Vyhľadanie oblasti prostredníctvom integrálu online. Online kalkulačka Výpočet určitého integrálu (plocha zakriveného lichobežníka)

V skutočnosti, aby ste našli oblasť obrazca, nepotrebujete toľko vedomostí o neurčitom a určitom integráli. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa zostavenie výkresu, takže vaše znalosti a zručnosti pri zostavovaní výkresov budú oveľa naliehavejšou otázkou. V tomto smere je užitočné osviežiť si pamäť grafov základných elementárnych funkcií a minimálne vedieť zostrojiť priamku a hyperbolu.

Zakrivený lichobežník je plochý útvar ohraničený osou, rovnými čiarami a grafom funkcie súvislej na segmente, ktorý na tomto intervale nemení znamienko. Nechajte tento obrázok nájsť nie nižšie os x:

Potom sa plocha krivočiareho lichobežníka číselne rovná určitému integrálu. Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam.

Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.

To znamená, že určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche určitého obrázku. Uvažujme napríklad určitý integrál. Integrand definuje krivku v rovine umiestnenej nad osou (tí, ktorí si to želajú, môžu kresliť) a samotný určitý integrál sa číselne rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.

Príklad 1

Toto je typický príkaz na zadanie. Prvým a najdôležitejším bodom pri rozhodovaní je kreslenie. Okrem toho musí byť výkres skonštruovaný SPRÁVNE.

Pri konštrukcii výkresu odporúčam nasledujúce poradie: najprv je lepšie zostaviť všetky priame čiary (ak existujú) a až potom - paraboly, hyperboly a grafy iných funkcií. Výhodnejšie je zostaviť grafy funkcií bod po bode.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Dokončime výkres (všimnite si, že rovnica definuje os):

Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:

odpoveď:

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „okom“ spočítame počet buniek na výkrese - no, bude ich asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak sme dostali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak je zrejmé, že niekde sa stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, maximálne tucet. Ak je odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.

Riešenie: Urobme kresbu:

Ak je zakrivený lichobežník umiestnený pod osou (alebo aspoň nie vyššie danú os), potom jeho plochu možno nájsť pomocou vzorca:

V tomto prípade:

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak vás požiadajú, aby ste jednoducho vyriešili určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve diskutovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa obrazca najčastejšie nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu rovinnej postavy ohraničenú čiarami , .

Riešenie: Najprv musíte urobiť kresbu. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvá metóda je analytická. Riešime rovnicu:

To znamená, že dolná hranica integrácie je , horná hranica integrácie je .

Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať.

Je oveľa výnosnejšie a rýchlejšie stavať čiary bod po bode a hranice integrácie sa vyjasnia „samo od seba“. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo podrobná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A tiež zvážime taký príklad.

Vráťme sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme výkres:

A teraz pracovný vzorec: Ak je na segmente nejaká spojitá funkcia väčšia alebo rovná nejakej spojitej funkcii, potom oblasť čísla obmedzená grafmi týchto funkcií a priamkami možno nájsť pomocou vzorca:

Tu už nemusíte myslieť na to, kde sa obrazec nachádza – nad osou alebo pod osou, a zhruba povedané, je dôležité, ktorý graf je VYŠŠIE (vo vzťahu k inému grafu) a ktorý POD.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Hotové riešenie môže vyzerať takto:

Požadovaná hodnota je obmedzená parabolou nad a priamkou pod ňou.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Príklad 4

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , , .

Riešenie: Najprv urobme kresbu:

Figúrka, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou (pozrite sa pozorne na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však v dôsledku nepozornosti často vyskytuje „závada“, že musíte nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená zelenou farbou!

Tento príklad je užitočný aj v tom, že vypočítava plochu obrazca pomocou dvoch určitých integrálov.

naozaj :

1) Na segmente nad osou je graf priamky;

2) Na segmente nad osou je graf hyperboly.

Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:

Ako vložiť matematické vzorce na webovú stránku?

Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa na stránku jednoducho vkladajú vo forme obrázkov, ktoré automaticky generuje Wolfram Alpha. . Táto univerzálna metóda okrem jednoduchosti pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky vo vyhľadávačoch. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je už morálne zastarané.

Ak na svojej stránke pravidelne používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax – špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax k vašej webovej stránke, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) stiahnite si skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob – zložitejší a časovo náročnejší – zrýchli načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax z nejakého dôvodu stane dočasne nedostupným, váš vlastný web to nijako neovplyvní. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a už za 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.

Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo na stránke dokumentácie:

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky alebo bezprostredne za značku. Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky monitoruje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak vložíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu vyššie uvedeného kódu na stiahnutie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do webových stránok vašej lokality.

Akýkoľvek fraktál je skonštruovaný podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.

Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je celkom jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek priľahlých k nej pozdĺž plôch. Výsledkom je sada pozostávajúca zo zvyšných 20 menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.

Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku

Poďme ďalej zvážiť aplikácie integrálneho počtu. V tejto lekcii budeme analyzovať typický a najbežnejší problém - ako vypočítať plochu rovinného útvaru pomocou určitého integrálu. Konečne tí, ktorí hľadajú zmysel vo vyššej matematike – nech ho nájdu. Nikdy nevieš. V reálnom živote budete musieť aproximovať dacha pomocou elementárnych funkcií a nájsť jej plochu pomocou určitého integrálu.

Ak chcete úspešne zvládnuť materiál, musíte:

1) Pochopte neurčitý integrál aspoň na strednej úrovni. Preto by sa figuríny mali najskôr oboznámiť s lekciou Nie.

2) Byť schopný použiť Newtonov-Leibnizov vzorec a vypočítať určitý integrál. Na stránke Určitý integrál môžete nadviazať priateľské vzťahy s určitými integrálmi. Príklady riešení.

Úlohu nájsť oblasť pomocou určitého integrálu pozná vlastne každý už od školy a ďalej než k školským osnovám nepôjdeme. Tento článok by možno vôbec neexistoval, no faktom je, že problém nastáva v 99 prípadoch zo 100, keď študent trpí nenávidenou školou a s nadšením ovláda kurz vyššej matematiky.

Materiály tohto workshopu sú prezentované jednoducho, podrobne a s minimom teórie.

Začnime so zakriveným lichobežníkom.

Potom sa plocha krivočiareho lichobežníka číselne rovná určitému integrálu. Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. V lekcii Jednoznačný integrál. Príklady riešení Povedal som, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalší užitočný fakt. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.

Príklad 1

Toto je typický príkaz na zadanie. Prvým a najdôležitejším bodom pri rozhodovaní je kreslenie. Okrem toho musí byť výkres skonštruovaný SPRÁVNE.

Pri konštrukcii výkresu odporúčam nasledovné poradie: najprv je lepšie zostrojiť všetky priame čiary (ak nejaké sú) a až potom – paraboly, hyperboly a grafy iných funkcií. Výhodnejšie je konštruovať grafy funkcií bodovo; techniku bodovej konštrukcie nájdete v referenčnom materiáli Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Nájdete tam aj veľmi užitočný materiál pre našu lekciu - ako rýchlo postaviť parabolu.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Nakreslíme výkres (všimnite si, že rovnica definuje os):

Nebudem tieniť zakrivený lichobežník, tu je zrejmé, o ktorej oblasti hovoríme. Riešenie pokračuje takto:

Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:

odpoveď:

Kto má problémy s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newton-Leibnizovho vzorca , pozrite si prednášku Určitý integrál. Príklady riešení.

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade počítame počet buniek na výkrese „okom“ - no, bude ich asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak sme dostali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak je zrejmé, že niekde sa stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, maximálne tucet. Ak je odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami, a osami

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Čo robiť, ak sa pod osou nachádza zakrivený lichobežník?

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.

Riešenie: Urobme kresbu:

Ak je zakrivený lichobežník umiestnený pod osou (alebo aspoň nie vyššie danú os), potom jeho plochu možno nájsť pomocou vzorca:
V tomto prípade:

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak vás požiadajú, aby ste jednoducho vyriešili určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve diskutovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa obrazca najčastejšie nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu rovinnej postavy ohraničenú čiarami , .

To znamená, že dolná hranica integrácie je , horná hranica integrácie je .
Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať.

Je oveľa výnosnejšie a rýchlejšie stavať čiary bod po bode a hranice integrácie sa vyjasnia „samo od seba“. Technika bodovej konštrukcie pre rôzne grafy je podrobne rozobratá v pomocníkovi Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo podrobná konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A tiež zvážime takýto príklad.

Vráťme sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme výkres:

Opakujem, že pri bodovej konštrukcii sa hranice integrácie najčastejšie zisťujú „automaticky“.

Tu už nemusíte myslieť na to, kde sa obrazec nachádza – nad osou alebo pod osou, a zhruba povedané, je dôležité, ktorý graf je VYŠŠIE (vo vzťahu k inému grafu) a ktorý POD.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Hotové riešenie môže vyzerať takto:

Požadovaná hodnota je obmedzená parabolou nad a priamkou pod ňou.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

V skutočnosti je školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri jednoduchý príklad č. 3) špeciálnym prípadom vzorca . Keďže os je určená rovnicou a graf funkcie je umiestnený nie vyššie osy teda

A teraz pár príkladov pre vlastné riešenie

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami , .

Pri riešení problémov s výpočtom plochy pomocou určitého integrálu sa niekedy stane vtipná príhoda. Kresba bola urobená správne, výpočty boli správne, ale kvôli neopatrnosti... bola nájdená oblasť nesprávnej postavy, presne takto sa váš skromný sluha niekoľkokrát pomýlil. Tu je skutočný prípad:

Príklad 7

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , , .

Riešenie: Najprv urobme kresbu:

...Eh, kresba mi vyšla, ale všetko sa zdá byť čitateľné.

Tento príklad je užitočný aj v tom, že vypočítava plochu obrazca pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:

1) Na segmente nad osou je graf priamky;

2) Na segmente nad osou je graf hyperboly.

Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:

odpoveď:

Prejdime k ďalšej zmysluplnej úlohe.

Príklad 8

Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami,
Predstavme si rovnice v „školskej“ forme a urobme bod po bode:

Z nákresu je zrejmé, že naša horná hranica je „dobrá“: .
Ale aká je spodná hranica?! Je jasné, že to nie je celé číslo, ale čo to je? Môže byť? Ale kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže sa dobre ukázať, že... Alebo koreň. Čo ak sme graf zostavili nesprávne?

V takýchto prípadoch musíte stráviť viac času a analyticky si ujasniť hranice integrácie.

Nájdite priesečníky priamky a paraboly.
Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:

,

Naozaj,.

Ďalšie riešenie je triviálne, hlavnou vecou nie je zmiasť sa v zámenách a znamienkach, výpočty tu nie sú najjednoduchšie.

Na segmente , podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Na záver lekcie sa pozrime na dve zložitejšie úlohy.

Príklad 9

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , ,

Riešenie: Znázornime tento obrázok na výkrese.

Sakra, zabudol som podpísať plán a, prepáčte, nechcel som prerobiť obrázok. Nie je deň kreslenia, skrátka dnes je ten deň =)

Pre konštrukciu bodu po bode potrebujete poznať vzhľad sínusoidy (a vo všeobecnosti je užitočné poznať grafy všetkých elementárnych funkcií), ako aj niektoré hodnoty sínusu, ktoré nájdete v trigonometrická tabuľka. V niektorých prípadoch (ako v tomto prípade) je možné zostrojiť schematický nákres, na ktorom by mali byť grafy a limity integrácie zásadne správne zobrazené.

Tu nie sú žiadne problémy s limitmi integrácie, ktoré vyplývajú priamo z podmienky: „x“ sa zmení z nuly na „pi“. Urobme ďalšie rozhodnutie:

Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:

V predchádzajúcej časti, venovanej analýze geometrického významu určitého integrálu, sme dostali niekoľko vzorcov na výpočet plochy krivočiareho lichobežníka:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x pre spojitú a nezápornú funkciu y = f (x) na intervale [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pre spojitú a nekladnú funkciu y = f (x) na intervale [ a ; b].

Tieto vzorce sú použiteľné na riešenie relatívne jednoduchých problémov. V skutočnosti budeme musieť často pracovať so zložitejšími obrazcami. V tejto súvislosti budeme túto časť venovať analýze algoritmov na výpočet plochy obrazcov, ktoré sú obmedzené funkciami v explicitnej forme, t.j. ako y = f(x) alebo x = g(y).

Veta

Nech sú funkcie y = f 1 (x) a y = f 2 (x) definované a spojité na intervale [ a ; b] a f 1 (x) ≤ f 2 (x) pre akúkoľvek hodnotu x z [ a ; b]. Potom bude vzorec na výpočet plochy obrázku G ohraničený priamkami x = a, x = b, y = f 1 (x) a y = f 2 (x) vyzerať ako S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.

Podobný vzorec bude platiť pre oblasť obrazca ohraničenú priamkami y = c, y = d, x = g 1 (y) a x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Dôkaz

Pozrime sa na tri prípady, pre ktoré bude vzorec platiť.

V prvom prípade, berúc do úvahy vlastnosť aditivity plochy, sa súčet plôch pôvodného obrázku G a krivočiareho lichobežníka G1 rovná ploche obrázku G2. To znamená, že

Preto S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Posledný prechod môžeme vykonať pomocou tretej vlastnosti určitého integrálu.

V druhom prípade platí rovnosť: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafické znázornenie bude vyzerať takto:

Ak sú obe funkcie kladné, dostaneme: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Grafické znázornenie bude vyzerať takto:

Prejdime k všeobecnému prípadu, keď y = f 1 (x) a y = f 2 (x) pretínajú os O x.

Priesečníky označíme ako x i, i = 1, 2, . . . , n-1. Tieto body rozdeľujú segment [a; b] na n častí x i-1; x i, i = 1, 2,. . . , n, kde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

teda

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Posledný prechod môžeme urobiť pomocou piatej vlastnosti určitého integrálu.

Znázornime všeobecný prípad na grafe.

Vzorec S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x možno považovať za preukázaný.

Teraz prejdime k analýze príkladov výpočtu plochy obrázkov, ktoré sú obmedzené priamkami y = f (x) a x = g (y).

Uvažovanie o ktoromkoľvek z príkladov začneme zostrojením grafu. Obrázok nám umožní reprezentovať zložité tvary ako spojenia jednoduchších tvarov. Ak vám zostavovanie grafov a obrázkov na nich robí ťažkosti, môžete si pri štúdiu funkcie naštudovať časť o základných elementárnych funkciách, geometrickej transformácii grafov funkcií a tiež o zostavovaní grafov.

Príklad 1

Je potrebné určiť plochu obrázku, ktorá je obmedzená parabolou y = - x 2 + 6 x - 5 a priamkami y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Riešenie

Nakreslíme čiary na grafe v karteziánskom súradnicovom systéme.

Na segmente [1; 4 ] graf paraboly y = - x 2 + 6 x - 5 sa nachádza nad priamkou y = - 1 3 x - 1 2. V tomto ohľade na získanie odpovede používame vzorec získaný skôr, ako aj metódu výpočtu určitého integrálu pomocou vzorca Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odpoveď: S(G) = 13

Pozrime sa na zložitejší príklad.

Príklad 2

Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená čiarami y = x + 2, y = x, x = 7.

Riešenie

V tomto prípade máme len jednu priamku umiestnenú rovnobežne s osou x. Toto je x = 7. To si vyžaduje, aby sme sami našli druhú hranicu integrácie.

Zostavme graf a nakreslite naň čiary uvedené v probléme.

Keď máme graf pred očami, môžeme ľahko určiť, že dolná hranica integrácie bude úsečka priesečníka grafu priamky y = x a semiparaboly y = x + 2. Na nájdenie abscisy používame rovnosti:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Ukazuje sa, že úsečka priesečníka je x = 2.

Upozorňujeme na skutočnosť, že vo všeobecnom príklade na výkrese sa priamky y = x + 2, y = x pretínajú v bode (2; 2), takže takéto podrobné výpočty sa môžu zdať zbytočné. Takéto podrobné riešenie sme tu poskytli len preto, že v zložitejších prípadoch nemusí byť riešenie také zrejmé. To znamená, že súradnice priesečníka čiar je vždy lepšie vypočítať analyticky.

Na intervale [ 2 ; 7] graf funkcie y = x sa nachádza nad grafom funkcie y = x + 2. Použime vzorec na výpočet plochy:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odpoveď: S (G) = 59 6

Príklad 3

Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená grafmi funkcií y = 1 x a y = - x 2 + 4 x - 2.

Riešenie

Nakreslíme čiary do grafu.

Definujme hranice integrácie. Aby sme to dosiahli, určíme súradnice priesečníkov priamok porovnaním výrazov 1 x a - x 2 + 4 x - 2. Za predpokladu, že x nie je nula, rovnosť 1 x = - x 2 + 4 x - 2 sa stáva ekvivalentnou rovnici tretieho stupňa - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 s celočíselnými koeficientmi. Ak si chcete osviežiť pamäť na algoritmus na riešenie takýchto rovníc, môžeme si pozrieť časť „Riešenie kubických rovníc“.

Koreň tejto rovnice je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Vydelením výrazu - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 dvojčlenkou x - 1 dostaneme: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Zostávajúce korene nájdeme z rovnice x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Našli sme interval x ∈ 1; 3 + 13 2, v ktorom je číslica G obsiahnutá nad modrou a pod červenou čiarou. To nám pomáha určiť oblasť obrázku:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odpoveď: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Príklad 4

Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená krivkami y = x 3, y = - log 2 x + 1 a osou x.

Riešenie

Nakreslite všetky čiary do grafu. Graf funkcie y = - log 2 x + 1 dostaneme z grafu y = log 2 x, ak ho umiestnime symetricky okolo osi x a posunieme o jednotku nahor. Rovnica osi x je y = 0.

Označme priesečníky čiar.

Ako vidno z obrázku, grafy funkcií y = x 3 a y = 0 sa pretínajú v bode (0; 0). Stáva sa to preto, že x = 0 je jediným skutočným koreňom rovnice x 3 = 0.

x = 2 je jediný koreň rovnice - log 2 x + 1 = 0, teda grafy funkcií y = - log 2 x + 1 a y = 0 sa pretínajú v bode (2; 0).

x = 1 je jediný koreň rovnice x 3 = - log 2 x + 1 . V tomto smere sa grafy funkcií y = x 3 a y = - log 2 x + 1 pretínajú v bode (1; 1). Posledné tvrdenie nemusí byť zrejmé, ale rovnica x 3 = - log 2 x + 1 nemôže mať viac ako jeden koreň, pretože funkcia y = x 3 je striktne rastúca a funkcia y = - log 2 x + 1 je prísne klesá.

Ďalšie riešenie zahŕňa niekoľko možností.

Možnosť #1

Obrázok G si môžeme predstaviť ako súčet dvoch krivočiarych lichobežníkov umiestnených nad osou x, z ktorých prvý sa nachádza pod stredovou čiarou na úsečke x ∈ 0; 1 a druhý je pod červenou čiarou na segmente x ∈ 1; 2. To znamená, že plocha sa bude rovnať S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Možnosť č.2

Obrázok G môže byť znázornený ako rozdiel dvoch obrázkov, z ktorých prvý je umiestnený nad osou x a pod modrou čiarou na segmente x ∈ 0; 2 a druhý medzi červenou a modrou čiarou na segmente x ∈ 1; 2. To nám umožňuje nájsť oblasť takto:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

V tomto prípade na nájdenie oblasti budete musieť použiť vzorec v tvare S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. V skutočnosti môžu byť čiary, ktoré ohraničujú obrazec, reprezentované ako funkcie argumentu y.

Vyriešme rovnice y = x 3 a - log 2 x + 1 vzhľadom na x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Získame požadovanú oblasť:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odpoveď: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Príklad 5

Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je obmedzená čiarami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Riešenie

Červenou čiarou nakreslíme čiaru definovanú funkciou y = x. Čiaru y = - 1 2 x + 4 nakreslíme modrou a čiaru y = 2 3 x - 3 čiernou farbou.

Označme priesečníky.

Nájdite priesečníky grafov funkcií y = x a y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Skontrolujte: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nie Je riešením rovnice x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je riešením rovnice ⇒ (4; 2) priesečník i y = x a y = - 1 2 x + 4

Nájdite priesečník grafov funkcií y = x a y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrola: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je riešením rovnice ⇒ (9 ; 3) bod a s y = x a y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Rovnica nemá riešenie

Nájdite priesečník priamok y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) priesečník y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3

Metóda č.1

Predstavme si plochu požadovaného obrazca ako súčet plôch jednotlivých obrazcov.

Potom je plocha obrázku:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metóda č.2

Plochu pôvodnej figúry možno znázorniť ako súčet dvoch ďalších figúrok.

Potom vyriešime rovnicu čiary vzhľadom na x a až potom použijeme vzorec na výpočet plochy obrázku.

y = x ⇒ x = y 2 červená čiara y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 čierna čiara y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Oblasť je teda:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d 2 + ∫ 3 3 2 r + 9 2 - r 2 r = = 7 4 r. 2 - 7 4 r. 1 2 + - r. 3 3 + 3 r. 2 4 + 9 2 r. 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Ako vidíte, hodnoty sú rovnaké.

Odpoveď: S (G) = 11 3

Výsledky

Aby sme našli oblasť obrázku, ktorá je obmedzená danými čiarami, musíme vytvoriť čiary v rovine, nájsť ich priesečníky a použiť vzorec na nájdenie oblasti. V tejto časti sme preskúmali najbežnejšie varianty úloh.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

V tomto článku sa dozviete, ako nájsť oblasť obrázku ohraničenú čiarami pomocou integrálnych výpočtov. S formuláciou takéhoto problému sa prvýkrát stretávame na strednej škole, keď sme práve ukončili štúdium určitých integrálov a je čas začať s geometrickým výkladom získaných poznatkov v praxi.

Čo je teda potrebné na úspešné vyriešenie problému nájdenia oblasti obrázku pomocou integrálov:

Schopnosť robiť kompetentné výkresy;
Schopnosť riešiť určitý integrál pomocou známeho Newtonovho-Leibnizovho vzorca;
Schopnosť „vidieť“ výnosnejšiu možnosť riešenia – t.j. pochopiť, ako bude pohodlnejšie vykonať integráciu v jednom alebo druhom prípade? Pozdĺž osi x (OX) alebo osi y (OY)?
Kde by sme boli bez správnych výpočtov?) To zahŕňa pochopenie toho, ako vyriešiť tento iný typ integrálov a správne numerické výpočty.

Algoritmus na riešenie problému výpočtu plochy obrazca ohraničeného čiarami:

1. Staviame výkres. Je vhodné to urobiť na kockovanom papieri vo veľkom meradle. Názov tejto funkcie podpíšeme ceruzkou nad každým grafom. Grafy sú podpísané len pre uľahčenie ďalších výpočtov. Po získaní grafu požadovaného čísla bude vo väčšine prípadov okamžite jasné, ktoré limity integrácie sa použijú. Úlohu teda riešime graficky. Stáva sa však, že hodnoty limitov sú zlomkové alebo iracionálne. Preto môžete vykonať ďalšie výpočty, prejdite na druhý krok.

2. Ak nie sú explicitne špecifikované limity integrácie, nájdeme priesečníky grafov medzi sebou a uvidíme, či sa naše grafické riešenie zhoduje s analytickým.

3. Ďalej musíte analyzovať výkres. V závislosti od toho, ako sú grafy funkcií usporiadané, existujú rôzne prístupy k nájdeniu oblasti obrázku. Pozrime sa na rôzne príklady hľadania oblasti obrazca pomocou integrálov.

3.1.

Najklasickejšia a najjednoduchšia verzia problému je, keď potrebujete nájsť oblasť zakriveného lichobežníka. Čo je to zakrivený lichobežník? Toto je plochý údaj ohraničený osou x (y = 0), priamkami x = a, x = b a ľubovoľnou krivkou súvislou v intervale od a po b. Navyše tento údaj nie je záporný a nenachádza sa pod osou x. V tomto prípade sa plocha krivočiareho lichobežníka numericky rovná určitému integrálu, vypočítanému pomocou vzorca Newton-Leibniz: Príklad 1

Akými čiarami je obrazec ohraničený? Máme parabolu y = x2 - 3x + 3, ktorá sa nachádza nad osou OX, je nezáporná, pretože všetky body tejto paraboly majú kladné hodnoty. Ďalej sú uvedené priamky x = 1 a x = 3, ktoré prebiehajú rovnobežne s osou OU a sú hraničnými čiarami obrázku vľavo a vpravo. No, y = 0, čo je tiež os x, ktorá obmedzuje obrázok zdola. Výsledný obrázok je vytieňovaný, ako je možné vidieť na obrázku vľavo. V takom prípade môžete problém okamžite začať riešiť. Pred nami je jednoduchý príklad zakriveného lichobežníka, ktorý ďalej riešime pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca.

3.2.

V predchádzajúcom odseku 3.1 sme skúmali prípad, keď sa nad osou x nachádza zakrivený lichobežník. Teraz zvážte prípad, keď sú podmienky problému rovnaké, okrem toho, že funkcia leží pod osou x. K štandardnému Newton-Leibnizovmu vzorcu sa pridáva mínus. Ako vyriešiť takýto problém, zvážime nižšie. Príklad 2

. Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú priamkami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

V tomto príklade máme parabolu y = x2 + 6x + 2, ktorá vychádza pod osou OX, priamky x = -4, x = -1, y = 0. Tu y = 0 obmedzuje požadovanú hodnotu zhora. Priamky x = -4 a x = -1 sú hranice, v rámci ktorých sa vypočíta určitý integrál. Princíp riešenia problému nájdenia plochy obrazca sa takmer úplne zhoduje s príkladom číslo 1. Jediný rozdiel je v tom, že daná funkcia nie je kladná a je tiež spojitá na intervale [-4; -1]. Čo tým myslíš nie pozitívne? Ako vidno z obrázku, obrazec, ktorý leží v rámci daného x, má výlučne „záporné“ súradnice, čo musíme vidieť a zapamätať si pri riešení úlohy. Hľadáme oblasť obrázku pomocou vzorca Newton-Leibniz, iba so znamienkom mínus na začiatku.