Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie

Najväčšia hodnota funkcie je najväčšia, najmenšia hodnota je najmenšia zo všetkých jej hodnôt.

Funkcia môže mať iba jednu najväčšiu a iba jednu najmenšiu hodnotu alebo nemusí mať žiadnu. Hľadanie najväčších a najmenších hodnôt spojitých funkcií je založené na nasledujúcich vlastnostiach týchto funkcií:

1) Ak je v určitom intervale (konečnom alebo nekonečnom) funkcia y=f(x) spojitá a má len jeden extrém a ak je toto maximum (minimum), potom to bude najväčšia (najmenšia) hodnota funkcie v tomto intervale.

2) Ak je funkcia f(x) spojitá na určitom segmente, potom má nevyhnutne najväčšie a najmenšie hodnoty na tomto segmente. Tieto hodnoty sa dosahujú buď v extrémnych bodoch ležiacich vo vnútri segmentu, alebo na hraniciach tohto segmentu.

Ak chcete nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty v segmente, odporúča sa použiť nasledujúcu schému:

1. Nájdite deriváciu.

2. Nájdite kritické body funkcie, v ktorých =0 alebo neexistuje.

3. Nájdite hodnoty funkcie v kritických bodoch a na koncoch segmentu a vyberte z nich najväčšie f max a najmenšie f max.

Pri riešení aplikovaných problémov, najmä optimalizačných, sú dôležité problémy s nájdením najväčších a najmenších hodnôt (globálneho maxima a globálneho minima) funkcie na intervale X , vyberte nezávislú premennú a prostredníctvom tejto premennej vyjadrite skúmanú hodnotu. Potom nájdite požadovanú najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu výslednej funkcie. V tomto prípade sa z podmienok úlohy určí aj interval zmeny nezávislej premennej, ktorý môže byť konečný alebo nekonečný.

Príklad. Nádrž, ktorá má tvar otvoreného vrchného obdĺžnikového rovnobežnostena so štvorcovým dnom, musí byť vo vnútri pocínovaná. Aké by mali byť rozmery nádrže, ak je jej objem 108 litrov? vody, aby náklady na jej pocínovanie boli minimálne?

Riešenie. Náklady na potiahnutie nádrže cínom budú minimálne, ak je pri danej kapacite jej povrch minimálny. Označme a dm stranu základne, b dm výšku nádrže. Potom sa plocha S jeho povrchu rovná

A

Výsledný vzťah stanovuje vzťah medzi povrchom nádrže S (funkcia) a stranou základne a (argument). Preskúmajme funkciu S pre extrém. Poďme nájsť prvú deriváciu, prirovnať ju k nule a vyriešiť výslednú rovnicu:

Preto a = 6. (a) > 0 pre a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Príklad. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na intervale.

Riešenie: Daná funkcia je súvislá pozdĺž celej číselnej osi. Derivácia funkcie

Derivát pre a pre . Vypočítajme funkčné hodnoty v týchto bodoch:

.

Hodnoty funkcie na koncoch daného intervalu sú rovnaké. Preto sa najväčšia hodnota funkcie rovná at , najmenšia hodnota funkcie sa rovná at .

Samotestovacie otázky

1. Formulujte L'Hopitalovo pravidlo na odhaľovanie neurčitostí formy. Uveďte rôzne typy neistôt, na vyriešenie ktorých možno použiť L'Hopitalovo pravidlo.

2. Formulujte znaky rastúcich a klesajúcich funkcií.

3. Definujte maximum a minimum funkcie.

4. Formulujte nevyhnutnú podmienku existencie extrému.

5. Aké hodnoty argumentu (ktoré body) sa nazývajú kritické? Ako nájsť tieto body?

6. Aké sú dostatočné znaky existencie extrému funkcie? Načrtnite schému na štúdium funkcie v extréme pomocou prvej derivácie.

7. Načrtnite schému na štúdium funkcie v extréme pomocou druhej derivácie.

8. Definujte konvexnosť a konkávnosť krivky.

9. Čo sa nazýva inflexný bod grafu funkcie? Uveďte spôsob nájdenia týchto bodov.

10. Formulujte potrebné a dostatočné znaky konvexnosti a konkávnosti krivky na danom segmente.

11. Definujte asymptotu krivky. Ako nájsť zvislé, vodorovné a šikmé asymptoty grafu funkcie?

12. Načrtnite všeobecnú schému na štúdium funkcie a zostrojenie jej grafu.

13. Formulujte pravidlo na nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie na danom intervale.

Vyhlásenie problému 2:

Daná funkcia, ktorá je definovaná a spojitá na určitom intervale. Musíte nájsť najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie na tomto intervale.

Teoretické základy.
Veta (druhá Weierstrassova veta):

Ak je funkcia definovaná a spojitá v uzavretom intervale, potom v tomto intervale dosahuje svoje maximálne a minimálne hodnoty.

Funkcia môže dosiahnuť svoje najväčšie a najmenšie hodnoty buď vo vnútorných bodoch intervalu, alebo na jeho hraniciach. Poďme si ukázať všetky možné možnosti.

Vysvetlenie:
1) Funkcia dosiahne svoju najväčšiu hodnotu na ľavej hranici intervalu v bode , a minimálnu hodnotu na pravej hranici intervalu v bode .
2) Funkcia dosiahne svoju najväčšiu hodnotu v bode (toto je maximálny bod) a minimálnu hodnotu na pravej hranici intervalu v bode.
3) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu na ľavej hranici intervalu v bode , a minimálnu hodnotu v bode (toto je minimálny bod).
4) Funkcia je na intervale konštantná, t.j. dosiahne svoje minimálne a maximálne hodnoty v ktoromkoľvek bode intervalu a minimálne a maximálne hodnoty sa navzájom rovnajú.
5) Funkcia dosiahne svoju maximálnu hodnotu v bode a minimálnu hodnotu v bode (napriek tomu, že funkcia má na tomto intervale maximum aj minimum).
6) Funkcia dosiahne svoju najväčšiu hodnotu v bode (toto je maximálny bod) a minimálnu hodnotu v bode (toto je minimálny bod).
komentár:

„Maximálna“ a „maximálna hodnota“ sú rôzne veci. Vyplýva to z definície maxima a intuitívneho chápania slovného spojenia „maximálna hodnota“.

Algoritmus riešenia problému 2.



4) Zo získaných hodnôt vyberte najväčšiu (najmenšiu) a zapíšte odpoveď.

Príklad 4:

Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na segmente.
Riešenie:
1) Nájdite deriváciu funkcie.

2) Vyriešením rovnice nájdite stacionárne body (a body podozrivé z extrému). Venujte pozornosť bodom, v ktorých neexistuje žiadna obojstranná konečná derivácia.

3) Vypočítajte hodnoty funkcie v stacionárnych bodoch a na hraniciach intervalu.

4) Zo získaných hodnôt vyberte najväčšiu (najmenšiu) a zapíšte odpoveď.

Funkcia na tomto segmente dosiahne najväčšiu hodnotu v bode so súradnicami.

Funkcia na tomto segmente dosiahne svoju minimálnu hodnotu v bode so súradnicami.

Správnosť výpočtov si môžete overiť pohľadom na graf skúmanej funkcie.


komentár: Funkcia dosiahne svoju najväčšiu hodnotu v maximálnom bode a minimum na hranici segmentu.

Špeciálny prípad.

Predpokladajme, že potrebujete nájsť maximálne a minimálne hodnoty nejakej funkcie v segmente. Po dokončení prvého bodu algoritmu, t.j. pri výpočte derivácie je zrejmé, že napríklad v celom posudzovanom intervale naberá iba záporné hodnoty. Pamätajte, že ak je derivácia záporná, funkcia klesá. Zistili sme, že funkcia klesá v celom segmente. Túto situáciu ukazuje graf č. 1 na začiatku článku.

Na segmente klesá funkcia, t.j. nemá žiadne extrémne body. Z obrázku môžete vidieť, že funkcia bude mať najmenšiu hodnotu na pravej hranici segmentu a najväčšiu hodnotu na ľavej strane. ak je derivácia na segmente všade kladná, funkcia sa zvyšuje. Najmenšia hodnota je na ľavom okraji segmentu, najväčšia je na pravej strane.

Vo fyzike a matematike je často potrebné nájsť najmenšiu hodnotu funkcie. Teraz vám povieme, ako to urobiť.

Ako nájsť najmenšiu hodnotu funkcie: inštrukcie

1. Ak chcete vypočítať najmenšiu hodnotu spojitej funkcie na danom segmente, musíte postupovať podľa nasledujúceho algoritmu:
2. Nájdite deriváciu funkcie.
3. Nájdite na danom segmente body, v ktorých sa derivácia rovná nule, ako aj všetky kritické body. Potom zistite hodnoty funkcie v týchto bodoch, to znamená, vyriešte rovnicu, kde x sa rovná nule. Zistite, ktorá hodnota je najmenšia.
4. Identifikujte, akú hodnotu má funkcia na koncových bodoch. Určte najmenšiu hodnotu funkcie v týchto bodoch.
5. Porovnajte získané údaje s najnižšou hodnotou. Menšie z výsledných čísel bude najmenšou hodnotou funkcie.

Všimnite si, že ak funkcia na segmente nemá najmenšie body, znamená to, že na tomto segmente rastie alebo klesá. Preto by mala byť najmenšia hodnota vypočítaná na konečných segmentoch funkcie.

Vo všetkých ostatných prípadoch sa funkčná hodnota vypočíta podľa daného algoritmu. V každom bode algoritmu budete musieť vyriešiť jednoduchú lineárnu rovnicu s jedným koreňom. Vyriešte rovnicu pomocou obrázka, aby ste sa vyhli chybám.

Ako nájsť najmenšiu hodnotu funkcie na polootvorenom segmente? Pri polootvorenej alebo otvorenej perióde funkcie by mala byť najmenšia hodnota nájdená nasledovne. V koncových bodoch funkčnej hodnoty vypočítajte jednostrannú hranicu funkcie. Inými slovami, vyriešte rovnicu, v ktorej sú orientačné body dané hodnotami a+0 a b+0, kde a a b sú názvy kritických bodov.

Teraz viete, ako nájsť najmenšiu hodnotu funkcie. Hlavná vec je robiť všetky výpočty správne, presne a bez chýb.

Nechajte funkciu y =f(X) je spojitá na intervale [ a, b]. Ako je známe, takáto funkcia dosahuje v tomto segmente svoje maximálne a minimálne hodnoty. Funkcia môže nadobudnúť tieto hodnoty buď vo vnútornom bode segmentu [ a, b] alebo na hranici segmentu.

Ak chcete nájsť najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v segmente [ a, b] potrebné:

1) nájdite kritické body funkcie v intervale ( a, b);

2) vypočítajte hodnoty funkcie v nájdených kritických bodoch;

3) vypočítajte hodnoty funkcie na koncoch segmentu, to znamená, kedy x=A a x = b;

4) zo všetkých vypočítaných hodnôt funkcie vyberte najväčšiu a najmenšiu.

Príklad. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie

na segmente.

Nájdenie kritických bodov:

Tieto body ležia vo vnútri segmentu; r(1) = ‒ 3; r(2) = ‒ 4; r(0) = ‒ 8; r(3) = 1;

v bode x= 3 a v bode x= 0.

Štúdium funkcie pre konvexnosť a inflexný bod.

Funkcia r = f (x) volal konvexný medzi tým (a, b) , ak jeho graf leží pod dotyčnicou nakreslenou v ľubovoľnom bode tohto intervalu a je volaný konvexné nadol (konkávne), ak jeho graf leží nad dotyčnicou.

Bod, cez ktorý je konvexnosť nahradená konkávnosťou alebo naopak, sa nazýva inflexný bod.

Algoritmus na skúmanie konvexnosti a inflexného bodu:

1. Nájdite kritické body druhého druhu, teda body, v ktorých sa druhá derivácia rovná nule alebo neexistuje.

2. Nakreslite kritické body na číselnú os a rozdeľte ju na intervaly. Nájdite znamienko druhej derivácie na každom intervale; if , potom je funkcia konvexná smerom nahor, ak, potom je funkcia konvexná smerom nadol.

3. Ak sa pri prechode cez kritický bod druhého druhu zmení znamienko a v tomto bode sa druhá derivácia rovná nule, potom je tento bod úsečkou inflexného bodu. Nájdite jeho súradnicu.

Asymptoty grafu funkcie. Štúdium funkcie pre asymptoty.

Definícia. Asymptota grafu funkcie sa nazýva rovno, ktorý má tú vlastnosť, že vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu na grafe k tejto priamke má tendenciu k nule, keď sa bod na grafe pohybuje od začiatku neurčito.

Existujú tri typy asymptot: vertikálne, horizontálne a šikmé.

Definícia. Priamka je tzv vertikálna asymptota funkčná grafika y = f(x), ak sa aspoň jedna z jednostranných limitov funkcie v tomto bode rovná nekonečnu, tzn.

kde je bod nespojitosti funkcie, to znamená, že nepatrí do definičného oboru.

Príklad.

D ( r) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 – bod zlomu.

Definícia. Rovno y =A volal horizontálna asymptota funkčná grafika y = f(x) v , ak

Príklad.

x
r

Definícia. Rovno y =kx +b (k≠ 0) sa nazýva šikmá asymptota funkčná grafika y = f(x) v , kde

Všeobecná schéma na štúdium funkcií a vytváranie grafov.

Algoritmus výskumu funkciíy = f(x) :

1. Nájdite doménu funkcie D (r).

2. Nájdite (ak je to možné) priesečníky grafu so súradnicovými osami (ak je to možné x= 0 a at r = 0).

3. Skontrolujte rovnomernosť a nepárnosť funkcie ( r (‒ x) = r (x) ‒ parita; r(‒ x) = ‒ r (x) ‒ nepárne).

4. Nájdite asymptoty grafu funkcie.

5. Nájdite intervaly monotónnosti funkcie.

6. Nájdite extrémy funkcie.

7. Nájdite intervaly konvexnosti (konkávnosti) a inflexné body grafu funkcie.

8. Na základe vykonaného výskumu zostrojte graf funkcie.

Príklad. Preskúmajte funkciu a vytvorte jej graf.

1) D (r) =

x= 4 – bod zlomu.

2) Kedy x = 0,

(0; ‒ 5) – priesečník s oh.

O r = 0,

3) r(‒ x)= funkcia všeobecnej formy (ani párna, ani nepárna).

4) Vyšetrujeme asymptoty.

a) vertikálne

b) horizontálne

c) nájdite šikmé asymptoty kde

‒šikmá asymptotná rovnica

5) V tejto rovnici nie je potrebné hľadať intervaly monotónnosti funkcie.

6)

Tieto kritické body rozdeľujú celý definičný obor funkcie na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) a (10; +∞). Je vhodné prezentovať získané výsledky vo forme nasledujúcej tabuľky.