Ktorá rovnica je zlomková racionálna rovnica. Racionálne rovnice

Už sme sa naučili riešiť kvadratické rovnice. Teraz rozšírme študované metódy na racionálne rovnice.

Čo je to racionálne vyjadrenie? S týmto konceptom sme sa už stretli. Racionálne výrazy sú výrazy zložené z čísel, premenných, ich mocničiek a symbolov matematických operácií.

Podľa toho sú racionálne rovnice rovnicami tvaru: , kde - racionálne prejavy.

Predtým sme zvažovali iba tie racionálne rovnice, ktoré možno redukovať na lineárne. Teraz sa pozrime na tie racionálne rovnice, ktoré možno zredukovať na kvadratické.

Príklad 1

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

Zlomok sa rovná 0 práve vtedy, ak sa jeho čitateľ rovná 0 a menovateľ sa nerovná 0.

Získame nasledujúci systém:

Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica. Pred jeho riešením vydeľme všetky jeho koeficienty 3. Dostaneme:

Dostaneme dva korene: ; .

Keďže 2 sa nikdy nerovná 0, musia byť splnené dve podmienky: . Pretože žiadny z koreňov rovnice získanej vyššie sa nezhoduje s neplatnými hodnotami premennej, ktoré boli získané pri riešení druhej nerovnosti, sú obe riešeniami tejto rovnice.

odpoveď:.

Poďme teda sformulovať algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetky výrazy na ľavú stranu tak, aby pravá strana skončila s 0.

2. Transformujte a zjednodušte ľavú stranu, priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi.

3. Výsledný zlomok prirovnajte k 0 pomocou nasledujúceho algoritmu: .

4. Napíšte tie korene, ktoré boli získané v prvej rovnici a vyhovie druhej nerovnici v odpovedi.

Pozrime sa na ďalší príklad.

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie

Na úplnom začiatku presunieme všetky výrazy doľava tak, aby 0 zostala vpravo.

Teraz prinesme ľavú stranu rovnice k spoločnému menovateľovi:

Táto rovnica je ekvivalentná systému:

Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica.

Koeficienty tejto rovnice: . Vypočítame diskriminant:

Dostaneme dva korene: ; .

Teraz vyriešme druhú nerovnosť: súčin faktorov sa nerovná 0 práve vtedy, ak žiadny z faktorov nie je rovný 0.

Musia byť splnené dve podmienky: . Zistili sme, že z dvoch koreňov prvej rovnice je vhodný iba jeden - 3.

odpoveď:.

V tejto lekcii sme si pripomenuli, čo je racionálny výraz, a tiež sme sa naučili riešiť racionálne rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické rovnice.

V ďalšej lekcii sa pozrieme na racionálne rovnice ako na modely reálnych situácií a tiež sa pozrieme na pohybové problémy.

Referencie

Bašmakov M.I. Algebra, 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a ďalšie, 8. 5. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. ročník. Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie. - M.: Vzdelávanie, 2006.

Festival pedagogických myšlienok „Otvorená hodina“ ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Domáce úlohy

§ 1 Celočíselné a zlomkové racionálne rovnice

V tejto lekcii sa pozrieme na pojmy ako racionálna rovnica, racionálne vyjadrenie, celé vyjadrenie, zlomkové vyjadrenie. Uvažujme o riešení racionálnych rovníc.

Racionálna rovnica je rovnica, v ktorej ľavá a pravá strana sú racionálne vyjadrenia.

Racionálne výrazy sú:

Zlomkový.

Celočíselný výraz sa skladá z čísel, premenných, celočíselných mocnín pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia a delenia číslom iným ako nula.

Napríklad:

Zlomkové výrazy zahŕňajú delenie premennou alebo výraz s premennou. Napríklad:

Zlomkový výraz nedáva zmysel pre všetky hodnoty premenných, ktoré obsahuje. Napríklad výraz

pri x = -9 to nedáva zmysel, pretože pri x = -9 ide menovateľ na nulu.

To znamená, že racionálna rovnica môže byť celočíselná alebo zlomková.

Celá racionálna rovnica je racionálna rovnica, v ktorej ľavá a pravá strana sú celé výrazy.

Napríklad:

Zlomková racionálna rovnica je racionálna rovnica, v ktorej ľavá alebo pravá strana sú zlomkové výrazy.

Napríklad:

§ 2 Riešenie celej racionálnej rovnice

Uvažujme o riešení celej racionálnej rovnice.

Napríklad:

Vynásobme obe strany rovnice najmenším spoločným menovateľom z menovateľov zlomkov v nej zahrnutých.

Postup:

1. nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov 2, 3, 6. Rovná sa 6;

2. nájdite pre každý zlomok ďalší faktor. Za týmto účelom vydeľte spoločného menovateľa 6 každým menovateľom

dodatočný faktor pre zlomok

3. vynásobte čitateľov zlomkov ich zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi. Tak dostaneme rovnicu

čo je ekvivalentné danej rovnici

Otvoríme zátvorky vľavo, pravú časť posunieme doľava, pričom pri prenesení na opačný zmeníme znamienko termínu.

Uveďme podobné členy polynómu a získajme

Vidíme, že rovnica je lineárna.

Po vyriešení zistíme, že x = 0,5.

§ 3 Riešenie zlomkovej racionálnej rovnice

Uvažujme o riešení zlomkovej racionálnej rovnice.

Napríklad:

1.Vynásobte obe strany rovnice najmenším spoločným menovateľom menovateľov racionálnych zlomkov, ktoré sú v nej zahrnuté.

Nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov x + 7 a x - 1.

Rovná sa ich súčinu (x + 7) (x - 1).

2. Nájdime ďalší faktor pre každý racionálny zlomok.

Ak to chcete urobiť, vydeľte spoločného menovateľa (x + 7) (x - 1) každým menovateľom. Dodatočný faktor pre zlomky

rovná sa x - 1,

dodatočný faktor pre zlomok

rovná sa x+7.

3. Vynásobte čitateľov zlomkov ich zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.

Získame rovnicu (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), ktorá je ekvivalentná tejto rovnici

4. Vynásobte dvojčlen binomom vľavo a vpravo a získajte nasledujúcu rovnicu

5. Pravú stranu posunieme doľava, pričom pri prevode na opačný zmeníme znamienko každého pojmu:

6. Uveďme podobné členy polynómu:

7. Obe strany možno deliť -1. Dostaneme kvadratickú rovnicu:

8. Po vyriešení nájdeme korene

Keďže v rov.

ľavá a pravá strana sú zlomkové výrazy a v zlomkových výrazoch sa pre niektoré hodnoty premenných môže menovateľ stať nulou, potom je potrebné skontrolovať, či spoločný menovateľ neklesne na nulu, keď sa nájdu x1 a x2 .

Pri x = -27 spoločný menovateľ (x + 7) (x - 1) nezaniká pri x = -1, spoločný menovateľ tiež nie je nula.

Preto oba korene -27 a -1 sú koreňmi rovnice.

Pri riešení zlomkovej racionálnej rovnice je lepšie okamžite uviesť rozsah prijateľných hodnôt. Odstráňte tie hodnoty, pri ktorých je spoločný menovateľ nulový.

Uvažujme o ďalšom príklade riešenia zlomkovej racionálnej rovnice.

Napríklad vyriešme rovnicu

Faktorizujeme menovateľ zlomku na pravej strane rovnice

Dostaneme rovnicu

Nájdite spoločného menovateľa pre menovateľov (x - 5), x, x (x - 5).

Bude to výraz x(x - 5).

Teraz nájdime rozsah prijateľných hodnôt rovnice

Aby sme to dosiahli, vyrovnáme spoločného menovateľa nule x(x - 5) = 0.

Dostaneme rovnicu, ktorej riešením zistíme, že pri x = 0 alebo pri x = 5 sa spoločný menovateľ dostane na nulu.

To znamená, že x = 0 alebo x = 5 nemôžu byť koreňmi našej rovnice.

Teraz je možné nájsť ďalšie multiplikátory.

Dodatočný faktor pre racionálne zlomky

dodatočný faktor pre zlomok

bude (x - 5),

a dodatočný faktor zlomku

Čitateľov vynásobíme zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.

Dostaneme rovnicu x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Otvorme zátvorky vľavo a vpravo, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Presuňme výrazy sprava doľava a zmeňme znamienko prenesených výrazov:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

A po privedení podobných členov dostaneme kvadratickú rovnicu x2 - 3x - 10 = 0. Po jej vyriešení nájdeme korene x1 = -2; x2 = 5.

Ale už sme zistili, že pri x = 5 je spoločný menovateľ x(x - 5) nulový. Preto koreň našej rovnice

bude x = -2.

§ 4 Stručné zhrnutie lekcie

Dôležité mať na pamäti:

Pri riešení zlomkových racionálnych rovníc postupujte takto:

1. Nájdite spoločného menovateľa zlomkov zahrnutých v rovnici. Navyše, ak je možné rozdeliť menovateľov zlomkov, potom ich vynásobte a potom nájdite spoločného menovateľa.

2.Vynásobte obe strany rovnice spoločným menovateľom: nájdite ďalšie faktory, vynásobte čitateľa ďalšími faktormi.

3.Vyriešte výslednú celú rovnicu.

4. Odstráňte z koreňov tie, ktoré spôsobujú, že spoločný menovateľ zaniká.

Zoznam použitej literatúry:

Makarychev Yu.N., N.G Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Editoval Telyakovsky S.A. Algebra: učebnica. pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Vzdelávanie, 2013.
Mordkovich A.G. Algebra. 8. ročník: V dvoch častiach. Časť 1: Učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcií. - M.: Mnemosyne.
Rurukin A.N. Vývoj lekcií z algebry: 8. ročník - M.: VAKO, 2010.
Algebra 8. ročník: plány hodín podľa učebnice Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorová / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Učiteľ, 2005.

"Riešenie zlomkových racionálnych rovníc"

Ciele lekcie:

Vzdelávacie:

tvorba konceptu zlomkových racionálnych rovníc; zvážiť rôzne spôsoby riešenia zlomkových racionálnych rovníc; zvážiť algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc vrátane podmienky, že zlomok sa rovná nule; učiť riešenie zlomkových racionálnych rovníc pomocou algoritmu; overenie úrovne zvládnutia témy vykonaním testu.

vývojové:

rozvoj schopnosti správne pracovať s nadobudnutými vedomosťami a logicky myslieť; rozvoj intelektuálnych schopností a mentálnych operácií - analýza, syntéza, porovnávanie a zovšeobecňovanie; rozvoj iniciatívy, schopnosť robiť rozhodnutia a nezastaviť sa tam; rozvoj kritického myslenia; rozvoj výskumných zručností.

Vzdelávanie:

podpora kognitívneho záujmu o predmet; podpora samostatnosti pri riešení vzdelávacích problémov; pestovanie vôle a vytrvalosti dosiahnuť konečné výsledky.

Typ lekcie: lekcia - vysvetlenie novej látky.

Pokrok v lekcii

1. Organizačný moment.

Ahojte chalani! Na tabuli sú napísané rovnice, pozorne si ich pozrite. Dokážete vyriešiť všetky tieto rovnice? Ktoré nie sú a prečo?

Rovnice, v ktorých ľavá a pravá strana sú zlomkové racionálne vyjadrenia, sa nazývajú zlomkové racionálne rovnice. Čo si myslíte, že sa dnes budeme v triede učiť? Formulujte tému lekcie. Otvorte si teda zošity a zapíšte si tému lekcie „Riešenie zlomkových racionálnych rovníc“.

2. Aktualizácia vedomostí. Frontálny prieskum, ústna práca s triedou.

A teraz si zopakujeme hlavný teoretický materiál, ktorý budeme potrebovať na preštudovanie novej témy. Odpovedzte prosím na nasledujúce otázky:

1. Čo je to rovnica? ( Rovnosť s premennou alebo premennými.)

2. Ako sa volá rovnica č.1? ( Lineárne.) Metóda riešenia lineárnych rovníc. ( Presuňte všetko s neznámou na ľavú stranu rovnice, všetky čísla doprava. Uveďte podobné podmienky. Nájdite neznámy faktor).

3. Ako sa volá rovnica č.3? ( Štvorcový.) Metódy riešenia kvadratických rovníc. ( Izolácia celého štvorca pomocou vzorcov pomocou Vietovej vety a jej dôsledkov.)

4. Čo je to proporcia? ( Rovnosť dvoch pomerov.) Hlavná vlastnosť proporcie. ( Ak je pomer správny, potom sa súčin jeho extrémnych členov rovná súčinu stredných členov.)

5. Aké vlastnosti sa využívajú pri riešení rovníc? ( 1. Ak presuniete člen v rovnici z jednej časti do druhej a zmeníte jej znamienko, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej rovnici. 2. Ak sú obe strany rovnice vynásobené alebo delené rovnakým nenulovým číslom, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej rovnici.)

6. Kedy sa zlomok rovná nule? ( Zlomok sa rovná nule, keď je čitateľ nula a menovateľ nie je nula..)

3. Vysvetlenie nového materiálu.

Riešte rovnicu č.2 do zošitov a na tabuľu.

Odpoveď: 10.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu môžete skúsiť vyriešiť pomocou základnej vlastnosti proporcie? (č. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Riešte rovnicu č. 4 do zošitov a na tabuľu.

Odpoveď: 1,5.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu sa môžete pokúsiť vyriešiť vynásobením oboch strán rovnice menovateľom? (č. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Odpoveď: 3;4.

Teraz skúste vyriešiť rovnicu číslo 7 pomocou jednej z nasledujúcich metód.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Odpoveď: 0;5;-2.			Odpoveď: 5;-2.

Vysvetlite, prečo sa to stalo? Prečo sú v jednom prípade tri korene a v druhom dva? Aké čísla sú koreňmi tejto zlomkovej racionálnej rovnice?

Doteraz sa študenti s pojmom cudzieho koreňa nestretli, je pre nich skutočne veľmi ťažké pochopiť, prečo sa tak stalo. Ak nikto v triede nevie dať jasné vysvetlenie tejto situácie, potom učiteľ položí navádzacie otázky.

V rovniciach č.2 a 4 sú v menovateli čísla, č.5-7 sú výrazy s premennou

Hodnota premennej, pri ktorej sa rovnica stáva pravdivou

Vykonajte kontrolu

Pri testovaní si niektorí žiaci všimnú, že musia deliť nulou. Dospeli k záveru, že čísla 0 a 5 nie sú koreňmi tejto rovnice. Vynára sa otázka: existuje spôsob riešenia zlomkových racionálnych rovníc, ktorý nám umožní túto chybu odstrániť? Áno, táto metóda je založená na podmienke, že zlomok sa rovná nule.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ak x=5, potom x(x-5)=0, čo znamená, že 5 je cudzí koreň.

Ak x=-2, potom x(x-5)≠0.

Odpoveď: -2.

Skúsme týmto spôsobom sformulovať algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc. Deti formulujú algoritmus samy.

Algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetko na ľavú stranu.

2. Redukujte zlomky na spoločného menovateľa.

3. Vytvorte systém: zlomok sa rovná nule, keď sa čitateľ rovná nule a menovateľ sa nerovná nule.

4. Vyriešte rovnicu.

5. Skontrolujte nerovnosť, aby ste vylúčili cudzie korene.

6. Zapíšte si odpoveď.

Diskusia: ako formalizovať riešenie, ak použijete základnú vlastnosť proporcie a vynásobenia oboch strán rovnice spoločným menovateľom. (Doplňte k riešeniu: vylúčte z jeho koreňov tie, ktoré spôsobujú, že spoločný menovateľ zaniká).

4. Počiatočné pochopenie nového materiálu.

Pracujte vo dvojiciach. Študenti si sami vyberajú spôsob riešenia rovnice v závislosti od typu rovnice. Úlohy z učebnice „Algebra 8“, 2007: č. 000 (b, c, i); č. 000 (a, d, g). Učiteľ sleduje splnenie úlohy, odpovedá na prípadné otázky a poskytuje pomoc žiakom so slabým výkonom. Autotest: odpovede sú napísané na tabuli.

b) 2 – cudzí koreň. odpoveď: 3.

c) 2 – cudzí koreň. Odpoveď: 1.5.

a) Odpoveď: -12.5.

g) Odpoveď: 1;1.5.

5. Stanovenie domácich úloh.

2. Naučte sa algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc.

3. Riešte v zošitoch č. 000 (a, d, e); Č. 000 (g, h).

4. Skúste vyriešiť č. 000(a) (voliteľné).

6. Splnenie kontrolnej úlohy na preberanú tému.

Práca sa vykonáva na kusoch papiera.

Príklad úlohy:

A) Ktoré z rovníc sú zlomkové racionálne?

B) Zlomok sa rovná nule, ak je čitateľ _______________________ a menovateľ je ________________________.

Q) Je číslo -3 koreňom rovnice číslo 6?

D) Riešte rovnicu č.7.

Kritériá hodnotenia úlohy:

„5“ sa uvádza, ak študent správne dokončil viac ako 90 % úlohy. „4“ – 75%-89% „3“ – 50%-74% „2“ dostane študent, ktorý splnil menej ako 50 % úlohy. Hodnotenie 2 sa v časopise neuvádza, 3 je voliteľné.

7. Reflexia.

Na samostatné pracovné listy napíšte:

1 – ak bola lekcia pre vás zaujímavá a zrozumiteľná; 2 – zaujímavé, ale nejasné; 3 – nie zaujímavé, ale zrozumiteľné; 4 – nie je zaujímavé, nie je jasné.

8. Zhrnutie lekcie.

Dnes sme sa teda v lekcii zoznámili so zlomkovými racionálnymi rovnicami, naučili sme sa tieto rovnice riešiť rôznymi spôsobmi a otestovali si svoje vedomosti pomocou samostatnej vzdelávacej práce. Výsledky svojej samostatnej práce sa dozviete na ďalšej lekcii a doma budete mať možnosť upevniť si vedomosti.

Ktorá metóda riešenia zlomkových racionálnych rovníc je podľa vás jednoduchšia, dostupnejšia a racionálnejšia? Čo by ste si mali pamätať, bez ohľadu na metódu riešenia zlomkových racionálnych rovníc? V čom spočíva „prefíkanosť“ zlomkových racionálnych rovníc?

Ďakujem všetkým, lekcia sa skončila.

„Racionálne rovnice s polynómami“ sú jednou z najbežnejších tém testových úloh jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Z tohto dôvodu by sa ich opakovaniu mala venovať osobitná pozornosť. Mnohí študenti sa stretávajú s problémom nájsť diskriminant, preniesť ukazovatele z pravej strany na ľavú a priviesť rovnicu k spoločnému menovateľovi, a preto splnenie takýchto úloh spôsobuje ťažkosti. Riešenie racionálnych rovníc pri príprave na Jednotnú štátnu skúšku na našej webovej stránke vám pomôže rýchlo zvládnuť problémy akejkoľvek zložitosti a úspešne prejsť testom.

Vyberte si vzdelávací portál Shkolkovo, aby ste sa úspešne pripravili na jednotnú skúšku z matematiky!

Ak chcete poznať pravidlá výpočtu neznámych a ľahko získať správne výsledky, použite našu online službu. Portál Shkolkovo je jedinečná platforma, kde sa zhromažďujú materiály potrebné na prípravu na jednotnú štátnu skúšku. Naši učitelia systematizovali a zrozumiteľnou formou prezentovali všetky matematické pravidlá. Okrem toho pozývame školákov, aby si vyskúšali riešenie štandardných racionálnych rovníc, ktorých základ sa neustále aktualizuje a rozširuje.

Pre efektívnejšiu prípravu na testovanie odporúčame postupovať podľa našej špeciálnej metódy a začať s opakovaním pravidiel a riešením jednoduchých problémov, postupne prejsť k zložitejším. Absolvent tak bude vedieť identifikovať pre seba najťažšie témy a sústrediť sa na ich štúdium.

Začnite sa pripravovať na záverečný test so Shkolkovo už dnes a výsledky na seba nenechajú dlho čakať! Vyberte najjednoduchší príklad z uvedených. Ak si rýchlo osvojíte výraz, prejdite na ťažšiu úlohu. Takto si môžete zdokonaliť svoje znalosti až po riešenie USE úloh z matematiky na špecializovanej úrovni.

Školenie je dostupné nielen pre absolventov z Moskvy, ale aj pre školákov z iných miest. Strávte pár hodín denne napríklad štúdiom na našom portáli a už čoskoro si budete vedieť poradiť s rovnicami akejkoľvek zložitosti!

Ciele lekcie:

Vzdelávacie:

tvorba konceptu zlomkových racionálnych rovníc;
zvážiť rôzne spôsoby riešenia zlomkových racionálnych rovníc;
zvážiť algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc vrátane podmienky, že zlomok sa rovná nule;
učiť riešenie zlomkových racionálnych rovníc pomocou algoritmu;
overenie úrovne zvládnutia témy vykonaním testu.

vývojové:

rozvoj schopnosti správne pracovať s nadobudnutými vedomosťami a logicky myslieť;
rozvoj intelektuálnych schopností a mentálnych operácií - analýza, syntéza, porovnávanie a zovšeobecňovanie;
rozvoj iniciatívy, schopnosť robiť rozhodnutia a nezastaviť sa tam;
rozvoj kritického myslenia;
rozvoj výskumných zručností.

Vzdelávanie:

podpora kognitívneho záujmu o predmet;
podpora samostatnosti pri riešení vzdelávacích problémov;
pestovanie vôle a vytrvalosti dosiahnuť konečné výsledky.

Typ lekcie: lekcia - vysvetlenie novej látky.

Pokrok v lekcii

1. Organizačný moment.

Ahojte chalani! Na tabuli sú napísané rovnice, pozorne si ich pozrite. Dokážete vyriešiť všetky tieto rovnice? Ktoré nie sú a prečo?

2. Aktualizácia vedomostí. Frontálny prieskum, ústna práca s triedou.

A teraz si zopakujeme hlavný teoretický materiál, ktorý budeme potrebovať na preštudovanie novej témy. Odpovedzte prosím na nasledujúce otázky:

čo je rovnica? ( Rovnosť s premennou alebo premennými.)
Ako sa volá rovnica číslo 1? ( Lineárne.) Metóda riešenia lineárnych rovníc. ( Presuňte všetko s neznámou na ľavú stranu rovnice, všetky čísla doprava. Uveďte podobné podmienky. Nájdite neznámy faktor).
Ako sa volá rovnica číslo 3? ( Štvorcový.) Metódy riešenia kvadratických rovníc. ( Izolácia celého štvorca pomocou vzorcov pomocou Vietovej vety a jej dôsledkov.)
Čo je to proporcia? ( Rovnosť dvoch pomerov.) Hlavná vlastnosť proporcie. ( Ak je pomer správny, potom sa súčin jeho extrémnych členov rovná súčinu stredných členov.)
Aké vlastnosti sa používajú pri riešení rovníc? ( 1. Ak presuniete člen v rovnici z jednej časti do druhej a zmeníte jej znamienko, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej rovnici. 2. Ak sú obe strany rovnice vynásobené alebo delené rovnakým nenulovým číslom, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej rovnici.)
Kedy sa zlomok rovná nule? ( Zlomok sa rovná nule, keď je čitateľ nula a menovateľ nie je nula..)

3. Vysvetlenie nového materiálu.

Riešte rovnicu č.2 do zošitov a na tabuľu.

Odpoveď: 10.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu môžete skúsiť vyriešiť pomocou základnej vlastnosti proporcie? (č. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Riešte rovnicu č. 4 do zošitov a na tabuľu.

Odpoveď: 1,5.

Akú zlomkovú racionálnu rovnicu sa môžete pokúsiť vyriešiť vynásobením oboch strán rovnice menovateľom? (č. 6).

x 2 - 7 x + 12 = 0

D = 1>0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Odpoveď: 3;4.

Teraz skúste vyriešiť rovnicu číslo 7 pomocou jednej z nasledujúcich metód.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2-3x-10=0
x 1 = 0 x 2 = 5 D = 49
x 3 = 5 x 4 = -2			x 3 = 5 x 4 = -2
Odpoveď: 0;5;-2.			Odpoveď: 5;-2.

Vysvetlite, prečo sa to stalo? Prečo sú v jednom prípade tri korene a v druhom dva? Aké čísla sú koreňmi tejto zlomkovej racionálnej rovnice?

Čím sa líšia rovnice č. 2 a 4 od rovníc č. 5,6,7? ( V rovniciach č.2 a 4 sú v menovateli čísla, č.5-7 sú výrazy s premennou.)
Čo je koreňom rovnice? ( Hodnota premennej, pri ktorej sa rovnica stáva pravdivou.)
Ako zistiť, či je číslo koreňom rovnice? ( Vykonajte kontrolu.)

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ak x=5, potom x(x-5)=0, čo znamená, že 5 je cudzí koreň.

Ak x=-2, potom x(x-5)≠0.

Odpoveď: -2.

Skúsme týmto spôsobom sformulovať algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc. Deti formulujú algoritmus samy.

Algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc:

Presuňte všetko na ľavú stranu.
Zmenšiť zlomky na spoločného menovateľa.
Vytvorte systém: zlomok sa rovná nule, keď sa čitateľ rovná nule a menovateľ sa nerovná nule.
Vyriešte rovnicu.
Skontrolujte nerovnosť, aby ste vylúčili cudzie korene.
Zapíšte si odpoveď.

4. Počiatočné pochopenie nového materiálu.

Pracujte vo dvojiciach. Študenti si sami vyberajú spôsob riešenia rovnice v závislosti od typu rovnice. Úlohy z učebnice „Algebra 8“, Yu.N. Makarychev, 2007: č. 600(b,c,i); č. 601(a,e,g). Učiteľ sleduje splnenie úlohy, odpovedá na prípadné otázky a poskytuje pomoc žiakom so slabým výkonom. Autotest: odpovede sú napísané na tabuli.

b) 2 – cudzí koreň. odpoveď: 3.

c) 2 – cudzí koreň. Odpoveď: 1.5.

a) Odpoveď: -12.5.

g) Odpoveď: 1;1.5.

5. Stanovenie domácich úloh.

Prečítajte si odsek 25 z učebnice, analyzujte príklady 1-3.
Naučte sa algoritmus na riešenie zlomkových racionálnych rovníc.
Riešte v zošitoch č. 600 (a, d, e); Č. 601(g,h).
Skúste vyriešiť č. 696(a) (voliteľné).

6. Splnenie kontrolnej úlohy na preberanú tému.

Práca sa vykonáva na kusoch papiera.

Príklad úlohy:

A) Ktoré z rovníc sú zlomkové racionálne?

B) Zlomok sa rovná nule, ak je čitateľ _______________________ a menovateľ je ________________________.

Q) Je číslo -3 koreňom rovnice číslo 6?

D) Riešte rovnicu č.7.

Kritériá hodnotenia úlohy:

„5“ sa uvádza, ak študent správne dokončil viac ako 90 % úlohy.
"4" – 75 % – 89 %
"3" – 50 % – 74 %
„2“ dostane študent, ktorý splnil menej ako 50 % úlohy.
Hodnotenie 2 sa v časopise neuvádza, 3 je voliteľné.

7. Reflexia.

Na samostatné pracovné listy napíšte:

1 – ak bola lekcia pre vás zaujímavá a zrozumiteľná;
2 – zaujímavé, ale nejasné;
3 – nie zaujímavé, ale zrozumiteľné;
4 – nie je zaujímavé, nie je jasné.

8. Zhrnutie lekcie.

Ďakujem všetkým, lekcia sa skončila.