Zjednodušenie nerovností. Systém nerovností - riešenie

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov v Ruskej federácii – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Nerovnosti a sústavy nerovníc sú jednou z tém preberaných v algebre na strednej škole. Z hľadiska náročnosti nie je najťažšia, keďže má jednoduché pravidlá (o nich neskôr). Školáci sa spravidla učia riešiť sústavy nerovností pomerne jednoducho. Je to spôsobené aj tým, že učitelia svojich žiakov na túto tému jednoducho „vyškolia“. A nemôžu to urobiť, pretože sa to v budúcnosti študuje pomocou iných matematických veličín a testuje sa aj na jednotnej štátnej skúške a jednotnej štátnej skúške. V školských učebniciach je téma nerovností a sústav nerovníc spracovaná veľmi podrobne, takže ak sa ju chystáte študovať, je najlepšie uchýliť sa k nim. Tento článok iba sumarizuje väčší materiál a môžu sa v ňom vyskytovať určité nedostatky.

Koncept systému nerovností

Ak sa obrátime na vedecký jazyk, môžeme definovať pojem „systém nerovností“. Ide o matematický model, ktorý predstavuje niekoľko nerovností. Tento model si samozrejme vyžaduje riešenie a toto bude všeobecná odpoveď na všetky nerovnosti systému navrhnutého v úlohe (zvyčajne sa v ňom píše napr.: „Vyriešte sústavu nerovností 4 x + 1 > 2 a 30 - x > 6...“). Predtým, ako prejdeme k typom a metódam riešení, však musíte pochopiť niečo iné.

Sústavy nerovníc a sústavy rovníc

Pri učení sa novej témy často vznikajú nedorozumenia. Na jednej strane je všetko jasné a chcete začať riešiť úlohy čo najskôr, ale na druhej strane niektoré momenty zostávajú v „tieni“ a nie sú úplne pochopené. Niektoré prvky už nadobudnutých vedomostí sa môžu tiež prelínať s novými. V dôsledku tohto „prekrývania“ sa často vyskytujú chyby.

Preto skôr, ako začneme analyzovať našu tému, mali by sme si spomenúť na rozdiely medzi rovnicami a nerovnicami a ich sústavami. Aby sme to dosiahli, musíme ešte raz vysvetliť, čo tieto matematické pojmy predstavujú. Rovnica je vždy rovnosť a vždy sa niečomu rovná (v matematike sa toto slovo označuje znakom "="). Nerovnosť je model, v ktorom je jedna veličina buď väčšia alebo menšia ako iná, alebo obsahuje tvrdenie, že nie sú rovnaké. V prvom prípade je teda vhodné hovoriť o rovnosti a v druhom, akokoľvek to môže znieť zo samotného názvu, o nerovnosti počiatočných údajov. Sústavy rovníc a nerovníc sa od seba prakticky nelíšia a spôsoby ich riešenia sú rovnaké. Jediný rozdiel je v tom, že v prvom prípade sa používajú rovnosti a v druhom prípade sa používajú nerovnosti.

Druhy nerovností

Existujú dva typy nerovností: numerické a s neznámou premennou. Prvý typ predstavuje poskytnuté veličiny (čísla), ktoré sa navzájom nerovnajú, napríklad 8 > 10. Druhým sú nerovnosti, ktoré obsahujú neznámu premennú (označujú sa písmenom latinskej abecedy, najčastejšie X). Túto premennú je potrebné nájsť. Podľa toho, koľko ich je, matematický model rozlišuje nerovnosti s jednou (tvoria sústavu nerovností s jednou premennou) alebo viacerými premennými (tvoria sústavu nerovností s viacerými premennými).

Posledné dva typy sa podľa stupňa ich konštrukcie a úrovne zložitosti riešenia delia na jednoduché a zložité. Jednoduché sa nazývajú aj lineárne nerovnosti. Tie sa zase delia na prísne a neprísne. Prísne konkrétne „hovoria“, že jedna veličina musí byť nevyhnutne buď menšia alebo väčšia, takže ide o čistú nerovnosť. Možno uviesť niekoľko príkladov: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 atď. Medzi neprísne patrí aj rovnosť. To znamená, že jedna hodnota môže byť väčšia alebo rovná inej hodnote (znak „≥“) alebo menšia alebo rovná inej hodnote (znamienko „≤“). Dokonca ani v lineárnych nerovnostiach nie je premenná odmocnina, druhá mocnina ani niečím deliteľná, a preto sa nazývajú „jednoduché“. Komplexné zahŕňajú neznáme premenné, ktorých nájdenie vyžaduje viac matematiky. Často sa nachádzajú v štvorci, kocke alebo pod odmocninou, môžu byť modulárne, logaritmické, zlomkové atď. Ale keďže našou úlohou je porozumieť riešeniu sústav nerovníc, budeme hovoriť o sústave lineárnych nerovníc. . Ešte predtým však treba povedať pár slov o ich vlastnostiach.

Vlastnosti nerovností

Medzi vlastnosti nerovností patria:

Znamienko nerovnosti sa obráti, ak sa operácia použije na zmenu poradia strán (napríklad ak t 1 ≤ t 2, potom t 2 ≥ t 1).
Obe strany nerovnosti vám umožňujú pridať k sebe rovnaké číslo (napríklad ak t 1 ≤ t 2, potom t 1 + číslo ≤ t 2 + číslo).
Dve alebo viac nerovností so znamienkom v rovnakom smere umožňujú sčítanie ich ľavej a pravej strany (napríklad ak t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, potom t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
Obe strany nerovnosti možno vynásobiť alebo vydeliť rovnakým kladným číslom (napríklad ak t 1 ≤ t 2 a číslo ≤ 0, potom číslo · t 1 ≥ číslo · t 2).
Dve alebo viac nerovností, ktoré majú kladné členy a znamienko v rovnakom smere, sa môžu navzájom vynásobiť (napríklad ak t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 potom t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
Obe časti nerovnosti sa dajú vynásobiť alebo deliť rovnakým záporným číslom, ale v tomto prípade sa zmení znamienko nerovnosti (napríklad ak t 1 ≤ t 2 a číslo ≤ 0, potom číslo · t 1 ≥ číslo · t 2).
Všetky nerovnosti majú vlastnosť tranzitivity (napríklad ak t 1 ≤ t 2 a t 2 ≤ t 3, potom t 1 ≤ t 3).

Teraz, po preštudovaní základných princípov teórie súvisiacej s nerovnicami, môžeme pristúpiť priamo k úvahám o pravidlách riešenia ich systémov.

Riešenie systémov nerovností. Všeobecné informácie. Riešenia

Ako je uvedené vyššie, riešením sú hodnoty premennej, ktoré sú vhodné pre všetky nerovnosti daného systému. Riešenie systémov nerovností je implementácia matematických operácií, ktoré v konečnom dôsledku vedú k riešeniu celého systému alebo dokazujú, že nemá žiadne riešenia. V tomto prípade hovoria, že premenná odkazuje na prázdnu číselnú množinu (napísanú takto: písmeno označujúce premennú∈ (znamienko „patrí“) ø (znamienko „prázdna množina“), napríklad x ∈ ø (čítaj: „Premenná „x“ patrí do prázdnej množiny“). Existuje niekoľko spôsobov riešenia systémov nerovníc: grafická, algebraická, substitučná metóda. Stojí za zmienku, že sa týkajú tých matematických modelov, ktoré majú niekoľko neznámych premenných. V prípade, že je len jeden, je vhodná intervalová metóda.

Grafická metóda

Umožňuje riešiť sústavu nerovníc s niekoľkými neznámymi veličinami (od dvoch a vyššie). Vďaka tejto metóde sa dá pomerne jednoducho a rýchlo vyriešiť sústava lineárnych nerovností, preto je to najbežnejšia metóda. Vysvetľuje sa to tým, že vykreslenie grafu znižuje množstvo zapisovaných matematických operácií. Je obzvlášť príjemné urobiť si malú prestávku od pera, zdvihnúť ceruzku s pravítkom a začať ďalšie akcie s ich pomocou, keď sa urobilo veľa práce a chcete trochu rozmanitosti. Niektorí ľudia však túto metódu nemajú radi, pretože sa musia odtrhnúť od úlohy a prepnúť svoju duševnú činnosť na kreslenie. Ide však o veľmi efektívnu metódu.

Na riešenie sústavy nerovníc pomocou grafickej metódy je potrebné preniesť všetky členy každej nerovnosti na ich ľavú stranu. Znamienka sa obrátia, nula by mala byť napísaná vpravo, potom je potrebné každú nerovnosť napísať samostatne. V dôsledku toho budú funkcie získané z nerovností. Potom môžete vybrať ceruzku a pravítko: teraz musíte nakresliť graf každej získanej funkcie. Celá množina čísel, ktoré budú v intervale ich priesečníka, bude riešením sústavy nerovníc.

Algebraický spôsob

Umožňuje vyriešiť systém nerovníc s dvoma neznámymi premennými. Taktiež nerovnosti musia mať rovnaké znamienko nerovnosti (to znamená, že musia obsahovať buď len znamienko „väčšie ako“, alebo len znamienko „menšie ako“ atď.) Napriek svojim obmedzeniam je táto metóda aj zložitejšia. Aplikuje sa v dvoch fázach.

Prvý zahŕňa akcie na zbavenie sa jednej z neznámych premenných. Najprv ju musíte vybrať a potom skontrolovať prítomnosť čísel pred touto premennou. Ak tam nie sú (premenná bude vyzerať ako jedno písmeno), tak nič nemeníme, ak tam sú (typ premennej bude napr. 5y alebo 12y), tak je potrebné urobiť uistite sa, že v každej nerovnosti je číslo pred vybranou premennou rovnaké. Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť každý člen nerovností spoločným faktorom, napríklad ak je v prvej nerovnosti napísané 3y a v druhej 5y, potom musíte vynásobiť všetky členy prvej nerovnosti číslom 5. a druhý o 3. Získate 15 rokov a 15 rokov.

Druhá fáza riešenia. Je potrebné preniesť ľavú stranu každej nerovnosti na ich pravú stranu, zmeniť znamienko každého termínu na opačné a napísať nulu na pravú stranu. Potom prichádza zábavná časť: zbavenie sa vybranej premennej (inak známeho ako „zníženie“) pri pridávaní nerovností. To má za následok nerovnosť s jednou premennou, ktorú je potrebné vyriešiť. Potom by ste mali urobiť to isté, len s inou neznámou premennou. Získané výsledky budú riešením systému.

Substitučná metóda

Umožňuje vyriešiť systém nerovností, ak je možné zaviesť novú premennú. Typicky sa táto metóda používa, keď je neznáma premenná v jednom člene nerovnosti zvýšená na štvrtú mocninu a v druhom člene na druhú. Táto metóda je teda zameraná na zníženie miery nerovností v systéme. Týmto spôsobom sa rieši výberová nerovnosť x 4 - x 2 - 1 ≤ 0. Zavádza sa nová premenná, napríklad t. Napíšu: „Nech t = x 2“, potom sa model prepíše do novej formy. V našom prípade dostaneme t 2 - t - 1 ≤0. Túto nerovnosť je potrebné vyriešiť pomocou intervalovej metódy (o tom trochu neskôr), potom sa vrátiť k premennej X a potom urobiť to isté s ďalšou nerovnosťou. Prijaté odpovede budú riešením systému.

Intervalová metóda

Ide o najjednoduchší spôsob riešenia systémov nerovností a zároveň je univerzálny a rozšírený. Používa sa na stredných školách a dokonca aj na vysokých školách. Jej podstata spočíva v tom, že žiak hľadá intervaly nerovnice na číselnej osi, ktorá je nakreslená v zošite (toto nie je graf, ale len obyčajná čiara s číslami). Tam, kde sa pretínajú intervaly nerovností, sa nájde riešenie sústavy. Ak chcete použiť intervalovú metódu, musíte postupovať podľa týchto krokov:

Všetky členy každej nerovnosti sa prenesú na ľavú stranu, pričom znamienko sa zmení na opačné (napravo je napísaná nula).
Nerovnosti sa vypisujú samostatne a pre každú z nich sa určí riešenie.
Nájdu sa priesečníky nerovností na číselnej osi. Riešením budú všetky čísla umiestnené na týchto križovatkách.

Akú metódu mám použiť?

Jednoznačne ten, ktorý sa zdá byť najjednoduchší a najpohodlnejší, ale existujú prípady, keď úlohy vyžadujú určitú metódu. Najčastejšie hovoria, že musíte riešiť buď pomocou grafu, alebo intervalovou metódou. Algebraická metóda a substitúcia sa používajú veľmi zriedka alebo vôbec, pretože sú dosť zložité a mätúce a okrem toho sa používajú skôr na riešenie systémov rovníc ako nerovníc, takže by ste sa mali uchýliť k kresleniu grafov a intervalov. Prinášajú prehľadnosť, ktorá nemôže prispieť k efektívnemu a rýchlemu vykonávaniu matematických operácií.

Ak niečo nevyjde

Pri štúdiu konkrétnej témy v algebre, prirodzene, môžu nastať problémy s jej porozumením. A to je normálne, pretože náš mozog je navrhnutý tak, že nie je schopný porozumieť zložitému materiálu na jeden záťah. Často si potrebujete prečítať odsek, požiadať o pomoc učiteľa alebo si precvičiť riešenie štandardných úloh. V našom prípade vyzerajú napríklad takto: „Vyriešte sústavu nerovností 3 x + 1 ≥ 0 a 2 x - 1 > 3.“ Osobná túžba, pomoc od cudzincov a prax teda pomáhajú pochopiť akúkoľvek komplexnú tému.

Riešiteľ?

Veľmi vhodná je aj kniha riešení, nie však na kopírovanie domácich úloh, ale na svojpomoc. V nich môžete nájsť systémy nerovností s riešením, pozrieť sa na ne (ako šablóny), pokúsiť sa presne pochopiť, ako sa autor riešenia s úlohou vyrovnal, a potom sa pokúsiť urobiť to isté na vlastnú päsť.

Závery

Algebra je jedným z najťažších predmetov v škole. No, čo môžeš robiť? Matematika bola vždy taká: pre niektorých je to ľahké, ale pre iných je to ťažké. V každom prípade však treba pamätať na to, že všeobecný vzdelávací program je štruktúrovaný tak, aby ho zvládol každý študent. Okrem toho treba mať na pamäti obrovské množstvo asistentov. Niektoré z nich boli spomenuté vyššie.

Po získaní prvotných informácií o nerovnostiach s premennými prejdeme k otázke ich riešenia. Budeme analyzovať riešenie lineárnych nerovníc s jednou premennou a všetky spôsoby ich riešenia pomocou algoritmov a príkladov. Zohľadňovať sa budú iba lineárne rovnice s jednou premennou.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Čo je lineárna nerovnosť?

Najprv musíte definovať lineárnu rovnicu a zistiť jej štandardný tvar a ako sa bude líšiť od ostatných. Zo školského kurzu máme, že medzi nerovnosťami nie je zásadný rozdiel, preto je potrebné použiť viacero definícií.

Definícia 1

Lineárna nerovnosť s jednou premennou x je nerovnosť tvaru a · x + b > 0, keď sa namiesto > použije ľubovoľný znak nerovnosti< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definícia 2

Nerovnosti a x< c или a · x >c, kde x je premenná a a a c sú nejaké čísla, sa nazýva lineárne nerovnosti s jednou premennou.

Keďže sa nič nehovorí o tom, či sa koeficient môže rovnať 0, potom striktná nerovnosť tvaru 0 x > c a 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Ich rozdiely sú:

forma zápisu a · x + b > 0 v prvom a a · x > c – v druhom;
prípustnosť koeficientu a je rovný nule, a ≠ 0 - v prvom a a = 0 - v druhom.

Predpokladá sa, že nerovnosti a x + b > 0 a a x x > c sú ekvivalentné, pretože sa získajú prevodom člena z jednej časti do druhej. Riešenie nerovnosti 0 x + 5 > 0 povedie k tomu, že ju bude potrebné vyriešiť a prípad a = 0 nebude fungovať.

Definícia 3

Predpokladá sa, že lineárne nerovnosti v jednej premennej x sú nerovnosťami tvaru a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 A a x + b ≥ 0, kde a a b sú reálne čísla. Namiesto x môže byť bežné číslo.

Na základe pravidla máme, že 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 sa nazývajú redukovateľné na lineárne.

Ako vyriešiť lineárnu nerovnosť

Hlavným spôsobom riešenia takýchto nerovností je použitie ekvivalentných transformácií na nájdenie elementárnych nerovností x< p (≤ , >, ≥) , p čo je určité číslo pre a ≠ 0 a tvaru a< p (≤ , >, ≥) pre a = 0.

Na vyriešenie nerovností v jednej premennej môžete použiť intervalovú metódu alebo ju znázorniť graficky. Ktorýkoľvek z nich je možné použiť samostatne.

Použitie ekvivalentných transformácií

Na vyriešenie lineárnej nerovnosti tvaru a x + b< 0 (≤ , >, ≥), je potrebné použiť ekvivalentné nerovnicové transformácie. Koeficient môže, ale nemusí byť nulový. Zoberme si oba prípady. Aby ste to zistili, musíte sa držať schémy pozostávajúcej z 3 bodov: podstata procesu, algoritmus a samotné riešenie.

Definícia 4

Algoritmus na riešenie lineárnej nerovnosti a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pre a ≠ 0

číslo b sa presunie na pravú stranu nerovnosti s opačným znamienkom, čo nám umožní dospieť k ekvivalentu a x< − b (≤ , > , ≥) ;
Obe strany nerovnosti budú delené číslom, ktoré sa nerovná 0. Navyše, keď je a kladné, znamienko zostáva, keď je a záporné, mení sa na opak.

Uvažujme o použití tohto algoritmu na riešenie príkladov.

Príklad 1

Vyriešte nerovnosť tvaru 3 x + 12 ≤ 0.

Riešenie

Táto lineárna nerovnosť má a = 3 a b = 12. To znamená, že koeficient a x sa nerovná nule. Aplikujme vyššie uvedené algoritmy a vyriešme to.

Je potrebné presunúť člen 12 do inej časti nerovnosti a zmeniť znamienko pred ním. Potom dostaneme nerovnosť v tvare 3 x ≤ − 12. Je potrebné vydeliť obe časti 3. Znamienko sa nezmení, pretože 3 je kladné číslo. Dostaneme, že (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, čo dáva výsledok x ≤ − 4.

Nerovnosť tvaru x ≤ − 4 je ekvivalentná. To znamená, že riešením pre 3 x + 12 ≤ 0 je akékoľvek reálne číslo, ktoré je menšie alebo rovné 4. Odpoveď sa zapíše ako nerovnosť x ≤ − 4, alebo ako číselný interval tvaru (− ∞, − 4].

Celý vyššie opísaný algoritmus je napísaný takto:

3 x + 12 < 0; 3 x ≤ - 12; x ≤ − 4 .

odpoveď: x ≤ − 4 alebo (− ∞ , − 4 ] .

Príklad 2

Označte všetky dostupné riešenia nerovnosti − 2, 7 · z > 0.

Riešenie

Z podmienky vidíme, že koeficient a pre z sa rovná - 2,7 a b explicitne chýba alebo sa rovná nule. Nemôžete použiť prvý krok algoritmu, ale okamžite prejsť na druhý.

Obe strany rovnice vydelíme číslom - 2, 7. Keďže číslo je záporné, je potrebné obrátiť znamienko nerovnosti. To znamená, že dostaneme, že (− 2, 7 z): (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Napíšme celý algoritmus v stručnej forme:

- 2,7 z > 0; z< 0 .

odpoveď: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Príklad 3

Vyriešte nerovnosť - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Riešenie

Podľa podmienky vidíme, že je potrebné riešiť nerovnosť s koeficientom a pre premennú x, ktorá sa rovná - 5, s koeficientom b, ktorý zodpovedá zlomku - 15 22. Nerovnosť je potrebné vyriešiť podľa algoritmu, to znamená: presunúť - 15 22 do inej časti s opačným znamienkom, obe časti vydeliť - 5, zmeniť znamienko nerovnosti:

5 x ≤ 1522; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Pri poslednom prechode pre pravú stranu sa používa pravidlo na delenie čísla rôznymi znamienkami 15 22: - 5 = - 15 22: 5, po ktorom vydelíme obyčajný zlomok prirodzeným číslom - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

odpoveď: x ≥ - 3 22 a [ - 3 22 + ∞) .

Zoberme si prípad, keď a = 0. Lineárne vyjadrenie tvaru a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Všetko je založené na určení riešenia nerovnosti. Pre akúkoľvek hodnotu x získame číselnú nerovnosť tvaru b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Všetky úsudky zvážime vo forme algoritmu na riešenie lineárnych nerovností 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definícia 5

Číselná nerovnosť tvaru b< 0 (≤ , >, ≥) je pravda, potom pôvodná nerovnosť má riešenie pre akúkoľvek hodnotu a je nepravdivá, keď pôvodná nerovnosť nemá žiadne riešenia.

Príklad 4

Vyriešte nerovnosť 0 x + 7 > 0.

Riešenie

Táto lineárna nerovnosť 0 x + 7 > 0 môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu x. Potom dostaneme nerovnosť tvaru 7 > 0. Posledná nerovnosť sa považuje za pravdivú, čo znamená, že jej riešením môže byť akékoľvek číslo.

Odpoveď: interval (− ∞ , + ∞) .

Príklad 5

Nájdite riešenie nerovnosti 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Riešenie

Pri dosadení premennej x akéhokoľvek čísla dostaneme, že nerovnosť má tvar − 12, 7 ≥ 0. Je to nesprávne. To znamená, že 0 x − 12, 7 ≥ 0 nemá žiadne riešenia.

odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

Uvažujme o riešení lineárnych nerovností, kde sa oba koeficienty rovnajú nule.

Príklad 6

Určte neriešiteľnú nerovnosť z 0 x + 0 > 0 a 0 x + 0 ≥ 0.

Riešenie

Pri dosadení ľubovoľného čísla namiesto x dostaneme dve nerovnosti v tvare 0 > 0 a 0 ≥ 0. Prvý je nesprávny. To znamená, že 0 x + 0 > 0 nemá žiadne riešenia a 0 x + 0 ≥ 0 má nekonečný počet riešení, teda ľubovoľný počet.

Odpoveď: nerovnosť 0 x + 0 > 0 nemá riešenia, ale 0 x + 0 ≥ 0 riešenia má.

Táto metóda je diskutovaná v školskom kurze matematiky. Intervalová metóda je schopná riešiť rôzne typy nerovností, vrátane lineárnych.

Intervalová metóda sa používa pre lineárne nerovnosti, keď sa hodnota koeficientu x nerovná 0. V opačnom prípade budete musieť vypočítať pomocou inej metódy.

Definícia 6

Intervalová metóda je:

zavedenie funkcie y = a · x + b ;
hľadanie núl na rozdelenie domény definície na intervaly;
definícia znakov pre ich pojmy na intervaloch.

Zostavme si algoritmus na riešenie lineárnych rovníc a x + b< 0 (≤ , >, ≥) pre a ≠ 0 pomocou intervalovej metódy:

nájdenie núl funkcie y = a · x + b na vyriešenie rovnice v tvare a · x + b = 0 . Ak a ≠ 0, potom riešením bude jeden koreň, ktorý bude mať označenie x 0;
konštrukcia súradnicovej čiary s obrazom bodu so súradnicou x 0, pri prísnej nerovnici sa bod označí bodkovanou, pri neprísnej nerovnici – tieňovanou;
určenie znakov funkcie y = a · x + b na intervaloch je potrebné nájsť hodnoty funkcie v bodoch intervalu;
riešenie nerovnosti so znamienkami > alebo ≥ na súradnicovej čiare, pridaním tieňovania cez kladný interval,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Pozrime sa na niekoľko príkladov riešenia lineárnych nerovníc pomocou intervalovej metódy.

Príklad 6

Vyriešte nerovnosť − 3 x + 12 > 0.

Riešenie

Z algoritmu vyplýva, že najprv musíte nájsť koreň rovnice − 3 x + 12 = 0. Dostaneme, že − 3 · x = − 12 , x = 4 . Je potrebné nakresliť súradnicovú čiaru, kde označíme bod 4. Bude to prepichnuté, pretože nerovnosť je prísna. Zvážte nákres nižšie.

Je potrebné určiť znaky v intervaloch. Na jej určenie na intervale (− ∞, 4) je potrebné vypočítať funkciu y = − 3 x + 12 pri x = 3. Odtiaľ dostaneme, že − 3 3 + 12 = 3 > 0. Znamienko na intervale je kladné.

Znamienko určíme z intervalu (4, + ∞), potom dosadíme hodnotu x = 5. Máme, že − 3 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Nerovnosť riešime znamienkom > a tieňovanie sa vykonáva nad kladným intervalom. Zvážte nákres nižšie.

Z nákresu je zrejmé, že požadované riešenie má tvar (− ∞ , 4) alebo x< 4 .

Odpoveď: (− ∞ , 4) alebo x< 4 .

Aby sme pochopili, ako graficky znázorniť, je potrebné zvážiť 4 lineárne nerovnosti ako príklad: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 a 0, 5 x − 1 ≥ 0. Ich riešenia budú hodnoty x< 2 , x ≤ 2 , x >2 a x ≥ 2. Aby sme to dosiahli, nakreslíme lineárnu funkciu y = 0, 5 x − 1 znázornenú nižšie.

To je jasné

Definícia 7

riešenie nerovnosti 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
riešenie 0, 5 x − 1 ≤ 0 sa považuje za interval, kde funkcia y = 0, 5 x − 1 je menšia ako O x alebo sa zhoduje;
riešenie 0, 5 · x − 1 > 0 považujeme za interval, funkcia sa nachádza nad O x;
riešenie 0, 5 · x − 1 ≥ 0 sa považuje za interval, kde sa graf nad O x alebo zhoduje.

Zmyslom grafického riešenia nerovností je nájsť intervaly, ktoré je potrebné znázorniť v grafe. V tomto prípade zistíme, že ľavá strana má y = a · x + b a pravá strana má y = 0 a zhoduje sa s O x.

Definícia 8

Nakreslíme graf funkcie y = a x + b:

pri riešení nerovnosti a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
pri riešení nerovnosti a · x + b ≤ 0 sa určí interval, kde je graf znázornený pod osou O x alebo sa zhoduje;
pri riešení nerovnosti a · x + b > 0 sa určí interval, kde je graf znázornený nad O x;
Pri riešení nerovnosti a · x + b ≥ 0 sa určí interval, kde je graf nad O x alebo sa zhoduje.

Príklad 7

Vyriešte nerovnosť - 5 · x - 3 > 0 pomocou grafu.

Riešenie

Je potrebné zostrojiť graf lineárnej funkcie - 5 · x - 3 > 0. Táto čiara je klesajúca, pretože koeficient x je záporný. Na určenie súradníc jeho priesečníka s O x - 5 · x - 3 > 0 získame hodnotu - 3 5. Znázornime to graficky.

Pri riešení nerovnosti so znamienkom > je potrebné venovať pozornosť intervalu nad O x. Zvýraznite požadovanú časť roviny červenou farbou a získajte to

Požadovaná medzera je časť O x červená. To znamená, že lúč otvoreného čísla - ∞ , - 3 5 bude riešením nerovnosti. Ak by sme podľa podmienky mali nestriktnú nerovnosť, potom by hodnota bodu - 3 5 bola tiež riešením nerovnosti. A zhodovalo by sa s O x.

Odpoveď: - ∞ , - 3 5 alebo x< - 3 5 .

Grafické riešenie sa používa vtedy, keď ľavá strana zodpovedá funkcii y = 0 x + b, teda y = b. Potom bude priamka rovnobežná s O x alebo zhodná pri b = 0. Tieto prípady ukazujú, že nerovnosť nemusí mať žiadne riešenia alebo riešením môže byť ľubovoľné číslo.

Príklad 8

Určte z nerovností 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Riešenie

Znázornenie y = 0 x + 7 je y = 7, potom bude daná súradnicová rovina s priamkou rovnobežnou s O x a umiestnenou nad O x. Takže 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Graf funkcie y = 0 x + 0 sa považuje za y = 0, to znamená, že priamka sa zhoduje s O x. To znamená, že nerovnosť 0 x + 0 ≥ 0 má veľa riešení.

Odpoveď: Druhá nerovnosť má riešenie pre ľubovoľnú hodnotu x.

Nerovnosti, ktoré sa znižujú na lineárne

Riešenie nerovníc možno redukovať na riešenie lineárnej rovnice, ktoré sa nazývajú nerovnosti, ktoré sa redukujú na lineárne.

Tieto nerovnosti boli zohľadnené v školskom kurze, keďže išlo o špeciálny prípad riešenia nerovností, čo viedlo k otvoreniu zátvoriek a skráteniu podobných výrazov. Uvažujme napríklad, že 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Vyššie uvedené nerovnosti sú vždy redukované do tvaru lineárnej rovnice. Potom sa otvoria zátvorky a uvedú sa podobné výrazy, prenesené z rôznych častí, pričom sa zmení znamienko na opak.

Pri redukcii nerovnosti 5 − 2 x > 0 na lineárnu ju znázorníme tak, že má tvar − 2 x + 5 > 0 a pre zmenšenie druhej dostaneme, že 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x . Je potrebné otvoriť zátvorky, priniesť podobné výrazy, presunúť všetky výrazy na ľavú stranu a priniesť podobné výrazy. Vyzerá to takto:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ 5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

To vedie k riešeniu lineárnej nerovnosti.

Tieto nerovnosti sa považujú za lineárne, pretože majú rovnaký princíp riešenia, po ktorom je možné ich zredukovať na elementárne nerovnosti.

Na vyriešenie tohto typu nerovnosti je potrebné znížiť ju na lineárnu. Malo by sa to urobiť takto:

Definícia 9

otvorené zátvorky;
zbierať premenné vľavo a čísla vpravo;
dať podobné podmienky;
vydeľte obe strany koeficientom x.

Príklad 9

Vyriešte nerovnosť 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Riešenie

Otvoríme zátvorky, potom dostaneme nerovnosť v tvare 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Po zmenšení podobných členov máme, že 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Po presunutí členov zľava doprava zistíme, že 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Existuje teda nerovnosť tvaru 32 ≤ 0 od tvaru získaného výpočtom 0 x + 32 ≤ 0. Je vidieť, že nerovnosť je nepravdivá, čo znamená, že nerovnosť daná podmienkou nemá riešenia.

Odpoveď: žiadne riešenia.

Stojí za zmienku, že existuje mnoho ďalších typov nerovností, ktoré je možné redukovať na lineárne alebo nerovnosti vyššie uvedeného typu. Napríklad 5 2 x − 1 ≥ 1 je exponenciálna rovnica, ktorá sa redukuje na riešenie lineárneho tvaru 2 x − 1 ≥ 0. Tieto prípady sa budú brať do úvahy pri riešení nerovností tohto typu.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Teraz môžete pochopiť, ako sa riešia lineárne nerovnosti a x + b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Hlavným spôsobom, ako ich vyriešiť, je použiť ekvivalentné transformácie, ktoré umožňujú dospieť k a≠0 to elementárne nerovnosti typ x

, ≥), p - určité číslo, ktoré sú požadovaným riešením a pre a=0 - na číselné nerovnosti tvaru a

, ≥), z ktorého sa vyvodzuje záver o riešení pôvodnej nerovnosti. Najprv to analyzujeme.

Tiež nezaškodí pozrieť sa na riešenie lineárnych nerovností v jednej premennej z iných perspektív. Preto si ukážeme aj to, ako sa dá lineárna nerovnosť riešiť graficky a pomocou intervalovej metódy.

Použitie ekvivalentných transformácií

Potrebujeme vyriešiť lineárnu nerovnosť a x+b<0 (≤, >, ≥). Ukážme si, ako to urobiť pomocou ekvivalentných nerovnicových transformácií.

Prístupy sa líšia v závislosti od toho, či sa koeficient a premennej x rovná nule alebo nie. Pozrime sa na ne jeden po druhom. Okrem toho sa pri zvažovaní budeme držať trojbodovej schémy: najprv uvedieme podstatu procesu, potom dáme algoritmus na riešenie lineárnej nerovnosti a nakoniec dáme riešenia typických príkladov.

Začnime s algoritmus na riešenie lineárnej nerovnosti a x+b<0 (≤, >, ≥) pre a≠0.

Najprv sa číslo b prenesie na pravú stranu nerovnosti s opačným znamienkom. To nám umožňuje prejsť na ekvivalentnú nerovnosť a x<−b (≤, >, ≥).
Po druhé, obe strany výslednej nerovnosti sú rozdelené nenulovým číslom a. Navyše, ak a je kladné číslo, znamienko nerovnosti sa zachová a ak a je záporné číslo, znamienko nerovnosti sa obráti. Výsledkom je elementárna nerovnosť ekvivalentná pôvodnej lineárnej nerovnosti a toto je odpoveď.

Zostáva pochopiť aplikáciu ohláseného algoritmu pomocou príkladov. Uvažujme, ako sa dá použiť na riešenie lineárnych nerovností pre a≠0.

Príklad.

Vyriešte nerovnosť 3·x+12≤0.

Riešenie.

Pre danú lineárnu nerovnosť máme a=3 ab=12. Je zrejmé, že koeficient a pre premennú x je odlišný od nuly. Použime zodpovedajúci algoritmus riešenia uvedený vyššie.

Najprv presunieme člen 12 na pravú stranu nerovnosti, pričom nezabudneme zmeniť jej znamienko, to znamená, že na pravej strane sa objaví −12. Výsledkom je ekvivalentná nerovnosť 3·x≤−12.

A po druhé, obe strany výslednej nerovnosti vydelíme 3, keďže 3 je kladné číslo, znamienko nerovnosti nemeníme. Máme (3 x):3≤(−12):3, čo je rovnaké ako x≤−4.

Výsledná elementárna nerovnosť x≤−4 je ekvivalentná pôvodnej lineárnej nerovnosti a je jej požadovaným riešením.

Takže riešením lineárnej nerovnosti 3 x + 12≤0 je akékoľvek reálne číslo menšie alebo rovné mínus štyri. Odpoveď možno zapísať aj vo forme číselného intervalu zodpovedajúceho nerovnosti x≤−4, teda ako (−∞, −4] .

Po získaní zručnosti v práci s lineárnymi nerovnosťami je možné ich riešenia stručne zapísať bez vysvetlenia. V tomto prípade si najprv zapíšte pôvodnú lineárnu nerovnosť a nižšie - ekvivalentné nerovnosti získané v každom kroku riešenia:
3 x + 12 < 0;
3 x ≤ -12;
x≤-4.

odpoveď:

x≤−4 alebo (−∞, −4] .

Príklad.

Uveďte všetky riešenia lineárnej nerovnosti −2,7·z>0.

Riešenie.

Tu sa koeficient a pre premennú z rovná −2,7. A koeficient b chýba v explicitnej forme, to znamená, že sa rovná nule. Preto nie je potrebné vykonať prvý krok algoritmu na riešenie lineárnej nerovnosti s jednou premennou, pretože posunutím nuly z ľavej strany doprava sa nezmení tvar pôvodnej nerovnosti.

Zostáva vydeliť obe strany nerovnosti −2,7, pričom nezabudneme zmeniť znamienko nerovnosti na opačné, keďže −2,7 je záporné číslo. máme (-2,7 z): (-2,7)<0:(−2,7) a potom z<0 .

A teraz stručne:
-2,7·z>0;
z<0 .

odpoveď:

z<0 или (−∞, 0) .

Príklad.

Vyriešte nerovnosť .

Riešenie.

Potrebujeme vyriešiť lineárnu nerovnosť s koeficientom a pre premennú x rovným −5 a koeficientom b, ktorý zodpovedá zlomku −15/22. Postupujeme podľa známej schémy: najprv prenesieme −15/22 na pravú stranu s opačným znamienkom, potom obe strany nerovnosti vydelíme záporným číslom −5, pričom zmeníme znamienko nerovnosti:

Posledný prechod na pravej strane využíva , potom vykonaný .

odpoveď:

Teraz prejdime k prípadu, keď a=0. Princíp riešenia lineárnej nerovnosti a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Na čom je to založené? Veľmi jednoduché: na určenie riešenia nerovnosti. Ako? Áno, takto: bez ohľadu na to, akú hodnotu premennej x dosadíme do pôvodnej lineárnej nerovnosti, dostaneme číselnú nerovnosť tvaru b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Sformulujme vyššie uvedené argumenty vo forme algoritmus na riešenie lineárnych nerovností 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

Zvážte číselnú nerovnosť b<0 (≤, >, ≥) a

ak je to pravda, potom riešením pôvodnej nerovnosti je ľubovoľné číslo;
ak je nepravdivá, potom pôvodná lineárna nerovnosť nemá riešenia.

Teraz to pochopme pomocou príkladov.

Príklad.

Riešte nerovnosť 0·x+7>0.

Riešenie.

Pre ľubovoľnú hodnotu premennej x sa lineárna nerovnosť 0 x+7>0 zmení na numerickú nerovnosť 7>0. Posledná nerovnosť je pravdivá, preto akékoľvek číslo je riešením pôvodnej nerovnosti.

odpoveď:

riešením je ľubovoľné číslo alebo (−∞, +∞) .

Príklad.

Má lineárna nerovnosť 0·x−12,7≥0 riešenia?

Riešenie.

Ak namiesto premennej x dosadíte akékoľvek číslo, pôvodná nerovnosť sa zmení na číselnú nerovnosť −12,7≥0, čo je nesprávne. To znamená, že ani jedno číslo nie je riešením lineárnej nerovnosti 0·x−12,7≥0.

odpoveď:

nie, nie je.

Na záver tejto časti budeme analyzovať riešenia dvoch lineárnych nerovností, ktorých koeficienty sa rovnajú nule.

Príklad.

Ktorá z lineárnych nerovností 0·x+0>0 a 0·x+0≥0 nemá riešenia a ktorá má nekonečne veľa riešení?

Riešenie.

Ak namiesto premennej x dosadíte akékoľvek číslo, potom prvá nerovnosť bude mať tvar 0>0 a druhá - 0≥0. Prvý z nich je nesprávny a druhý je správny. V dôsledku toho lineárna nerovnosť 0·x+0>0 nemá riešenia a nerovnosť 0·x+0≥0 má nekonečne veľa riešení, konkrétne, jej riešením je ľubovoľné číslo.

odpoveď:

nerovnosť 0 x+0>0 nemá riešenia a nerovnosť 0 x+0≥0 má nekonečne veľa riešení.

Intervalová metóda

Vo všeobecnosti sa metóda intervalov študuje v kurze školskej algebry neskôr ako téma riešenia lineárnych nerovníc v jednej premennej. Ale intervalová metóda vám umožňuje riešiť rôzne nerovnosti, vrátane lineárnych. Preto sa pri tom pozastavme.

Hneď si všimnime, že na riešenie lineárnych nerovníc s nenulovým koeficientom pre premennú x je vhodné použiť intervalovú metódu. V opačnom prípade je rýchlejšie a pohodlnejšie vyvodiť záver o riešení nerovnosti metódou diskutovanou na konci predchádzajúceho odseku.

Z toho vyplýva intervalová metóda

zavedenie funkcie zodpovedajúcej ľavej strane nerovnosti, v našom prípade – lineárna funkcia y=a x+b,
nájdenie jeho núl, ktoré rozdeľujú definičný obor na intervaly,
určenie znamienok, ktoré majú funkčné hodnoty na týchto intervaloch, na základe ktorých sa urobí záver o riešení lineárnej nerovnosti.

Zozbierajme tieto momenty algoritmu, odhaľujúce, ako riešiť lineárne nerovnosti a x+b<0 (≤, >, ≥) pre a≠0 pomocou intervalovej metódy:

Nájdeme nuly funkcie y=a·x+b, pre ktoré je vyriešené a·x+b=0. Ako je známe, pre a≠0 má jeden koreň, ktorý označíme ako x 0 .
Je skonštruovaný a je na ňom znázornený bod so súradnicou x 0. Navyše, ak sa vyrieši prísna nerovnosť (so znamienkom< или >), potom je tento bod prerušovaný (s prázdnym stredom) a ak nie je presný (so znamienkom ≤ alebo ≥), umiestni sa riadna bodka. Tento bod rozdeľuje súradnicovú čiaru na dva intervaly (−∞, x 0) a (x 0, +∞).
Určia sa znamienka funkcie y=a·x+b na týchto intervaloch. Na tento účel sa vypočíta hodnota tejto funkcie v ľubovoľnom bode intervalu (−∞, x 0) a znamienko tejto hodnoty bude požadovaným znamienkom na intervale (−∞, x 0). Podobne znamienko na intervale (x 0 , +∞) sa zhoduje so znamienkom hodnoty funkcie y=a·x+b v ktoromkoľvek bode tohto intervalu. Môžete sa však zaobísť bez týchto výpočtov a vyvodiť závery o znamienkach na základe hodnoty koeficientu a: ak a>0, potom na intervaloch (−∞, x 0) a (x 0, +∞) bude znamienka − a +, a ak a >0, potom + a −.
Ak sa riešia nerovnosti so znamienkami > alebo ≥, potom sa cez medzeru umiestni šraf so znamienkom plus a ak sa riešia nerovnosti so znamienkami< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Zoberme si príklad riešenia lineárnej nerovnosti pomocou intervalovej metódy.

Príklad.

Vyriešte nerovnosť −3·x+12>0.

Riešenie.

Keďže analyzujeme intervalovú metódu, použijeme ju. Podľa algoritmu najskôr nájdeme koreň rovnice −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Ďalej nakreslíme súradnicovú čiaru a označíme na nej bod súradnicou 4 a tento bod urobíme prepichnutý, pretože riešime prísnu nerovnosť:

Teraz určíme znamienka na intervaloch. Na určenie znamienka na intervale (−∞, 4) môžete vypočítať hodnotu funkcie y=−3·x+12, napríklad pri x=3. Máme −3·3+12=3>0, čo znamená, že na tomto intervale je znamienko +. Na určenie znamienka na inom intervale (4, +∞) môžete vypočítať hodnotu funkcie y=−3 x+12, napríklad v bode x=5. Máme −3·5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Keďže nerovnosť riešime znamienkom >, prekreslíme tieňovanie cez medzeru znamienkom +, kresba má tvar

Na základe výsledného obrázku usúdime, že požadované riešenie je (−∞, 4) alebo v inom zápise x<4 .

odpoveď:

(−∞, 4) alebo x<4 .

Graficky

Je užitočné porozumieť geometrickej interpretácii riešenia lineárnych nerovností v jednej premennej. Aby sme to dosiahli, zvážme štyri lineárne nerovnosti s rovnakou ľavou stranou: 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 a 0,5 x−1≥0, ich riešenia sú x<2 , x≤2 , x>2 a x≥2 a tiež nakreslite graf lineárnej funkcie y=0,5 x−1.

Je ľahké si to všimnúť

riešenie nerovnosti 0,5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
riešenie nerovnosti 0,5 x−1≤0 predstavuje interval, v ktorom je graf funkcie y=0,5 x−1 pod osou Ox alebo sa s ňou zhoduje (inými slovami, nie nad osou x),
podobne je riešením nerovnosti 0,5 x−1>0 interval, v ktorom je graf funkcie nad osou Ox (táto časť grafu je znázornená červenou farbou),
a riešením nerovnosti 0,5·x−1≥0 je interval, v ktorom je graf funkcie vyšší alebo sa zhoduje s osou x.

Grafická metóda riešenia nerovností, najmä lineárne, a znamená nájsť intervaly, v ktorých sa graf funkcie zodpovedajúcej ľavej strane nerovnosti nachádza nad, pod, nie pod alebo nie nad grafom funkcie zodpovedajúcej pravej strane nerovnosti. V našom prípade lineárnej nerovnosti funkcia zodpovedajúca ľavej strane je y=a·x+b a pravá strana je y=0, čo sa zhoduje s osou Ox.

Vzhľadom na uvedené informácie je ľahké ho formulovať Algoritmus na grafické riešenie lineárnych nerovností:

Zostrojí sa graf funkcie y=a x+b (schematicky možné) a

pri riešení nerovnosti a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
pri riešení nerovnosti a x+b≤0 sa určí interval, v ktorom je graf nižší alebo sa zhoduje s osou Ox,
pri riešení nerovnosti a x+b>0 sa určí interval, v ktorom je graf nad osou Ox,
pri riešení nerovnosti a·x+b≥0 sa určí interval, v ktorom je graf vyšší alebo sa zhoduje s osou Ox.

Príklad.

Vyriešte nerovnosť graficky.

Riešenie.

Načrtneme si graf lineárnej funkcie . Toto je priamka, ktorá sa znižuje, pretože koeficient x je záporný. Potrebujeme aj súradnicu jej priesečníka s osou x, je to koreň rovnice , čo sa rovná . Pre naše potreby ani nemusíme zobrazovať os Oy. Takže náš schematický výkres bude vyzerať takto

Keďže riešime nerovnicu so znamienkom >, zaujíma nás interval, v ktorom je graf funkcie nad osou Ox. Pre názornosť si túto časť grafu zvýrazníme červenou farbou a aby sme ľahko určili interval zodpovedajúci tejto časti, zvýraznime červenou farbou časť súradnicovej roviny, v ktorej sa nachádza vybraná časť grafu, ako je to v obrázok nižšie:

Medzera, ktorá nás zaujíma, je časť osi Ox, ktorá je zvýraznená červenou farbou. Je zrejmé, že ide o otvorený číselný lúč . Toto je riešenie, ktoré hľadáme. Všimnite si, že ak by sme nerovnicu riešili nie so znamienkom >, ale so znamienkom nestriktnej nerovnice ≥, tak by sme museli v odpovedi pridať, keďže v tomto bode graf funkcie sa zhoduje s osou Ox .y=0·x+7, ktorá je rovnaká ako y=7, definuje priamku v rovine súradníc rovnobežnú s osou Ox a leží nad ňou. Preto nerovnosť 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

A graf funkcie y=0·x+0, ktorý je rovnaký ako y=0, je priamka zhodná s osou Ox. Preto je riešením nerovnosti 0·x+0≥0 množina všetkých reálnych čísel.

odpoveď:

druhá nerovnosť, jej riešením je akékoľvek reálne číslo.

Nerovnosti, ktoré sa znižujú na lineárne

Obrovské množstvo nerovností je možné nahradiť ekvivalentnými lineárnymi nerovnicami pomocou ekvivalentných transformácií, inými slovami, redukovaných na lineárnu nerovnosť. Takéto nerovnosti sú tzv nerovnosti, ktoré sa znižujú na lineárne.

V škole sa takmer súčasne s riešením lineárnych nerovníc uvažuje aj s jednoduchými nerovnicami, ktoré sa redukujú na lineárne. Sú to špeciálne prípady celé nerovnosti, totiž v ich ľavej a pravej časti sú celé výrazy, ktoré predstavujú resp lineárne binomy, alebo sú na ne prevedené pomocou a . Kvôli prehľadnosti uvádzame niekoľko príkladov takýchto nerovností: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

Nerovnosti, ktoré sú vo forme podobné tým, ktoré sú uvedené vyššie, môžu byť vždy znížené na lineárne. Dá sa to urobiť otvorením zátvoriek, uvedením podobných výrazov, preusporiadaním výrazov a presunutím výrazov z jednej strany nerovnosti na druhú s opačným znamienkom.

Napríklad na zníženie nerovnosti 5−2 x>0 na lineárnu stačí preusporiadať členy na jej ľavej strane, máme −2 x+5>0. Ak chcete znížiť druhú nerovnosť 7·(x−1)+3≤4·x−2+x na lineárnu, potrebujete trochu viac krokov: na ľavej strane otvoríme zátvorky 7·x−7+3≤4· x−2+x , po Aby sme to dosiahli, uvádzame podobné členy na oboch stranách 7 x−4≤5 x−2 , potom prenesieme členy z pravej strany na ľavú 7 x−4−5 x+2 ≤0 , nakoniec uvádzame podobné členy na ľavej strane 2 ·x−2≤0 . Podobne možno tretiu nerovnosť zredukovať na lineárnu nerovnosť.

Vzhľadom na to, že takéto nerovnosti sa dajú vždy zredukovať na lineárne, niektorí autori ich dokonca nazývajú aj lineárne. Stále ich však budeme považovať za redukovateľné na lineárne.

Teraz je jasné, prečo sa takéto nerovnosti zvažujú spolu s lineárnymi nerovnosťami. A princíp ich riešenia je úplne rovnaký: vykonaním ekvivalentných transformácií sa dajú zredukovať na elementárne nerovnosti, ktoré predstavujú požadované riešenia.

Ak chcete vyriešiť nerovnosť tohto typu, môžete ju najskôr zmenšiť na lineárnu a potom túto lineárnu nerovnosť vyriešiť. Ale je to racionálnejšie a pohodlnejšie to urobiť:

po otvorení zátvoriek zozbierajte všetky členy s premennou na ľavej strane nerovnosti a všetky čísla na pravej strane,
potom prines podobné podmienky,
a potom vydeľte obe strany výslednej nerovnosti koeficientom x (ak je, samozrejme, iný ako nula). Toto dá odpoveď.

Príklad.

Vyriešte nerovnosť 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Riešenie.

Najprv otvorme zátvorky, výsledkom čoho je nerovnosť 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 . Teraz dajme podobné pojmy: 6 x + 15 ≤ 6 x - 17 . Potom členy presunieme z ľavej strany, dostaneme 6 x+15−6 x+17≤0 a opäť prinesieme podobné členy (čo nás vedie k lineárnej nerovnosti 0 x+32≤0) a máme 32≤ 0. Takto sme sa dostali k nesprávnej číselnej nerovnosti, z ktorej usudzujeme, že pôvodná nerovnosť nemá riešenia.

odpoveď:

žiadne riešenia.

Na záver poznamenávame, že existuje mnoho ďalších nerovností, ktoré možno redukovať na lineárne nerovnosti alebo na nerovnosti vyššie uvedeného typu. Napríklad riešenie exponenciálna nerovnosť 5 2 x−1 ≥1 redukuje na riešenie lineárnej nerovnosti 2 x−1≥0 . Ale o tom budeme hovoriť pri analýze riešení nerovností zodpovedajúceho typu.

Referencie.

Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebra: 9. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročníka. V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovič A.G. Algebra a začiatky matematickej analýzy. 11. trieda. V 2 častiach 1. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.

Lekcia a prezentácia na tému: "Systémy nerovností. Príklady riešení"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Vzdelávacie pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 9. ročník
Interaktívna učebnica pre ročník 9 "Pravidlá a cvičenia z geometrie"
Elektronická učebnica "Pochopiteľná geometria" pre ročníky 7-9

Systém nerovností

Chlapci, študovali ste lineárne a kvadratické nerovnosti a naučili ste sa riešiť problémy na tieto témy. Teraz prejdime k novému pojmu v matematike – sústave nerovností. Systém nerovností je podobný systému rovníc. Pamätáte si sústavy rovníc? V siedmom ročníku ste sa učili sústavy rovníc, skúste si spomenúť, ako ste ich riešili.

Uveďme si definíciu systému nerovností.
Niekoľko nerovníc s nejakou premennou x tvorí systém nerovností, ak potrebujete nájsť všetky hodnoty x, pre ktoré každá z nerovností tvorí správny číselný výraz.

Akákoľvek hodnota x, pre ktorú má každá nerovnosť správny číselný výraz, je riešením nerovnosti. Dá sa nazvať aj súkromným riešením.
Čo je súkromné riešenie? Napríklad v odpovedi sme dostali výraz x>7. Potom x=8 alebo x=123 alebo akékoľvek iné číslo väčšie ako sedem je konkrétne riešenie a výraz x>7 je všeobecné riešenie. Všeobecné riešenie je tvorené mnohými súkromnými riešeniami.

Ako sme skombinovali sústavu rovníc? Správne, kučeravá ortéza, a tak robia to isté s nerovnosťami. Pozrime sa na príklad systému nerovností: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Ak systém nerovníc pozostáva z rovnakých výrazov, napríklad $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Čo to teda znamená: nájsť riešenie systému nerovností?
Riešenie nerovnosti je súbor čiastkových riešení nerovnosti, ktoré uspokoja obe nerovnosti systému naraz.

Všeobecný tvar sústavy nerovníc zapíšeme ako $\začiatok(prípady)f(x)>0\\g(x)>0\koniec(prípady)$

Označme $Х_1$ ako všeobecné riešenie nerovnosti f(x)>0.
$X_2$ je všeobecné riešenie nerovnosti g(x)>0.
$X_1$ a $X_2$ sú súborom konkrétnych riešení.
Riešením systému nerovností budú čísla patriace $X_1$ aj $X_2$.
Spomeňme si na operácie na množinách. Ako nájdeme prvky množiny, ktoré patria do oboch množín naraz? Presne tak, na to je prevádzka križovatky. Takže riešením našej nerovnosti bude množina $A= X_1∩ X_2$.

Príklady riešení systémov nerovností

Pozrime sa na príklady riešenia sústav nerovníc.

Vyriešte systém nerovností.
a) $\začiatok(prípady)3x-1>2\\5x-10 b) $\začiatok(prípady)2x-4≤6\\-x-4
Riešenie.
a) Riešte každú nerovnosť samostatne.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x > 1 $.
5 x 10 dolárov
Vyznačme si naše intervaly na jednej súradnicovej čiare.

Riešením systému bude úsek priesečníka našich intervalov. Nerovnosť je prísna, potom bude segment otvorený.
Odpoveď: (1; 3).

B) Každú nerovnosť budeme riešiť aj samostatne.
$2x-4≤6; 2 x ≤ 10; x ≤ 5 USD.
$-x-4 -5 $.

Riešením systému bude úsek priesečníka našich intervalov. Druhá nerovnosť je prísna, potom bude segment otvorený vľavo.
Odpoveď: (-5; 5].

Zhrňme si, čo sme sa naučili.
Povedzme, že je potrebné vyriešiť sústavu nerovností: $\začiatok(prípady)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\koniec(prípady)$.
Potom je interval ($x_1; x_2$) riešením prvej nerovnosti.
Interval ($y_1; y_2$) je riešením druhej nerovnosti.
Riešenie systému nerovníc je priesečníkom riešení každej nerovnosti.

Systémy nerovností môžu pozostávať nielen z nerovností prvého rádu, ale aj z akýchkoľvek iných typov nerovností.

Dôležité pravidlá riešenia sústav nerovníc.
Ak jedna z nerovností systému nemá riešenia, potom nemá riešenia ani celý systém.
Ak je jedna z nerovností splnená pre akékoľvek hodnoty premennej, potom riešením systému bude riešenie druhej nerovnosti.

Príklady.
Vyriešte systém nerovností: $\začiatok(prípady)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \koniec(prípady)$
Riešenie.
Riešime každú nerovnosť samostatne.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0 $.

Vyriešme druhú nerovnosť.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Riešením nerovnosti je interval.
Nakreslíme oba intervaly na rovnakú čiaru a nájdeme priesečník.
Priesečníkom intervalov je segment (4; 6].
Odpoveď: (4;6].

Vyriešte systém nerovností.
a) $\začiatok(prípady)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\začiatok(prípady)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\koniec (prípady) )$.

Riešenie.
a) Prvá nerovnosť má riešenie x>1.
Nájdime diskriminant pre druhú nerovnosť.
$ D = 16-4 * 2 * 4 = -16 $. $D Pamätajme na pravidlo: keď jedna z nerovností nemá riešenia, potom nemá riešenia ani celý systém.
Odpoveď: Neexistujú žiadne riešenia.

B) Prvá nerovnosť má riešenie x>1.
Druhá nerovnosť je väčšia ako nula pre všetky x. Potom sa riešenie sústavy zhoduje s riešením prvej nerovnosti.
Odpoveď: x>1.

Úlohy na sústavách nerovníc na samostatné riešenie

Riešenie systémov nerovností:
a) $\začiatok(prípady)4x-5>11\\2x-12 b) $\začiatok(prípady)-3x+1>5\\3x-11 c) $\začiatok(prípady)x^2-25 d) $\začiatok(prípady)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \koniec(prípady)$
e) $\začiatok(prípady)x^2+36