Komplexná symetria. Symetria - proporcionalita, rovnakosť v usporiadaní častí niečoho na opačných stranách bodu, priamky alebo roviny

V geometrii vlastnosť geometrických útvarov. Dva body ležiace na tej istej kolmici k danej rovine (alebo priamke) na opačných stranách a v rovnakej vzdialenosti od nej sa nazývajú symetrické vzhľadom na túto rovinu (alebo priamku). Obrazec (plochý alebo priestorový) je symetrický vzhľadom na priamku (os symetrie) alebo rovinu (rovinu symetrie), ak jeho body v pároch majú špecifikovanú vlastnosť. Obrazec je symetrický vzhľadom k bodu (stredu symetrie), ak jeho body ležia v pároch na priamkach prechádzajúcich stredom symetrie, na opačných stranách av rovnakej vzdialenosti od neho.

Definícia symetrie

Pojem „symetria“ (grécky symetria - proporcionalita) podľa jedného z najväčších matematikov dvadsiateho storočia. Hermann Weyl (1885 - 1955) "je myšlienka, prostredníctvom ktorej sa človek po stáročia snažil pochopiť a vytvoriť poriadok, krásu a dokonalosť." Slovo „symetria“ zvyčajne znamená harmóniu proporcií - niečo vyvážené, neobmedzené priestorovými objektmi (napríklad v hudbe, poézii atď.). Na druhej strane má tento pojem aj čisto geometrický význam, spočívajúci v prirodzenom opakovaní rovnakých obrazcov alebo ich častí v priestore. Ako napísal E.S. Fedorov (1901), „symetria je vlastnosťou geometrických útvarov opakovať svoje časti, alebo presnejšie, ich vlastnosťou v rôznych polohách, aby sa dostali do súladu s pôvodnou polohou.

Keď však hovoríme o symetrických obrazcoch, treba rozlišovať medzi dvoma typmi rovnosti: kongruentnou (grécky congruens - kombinovaný) a enantiomorfnou - zrkadlovo rovná (grécky enantios - opak, morphe - forma). V prvom prípade máme na mysli figúry alebo ich časti, ktorých rovnosť sa dá odhaliť jednoduchou kombináciou – vzájomným prekrývaním, t.j. „vlastný“ pohyb, prenášajúci ľavú (L) figúrku (napríklad ľavú skrutku, ruku) doľava, pravú (R) - doprava, v ktorej sa všetky body jednej figúry zhodujú so zodpovedajúcimi bodmi iné. V druhom prípade je rovnosť odhalená odrazom - pohybom, ktorý premieňa objekt na jeho zrkadlový obraz (zľava doprava a naopak).

V tomto prípade sa všetky body priestorového obrazca stanú párovo symetrickými vzhľadom na rovinu. V dôsledku takýchto premien (pohybov) sa objekt spája sám so sebou, t.j. premieňa na seba. Inými slovami, je invariantná vzhľadom na túto transformáciu, a teda symetrická. Samotná transformácia, ktorá odhaľuje symetriu objektu, nazývaná transformácia symetrie, zachováva nezmenené metrické vlastnosti častí objektu, a teda aj vzdialenosť medzi ľubovoľným párom ich bodov. Objekty teda možno považovať za symetricky rovnaké, ak sú všetky body jedného z nich preložené do zodpovedajúcich bodov iného podľa jediného pravidla.

Symetrie môžu byť presné alebo približné.

Symetria v geometrii

Geometrická symetria je pre mnohých ľudí najznámejším typom symetrie. O geometrickom objekte sa hovorí, že je symetrický, ak si po geometrickej transformácii zachová niektoré zo svojich pôvodných vlastností. Napríklad kruh otočený okolo svojho stredu bude mať rovnaký tvar a veľkosť ako pôvodný kruh. Preto sa kruh nazýva symetrický vzhľadom na rotáciu (má osovú symetriu). Druhy symetrií možné pre geometrický objekt závisia od množiny dostupných geometrických transformácií a od toho, ktoré vlastnosti objektu musia po transformácii zostať nezmenené.

Typy geometrických symetrií:

Zrkadlová symetria

Vo fyzike sa nazýva invariancia pod skupinou rotácií izotropia priestoru(všetky smery v priestore sú rovnaké) a vyjadruje sa ako nemennosť fyzikálnych zákonov, najmä pohybových rovníc, vzhľadom na rotácie. Noetherova veta spája túto invarianciu s prítomnosťou zachovanej veličiny (integrálu pohybu) - momentu hybnosti.

Symetria okolo bodu

Posuvná symetria

Symetrie vo fyzike

V teoretickej fyzike je správanie fyzikálneho systému opísané určitými rovnicami. Ak tieto rovnice majú nejaké symetrie, potom je často možné ich riešenie zjednodušiť nájdením konzervované množstvá (integrály pohybu). Už v klasickej mechanike je teda formulovaný Noetherov teorém, ktorý spája konzervované množstvo s každým typom spojitej symetrie. Z neho napríklad vyplýva, že nemennosť pohybových rovníc telesa v čase vedie k zákonu zachovania energie; invariantnosť vzhľadom na posuny v priestore – k zákonu zachovania hybnosti; invariantnosť pri rotáciách - k zákonu zachovania momentu hybnosti.

Supersymetria

Prenos v plochom štvorrozmernom časopriestore nemení fyzikálne zákony. V teórii poľa translačná symetria podľa Noetherovej vety zodpovedá zachovaniu tenzora hybnosti energie. Najmä čisto časové translácie zodpovedajú zákonu zachovania energie a čisto priestorové posuny zodpovedajú zákonu zachovania hybnosti.

Symetrie v biológii

Symetria v biológii- je to pravidelné usporiadanie podobných (identických, rovnako veľkých) častí tela alebo foriem živého organizmu, súbor živých organizmov vzhľadom na stred alebo os symetrie. Typ symetrie určuje nielen všeobecnú štruktúru tela, ale aj možnosť rozvoja orgánových systémov zvieraťa. Štruktúra tela mnohých mnohobunkových organizmov odráža určité formy symetrie. Ak sa telo zvieraťa dá mentálne rozdeliť na dve polovice, pravú a ľavú, potom sa táto forma symetrie nazýva bilaterálne. Tento typ symetrie je charakteristický pre veľkú väčšinu druhov, ako aj pre ľudí. Ak sa telo zvieraťa dá mentálne rozdeliť nie jednou, ale niekoľkými rovinami symetrie na rovnaké časti, potom sa také zviera nazýva radiálne symetrické. Tento typ symetrie je oveľa menej bežný.

Asymetria- nedostatok symetrie. Niekedy sa tento výraz používa na opis organizmov, ktorým primárne chýba symetria, na rozdiel od nesúmernosť- sekundárna strata symetrie alebo jej jednotlivých prvkov.

Pojmy symetria a asymetria sú inverzné. Čím je organizmus symetrický, tým je menej asymetrický a naopak. Malý počet organizmov je úplne asymetrický. V tomto prípade je potrebné rozlišovať medzi variabilitou tvaru (napríklad u améby) a nedostatkom symetrie. V prírode a najmä v živej prírode symetria nie je absolútna a vždy obsahuje určitý stupeň asymetrie. Napríklad symetrické listy rastlín sa pri zložení na polovicu nezhodujú presne.

V biologických objektoch sa nachádzajú tieto typy symetrie:

• sférická symetria rotácií v trojrozmernom priestore pod ľubovoľnými uhlami.
• osová symetria (radiálna symetria, rotačná symetria neurčitého rádu) - symetria vzhľadom na rotácie o ľubovoľný uhol okolo ľubovoľnej osi.
  • rotačná symetria n-tého rádu - symetria vzhľadom na rotácie o uhol 360°/n okolo ľubovoľnej osi.
• bilaterálna (bilaterálna) symetria - symetria vzhľadom na rovinu symetrie (symetria zrkadlového odrazu).
• translačná symetria - symetria vzhľadom na priestor sa posúva v akomkoľvek smere na určitú vzdialenosť (jej špeciálnym prípadom u zvierat je metaméria (biológia)).
• triaxiálna asymetria - nedostatok symetrie pozdĺž všetkých troch priestorových osí.

Radiálna symetria

Typicky dve alebo viac rovín symetrie prechádzajú cez os symetrie. Tieto roviny sa pretínajú pozdĺž priamky - osi súmernosti. Ak sa zviera o určitý stupeň otočí okolo tejto osi, potom sa zobrazí na sebe (zhoduje sa so sebou). Takýchto osí symetrie môže byť niekoľko (polyaxónová symetria) alebo jedna (monaxónová symetria). Polyaxonálna symetria je bežná medzi protistami (napr. rádiolariáni).

U mnohobunkových zvierat sú spravidla dva konce (póly) jednej osi symetrie nerovnaké (napríklad u medúzy sú ústa umiestnené na jednom póle (orálne) a špička zvona je na opačnom (aborálny) pól Takáto symetria (variant radiálnej symetrie) sa v porovnávacej anatómii nazýva jednoosová-heteropol Pri dvojrozmernej projekcii možno zachovať radiálnu symetriu, ak os symetrie smeruje kolmo na projekčnú rovinu slovami, zachovanie radiálnej symetrie závisí od uhla pohľadu.

Radiálna symetria je charakteristická pre mnoho cnidarianov, ako aj pre väčšinu ostnatokožcov. Medzi nimi je takzvaná pentasymetria, založená na piatich rovinách symetrie. U ostnokožcov je radiálna symetria sekundárna: ich larvy sú obojstranne symetrické a u dospelých zvierat je vonkajšia radiálna symetria narušená prítomnosťou madreporovej platničky.

Okrem typickej radiálnej symetrie existuje biradiálna radiálna symetria (dve roviny symetrie napr. v ctenoforoch). Ak existuje iba jedna rovina symetrie, potom je symetria obojstranná (zvieratá zo skupiny majú takúto symetriu Bilaterálne).

Kryštalografická skupina bodovej symetrie je skupina bodovej symetrie, ktorá opisuje makrosymetriu kryštálu. Keďže v kryštáloch sú povolené osi (rotačná a nesprávna rotácia) len 1, 2, 3, 4 a 6 rádov, z celého nekonečného počtu skupín bodovej symetrie je iba 32 klasifikovaných ako kryštalografické.

Anizotropia (zo starej gréčtiny. ἄνισος - nerovný a τρόπος - smer) - rozdiel vo vlastnostiach média (napríklad fyzikálnych: elasticita, elektrická vodivosť, tepelná vodivosť, index lomu, rýchlosť zvuku alebo svetla atď.) v rôznych smeroch v rámci tohto média; na rozdiel od

Definícia symetrie;

• Definícia symetrie;

• Stredová symetria;

• Osová súmernosť;

• Symetria vzhľadom na rovinu;

• Rotačná symetria;

• Zrkadlová symetria;

• Symetria podobnosti;

• Symetria rastlín;

• Zvieracia symetria;

• Symetria v architektúre;

• Je človek symetrický tvor?

• Symetria slov a čísel;

SYMMETRY

• SYMMETRY- úmernosť, zhodnosť v usporiadaní častí niečoho na opačných stranách bodu, priamky alebo roviny.

• (Ozhegovov vysvetľujúci slovník)

• Geometrický objekt sa teda považuje za symetrický, ak sa s ním dá niečo urobiť, po čom zostane nezmenené.

O O O volal stred symetrie postavy.

• Postava je údajne symetrická k bodu O, ak pre každý bod obrázku existuje bod, ktorý je k nemu symetrický vzhľadom na bod O patrí tiež k tejto postave. Bodka O volal stred symetrie postavy.

kruh a rovnobežník stred kruhu ). Rozvrh nepárna funkcia

Príklady postáv, ktoré majú stredovú symetriu, sú kruh a rovnobežník. Stred symetrie kruhu je stred kruhu, a stred symetrie rovnobežníka je priesečník jeho uhlopriečok. Akákoľvek priama čiara má tiež stredovú symetriu ( každý bod na priamke je jej stredom symetrie). Rozvrh nepárna funkcia symetrické podľa pôvodu.

• Príkladom postavy, ktorá nemá stred symetrie, je ľubovoľný trojuholník.

A A a volal os symetrie postavy.

• Postava je údajne symetrická podľa priamky A, ak pre každý bod obrázku existuje bod symetrický vzhľadom na priamku A patrí tiež k tejto postave. Rovno a volal os symetrie postavy.

V nezaklonenom rohu jedna os symetrie osi uhla jedna os symetrie tri osi symetrie dve osi symetrie, a námestie je štyri osi symetrie vzhľadom na os y.

V nezaklonenom rohu jedna os symetrie- priamka, na ktorej sa nachádza osi uhla. Rovnoramenný trojuholník má tiež jedna os symetrie, a rovnostranný trojuholník je tri osi symetrie. Obdĺžnik a kosoštvorec, ktoré nie sú štvorce, majú dve osi symetrie, a námestie je štyri osi symetrie. Kruh ich má nekonečný počet. Graf párnej funkcie je pri zostrojení symetrický vzhľadom na os y.

• Existujú postavy, ktoré nemajú jedinú os symetrie. Takéto čísla zahŕňajú rovnobežník, okrem obdĺžnika, scalenský trojuholník.

Body A A A1 A A AA1 A kolmý A počíta symetrický sám k sebe

Body A A A1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na rovinu A(rovina symetrie), ak je rovina A prechádza stredom segmentu AA1 A kolmý do tohto segmentu. Každý bod roviny A počíta symetrický sám k sebe. Dva obrazce sa nazývajú symetrické vzhľadom na rovinu (alebo zrkadlovo symetrické relatívne), ak pozostávajú z párovo symetrických bodov. To znamená, že pre každý bod jedného obrazca leží bod symetrický (relatívne) k nemu v inom obrazci.

Telo (alebo postava) má rotačná symetria, ak pri otáčaní uhla 360º/n, kde n je celé číslo plne kompatibilné

• Telo (alebo postava) má rotačná symetria, ak pri otáčaní uhla 360º/n, kde n je celé číslo, blízko nejakej priamky AB (os symetrie) to plne kompatibilné s jeho pôvodnou polohou.

• Radiálna symetria- forma symetrie, ktorá sa zachováva, keď sa objekt otáča okolo určitého bodu alebo priamky. Často sa tento bod zhoduje s ťažiskom objektu, teda bodom, v ktorom pretína nekonečné množstvo osí symetrie. Podobné predmety môžu byť kruh, guľa, valec alebo kužeľ.

Zrkadlová symetria zaväzuje kohokoľvek

Zrkadlová symetria zaväzuje kohokoľvek objekt a jeho odraz v rovinnom zrkadle. Jedna postava (alebo telo) sa považuje za zrkadlovo symetrickú k druhej, ak spolu tvoria zrkadlovo symetrickú postavu (alebo telo). Symetricky zrkadlené obrazce sa napriek všetkým podobnostiam navzájom výrazne líšia. Dve zrkadlovo symetrické ploché figúrky sa dajú vždy na seba položiť. Na to je však potrebné odstrániť jednu z nich (alebo obe) z ich spoločnej roviny.

Symetria podobnosti hniezdiace bábiky.

• Symetria podobnosti sú jedinečné analógy predchádzajúcich symetrií s jediným rozdielom, že sú spojené s súčasné zmenšenie alebo zväčšenie podobných častí postavy a vzdialenosti medzi nimi. Najjednoduchším príkladom takejto symetrie je hniezdiace bábiky.

• Postavy môžu mať niekedy rôzne typy symetrie. Napríklad niektoré písmená majú rotačnú a zrkadlovú symetriu: A, N, M, O, A.

• Existuje mnoho ďalších typov symetrií, ktoré sú svojou povahou abstraktné. Napríklad:

• Komutačná symetria, ktorá spočíva v tom, že ak sa vymenia rovnaké častice, nenastanú žiadne zmeny;

• Meracie symetrie pripojený so zmenou priblíženia. V neživej prírode vzniká symetria predovšetkým v takom prírodnom jave, akým je kryštály, z ktorej sa skladajú takmer všetky pevné látky. Práve to určuje ich vlastnosti. Najzrejmejším príkladom krásy a dokonalosti kryštálov je dobre známy snehová vločka.

So symetriou sa stretávame všade: v prírode, technike, umení, vede. Pojem symetria prechádza celou stáročnou históriou ľudskej tvorivosti. Princípy symetrie zohrávajú dôležitú úlohu vo fyzike a matematike, chémii a biológii, technike a architektúre, maliarstve a sochárstve, poézii a hudbe. Zásadám symetrie podliehajú aj prírodné zákony.

os symetrie.

• Mnohé kvety majú zaujímavú vlastnosť: môžu sa otáčať tak, aby každý okvetný lístok zaujal pozíciu svojho suseda a kvetina sa zarovnala sama so sebou. Táto kvetina má os symetrie.

• Skrutková symetria pozorované pri usporiadaní listov na stonkách väčšiny rastlín. Listy, ktoré sú usporiadané ako skrutka pozdĺž stonky, sa zdajú byť roztiahnuté vo všetkých smeroch a navzájom sa neblokujú pred svetlom, ktoré je pre život rastlín mimoriadne potrebné.

• Obojstranná symetria Prítomné sú aj rastlinné orgány, napríklad stonky mnohých kaktusov. Často sa vyskytuje v botanike radiálne symetricky usporiadané kvety.

deliaca čiara.

• Symetria u zvierat znamená zhodu veľkosti, tvaru a obrysu, ako aj vzájomné usporiadanie častí tela umiestnených na opačných stranách deliaca čiara.

• Hlavné typy symetrie sú radiálne(radiálny) – majú ho ostnatokožce, coelenteráty, medúzy atď.; alebo bilaterálne(obojstranné) - môžeme povedať, že každé zviera (či už je to hmyz, ryba alebo vták) pozostáva z dvoch polovíc- vpravo a vľavo.

• Sférická symetria vyskytuje sa u rádiolariánov a slnečníc. Akákoľvek rovina pretiahnutá stredom rozdeľuje zviera na rovnaké polovice.

• Symetria štruktúry je spojená s organizáciou jej funkcií. Priemet roviny symetrie - osi budovy - zvyčajne určuje umiestnenie hlavného vstupu a začiatku hlavných dopravných prúdov.

• Každý detail v symetrickom systéme existuje ako dvojník k tvojmu povinnému páru, ktorý sa nachádza na druhej strane osi a vzhľadom na to ho možno považovať len za súčasť celku.

• Najčastejšie v architektúre zrkadlová symetria. Sú mu podriadené budovy starovekého Egypta a chrámy starovekého Grécka, amfiteátre, kúpele, baziliky a víťazné oblúky Rimanov, paláce a kostoly renesancie, ako aj početné stavby modernej architektúry.

akcenty

• Aby lepšie odrážali symetriu, budovy sú umiestnené akcenty- obzvlášť významné prvky (kupoly, veže, stany, hlavné vchody a schodiská, balkóny a arkierové okná).

• Na navrhovanie dekorácie architektúry sa používa ornament - rytmicky sa opakujúci vzor založený na symetrickom zložení jeho prvkov a vyjadrený líniou, farbou alebo reliéfom. Historicky sa niekoľko typov ozdôb vyvinulo na základe dvoch zdrojov - prírodných foriem a geometrických útvarov.

• Ale architekt je v prvom rade umelec. A preto sa častejšie používali aj tie „klasickejšie“ štýly nesúmernosť– nuansovaná odchýlka od čistej symetrie resp asymetria- zámerne asymetrická konštrukcia.

• Nikto nebude pochybovať o tom, že navonok je človek stavaný symetricky: ľavá ruka vždy zodpovedá pravej a obe ruky sú úplne rovnaké. Ale podobnosti medzi našimi rukami, ušami, očami a inými časťami tela sú rovnaké ako medzi objektom a jeho odrazom v zrkadle.

správne jeho polovicu hrubé črty charakteristické pre mužské pohlavie. Ľavá polovica

Ukázali to početné merania parametrov tváre u mužov a žien správne jeho polovicu oproti ľavici má výraznejšie priečne rozmery, čo dodáva tvári viac hrubé črty charakteristické pre mužské pohlavie. Ľavá polovica tvár má výraznejšie pozdĺžne rozmery, čo jej dáva hladké línie a ženskosť. Táto skutočnosť vysvetľuje prevládajúcu túžbu žien pózovať pred umelcami ľavou stranou tváre a mužov - pravou.

Palindróm

• Palindróm(z gr. Palindromos - beh späť) je objekt, v ktorom je symetria jeho zložiek špecifikovaná od začiatku do konca a od konca po začiatok. Napríklad fráza alebo text.

• Priamy text palindrómu, čítaný podľa normálneho smeru čítania daného písma (zvyčajne zľava doprava), sa nazýva vzpriamený, spätne - roverom alebo obrátene(sprava doľava). Niektoré čísla majú tiež symetriu.

Pochopenie toho, čo je symetria v matematike, je nevyhnutné pre ďalšie zvládnutie základných a pokročilých tém v algebre a geometrii. To je tiež dôležité pre pochopenie kresby, architektúry a pravidiel pre zostavovanie kresby. Napriek úzkemu spojeniu s najpresnejšou vedou - matematikou, je symetria dôležitá pre umelcov, umelcov, tvorcov a pre tých, ktorí sa zaoberajú vedeckou činnosťou, v akejkoľvek oblasti.

Všeobecné informácie

Nielen matematika, ale aj prírodné vedy sú vo veľkej miere založené na koncepte symetrie. Navyše sa nachádza v každodennom živote a je jedným zo základných pre povahu nášho Vesmíru. Pri pochopení toho, čo je symetria v matematike, je potrebné spomenúť, že existuje niekoľko typov tohto javu. Je obvyklé hovoriť o nasledujúcich možnostiach:

• Bilaterálne, to znamená, keď je symetria zrkadlová. Tento jav sa vo vedeckej komunite zvyčajne nazýva „bilaterálny“.
• Žiadna objednávka. Pre tento koncept je kľúčovým javom uhol natočenia, vypočítaný vydelením 360 stupňov nejakou danou hodnotou. Okrem toho je vopred určená os, okolo ktorej sa tieto rotácie vykonávajú.
• Padial, keď sa jav symetrie pozoruje, ak sa rotácie vykonávajú ľubovoľne v nejakom náhodnom uhle. Os je tiež nezávisle voliteľná. Na opis tohto javu sa používa skupina SO(2).
• Sférický. V tomto prípade hovoríme o troch rozmeroch, v ktorých sa objekt otáča, pričom sa volí ľubovoľné uhly. Špecifický prípad izotropie sa identifikuje, keď sa jav stane lokálnym, charakteristickým pre prostredie alebo priestor.
• Rotačné, spájajúce dve skupiny opísané vyššie.
• Lorentzove invariantné, keď sa uskutočňujú ľubovoľné rotácie. Pre tento typ symetrie je kľúčovým konceptom „Minkowski priestoročas“.
• Super, definovaný ako nahradenie bozónov fermiónmi.
• Najvyššia, identifikovaná počas skupinovej analýzy.
• Translačný, keď dochádza k posunom v priestore, pre ktoré vedci identifikujú smer a vzdialenosť. Na základe získaných údajov sa vykoná porovnávacia analýza na odhalenie symetrie.
• Meradlo, pozorované v prípade nezávislosti teórie kalibrov pri vhodných transformáciách. Tu sa osobitná pozornosť venuje teórii poľa vrátane zamerania sa na myšlienky Yang-Millsa.
• Kaino, patriace do triedy elektronických konfigurácií. Matematika (6. ročník) netuší, čo je to taká symetria, pretože je to veda najvyššieho stupňa. Tento jav je spôsobený sekundárnou periodicitou. Bola objavená počas vedeckej práce E. Birona. Terminológiu zaviedol S. Shchukarev.

Zrkadlo

Počas školy sú študenti takmer vždy požiadaní, aby urobili „Symmetry Around Us“ (matematický projekt). Spravidla sa odporúča na realizáciu v šiestom ročníku bežnej školy so všeobecným učebným plánom na vyučovanie predmetov. Aby ste sa s projektom vyrovnali, musíte sa najprv zoznámiť s pojmom symetria, najmä identifikovať, aký typ zrkadla je jedným zo základných a pre deti najzrozumiteľnejších.

Na identifikáciu javu symetrie sa zvažuje konkrétny geometrický útvar a vyberie sa rovina. Kedy hovoríme o symetrii uvažovaného objektu? Najprv sa na ňom vyberie určitý bod a potom sa k nemu nájde odraz. Medzi nimi sa nakreslí segment a vypočíta sa uhol, pod ktorým prechádza do predtým zvolenej roviny.

Keď pochopíte, čo je symetria v matematike, nezabudnite, že rovina vybraná na identifikáciu tohto javu sa bude nazývať rovina symetrie a nič iné. Nakreslený segment sa s ním musí pretínať v pravom uhle. Vzdialenosť od bodu k tejto rovine a od nej k druhému bodu úsečky musí byť rovnaká.

Nuansy

Aké ďalšie zaujímavé veci sa môžete dozvedieť pri analýze takého javu, akým je symetria? Matematika (6. ročník) nám hovorí, že dva útvary považované za symetrické nemusia byť nevyhnutne navzájom totožné. Pojem rovnosť existuje v užšom a širokom zmysle. Takže symetrické objekty v úzkom nie sú to isté.

Aký príklad zo života môžeš uviesť? Základné! Čo poviete na naše rukavice a palčiaky? Všetci sme zvyknutí ich nosiť a vieme, že ich nemôžeme stratiť, pretože si nemôžeme vybrať druhú za pár, čo znamená, že si obe budeme musieť kúpiť znova. A prečo všetky? Pretože spárované produkty, hoci sú symetrické, sú určené pre ľavú a pravú ruku. Toto je typický príklad zrkadlovej symetrie. Pokiaľ ide o rovnosť, takéto objekty sa považujú za „zrkadlové rovnaké“.

A čo centrum?

Úvaha o stredovej symetrii začína určením vlastností telesa, vo vzťahu ku ktorým je potrebné jav hodnotiť. Ak to chcete nazvať symetrickým, najprv vyberte určitý bod umiestnený v strede. Ďalej vyberte bod (nazvime ho A) a hľadajte k nemu pár (nazvime ho E).

Pri určovaní symetrie sú body A a E navzájom spojené priamkou, zachytávajúcou stredový bod telesa. Potom zmerajte výslednú priamku. Ak sa úsečka z bodu A do stredu objektu rovná úsečke oddeľujúcej stred od bodu E, môžeme povedať, že stred symetrie bol nájdený. Stredová symetria v matematike je jedným z kľúčových pojmov, ktorý nám umožňuje ďalej rozvíjať teórie geometrie.

Čo ak sa otáčame?

Pri analýze toho, čo je symetria v matematike, nemožno stratiť zo zreteľa koncept rotačného podtypu tohto javu. Aby ste porozumeli pojmom, vezmite si telo, ktoré má stredový bod, a tiež určte celé číslo.

Počas experimentu sa dané teleso otočí o uhol, ktorý sa rovná výsledku delenia o 360 stupňov zvoleným indikátorom celého čísla. K tomu treba vedieť, čo to je (2. ročník, matematika, školský vzdelávací program). Táto os je priamka spájajúca dva vybrané body. O symetrii rotácie môžeme hovoriť vtedy, ak pri zvolenom uhle rotácie bude teleso v rovnakej polohe ako pred manipuláciou.

V prípade, že 2 bolo zvolené ako prirodzené číslo a bol objavený jav symetrie, hovorí sa, že osová symetria v matematike je definovaná. To je typické pre množstvo postáv. Typický príklad: trojuholník.

Viac o príkladoch

Dlhoročná prax vyučovania matematiky a geometrie na strednej škole ukazuje, že najjednoduchší spôsob, ako pochopiť fenomén symetrie, je vysvetliť ho na konkrétnych príkladoch.

Najprv sa pozrime na guľu. Takéto telo je súčasne charakterizované javmi symetrie:

• centrálny;
• zrkadlo;
• rotačné.

Bod umiestnený presne v strede obrázku je vybraný ako hlavný bod. Na výber roviny sa určí veľký kruh a akoby sa „rozreže“ na vrstvy. Čo hovorí matematika? Rotácia a stredová symetria v prípade lopty sú vzájomne prepojené pojmy a priemer postavy bude slúžiť ako os pre uvažovaný jav.

Ďalším jasným príkladom je okrúhly kužeľ. Tento údaj je charakteristický pre V matematike a architektúre našiel tento fenomén široké teoretické a praktické uplatnenie. Upozorňujeme, že osou javu je os kužeľa.

Tento obrázok jasne demonštruje skúmaný jav. Tento obrázok sa vyznačuje zrkadlovou symetriou. Rovina je zvolená tak, aby bola „rezom“ rovnobežným so základňami obrázku v rovnakých intervaloch od nich. Pri vytváraní geometrickej, deskriptívnej, architektonickej symetrie je nemenej dôležitá ako exaktné a deskriptívne vedy) pamätajte na praktickú využiteľnosť a výhody fenoménu specularity pri plánovaní nosných prvkov.

Čo ak existujú zaujímavejšie postavy?

Čo nám môže povedať matematika (6. ročník)? Stredová symetria existuje nielen v takom jednoduchom a zrozumiteľnom objekte, akým je lopta. Je charakteristická aj pre zaujímavejšie a zložitejšie postavy. Toto je napríklad rovnobežník. Pre takýto objekt sa centrálnym bodom stáva ten, v ktorom sa pretínajú jeho diagonály.

Ale ak vezmeme do úvahy rovnoramenný lichobežník, potom to bude postava s osovou symetriou. Dá sa to identifikovať, ak zvolíte správnu os. Telo je symetrické okolo priamky kolmej na základňu a pretínajúcej ju presne v strede.

Symetria v matematike a architektúre nevyhnutne zohľadňuje kosoštvorec. Tento obrázok je pozoruhodný tým, že súčasne kombinuje dva typy symetrie:

• axiálne;
• centrálny.

Ako os musíte vybrať uhlopriečku objektu. Tam, kde sa pretínajú uhlopriečky kosoštvorca, je jeho stred symetrie.

O kráse a symetrii

Pri tvorbe projektu z matematiky, pre ktorý by bola symetria kľúčovou témou, si človek zvyčajne najskôr spomenie na múdre slová veľkého vedca Weyla: „Symetria je myšlienka, ktorú sa obyčajný človek snaží pochopiť už mnoho storočí, pretože je to to, čo vytvára dokonalú krásu prostredníctvom jedinečného poriadku.“

Ako viete, niektoré predmety sa väčšine zdajú krásne, zatiaľ čo iné sú odpudivé, aj keď nemajú žiadne zjavné nedostatky. Prečo sa to deje? Odpoveď na túto otázku ukazuje vzťah architektúry a matematiky v symetrii, pretože práve tento fenomén sa stáva základom hodnotenia predmetu ako esteticky atraktívneho.

Jednou z najkrajších žien našej planéty je supermodelka Kisti Tarlikton. Je si istá, že úspech dosiahla predovšetkým vďaka jedinečnému fenoménu: jej pery sú symetrické.

Ako viete, príroda tiahne k symetrii a nemôže ju dosiahnuť. Nie je to všeobecné pravidlo, ale pozrite sa na ľudí okolo seba: nájsť absolútnu symetriu v ľudských tvárach je takmer nemožné, hoci túžba po nej je zrejmá. Čím symetrickejšia je tvár partnera, tým krajší sa zdá.

Ako sa symetria stala myšlienkou krásy

Je prekvapujúce, že vnímanie krásy priestoru okolo seba a predmetov v ňom človeka je založené na symetrii. Po mnoho storočí sa ľudia snažia pochopiť, čo sa zdá byť krásne a čo odpudzuje nestrannosť.

Symetria a proporcie sú to, čo pomáha vizuálne vnímať objekt a hodnotiť ho pozitívne. Všetky prvky a časti musia byť vyvážené a v primeranom vzájomnom pomere. Už dávno sa zistilo, že ľudia majú oveľa menej radi asymetrické predmety. To všetko je spojené s pojmom „harmónia“. Od staroveku si mudrci, umelci a umelci lámali hlavu nad tým, prečo je to pre ľudí také dôležité.

Keď sa bližšie pozriete na geometrické tvary, fenomén symetrie sa stane zrejmým a zrozumiteľným. Najtypickejšie symetrické javy v priestore okolo nás:

• skaly;
• kvety a listy rastlín;
• párové vonkajšie orgány vlastné živým organizmom.

Opísané javy majú svoj zdroj v samotnej prírode. Čo je však symetrické, keď sa pozriete zblízka na produkty ľudských rúk? Je zrejmé, že ľudia inklinujú k vytvoreniu presne tohto, ak chcú urobiť niečo krásne alebo funkčné (alebo oboje súčasne):

• vzory a ozdoby populárne od staroveku;
• stavebné prvky;
• konštrukčné prvky zariadení;
• vyšívanie.

O terminológii

„Symetria“ je slovo, ktoré sa do nášho jazyka dostalo od starovekých Grékov, ktorí tomuto fenoménu najprv venovali veľkú pozornosť a snažili sa ho študovať. Termín označuje prítomnosť určitého systému, ako aj harmonickú kombináciu častí objektu. Preklad slova „symetria“ si môžete vybrať ako synonymá:

• proporcionalita;
• rovnosť;
• proporcionality.

Od staroveku bola symetria dôležitým pojmom pre rozvoj ľudstva v rôznych oblastiach a odvetviach. Od staroveku mali národy všeobecné predstavy o tomto fenoméne, najmä v širšom zmysle. Symetria znamenala harmóniu a rovnováhu. V súčasnosti sa terminológia vyučuje na bežných školách. Napríklad, čo je (2. ročník, matematika) učiteľka hovorí deťom na bežnej hodine.

Ako myšlienka sa tento jav často stáva východiskovým predpokladom vedeckých hypotéz a teórií. Toto bolo obzvlášť populárne v predchádzajúcich storočiach, keď myšlienka matematickej harmónie, ktorá je súčasťou samotného systému vesmíru, vládla po celom svete. Odborníci tých čias boli presvedčení, že symetria je prejavom božskej harmónie. Ale v starovekom Grécku filozofi uisťovali, že celý vesmír je symetrický, a to všetko bolo založené na postuláte: „Symetria je krásna“.

Veľkí Gréci a symetria

Symetria vzrušovala mysle najslávnejších vedcov starovekého Grécka. Dodnes sa zachoval dôkaz, že Platón vyzýval k samostatnému obdivu Podľa jeho názoru sú takéto postavy zosobnením prvkov nášho sveta. Bola nasledujúca klasifikácia:

Z veľkej časti kvôli tejto teórii je zvykom nazývať pravidelné mnohosteny platónske telesá.

Ale terminológia bola zavedená ešte skôr a tu zohral dôležitú úlohu sochár Polykleitos.

Pytagoras a symetria

Počas života Pytagora a následne, keď jeho učenie zažilo svoj rozkvet, bol fenomén symetrie jasne definovaný. Práve vtedy prešla symetria vedeckou analýzou, ktorá priniesla výsledky dôležité pre praktickú aplikáciu.

Podľa zistení:

• Symetria je založená na pojmoch proporcie, jednotnosti a rovnosti. Ak dôjde k porušeniu jedného alebo druhého konceptu, postava sa stáva menej symetrickou a postupne sa mení na úplne asymetrickú.
• Existuje 10 opačných párov. Podľa doktríny je symetria jav, ktorý spája protiklady a tým formuje vesmír ako celok. Po mnoho storočí mal tento postulát silný vplyv na množstvo vied, exaktných a filozofických, ako aj prírodných.

Pytagoras a jeho nasledovníci identifikovali „dokonale symetrické telá“, medzi ktoré patrili tie, ktoré spĺňajú tieto podmienky:

• každá plocha je mnohouholník;
• hrany sa stretávajú v rohoch;
• postava musí mať rovnaké strany a uhly.

Bol to Pytagoras, ktorý ako prvý povedal, že takýchto tiel je len päť. Tento veľký objav znamenal začiatok geometrie a je mimoriadne dôležitý pre modernú architektúru.

Chcete na vlastné oči vidieť najkrajší fenomén symetrie? Chyťte snehovú vločku v zime. Prekvapivo je to fakt – tento maličký kúsok ľadu padajúci z oblohy má nielen mimoriadne zložitú kryštalickú štruktúru, ale je aj dokonale symetrický. Pozrite sa na to pozorne: snehová vločka je skutočne krásna a jej zložité línie sú očarujúce.

z gréčtiny symetria - proporcionalita) - jednotné, podobné usporiadanie prvkov formy nejakého umelého objektu; v širšom zmysle slova - invariantnosť (stálosť) štruktúry, tvaru hmotného objektu (systému objektov) vo vzťahu k jeho premene, vďaka čomu je symetria spojená so zachovaním určitých veličín charakterizujúcich daný objekt (systém) napríklad energia, hybnosť atď. (Noetherova veta v teoretickej fyzike). (Pozri tiež Syngónie, Kryštály, Kryštalografia).

Výborná definícia

Neúplná definícia ↓

Symetria

Usporiadanie celku je podľa Platóna premena celku na harmóniu a určitou štruktúrou harmónie je symetria, proporcia, rytmus.

a) Platón nepodal dostatočne jasnú a rozvinutú definíciu symetrie, hoci tento pojem je pre estetiku veľmi dôležitý. Jeho vyjadrenia o symetrii (Phileb, 23c - 27d) sú, žiaľ, príliš všeobecné. Zredukujú sa približne na nasledovné: predstavte si nejaké prázdne pozadie, na ktorom nie je nič nakreslené. Nakreslíme na toto pozadie postavu - kruh, štvorec, trojuholník, obdĺžnik atď. Takáto postava je označená priamou alebo zakrivenou čiarou. Predpokladajme ďalej, že nami odobraté pozadie a nakreslený obrazec nepovažujeme od seba oddelene, ale ako o niečom celku. Toto zobrazenie je správne, pretože postava akosi obsadila a podriadila si určitú časť pozadia. Čo je to za postavu, aký má špecifický vzhľad? Jeho vzhľad môže byť krásny alebo škaredý, proporcionálny alebo neproporcionálny, symetrický a asymetrický. Dali sme postave presne taký vzhľad, aký sme chceli, alebo sme zlyhali? Naše estetické cítenie vám povie, či je táto postava dobrá alebo zlá, či je štíhla alebo nie štíhla, krásna alebo škaredá atď.. Toto je najjednoduchšia a univerzálna úvaha, ktorú treba mať na pamäti, aby sme pochopili obsah Platónových ťažkých dialóg „Philebus“ .

Namiesto toho, aby Platón hovoril o pozadí, zavádza pojem nekonečna. Samozrejme, Platónove slová o tom, že nekonečné „môže“ byť také veľké a také malé, ako sa vám páči, nebudú hneď jasné, že je prázdne a v sebe nič neobsahuje. Takže naše pozadie je platónske nekonečno. Ďalej na našom pozadí nakreslíme určitú postavu, t.j. obmedzíme nejakú časť pozadia. Platón nazýva toto číslo nie veľmi jasným termínom - „limit“. Limitom je v tomto prípade jednoducho obmedzenie známej časti pozadia. Ale naša kresba, ktorá obmedzila časť pozadia od zvyšku pozadia, vytvorila presne určitú postavu. Platón nazýva toto číslo nie celkom jasným termínom - „zmätok“ nekonečna a limitu. Nejde o žiadne zamieňanie rôznych predmetov. Tento pojem možno prirovnať k tomu, ako je vnímaná kresba figúry, keď táto figúra vystupujúca na nejakom pozadí v skutočnosti „splýva“ s týmto pozadím, ale je zrejmé, že tento pojem „prelínanie“ je špecifický. Ešte ťažší a nepochopiteľnejší je Platónov termín, ktorým presne označuje, akú postavu sme dostali, teda akú predstavu sme chceli v kresbe zhmotniť, či ideu napríklad o trojuholníku alebo ideu. kruhu alebo dokonca akejkoľvek konkrétnej myšlienky. Platón to nazval „príčinou zmätku“. Slovo „príčina“ je tu buď nešťastné, alebo sa nám jednoducho nepodarilo preložiť zodpovedajúci grécky výraz. Je však jasné, že toto číslo je úplne jednoznačné. Toto vôbec nie je postava, ale trojuholník, obdĺžnik, kruh atď. Je to postava, ktorú sme chceli nakresliť? Tu sa objavuje nová etapa chápania kresby, ktorú Platón nazýva tromi pojmami naraz: „symetria“, „pravda“ a „krása“. Samozrejme, že postava, ktorú dostaneme, je buď symetrická alebo asymetrická, alebo zodpovedá našej predstave a teda je pravdivá, alebo sme sa pri kreslení v niečom pomýlili a potom to nie je pravda a je to buď pekné, alebo škaredé. To je tiež jasné. Príliš všeobecná povaha týchto pojmov a absencia akejkoľvek diskusie o ich vzájomnej závislosti ich však znejasňujú, a preto sa o tom v komentároch antických autorov k Platónovmu Philebusovi veľa polemizovalo. V dôsledku toho symetria podľa Platónovho Philebusa predpokladá najmenej štyri rôzne pojmy - nekonečno, limit, zmiešanie oboch a dôvody tohto miešania. A okrem toho ani v tomto prípade nie je pojem symetria ešte veľmi jasne odlíšený od pojmu pravdy a krásy. Ak vezmeme do úvahy Platónovu lásku k architektonike pojmov a ich schematizmu, rozdelenie krásy, pravdy a symetrie nie je nič iné ako opakovanie pôvodnej dialektiky nekonečna, limitov a zmätku na najvyššej úrovni. Najzaujímavejšia a najbližšia nášmu chápaniu estetiky je diskusia o potešení alebo pôžitku a racionalite. Rozkoš alebo pôžitok je niečo neobmedzené, pretože samo o sebe je nenásytné, večne sa snaží, akoby slepo, a nemá hraníc. Racionalita, myseľ alebo intelekt, naopak, sú vždy založené na určitom systéme, na určitých presných rozdieloch, na abstinencii od pôžitkov, a preto sú pevným a určitým princípom, „limitom“. Ak pod krásou Platón chápe syntézu rozkoše a inteligencie, teda akoby vnútornú stránku proporcionality symetrie, potom zrejme predvída neskôr veľmi rozšírené európske učenie o spojení rozkoše a inteligencie v kráse. Skutočný pojem krásy vždy zahŕňa nielen potešenie, ale aj rozumnú ideológiu. Platónova doktrína symetrie sa ukazuje ako nie taká naivná a všeobecná; do istej miery odráža tak skutočnú estetickú realitu, ako aj jej reálne vnímanie.

b) Vychádzali sme z toho, že estetickú a všetku ostatnú terminológiu rozvíjal Platón postupne, niekedy s veľkou námahou a často nadobúdal nejasné a mätúce podoby. Je však nemožné študovať Platónovu estetiku len na základe niektorých materiálov od Phileba. Je potrebné venovať pozornosť používaniu pojmu „symetria“ v iných dialógoch.

Napríklad v „Zákonoch“ (Legg., II 668 a) je zaujímavé: „Veď čo sa rovná, to sa rovná a čo je symetrické (symetron) je symetrické nie preto, že sa niekomu páči alebo vyhovuje vkusu, ale Kritériom tu je predovšetkým pravda a nie niečo iné. V tomto prípade „symetria“ už predpokladá „pravdu“, takže prinajmenšom v tomto bode sme sa správne domnievali, pokiaľ ide o miesto „symetrie“ vo Philebuse. S Philebusom susedí rozsudok v Zákonoch (Legg., VI 773 a): „Čo je rovné a primerané vo vzťahu k cnosti, je nekonečne vyššie ako to, čo je nadmerné (acratoy). Tieto príklady tiež ukazujú, že nie nadarmo umiestnil Platón svoju „symetriu“ do takej všeobecnej oblasti, akou je oblasť tvorivej zmesi limitu a nekonečna. Tieto dva texty veľmi slabo zdôrazňujú štrukturálnu stránku symetrie, takže „proporcionalitu“ tu možno chápať v najširšom zmysle. Rovnako ako „pravda“ a „krása“ majú nejaký druh korešpondencie (t. j. vzájomnú korešpondenciu medzi limitom a nekonečnom), symetria je rovnaká korešpondencia.

O štrukturálnej povahe symetrie čítame: „Chrám samotného Poseidona mal jednu etapu na dĺžku, tri plefry na šírku a v pomere (symetron) k tej výške“ (Critias, 116 d). Čo tu znamená symetria, nám nie je jasné. Ale je jasné, že sa myslí nejaký druh štrukturálnej korešpondencie. S rovnakým druhom štrukturálneho princípu sa možno stretnúť v Sofistovi, kde hovorí o skreslení objektov vytvorených v dôsledku perspektívy:

„Ak [umelci] vytvárajú skutočnú symetriu krásnych predmetov, potom viete, že vyššie sa javia menšie ako nižšie a nižšie sa javia väčšie, pretože prvé sú pre nás viditeľné z diaľky a druhé sú blízko. .. Neoddeľujú sa aj za takýchto okolností, umelci sú s pravdou, keď dávajú obrazom, ktoré zdobia, nie naozaj krásne „rozmery“ (tas oysas simmetrias), ale zdanlivo“ (Soph., 235 e - 236 a ). Tu „symetria“ iba naznačuje štruktúru, ale v skutočnosti to znamená (ako sa prekladá) presne „rozmery“ alebo (ak preložíme aj predponu tohto slova) „súhrn veľkostí“.

Uveďme text, kde má byť zložený z jednotiek dĺžky, ale bez akéhokoľvek štrukturálneho vzťahu medzi týmito dĺžkami: „Keďže je rovnaká, bude mať rovnaké miery [t.j. e. „z rovnakého počtu merných jednotiek“], čomu sa bude rovnať... Ak je viac alebo menej v porovnaní s tým, čomu zodpovedá (xymetron), potom vo vzťahu k menšiemu bude mať viac mier [väčšieho rozmeru], a v pomere k väčšiemu bude mať menej mier [menšieho rozmeru]... S čím je nesúmerateľné (ja symetron), v pomere k tomu bude mať raz menšie miery, iné. čas väčší“ ( Parm., 140 b). Pod „symetriou“ tu samozrejme rozumieme jednoducho matematickú porovnateľnosť, t. j. možnosť nájsť jedinú mieru merania.

c) Na charakterizáciu pojmu „symetria“ je dôležitý text z Platónovho dialógu „Theaetetus“ (147d-148a). Tento text predstavuje značné ťažkosti z čisto filologickej stránky. Jeho myšlienka sa scvrkáva na skutočnosť, že Platón dáva do popredia pri štúdiu symetrických obdĺžnikov, kde sú strany merané určitým racionálnym číslom a diagonály iracionálnym číslom. Vzťah medzi stranou a uhlopriečkou každého takéhoto obdĺžnika vytvára zvláštny druh symetrie, na základe ktorej, ako študovali teoretici modernej architektúry, starí majstri postavili chrámové budovy klasického obdobia.

Diskusia o symetrii od Theaeteta nezostala bez odozvy v literatúre modernej umeleckej kritiky. Totiž D. Hambidge sa vo svojej doktríne dynamickej symetrie v architektúre3 odvoláva práve na toto miesto v Platónovom Theaetetovi, hoci ho nepodrobuje špeciálnej analýze. Vychádza z veľkého množstva umeleckohistorického a prírodovedného materiálu a okrem iného aj z rozboru všetkých hlavných architektonických prvkov Parthenónu (ale aj iných gréckych chrámov)4. Ak vezmeme do úvahy terminológiu Theaeteta, potom názov symetrie, ktorú tento autor považuje za „dynamickú“, treba považovať za veľmi úspešný.

Diskusia o symetrii v Theaetetovi vo svojej podstate neprekračuje Filéba, ale iba ho konkretizuje. Zjednotenie „limitu“ a „nekonečna“ v umeleckom obraze sa v „Theaetetus“ dosahuje pomocou geometrickej konštrukcie. Geometria v dialógu „Theaetetus“ tu slúži ako telesný a praktický princíp, pomocou ktorého Platón vytvára svoje abstraktné konštrukcie. Platón sa pomocou geometrie snaží preložiť prax starovekého výtvarného umenia (v tomto prípade architektúry) do vedeckého jazyka.

V Platónovom koncepte symetrie je dosť výrazný rozpor so zaužívaným chápaním v západoeurópskej estetike. Tento rozpor je najvýraznejší v dôsledku príliš veľkého rozsahu tohto pojmu u Platóna. Teraz je symetria reprezentovaná hlavne ako prítomnosť vzájomne ekvivalentných častí umiestnených okolo určitého stredu alebo osi. Platónov koncept symetrie bol zredukovaný na prítomnosť vzájomne ekvivalentných častí s veľmi rozšíreným chápaním „centra“ alebo „osi“. Myslime tu nielen na číselné a geometrické vzťahy, ale aj na vzťahy akýchkoľvek sfér existencie a života vôbec.

Najviac zo všetkého, samozrejme, o „symetrii“ uvažuje Platón (ako o všetkých ostatných estetických formách) vo vzťahu k duši a kozmu. Ako uvidíme, je už charakteristický pre všetky elementárne postavy, z ktorých je vybudovaný Platónov kozmos (Tim., 69 b), ale najmä je fixovaný na živé telo a dušu a na vzťah duše a tela (Tim., 69b). 87 c). Môžeme povedať, že symetria tu má rovnaký široký význam ako v predsokratovskej estetike, ale iba v nej je zdôraznený tvorivý moment, úplne rozpustený v kozmologickej a fyzickej predstave sveta u predsokratov.

Výborná definícia

Neúplná definícia ↓