Po predbežnej delostreleckej príprave budú príklady s 3-4-5 hniezdeniami funkcií menej desivé. Nasledujúce dva príklady sa niekomu môžu zdať komplikované, ale ak ich pochopíte (niekto bude trpieť), tak takmer všetko ostatné v diferenciálnom počte vám bude pripadať ako detský vtip.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Ako už bolo uvedené, pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to predovšetkým potrebné Správne POCHOPTE svoje investície. V prípadoch, keď existujú pochybnosti, pripomínam vám užitočnú techniku: vezmeme napríklad experimentálnu hodnotu „x“ a pokúsime sa (mentálne alebo v koncepte) nahradiť túto hodnotu do „strašného výrazu“.

1) Najprv musíme vypočítať výraz, čo znamená, že súčet je najhlbšie vloženie.

2) Potom musíte vypočítať logaritmus:

4) Potom položte kosínus:

5) V piatom kroku je rozdiel:

6) A nakoniec najvzdialenejšia funkcia je druhá odmocnina:

Vzorec na diferenciáciu komplexnej funkcie sa aplikujú v opačnom poradí, od vonkajšej funkcie po najvnútornejšiu. Rozhodujeme sa:

Vyzerá to bez chýb:

1) Vezmite deriváciu druhej odmocniny.

2) Vezmite deriváciu rozdielu pomocou pravidla

3) Derivácia trojky je nula. V druhom člene vezmeme deriváciu stupňa (kocku).

4) Vezmite deriváciu kosínusu.

6) A nakoniec vezmeme derivát najhlbšieho vloženia.

Môže sa to zdať príliš ťažké, ale toto nie je najbrutálnejší príklad. Vezmite si napríklad Kuznecovovu zbierku a oceníte všetku krásu a jednoduchosť analyzovaného derivátu. Všimol som si, že radi dávajú podobnú vec na skúške, aby si overili, či študent rozumie, ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie, alebo nerozumie.

Nasledujúci príklad je na to, aby ste si ho vyriešili sami.

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Tip: Najprv použijeme pravidlá linearity a pravidlo diferenciácie produktu

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Je čas prejsť na niečo menšie a krajšie.
Nie je nezvyčajné, že príklad ukazuje súčin nie dvoch, ale troch funkcií. Ako nájsť deriváciu súčinu troch faktorov?

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Najprv sa pozrime, či je možné premeniť súčin troch funkcií na súčin dvoch funkcií? Napríklad, ak by sme v súčine mali dva polynómy, mohli by sme otvoriť zátvorky. Ale v uvažovanom príklade sú všetky funkcie odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.

V takýchto prípadoch je to nevyhnutné postupne uplatňovať pravidlo diferenciácie produktov dvakrát

Trik je v tom, že „y“ označujeme súčin dvoch funkcií: a „ve“ označujeme logaritmus: . Prečo sa to dá urobiť? Je to naozaj? - to nie je súčin dvoch faktorov a pravidlo nefunguje?! Nie je nič zložité:

Teraz zostáva použiť pravidlo druhýkrát do zátvorky:

Môžete sa tiež skrútiť a dať niečo zo zátvoriek, ale v tomto prípade je lepšie nechať odpoveď presne v tejto forme - bude to jednoduchšie skontrolovať.

Uvažovaný príklad možno vyriešiť druhým spôsobom:

Obe riešenia sú absolútne rovnocenné.

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad pre nezávislé riešenie vo vzorke je riešené pomocou prvej metódy.

Pozrime sa na podobné príklady so zlomkami.

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Môžete sem ísť niekoľkými spôsobmi:

Alebo takto:

Ale riešenie bude napísané kompaktnejšie, ak najprv použijeme pravidlo diferenciácie kvocientu , pričom pre celý čitateľ:

V zásade je príklad vyriešený a ak sa nechá tak, nebude to chyba. Ale ak máte čas, vždy je vhodné skontrolovať návrh, či sa dá odpoveď zjednodušiť?

Zredukujme vyjadrenie čitateľa na spoločného menovateľa a zbavme sa trojposchodovej štruktúry zlomku:

Nevýhodou dodatočných zjednodušení je, že existuje riziko, že sa pomýlite nie pri hľadaní derivátu, ale pri banálnych školských transformáciách. Na druhej strane učitelia často zadanie odmietnu a žiadajú, aby im „pripomenuli“ derivát.

Jednoduchší príklad, ktorý môžete vyriešiť sami:

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Pokračujeme v ovládaní metód hľadania derivácie a teraz zvážime typický prípad, keď sa na diferenciáciu navrhuje „strašný“ logaritmus.

Derivácia komplexnej funkcie. Príklady riešení

V tejto lekcii sa naučíme, ako nájsť derivácia komplexnej funkcie. Hodina je logickým pokračovaním lekcie Ako nájsť derivát?, v ktorej sme skúmali najjednoduchšie deriváty a oboznámili sa aj s pravidlami diferenciácie a niektorými technickými technikami hľadania derivátov. Ak teda nie ste veľmi dobrí s derivátmi funkcií alebo niektoré body v tomto článku nie sú úplne jasné, prečítajte si najprv vyššie uvedenú lekciu. Nalaďte sa prosím vážne - materiál nie je jednoduchý, ale aj tak sa ho pokúsim podať jednoducho a zrozumiteľne.

V praxi sa musíte veľmi často zaoberať deriváciou komplexnej funkcie, dokonca by som povedal, že takmer vždy, keď dostanete úlohy na nájdenie derivácií.

Pozrime sa na tabuľku pri pravidle (č. 5) na diferenciáciu komplexnej funkcie:

Poďme na to. V prvom rade si dajme pozor na vstup. Tu máme dve funkcie – a , pričom funkcia je, obrazne povedané, vnorená do funkcie . Funkcia tohto typu (keď je jedna funkcia vnorená do inej) sa nazýva komplexná funkcia.

Zavolám funkciu vonkajšia funkcia a funkciu – interná (alebo vnorená) funkcia.

! Tieto definície nie sú teoretické a nemali by sa objaviť v konečnom návrhu zadaní. Neformálne výrazy „vonkajšia funkcia“, „vnútorná“ funkcia používam len preto, aby som vám uľahčil pochopenie materiálu.

Ak chcete objasniť situáciu, zvážte:

Príklad 1

Nájdite deriváciu funkcie

Pod sínusom nemáme len písmeno „X“, ale celý výraz, takže nájdenie derivátu hneď z tabuľky nebude fungovať. Všimli sme si tiež, že tu nie je možné použiť prvé štyri pravidlá, zdá sa, že existuje rozdiel, ale faktom je, že sínus nemožno „roztrhať na kúsky“:

V tomto príklade je už z mojich vysvetlení intuitívne jasné, že funkcia je komplexná funkcia a polynóm je vnútorná funkcia (vloženie) a vonkajšia funkcia.

Prvý krokčo musíte urobiť pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to pochopiť, ktorá funkcia je vnútorná a ktorá vonkajšia.

V prípade jednoduchých príkladov sa zdá byť jasné, že pod sínus je vložený polynóm. Ale čo ak všetko nie je zrejmé? Ako presne určiť, ktorá funkcia je vonkajšia a ktorá vnútorná? Na tento účel navrhujem použiť nasledujúcu techniku, ktorú je možné vykonať mentálne alebo v koncepte.

Predstavme si, že na výpočet hodnoty výrazu at potrebujeme použiť kalkulačku (namiesto jednej môže byť ľubovoľné číslo).

Čo vypočítame ako prvé? V prvom rade budete musieť vykonať nasledujúcu akciu: , preto bude polynóm internou funkciou:

Po druhé bude potrebné nájsť, takže sínus – bude vonkajšia funkcia:

Po nás VYPREDANÉ Pri interných a externých funkciách je čas uplatniť pravidlo diferenciácie komplexných funkcií.

Začnime sa rozhodovať. Z triedy Ako nájsť derivát? pamätáme si, že návrh riešenia akejkoľvek derivácie vždy začína takto - výraz uzavrieme do zátvoriek a vpravo hore umiestnime ťah:

Najprv nájdeme deriváciu vonkajšej funkcie (sínus), pozrieme sa na tabuľku derivácií elementárnych funkcií a všimneme si, že . Všetky vzorce tabuľky sú použiteľné aj vtedy, ak je „x“ nahradené zložitým výrazom, v tomto prípade:

Upozorňujeme, že vnútorná funkcia sa nezmenil, nedotýkame sa ho.

No to je celkom zrejmé

Konečný výsledok použitia vzorca vyzerá takto:

Konštantný faktor je zvyčajne umiestnený na začiatku výrazu:

Ak dôjde k nejakému nedorozumeniu, zapíšte si riešenie na papier a znova si prečítajte vysvetlenia.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Ako vždy píšeme:

Poďme zistiť, kde máme vonkajšiu funkciu a kde vnútornú. Aby sme to dosiahli, snažíme sa (mentálne alebo v koncepte) vypočítať hodnotu výrazu v . Čo by ste mali urobiť ako prvé? Najprv musíte vypočítať, čomu sa rovná základňa: preto je polynóm vnútorná funkcia:

A až potom sa vykoná umocnenie, preto je výkonová funkcia vonkajšou funkciou:

Podľa vzorca musíte najskôr nájsť deriváciu vonkajšej funkcie, v tomto prípade stupeň. Požadovaný vzorec hľadáme v tabuľke: . Znova opakujeme: akýkoľvek tabuľkový vzorec platí nielen pre „X“, ale aj pre komplexný výraz. Výsledkom aplikácie pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie je teda:

Opäť zdôrazňujem, že keď vezmeme deriváciu vonkajšej funkcie, naša vnútorná funkcia sa nezmení:

Teraz už zostáva len nájsť veľmi jednoduchú deriváciu vnútornej funkcie a trochu upraviť výsledok:

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (odpoveď na konci hodiny).

Aby ste upevnili svoje chápanie derivácie komplexnej funkcie, uvediem príklad bez komentárov, skúste na to prísť sami, dôvod, kde je vonkajšia a kde vnútorná funkcia, prečo sú úlohy riešené týmto spôsobom?

Príklad 5

a) Nájdite deriváciu funkcie

b) Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Tu máme koreň a na rozlíšenie koreňa musí byť reprezentovaný ako mocnosť. Najprv teda uvedieme funkciu do tvaru vhodnej na diferenciáciu:

Pri analýze funkcie dospejeme k záveru, že súčet troch členov je vnútorná funkcia a umocnenie je vonkajšia funkcia. Aplikujeme pravidlo diferenciácie komplexných funkcií:

Stupeň opäť reprezentujeme ako radikál (odmocninu) a pre deriváciu vnútornej funkcie aplikujeme jednoduché pravidlo na derivovanie súčtu:

Pripravený. Môžete tiež zredukovať výraz na spoločného menovateľa v zátvorkách a zapísať všetko ako jeden zlomok. Je to, samozrejme, krásne, ale keď získate ťažkopádne dlhé deriváty, je lepšie to nerobiť (je ľahké sa zmiasť, urobiť zbytočnú chybu a pre učiteľa bude nepohodlné to kontrolovať).

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (odpoveď na konci hodiny).

Je zaujímavé poznamenať, že niekedy namiesto pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie môžete použiť pravidlo na diferenciáciu kvocientu , no takéto riešenie bude vyzerať ako vtipná zvrátenosť. Tu je typický príklad:

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete použiť pravidlo diferenciácie kvocientu , ale je oveľa výnosnejšie nájsť deriváciu pomocou pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:

Pripravíme funkciu na diferenciáciu - posunieme mínus z derivačného znamienka a zvýšime kosínus do čitateľa:

Kosínus je vnútorná funkcia, umocňovanie je vonkajšia funkcia.
Využime naše pravidlo:

Nájdeme deriváciu vnútornej funkcie a resetujeme kosínus späť:

Pripravený. V uvažovanom príklade je dôležité nenechať sa zmiasť v znameniach. Mimochodom, skúste to vyriešiť pomocou pravidla , odpovede sa musia zhodovať.

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (odpoveď na konci hodiny).

Doteraz sme sa zaoberali prípadmi, keď sme mali iba jedno hniezdenie v komplexnej funkcii. V praktických úlohách sa často dajú nájsť odvodeniny, kde sa ako hniezdiace bábiky jedna do druhej vnorí naraz 3 alebo aj 4-5 funkcií.

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Poďme pochopiť prílohy tejto funkcie. Skúsme vypočítať výraz pomocou experimentálnej hodnoty. Ako by sme rátali s kalkulačkou?

Najprv musíte nájsť , čo znamená, že arcsínus je najhlbšie vloženie:

Tento arkussínus jednej by sa potom mal odmocniť:

A nakoniec zdvihneme sedem na mocninu:

To znamená, že v tomto príklade máme tri rôzne funkcie a dve vloženia, pričom najvnútornejšia funkcia je arcsínus a najvzdialenejšia funkcia je exponenciálna funkcia.

Začnime sa rozhodovať

Podľa pravidla musíte najprv vziať deriváciu externej funkcie. Pozrieme sa na tabuľku derivácií a nájdeme deriváciu exponenciálnej funkcie: Jediný rozdiel je v tom, že namiesto „x“ máme komplexný výraz, ktorý nepopiera platnosť tohto vzorca. Takže výsledok aplikácie pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie je nasledujúci:

Pod ťahom máme opäť komplexnú funkciu! Ale už je to jednoduchšie. Je ľahké overiť, že vnútorná funkcia je arcsínus, vonkajšia funkcia je stupeň. Podľa pravidla pre diferenciáciu komplexnej funkcie musíte najprv vziať deriváciu mocniny.

Keďže ste sem prišli, pravdepodobne ste už tento vzorec videli v učebnici

a urobte tvár takto:

Priateľ, neboj sa! V skutočnosti je všetko jednoducho poburujúce. Určite všetko pochopíte. Len jedna prosba - prečítajte si článok dávať si na čas snažte sa pochopiť každý krok. Napísal som čo najjednoduchšie a najzrozumiteľnejšie, ale stále musíte pochopiť myšlienku. A nezabudnite vyriešiť úlohy z článku.

Čo je to komplexná funkcia?

Predstavte si, že sa sťahujete do iného bytu a preto balíte veci do veľkých krabíc. Predpokladajme, že potrebujete zbierať nejaké malé predmety, napríklad školské písacie potreby. Ak ich len hodíte do obrovskej krabice, okrem iného sa stratia. Aby ste tomu predišli, najskôr ich vložíte napríklad do vrecka, ktoré potom vložíte do veľkej škatule, ktorú následne zalepíte. Tento „komplexný“ proces je znázornený na obrázku nižšie:

Zdalo by sa, čo s tým má spoločné matematika? Áno, napriek tomu, že komplexná funkcia sa tvorí PRESNE ROVNAKÝM spôsobom! Len my „balíme“ nie zošity a perá, ale \(x\), pričom „balíky“ a „škatule“ sú odlišné.

Vezmime si napríklad x a „zabalíme“ ho do funkcie:

Výsledkom je, samozrejme, \(\cos⁡x\). Toto je naša „taška vecí“. Teraz to dáme do „škatule“ – zabalíme to napríklad do kubickej funkcie.

Čo sa nakoniec stane? Áno, je to tak, bude tam „taška vecí v škatuli“, to znamená „kosínus X na kocky“.

Výsledný dizajn je komplexná funkcia. V tom sa líši od jednoduchého NIEKOĽKO „dopadov“ (balíčkov) sa aplikuje na jeden X v rade a ukáže sa, že je to „funkcia z funkcie“ - „balenie v obale“.

V školskom kurze je veľmi málo typov týchto „balíčkov“, iba štyri:

Poďme teraz „zabaliť“ X najprv do exponenciálnej funkcie so základom 7 a potom do goniometrickej funkcie. Získame:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Teraz „zabalíme“ x dvakrát do goniometrických funkcií, najprv v a potom v:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Jednoduché, však?

Teraz napíšte funkcie sami, kde x:
- najprv sa „zabalí“ do kosínusu a potom do exponenciálnej funkcie so základom \(3\);
- najprv k piatej mocnine a potom k dotyčnici;
- najprv na logaritmus k základu \(4\) , potom na mocninu \(-2\).

Odpovede na túto úlohu nájdete na konci článku.

Môžeme „zbaliť“ X nie dva, ale trikrát? Áno, žiadny problém! A štyri, päť a dvadsaťpäťkrát. Tu je napríklad funkcia, v ktorej je x „zbalené“ \(4\)-krát:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ale takéto vzorce sa v školskej praxi nenájdu (študenti majú viac šťastia - tí môžu byť komplikovanejší☺).

"Rozbalenie" komplexnej funkcie

Pozrite sa znova na predchádzajúcu funkciu. Dokážete zistiť poradie „balenia“? Do čoho sa X napchalo ako prvé, do čoho potom a tak ďalej až do úplného konca. To znamená, ktorá funkcia je vnorená do ktorej? Vezmite si kus papiera a napíšte, čo si myslíte. Môžete to urobiť retiazkou so šípkami ako sme písali vyššie alebo iným spôsobom.

Teraz je správna odpoveď: najprv sa x „zabalilo“ do \(4\)-tej mocniny, potom sa výsledok zabalil do sínusu a ten sa zasa umiestnil do logaritmu na základ \(2\) , a nakoniec sa celá táto konštrukcia šupla do silových pätiek.

To znamená, že musíte rozvinúť sekvenciu V OPAČNOM PORADÍ. A tu je rada, ako to urobiť jednoduchšie: okamžite sa pozrite na X – mali by ste z neho tancovať. Pozrime sa na pár príkladov.

Napríklad tu je nasledujúca funkcia: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Pozeráme sa na X – čo sa s ním stane ako prvé? Prevzaté od neho. A potom? Zoberie sa tangens výsledku. Postupnosť bude rovnaká:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Ďalší príklad: \(y=\cos⁡((x^3))\). Poďme analyzovať - ​​najprv sme X na kocky a potom vzali kosínus výsledku. To znamená, že postupnosť bude: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Venujte pozornosť, funkcia sa zdá byť podobná úplne prvej (kde má obrázky). Ale toto je úplne iná funkcia: tu v kocke je x (to znamená \(\cos⁡((x·x·x)))\) a tam v kocke je kosínus \(x\) ( tj \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Tento rozdiel vyplýva z rôznych „baliacich“ sekvencií.

Posledný príklad (s dôležitými informáciami v ňom): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Je jasné, že tu najprv robili aritmetické operácie s x, potom vzali sínus výsledku: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). A to je dôležitý bod: napriek tomu, že aritmetické operácie nie sú samy osebe funkciami, tu fungujú aj ako spôsob „zbalenia“. Poďme sa ponoriť trochu hlbšie do tejto jemnosti.

Ako som povedal vyššie, v jednoduchých funkciách je x „zabalené“ raz a v zložitých funkciách - dva alebo viac. Navyše, každá kombinácia jednoduchých funkcií (to znamená ich súčet, rozdiel, násobenie alebo delenie) je tiež jednoduchou funkciou. Napríklad \(x^7\) je jednoduchá funkcia a rovnako aj \(ctg x\). To znamená, že všetky ich kombinácie sú jednoduché funkcie:

\(x^7+ ctg x\) - jednoduché,
\(x^7· postieľka x\) – jednoduché,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – jednoduché atď.

Ak sa však na takúto kombináciu použije ešte jedna funkcia, stane sa z nej komplexná funkcia, pretože budú existovať dva „balíky“. Pozri diagram:

Dobre, pokračuj teraz. Napíšte postupnosť „baliacich“ funkcií:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odpovede sú opäť na konci článku.

Vnútorné a vonkajšie funkcie

Prečo musíme rozumieť vnoreniu funkcií? Čo nám to dáva? Faktom je, že bez takejto analýzy nebudeme schopní spoľahlivo nájsť deriváty vyššie uvedených funkcií.

A aby sme sa pohli ďalej, budeme potrebovať ešte dva pojmy: interné a externé funkcie. Je to veľmi jednoduchá vec, navyše sme ich už analyzovali vyššie: ak si spomenieme na našu analógiu na samom začiatku, potom je vnútorná funkcia „balíček“ a vonkajšia funkcia je „škatuľka“. Tie. to, v čom je X „zabalené“ ako prvé, je vnútorná funkcia a to, do čoho je „zabalená“ vnútorná funkcia, je už externé. No, je jasné prečo - je vonku, to znamená externe.

V tomto príklade: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcia \(\log_2⁡x\) je interná a
- vonkajší.

A v tomto: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) je interné a
- vonkajší.

Dokončite posledný nácvik analýzy komplexných funkcií a prejdime konečne k tomu, s čím sme všetci začali – nájdeme deriváty komplexných funkcií:

Vyplňte prázdne miesta v tabuľke:

Derivácia komplexnej funkcie

Bravo, konečne sme sa dostali k „šéfovi“ tejto témy – vlastne k derivácii komplexnej funkcie a konkrétne k tej strašnej formulke z úvodu článku.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Tento vzorec znie takto:

Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie vonkajšej funkcie vzhľadom na konštantnú vnútornú funkciu a deriváciu vnútornej funkcie.

A okamžite sa pozrite na diagram analýzy podľa slov, aby ste pochopili, čo robiť s čím:

Dúfam, že výrazy „derivát“ a „produkt“ nespôsobujú žiadne ťažkosti. „Komplexná funkcia“ - už sme to vyriešili. Háčik je v „deriváte vonkajšej funkcie vzhľadom na konštantnú vnútornú funkciu“. čo je to?

Odpoveď: Toto je obvyklá derivácia vonkajšej funkcie, pri ktorej sa mení iba vonkajšia funkcia a vnútorná zostáva rovnaká. Stále nie je jasné? Dobre, použime príklad.

Majme funkciu \(y=\sin⁡(x^3)\). Je jasné, že vnútorná funkcia je tu \(x^3\) a vonkajšia
. Nájdime teraz derivát exteriéru vzhľadom na konštantný interiér.

Komplexné deriváty. Logaritmická derivácia.
Derivácia mocninnej exponenciálnej funkcie

Pokračujeme v zlepšovaní našej techniky diferenciácie. V tejto lekcii si upevníme preberaný materiál, pozrieme sa na zložitejšie deriváty a tiež sa zoznámime s novými technikami a trikmi na nájdenie derivátu, najmä s logaritmickou deriváciou.

Tí čitatelia, ktorí majú nízku úroveň prípravy, by si mali prečítať článok Ako nájsť derivát? Príklady riešení, čo vám umožní zlepšiť svoje zručnosti takmer od nuly. Ďalej si musíte stránku dôkladne preštudovať Derivácia komplexnej funkcie, pochopiť a vyriešiť Všetky príklady, ktoré som uviedol. Táto lekcia je logicky tretia a po jej zvládnutí s istotou rozlišujete pomerne zložité funkcie. Je nežiaduce zastávať pozíciu „Kde inde? To je dosť!“, pretože všetky príklady a riešenia sú prevzaté z reálnych testov a v praxi sa s nimi často stretávame.

Začnime opakovaním. V triede Derivácia komplexnej funkcie Pozreli sme sa na množstvo príkladov s podrobnými komentármi. V priebehu štúdia diferenciálneho počtu a iných odvetví matematickej analýzy budete musieť veľmi často rozlišovať a nie vždy je vhodné (a nie vždy potrebné) opisovať príklady veľmi podrobne. Preto si hľadanie derivátov precvičíme ústne. Najvhodnejšími „kandidátmi“ na to sú deriváty najjednoduchších zložitých funkcií, napríklad:

Podľa pravidla diferenciácie komplexných funkcií :

Pri štúdiu iných matanských tém v budúcnosti sa takýto podrobný záznam najčastejšie nevyžaduje, predpokladá sa, že študent vie nájsť takéto deriváty na autopilotovi. Predstavme si, že o tretej hodine ráno zazvonil telefón a príjemný hlas sa spýtal: „Aká je derivácia dotyčnice dvoch X? Potom by mala nasledovať takmer okamžitá a zdvorilá odpoveď: .

Prvý príklad bude okamžite určený na samostatné riešenie.

Príklad 1

Nájdite nasledujúce deriváty ústne, v jednej akcii, napríklad: . Na dokončenie úlohy stačí použiť tabuľka derivácií elementárnych funkcií(ak si si to ešte nepamätal). Ak máte nejaké ťažkosti, odporúčam si lekciu znovu prečítať Derivácia komplexnej funkcie.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpovede na konci hodiny

Komplexné deriváty

Po predbežnej delostreleckej príprave budú príklady s 3-4-5 hniezdeniami funkcií menej desivé. Nasledujúce dva príklady sa niekomu môžu zdať komplikované, ale ak ich pochopíte (niekto bude trpieť), tak takmer všetko ostatné v diferenciálnom počte vám bude pripadať ako detský vtip.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Ako už bolo uvedené, pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to predovšetkým potrebné Správne POCHOPTE svoje investície. V prípadoch, keď existujú pochybnosti, pripomínam vám užitočnú techniku: vezmeme napríklad experimentálnu hodnotu „x“ a pokúsime sa (mentálne alebo v koncepte) nahradiť túto hodnotu do „strašného výrazu“.

1) Najprv musíme vypočítať výraz, čo znamená, že súčet je najhlbšie vloženie.

2) Potom musíte vypočítať logaritmus:

4) Potom položte kosínus:

5) V piatom kroku je rozdiel:

6) A nakoniec najvzdialenejšia funkcia je druhá odmocnina:

Vzorec na diferenciáciu komplexnej funkcie sa aplikujú v opačnom poradí, od vonkajšej funkcie po najvnútornejšiu. Rozhodujeme sa:

Zdá sa, že neexistujú žiadne chyby...

(1) Vezmite deriváciu druhej odmocniny.

(2) Zoberieme deriváciu rozdielu pomocou pravidla

(3) Derivácia trojky je nula. V druhom člene vezmeme deriváciu stupňa (kocku).

(4) Vezmite deriváciu kosínusu.

(5) Vezmite deriváciu logaritmu.

(6) A nakoniec vezmeme derivát najhlbšieho vloženia .

Môže sa to zdať príliš ťažké, ale toto nie je najbrutálnejší príklad. Vezmite si napríklad Kuznecovovu zbierku a oceníte všetku krásu a jednoduchosť analyzovaného derivátu. Všimol som si, že radi dávajú podobnú vec na skúške, aby si overili, či študent rozumie, ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie, alebo nerozumie.

Nasledujúci príklad je na to, aby ste si ho vyriešili sami.

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Tip: Najprv použijeme pravidlá linearity a pravidlo diferenciácie produktu

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Je čas prejsť na niečo menšie a krajšie.
Nie je nezvyčajné, že príklad ukazuje súčin nie dvoch, ale troch funkcií. Ako nájsť deriváciu súčinu troch faktorov?

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Najprv sa pozrime, či je možné premeniť súčin troch funkcií na súčin dvoch funkcií? Napríklad, ak by sme v súčine mali dva polynómy, mohli by sme otvoriť zátvorky. Ale v uvažovanom príklade sú všetky funkcie odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.

V takýchto prípadoch je to nevyhnutné postupne uplatňovať pravidlo diferenciácie produktov dvakrát

Trik je v tom, že „y“ označujeme súčin dvoch funkcií: a „ve“ označujeme logaritmus: . Prečo sa to dá urobiť? Je to naozaj? – to nie je súčin dvoch faktorov a pravidlo nefunguje?! Nie je nič zložité:

Teraz zostáva použiť pravidlo druhýkrát do zátvorky:

Môžete sa tiež skrútiť a dať niečo zo zátvoriek, ale v tomto prípade je lepšie nechať odpoveď presne v tejto forme - bude to jednoduchšie skontrolovať.

Uvažovaný príklad možno vyriešiť druhým spôsobom:

Obe riešenia sú absolútne rovnocenné.

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad pre nezávislé riešenie vo vzorke je riešené pomocou prvej metódy.

Pozrime sa na podobné príklady so zlomkami.

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Môžete sem ísť niekoľkými spôsobmi:

Alebo takto:

Ale riešenie bude napísané kompaktnejšie, ak najprv použijeme pravidlo diferenciácie kvocientu , pričom pre celý čitateľ:

V zásade je príklad vyriešený a ak sa nechá tak, nebude to chyba. Ale ak máte čas, vždy je vhodné skontrolovať návrh, či sa dá odpoveď zjednodušiť? Zredukujme vyjadrenie čitateľa na spoločného menovateľa a zbavme sa trojposchodového zlomku:

Nevýhodou dodatočných zjednodušení je, že existuje riziko, že sa pomýlite nie pri hľadaní derivátu, ale pri banálnych školských transformáciách. Na druhej strane učitelia často zadanie odmietnu a žiadajú, aby im „pripomenuli“ derivát.

Jednoduchší príklad, ktorý môžete vyriešiť sami:

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Pokračujeme v ovládaní metód hľadania derivácie a teraz zvážime typický prípad, keď sa na diferenciáciu navrhuje „strašný“ logaritmus.

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete prejsť dlhú cestu pomocou pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie:

Ale hneď prvý krok vás okamžite uvrhne do skľúčenosti - musíte vziať nepríjemnú deriváciu z zlomkovej mocniny a potom aj zo zlomku.

Preto predtým ako vziať deriváciu „sofistikovaného“ logaritmu, najprv sa zjednoduší pomocou dobre známych školských vlastností:

! Ak máte po ruke cvičný zošit, skopírujte si tieto vzorce priamo tam. Ak nemáte poznámkový blok, skopírujte si ich na kus papiera, pretože zvyšné príklady lekcie sa budú točiť okolo týchto vzorcov.

Samotné riešenie môže byť napísané asi takto:

Transformujme funkciu:

Nájdenie derivátu:

Predkonverzia samotnej funkcie značne zjednodušila riešenie. Preto, keď sa navrhuje podobný logaritmus na diferenciáciu, vždy sa odporúča „rozbiť“.

A teraz pár jednoduchých príkladov, ktoré môžete vyriešiť sami:

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Všetky transformácie a odpovede sú na konci lekcie.

Logaritmická derivácia

Ak je derivácia logaritmu taká sladká hudba, potom vyvstáva otázka: je možné v niektorých prípadoch logaritmus umelo usporiadať? Môže! A dokonca nevyhnutné.

Príklad 11

Nájdite deriváciu funkcie

Nedávno sme sa pozreli na podobné príklady. čo robiť? Postupne môžete použiť pravidlo diferenciácie kvocientu a potom pravidlo diferenciácie produktu. Nevýhodou tejto metódy je, že skončíte s obrovským trojposchodovým zlomkom, s ktorým sa vôbec nechcete zaoberať.

Ale v teórii a praxi existuje taká úžasná vec ako logaritmická derivácia. Logaritmy možno umelo organizovať ich „zavesením“ na obe strany:

Teraz musíte čo najviac „rozbiť“ logaritmus pravej strany (vzorce pred vašimi očami?). Popíšem tento proces veľmi podrobne:

Začnime s diferenciáciou.
Obe časti uzatvárame pod prvočíslom:

Derivát pravej strany je celkom jednoduchý, nebudem to komentovať, pretože ak čítate tento text, mali by ste s ním sebavedomo narábať.

A čo ľavá strana?

Na ľavej strane máme komplexná funkcia. Predpokladám otázku: „Prečo, je pod logaritmom jedno písmeno „Y“?

Faktom je, že táto „hra s jedným písmenom“ - JE SAMA FUNKCIOU(ak to nie je veľmi jasné, pozrite si článok Derivácia implicitne špecifikovanej funkcie). Preto je logaritmus vonkajšia funkcia a „y“ je vnútorná funkcia. A používame pravidlo na diferenciáciu komplexnej funkcie :

Na ľavej strane akoby mávnutím kúzla máme derivát. Ďalej, podľa pravidla proporcie, prenesieme „y“ z menovateľa ľavej strany do hornej časti pravej strany:

A teraz si spomeňme, o akej funkcii „hráča“ sme hovorili pri rozlišovaní? Pozrime sa na stav:

Konečná odpoveď:

Príklad 12

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Vzorový návrh príkladu tohto typu je na konci lekcie.

Pomocou logaritmickej derivácie bolo možné vyriešiť ktorýkoľvek z príkladov č. 4-7, ďalšia vec je, že funkcie sú tam jednoduchšie a možno použitie logaritmickej derivácie nie je veľmi opodstatnené.

Derivácia mocninnej exponenciálnej funkcie

O tejto funkcii sme zatiaľ neuvažovali. Mocninno-exponenciálna funkcia je funkcia, pre ktorú stupeň aj základ závisia od „x“. Klasický príklad, ktorý vám bude poskytnutý v akejkoľvek učebnici alebo prednáške:

Ako nájsť deriváciu mocninno-exponenciálnej funkcie?

Je potrebné použiť práve diskutovanú techniku ​​- logaritmickú deriváciu. Logaritmy zavesíme na obe strany:

Spravidla sa na pravej strane stupeň odoberá spod logaritmu:

Výsledkom je, že na pravej strane máme súčin dvoch funkcií, ktoré budú diferencované podľa štandardného vzorca .

Nájdeme derivát, aby sme to urobili, uzatvoríme obe časti pod ťahy:

Ďalšie akcie sú jednoduché:

Nakoniec:

Ak niektorý prevod nie je úplne jasný, prečítajte si pozorne vysvetlenia príkladu č. 11.

V praktických úlohách bude mocninno-exponenciálna funkcia vždy zložitejšia ako diskutovaný príklad z prednášky.

Príklad 13

Nájdite deriváciu funkcie

Používame logaritmickú deriváciu.

Na pravej strane máme konštantu a súčin dvoch faktorov – „x“ a „logaritmus logaritmu x“ (pod logaritmus je vnorený ďalší logaritmus). Pri diferencovaní, ako si pamätáme, je lepšie okamžite presunúť konštantu z derivačného znamienka, aby neprekážala; a samozrejme uplatňujeme známe pravidlo :

Ako vidíte, algoritmus na použitie logaritmickej derivácie neobsahuje žiadne špeciálne triky alebo triky a nájdenie derivácie mocninovej exponenciálnej funkcie zvyčajne nie je spojené s „mučením“.

Uvádzajú sa príklady výpočtu derivácií pomocou vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie.

Tu uvádzame príklady výpočtu derivácií nasledujúcich funkcií:
; ; ; ; .

Ak funkcia môže byť reprezentovaná ako komplexná funkcia v nasledujúcom tvare:
,
potom je jeho derivát určený vzorcom:
.
V nižšie uvedených príkladoch napíšeme tento vzorec takto:
.
Kde .
Tu dolné indexy alebo , ktoré sa nachádzajú pod znamienkom derivácie, označujú premenné, pomocou ktorých sa vykonáva diferenciácia.

Zvyčajne sa v tabuľkách derivácií uvádzajú derivácie funkcií od premennej x.

X je však formálny parameter. Premenná x môže byť nahradená akoukoľvek inou premennou. Preto pri derivácii funkcie od premennej jednoducho zmeníme v tabuľke derivácií premennú x na premennú u.

Jednoduché príklady

Príklad 1
.

Nájdite deriváciu komplexnej funkcie

Riešenie
.
Napíšme danú funkciu v ekvivalentnom tvare:
;
.

V tabuľke derivátov nájdeme:
.
Podľa vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie máme:

tu .

Odpoveď

Príklad 2
.

Nájdite deriváciu komplexnej funkcie

Nájdite derivát
.

.
Podľa vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie máme:

tu .

Z derivačného znamienka vyberieme konštantu 5 a z tabuľky derivácií nájdeme:

Príklad 3
.

Nájdite deriváciu komplexnej funkcie

Nájdite derivát -1 Vytiahneme konštantu
;
pre znamienko derivácie a z tabuľky derivácií nájdeme:
.

Z tabuľky derivátov zistíme:
.
Podľa vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie máme:

tu .

Použijeme vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie:

Zložitejšie príklady V zložitejších príkladoch aplikujeme pravidlo pre diferenciáciu komplexnej funkcie niekoľkokrát. V tomto prípade vypočítame deriváciu od konca. To znamená, že funkciu rozdelíme na jednotlivé časti a pomocou nich nájdeme derivácie najjednoduchších častí tabuľku derivátov . Používame tiež pravidlá pre diferenciáciu súm

, produkty a frakcie. Potom urobíme substitúcie a použijeme vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie.

Príklad 3
.

Nájdite deriváciu komplexnej funkcie

Príklad 4

.
Vyberme najjednoduchšiu časť vzorca a nájdime jeho derivát. .
.

Tu sme použili notáciu
.

Pomocou získaných výsledkov nájdeme deriváciu ďalšej časti pôvodnej funkcie. Aplikujeme pravidlo na rozlíšenie súčtu:

.
Podľa vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie máme:

tu .

Opäť aplikujeme pravidlo diferenciácie komplexných funkcií.

Príklad 5
.

Nájdite deriváciu komplexnej funkcie

Nájdite deriváciu funkcie

Vyberme najjednoduchšiu časť vzorca a nájdime jeho deriváciu z tabuľky derivácií. .
.
Uplatňujeme pravidlo diferenciácie komplexných funkcií.
.