Mnohostranný lichobežník... Môže byť ľubovoľný, rovnoramenný alebo pravouhlý. A v každom prípade musíte vedieť, ako nájsť oblasť lichobežníka. Samozrejme, najjednoduchšie je zapamätať si základné vzorce. Niekedy je však jednoduchšie použiť ten, ktorý je odvodený s prihliadnutím na všetky vlastnosti konkrétneho geometrického útvaru.

Niekoľko slov o lichobežníku a jeho prvkoch

Akýkoľvek štvoruholník, ktorého dve strany sú rovnobežné, možno nazvať lichobežníkom. Vo všeobecnosti nie sú rovnaké a nazývajú sa bázy. Väčšia je spodná a druhá je horná.

Ostatné dve strany sa ukážu ako bočné. V ľubovoľnom lichobežníku majú rôzne dĺžky. Ak sú rovnaké, potom sa postava stane rovnoramenným.

Ak sa náhle ukáže, že uhol medzi ktoroukoľvek stranou a základňou je rovný 90 stupňom, potom je lichobežník obdĺžnikový.

Všetky tieto funkcie môžu pomôcť pri riešení problému, ako nájsť oblasť lichobežníka.

Medzi prvkami obrázku, ktoré môžu byť nevyhnutné pri riešení problémov, môžeme zdôrazniť nasledovné:

• výška, to znamená segment kolmý na obe základne;
• stredová čiara, ktorá má na svojich koncoch stredy bočných strán.

Aký vzorec možno použiť na výpočet plochy, ak je známa základňa a výška?

Tento výraz je uvedený ako základný, pretože najčastejšie sa dajú tieto veličiny rozpoznať, aj keď nie sú výslovne uvedené. Aby ste pochopili, ako nájsť oblasť lichobežníka, budete musieť pridať obe základne a rozdeliť ich dvoma. Výslednú hodnotu potom vynásobte hodnotou výšky.

Ak označíme základy ako 1 a a 2 a výšku ako n, potom vzorec pre oblasť bude vyzerať takto:

S = ((a1 + a2)/2)*n.

Vzorec, ktorý vypočíta plochu, ak je zadaná jej výška a stredová čiara

Ak sa pozorne pozriete na predchádzajúci vzorec, je ľahké si všimnúť, že jasne obsahuje hodnotu stredovej čiary. Totiž súčet základov delený dvomi. Nech je stredná čiara označená písmenom l, potom vzorec pre oblasť bude:

S = l * n.

Schopnosť nájsť oblasť pomocou uhlopriečok

Táto metóda pomôže, ak je známy uhol, ktorý tvoria. Predpokladajme, že uhlopriečky sú označené písmenami d 1 a d 2 a uhly medzi nimi sú α a β. Potom bude vzorec, ako nájsť oblasť lichobežníka, napísaný takto:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

V tomto výraze môžete jednoducho nahradiť α za β. Výsledok sa nezmení.

Ako zistiť oblasť, ak sú známe všetky strany postavy?

Existujú aj situácie, keď sú presne známe strany tohto obrazca. Tento vzorec je ťažkopádny a ťažko zapamätateľný. Ale je to možné. Nech majú strany označenie: a 1 a a 2, základňa a 1 je väčšia ako 2. Potom bude mať vzorec oblasti nasledujúci tvar:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (v 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + v 1 2 - v 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2).

Metódy výpočtu plochy rovnoramenného lichobežníka

Prvá je spôsobená tým, že do nej možno vpísať kruh. A ak poznáte jeho polomer (označuje sa písmenom r), ako aj uhol pri základni - γ, môžete použiť nasledujúci vzorec:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Posledný všeobecný vzorec, ktorý je založený na znalosti všetkých strán obrázku, bude výrazne zjednodušený, pretože strany majú rovnaký význam:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (v 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).

Metódy výpočtu plochy pravouhlého lichobežníka

Je jasné, že čokoľvek z vyššie uvedeného je vhodné pre akúkoľvek postavu. Ale niekedy je užitočné vedieť o jednej vlastnosti takéhoto lichobežníka. Spočíva v tom, že rozdiel medzi štvorcami dĺžok uhlopriečok sa rovná rozdielu, ktorý tvoria druhé mocniny podstav.

Často sa zabúda na vzorce pre lichobežník, zatiaľ čo výrazy pre oblasti obdĺžnika a trojuholníka sú zapamätané. Potom môžete použiť jednoduchú metódu. Rozdeľte lichobežník na dva tvary, ak je obdĺžnikový, alebo na tri. Jeden bude určite obdĺžnik a druhý alebo zvyšné dva trojuholníky. Po spočítaní plôch týchto obrazcov ich ostáva už len sčítať.

Toto je pomerne jednoduchý spôsob, ako nájsť oblasť obdĺžnikového lichobežníka.

Čo ak sú známe súradnice vrcholov lichobežníka?

V tomto prípade budete musieť použiť výraz, ktorý vám umožní určiť vzdialenosť medzi bodmi. Môže sa aplikovať trikrát: na zistenie oboch základov a jednej výšky. A potom už len aplikujte prvý vzorec, ktorý je popísaný o niečo vyššie.

Na ilustráciu tejto metódy je možné uviesť nasledujúci príklad. Dané vrcholy so súradnicami A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Musíte zistiť oblasť obrázku.

Pred nájdením oblasti lichobežníka musíte zo súradníc vypočítať dĺžky základní. Budete potrebovať nasledujúci vzorec:

dĺžka úseku = √((rozdiel prvých súradníc bodov) 2 + (rozdiel druhých súradníc bodov) 2 ).

Horná základňa je označená AB, čo znamená, že jej dĺžka sa bude rovnať √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Spodná je CD = √ ((10-1) 2 + (1-1)2) = √81 = 9.

Teraz musíte nakresliť výšku zhora na základňu. Nech je jeho začiatok v bode A. Koniec úsečky bude na spodnej základni v bode so súradnicami (5; 1), nech je to bod H. Dĺžka úsečky AN bude rovná √((5) -5) 2 + (7-1) 2) = √36 = 6.

Zostáva len nahradiť výsledné hodnoty do vzorca pre oblasť lichobežníka:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problém bol vyriešený bez jednotiek merania, pretože nebola špecifikovaná mierka súradnicovej siete. Môže to byť buď milimeter alebo meter.

Vzorové problémy

č. 1. Podmienka. Uhol medzi uhlopriečkami ľubovoľného lichobežníka je známy 30 stupňom. Menšia uhlopriečka má hodnotu 3 dm a druhá je 2-krát väčšia. Je potrebné vypočítať plochu lichobežníka.

Riešenie. Najprv musíte zistiť dĺžku druhej uhlopriečky, pretože bez toho nebude možné vypočítať odpoveď. Nie je ťažké vypočítať, 3 * 2 = 6 (dm).

Teraz musíte použiť vhodný vzorec pre oblasť:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm2). Problém je vyriešený.

odpoveď: Plocha lichobežníka je 4,5 dm2.

č. 2. Podmienka. V lichobežníku ABCD sú základmi segmenty AD a BC. Bod E je stred strany SD. Z nej je nakreslená kolmica na priamku AB, koniec tohto segmentu je označený písmenom H. Je známe, že dĺžky AB a EH sa rovnajú 5 a 4 cm. Je potrebné vypočítať plochu lichobežníka.

Riešenie. Najprv musíte urobiť kresbu. Pretože hodnota kolmice je menšia ako strana, na ktorú je nakreslená, bude lichobežník mierne predĺžený smerom nahor. Takže EH bude vo vnútri obrázku.

Aby ste jasne videli priebeh riešenia problému, budete musieť vykonať dodatočnú konštrukciu. Konkrétne nakreslite priamku, ktorá bude rovnobežná so stranou AB. Priesečníky tejto priamky s AD sú P a s pokračovaním BC sú X. Výsledný obrazec VHRA je rovnobežník. Okrem toho sa jeho plocha rovná požadovanej. Je to spôsobené tým, že trojuholníky, ktoré boli získané pri dodatočnej výstavbe, sú rovnaké. Vyplýva to z rovnosti strany a dvoch k nej priľahlých uhlov, jeden zvislý, druhý ležiaci krížom krážom.

Oblasť rovnobežníka nájdete pomocou vzorca, ktorý obsahuje súčin strany a výšky na ňu spustenej.

Plocha lichobežníka je teda 5 * 4 = 20 cm 2.

odpoveď: S = 20 cm2.

č. 3. Podmienka. Prvky rovnoramenného lichobežníka majú nasledujúce hodnoty: spodná základňa - 14 cm, horná - 4 cm, ostrý uhol - 45 °. Musíte vypočítať jeho plochu.

Riešenie. Menšia základňa nech je označená BC. Výška čerpaná z bodu B sa bude nazývať VH. Keďže uhol je 45º, trojuholník ABH bude pravouhlý a rovnoramenný. Takže AN=VN. Okrem toho sa AN dá veľmi ľahko nájsť. Rovná sa polovici rozdielu v základoch. To znamená (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Základy sú známe, výšky sú vypočítané. Môžete použiť prvý vzorec, o ktorom sa tu hovorilo pre ľubovoľný lichobežník.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm2).

odpoveď: Potrebná plocha je 45 cm2.

č. 4. Podmienka. Existuje ľubovoľný lichobežník ABCD. Body O a E sú zobraté na jeho bočných stranách, takže OE je rovnobežné so základňou AD. Plocha lichobežníka AOED je päťkrát väčšia ako plocha OVSE. Vypočítajte hodnotu OE, ak sú známe dĺžky základní.

Riešenie. Budete musieť nakresliť dve rovnobežné čiary AB: prvú cez bod C, jej priesečník s OE je bod T; druhý cez E a priesečník s AD bude M.

Nech neznáme OE=x. Výška menšieho lichobežníka OVSE je n 1, väčšieho AOED je n 2.

Keďže plochy týchto dvoch lichobežníkov sú spojené ako 1 až 5, môžeme napísať nasledujúcu rovnosť:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n1/n2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Výšky a strany trojuholníkov sú úmerné konštrukcii. Preto môžeme napísať ešte jednu rovnosť:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​1 - x).

V posledných dvoch záznamoch na ľavej strane sú rovnaké hodnoty, čo znamená, že môžeme napísať, že (x + a 1) / (5(x + a 2)) sa rovná (x - a 2) / (a ​​​1-x).

Tu je potrebný rad transformácií. Najprv vynásobte krížom krážom. Zobrazia sa zátvorky označujúce rozdiel štvorcov, po použití tohto vzorca dostanete krátku rovnicu.

V ňom musíte otvoriť zátvorky a presunúť všetky výrazy s neznámym „x“ doľava a potom extrahovať druhú odmocninu.

Odpoveď: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

Lichobežník je reliéfny štvoruholník, v ktorom sú dve protiľahlé strany rovnobežné a ďalšie dve nie sú rovnobežné. Ak sú všetky protiľahlé strany štvoruholníka rovnobežné v pároch, potom ide o rovnobežník.

Budete potrebovať

• – všetky strany lichobežníka (AB, BC, CD, DA).

Pokyny

1. Neparalelné strany lichobežníky sa nazývajú bočné strany a rovnobežné strany sa nazývajú základne. Čiara medzi základňami, kolmá na ne - výška lichobežníky. Ak bočné strany lichobežníky sú rovnaké, potom sa nazýva rovnoramenné. Najprv sa pozrime na riešenie lichobežníky, ktorý nie je rovnoramenný.

2. Nakreslite úsečku BE z bodu B k spodnej základni AD rovnobežne so stranou lichobežníky CD. Pretože BE a CD sú rovnobežné a nakreslené medzi rovnobežnými základňami lichobežníky BC a DA, potom BCDE je rovnobežník a jeho protiklady strany BE a CD sú si rovné. BE = CD.

3. Pozrite sa na trojuholník ABE. Vypočítajte stranu AE. AE = AD-ED. Dôvody lichobežníky BC a AD sú známe a v rovnobežníku sú BCDE opačné strany ED a BC sú rovnaké. ED=BC, takže AE=AD-BC.

4. Teraz zistite oblasť trojuholníka ABE pomocou Heronovho vzorca výpočtom polobvodu. S=koreň(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). V tomto vzorci je p polobvod trojuholníka ABE. p = 1/2* (AB+BE+AE). Na výpočet plochy poznáte všetky potrebné údaje: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Vyjadrite z tohto vzorca výšku trojuholníka, ktorá je zároveň výškou lichobežníky. BH = 2 x S/AE. Vypočítajte si to.

7. Ak je lichobežník rovnoramenný, riešenie možno vykonať inak. Pozrite sa na trojuholník ABH. Je obdĺžnikový, pretože jeden z rohov, BHA, je pravý.

8. Nakreslite výšku CF z vrcholu C.

9. Preštudujte si údaj HBCF. HBCF obdĺžnik, pretože sú dva strany sú výšky a ďalšie dve sú základne lichobežníky, teda uhly sú pravé a naopak strany paralelný. To znamená, že BC=HF.

10. Pozrite sa na pravouhlé trojuholníky ABH a FCD. Uhly vo výškach BHA a CFD sú pravé a uhly v laterálnych strany x BAH a CDF sú rovnaké, pretože lichobežník ABCD je rovnoramenný, čo znamená, že trojuholníky sú podobné. Pretože výšky BH a CF sú rovnaké alebo bočné strany rovnoramenné lichobežníky AB a CD sú zhodné, potom sú podobné trojuholníky zhodné. Takže oni strany AH a FD sú tiež rovnaké.

11. Objavte AH. AH+FD=AD-HF. Pretože z rovnobežníka HF=BC az trojuholníkov AH=FD potom AH=(AD-BC)*1/2.

Lichobežník je geometrický útvar, ktorý je štvoruholníkom, v ktorom sú dve strany, nazývané základne, rovnobežné a ostatné dve nie sú rovnobežné. Nazývajú sa strany lichobežníky. Segment nakreslený cez stredy bočných strán sa nazýva stredová čiara lichobežníky. Lichobežník môže mať rôzne dĺžky strán alebo identické, v tomto prípade sa nazýva rovnoramenný. Ak je jedna zo strán kolmá na základňu, potom bude lichobežník obdĺžnikový. Oveľa praktickejšie je ale vedieť odhaliť štvorec lichobežníky .

Budete potrebovať

• Pravítko s milimetrovými dielikmi

Pokyny

1. Zmerajte všetky strany lichobežníky: AB, BC, CD a DA. Zaznamenajte svoje merania.

2. Na segmente AB označte stred - bod K. Na segmente DA označte bod L, ktorý je tiež v strede segmentu AD. Spojte body K a L, výsledný segment KL bude stredová čiara lichobežníky ABCD. Zmerajte segment KL.

3. Z vrchu lichobežníky– hodiť C, znížiť kolmicu na jej základňu AD na segment CE. Bude to výška lichobežníky ABCD. Zmerajte segment CE.

4. Nazvime segment KL písmenom m a segment CE písmenom h štvorec S lichobežníky ABCD sa vypočíta pomocou vzorca: S=m*h, kde m je stredná čiara lichobežníky ABCD, h – výška lichobežníky ABCD.

5. Existuje ďalší vzorec, ktorý vám umožňuje vypočítať štvorec lichobežníky ABCD. Spodná základňa lichobežníky– AD nazvime písmenom b a hornú základňu BC písmenom a. Plocha je určená vzorcom S=1/2*(a+b)*h, kde a a b sú základy lichobežníky, h – výška lichobežníky .

Video k téme

Tip 3: Ako zistiť výšku lichobežníka, ak je oblasť známa

Lichobežník je štvoruholník, v ktorom sú dve z jeho štyroch strán navzájom rovnobežné. Základom sú rovnobežné strany lichobežníky, ďalšie dve sú bočné strany tohto lichobežníky. Objavte výška lichobežníky, ak poznáte jeho oblasť, bude to veľmi jednoduché.

Pokyny

1. Musíme zistiť, ako vypočítať plochu iniciály lichobežníky. Existuje na to niekoľko vzorcov v závislosti od počiatočných údajov: S = ((a+b)*h)/2, kde a a b sú dĺžky základov lichobežníky a h je jeho výška (Výška lichobežníky– kolmé, spustené z jednej základne lichobežníky k inému);S = m*h, kde m je stredná čiara lichobežníky(Stredná čiara je segment rovnobežný so základňami lichobežníky a spojenie stredov jeho strán).

2. Teraz, keď poznáme vzorce na výpočet plochy lichobežníky, je dovolené z nich odvodiť nové na zistenie výšky lichobežníky:h = (2xS)/(a+b);h = S/m.

3. Aby bolo jasnejšie, ako riešiť podobné problémy, môžete si pozrieť príklady: Príklad 1: Vzhľadom na lichobežník, ktorého plocha je 68 cm?, ktorého stredná čiara je 8 cm, musíte nájsť výška daný lichobežníky. Na vyriešenie tohto problému musíte použiť predtým odvodený vzorec: h = 68/8 = 8,5 cm Odpoveď: výška tohto lichobežníky je 8,5 cmPríklad 2: Nech y lichobežníky plocha je 120 cm?, dĺžka podstavcov je daná lichobežníky sú rovné 8 cm a 12 cm, je potrebné ich zistiť výška toto lichobežníky. Na to je potrebné použiť jeden z odvodených vzorcov: h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmOdpoveď: výška daného lichobežníky rovných 12 cm

Video k téme

Venujte pozornosť!
Akýkoľvek lichobežník má množstvo vlastností: - stredná čiara lichobežníka sa rovná polovici súčtu jeho základov - segment, ktorý spája uhlopriečky lichobežníka, sa rovná polovici rozdielu jeho základov; je nakreslený cez stredy základní, potom pretína priesečník uhlopriečok lichobežníka - Kružnicu môžete vpísať do lichobežníka, ak sa súčet základov daného lichobežníka rovná súčtu jeho; strany Použite tieto vlastnosti pri riešení problémov.

Tip 4: Ako zistiť výšku trojuholníka podľa súradníc bodov

Výška v trojuholníku je priamka spájajúca vrchol obrázku s opačnou stranou. Tento segment musí byť nevyhnutne kolmý na stranu, preto je možné kresliť iba jeden z akéhokoľvek vrcholu výška. Pretože na tomto obrázku sú tri vrcholy, existuje rovnaký počet výšok. Ak je trojuholník daný súradnicami jeho vrcholov, dĺžku každej z výšok možno vypočítať povedzme pomocou vzorca na zistenie plochy a výpočet dĺžok strán.

Pokyny

1. Pri výpočtoch vychádzať zo skutočnosti, že plocha trojuholník sa rovná polovici súčinu dĺžky každej z jej strán a dĺžky výšky spustenej na túto stranu. Z tejto definície vyplýva, že na nájdenie výšky potrebujete poznať plochu postavy a dĺžku strany.

2. Začnite výpočtom dĺžok strán trojuholník. Označte súradnice vrcholov obrázku nasledovne: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) a C(X?,Y?,Z?). Potom môžete vypočítať dĺžku strany AB pomocou vzorca AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Pre ostatné 2 strany budú tieto vzorce vyzerať takto: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) a AC = ?(( Xa-X2)+ (Y2-Y2)+ (Z=-Z2)+). Povedzme za trojuholník so súradnicami A(3,5,7), B(16,14,19) a C(1,2,13) ​​bude dĺžka strany AB?((3-16)? + (5-14 )a + (7-19) ?) = ? 19,85. Dĺžky strán BC a AC vypočítané rovnakou metódou sa budú rovnať? (15? + 12? + 6?) = ?405? 20,12 a a(28 + 3 + (-6?)) = A49 = 7.

3. Na výpočet plochy stačí poznať dĺžky 3 strán získané v predchádzajúcom kroku trojuholník(S) podľa Heronovho vzorca: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Povedzme, že po dosadení do tohto vzorca hodnoty získané zo súradníc trojuholník-príklad z predchádzajúceho kroku, tento vzorec poskytne nasledujúcu hodnotu: S = ?*?((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20 ,12) * (19,85+ 20,12-7)) = ?*? (46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ?*?75768,55 ? ?*275,26 = 68,815.

4. Na základe oblasti trojuholník, vypočítané v predchádzajúcom kroku a dĺžky strán získané v druhom kroku, vypočítajte výšky pre každú zo strán. Pretože plocha sa rovná polovici súčinu výšky a dĺžky strany, na ktorú je nakreslená, na zistenie výšky vydeľte zdvojnásobenú plochu dĺžkou požadovanej strany: H = 2*S/a. Vo vyššie uvedenom príklade bude výška znížená na stranu AB 2*68,815/16,09? 8,55, výška na stranu BC bude mať dĺžku 2*68,815/20,12? 6,84 a na strane AC bude táto hodnota rovná 2*68,815/7? 19,66.

Oblasť lichobežníka. Pozdravujem! V tejto publikácii sa pozrieme na tento vzorec. Prečo je práve taká a ako jej rozumieť. Ak existuje porozumenie, nemusíte ho učiť. Ak sa chcete len pozrieť na tento vzorec a súrne, môžete okamžite posunúť stránku nadol))

Teraz podrobne a v poriadku.

Lichobežník je štvoruholník, dve strany tohto štvoruholníka sú rovnobežné, ostatné dve nie sú. Tie, ktoré nie sú rovnobežné, sú základne lichobežníka. Ďalšie dve sa nazývajú strany.

Ak sú strany rovnaké, potom sa lichobežník nazýva rovnoramenný. Ak je jedna zo strán kolmá na základne, potom sa takýto lichobežník nazýva obdĺžnikový.

Vo svojej klasickej podobe je lichobežník znázornený nasledovne - väčšia základňa je dole, respektíve menšia je hore. Ale nikto nezakazuje zobrazovať ju a naopak. Tu sú náčrty:

Ďalší dôležitý koncept.

Stredová čiara lichobežníka je segment, ktorý spája stredné body strán. Stredná čiara je rovnobežná so základňami lichobežníka a rovná sa ich polovičnému súčtu.

Teraz poďme hlbšie. Prečo je to tak?

Zvážte lichobežník so základňami a a b a so strednou čiarou l a urobme niekoľko ďalších konštrukcií: nakreslite rovné čiary cez základne a kolmice cez konce stredovej čiary, kým sa nepretnú so základňami:

*Označenia vrcholov a iných bodov písmenami nie sú zahrnuté zámerne, aby sa predišlo zbytočným označeniam.

Pozrite, trojuholníky 1 a 2 sú rovnaké podľa druhého znamienka rovnosti trojuholníkov, trojuholníky 3 a 4 sú rovnaké. Z rovnosti trojuholníkov vyplýva rovnosť prvkov, a to nôh (sú označené modrou a červenou farbou).

Teraz pozornosť! Ak mentálne „odrežeme“ modrý a červený segment zo spodnej základne, zostane nám segment (toto je strana obdĺžnika) rovný strednej čiare. Ďalej, ak vyrezané modré a červené segmenty „prilepíme“ na hornú základňu lichobežníka, získame tiež segment (to je tiež strana obdĺžnika) rovnajúci sa stredovej čiare lichobežníka.

rozumieš? Ukazuje sa, že súčet základov sa bude rovnať dvom stredným čiaram lichobežníka:

Pozrite si ďalšie vysvetlenie

Urobme nasledovné - zostrojme priamku prechádzajúcu spodnou základňou lichobežníka a priamku, ktorá bude prechádzať bodmi A a B:

Dostaneme trojuholníky 1 a 2, sú rovnaké pozdĺž bočných a susedných uhlov (druhý znak rovnosti trojuholníkov). To znamená, že výsledný segment (na náčrte je označený modrou farbou) sa rovná hornej základni lichobežníka.

Teraz zvážte trojuholník:

*Stredná čiara tohto lichobežníka a stredná čiara trojuholníka sa zhodujú.

Je známe, že trojuholník sa rovná polovici základne rovnobežnej s ním, to znamená:

Dobre, prišli sme na to. Teraz o oblasti lichobežníka.

Vzorec lichobežníkovej oblasti:

Hovorí sa: plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu jeho základov a výšky.

To znamená, že sa ukáže, že sa rovná súčinu stredovej čiary a výšky:

Pravdepodobne ste si už všimli, že je to zrejmé. Geometricky sa to dá vyjadriť takto: ak v duchu odrežeme trojuholníky 2 a 4 z lichobežníka a umiestnime ich na trojuholníky 1 a 3:

Potom dostaneme obdĺžnik s plochou rovnajúcou sa ploche nášho lichobežníka. Plocha tohto obdĺžnika sa bude rovnať súčinu stredovej čiary a výšky, to znamená, že môžeme napísať:

Ale tu nejde o písanie, samozrejme, ale o pochopenie.

Stiahnite si (zobrazte) materiál článku vo formáte *pdf

To je všetko. Nech sa vám darí!

S pozdravom Alexander.

Lichobežník je štvoruholník, ktorého dve strany sú rovnobežné (toto sú základne lichobežníka, znázornené na obrázku a a b), a ostatné dve nie sú (na obrázku AD a CB). Výška lichobežníka je segment h nakreslený kolmo na základne.

Ako nájsť výšku lichobežníka vzhľadom na známe hodnoty plochy lichobežníka a dĺžky základov?

Na výpočet plochy S lichobežníka ABCD použijeme vzorec:

S = ((a+b) x h)/2.

Tu sú segmenty a a b základne lichobežníka, h je výška lichobežníka.

Transformáciou tohto vzorca môžeme napísať:

Pomocou tohto vzorca získame hodnotu h, ak je známa plocha S a dĺžky báz a a b.

Príklad

Ak je známe, že plocha lichobežníka S je 50 cm², dĺžka základne a je 4 cm a dĺžka základne b je 6 cm, potom na zistenie výšky h použijeme vzorec:

Známe množstvá dosadíme do vzorca.

h = (2 × 50)/(4+6) = 100/10 = 10 cm

Odpoveď: Výška lichobežníka je 10 cm.

Ako nájsť výšku lichobežníka, ak je uvedená plocha lichobežníka a dĺžka stredovej čiary?

Použime vzorec na výpočet plochy lichobežníka:

Tu m je stredná čiara, h je výška lichobežníka.

Ak vyvstane otázka, ako nájsť výšku lichobežníka, vzorec je:

Odpoveď bude h = S/m.

Môžeme teda nájsť výšku lichobežníka h, vzhľadom na známe hodnoty oblasti S a segmentu stredovej čiary m.

Príklad

Dĺžka stredovej čiary lichobežníka m, ktorá je 20 cm, a plocha S, ktorá je 200 cm², sú známe. Zistime hodnotu výšky lichobežníka h.

Nahradením hodnôt S a m dostaneme:

h = 200/20 = 10 cm

Odpoveď: výška lichobežníka je 10 cm

Ako zistiť výšku pravouhlého lichobežníka?

Ak je lichobežník štvoruholník, s dvoma rovnobežnými stranami (základňami) lichobežníka. Potom je uhlopriečka segment, ktorý spája dva protiľahlé vrcholy rohov lichobežníka (segment AC na obrázku). Ak je lichobežník pravouhlý, pomocou uhlopriečky zistíme výšku lichobežníka h.

Obdĺžnikový lichobežník je lichobežník, kde jedna zo strán je kolmá na základne. V tomto prípade sa jeho dĺžka (AD) zhoduje s výškou h.

Uvažujme teda o pravouhlom lichobežníku ABCD, kde AD je výška, DC je základňa, AC je uhlopriečka. Využime Pytagorovu vetu. Druhá mocnina prepony AC pravouhlého trojuholníka ADC sa rovná súčtu štvorcov jeho ramien AB a BC.

Potom môžeme napísať:

AC² = AD² + DC².

AD je rameno trojuholníka, bočná strana lichobežníka a zároveň jeho výška. Koniec koncov, segment AD je kolmý na základne. Jeho dĺžka bude:

AD = √ (AC² - DC²)

Máme teda vzorec na výpočet výšky lichobežníka h = AD

Príklad

Ak je dĺžka základne pravouhlého lichobežníka (DC) 14 cm a uhlopriečka (AC) je 15 cm, na získanie hodnoty výšky (AD - strana) použijeme Pytagorovu vetu.

Nech x je neznáma vetva pravouhlého trojuholníka (AD).

AC² = AD² + DC² možno zapísať

15² = 14² + x²,

x = √(15²-14²) = √(225-196) = √29 cm

Odpoveď: výška pravouhlého lichobežníka (AB) bude √29 cm, čo je približne 5,385 cm

Ako zistiť výšku rovnoramenného lichobežníka?

Rovnoramenný lichobežník je lichobežník, ktorého dĺžky strán sú navzájom rovnaké. Priama čiara vedená cez stredy základne takéhoto lichobežníka bude osou symetrie. Špeciálnym prípadom je lichobežník, ktorého uhlopriečky sú na seba kolmé, vtedy sa výška h bude rovnať polovici súčtu základní.

Zoberme si prípad, ak uhlopriečky nie sú na seba kolmé. V rovnostrannom (rovnomernom) lichobežníku sú uhly na základniach rovnaké a dĺžky uhlopriečok sú rovnaké. Je tiež známe, že všetky vrcholy rovnoramenného lichobežníka sa dotýkajú čiary kruhu nakreslenej okolo tohto lichobežníka.

Pozrime sa na výkres. ABCD je rovnoramenný lichobežník. Je známe, že základne lichobežníka sú rovnobežné, čo znamená, že BC = b je rovnobežné s AD = a, strana AB = CD = c, čo znamená, že uhly na základniach sú zodpovedajúcim spôsobom rovnaké, môžeme zapísať uhol BAQ = CDS = α a uhol ABC = BCD = β. Dospeli sme teda k záveru, že trojuholník ABQ sa rovná trojuholníku SCD, čo znamená segment

AQ = SD = (AD - BC)/2 = (a - b)/2.

Ak máme podľa podmienok problému hodnoty základne a a b a dĺžku bočnej strany c, nájdeme výšku lichobežníka h, ktorá sa rovná segmentu BQ.

Uvažujme pravouhlý trojuholník ABQ. VO je výška lichobežníka, kolmá na základňu AD, a teda na segment AQ. Nájdeme stranu AQ trojuholníka ABQ pomocou vzorca, ktorý sme odvodili skôr:

Ak máme hodnoty dvoch ramien pravouhlého trojuholníka, nájdeme preponu BQ = h. Používame Pytagorovu vetu.

AB²= AQ² + BQ²

Nahradíme tieto úlohy:

c² = AQ² + h².

Získame vzorec na zistenie výšky rovnoramenného lichobežníka:

h = √(c2-AQ2).

Príklad

Je daný rovnoramenný lichobežník ABCD, kde základňa AD = a = 10 cm, základňa BC = b = 4 cm a strana AB = c = 12 cm. Za takýchto podmienok sa pozrime na príklad, ako zistiť výšku lichobežníka, rovnoramenného lichobežníka ABCD.

Nájdite stranu AQ trojuholníka ABQ dosadením známych údajov:

AQ = (a - b)/2 = (10-4)/2 = 3 cm.

Teraz dosaďte hodnoty strán trojuholníka do vzorca Pytagorovej vety.

h = √(c²- AQ²) = √(12²- 3²) = √135 = 11,6 cm.

Odpoveď. Výška h rovnoramenného lichobežníka ABCD je 11,6 cm.

Prax minuloročnej Jednotnej štátnej skúšky a štátnej skúšky ukazuje, že problémy s geometriou spôsobujú mnohým školákom ťažkosti. Ľahko si s nimi poradíte, ak si zapamätáte všetky potrebné vzorce a precvičíte si riešenie problémov.

V tomto článku uvidíte vzorce na nájdenie oblasti lichobežníka, ako aj príklady problémov s riešeniami. Na tie isté môžete naraziť v KIM pri certifikačných skúškach alebo na olympiádach. Preto s nimi zaobchádzajte opatrne.

Čo potrebujete vedieť o lichobežníku?

Na začiatok si to pripomeňme lichobežník sa nazýva štvoruholník, v ktorom sú dve protiľahlé strany, tiež nazývané základne, rovnobežné a ostatné dve nie sú.

V lichobežníku možno výšku (kolmo na základňu) aj znížiť. Stredná čiara je nakreslená - je to priamka, ktorá je rovnobežná so základňami a rovná sa polovici ich súčtu. Rovnako ako uhlopriečky, ktoré sa môžu pretínať a vytvárať ostré a tupé uhly. Alebo v niektorých prípadoch v pravom uhle. Okrem toho, ak je lichobežník rovnoramenný, môže byť do neho vpísaný kruh. A opíšte okolo neho kruh.

Vzorce lichobežníkovej oblasti

Najprv sa pozrime na štandardné vzorce na nájdenie oblasti lichobežníka. Nižšie zvážime spôsoby výpočtu plochy rovnoramenných a krivočiarych lichobežníkov.

Predstavte si teda, že máte lichobežník so základňami a a b, v ktorých je výška h znížená na väčšiu základňu. Výpočet plochy postavy je v tomto prípade rovnako jednoduchý ako lúskanie hrušiek. Stačí vydeliť súčet dĺžok základov dvoma a výsledok vynásobiť výškou: S = 1/2 (a + b) x h.

Zoberme si ďalší prípad: predpokladajme, že v lichobežníku je okrem výšky aj stredná čiara m. Poznáme vzorec na zistenie dĺžky strednej čiary: m = 1/2(a + b). Preto môžeme oprávnene zjednodušiť vzorec pre oblasť lichobežníka na nasledujúci tvar: S = m* h. Inými slovami, ak chcete nájsť oblasť lichobežníka, musíte vynásobiť stredovú čiaru výškou.

Zoberme si inú možnosť: lichobežník obsahuje uhlopriečky d 1 a d 2, ktoré sa nepretínajú v pravom uhle α. Na výpočet plochy takéhoto lichobežníka je potrebné rozdeliť súčin uhlopriečok dvoma a výsledok vynásobiť hriechom uhla medzi nimi: S = 1/2 d 1 d 2 *sinα.

Teraz zvážte vzorec na nájdenie oblasti lichobežníka, ak o ňom nie je známe nič okrem dĺžok všetkých jeho strán: a, b, c a d. Toto je ťažkopádny a zložitý vzorec, ale bude pre vás užitočné zapamätať si ho pre každý prípad: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Mimochodom, vyššie uvedené príklady platia aj pre prípad, keď potrebujete vzorec pre oblasť obdĺžnikového lichobežníka. Ide o lichobežník, ktorého strana prilieha k základniam v pravom uhle.

Rovnoramenný lichobežník

Lichobežník, ktorého strany sú rovnaké, sa nazýva rovnoramenný. Zvážime niekoľko možností pre vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka.

Prvá možnosť: pre prípad, keď je do rovnoramenného lichobežníka vpísaná kružnica s polomerom r a bočná a väčšia základňa zvierajú ostrý uhol α. Kruh môže byť vpísaný do lichobežníka za predpokladu, že súčet dĺžok jeho základní sa rovná súčtu dĺžok strán.

Plocha rovnoramenného lichobežníka sa vypočíta takto: vynásobte štvorec polomeru vpísanej kružnice štyrmi a všetko vydeľte sinα: S = 4r2/sinα. Ďalší plošný vzorec je špeciálny prípad pre možnosť, keď je uhol medzi veľkou základňou a stranou 30 0: S = 8r2.

Druhá možnosť: tentoraz vezmeme rovnoramenný lichobežník, v ktorom sú navyše nakreslené uhlopriečky d 1 a d 2, ako aj výška h. Ak sú uhlopriečky lichobežníka navzájom kolmé, výška je polovica súčtu základní: h = 1/2(a + b). S týmto vedomím je ľahké premeniť vzorec pre oblasť lichobežníka, ktorý je vám už známy, do tejto formy: S = h 2.

Vzorec pre oblasť zakriveného lichobežníka

Začnime tým, že zistíme, čo je zakrivený lichobežník. Predstavte si súradnicovú os a graf spojitej a nezápornej funkcie f, ktorá nemení znamienko v rámci daného segmentu na osi x. Krivočiary lichobežník je tvorený grafom funkcie y = f(x) - hore je os x dole (segment) a po stranách - priamkami nakreslenými medzi bodmi a a b a grafom funkciu.

Pomocou vyššie uvedených metód nie je možné vypočítať plochu takejto neštandardnej hodnoty. Tu musíte použiť matematickú analýzu a použiť integrál. Konkrétne: Newtonov-Leibnizov vzorec - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). V tomto vzorci je F primitívna funkcia našej funkcie na vybranom segmente. A plocha krivočiareho lichobežníka zodpovedá prírastku primitívnej derivácie na danom segmente.

Vzorové problémy

Aby boli všetky tieto vzorce vo vašej hlave ľahšie pochopiteľné, uvádzame niekoľko príkladov problémov pri hľadaní oblasti lichobežníka. Najlepšie bude, ak sa najprv pokúsite problémy vyriešiť sami a až potom porovnáte odpoveď, ktorú dostanete, s hotovým riešením.

Úloha č. 1: Daný lichobežník. Jeho väčšia základňa má 11 cm, menšia 4 cm. Lichobežník má uhlopriečky, jedna je dlhá 12 cm, druhá 9 cm.

Riešenie: Zostrojte lichobežníkový AMRS. Nakreslite priamku РХ cez vrchol P tak, aby bola rovnobežná s uhlopriečkou MC a pretínala priamku AC v bode X. Dostanete trojuholník APХ.

Budeme brať do úvahy dve čísla získané ako výsledok týchto manipulácií: trojuholník APX a rovnobežník CMRX.

Vďaka rovnobežníku sa dozvieme, že PX = MC = 12 cm a CX = MR = 4 cm. Odkiaľ môžeme vypočítať stranu AX trojuholníka ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Môžeme tiež dokázať, že trojuholník APX je pravouhlý (na tento účel použite Pytagorovu vetu - AX 2 = AP 2 + PX 2). A vypočítajte jeho plochu: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm2.

Ďalej budete musieť dokázať, že trojuholníky AMP a PCX majú rovnakú veľkosť. Základom bude rovnosť strán MR a CX (už overená vyššie). A tiež výšky, ktoré na týchto stranách znížite – rovnajú sa výške lichobežníka AMRS.

To všetko vám umožní povedať, že S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Úloha č. 2: Je daný lichobežník KRMS. Na jeho bočných stranách sú body O a E, pričom OE a KS sú rovnobežné. Je tiež známe, že plochy lichobežníkov ORME a OKSE sú v pomere 1:5. RM = a a KS = b. Musíte nájsť OE.

Riešenie: Nakreslite priamku rovnobežnú s RK cez bod M a označte jej priesečník s OE ako T. A je priesečník priamky vedenej cez bod E rovnobežnú s RK so základňou KS.

Zavedieme ešte jeden zápis - OE = x. A tiež výška h 1 pre trojuholník TME a výška h 2 pre trojuholník AEC (podobnosť týchto trojuholníkov môžete nezávisle dokázať).

Budeme predpokladať, že b > a. Plochy lichobežníkov ORME a OKSE sú v pomere 1:5, čo nám dáva právo vytvoriť nasledujúcu rovnicu: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Transformujme a získame: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Keďže trojuholníky TME a AEC sú podobné, máme h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Skombinujme oba údaje a získame: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Teda OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Záver

Geometria nie je najľahšia z vied, ale s otázkami na skúšku si určite poradíte. V príprave stačí ukázať trochu vytrvalosti. A samozrejme si zapamätajte všetky potrebné vzorce.

Snažili sme sa zhromaždiť všetky vzorce na výpočet plochy lichobežníka na jednom mieste, aby ste ich mohli použiť pri príprave na skúšky a revízii materiálu.

O tomto článku určite povedzte svojim spolužiakom a priateľom na sociálnych sieťach. Nech je viac dobrých známok pre jednotnú štátnu skúšku a štátne skúšky!

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.