Sínus uhla medzi priamkou a rovinou. Uhol medzi priamkou a rovinou

Uhol a medzi priamkou l a rovinou 6 možno určiť pomocou dodatočného uhla p medzi danou priamkou l a kolmicou n na danú rovinu vedenú z ľubovoľného bodu na priamke (obr. 144). Uhol P dopĺňa požadovaný uhol a až 90°. Po určení skutočnej hodnoty uhla P otočením okolo priamky úrovne roviny uhla tvoreného priamkou l a kolmicou, zostáva doplniť ju o pravý uhol. Tento dodatočný uhol poskytne skutočnú hodnotu uhla a medzi priamkou l a rovinou 0.

27. Určenie uhla medzi dvoma rovinami.

Skutočná hodnota dihedrálneho uhla je medzi dvoma rovinami Q a l. - možno určiť buď nahradením projekčnej roviny, aby sa premenila hrana dihedrálneho uhla na premietaciu čiaru (problémy 1 a 2), alebo ak hrana nie je špecifikovaná, ako uhol medzi dvoma kolmicami n1 a n2 nakreslenými k tieto roviny z ľubovoľného bodu M roviny priestoru B týchto kolmic v bode M získame dva rovinné uhly a a P, ktoré sa rovnajú lineárnym uhlom dvoch susedných uhlov (dihedrálnych) tvorených rovinami q a l. Po určení skutočnej hodnoty uhlov medzi kolmicou n1 a n2 otáčaním okolo priamky nivelety tak určíme lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý zvierajú roviny q a l.

Zakrivené čiary. Špeciálne body zakrivených čiar.

V zložitom kreslení krivky sú jej špeciálne body, ktoré zahŕňajú inflexné, návratové, zlomové a uzlové body, tiež špeciálnymi bodmi na jej priemete. Vysvetľuje to skutočnosť, že singulárne body kriviek sú v týchto bodoch spojené s dotyčnicami.

Ak rovina krivky zaberá vyčnievajúcu polohu (obr. A), potom jeden priemet tejto krivky má tvar priamky.

V prípade priestorovej krivky sú všetky jej projekcie zakrivené čiary (obr. b).

Na určenie z výkresu, ktorá krivka je daná (rovinná alebo priestorová), je potrebné zistiť, či všetky body krivky patria do rovnakej roviny. Špecifikované na obr. b krivka je priestorová, od bodu D krivka nepatrí do roviny definovanej tromi ďalšími bodmi A, B A E túto krivku.

Kruh - rovinná krivka druhého rádu, ktorej ortogonálnym priemetom môže byť kruh a elipsa

Valcová špirálová čiara (helix) je priestorová krivka predstavujúca trajektóriu bodu vykonávajúceho špirálový pohyb.

29. Ploché a priestorové zakrivené čiary.

Pozri otázku 28

30. Komplexná kresba povrchu. Základné ustanovenia.

Plocha je množina sekvenčných pozícií čiar pohybujúcich sa v priestore. Táto čiara môže byť rovná alebo zakrivená a je tzv generatrix povrchy. Ak je tvoriaca čiara krivka, môže mať konštantný alebo premenlivý vzhľad. Generatrix sa pohybuje ďalej sprievodcovia, predstavujúce čiary iného smeru ako generátory. Vodiace čiary určujú zákon pohybu generátorov. Pri pohybe tvoriacej čiary pozdĺž vodidiel a rám plocha (obr. 84), čo je súbor niekoľkých po sebe nasledujúcich polôh tvoriacich čiar a vodítok. Pri skúmaní rámu sa možno presvedčiť, že generátory l a sprievodcov T možno vymeniť, ale povrch zostáva rovnaký.

Akýkoľvek povrch je možné získať rôznymi spôsobmi.

V závislosti od tvaru tvoriacej čiary možno všetky plochy rozdeliť na vládol, ktoré majú generatívnu priamku, a bezvládne, ktoré majú tvoriacu sa zakrivenú čiaru.

Vyvinuteľné plochy zahŕňajú plochy všetkých mnohostenov, valcové, kužeľové a torzové plochy. Všetky ostatné povrchy sú nerozvinuteľné. Neriadkové plochy môžu mať tvoriacu čiaru konštantného tvaru (rotačné plochy a rúrkové plochy) a tvoriacu čiaru premenlivého tvaru (kanálové a rámové plochy).

Plocha v zložitom výkrese je špecifikovaná priemetmi geometrickej časti jej determinantu, čo naznačuje spôsob konštrukcie jej zložiek. V kresbe plochy je pre akýkoľvek bod v priestore jednoznačne vyriešená otázka, či patrí k danej ploche. Grafické špecifikovanie prvkov povrchového determinantu zabezpečuje reverzibilitu kresby, ale nerobí ju vizuálnou. Pre prehľadnosť sa uchyľujú ku konštrukcii projekcií pomerne hustého rámca tvoriacich čiar a ku konštrukcii obrysových čiar povrchu (obr. 86). Pri premietaní povrchu Q na premietaciu rovinu sa premietajúce lúče dotýkajú tohto povrchu v bodoch, ktoré na ňom tvoria určitú čiaru. l, ktorý sa nazýva obrys riadok. Priemet vrstevnice je tzv esej povrchy. V zložitom výkrese má každý povrch: P 1 - vodorovný obrys, na P 2 - čelný obrys, na P 3 - profilový obrys povrchu. Náčrt obsahuje okrem priemetov obrysovej čiary aj projekcie čiar rezu.

Nech je daný nejaký pravouhlý súradnicový systém a priamka . Nechaj A - dve rôzne roviny pretínajúce sa v priamke a podľa toho dané rovnicami. Tieto dve rovnice spoločne definujú priamku vtedy a len vtedy, ak nie sú rovnobežné a navzájom sa nezhodujú, teda normálne vektory
A
tieto roviny nie sú kolineárne.

Definícia. Ak sú koeficienty rovníc

nie sú proporcionálne, potom sa tieto rovnice nazývajú všeobecné rovnice priamka, definovaná ako priesečník rovín.

Definícia. Volá sa akýkoľvek nenulový vektor rovnobežný s priamkou vodiaci vektor túto priamku.

Odvoďme rovnicu priamky prechádza cez daný bod
priestor a majúci daný smerový vektor
.

Nechajte bod
- ľubovoľný bod na priamke . Tento bod leží na priamke práve vtedy, ak je vektor
so súradnicami
, kolineárne so smerovým vektorom
priamy. Podľa (2.28) podmienka kolinearity vektorov
A vyzerá ako

. (3.18)

Rovnice (3.18) sa nazývajú kanonické rovnice priamka prechádzajúca bodom
a majúci smerový vektor
.

Ak rovno je daný všeobecnými rovnicami (3.17), potom smerovým vektorom táto čiara je ortogonálna k normálovým vektorom
A
roviny špecifikované rovnicami. Vektor
podľa vlastnosti vektorového súčinu je ortogonálny ku každému z vektorov A . Podľa definície ako smerový vektor priamy môžete vziať vektor
, t.j.
.

Aby som našiel pointu
zvážiť sústavu rovníc
. Keďže roviny definované rovnicami nie sú rovnobežné a nezhodujú sa, potom aspoň jedna z rovníc neplatí
. To vedie k tomu, že aspoň jeden z determinantov ,
,
odlišný od nuly. Pre istotu to budeme predpokladať
. Potom vezmite ľubovoľnú hodnotu , získame sústavu rovníc pre neznáme A :

Podľa Cramerovej vety má tento systém jedinečné riešenie definované vzorcami

,
. (3.19)

Ak vezmete
, potom bodom prechádza priamka daná rovnicami (3.17).
.

Teda pre prípad, keď
, kanonické rovnice priamky (3.17) majú tvar

Kanonické rovnice priamky (3.17) sa píšu podobne pre prípad, keď je determinant nenulový.
alebo
.

Ak čiara prechádza cez dva rôzne body
A
, potom jeho kanonické rovnice majú tvar

. (3.20)

Vyplýva to z toho, že priamka prechádza bodom
a má smerový vektor.

Uvažujme kanonické rovnice (3.18) priamky. Zoberme si každý zo vzťahov ako parameter , t.j.
. Jeden z menovateľov týchto zlomkov je nenulový a zodpovedajúci čitateľ môže mať akúkoľvek hodnotu, takže parameter môže nadobudnúť akékoľvek skutočné hodnoty. Vzhľadom na to, že každý z pomerov je rovnaký , dostaneme parametrické rovnice priamo:

,
,
. (3.21)

Nechajte lietadlo je daná všeobecnou rovnicou a priamkou - parametrické rovnice
,
,
. Bodka
priesečník priamky a lietadlá musí súčasne patriť k rovine a priamke. To je možné iba v prípade, že parameter spĺňa rovnicu, t.j.
. Priesečník priamky a roviny má teda súradnice

Príklad 32. Napíšte parametrické rovnice pre priamku prechádzajúcu bodmi
A
.

Riešenie. Za smerovací vektor priamky berieme vektor

. Bodom prechádza priamka , preto podľa vzorca (3.21) majú požadované priamkové rovnice tvar
,
,
.

Príklad 33. Vrcholy trojuholníka
mať súradnice
,
A
resp. Zostavte parametrické rovnice pre medián nakreslený z vrcholu .

Riešenie. Nechaj
- stred strany
, Potom
,
,
. Ako vodiaci vektor mediánu berieme vektor
. Potom majú parametrické rovnice mediánu tvar
,
,
.

Príklad 34. Zostavte kanonické rovnice priamky prechádzajúcej bodom
rovnobežne s čiarou
.

Riešenie. Priamka je definovaná ako priesečník rovín s normálovými vektormi
A
. Ako vodiaci vektor vziať vektor tejto čiary
, t.j.
. Podľa (3.18) má požadovaná rovnica tvar
alebo
.

3.8. Uhol medzi priamymi čiarami v priestore. Uhol medzi priamkou a rovinou

Nechajte dve rovné čiary A v priestore sú dané ich kanonickými rovnicami
A
. Potom jeden z rohov medzi týmito čiarami sa rovná uhlu medzi ich smerovými vektormi
A
. Na určenie uhla použite vzorec (2.22). dostaneme vzorec

. (3.22)

Druhý roh medzi týmito riadkami je rovnaký
A
.

Podmienka pre paralelné čiary A je ekvivalentná podmienke kolinearity vektorov
A
a spočíva v úmernosti ich súradníc, teda podmienka pre rovnobežky má tvar

. (3.23)

Ak rovno A sú kolmé, potom sú ich smerové vektory ortogonálne, t.j. podmienka kolmosti je určená rovnosťou

. (3.24)

Predstavte si lietadlo , daný všeobecnou rovnicou a priamkou , dané kanonickými rovnicami
.

Rohový medzi priamkou a lietadlo je doplnková k uhlu medzi usmerňovacím vektorom priamky a normálovým vektorom roviny, t.j.
A
, alebo

. (3.24)

Podmienka rovnobežnosti priamky a lietadlá je ekvivalentné podmienke, že smerový vektor priamky a normálový vektor roviny sú kolmé, t.j. skalárny súčin týchto vektorov sa musí rovnať nule:

Ak je priamka kolmá na rovinu, potom smerový vektor priamky a normálový vektor roviny musia byť kolineárne. V tomto prípade sú súradnice vektorov proporcionálne, t.j.

. (3.26)

Príklad 35. Nájdite tupý uhol medzi rovnými čiarami
,
,
A
,
,
.

Riešenie. Smerové vektory týchto čiar majú súradnice
A
. Preto jeden roh medzi priamkami sa určuje pomerom, t.j.
. Preto podmienku úlohy spĺňa druhý uhol medzi čiarami, rovný
.

3.9. Vzdialenosť od bodu k čiare v priestore

Nechaj
 bod v priestore so súradnicami
, priamka daná kanonickými rovnicami
. Poďme nájsť vzdialenosť z bodu
na priamku .

Aplikujme vodiaci vektor
k veci
. Vzdialenosť z bodu
na priamku je výška rovnobežníka postaveného na vektoroch A
. Nájdite oblasť rovnobežníka pomocou krížového produktu:

Na druhej strane, . Z rovnosti pravých strán posledných dvoch vzťahov vyplýva, že

. (3.27)

3.10. elipsoidný

Definícia. elipsoidný je povrch druhého rádu, ktorý je v niektorom súradnicovom systéme definovaný rovnicou

. (3.28)

Rovnica (3.28) sa nazýva kanonická rovnica elipsoidu.

Z rovnice (3.28) vyplýva, že súradnicové roviny sú rovinami symetrie elipsoidu a počiatkom súradníc je stred symetrie. čísla
sa nazývajú poloosi elipsoidu a predstavujú dĺžky segmentov od začiatku po priesečník elipsoidu so súradnicovými osami. Elipsoid je ohraničený povrch uzavretý v rovnobežnostene
,
,
.

Stanovme geometrický tvar elipsoidu. Aby sme to urobili, zistime tvar priesečníkov jeho rovín rovnobežných so súradnicovými osami.

Ak chcete byť konkrétny, zvážte priesečníky elipsoidu s rovinami
, rovnobežne s rovinou
. Rovnica pre premietanie priesečníka do roviny
sa získa z (3.28), ak do nej vložíme
. Rovnica tejto projekcie je

. (3.29)

Ak
, potom (3.29) je rovnica imaginárnej elipsy a priesečníkov elipsoidu s rovinou
Nie Z toho vyplýva, že
. Ak
, potom sa priamka (3.29) zvrhne na body, teda roviny
bodovo sa dotýkajte elipsoidu
A
. Ak
, To
a môžete zaviesť notáciu

,
. (3.30)

Potom rovnica (3.29) nadobúda tvar

, (3.31)

teda premietanie do roviny
priesečníky elipsoidu a roviny
je elipsa s poloosami, ktoré sú určené rovnosťami (3.30). Pretože priesečník povrchu s rovinami rovnobežnými s rovinami súradníc je projekcia „zdvihnutá“ do výšky , potom samotná priesečník je elipsa.

Pri znižovaní hodnoty nápravové hriadele A zvýšiť a dosiahnuť svoju najväčšiu hodnotu pri
, teda v reze elipsoidom súradnicovou rovinou
získa sa najväčšia elipsa s poloosami
A
.

Myšlienku elipsoidu možno získať iným spôsobom. Zvážte v lietadle
rodina elips (3.31) s poloosmi A , definovaný vzťahmi (3.30) a v závislosti od . Každá takáto elipsa je úrovňová čiara, to znamená čiara v každom bode, ktorej hodnota to isté. „Zdvihnite“ každú takúto elipsu do výšky , získame priestorový pohľad na elipsoid.

Podobný obraz sa získa, keď daný povrch pretínajú roviny rovnobežné s rovinami súradníc
A
.

Elipsoid je teda uzavretá eliptická plocha. V prípade
Elipsoid je guľa.

Priesečník elipsoidu s ľubovoľnou rovinou je elipsa, pretože takáto čiara je obmedzená čiara druhého rádu a jediná obmedzená čiara druhého rádu je elipsa.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

To znamená nájsť uhol medzi touto čiarou a jej priemetom do danej roviny.

Priestorový model ilustrujúci úlohu je uvedený na obrázku.

Plán riešenia problému:
1. Z ľubovoľného bodu A∈a znížte kolmicu na rovinu α ;
2. Určte bod stretnutia tejto kolmice s rovinou α . Bodka A α- ortogonálne premietanie A do lietadla α ;
3. Nájdite priesečník priamky a s lietadlom α . Bodka a α- rovná stopa a v lietadle α ;
4. Vykonávame ( A α a α) - projekcia priamky a do lietadla α ;
5. Určte skutočnú hodnotu ∠ Aa α A α, t.j. ∠ φ .

Riešenie problému nájdite uhol medzi priamkou a rovinou možno značne zjednodušiť, ak nedefinujeme ∠ φ medzi priamkou a rovinou a doplnkové k 90° ∠ γ . V tomto prípade nie je potrebné určovať priemet bodu A a priame projekcie a do lietadla α . Poznanie veľkosti γ , vypočítané podľa vzorca:

$ φ = 90° - γ $

a a lietadlo α , definované rovnobežnými čiarami m A n.

a α
Otáčaním okolo vodorovnej čiary špecifikovanej bodmi 5 a 6 určíme prirodzenú veľkosť ∠ γ . Poznanie veľkosti γ , vypočítané podľa vzorca: