Osová a stredová súmernosť. Stredová symetria

Rovnosť a podobnosť.Homothety je transformácia, v ktorej každý bod M (rovina alebo priestor) je priradený k bodu M“, ležiaci na OM (obr. 5.16), a pomer OM":OM= A rovnaké pre všetky body okrem O. Pevný bod O nazývané centrum homotetiky. Postoj OM": OM považovať za pozitívne, ak M" a M ležať na jednej strane O, negatívne - na opačných stranách. číslo X nazývaný koeficient homotetity. o X< Rovnomernosť 0 sa nazýva inverzná. oλ = - 1 homotéza sa zmení na symetrickú transformáciu okolo bodu O. Pri homotete, priama čiara prechádza do priamky, rovnobežnosť priamych čiar a rovín je zachovaná, uhly (lineárne a dihedrálne) sú zachované, každá postava prechádza do nej podobné (obr. 5.17).

Opak je tiež pravdou. Rovnomernosť možno definovať ako afinnú transformáciu, pri ktorej priamky spájajúce zodpovedajúce body prechádzajú cez jeden bod – stred homotety. Homothety sa používa na zväčšovanie obrázkov (projekčná lampa, kino).

Stredová a zrkadlová symetria.Symetria (v širšom zmysle) je vlastnosť geometrického útvaru F, charakterizujúca určitú pravidelnosť jeho tvaru, jeho nemennosť pri pôsobení pohybov a odrazov. Obrazec Φ má symetriu (symetrickú), ak existujú neidentické ortogonálne transformácie, ktoré tento obrazec preberajú do seba. Množina všetkých ortogonálnych transformácií, ktoré spájajú obrazec Φ so sebou samým, je skupinou tohto obrazca. Čiže plochá postava (obr. 5.18) s hrotom M, transformácia-

pozerať sa na seba do zrkadla odraz, symetrický okolo priamej osi AB. Tu skupinu symetrie tvoria dva prvky - bod M prevedené na M".

Ak je číslo Φ v rovine také, že sa otáča vzhľadom na akýkoľvek bod O do uhla 360°/n, kde n > 2 je celé číslo, preložte ho do seba, potom má obrazec Ф symetriu n-tého rádu vzhľadom na bod O - stred súmernosti. Príkladom takýchto útvarov sú pravidelné mnohouholníky, napríklad v tvare hviezdy (obr. 5.19), ktoré majú voči stredu symetriu ôsmeho rádu. Skupina symetrie je tu takzvaná cyklická skupina n-tého rádu. Kruh má symetriu nekonečného poriadku (pretože je kompatibilný sám so sebou tým, že sa otáča o akýkoľvek uhol).

Najjednoduchšie typy priestorovej symetrie sú stredová symetria (inverzia). V tomto prípade relatívne k bodu O obrazec Ф sa spája sám so sebou po postupných odrazoch od troch vzájomne kolmých rovín, t.j. bodu O - stred úsečky spájajúcej symetrické body F. Takže pre kocku (obr. 5.20) bod O je stredom symetrie. Body Kocka M a M".

Osová súmernosť a pojem dokonalosti

Osová symetria je vlastná všetkým formám prírody a je jedným zo základných princípov krásy. Od dávnych čias sa človek snažil

pochopiť význam dokonalosti. Tento koncept bol prvýkrát podložený umelcami, filozofmi a matematikmi starovekého Grécka. A samotné slovo „symetria“ vymysleli oni. Označuje proporcionalitu, harmóniu a identitu častí celku. Staroveký grécky mysliteľ Platón tvrdil, že krásny môže byť len predmet, ktorý je symetrický a proporcionálny. V skutočnosti tie javy a formy, ktoré sú proporcionálne a úplné, „potešia oko“. Nazývame ich správne.

Osová súmernosť ako pojem

Symetria vo svete živých bytostí sa prejavuje v pravidelnom usporiadaní identických častí tela vzhľadom na stred alebo os. Častejšie v

V prírode sa vyskytuje osová symetria. Určuje nielen celkovú stavbu organizmu, ale aj možnosti jeho následného vývoja. Geometrické tvary a proporcie živých bytostí sú tvorené „osovou symetriou“. Jeho definícia je formulovaná takto: ide o vlastnosť objektov, ktoré sa majú kombinovať pri rôznych transformáciách. Starovekí ľudia verili, že guľa má v plnej miere princíp symetrie. Túto formu považovali za harmonickú a dokonalú.

Osová súmernosť v živej prírode

Ak sa pozriete na akéhokoľvek živého tvora, okamžite vás upúta symetria stavby tela. Človek: dve ruky, dve nohy, dve oči, dve uši atď. Každý živočíšny druh má charakteristickú farbu. Ak sa vo farbení objaví vzor, ​​potom sa spravidla zrkadlí na oboch stranách. To znamená, že existuje určitá línia, pozdĺž ktorej možno zvieratá a ľudí vizuálne rozdeliť na dve rovnaké polovice, to znamená, že ich geometrická štruktúra je založená na osovej symetrii. Príroda vytvára akýkoľvek živý organizmus nie chaoticky a nezmyselne, ale podľa všeobecných zákonov svetového poriadku, pretože nič vo vesmíre nemá čisto estetický, dekoratívny účel. Prítomnosť rôznych foriem je tiež spôsobená prirodzenou nevyhnutnosťou.

Osová súmernosť v neživej prírode

Vo svete nás všade obklopujú také javy a predmety ako: tajfún, dúha, kvapka, listy, kvety atď. Ich zrkadlová, radiálna, stredová, osová symetria je zrejmá. Je to z veľkej časti spôsobené fenoménom gravitácie. Pojem symetria sa často vzťahuje na pravidelnosť zmien v určitých javoch: deň a noc, zima, jar, leto a jeseň atď. V praxi táto vlastnosť existuje všade tam, kde sa dodržiava poriadok. A samotné prírodné zákony – biologické, chemické, genetické, astronomické – podliehajú zásadám symetrie, ktoré sú nám všetkým spoločné, keďže majú závideniahodnú systematickosť. Rovnováha, identita ako princíp má teda univerzálny rozsah. Osová symetria v prírode je jedným zo „základných“ zákonov, na ktorých je založený vesmír ako celok.

Stredová symetria. Stredová symetria je pohyb.

Obrázok 9 z prezentácie „Typy symetrie“ na hodiny geometrie na tému „Symetria“

Rozmery: 1503 x 939 pixelov, formát: jpg.

Ak si chcete stiahnuť bezplatný obrázok pre lekciu geometrie, kliknite pravým tlačidlom myši na obrázok a kliknite na „Uložiť obrázok ako...“.

Pre zobrazenie obrázkov v lekcii si môžete bezplatne stiahnuť celú prezentáciu „Typy symetrie.ppt“ so všetkými obrázkami v zip archíve. Veľkosť archívu – 1936 kB.

Stiahnite si prezentáciu

Symetria

„Symetria v prírode“ - V 19. storočí sa v Európe objavili ojedinelé diela venované symetrii rastlín. . Axiálny centrálny. Jednou z hlavných vlastností geometrických tvarov je symetria. Prácu vykonala: Zhavoronkova Tanya Nikolaeva Lera Vedúci: Artemenko Svetlana Yuryevna. Pod symetriou v širšom zmysle rozumieme akúkoľvek pravidelnosť vo vnútornej stavbe tela alebo postavy.

„Pohyb v geometrii“ - Pohyb v geometrii. Ako sa využíva pohyb v rôznych oblastiach ľudskej činnosti? čo je pohyb? Na aké vedy sa pohyb vzťahuje? Skupina teoretikov. Matematika je krásna a harmonická! Vidíme pohyb v prírode? Pojem pohybu Osová súmernosť Stredová súmernosť.

"Matematická symetria" - Symetria. Symetria v matematike. Typy symetrie. V x a ma i. Rotačné. Matematická symetria. Stredová symetria. Rotačná symetria. Fyzická symetria. Tajomstvo zrkadlového sveta. Komplexným molekulám však vo všeobecnosti chýba symetria. MÁ VEĽA SPOLOČNÉHO S POSTUPNOU SYMETRIOU V MATEMATIKE.

„Symetria okolo nás“ - Centrálne. Jeden druh symetrie. Axiálny. V geometrii existujú postavy, ktoré majú... Rotácie. Rotácia (rotačná). Symetria v rovine. Horizontálne. Osová súmernosť je pomerne rovná. Grécke slovo symetria znamená „proporcia“, „harmónia“. Dva typy symetrie. Stred vzhľadom na bod.

V téme je spolu 32 prezentácií

Osová súmernosť. Pri osovej symetrii ide každý bod na obrázku do bodu, ktorý je k nemu symetrický vzhľadom na pevnú priamku.

Obrázok 35 z prezentácie „Ornament“ na hodiny geometrie na tému „Symetria“

Rozmery: 360 x 260 pixelov, formát: jpg.

Ak si chcete stiahnuť bezplatný obrázok pre lekciu geometrie, kliknite pravým tlačidlom myši na obrázok a kliknite na „Uložiť obrázok ako...“.

Pre zobrazenie obrázkov v lekcii si môžete bezplatne stiahnuť celú prezentáciu „Typy symetrie.ppt“ so všetkými obrázkami v zip archíve. Veľkosť archívu – 1936 kB.

Ak si chcete stiahnuť bezplatný obrázok pre lekciu geometrie, kliknite pravým tlačidlom myši na obrázok a kliknite na „Uložiť obrázok ako...“.

Pre zobrazenie obrázkov na lekcii si môžete bezplatne stiahnuť celú prezentáciu „Ornament.ppt“ so všetkými obrázkami v zip archíve. Veľkosť archívu je 3324 kB.

„Ornament“ - b) Na páse. Paralelný preklad Stredová symetria Osová symetria Rotácia. Lineárne (možnosti usporiadania): Vytvorenie vzoru pomocou stredovej symetrie a paralelného prekladu. Rovinný. Jednou z odrôd ornamentu je sieťovaný ornament. Transformácie použité na vytvorenie ornamentu:

„Symetria v prírode“ - Jednou z hlavných vlastností geometrických tvarov je symetria. Téma nebola zvolená náhodou, pretože budúci rok budeme musieť začať študovať nový predmet – geometriu. Fenomén symetrie v živej prírode bol zaznamenaný už v starovekom Grécku. Študujeme v školskej vedeckej spoločnosti, pretože sa radi učíme niečo nové a neznáme.

„Pohyb v geometrii“ - Matematika je krásna a harmonická! Uveďte príklady pohybu. Pohyb v geometrii. čo je pohyb? Na aké vedy sa pohyb vzťahuje? Ako sa využíva pohyb v rôznych oblastiach ľudskej činnosti? Skupina teoretikov. Pojem pohybu Osová súmernosť Stredová súmernosť. Vidíme pohyb v prírode?

"Symetria v umení" - Levitan. RAPHAEL. II.1. Podiel v architektúre. Rytmus je jedným z hlavných prvkov expresivity melódie. R. Descartes. Lodný háj. A.V. Velazquez "Vzdať sa Bredy" Navonok sa harmónia môže prejaviť v melódii, rytme, symetrii, proporcionalite. II.4.Podiel v literatúre.

V téme je spolu 32 prezentácií

ja . Symetria v matematike :

Základné pojmy a definície.

Osová súmernosť (definície, konštrukčný plán, príklady)

Stredová symetria (definície, stavebný plán, kedyopatrenia)

Súhrnná tabuľka (všetky vlastnosti, vlastnosti)

II . Aplikácia symetrie:

1) v matematike

2) v chémii

3) v biológii, botanike a zoológii

4) v umení, literatúre a architektúre

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Základné pojmy symetrie a jej typy.

Pojem symetria r siaha cez celú históriu ľudstva. Nachádza sa už pri počiatkoch ľudského poznania. Vznikla v súvislosti so štúdiom živého organizmu, konkrétne človeka. A používali ho sochári už v 5. storočí pred Kristom. e. Slovo „symetria“ je grécke a znamená „proporcionalita, proporcionalita, rovnakosť v usporiadaní častí“. Je široko používaný vo všetkých oblastiach modernej vedy bez výnimky. O tomto vzore premýšľalo veľa skvelých ľudí. Napríklad L. N. Tolstoj povedal: „Stojíc pred čiernou tabuľou a kriedou na ňu kreslím rôzne postavy, zrazu ma napadla myšlienka: prečo je symetria pre oči jasná? Čo je symetria? Toto je vrodený pocit, odpovedal som si. Na čom je založená?" Symetria skutočne lahodí oku. Kto neobdivoval symetriu prírodných výtvorov: listy, kvety, vtáky, zvieratá; alebo ľudské výtvory: budovy, technika - všetko, čo nás od detstva obklopuje, všetko, čo sa snaží o krásu a harmóniu. Hermann Weyl povedal: "Symetria je myšlienka, prostredníctvom ktorej sa človek po celé veky snažil pochopiť a vytvoriť poriadok, krásu a dokonalosť." Hermann Weyl je nemecký matematik. Jeho aktivity siahajú do prvej polovice dvadsiateho storočia. Bol to on, kto formuloval definíciu symetrie, stanovil, podľa akých kritérií je možné určiť prítomnosť alebo naopak absenciu symetrie v danom prípade. Matematicky rigorózny koncept sa teda sformoval pomerne nedávno – na začiatku dvadsiateho storočia. Je to dosť komplikované. Obráťme sa a ešte raz si spomeňme na definície, ktoré sme dostali v učebnici.

2. Osová súmernosť.

2.1 Základné definície

Definícia. Dva body A a A 1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na priamku a, ak táto priamka prechádza stredom úsečky AA 1 a je na ňu kolmá. Každý bod priamky a sa považuje za symetrický sám so sebou.

Definícia. Postava je údajne symetrická vzhľadom na priamku A, ak pre každý bod obrázku existuje bod symetrický vzhľadom na priamku A patrí tiež k tejto postave. Rovno A nazývaná os symetrie obrazca. Postava má údajne aj osovú súmernosť.

2.2 Stavebný plán

A tak, aby sme zostrojili symetrický obrazec vzhľadom na priamku, z každého bodu nakreslíme kolmicu na túto priamku a predĺžime ju o rovnakú vzdialenosť, označíme výsledný bod. Robíme to s každým bodom a získame symetrické vrcholy nového útvaru. Potom ich spojíme do série a dostaneme symetrický obrazec danej relatívnej osi.

2.3 Príklady obrazcov s osovou súmernosťou.

3. Stredová symetria

3.1 Základné definície

Definícia. Dva body A a A1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na bod O, ak O je stredom úsečky AA1. Bod O sa považuje za symetrický sám so sebou.

Definícia. Obrazec sa považuje za symetrický vzhľadom k bodu O, ak pre každý bod obrazca patrí k tomuto obrazcu aj bod symetrický vzhľadom na bod O.

3.2 Stavebný plán

Konštrukcia trojuholníka symetrického k danému vzhľadom k stredu O.

Zostrojiť bod symetrický k bodu A vzhľadom na bod O, stačí nakresliť rovnú čiaru OA(Obr. 46 ) a na druhej strane veci O vyčleniť segment rovný segmentu OA. Inými slovami , body A a ; V a ; C a symetrické okolo nejakého bodu O. Na obr. 46 je zostrojený trojuholník, ktorý je symetrický k trojuholníku ABC vzhľadom na bod O. Tieto trojuholníky sú rovnaké.

Konštrukcia symetrických bodov vzhľadom na stred.

Na obrázku sú body M a M1, N a N1 symetrické voči bodu O, ale body P a Q nie sú symetrické voči tomuto bodu.

Vo všeobecnosti sú čísla, ktoré sú symetrické okolo určitého bodu, rovnaké .

3.3 Príklady

Uveďme príklady útvarov, ktoré majú stredovú symetriu. Najjednoduchšie obrazce so stredovou symetriou sú kruh a rovnobežník.

Bod O sa nazýva stred symetrie obrazca. V takýchto prípadoch má postava stredovú symetriu. Stred symetrie kruhu je stredom kruhu a stred symetrie rovnobežníka je priesečníkom jeho uhlopriečok.

Priamka má tiež stredovú súmernosť, ale na rozdiel od kružnice a rovnobežníka, ktoré majú len jeden stred súmernosti (na obrázku bod O), má ich priamka nekonečný počet - jej stredom je ľubovoľný bod na priamke. symetrie.

Obrázky znázorňujú uhol symetrický vzhľadom k vrcholu, segment symetrický k inému segmentu vzhľadom na stred A a štvoruholník symetrický okolo jeho vrcholu M.

Príkladom postavy, ktorá nemá stred súmernosti, je trojuholník.

4. Zhrnutie lekcie

Zhrňme si získané poznatky. Dnes sme sa v triede dozvedeli o dvoch hlavných typoch symetrie: centrálnej a axiálnej. Pozrime sa na obrazovku a systematizujeme získané poznatky.

Súhrnná tabuľka

	Osová súmernosť	Stredová symetria
Zvláštnosť	Všetky body obrázku musia byť symetrické vzhľadom na nejakú priamku.	Všetky body obrázku musia byť symetrické vzhľadom na bod vybraný ako stred symetrie.
Vlastnosti	1. Symetrické body ležia na kolmiciach na priamku. 3. Priame čiary sa menia na priame čiary, uhly na rovnaké uhly. 4. Veľkosti a tvary figúrok sú zachované.	1. Symetrické body ležia na priamke prechádzajúcej stredom a daným bodom obrazca. 2. Vzdialenosť od bodu k priamke sa rovná vzdialenosti od priamky k symetrickému bodu. 3. Veľkosti a tvary figúrok sú zachované.

II. Aplikácia symetrie

Matematika	Na hodinách algebry sme študovali grafy funkcií y=x a y=x Obrázky zobrazujú rôzne obrázky znázornené pomocou vetiev parabol. a) osemsten, (b) kosoštvorcový dvanásťsten, (c) šesťuholníkový osemsten.
ruský jazyk	Tlačené písmená ruskej abecedy majú tiež rôzne typy symetrií. V ruskom jazyku sú „symetrické“ slová - palindrómy, ktorý možno čítať rovnako v oboch smeroch.	A D L M P T F W- vertikálna os V E Z K S E Y - horizontálna os F N O X- vertikálne aj horizontálne B G I Y R U C CH SCHY- žiadna os Radarová chata Alla Anna
Literatúra	Vety môžu byť aj palindromické. Bryusov napísal báseň „Hlas Mesiaca“, v ktorej každý riadok predstavuje palindróm. Pozrite sa na štvorky od A.S. Puškina „Bronzový jazdec“. Ak nakreslíme čiaru za druhou čiarou, môžeme si všimnúť prvky osovej súmernosti	A ruža padla Azorovi na labku. Prichádzam s mečom sudcu. (Derzhavin) "Hľadaj taxík" „Argentína láka černocha“ "Argentínčan oceňuje černocha," "Lesha našla chrobáka na poličke." Neva je oblečená v žule; Mosty viseli nad vodami; Tmavo zelené záhrady Pokryli to ostrovy...

Biológia

Ľudské telo je postavené na princípe obojstrannej symetrie. Väčšina z nás vníma mozog ako jedinú štruktúru, v skutočnosti je rozdelená na dve polovice. Tieto dve časti – dve hemisféry – k sebe tesne priliehajú. V úplnom súlade so všeobecnou symetriou ľudského tela je každá hemisféra takmer presným zrkadlovým obrazom tej druhej Ovládanie základných pohybov ľudského tela a jeho zmyslových funkcií je rovnomerne rozdelené medzi dve hemisféry mozgu.

Ľavá hemisféra ovláda pravú stranu mozgu a pravá hemisféra ľavú.

Botanika Venujte pozornosť usporiadaniu listov výhonkov - to je tiež zvláštny typ špirály - špirála. Aj Goethe, ktorý bol nielen veľkým básnikom, ale aj prírodovedcom, považoval špirálovitosť za jednu z charakteristických vlastností všetkých organizmov, za prejav najvnútornejšej podstaty života. Úponky rastlín sa krútia špirálovito, rast pletív v kmeňoch stromov prebieha špirálovito, semená v slnečnici sú usporiadané do špirály a špirálovité pohyby sú pozorované pri raste koreňov a výhonkov.

Charakteristickým znakom stavby rastlín a ich vývoja je špirálovitosť. Pozrite sa na šišku. 21.

Váhy na jeho povrchu sú usporiadané prísne pravidelne - pozdĺž dvoch špirál, ktoré sa pretínajú približne v pravom uhle. Počet takýchto špirál v šiškách je 8 a 13 alebo 13 a

Zoológia

Symetria u zvierat znamená zhodu veľkosti, tvaru a obrysu, ako aj vzájomné usporiadanie častí tela umiestnených na opačných stranách deliacej čiary. Pri radiálnej alebo radiálnej symetrii má teleso tvar krátkeho alebo dlhého valca alebo nádoby so stredovou osou, z ktorej radiálne vybiehajú časti tela. Sú to koelenteráty, ostnatokožce a hviezdice. Pri obojstrannej symetrii existujú tri osi symetrie, ale iba jeden pár symetrických strán. Pretože ďalšie dve strany - brušná a chrbtová - nie sú navzájom podobné. Tento typ symetrie je charakteristický pre väčšinu zvierat, vrátane hmyzu, rýb, obojživelníkov, plazov, vtákov a cicavcov.

	Osová súmernosť Rôzne typy symetrie fyzikálnych javov: symetria elektrických a magnetických polí (obr. 1)	Vo vzájomne kolmých rovinách je šírenie elektromagnetických vĺn symetrické (obr. 2)
Obr.1 Obr.2	čl Jedno z najlepších Raphaelových raných diel, „Zasnúbenie Márie“, bolo vytvorené v roku 1504. Pod slnečnou modrou oblohou leží údolie zakončené chrámom z bieleho kameňa. V popredí je zásnubný obrad.

Veľkňaz spája ruky Márie a Jozefa. Za Máriou je skupina dievčat, za Jozefom skupina mladých mužov. Obe časti symetrickej kompozície drží pohromade protipohyb postáv.	Pre moderný vkus je kompozícia takejto maľby nudná, pretože symetria je príliš zrejmá.
ChémiaMolekula vody má rovinu symetrie (priama vertikálna čiara) Molekuly DNA (kyselina deoxyribonukleová) zohrávajú vo svete živej prírody mimoriadne dôležitú úlohu. Ide o dvojreťazcový vysokomolekulárny polymér, ktorého monomérom sú nukleotidy.	Molekuly DNA majú štruktúru dvojitej špirály vybudovanú na princípe komplementarity. Archite	kultúry

Človek oddávna využíval symetriu v architektúre.