Typ lekcie:

Typ lekcie: Prednáška, hodina riešenia problémov.

Trvanie: 2 hodiny.

góly: 1) Naučte sa grafickú metódu.

2) Ukážte využitie programu Maple pri riešení sústav nerovníc pomocou grafickej metódy.

3) Rozvíjajte vnímanie a myslenie na túto tému.

Plán lekcie:

Priebeh lekcie.

Fáza 1: Grafická metóda pozostáva z konštrukcie súboru uskutočniteľných riešení PLP a nájdenia v tomto súbore bodu zodpovedajúceho cieľovej funkcii max/min.

Vzhľadom na obmedzené možnosti vizuálneho grafického znázornenia sa táto metóda používa len pre systémy lineárnych nerovností s dvoma neznámymi a systémy, ktoré je možné redukovať do tejto podoby.

Aby sme jasne ukázali grafickú metódu, vyriešme nasledujúci problém:

1. V prvej fáze je potrebné vybudovať región realizovateľných riešení. Pre tento príklad je najvhodnejšie vybrať X2 ako úsečku a X1 ako ordinátu a nerovnosti zapísať v nasledujúcom tvare:

Keďže grafy aj oblasť realizovateľných riešení sú v prvom štvrťroku. Aby sme našli hraničné body, riešime rovnice (1)=(2), (1)=(3) a (2)=(3).

Ako je možné vidieť z ilustrácie, mnohosten ABCDE tvorí oblasť realizovateľných riešení.

Ak oblasť realizovateľných riešení nie je uzavretá, potom buď max(f)=+ ?, alebo min(f)= -?.

2. Teraz môžeme pristúpiť k priamemu hľadaniu maxima funkcie f.

Striedavým dosadzovaním súradníc vrcholov mnohostenu do funkcie f a porovnávaním hodnôt zistíme, že f(C)=f(4;1)=19 je maximum funkcie.

Tento prístup je celkom výhodný s malým počtom vrcholov. Ale tento postup môže trvať dlho, ak existuje pomerne veľa vrcholov.

V tomto prípade je vhodnejšie uvažovať o nivelačnej čiare v tvare f=a. Pri monotónnom náraste čísla a od -? na +? priamky f=a sú posunuté pozdĺž normálového vektora Normálny vektor má súradnice (C1;C2), kde C1 a C2 sú koeficienty pre neznáme v cieľovej funkcii f=C1?X1+C2?X2+C0.. Ak. pri takomto pohybe nivelety je určitý bod X je prvým spoločným bodom definičného oboru realizovateľných riešení (polyhedron ABCDE) a nivelety, potom f(X) je minimum f na množine ABCDE. Ak je X posledným priesečníkom čiary úrovne a množiny ABCDE, potom f(X) je maximum na množine realizovateľných riešení. Ak za >-? priamka f=a pretína množinu realizovateľných riešení, potom min(f)= -?. Ak sa to stane pre a>+?, potom max(f)=+?.

V našom príklade priamka f=a pretína oblasť ABCDE v bode C(4;1). Keďže toto je posledný priesečník, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Vyriešte sústavu nerovností graficky. Nájdite rohové riešenia.

x1>= 0, x2>=0

> s(zápletkami);

> with(plottools);

> S1:=riešiť((f1x = X6, f2x = X6), );

Odpoveď: Všetky body Si, kde i=1..10, pre ktoré sú x a y kladné.

Oblasť obmedzená týmito bodmi: (54/11,2/11) (5/7,60/7) (0,5) (10/3, 10/3)

3. fáza Každý študent dostane jednu z 20 možností, v ktorej je študent požiadaný, aby samostatne vyriešil nerovnicu pomocou grafickej metódy a zvyšné príklady sú uvedené ako domáca úloha.

Lekcia č. 4 Grafické riešenie úlohy lineárneho programovania

Typ lekcie: lekcia učenia sa nového materiálu.

Typ lekcie: Prednáška + hodina riešenia problémov.

Trvanie: 2 hodiny.

ciele: 1) Preštudujte si grafické riešenie úlohy lineárneho programovania.

2) Naučte sa používať program Maple pri riešení úlohy lineárneho programovania.

2) Rozvíjať vnímanie a myslenie.

Plán lekcie: 1. fáza: učenie sa nového materiálu.

Fáza 2: Práca na novom materiáli v matematickom balíku Maple.

3. fáza: kontrola preberanej látky a domácich úloh.

Priebeh lekcie.

Grafická metóda je pomerne jednoduchá a intuitívna na riešenie problémov lineárneho programovania s dvoma premennými. Je založená na geometrický prezentácia realizovateľných riešení a TF problému.

Každá z nerovníc úlohy lineárneho programovania (1.2) definuje určitú polrovinu na súradnicovej rovine (obr. 2.1) a sústava nerovníc ako celok definuje priesečník príslušných rovín. Množina priesečníkov týchto polrovín sa nazýva oblasť realizovateľných riešení(RSO). RSO vždy predstavuje konvexné postava, t.j. majúci nasledujúcu vlastnosť: ak dva body A a B patria tomuto obrázku, potom mu patrí celý segment AB. ODR môže byť graficky znázornené ako konvexný polygón, neobmedzená konvexná polygonálna oblasť, segment, lúč alebo jeden bod. Ak je systém obmedzení v probléme (1.2) nekonzistentný, ODS je prázdna množina.

Všetko uvedené platí aj pre prípad, keď systém obmedzení (1.2) zahŕňa rovnosť, keďže akákoľvek rovnosť

možno znázorniť ako systém dvoch nerovností (pozri obr. 2.1)

Digitálny filter s pevnou hodnotou definuje priamku v rovine. Zmenou hodnôt L dostaneme rodinu rovnobežných čiar tzv úrovňové čiary.

Dôvodom je skutočnosť, že zmena hodnoty L bude mať za následok zmenu iba dĺžky segmentu odrezaného čiarou úrovne na osi (počiatočná ordináta) a uhlový koeficient priamky zostane konštantný (pozri Obr. 2.1). Preto na jeho vyriešenie bude stačiť skonštruovať jednu z úrovňových čiar, ľubovoľne zvoliť hodnotu L.

Vektor so súradnicami z CF koeficientov na a je kolmý na každú z čiar úrovne (pozri obr. 2.1). Smer vektora sa zhoduje so smerom zvyšujúci sa TF, čo je dôležitý bod pre riešenie problémov. Smer zostupne CF je opačný ako smer vektora.

Podstata grafickej metódy je nasledovná. V smere (proti smeru) vektora v ODR sa hľadá optimálny bod. Optimálny bod je bod, ktorým prechádza úrovňová čiara, zodpovedajúca najväčšej (najmenšej) hodnote funkcie. Optimálne riešenie sa vždy nachádza na hranici ODD, napríklad pri poslednom vrchole polygónu ODD, ktorým bude prechádzať cieľová čiara, alebo na celej jej strane.

Pri hľadaní optimálneho riešenia problémov lineárneho programovania sú možné tieto situácie: existuje jedinečné riešenie problému; existuje nekonečné množstvo riešení (alternatíva); TF nie je obmedzená; oblasť realizovateľných riešení je jeden bod; problém nemá riešenia.

Obrázok 2.1 Geometrická interpretácia obmedzení a CF problému.

Technika riešenia úloh LP pomocou grafickej metódy

I. V obmedzeniach problému (1.2) nahraďte znamienka nerovností presnými znamienkami rovnosti a vytvorte zodpovedajúce priame čiary.

II. Nájdite a vytieňujte polroviny povolené každým z obmedzení nerovností problému (1.2). Aby ste to dosiahli, musíte dosadiť súradnice bodu [napríklad (0;0)] do konkrétnej nerovnosti a skontrolovať pravdivosť výslednej nerovnosti.

Ak nerovnosť je pravda,

To je potrebné zatieniť polrovinu obsahujúcu tento bod;

inak(nerovnosť je nepravdivá) musíme zatieniť polrovinu, ktorá neobsahuje daný bod.

Keďže a musia byť nezáporné, ich prípustné hodnoty budú vždy nad osou a napravo od osi, t.j. v prvom kvadrante.

Obmedzenia rovnosti umožňujú len tie body, ktoré ležia na zodpovedajúcej priamke. Preto je potrebné takéto rovné čiary na grafe zvýrazniť.

III. Definujte ODR ako časť roviny, ktorá súčasne patrí do všetkých povolených oblastí a vyberte ju. Ak neexistuje ODD, problém nemá žiadne riešenia.

IV. Ak ODR nie je prázdna množina, potom musíte zostrojiť cieľovú čiaru, t.j. ktorúkoľvek z čiar úrovne (kde L je ľubovoľné číslo, napríklad násobok, t.j. vhodné na výpočty). Konštrukčná metóda je podobná konštrukcii priamych obmedzení.

V. Zostrojte vektor, ktorý začína v bode (0;0) a končí v bode. Ak sú cieľová čiara a vektor správne skonštruované, budú kolmý.

VI. Pri hľadaní maximálneho CF musíte posunúť cieľovú čiaru v smere vektor, pri hľadaní minimálneho CF - proti smeru vektor. Posledný vrchol ODR v smere pohybu bude bodom maxima alebo minima CF. Ak takýto bod (body) neexistuje, môžeme z toho vyvodiť záver neobmedzený TF na mnohých plánoch zhora (pri hľadaní maxima) alebo zdola (pri hľadaní minima).

VII. Určte súradnice bodu max (min) digitálneho filtra a vypočítajte hodnotu digitálneho filtra. Na výpočet súradníc optimálneho bodu je potrebné vyriešiť sústavu rovníc priamok, na ktorých priesečníku sa nachádza.

Vyriešte problém lineárneho programovania

1. f(x)=2x1+x2 ->extr

x1>= 0, x2>=0

> grafy((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2..5, b=-2..5, možnosti možné=(farba=červená),

optionsopen=(farba=modrá, hrúbka=2),

možnostizatvorené=(farba=zelená, hrúbka=3),

optionsexcluded=(color=yellow));

> s (simplex):

> C:=( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=setup(( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

> n:=základ(dp);

Sh display(C,);

> L:=cterm(C);

Sh X:=dual(f,C,p);

Sh f_max:=subs(R,f);

Sh R1:=minimalizovať(f,C,NEZÁVAŽNÉ);

f_min:=subs(R1,f);

ODPOVEĎ: Kedy x 1 =5/4 x 2 =5/4 f_max=15/4; o x 1 =0 x 2 =0 f_min=0;

Lekcia č.5. Riešenie maticových hier metódami lineárneho programovania a simplexovou metódou

Typ lekcie: kontrola lekcie + lekcia učenie nového materiálu. Typ lekcie: Prednáška.

Trvanie: 2 hodiny.

góly: 1) Skontrolujte a upevnite si vedomosti z minulých materiálov v predchádzajúcich lekciách.

2) Naučte sa novú metódu riešenia maticových hier.

3) rozvíjať pamäť, matematické myslenie a pozornosť.

Fáza 1: skontrolujte svoju domácu úlohu ako samostatnú prácu.

2. fáza: uveďte stručný popis cikcakovej metódy

3. fáza: upevniť nový materiál a zadať domácu úlohu.

Priebeh lekcie.

Metódy lineárneho programovania sú numerické metódy na riešenie optimalizačných problémov, ktoré možno redukovať na formálne modely lineárneho programovania.

Ako je známe, každý problém lineárneho programovania možno zredukovať na kanonický model na minimalizáciu lineárnej cieľovej funkcie s lineárnymi obmedzeniami typu rovnosti. Keďže počet premenných v úlohe lineárneho programovania je väčší ako počet obmedzení (n > m), je možné získať riešenie nastavením (n - m) premenných, tzv. zadarmo. Zvyšných m premenných, tzv základné, možno ľahko určiť zo systému obmedzení rovnosti pomocou obvyklých metód lineárnej algebry. Ak riešenie existuje, potom sa volá základné. Ak je prípustné základné riešenie, potom je tzv základné prípustné. Geometricky základné realizovateľné riešenia zodpovedajú vrcholom (krajným bodom) konvexného mnohostenu, ktorý ohraničuje množinu realizovateľných riešení. Ak má problém lineárneho programovania optimálne riešenia, potom aspoň jedno z nich je základné.

Vyššie uvedené úvahy znamenajú, že pri hľadaní optimálneho riešenia problému lineárneho programovania sa stačí obmedziť na vymenovanie základných realizovateľných riešení. Počet základných riešení sa rovná počtu kombinácií n premenných v m:

C = mn! / n m! * (n - m)!

a môžu byť dostatočne veľké na to, aby ich bolo možné vymenovať priamym vyhľadávaním v reálnom čase. Skutočnosť, že nie všetky základné riešenia sú prípustné, nemení podstatu problému, pretože na posúdenie prípustnosti základného riešenia je potrebné ho získať.

Problém racionálneho enumerácie základných riešení problému lineárneho programovania ako prvý vyriešil J. Danzig. Simplexová metóda, ktorú navrhol, je stále najbežnejšou všeobecnou metódou lineárneho programovania. Simplexová metóda implementuje cielené vyhľadávanie prípustných základných riešení pozdĺž zodpovedajúcich extrémnych bodov konvexného mnohostenu prípustných riešení vo forme iteračného procesu, kde v každom kroku hodnoty cieľovej funkcie striktne klesajú. Prechod medzi extrémnymi bodmi sa uskutočňuje pozdĺž okrajov konvexného mnohostenu prípustných riešení v súlade s jednoduchými lineárnymi algebraickými transformáciami systému obmedzení. Keďže počet extrémnych bodov je konečný a cieľová funkcia je lineárna, potom pri prehľadávaní extrémnych bodov v smere klesajúcej cieľovej funkcie simplexová metóda konverguje ku globálnemu minimu v konečnom počte krokov.

Prax ukázala, že pre väčšinu aplikovaných úloh lineárneho programovania umožňuje simplexná metóda nájsť optimálne riešenie v relatívne malom počte krokov v porovnaní s celkovým počtom krajných bodov prípustného mnohostenu. Zároveň je známe, že pri niektorých úlohách lineárneho programovania so špeciálne zvolenou formou prípustnej oblasti vedie použitie simplexnej metódy k úplnému vymenovaniu krajných bodov. Táto skutočnosť do určitej miery podnietila hľadanie nových efektívnych metód riešenia úloh lineárneho programovania, založených na nápadoch iných ako simplexová metóda, ktoré umožňujú riešiť akýkoľvek problém lineárneho programovania v konečnom počte krokov, výrazne menšom ako je počet extrémnych bodov. .

Spomedzi metód polynomického lineárneho programovania, ktoré sú invariantné ku konfigurácii rozsahu prijateľných hodnôt, je najbežnejšia metóda L.G. Khachiyan. Hoci má táto metóda odhad polynomickej zložitosti v závislosti od rozmeru problému, napriek tomu sa ukazuje ako nekonkurenčná v porovnaní s simplexovou metódou. Dôvodom je, že závislosť počtu iterácií simplexovej metódy od rozmeru problému je pre väčšinu praktických problémov vyjadrená polynómom tretieho rádu, zatiaľ čo pri Khachiyanovej metóde má táto závislosť vždy rád pri najmenej štvrtého rádu. Tento fakt má rozhodujúci význam pre prax, kde aplikované problémy, ktoré sú pre simplexovú metódu náročné, sú extrémne zriedkavé.

Treba tiež poznamenať, že pre problémy aplikovaného lineárneho programovania, ktoré sú dôležité v praktickom zmysle, boli vyvinuté špeciálne metódy, ktoré zohľadňujú špecifickú povahu obmedzení problému. Najmä pre homogénny transportný problém sa používajú špeciálne algoritmy na výber počiatočného základu, z ktorých najznámejšie sú metóda severozápadného rohu a približná Vogelova metóda a samotná algoritmická implementácia simplexovej metódy je blízka špecifikám problém. Na riešenie lineárneho priraďovacieho problému (výberového problému) sa namiesto simplexovej metódy zvyčajne používa buď maďarský algoritmus, založený na interpretácii problému z hľadiska teórie grafov ako problému nájdenia maximálnej váhy dokonalej zhody v bipartite. graf, alebo Mackova metóda.

Vyriešte maticovú hru 3x3

f(x)=x 1 +x 2 +x 3

x1>= 0, x2>=0, x3>=0

> s (simplex):

> C:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

Sh display(C,);

> uskutočniteľné (C, NENEGATÍVNE , "NewC", "Transform");

> S:=dual(f,C,p);

Sh R:=maximize(f,C ,NEZÁVAŽNÉ);

Sh f_max:=subs(R,f);

Sh R1:=minimalizovať(S,NEZÁVAŽNÉ);

> G:=p1+p2+p3;

> f_min:=subs(R1,G);

Poďme zistiť cenu hry

> V:=l/f_max;

Poďme nájsť optimálnu stratégiu prvého hráča > X:=V*R1;

Poďme nájsť optimálnu stratégiu druhého hráča

ODPOVEĎ: Keď X=(3/7, 3/7,1/7) V=9/7; Keď Y = (3/7,1/7,3/7) V = 9/7;

Každý študent dostane jednu z 20 možností, v ktorých je študent požiadaný, aby samostatne vyriešil maticovú hru 2x2, a zvyšné príklady ako domácu úlohu.

Nechaj f(x,y) A g(x, y)- dva výrazy s premennými X A pri a rozsah X. Potom nerovnosti formy f(x, y) > g(x, y) alebo f(x, y) < g(x, y) volal nerovnosť s dvoma premennými .

Význam premenných x, y od mnohých X, pri ktorej sa nerovnosť zmení na skutočnú číselnú nerovnosť, tzv rozhodnutie a je určený (x, y). Vyriešte nerovnosť - to znamená nájsť veľa takýchto párov.

Ak každá dvojica čísel (x, y) z množiny riešení na nerovnosť, porovnaj bod M(x, y), získame množinu bodov na rovine určenej touto nerovnicou. Volajú ho graf tejto nerovnosti . Graf nerovnosti je zvyčajne plocha na rovine.

Znázorniť množinu riešení nerovnosti f(x, y) > g(x, y), postupujte nasledovne. Najprv nahraďte znamienko nerovnosti znamienkom rovnosti a nájdite riadok s rovnicou f(x,y) = g(x,y). Táto čiara rozdeľuje rovinu na niekoľko častí. Potom už stačí v každej časti zobrať jeden bod a skontrolovať, či je nerovnosť v tomto bode splnená f(x, y) > g(x, y). Ak sa vykoná v tomto bode, vykoná sa v celej časti, kde tento bod leží. Kombináciou takýchto častí získame mnoho riešení.

Úloha. r > x.

Riešenie. Najprv nahradíme znamienko nerovnosti znamienkom rovnosti a zostrojíme priamku v pravouhlom súradnicovom systéme, ktorý má rovnicu r = x.

Táto čiara rozdeľuje rovinu na dve časti. Potom vezmite jeden bod v každej časti a skontrolujte, či je nerovnosť v tomto bode splnená r > x.

Úloha. Vyriešte graficky nerovnosť
X 2 + pri 2 25 £.

Ryža. 18.

Riešenie. Najprv nahraďte znak nerovnosti znakom rovnosti a nakreslite čiaru X 2 + pri 2 = 25. Ide o kružnicu so stredom v počiatku a polomerom 5. Výsledná kružnica rozdeľuje rovinu na dve časti. Kontrola splniteľnosti nerovnosti X 2 + pri 2 £ 25 v každej časti zistíme, že graf je množina bodov na kružnici a časti roviny vnútri kružnice.

Nech sú dané dve nerovnosti f 1(x, y) > g 1(x, y) A f 2(x, y) > g 2(x, y).

Sústavy množín nerovníc s dvoma premennými

Systém nerovností predstavuje seba spojenie týchto nerovností. Systémové riešenie má každý význam (x, y), ktorý zmení každú z nerovností na skutočnú číselnú nerovnosť. Veľa riešení systémov nerovnosti sú priesečníkom množín riešení nerovností, ktoré tvoria daný systém.

Sada nerovností predstavuje seba disjunkcia týchto nerovnosti Nastaviť riešenie má každý význam (x, y), ktorý prevedie aspoň jednu z množiny nerovností na skutočnú číselnú nerovnosť. Veľa riešení totality je spojenie množín riešení nerovností, ktoré tvoria množinu.

Úloha. Vyriešte graficky systém nerovností

Riešenie. y = x A X 2 + pri 2 = 25. Riešime každú nerovnosť sústavy.

Grafom sústavy bude množina bodov na rovine, ktoré sú priesečníkom (dvojitým šrafovaním) množín riešení prvej a druhej nerovnice.

Úloha. Vyriešte graficky množinu nerovností

Riešenie. Najprv nahradíme znamienko nerovnosti znamienkom rovnosti a nakreslíme čiary v jednom súradnicovom systéme y = x+ 4 a X 2 + pri 2 = 16. Vyriešte každú nerovnosť v populácii. Grafom populácie bude množina bodov na rovine, ktoré sú spojením množín riešení prvej a druhej nerovnice.

Cvičenie pre samostatnú prácu

1. Vyriešte graficky nerovnosti: a) pri> 2x; b) pri< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 4 £.

2. Riešte graficky sústavy nerovníc:

a) b)

Grafická metóda je jednou z hlavných metód riešenia kvadratických nerovníc. V článku predstavíme algoritmus na použitie grafickej metódy a potom zvážime špeciálne prípady pomocou príkladov.

Podstata grafickej metódy

Metóda je použiteľná na riešenie akýchkoľvek nerovností, nielen kvadratických. Jej podstatou je toto: pravá a ľavá strana nerovnosti sú považované za dve samostatné funkcie y = f (x) a y = g (x), ich grafy sú vynesené do pravouhlého súradnicového systému a pozrite sa, ktorý z grafov je umiestnené nad druhým a na ktorých intervaloch. Intervaly sa hodnotia takto:

Definícia 1

• riešenia nerovnosti f (x) > g (x) sú intervaly, kde graf funkcie f je vyšší ako graf funkcie g;
• riešenia nerovnosti f (x) ≥ g (x) sú intervaly, kde graf funkcie f nie je nižší ako graf funkcie g;
• riešenia nerovnosti f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• riešenia nerovnosti f (x) ≤ g (x) sú intervaly, kde graf funkcie f nie je vyšší ako graf funkcie g;
• Úsečky priesečníkov grafov funkcií f a g sú riešeniami rovnice f (x) = g (x).

Pozrime sa na vyššie uvedený algoritmus pomocou príkladu. Ak to chcete urobiť, zoberte kvadratickú nerovnosť a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) a odvodiť z neho dve funkcie. Ľavá strana nerovnosti bude zodpovedať y = a · x 2 + b · x + c (v tomto prípade f (x) = a · x 2 + b · x + c) a pravá strana y = 0 ( v tomto prípade g (x) = 0).

Graf prvej funkcie je parabola, druhá je priamka, ktorá sa zhoduje s osou x O x. Analyzujme polohu paraboly vzhľadom na os O x. Aby sme to urobili, urobme schematický výkres.

Vetvy paraboly smerujú nahor. V bodoch pretína os O x x 1 A x 2. Koeficient a je v tomto prípade kladný, pretože je zodpovedný za smer vetiev paraboly. Diskriminant je kladný, čo naznačuje, že kvadratická trojčlenka má dva korene a x 2 + b x + c. Korene trojčlenky označujeme ako x 1 A x 2, a to bolo prijaté x 1< x 2 , keďže na osi O x je zobrazený bod s úsečkou x 1 naľavo od úsečky x 2.

Časti paraboly umiestnené nad osou O x budú označené červenou farbou, pod ňou modrou. To nám umožní urobiť kresbu vizuálnejšou.

Vyberme medzery, ktoré zodpovedajú týmto častiam a označme ich na obrázku poliami určitej farby.

Červenou farbou sme označili intervaly (− ∞, x 1) a (x 2, + ∞), na nich je parabola nad osou O x. Sú to a · x 2 + b · x + c > 0. Modrou farbou sme označili interval (x 1 , x 2) , ktorý je riešením nerovnosti a · x 2 + b · x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Urobme si krátke zhrnutie riešenia. Pre a > 0 a D = b 2 − 4 a c > 0 (alebo D " = D 4 > 0 pre párny koeficient b) dostaneme:

• riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 + b x + c > 0 je (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) alebo v inom zápise x< x 1 , x >x2;
• riešenie kvadratickej nerovnosti a · x 2 + b · x + c ≥ 0 je (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) alebo v inom zápise x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 + b x + c ≤ 0 je [ x 1 , x 2 ] alebo v inom zápise x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

kde x 1 a x 2 sú korene kvadratického trinómu a · x 2 + b · x + c a x 1< x 2 .

Na tomto obrázku sa parabola dotýka osi O x iba v jednom bode, ktorý je označený ako x 0 a > 0. D = 0, teda štvorcová trojčlenka má jednu odmocninu x 0.

Parabola je umiestnená úplne nad osou O x, s výnimkou bodu dotyku súradnicovej osi. Vyfarbíme intervaly (− ∞ , x 0), (x 0, ∞) .

Výsledky si zapíšeme. o a > 0 A D = 0:

• riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 + b x + c > 0 je (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) alebo v inom zápise x ≠ x 0;
• riešenie kvadratickej nerovnosti a x 2 + b x + c ≥ 0 je (− ∞ , + ∞) alebo v inom zápise x ∈ R;
• kvadratická nerovnosť a x 2 + b x + c< 0 nemá žiadne riešenia (neexistujú žiadne intervaly, v ktorých by sa parabola nachádzala pod osou O x);
• kvadratická nerovnosť a x 2 + b x + c ≤ 0 má unikátne riešenie x = x 0(je to dané kontaktným miestom),

Kde x 0- odmocnina štvorcového trojčlenu a x 2 + b x + c.

Zoberme si tretí prípad, keď vetvy paraboly smerujú nahor a nedotýkajú sa osi O x. Vetvy paraboly smerujú nahor, čo znamená, že a > 0. Štvorcový trojčlen nemá skutočné korene, pretože D< 0 .

Na grafe nie sú intervaly, v ktorých by bola parabola pod osou x. Zohľadníme to pri výbere farby pre našu kresbu.

Ukazuje sa, že kedy a > 0 A D< 0 riešenie kvadratických nerovností a x 2 + b x + c > 0 A a x 2 + b x + c ≥ 0 je množina všetkých reálnych čísel a nerovností a x 2 + b x + c< 0 A a x 2 + b x + c ≤ 0 nemať riešenia.

Máme tri možnosti, ktoré musíme zvážiť, keď sú vetvy paraboly nasmerované nadol. Nie je potrebné sa týmito tromi možnosťami podrobne zaoberať, pretože keď obe strany nerovnosti vynásobíme − 1, dostaneme ekvivalentnú nerovnosť s kladným koeficientom pre x 2.

Úvaha o predchádzajúcej časti článku nás pripravila na vnímanie algoritmu riešenia nerovností pomocou grafickej metódy. Na vykonanie výpočtov budeme musieť zakaždým použiť výkres, ktorý bude zobrazovať súradnicovú čiaru O x a parabolu, ktorá zodpovedá kvadratickej funkcii. y = a x 2 + b x + c. Vo väčšine prípadov nebudeme zobrazovať os O y, pretože nie je potrebná na výpočty a iba preťaží výkres.

Na zostavenie paraboly potrebujeme vedieť dve veci:

Definícia 2

• smer vetiev, ktorý je určený hodnotou koeficientu a;
• prítomnosť priesečníkov paraboly a osi x, ktoré sú určené hodnotou diskriminantu kvadratického trinomu a · x 2 + b · x + c .

Priesečníky a dotyky označíme obvyklým spôsobom pri riešení neprísnych nerovností a prázdne pri riešení prísnych.

Po dokončení výkresu môžete prejsť na ďalší krok riešenia. Zahŕňa určenie intervalov, v ktorých sa parabola nachádza nad alebo pod osou O x. Intervaly a priesečníky sú riešením kvadratickej nerovnosti. Ak neexistujú žiadne priesečníky alebo dotyky a neexistujú žiadne intervaly, potom sa má za to, že nerovnosť špecifikovaná v podmienkach úlohy nemá riešenia.

Teraz poďme vyriešiť niekoľko kvadratických nerovností pomocou vyššie uvedeného algoritmu.

Príklad 1

Nerovnosť 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 je potrebné vyriešiť graficky.

Riešenie

Nakreslíme graf kvadratickej funkcie y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Koeficient at x 2 pozitívny, pretože je rovnaký 2 . To znamená, že vetvy paraboly budú smerovať nahor.

Vypočítajme diskriminant kvadratického trinómu 2 x 2 + 5 1 3 x - 2, aby sme zistili, či má parabola spoločné body s osou x. Získame:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Ako vidíme, D je väčšie ako nula, preto máme dva priesečníky: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 a x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, tj. x 1 = - 3 A x 2 = 1 3.

Riešime neprísnu nerovnicu, preto do grafu dáme obyčajné body. Nakreslíme parabolu. Ako vidíte, kresba má rovnaký vzhľad ako v prvej šablóne, ktorú sme zvážili.

Naša nerovnosť má znamienko ≤. Preto musíme na grafe zvýrazniť intervaly, kde sa parabola nachádza pod osou O x a pridať k nim priesečníky.

Interval, ktorý potrebujeme, je 3, 1 3. Pridáme k nemu priesečníky a dostaneme číselný segment − 3, 1 3. Toto je riešenie nášho problému. Odpoveď možno zapísať ako dvojitú nerovnosť: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

odpoveď:− 3 , 1 3 alebo − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Príklad 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 grafická metóda.

Riešenie

Druhá mocnina premennej má záporný číselný koeficient, takže vetvy paraboly budú smerovať nadol. Vypočítajme štvrtú časť diskriminantu D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Tento výsledok nám hovorí, že budú existovať dva priesečníky.

Vypočítajme korene kvadratického trinomu: x 1 = - 8 + 1 - 1 a x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 a x 2 = 9.

Ukazuje sa, že parabola pretína os x v bodoch 7 A 9 . Označme tieto body na grafe ako prázdne, keďže pracujeme s prísnou nerovnosťou. Potom nakreslite parabolu, ktorá pretína os O x v označených bodoch.

Nás budú zaujímať intervaly, v ktorých sa parabola nachádza pod osou O x. Označme tieto intervaly modrou farbou.

Dostávame odpoveď: riešením nerovnosti sú intervaly (− ∞, 7) , (9, + ∞) .

odpoveď:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) alebo v inom zápise x< 7 , x > 9 .

V prípadoch, keď je diskriminant kvadratického trinómu nula, treba dôkladne zvážiť, či do odpovede zahrnúť úsečku dotyčnicových bodov. Aby ste sa mohli správne rozhodnúť, je potrebné vziať do úvahy znamienko nerovnosti. Pri striktných nerovnostiach bod dotyku osi x nie je riešením nerovnosti, ale pri neprisnych áno.

Príklad 3

Vyriešte kvadratickú nerovnosť 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 grafická metóda.

Riešenie

Vetvy paraboly budú v tomto prípade smerovať nahor. Dotkne sa osi O x v bode 0, 7, od r

Nakreslíme funkciu y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Jeho vetvy smerujú nahor, pretože koeficient pri x 2 kladný a dotýka sa osi x v bode osi x 0 , 7 , pretože D" = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, odkiaľ x 0 = 7 10 alebo 0 , 7 .

Dajme bod a nakreslíme parabolu.

Nestriktnú nerovnicu riešime so znamienkom ≤. Preto. Nás budú zaujímať intervaly, v ktorých sa parabola nachádza pod osou x a bodom dotyku. Na obrázku nie sú žiadne intervaly, ktoré by vyhovovali našim podmienkam. Existuje iba kontaktný bod 0, 7. Toto je riešenie, ktoré hľadáme.

odpoveď: Nerovnosť má len jedno riešenie 0,7.

Príklad 4

Vyriešte kvadratickú nerovnosť – x 2 + 8 x – 16< 0 .

Riešenie

Vetvy paraboly smerujú nadol. Diskriminant je nula. Priesečník x 0 = 4.

Označíme bod dotyku na osi x a nakreslíme parabolu.

Máme čo do činenia s veľkou nerovnosťou. Následne nás zaujímajú intervaly, v ktorých sa parabola nachádza pod osou O x. Označme ich modrou farbou.

Bod s osou 4 nie je riešením, pretože parabola v ňom nie je umiestnená pod osou O x. V dôsledku toho dostaneme dva intervaly (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

odpoveď: (− ∞, 4) ∪ (4, + ∞) alebo v inom zápise x ≠ 4.

Nie vždy, ak je diskriminačná hodnota záporná, nerovnosť nebude mať riešenia. Sú prípady, keď riešením je množina všetkých reálnych čísel.

Príklad 5

Vyriešte kvadratickú nerovnosť 3 x 2 + 1 > 0 graficky.

Riešenie

Koeficient a je kladný. Diskriminant je negatívny. Vetvy paraboly budú smerovať nahor. Neexistujú žiadne priesečníky paraboly s osou O x. Pozrime sa na výkres.

Pracujeme s prísnou nerovnosťou, ktorá má znamienko >. To znamená, že nás zaujímajú intervaly, v ktorých sa parabola nachádza nad osou x. To je presne ten prípad, keď je odpoveďou množina všetkých reálnych čísel.

odpoveď:(− ∞, + ∞) alebo tak x ∈ R.

Príklad 6

Je potrebné nájsť riešenie nerovnosti − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 graficky.

Riešenie

Vetvy paraboly smerujú nadol. Diskriminant je záporný, preto neexistujú žiadne spoločné body medzi parabolou a osou x. Pozrime sa na výkres.

Pracujeme s neprísnou nerovnicou so znamienkom ≥, preto nás zaujímajú intervaly, v ktorých sa parabola nachádza nad osou x. Súdiac podľa grafu, takéto medzery tam nie sú. To znamená, že nerovnosť uvedená v problémových podmienkach nemá riešenia.

odpoveď:Žiadne riešenia.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Vstupná úroveň

Riešenie rovníc, nerovníc, sústav pomocou funkčných grafov. Vizuálny sprievodca (2019)

Mnohé úlohy, ktoré sme zvyknutí počítať čisto algebraicky, sa dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie a rýchlejšie pomocou funkčných grafov. Hovoríte "ako to?" niečo nakresliť a čo nakresliť? Verte mi, niekedy je to pohodlnejšie a jednoduchšie. Môžeme začať? Začnime s rovnicami!

Grafické riešenie rovníc

Grafické riešenie lineárnych rovníc

Ako už viete, graf lineárnej rovnice je priamka, odtiaľ názov tohto typu. Lineárne rovnice sa algebraicky riešia celkom jednoducho – všetky neznáme prenesieme na jednu stranu rovnice, všetko, čo vieme, na druhú a voilá! Našli sme koreň. Teraz vám ukážem, ako na to graficky.

Takže máte rovnicu:

Ako to vyriešiť?
Možnosť 1 a najbežnejším je presunúť neznáme na jednu stranu a známe na druhú, dostaneme:

Teraz poďme stavať. čo si dostal?

Čo je podľa vás koreňom našej rovnice? Správne, súradnica priesečníka grafov je:

Naša odpoveď je

To je celá múdrosť grafického riešenia. Ako môžete ľahko skontrolovať, koreňom našej rovnice je číslo!

Ako som povedal vyššie, toto je najbežnejšia možnosť, ktorá sa blíži k algebraickému riešeniu, ale môžete to vyriešiť aj iným spôsobom. Aby sme zvážili alternatívne riešenie, vráťme sa k našej rovnici:

Tentokrát nebudeme nič presúvať zo strany na stranu, ale vytvoríme grafy priamo, ako sú teraz:

Postavené? Pozrime sa!

Aké je riešenie tentokrát? presne tak. To isté - súradnica priesečníka grafov:

A naša odpoveď je opäť.

Ako vidíte, s lineárnymi rovnicami je všetko veľmi jednoduché. Je čas pozrieť sa na niečo komplexnejšie... Napr. grafické riešenie kvadratických rovníc.

Grafické riešenie kvadratických rovníc

Začnime teda riešiť kvadratickú rovnicu. Povedzme, že potrebujete nájsť korene tejto rovnice:

Samozrejme, teraz môžete začať počítať cez diskriminant, alebo podľa Vietovej vety, ale veľa ľudí od nervov robí chyby pri násobení alebo umocňovaní, najmä ak je príklad s veľkými číslami, a ako viete, vyhrali ste 'nemať na skúšku kalkulačku... Preto sa skúsme pri riešení tejto rovnice trochu uvoľniť a kresliť.

Riešenia tejto rovnice možno nájsť graficky rôznymi spôsobmi. Pozrime sa na rôzne možnosti a môžete si vybrať, ktorá sa vám najviac páči.

Metóda 1. Priamo

Jednoducho zostavíme parabolu pomocou tejto rovnice:

Aby ste to urobili rýchlo, dám vám jeden malý tip: Konštrukciu je vhodné začať určením vrcholu paraboly. Nasledujúce vzorce pomôžu určiť súradnice vrcholu paraboly:

Poviete „Stop! Vzorec pre je veľmi podobný vzorcu na nájdenie diskriminantu,“ áno, je, a to je obrovská nevýhoda „priamoho“ zostrojenia paraboly na nájdenie jej koreňov. Počítajme však do konca a potom vám ukážem, ako to urobiť oveľa (oveľa!) jednoduchšie!

Počítal si? Aké súradnice ste získali pre vrchol paraboly? Poďme na to spolu:

Presne tá istá odpoveď? Výborne! A teraz už poznáme súradnice vrcholu, no na zostrojenie paraboly potrebujeme viac... bodov. Koľko minimálnych bodov si myslíte, že potrebujeme? Správne, .

Viete, že parabola je symetrická podľa svojho vrcholu, napríklad:

Preto potrebujeme ďalšie dva body na ľavej alebo pravej vetve paraboly a v budúcnosti budeme tieto body symetricky odrážať na opačnej strane:

Vráťme sa k našej parabole. Pre náš prípad bodka. Potrebujeme ešte dva body, aby sme mohli brať pozitívne alebo negatívne? Ktoré body sú pre vás výhodnejšie? Je pre mňa pohodlnejšie pracovať s pozitívnymi, takže vypočítam na a.

Teraz máme tri body, môžeme ľahko zostrojiť našu parabolu odrazom posledných dvoch bodov vzhľadom na jej vrchol:

Aké je podľa vás riešenie rovnice? To je pravda, body, v ktorých, to je, a. Pretože.

A ak to povieme, znamená to, že sa musí aj rovnať, príp.

len? Dokončili sme riešenie rovnice zložitým grafickým spôsobom, alebo bude viac!

Samozrejme, našu odpoveď si môžete skontrolovať algebraicky – korene môžete vypočítať pomocou Vietovej vety alebo Diskriminantu. čo si dostal? To isté? Vidíš! Teraz sa pozrime na veľmi jednoduché grafické riešenie, určite sa vám bude páčiť!

Metóda 2. Rozdelená na niekoľko funkcií

Zoberme si rovnakú rovnicu: , ale napíšeme ju trochu inak, konkrétne:

Môžeme to napísať takto? Môžeme, keďže transformácia je ekvivalentná. Pozrime sa ďalej.

Zostavme dve funkcie oddelene:

1. - graf je jednoduchá parabola, ktorú ľahko zostrojíte aj bez definovania vrcholu pomocou vzorcov a zostavenia tabuľky na určenie ďalších bodov.
2. - graf je priamka, ktorú môžete rovnako ľahko zostaviť odhadom hodnôt vo vašej hlave bez toho, aby ste sa museli uchýliť k kalkulačke.

Postavené? Porovnajme s tým, čo som dostal:

Aké sú podľa vás korene rovnice v tomto prípade? Správne! Súradnice získané priesečníkom dvoch grafov, a to:

Preto je riešením tejto rovnice:

čo povieš? Súhlasíte, táto metóda riešenia je oveľa jednoduchšia ako predchádzajúca a dokonca jednoduchšia ako hľadanie koreňov cez diskriminant! Ak áno, skúste vyriešiť nasledujúcu rovnicu pomocou tejto metódy:

čo si dostal? Porovnajme naše grafy:

Grafy ukazujú, že odpovede sú:

Zvládli ste to? Výborne! Teraz sa pozrime na rovnice trochu zložitejšie, konkrétne na riešenie zmiešaných rovníc, teda rovníc obsahujúcich funkcie rôznych typov.

Grafické riešenie zmiešaných rovníc

Teraz skúsme vyriešiť nasledovné:

Samozrejme, môžete všetko uviesť do spoločného menovateľa, nájsť korene výslednej rovnice bez toho, aby ste zabudli vziať do úvahy ODZ, ale opäť sa to pokúsime vyriešiť graficky, ako sme to urobili vo všetkých predchádzajúcich prípadoch.

Tentoraz zostavme nasledujúce 2 grafy:

1. - graf je hyperbola
2. - graf je priamka, ktorú môžete ľahko zostaviť odhadom hodnôt v hlave bez toho, aby ste sa museli uchýliť k kalkulačke.

Uvedomil si to? Teraz začnite stavať.

Tu je to, čo som dostal:

Pri pohľade na tento obrázok mi povedzte, aké sú korene našej rovnice?

Je to tak a. Tu je potvrdenie:

Skúste do rovnice zapojiť naše korene. Podarilo sa to?

presne tak! Súhlasíte, riešenie takýchto rovníc graficky je potešením!

Skúste rovnicu vyriešiť graficky sami:

Dám vám nápovedu: presuňte časť rovnice na pravú stranu tak, aby najjednoduchšie funkcie na zostavenie boli na oboch stranách. Dostali ste nápovedu? Konajte!

Teraz sa pozrime, čo máte:

Respektíve:

1. - kubická parabola.
2. - obyčajná priamka.

No poďme stavať:

Ako ste už dávno zapísali, koreň tejto rovnice je - .

Po prepracovaní takého veľkého množstva príkladov som si istý, že ste si uvedomili, aké ľahké a rýchle je riešiť rovnice graficky. Je čas prísť na to, ako riešiť systémy týmto spôsobom.

Grafické riešenie systémov

Grafické riešenie systémov sa v podstate nelíši od grafického riešenia rovníc. Zostavíme tiež dva grafy a ich priesečníky budú koreňmi tohto systému. Jeden graf je jedna rovnica, druhý graf je ďalšia rovnica. Všetko je mimoriadne jednoduché!

Začnime tým najjednoduchším – riešením sústav lineárnych rovníc.

Riešenie sústav lineárnych rovníc

Povedzme, že máme nasledujúci systém:

Najprv to pretvorme tak, aby naľavo bolo všetko, s čím súvisí, a napravo - všetko, s čím súvisí. Inými slovami, napíšme tieto rovnice ako funkciu v našom obvyklom tvare:

Teraz len postavíme dve rovné čiary. Aké je riešenie v našom prípade? Správne! Bod ich priesečníka! A tu musíte byť veľmi, veľmi opatrní! Premýšľajte o tom, prečo? Dovoľte mi poradiť: máme čo do činenia so systémom: v systéme je oboje a... Máte tip?

presne tak! Pri riešení sústavy sa musíme pozerať na obe súradnice, a to nielen ako pri riešení rovníc! Ďalším dôležitým bodom je správne si ich zapísať a nepomýliť si, kde máme význam a kde význam! Napísal si to? Teraz porovnajme všetko v poradí:

A odpovede: a. Urobiť kontrolu - dosadiť nájdené korene do systému a presvedčiť sa, či sme to graficky správne vyriešili?

Riešenie sústav nelineárnych rovníc

Čo ak namiesto jednej priamky máme kvadratickú rovnicu? to je v poriadku! Namiesto priamky postavíte parabolu! neveríš mi? Skúste vyriešiť nasledujúci systém:

Aký je náš ďalší krok? Správne, zapíšte si to, aby bolo pre nás vhodné vytvárať grafy:

A teraz je to všetko otázka malých vecí – postavte to rýchlo a tu je vaše riešenie! Staviame:

Vyšli grafy rovnako? Teraz označte riešenia systému na obrázku a správne zapíšte zistené odpovede!

Urobili ste všetko? Porovnaj s mojimi poznámkami:

Je všetko v poriadku? Výborne! Tieto typy úloh už lámete ako orechy! Ak áno, dáme vám zložitejší systém:

čo robíme? Správne! Systém píšeme tak, aby bolo vhodné zostaviť:

Dám vám malú nápovedu, pretože systém vyzerá veľmi komplikovane! Pri vytváraní grafov ich stavajte „viac“ a hlavne nebuďte prekvapení množstvom priesečníkov.

Takže, poďme! Vydýchnutý? Teraz začnite stavať!

Tak ako? krásna? Koľko priesečníkov ste získali? Mám tri! Porovnajme naše grafy:

tiež? Teraz si pozorne zapíšte všetky riešenia nášho systému:

Teraz sa znova pozrite na systém:

Viete si predstaviť, že by ste to vyriešili len za 15 minút? Súhlasíte, matematika je stále jednoduchá, najmä pri pohľade na výraz sa nebojíte urobiť chybu, ale jednoducho ju vezmite a vyriešte! Si skvelý!

Grafické riešenie nerovností

Grafické riešenie lineárnych nerovností

Po poslednom príklade môžete robiť čokoľvek! Teraz vydýchnite - v porovnaní s predchádzajúcimi časťami bude táto veľmi, veľmi ľahká!

Začneme ako obvykle grafickým riešením lineárnej nerovnosti. Napríklad tento:

Najprv vykonajte najjednoduchšie transformácie - otvorte zátvorky dokonalých štvorcov a prezentujte podobné výrazy:

Nerovnosť nie je striktná, preto nie je zahrnutá v intervale a riešením budú všetky body, ktoré sú vpravo, keďže viac, viac atď.

odpoveď:

To je všetko! ľahko? Poďme vyriešiť jednoduchú nerovnosť s dvoma premennými:

Nakreslíme funkciu v súradnicovom systéme.

Dostali ste takýto rozvrh? Teraz sa pozrime pozorne na to, akú nerovnosť tam máme? menej? To znamená, že maľujeme všetko, čo je naľavo od našej priamky. Čo keby ich bolo viac? To je pravda, potom by sme premaľovali všetko, čo je napravo od našej priamky. Je to jednoduché.

Všetky riešenia tejto nerovnosti sú vytieňované oranžovou farbou. To je všetko, nerovnosť s dvoma premennými je vyriešená. To znamená, že riešením sú súradnice ľubovoľného bodu zo zatienenej oblasti.

Grafické riešenie kvadratických nerovností

Teraz pochopíme, ako graficky vyriešiť kvadratické nerovnosti.

Ale predtým, než sa pustíme do práce, zopakujme si nejaký materiál týkajúci sa kvadratickej funkcie.

Za čo je zodpovedný diskriminant? To je pravda, pre polohu grafu vzhľadom na os (ak si to nepamätáte, určite si prečítajte teóriu o kvadratických funkciách).

V každom prípade je tu pre vás malá pripomienka:

Teraz, keď sme si osviežili všetok materiál v pamäti, poďme na vec – vyriešte nerovnosť graficky.

Hneď vám poviem, že existujú dve možnosti, ako to vyriešiť.

Možnosť 1

Našu parabolu zapíšeme ako funkciu:

Pomocou vzorcov určíme súradnice vrcholu paraboly (presne rovnaké ako pri riešení kvadratických rovníc):

Počítal si? čo si dostal?

Teraz zoberme ďalšie dva rôzne body a vypočítajme pre ne:

Začnime budovať jednu vetvu paraboly:

Symetricky odrážame naše body do inej vetvy paraboly:

Teraz sa vráťme k našej nerovnosti.

Potrebujeme, aby bola menšia ako nula, resp.

Keďže v našej nerovnosti je znamienko striktne menšie ako, vylúčime koncové body - „prepichnutie“.

odpoveď:

Dlhá cesta, však? Teraz vám ukážem jednoduchšiu verziu grafického riešenia na príklade rovnakej nerovnosti:

Možnosť 2

Vrátime sa k našej nerovnosti a označíme intervaly, ktoré potrebujeme:

Súhlasíte, je to oveľa rýchlejšie.

Teraz si napíšme odpoveď:

Uvažujme o ďalšom riešení, ktoré zjednodušuje algebraickú časť, ale hlavnou vecou nie je zmiasť sa.

Vynásobte ľavú a pravú stranu:

Skúste sami vyriešiť nasledujúcu kvadratickú nerovnosť akýmkoľvek spôsobom: .

Zvládli ste to?

Pozrite sa, ako dopadol môj graf:

odpoveď: .

Grafické riešenie zmiešaných nerovností

Teraz prejdime k zložitejším nerovnostiam!

Ako sa vám páči toto:

Je to strašidelné, však? Úprimne povedané, netuším, ako to vyriešiť algebraicky... Ale nie je to potrebné. Graficky na tom nie je nič zložité! Oči sa boja, ale ruky robia!

Prvá vec, s ktorou začneme, je zostrojenie dvoch grafov:

Nebudem písať tabuľku pre každú z nich - som si istý, že to zvládnete dokonale sami (wow, existuje toľko príkladov na riešenie!).

Namaľoval si to? Teraz vytvorte dva grafy.

Porovnáme naše kresby?

Je to tak aj u vás? Skvelé! Teraz usporiadame priesečníky a pomocou farby určíme, ktorý graf by sme mali mať teoreticky väčší. Pozrite sa, čo sa nakoniec stalo:

Teraz sa pozrime, kde je náš vybraný graf vyššie ako graf? Pokojne si vezmite ceruzku a premaľujte túto oblasť! Ona bude riešením našej komplexnej nerovnosti!

V akých intervaloch pozdĺž osi sa nachádzame vyššie ako? Správne, . Toto je odpoveď!

Teraz môžete zvládnuť akúkoľvek rovnicu, akýkoľvek systém a ešte viac akúkoľvek nerovnosť!

STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Algoritmus na riešenie rovníc pomocou funkčných grafov:

1. Vyjadrime to prostredníctvom
2. Definujme typ funkcie
3. Zostavme grafy výsledných funkcií
4. Poďme nájsť priesečníky grafov
5. Napíšme odpoveď správne (berúc do úvahy znaky ODZ a nerovnosti)
6. Skontrolujeme odpoveď (dosadíme korene do rovnice alebo systému)

Ďalšie informácie o vytváraní grafov funkcií nájdete v téme "".

Grafická metóda spočíva v zostrojení množiny prípustných riešení PLP a nájdení v tejto množine bodu zodpovedajúceho cieľovej funkcii max/min.

Vzhľadom na obmedzené možnosti vizuálneho grafického znázornenia sa táto metóda používa len pre systémy lineárnych nerovností s dvoma neznámymi a systémy, ktoré je možné redukovať do tejto podoby.

Aby sme jasne ukázali grafickú metódu, vyriešme nasledujúci problém:

1. V prvej fáze je potrebné vybudovať región realizovateľných riešení. Pre tento príklad je najvhodnejšie vybrať X2 ako úsečku a X1 ako ordinátu a nerovnosti zapísať v nasledujúcom tvare:

Keďže grafy aj oblasť realizovateľných riešení sú v prvom štvrťroku. Aby sme našli hraničné body, riešime rovnice (1)=(2), (1)=(3) a (2)=(3).

Ako je možné vidieť z ilustrácie, mnohosten ABCDE tvorí oblasť realizovateľných riešení.

Ak oblasť realizovateľných riešení nie je uzavretá, potom buď max(f)=+ ?, alebo min(f)= -?.

2. Teraz môžeme pristúpiť k priamemu hľadaniu maxima funkcie f.

Striedavým dosadzovaním súradníc vrcholov mnohostenu do funkcie f a porovnávaním hodnôt zistíme, že f(C)=f (4; 1)=19 je maximum funkcie.

Tento prístup je celkom výhodný s malým počtom vrcholov. Ale tento postup môže trvať dlho, ak existuje pomerne veľa vrcholov.

V tomto prípade je vhodnejšie uvažovať o nivelačnej čiare v tvare f=a. Pri monotónnom náraste čísla a od -? na +? priamky f=a sú posunuté pozdĺž normálového vektora. Ak pri takomto pohybe nivelety existuje určitý bod X - prvý spoločný bod oblasti realizovateľných riešení (polyhedron ABCDE) a nivelety, potom f(X) je minimum f na množine. ABCDE. Ak je X posledným priesečníkom čiary úrovne a množiny ABCDE, potom f(X) je maximum na množine realizovateľných riešení. Ak za >-? priamka f=a pretína množinu realizovateľných riešení, potom min(f)= -?. Ak sa to stane pre a>+?, potom max(f)=+?.