničné čísla -7 a 7, znázornené prepichnutými (nevyplnenými) bodkami, nie sú zahrnuté v špecifikovanej sade. A samotný interval sa píše v zátvorkách takto: (-7; 7).

To znamená, že keď sme prišli na to, ako vyriešiť nerovnosti tohto typu a dostali podobnú odpoveď, môžeme dospieť k záveru, že pozostáva z čísel, ktoré sú medzi príslušnými hranicami, okrem -7 a 7. Nasledujúce dva prípady musia byť vyhodnotené v podobným spôsobom. Tretí obrázok ukazuje obrázky intervalov (-∞; -7] U.

Po získaní zručnosti v práci s lineárnymi nerovnosťami je možné ich riešenia stručne zapísať bez vysvetlenia. V tomto prípade si najprv zapíšte pôvodnú lineárnu nerovnosť a nižšie - ekvivalentné nerovnosti získané v každom kroku riešenia:
3 x + 12 < 0;
3 x ≤ -12;
x≤-4.

odpoveď:

x≤−4 alebo (−∞, −4] .

Príklad.

Uveďte všetky riešenia lineárnej nerovnosti −2,7·z>0.

Riešenie.

Tu sa koeficient a pre premennú z rovná −2,7. A koeficient b chýba v explicitnej forme, to znamená, že sa rovná nule. Preto nie je potrebné vykonať prvý krok algoritmu na riešenie lineárnej nerovnosti s jednou premennou, pretože posunutím nuly z ľavej strany doprava sa nezmení tvar pôvodnej nerovnosti.

Zostáva vydeliť obe strany nerovnosti −2,7, pričom nezabudneme zmeniť znamienko nerovnosti na opačné, keďže −2,7 je záporné číslo. máme (-2,7 z): (-2,7)<0:(−2,7) a potom z<0 .

A teraz stručne:
-2,7·z>0;
z<0 .

odpoveď:

z<0 или (−∞, 0) .

Príklad.

Vyriešte nerovnosť .

Riešenie.

Potrebujeme vyriešiť lineárnu nerovnosť s koeficientom a pre premennú x rovným −5 a koeficientom b, ktorý zodpovedá zlomku −15/22. Postupujeme podľa známej schémy: najprv prenesieme −15/22 na pravú stranu s opačným znamienkom, potom obe strany nerovnosti vydelíme záporným číslom −5, pričom zmeníme znamienko nerovnosti:

Posledný prechod na pravej strane využíva , potom vykonaný .

odpoveď:

Teraz prejdime k prípadu, keď a=0. Princíp riešenia lineárnej nerovnosti a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Na čom je to založené? Veľmi jednoduché: na určenie riešenia nerovnosti. Ako? Áno, takto: bez ohľadu na to, akú hodnotu premennej x dosadíme do pôvodnej lineárnej nerovnosti, dostaneme číselnú nerovnosť tvaru b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Sformulujme vyššie uvedené argumenty vo forme algoritmus na riešenie lineárnych nerovností 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

• Zvážte číselnú nerovnosť b<0 (≤, >, ≥) a
• ak je to pravda, potom riešením pôvodnej nerovnosti je ľubovoľné číslo;
• ak je nepravdivá, potom pôvodná lineárna nerovnosť nemá riešenia.

Teraz to pochopme pomocou príkladov.

Príklad.

Riešte nerovnosť 0·x+7>0.

Riešenie.

Pre ľubovoľnú hodnotu premennej x sa lineárna nerovnosť 0 x+7>0 zmení na numerickú nerovnosť 7>0. Posledná nerovnosť je pravdivá, preto akékoľvek číslo je riešením pôvodnej nerovnosti.

odpoveď:

riešením je ľubovoľné číslo alebo (−∞, +∞) .

Príklad.

Má lineárna nerovnosť 0·x−12,7≥0 riešenia?

Riešenie.

Ak namiesto premennej x dosadíme ľubovoľné číslo, pôvodná nerovnosť sa zmení na číselnú nerovnosť −12,7≥0, čo je nesprávne. To znamená, že ani jedno číslo nie je riešením lineárnej nerovnosti 0·x−12,7≥0.

odpoveď:

nie, nie je.

Na záver tejto časti budeme analyzovať riešenia dvoch lineárnych nerovností, ktorých koeficienty sa rovnajú nule.

Príklad.

Ktorá z lineárnych nerovností 0·x+0>0 a 0·x+0≥0 nemá riešenia a ktorá má nekonečne veľa riešení?

Riešenie.

Ak namiesto premennej x dosadíte akékoľvek číslo, potom prvá nerovnosť bude mať tvar 0>0 a druhá - 0≥0. Prvý z nich je nesprávny a druhý je správny. V dôsledku toho lineárna nerovnosť 0·x+0>0 nemá riešenia a nerovnosť 0·x+0≥0 má nekonečne veľa riešení, konkrétne, jej riešením je ľubovoľné číslo.

odpoveď:

nerovnosť 0 x+0>0 nemá riešenia a nerovnosť 0 x+0≥0 má nekonečne veľa riešení.

Intervalová metóda

Vo všeobecnosti sa metóda intervalov študuje v kurze školskej algebry neskôr ako téma riešenia lineárnych nerovníc v jednej premennej. Ale intervalová metóda vám umožňuje riešiť rôzne nerovnosti, vrátane lineárnych. Preto sa pri tom pozastavme.

Hneď si všimnime, že na riešenie lineárnych nerovníc s nenulovým koeficientom pre premennú x je vhodné použiť intervalovú metódu. V opačnom prípade je rýchlejšie a pohodlnejšie vyvodiť záver o riešení nerovnosti metódou diskutovanou na konci predchádzajúceho odseku.

Z toho vyplýva intervalová metóda

• zavedenie funkcie zodpovedajúcej ľavej strane nerovnosti, v našom prípade – lineárna funkcia y=a x+b,
• nájdenie jeho núl, ktoré rozdeľujú definičný obor na intervaly,
• určenie znamienok, ktoré majú funkčné hodnoty na týchto intervaloch, na základe ktorých sa urobí záver o riešení lineárnej nerovnosti.

Zozbierajme tieto momenty algoritmu, odhaľujúce, ako riešiť lineárne nerovnosti a x+b<0 (≤, >, ≥) pre a≠0 pomocou intervalovej metódy:

• Nájdeme nuly funkcie y=a·x+b, pre ktoré je vyriešené a·x+b=0. Ako je známe, pre a≠0 má jeden koreň, ktorý označíme ako x 0 .
• Je skonštruovaný a je na ňom znázornený bod so súradnicou x 0. Navyše, ak sa vyrieši prísna nerovnosť (so znamienkom< или >), potom je tento bod prerušovaný (s prázdnym stredom) a ak nie je presný (so znamienkom ≤ alebo ≥), umiestni sa riadna bodka. Tento bod rozdeľuje súradnicovú čiaru na dva intervaly (−∞, x 0) a (x 0, +∞).
• Určia sa znamienka funkcie y=a·x+b na týchto intervaloch. Na tento účel sa vypočíta hodnota tejto funkcie v ľubovoľnom bode intervalu (−∞, x 0) a znamienko tejto hodnoty bude požadovaným znamienkom na intervale (−∞, x 0). Podobne znamienko na intervale (x 0 , +∞) sa zhoduje so znamienkom hodnoty funkcie y=a·x+b v ktoromkoľvek bode tohto intervalu. Môžete sa však zaobísť bez týchto výpočtov a vyvodiť závery o znamienkach na základe hodnoty koeficientu a: ak a>0, potom na intervaloch (−∞, x 0) a (x 0, +∞) bude znamienka − a +, a ak a >0, potom + a −.
• Ak sa riešia nerovnosti so znamienkami > alebo ≥, potom sa cez medzeru umiestni šraf so znamienkom plus a ak sa riešia nerovnosti so znamienkami< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Zoberme si príklad riešenia lineárnej nerovnosti pomocou intervalovej metódy.

Príklad.

Riešte nerovnosť −3·x+12>0.

Riešenie.

Keďže analyzujeme intervalovú metódu, použijeme ju. Podľa algoritmu najprv nájdeme koreň rovnice −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Ďalej nakreslíme súradnicovú čiaru a označíme na nej bod súradnicou 4 a tento bod urobíme prepichnutý, pretože riešime prísnu nerovnosť:

Teraz určíme znamienka na intervaloch. Na určenie znamienka na intervale (−∞, 4) môžete vypočítať hodnotu funkcie y=−3·x+12, napríklad pri x=3. Máme −3·3+12=3>0, čo znamená, že na tomto intervale je znamienko +. Na určenie znamienka na inom intervale (4, +∞) môžete vypočítať hodnotu funkcie y=−3·x+12, napríklad v bode x=5. Máme −3·5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Keďže nerovnosť riešime znamienkom >, prekreslíme tieňovanie cez medzeru znamienkom +, kresba má tvar

Na základe výsledného obrázku usúdime, že požadované riešenie je (−∞, 4) alebo v inom zápise x<4 .

odpoveď:

(−∞, 4) alebo x<4 .

Graficky

Je užitočné porozumieť geometrickej interpretácii riešenia lineárnych nerovností v jednej premennej. Aby sme to dosiahli, zvážme štyri lineárne nerovnosti s rovnakou ľavou stranou: 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 a 0,5 x−1≥0, ich riešenia sú x<2 , x≤2 , x>2 a x≥2 a tiež nakreslite graf lineárnej funkcie y=0,5 x−1.

Je ľahké si to všimnúť

• riešenie nerovnosti 0,5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
• riešenie nerovnosti 0,5 x−1≤0 predstavuje interval, v ktorom je graf funkcie y=0,5 x−1 pod osou Ox alebo sa s ňou zhoduje (inými slovami, nie nad osou x),
• podobne je riešením nerovnosti 0,5 x−1>0 interval, v ktorom je graf funkcie nad osou Ox (táto časť grafu je znázornená červenou farbou),
• a riešením nerovnosti 0,5·x−1≥0 je interval, v ktorom je graf funkcie vyšší alebo sa zhoduje s osou x.

Grafická metóda riešenia nerovností, najmä lineárne, a znamená nájsť intervaly, v ktorých sa graf funkcie zodpovedajúcej ľavej strane nerovnosti nachádza nad, pod, nie pod alebo nie nad grafom funkcie zodpovedajúcej pravej strane nerovnosti. V našom prípade lineárnej nerovnosti funkcia zodpovedajúca ľavej strane je y=a·x+b a pravá strana je y=0, čo sa zhoduje s osou Ox.

Vzhľadom na uvedené informácie je ľahké ho formulovať Algoritmus na grafické riešenie lineárnych nerovností:

• Zostrojí sa graf funkcie y=a x+b (schematicky možné) a
• pri riešení nerovnosti a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
• pri riešení nerovnosti a x+b≤0 sa určí interval, v ktorom je graf nižší alebo sa zhoduje s osou Ox,
• pri riešení nerovnosti a x+b>0 sa určí interval, v ktorom je graf nad osou Ox,
• pri riešení nerovnosti a·x+b≥0 sa určí interval, v ktorom je graf vyšší alebo sa zhoduje s osou Ox.

Príklad.

Vyriešte nerovnosť graficky.

Riešenie.

Načrtneme si graf lineárnej funkcie . Toto je priamka, ktorá sa znižuje, pretože koeficient x je záporný. Potrebujeme aj súradnicu jej priesečníka s osou x, je to koreň rovnice , čo sa rovná . Pre naše potreby ani nemusíme zobrazovať os Oy. Takže náš schematický výkres bude vyzerať takto

Keďže riešime nerovnicu so znamienkom >, zaujíma nás interval, v ktorom je graf funkcie nad osou Ox. Pre názornosť si túto časť grafu zvýrazníme červenou farbou a aby sme ľahko určili interval zodpovedajúci tejto časti, zvýraznime červenou farbou časť súradnicovej roviny, v ktorej sa nachádza vybraná časť grafu, ako je to v obrázok nižšie:

Medzera, ktorá nás zaujíma, je časť osi Ox, ktorá je zvýraznená červenou farbou. Je zrejmé, že ide o otvorený číselný lúč . Toto je riešenie, ktoré hľadáme. Všimnite si, že ak by sme nerovnicu riešili nie so znamienkom >, ale so znamienkom nestriktnej nerovnice ≥, tak by sme museli v odpovedi pridať, keďže v tomto bode graf funkcie sa zhoduje s osou Ox .y=0·x+7, ktorá je rovnaká ako y=7, definuje priamku v rovine súradníc rovnobežnú s osou Ox a leží nad ňou. Preto nerovnosť 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

A graf funkcie y=0·x+0, ktorý je rovnaký ako y=0, je priamka zhodná s osou Ox. Preto je riešením nerovnosti 0·x+0≥0 množina všetkých reálnych čísel.

odpoveď:

druhá nerovnosť, jej riešením je akékoľvek reálne číslo.

Nerovnosti, ktoré sa znižujú na lineárne

Obrovské množstvo nerovností je možné nahradiť ekvivalentnými lineárnymi nerovnicami pomocou ekvivalentných transformácií, inými slovami, redukovaných na lineárnu nerovnosť. Takéto nerovnosti sú tzv nerovnosti, ktoré sa znižujú na lineárne.

V škole sa takmer súčasne s riešením lineárnych nerovníc uvažuje aj s jednoduchými nerovnicami, ktoré sa redukujú na lineárne. Sú to špeciálne prípady celé nerovnosti, totiž v ich ľavej a pravej časti sú celé výrazy, ktoré predstavujú resp lineárne binomy, alebo sú na ne prevedené pomocou a . Kvôli prehľadnosti uvádzame niekoľko príkladov takýchto nerovností: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

Nerovnosti, ktoré sú vo forme podobné tým, ktoré sú uvedené vyššie, môžu byť vždy znížené na lineárne. Dá sa to urobiť otvorením zátvoriek, uvedením podobných výrazov, preusporiadaním výrazov a presunutím výrazov z jednej strany nerovnosti na druhú s opačným znamienkom.

Napríklad na zmenšenie nerovnice 5−2 x>0 na lineárnu stačí preusporiadať členy na jej ľavej strane, máme −2 x+5>0. Ak chcete znížiť druhú nerovnosť 7·(x−1)+3≤4·x−2+x na lineárnu, potrebujete trochu viac krokov: na ľavej strane otvoríme zátvorky 7·x−7+3≤4· x−2+x , po Aby sme to dosiahli, uvádzame podobné členy na oboch stranách 7 x−4≤5 x−2 , potom prenesieme členy z pravej strany na ľavú 7 x−4−5 x+2 ≤0 , nakoniec uvádzame podobné členy na ľavej strane 2 ·x−2≤0 . Podobne možno tretiu nerovnosť zredukovať na lineárnu nerovnosť.

Vzhľadom na to, že takéto nerovnosti sa dajú vždy zredukovať na lineárne, niektorí autori ich dokonca nazývajú aj lineárne. Stále ich však budeme považovať za redukovateľné na lineárne.

Teraz je jasné, prečo sa takéto nerovnosti zvažujú spolu s lineárnymi nerovnosťami. A princíp ich riešenia je úplne rovnaký: vykonaním ekvivalentných transformácií sa dajú zredukovať na elementárne nerovnosti, ktoré predstavujú požadované riešenia.

Ak chcete vyriešiť nerovnosť tohto typu, môžete ju najskôr zmenšiť na lineárnu a potom túto lineárnu nerovnosť vyriešiť. Ale je to racionálnejšie a pohodlnejšie to urobiť:

• po otvorení zátvoriek zozbierajte všetky členy s premennou na ľavej strane nerovnosti a všetky čísla na pravej strane,
• potom prines podobné podmienky,
• a potom vydeľte obe strany výslednej nerovnosti koeficientom x (ak je, samozrejme, iný ako nula). Toto dá odpoveď.

Príklad.

Vyriešte nerovnosť 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Riešenie.

Najprv otvorme zátvorky, výsledkom čoho je nerovnosť 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 . Teraz dajme podobné pojmy: 6 x + 15 ≤ 6 x −17 . Potom členy presunieme z ľavej strany, dostaneme 6 x+15−6 x+17≤0 a opäť prinesieme podobné členy (čo nás vedie k lineárnej nerovnosti 0 x+32≤0) a máme 32≤ 0. Takto sme sa dostali k nesprávnej číselnej nerovnosti, z ktorej usudzujeme, že pôvodná nerovnosť nemá riešenia.

odpoveď:

žiadne riešenia.

Na záver poznamenávame, že existuje mnoho ďalších nerovností, ktoré možno redukovať na lineárne nerovnosti alebo na nerovnosti vyššie uvedeného typu. Napríklad riešenie exponenciálna nerovnosť 5 2 x−1 ≥1 redukuje na riešenie lineárnej nerovnosti 2 x−1≥0 . Ale o tom budeme hovoriť pri analýze riešení nerovností zodpovedajúceho tvaru.

Referencie.

• Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročníka. V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovič A.G. Algebra a začiatky matematickej analýzy. 11. trieda. V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.

Nerovnosť je výraz s, ≤ alebo ≥. Napríklad 3x - 5 Vyriešenie nerovnosti znamená nájdenie všetkých hodnôt premenných, pre ktoré platí nerovnosť. Každé z týchto čísel je riešením nerovnosti a množina všetkých takýchto riešení je jeho veľa riešení. Nerovnice, ktoré majú rovnakú množinu riešení, sa nazývajú ekvivalentné nerovnosti.

Lineárne nerovnosti

Princípy riešenia nerovníc sú podobné princípom riešenia rovníc.

Zásady riešenia nerovností
Pre akékoľvek reálne čísla a, b a c:
Princíp sčítania nerovností: Ak a Princíp násobenia nerovností: Ak je a 0 pravda, potom ac Ak je pravda aj a bc.
Podobné tvrdenia platia aj pre a ≤ b.

Keď sa obe strany nerovnosti vynásobia záporným číslom, znamienko nerovnosti sa musí obrátiť.
Nerovnosti prvej úrovne, ako v príklade 1 (nižšie), sa nazývajú lineárne nerovnosti.

Príklad 1 Vyriešte každú z nasledujúcich nerovností. Potom nakreslite sadu riešení.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Riešenie
Akékoľvek číslo menšie ako 11/5 je riešením.
Množina riešení je (x|x
Pre kontrolu môžeme nakresliť graf y 1 = 3x - 5 a y 2 = 6 - 2x. Potom je jasné, že pre x
Súbor riešení je (x|x ≤ 1) alebo (-∞, 1]. Graf súboru riešení je uvedený nižšie.

Dvojité nerovnosti

Keď sú dve nerovnosti spojené slovom A, alebo, potom sa vytvorí dvojitá nerovnosť. Ako dvojitá nerovnosť
-3 A 2x + 5 ≤ 7
volal pripojený, pretože používa A. Zadanie -3 Dvojité nerovnosti je možné riešiť pomocou princípov sčítania a násobenia nerovností.

Príklad 2 Riešiť -3 Riešenie máme

Súbor riešení (x|x ≤ -1 alebo x > 3). Riešenie môžeme zapísať aj pomocou intervalového zápisu a symbolu pre združenia alebo vrátane oboch súborov: (-∞ -1] (3, ∞). Graf súboru riešení je uvedený nižšie.

Pre kontrolu zostrojme graf y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 a y 3 = 1. Všimnite si, že pre (x|x ≤ -1 alebo x > 3), y1 ≤ y2 alebo y1 > y3.

Nerovnosti s absolútnou hodnotou (modul)

Nerovnosti niekedy obsahujú moduly. Na ich riešenie sa používajú nasledujúce vlastnosti.
Pre a > 0 a algebraický výraz x:
|x| |x| > a je ekvivalentné x alebo x > a.
Podobné výroky pre |x| ≤ a a |x| ≥ a.

napr.
|x| |y| ≥ 1 je ekvivalentné y ≤ -1 alebo y > 1;
a |2x + 3| ≤ 4 je ekvivalentné -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Príklad 4 Vyriešte každú z nasledujúcich nerovností. Zostavte graf množiny riešení.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Riešenie
a) |3x + 2|

Sada riešení je (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Množina riešení je (x|x ≤ 2 alebo x ≥ 3), alebo (-∞, 2] )