Učitelia sa domnievajú, že každý študent by mal byť schopný vykonávať výpočty a poznať trigonometrické vzorce, ale nie každý učiteľ vysvetľuje, čo je sínus a kosínus. Aký je ich význam, kde sa používajú? Prečo hovoríme o trojuholníkoch, ale v učebnici je zobrazený kruh? Skúsme spojiť všetky fakty dokopy.

Školský predmet

Štúdium trigonometrie sa zvyčajne začína v 7. – 8. ročníku strednej školy. V tomto čase sa študentom vysvetľuje, čo sú sínus a kosínus, a sú požiadaní, aby pomocou týchto funkcií riešili geometrické úlohy. Neskôr sa objavujú zložitejšie vzorce a výrazy, ktoré je potrebné algebraicky transformovať (vzorce s dvojitým a polovičným uhlom, mocninné funkcie) a pracuje sa s trigonometrickým kruhom.

Učitelia však nie vždy vedia jasne vysvetliť význam použitých pojmov a použiteľnosť vzorcov. Študent preto často v tomto predmete nevidí zmysel a naučené informácie rýchlo zabudne. Keď však stredoškolákovi vysvetlíte napríklad súvislosť medzi funkciou a kmitavým pohybom, logickú súvislosť si zapamätá na dlhé roky a vtipy o zbytočnosti učiva sa stanú minulosťou.

Použitie

Pre zaujímavosť sa pozrime do rôznych odvetví fyziky. Chcete určiť dostrel strely? Alebo počítate treciu silu medzi predmetom a určitým povrchom? Hojdanie kyvadla, sledovanie lúčov prechádzajúcich sklom, výpočet indukcie? Trigonometrické pojmy sa vyskytujú takmer v každom vzorci. Čo je teda sínus a kosínus?

Definície

Sínus uhla je pomer protiľahlej strany k prepone, kosínus je pomer priľahlej strany k tej istej prepone. Nie je tu absolútne nič zložité. Možno sú študenti zvyčajne zmätení hodnotami, ktoré vidia v tabuľke trigonometrie, pretože zahŕňa odmocniny. Áno, získať z nich desatinné miesta nie je príliš pohodlné, ale kto povedal, že všetky čísla v matematike sa musia rovnať?

V knihách o problémoch s trigonometriou môžete nájsť vtipnú nápovedu: väčšina odpovedí je tu párnych av najhoršom prípade obsahuje odmocninu z dvoch alebo troch. Záver je jednoduchý: ak sa ukáže, že vaša odpoveď je „viacposchodový“ zlomok, dvakrát skontrolujte riešenie, či neobsahuje chyby vo výpočtoch alebo zdôvodňovaní. A s najväčšou pravdepodobnosťou ich nájdete.

Čo si zapamätať

Ako každá veda, aj trigonometria má údaje, ktoré sa treba naučiť.

Najprv by ste si mali zapamätať číselné hodnoty sínusov pravouhlého trojuholníka, kosínusov 0 a 90, ako aj 30, 45 a 60 stupňov. Tieto ukazovatele sa nachádzajú v deviatich z desiatich školských problémov. Pozeraním sa na tieto hodnoty v učebnici stratíte veľa času a počas testu alebo skúšky sa na ne nebudete mať kam pozerať.

Je potrebné mať na pamäti, že hodnota oboch funkcií nemôže presiahnuť jednu. Ak kdekoľvek vo výpočtoch získate hodnotu mimo rozsahu 0-1, zastavte sa a skúste problém znova.

Súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu sa rovná jednej. Ak ste už našli jednu z hodnôt, použite tento vzorec na nájdenie zvyšnej hodnoty.

Vety

V základnej trigonometrii existujú dve základné vety: sínusy a kosínusy.

Prvý hovorí, že pomer každej strany trojuholníka k sínusu opačného uhla je rovnaký. Druhým je, že druhú mocninu ktorejkoľvek strany možno získať sčítaním druhých mocnín dvoch zostávajúcich strán a odčítaním ich dvojitého súčinu vynásobeného kosínusom uhla ležiaceho medzi nimi.

Ak teda dosadíme do kosínusovej vety hodnotu uhla 90 stupňov, dostaneme... Pytagorovu vetu. Teraz, ak potrebujete vypočítať plochu obrázku, ktorý nie je pravouhlým trojuholníkom, už sa nemusíte obávať - ​​dve diskutované vety výrazne zjednodušia riešenie problému.

Ciele a ciele

Učenie trigonometrie bude oveľa jednoduchšie, keď si uvedomíte jeden jednoduchý fakt: všetky činnosti, ktoré vykonávate, sú zamerané na dosiahnutie len jedného cieľa. Akékoľvek parametre trojuholníka sa dajú nájsť, ak o ňom poznáte úplné minimum informácií – môže to byť hodnota jedného uhla a dĺžka dvoch strán alebo napríklad troch strán.

Na určenie sínusu, kosínusu, dotyčnice akéhokoľvek uhla sú tieto údaje dostatočné a s ich pomocou môžete ľahko vypočítať plochu obrázku. Takmer vždy odpoveď vyžaduje jednu z uvedených hodnôt a možno ich nájsť pomocou rovnakých vzorcov.

Nezrovnalosti v učení trigonometrie

Jednou z mätúcich otázok, ktorej sa študenti radšej vyhýbajú, je objavovanie súvislostí medzi rôznymi pojmami v trigonometrii. Zdá sa, že trojuholníky sa používajú na štúdium sínusov a kosínusov uhlov, ale z nejakého dôvodu sa symboly často nachádzajú na obrázku s kruhom. Okrem toho existuje úplne nepochopiteľný vlnový graf nazývaný sínusoida, ktorý nemá vonkajšiu podobnosť ani s kruhom, ani s trojuholníkmi.

Okrem toho sa uhly merajú buď v stupňoch alebo v radiánoch a vo vzorcoch sa z nejakého dôvodu objavuje číslo Pi, zapísané jednoducho ako 3,14 (bez jednotiek), čo zodpovedá 180 stupňom. Ako to všetko súvisí?

Jednotky merania

Prečo je Pi presne 3,14? Pamätáte si, aký je tento význam? Toto je počet polomerov, ktoré sa zmestia do oblúka na polovici kruhu. Ak je priemer kruhu 2 centimetre, obvod bude 3,14 * 2 alebo 6,28.

Druhý bod: možno ste si všimli podobnosť medzi slovami „radián“ a „polomer“. Faktom je, že jeden radián sa číselne rovná uhlu zovretému zo stredu kruhu na oblúk dlhý jeden polomer.

Teraz skombinujeme získané vedomosti a pochopíme, prečo je v trigonometrii napísané „Pi na polovicu“ na vrchu súradnicovej osi a „Pi“ je napísané vľavo. Toto je uhlová hodnota meraná v radiánoch, pretože polkruh má 180 stupňov alebo 3,14 radiánov. A kde sú stupne, tam sú sínusy a kosínusy. Je ľahké nakresliť trojuholník z požadovaného bodu, pričom segmenty umiestnite do stredu a na súradnicovú os.

Pozrime sa do budúcnosti

Trigonometria, študovaná v škole, sa zaoberá priamočiarym súradnicovým systémom, kde, nech to znie akokoľvek zvláštne, priamka je priamka.

Existujú však aj zložitejšie spôsoby práce s priestorom: súčet uhlov trojuholníka tu bude viac ako 180 stupňov a priamka z nášho pohľadu bude vyzerať ako skutočný oblúk.

Prejdime od slov k činom! Vezmite si jablko. Urobte tri rezy nožom tak, aby ste pri pohľade zhora dostali trojuholník. Vyberte výsledný kúsok jablka a pozrite sa na „rebrá“, kde končí šupka. Vôbec nie sú rovné. Ovocie vo vašich rukách možno bežne nazývať okrúhle, ale teraz si predstavte, aké zložité musia byť vzorce, pomocou ktorých nájdete oblasť odrezaného kusu. Ale niektorí špecialisti riešia takéto problémy každý deň.

Goniometrické funkcie v živote

Všimli ste si, že najkratšia trasa pre lietadlo z bodu A do bodu B na povrchu našej planéty má výrazný oblúkový tvar? Dôvod je jednoduchý: Zem je sférická, čo znamená, že pomocou trojuholníkov nemôžete veľa vypočítať - musíte použiť zložitejšie vzorce.

Pri akýchkoľvek otázkach týkajúcich sa priestoru sa nezaobídete bez sínusu/kosínusu ostrého uhla. Je zaujímavé, že sa tu spája celý rad faktorov: trigonometrické funkcie sú potrebné pri výpočte pohybu planét po kružniciach, elipsách a rôznych trajektóriách zložitejších tvarov; proces odpaľovania rakiet, satelitov, raketoplánov, odpájania výskumných vozidiel; pozorovanie vzdialených hviezd a štúdium galaxií, ku ktorým sa ľudia v dohľadnej dobe nedostanú.

Vo všeobecnosti je pole pôsobnosti pre človeka, ktorý pozná trigonometriu, veľmi široké a zrejme sa bude časom rozširovať.

Záver

Dnes sme sa dozvedeli, alebo si aspoň zopakovali, čo je sínus a kosínus. Toto sú pojmy, ktorých sa nemusíte báť – stačí ich chcieť a pochopíte ich význam. Pamätajte, že trigonometria nie je cieľom, ale iba nástrojom, ktorý možno použiť na uspokojenie skutočných ľudských potrieb: stavať domy, zaisťovať bezpečnosť premávky, dokonca skúmať rozľahlosť vesmíru.

Skutočne, samotná veda sa môže zdať nudná, ale akonáhle v nej nájdete spôsob, ako dosiahnuť svoje vlastné ciele a sebarealizáciu, proces učenia sa stane zaujímavým a vaša osobná motivácia sa zvýši.

Pre domácu úlohu sa pokúste nájsť spôsoby, ako použiť trigonometrické funkcie v oblasti záujmu, ktorá vás osobne zaujíma. Predstavte si, použite svoju predstavivosť a potom pravdepodobne zistíte, že nové poznatky sa vám budú v budúcnosti hodiť. A okrem toho je matematika užitočná pre všeobecný rozvoj myslenia.

Pomer opačnej strany k prepone sa nazýva sínus ostrého uhla pravouhlý trojuholník.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Kosínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka

Pomer susednej nohy k prepone sa nazýva kosínus ostrého uhla pravouhlý trojuholník.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangenta ostrého uhla pravouhlého trojuholníka

Pomer opačnej strany k susednej sa nazýva dotyčnica ostrého uhla pravouhlý trojuholník.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangens ostrého uhla pravouhlého trojuholníka

Pomer susednej strany k opačnej strane sa nazýva kotangens ostrého uhla pravouhlý trojuholník.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sínus ľubovoľného uhla

Nazýva sa ordináta bodu na jednotkovej kružnici, ktorej zodpovedá uhol \alpha sínus ľubovoľného uhla rotácia \alpha .

\sin \alpha=y

Kosínus ľubovoľného uhla

Nazýva sa úsečka bodu na jednotkovej kružnici, ktorej zodpovedá uhol \alpha kosínus ľubovoľného uhla rotácia \alpha .

\cos \alpha=x

Tangenta ľubovoľného uhla

Pomer sínusu ľubovoľného uhla natočenia \alfa k jeho kosínusu sa nazýva dotyčnica ľubovoľného uhla rotácia \alpha .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangens ľubovoľného uhla

Pomer kosínusu ľubovoľného uhla natočenia \alfa k jeho sínusu sa nazýva kotangens ľubovoľného uhla rotácia \alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Príklad nájdenia ľubovoľného uhla

Ak \alpha je nejaký uhol AOM, kde M je bod jednotkovej kružnice, potom

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Napríklad, ak \uhol AOM = -\frac(\pi)(4), potom: ordináta bodu M sa rovná -\frac(\sqrt(2))(2), úsečka sa rovná \frac(\sqrt(2))(2) a preto

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Tabuľka hodnôt sínusov kosínusov dotyčníc kotangens

Hodnoty hlavných často sa vyskytujúcich uhlov sú uvedené v tabuľke:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\vľavo(\frac(\pi)(6)\vpravo)	45^(\circ)\vľavo(\frac(\pi)(4)\vpravo)	60^(\circ)\vľavo(\frac(\pi)(3)\vpravo)	90^(\circ)\vľavo(\frac(\pi)(2)\vpravo)	180^(\circ)\vľavo(\pi\vpravo)	270^(\circ)\vľavo(\frac(3\pi)(2)\vpravo)	360^(\circ)\vľavo(2\pi\vpravo)
\sin\alfa	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alfa	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Myslím, že si zaslúžiš viac ako toto. Tu je môj kľúč k trigonometrii:

• Nakreslite kupolu, stenu a strop
• Goniometrické funkcie nie sú nič iné ako percentá týchto troch foriem.

Metafora pre sínus a kosínus: kupola

Namiesto toho, aby ste sa pozerali na samotné trojuholníky, predstavte si ich v akcii nájdením konkrétneho príkladu zo skutočného života.

Predstavte si, že ste uprostred kupoly a chcete zavesiť plátno filmového projektora. Ukážete prstom na kupolu pod určitým uhlom „x“ a obrazovka by mala byť zavesená z tohto bodu.

Uhol, na ktorý ukážete, určuje:

• sinus(x) = sin(x) = výška obrazovky (od podlahy po montážny bod kupoly)
• cosine(x) = cos(x) = vzdialenosť od vás k obrazovke (podľa poschodia)
• prepona, vzdialenosť od vás k hornej časti obrazovky, vždy rovnaká, rovná sa polomeru kupoly

Chcete, aby bola obrazovka čo najväčšia? Zaveste ho priamo nad seba.

Chcete, aby obrazovka visela čo najďalej od vás? Zaveste ho rovno kolmo. Obrazovka bude mať v tejto polohe nulovú výšku a bude visieť najďalej, ako ste žiadali.

Výška a vzdialenosť od obrazovky sú nepriamo úmerné: čím bližšie obrazovka visí, tým väčšia je jej výška.

Sínus a kosínus sú percentá

Nikto mi počas môjho štúdia, bohužiaľ, nevysvetlil, že goniometrické funkcie sínus a kosínus nie sú nič iné ako percentá. Ich hodnoty sa pohybujú od +100% do 0 až -100% alebo od kladného maxima po nulu po záporné maximum.

Povedzme, že som zaplatil daň 14 rubľov. Nevieš koľko to je. Ale ak poviete, že som zaplatil 95% na dani, pochopíte, že som bol jednoducho ošúchaný.

Absolútna výška nič neznamená. Ale ak je sínusová hodnota 0,95, potom chápem, že televízor visí takmer na vrchu vašej kupoly. Veľmi skoro dosiahne svoju maximálnu výšku v strede kupoly a potom začne opäť klesať.

Ako môžeme vypočítať toto percento? Je to veľmi jednoduché: vydeľte aktuálnu výšku obrazovky maximálnou možnou hodnotou (polomer kupoly, nazývaný aj prepona).

Preto hovorí sa nám, že „kosínus = opačná strana / prepona“. Je to všetko o získaní záujmu! Najlepšie je definovať sínus ako „percento aktuálnej výšky z maximálnej možnej“. (Sínus sa stáva záporným, ak váš uhol smeruje „pod zem“. Kosínus sa stáva záporným, ak uhol smeruje ku kupole za vami.)

Zjednodušme výpočty za predpokladu, že sme v strede jednotkovej kružnice (polomer = 1). Delenie môžeme preskočiť a vezmeme si sínus rovný výške.

Každý kruh je v podstate jeden kruh, zmenšený nahor alebo nadol na požadovanú veľkosť. Určite teda spojenia jednotkových kruhov a aplikujte výsledky na vašu konkrétnu veľkosť kruhu.

Experiment: vezmite ľubovoľný roh a zistite, aké percento výšky k šírke sa zobrazuje:

Graf rastu hodnoty sínusu nie je len priamka. Prvých 45 stupňov pokrýva 70% výšky, ale posledných 10 stupňov (od 80° do 90°) pokrýva len 2%.

Takto vám to bude jasnejšie: ak kráčate v kruhu, pri 0° stúpate takmer kolmo, no ako sa blížite k vrcholu kupoly, výška sa mení čoraz menej.

Tangenta a sečna. Stena

Jedného dňa sused postavil múr tesne vedľa seba do tvojej kupole. Plakal váš pohľad z okna a dobrá cena na ďalší predaj!

Je však možné v tejto situácii nejako vyhrať?

samozrejme ze ano. Čo keby sme zavesili filmové plátno priamo na susedovu stenu? Zameriate sa na uhol (x) a získate:

• tan(x) = tan(x) = výška obrazovky na stene
• vzdialenosť od vás k stene: 1 (toto je polomer vašej kupoly, stena sa od vás nikam neposúva, však?)
• secant(x) = sec(x) = „dĺžka rebríka“ od vás stojaceho v strede kupoly po vrch zavesenej zásteny

Vyjasnime si niekoľko bodov týkajúcich sa dotyčnice alebo výšky obrazovky.

• začína na 0 a môže ísť nekonečne vysoko. Obrazovku môžete na stenu natiahnuť stále vyššie a vytvoriť tak nekonečné plátno na sledovanie vášho obľúbeného filmu! (Na taký obrovský, samozrejme, budete musieť minúť veľa peňazí).
• dotyčnica je len väčšia verzia sínusu! A zatiaľ čo nárast sínusu sa spomaľuje, keď sa pohybujete smerom k vrcholu kupoly, dotyčnica stále rastie!

Sekansu sa má tiež čím pochváliť:

• Relácia začína od 1 (rebrík je na podlahe, od vás k stene) a odtiaľ začína stúpať
• Sečna je vždy dlhšia ako dotyčnica. Šikmý rebrík, ktorý používate na zavesenie obrazovky, by mal byť dlhší ako samotná obrazovka, však? (Pri nereálnych veľkostiach, keď je zástena táááák dlhá a rebrík treba umiestniť takmer zvisle, sú ich veľkosti takmer rovnaké. Ale aj tak bude sečnica o niečo dlhšia).

Pamätajte, hodnoty sú percent. Ak sa rozhodnete zavesiť obrazovku pod uhlom 50 stupňov, tan(50)=1,19. Vaša obrazovka je o 19 % väčšia ako vzdialenosť od steny (polomer kupoly).

(Zadajte x=0 a skontrolujte svoju intuíciu - tan(0) = 0 a sek(0) = 1.)

Kotangens a kosekans. Strop

Je neuveriteľné, že váš sused sa teraz rozhodol postaviť strechu nad vašou kupolou. (Čo je s ním? Zrejme nechce, aby ste ho špehovali, keď sa bude prechádzať po dvore nahý...)

No, je čas postaviť východ na strechu a porozprávať sa so susedom. Vyberiete si uhol sklonu a začnete s výstavbou:

• vertikálna vzdialenosť medzi strešným výstupom a podlahou je vždy 1 (polomer kupoly)
• kotangens(x) = cot(x) = vzdialenosť medzi hornou časťou kupoly a výstupným bodom
• cosecant(x) = csc(x) = dĺžka vašej cesty na strechu

Tangenta a sečna opisujú stenu a COtangens a COsecant opisujú strop.

Naše intuitívne závery sú tentokrát podobné tým predchádzajúcim:

• Ak vezmete uhol rovný 0°, váš výstup na strechu bude trvať večne, pretože nikdy nedosiahne strop. Problém.
• Najkratší „rebrík“ k streche získate, ak ho postavíte pod uhlom 90 stupňov k podlahe. Kotangens bude rovný 0 (po streche sa vôbec nepohybujeme, vychádzame striktne kolmo) a kosekant sa bude rovnať 1 („dĺžka rebríka“ bude minimálna).

Vizualizujte spojenia

Ak sú všetky tri prípady nakreslené v kombinácii kupola-stena-strop, výsledok bude nasledujúci:

Stále je to ten istý trojuholník, ktorého veľkosť sa zväčšila, aby dosiahol na stenu a strop. Máme vertikálne strany (sínus, tangens), horizontálne strany (kosínus, kotangens) a „hypotenusy“ (sekant, kosekans). (Pomocou šípok môžete vidieť, kam jednotlivé prvky siahajú. Kosekans je celková vzdialenosť od vás po strechu).

Trochu mágie. Všetky trojuholníky majú rovnakú rovnosť:

Z Pytagorovej vety (a 2 + b 2 = c 2) vidíme, ako sú strany každého trojuholníka spojené. Okrem toho by pomery „výška k šírke“ mali byť rovnaké pre všetky trojuholníky. (Stačí prejsť z najväčšieho trojuholníka na menší. Áno, veľkosť sa zmenila, ale proporcie strán zostanú rovnaké).

Keď vieme, ktorá strana v každom trojuholníku sa rovná 1 (polomer kupoly), môžeme ľahko vypočítať, že „sin/cos = tan/1“.

Vždy som sa snažil zapamätať si tieto skutočnosti prostredníctvom jednoduchej vizualizácie. Na obrázku jasne vidíte tieto závislosti a chápete, odkiaľ pochádzajú. Táto technika je oveľa lepšia ako zapamätanie si suchých vzorcov.

Nezabudnite na ďalšie uhly

Psst... Nenechajte sa zaseknúť na jednom grafe a myslite si, že dotyčnica je vždy menšia ako 1. Ak zväčšíte uhol, môžete dosiahnuť strop bez toho, aby ste sa dostali k stene:

Pythagorejské spojenia vždy fungujú, ale relatívne veľkosti sa môžu líšiť.

(Možno ste si všimli, že sínusové a kosínusové pomery sú vždy najmenšie, pretože sú obsiahnuté v kupole).

Aby som to zhrnul: čo si musíme zapamätať?

Pre väčšinu z nás by som povedal, že toto bude stačiť:

• trigonometria vysvetľuje anatómiu matematických objektov, ako sú kruhy a opakujúce sa intervaly
• Analógia kupola/stena/strecha ukazuje vzťah medzi rôznymi trigonometrickými funkciami
• Výsledkom goniometrických funkcií sú percentá, ktoré aplikujeme na náš skript.

Nemusíte si pamätať vzorce ako 1 2 + detská postieľka 2 = csc 2 . Hodia sa len na hlúpe testy, v ktorých sa znalosť faktu vydáva za pochopenie. Venujte chvíľu tomu, aby ste nakreslili polkruh v podobe kupoly, steny a strechy, označili prvky a všetky vzorce vám prídu na papier.

Aplikácia: Inverzné funkcie

Akákoľvek goniometrická funkcia berie uhol ako vstupný parameter a vracia výsledok ako percento. sin(30) = 0,5. To znamená, že uhol 30 stupňov zaberá 50 % maximálnej výšky.

Inverzná goniometrická funkcia sa zapíše ako sin -1 alebo arcsin. Asin je tiež často napísaný v rôznych programovacích jazykoch.

Ak je naša výška 25% výšky kupoly, aký je náš uhol?

V našej tabuľke proporcií nájdete pomer, v ktorom je sečna delená 1. Napríklad sečna o 1 (hypotenúza voči horizontále) sa bude rovnať 1 delená kosínusom:

Povedzme, že náš sekant je 3,5, t.j. 350 % polomeru jednotkovej kružnice. Akému uhlu sklonu k stene zodpovedá táto hodnota?

Dodatok: Niekoľko príkladov

Príklad: Nájdite sínus uhla x.

Nudná úloha. Skomplikujme banálne „nájdi sínus“ na „Aká je výška ako percento maxima (hypotenza)?

Najprv si všimnite, že trojuholník je otočený. Na tom nie je nič zlé. Trojuholník má aj výšku, na obrázku je označená zelenou farbou.

Čomu sa rovná prepona? Podľa Pytagorovej vety vieme, že:

3 2 + 4 2 = prepona 2 25 = prepona 2 5 = prepona

Dobre! Sínus je percento výšky z najdlhšej strany trojuholníka alebo prepony. V našom príklade je sínus 3/5 alebo 0,60.

Samozrejme, môžeme ísť niekoľkými spôsobmi. Teraz vieme, že sínus je 0,60, môžeme jednoducho nájsť arcsínus:

Asín (0,6) = 36,9

Tu je ďalší prístup. Všimnite si, že trojuholník je „čelom k stene“, takže namiesto sínusu môžeme použiť dotyčnicu. Výška je 3, vzdialenosť od steny je 4, takže dotyčnica je ¾ alebo 75%. Arkustangens môžeme použiť na prechod z percentuálnej hodnoty späť na uhol:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Príklad: Doplávaš na breh?

Ste v člne a máte dostatok paliva na prejdenie 2 km. Teraz ste 0,25 km od pobrežia. V akom maximálnom uhle k brehu k nemu môžete doplávať, aby ste mali dostatok paliva? Dodatok k vyhláseniu o probléme: máme len tabuľku hodnôt oblúkového kosínusu.

čo máme? Pobrežie môže byť reprezentované ako „stena“ v našom slávnom trojuholníku a „dĺžka rebríka“ pripevneného k stene je maximálna možná vzdialenosť, ktorú je možné prekonať loďou k pobrežiu (2 km). Objaví sa sekant.

Najprv musíte prejsť na percentá. Máme 2 / 0,25 = 8, to znamená, že môžeme preplávať vzdialenosť, ktorá je 8-násobkom priamej vzdialenosti k brehu (alebo k stene).

Vynára sa otázka: "Aký je sekans 8?" Ale nevieme na to odpovedať, pretože máme iba oblúkové kosínusy.

Používame naše predtým odvodené závislosti na priradenie sekantu ku kosínusu: „s/1 = 1/cos“

Sekans 8 sa rovná kosínusu ⅛. Uhol, ktorého kosínus je ⅛, sa rovná acos(1/8) = 82,8. A to je najväčší uhol, aký si na lodi s uvedeným množstvom paliva môžeme dovoliť.

Nie je to zlé, však? Bez analógie kupola-stena-strop by som sa stratil v hromade vzorcov a výpočtov. Vizualizácia problému výrazne zjednodušuje hľadanie riešenia a tiež je zaujímavé sledovať, ktorá goniometrická funkcia v konečnom dôsledku pomôže.

Pre každý problém premýšľajte takto: Zaujíma ma kupola (sin/cos), stena (tan/sec) alebo strop (det/csc)?

A trigonometria bude oveľa príjemnejšia. Jednoduché výpočty pre vás!

Pokyny

Ak potrebujete nájsť kosínus uhol v ľubovoľnom trojuholníku musíte použiť kosínusovú vetu:
ak je uhol ostrý: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
ak uhol: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), kde a, b sú dĺžky strán priľahlých k rohu, c je dĺžka strany oproti rohu.

Užitočné rady

Matematický zápis pre kosínus je cos.
Hodnota kosínusu nemôže byť väčšia ako 1 a menšia ako -1.

Zdroje:

• ako vypočítať kosínus uhla
• Goniometrické funkcie na jednotkovej kružnici

Kosínus je základná trigonometrická funkcia uhla. Schopnosť určiť kosínus je užitočná vo vektorovej algebre pri určovaní projekcií vektorov na rôzne osi.

Pokyny

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Existuje trojuholník so stranami a, b, c rovnými 3, 4, 5 mm.

Nájsť kosínus uhol medzi väčšími stranami.

Označme uhol oproti strane a ?, potom podľa vyššie odvodeného vzorca máme:

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 = 32/40 = 0,8

Odpoveď: 0,8.

Ak je trojuholník pravouhlý, potom nájsť kosínus a pre uhol stačí poznať dĺžky len akýchkoľvek dvoch strán ( kosínus pravý uhol je 0).

Nech existuje pravouhlý trojuholník so stranami a, b, c, kde c je prepona.

Zvážme všetky možnosti:

Nájdite cos?, ak sú známe dĺžky strán a a b (trojuholníka).

Použime navyše Pytagorovu vetu:

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Aby sme zabezpečili správnosť výsledného vzorca, dosadíme do neho z príkladu 1, t.j.

Po vykonaní niekoľkých základných výpočtov dostaneme:

Podobne zistené kosínus v obdĺžnikovom trojuholník v iných prípadoch:

Ak sú dané a a c (prepona a opačná strana), nájdite cos?

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Nahradením hodnôt a=3 a c=5 z príkladu dostaneme:

Známe b a c (hypotenza a priľahlá noha).

Nájsť cos?

Uskutočnením podobných transformácií (uvedených v príkladoch 2 a 3) dostaneme to v tomto prípade kosínus V trojuholník vypočíta sa pomocou veľmi jednoduchého vzorca:

Jednoduchosť odvodeného vzorca možno vysvetliť jednoducho: v skutočnosti susediaci s rohom? noha je priemetom prepony, jej dĺžka sa rovná dĺžke prepony vynásobenej cos?.

Nahradením hodnôt b=4 a c=5 z prvého príkladu dostaneme:

To znamená, že všetky naše vzorce sú správne.

Tip 5: Ako nájsť ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku

Priamo uhličitý trojuholník je pravdepodobne jedným z najznámejších, z historického hľadiska, geometrických útvarov. Pythagorejské „nohavice“ môžu konkurovať iba „heuréke!“ Archimedes.

Budete potrebovať

• - kresba trojuholníka;
• - pravítko;
• - uhlomer

Pokyny

Súčet uhlov trojuholníka je 180 stupňov. V obdĺžnikovom trojuholník jeden uhol (rovný) bude vždy 90 stupňov a ostatné sú ostré, t.j. menej ako 90 stupňov každý. Ak chcete určiť, aký uhol je v obdĺžniku trojuholník je rovný, pomocou pravítka zmerajte strany trojuholníka a určte najväčšiu. Je to prepona (AB) a nachádza sa oproti pravému uhlu (C). Zvyšné dve strany tvoria pravý uhol a nohy (AC, BC).

Keď zistíte, ktorý uhol je ostrý, môžete použiť uhlomer na výpočet uhla pomocou matematických vzorcov.

Ak chcete určiť uhol pomocou uhlomeru, zarovnajte jeho vrchol (označme ho písmenom A) so špeciálnou značkou na pravítku v strede uhlomeru AC by sa mala zhodovať s jeho horným okrajom. Označte na polkruhovej časti uhlomeru bod, cez ktorý prechádza prepona AB. Hodnota v tomto bode zodpovedá uhlu v stupňoch. Ak sú na uhlomere uvedené 2 hodnoty, potom pre ostrý uhol musíte zvoliť menší, pre tupý uhol - väčší.

Nájdite výslednú hodnotu v referenčných knihách Bradis a určite, ktorému uhlu zodpovedá výsledná číselná hodnota. Túto metódu používali naše staré mamy.

V našom stačí vziať s funkciou výpočtu goniometrických vzorcov. Napríklad vstavaná kalkulačka Windows. Spustite aplikáciu „Kalkulačka“, v položke ponuky „Zobraziť“ vyberte „Inžinierstvo“. Vypočítajte sínus požadovaného uhla, napríklad sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Prepnite kalkulačku do režimu inverzných funkcií kliknutím na tlačidlo INV na displeji kalkulačky a potom kliknite na tlačidlo funkcie arcsínus (na displeji je označené ako sin mínus prvá mocnina). V okne výpočtu sa zobrazí nasledujúca správa: asind (0,5) = 30. T.j. hodnota požadovaného uhla je 30 stupňov.

Zdroje:

• Bradisove stoly (sínus, kosínus)

Kosínusová veta v matematike sa najčastejšie používa, keď je potrebné nájsť tretiu stranu uhla a dve strany. Niekedy je však podmienka problému položená opačne: musíte nájsť uhol s danými tromi stranami.

Pokyny

Predstavte si, že dostanete trojuholník, v ktorom sú známe dĺžky dvoch strán a hodnota jedného uhla. Všetky uhly tohto trojuholníka nie sú rovnaké a jeho strany sú tiež rôzne veľké. Uhol γ leží oproti strane trojuholníka, označenej AB, čo je tento obrázok. Prostredníctvom tohto uhla, ako aj cez zostávajúce strany AC a BC, môžete pomocou kosínusovej vety nájsť neznámu stranu trojuholníka, z ktorej odvodíte vzorec uvedený nižšie:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, kde a=BC, b=AB, c=AC
Kosínusová veta sa inak nazýva zovšeobecnená Pytagorova veta.

Teraz si predstavte, že sú dané všetky tri strany obrazca, ale jeho uhol γ nie je známy. S vedomím, že tvar a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, transformujte tento výraz tak, aby sa požadovaná hodnota stala uhlom γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Potom dajte vyššie uvedenú rovnicu do trochu iného tvaru: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Tento výraz by sa potom mal previesť na výraz uvedený nižšie: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Zostáva len dosadiť čísla do vzorca a vykonať výpočty.

Aby sme našli kosínus, označený γ, musíme ho vyjadriť inverznou hodnotou k trigonometrii, nazývanou arkus kosínus. Oblúkový kosínus čísla m je hodnota uhla γ, pre ktorú sa kosínus uhla γ rovná m. Funkcia y=arccos m je klesajúca. Predstavte si napríklad, že kosínus uhla γ sa rovná jednej polovici. Potom možno uhol γ definovať cez arckosínus takto:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, kde m = 1/2.
Podobným spôsobom môžete nájsť zostávajúce uhly trojuholníka s jeho ďalšími dvoma neznámymi stranami.

Sínus a kosínus sú dve goniometrické funkcie, ktoré sa nazývajú „priame“. Práve tie sa musia počítať častejšie ako iné a na vyriešenie tohto problému má dnes každý z nás značný výber možností. Nižšie sú uvedené niektoré z najjednoduchších metód.

Pokyny

Ak nemáte k dispozícii iné spôsoby výpočtu, použite uhlomer, ceruzku a kus papiera. Jedna z definícií kosínusu je daná z hľadiska ostrých uhlov v pravouhlom trojuholníku - rovná sa pomeru medzi dĺžkou nohy oproti tomuto uhlu a dĺžkou. Nakreslite trojuholník, v ktorom je jeden z uhlov pravý (90°) a druhý je uhol, ktorý chcete vypočítať. Na dĺžke strán nezáleží - nakreslite ich tak, ako je to pre vás pohodlnejšie na meranie. Zmerajte dĺžku požadovanej nohy a prepony a vydeľte prvú druhou akýmkoľvek vhodným spôsobom.

Využite hodnotu trigonometrických funkcií pomocou kalkulačky zabudovanej vo vyhľadávači Nigma, ak máte prístup na internet. Napríklad, ak potrebujete vypočítať kosínus uhla 20°, potom po načítaní hlavnej stránky služby http://nigma.ru zadajte do poľa vyhľadávacieho dopytu „kosínus 20“ a kliknite na tlačidlo „Nájsť! tlačidlo “. Môžete vynechať „stupne“ a nahradiť slovo „kosínus“ slovom cos – v každom prípade vyhľadávací nástroj zobrazí výsledok s presnosťou na 15 desatinných miest (0,939692620785908).

Ak nemáte prístup na internet, otvorte štandardný program nainštalovaný s operačným systémom Windows. Môžete to urobiť napríklad súčasným stlačením klávesov win a r, zadaním príkazu calc a kliknutím na tlačidlo OK. Na výpočet trigonometrických funkcií je tu rozhranie nazývané „inžinierstvo“ alebo „vedecké“ (v závislosti od verzie OS) - vyberte požadovanú položku v časti „Zobraziť“ v ponuke kalkulačky. Potom zadajte hodnotu uhla a kliknite na tlačidlo cos v rozhraní programu.

Video k téme

Tip 8: Ako určiť uhly v pravom trojuholníku

Obdĺžnikový sa vyznačuje určitými vzťahmi medzi rohmi a stranami. Keď poznáte hodnoty niektorých z nich, môžete vypočítať iné. Na tento účel sa používajú vzorce, ktoré sú založené na axiómach a teorémoch geometrie.

Lekcia na tému „Sínus, kosínus a tangens ostrého uhla pravouhlého trojuholníka“

Ciele lekcie:

vzdelávacie - predstaviť pojem sínus, kosínus, dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku, skúmať závislosti a vzťahy medzi týmito veličinami;

rozvíjanie - formovanie pojmu sínus, kosínus, tangenta ako funkcie uhla, oblasť definície goniometrických funkcií, rozvoj logického myslenia, rozvoj správnej matematickej reči;

vzdelávacie – rozvoj zručností samostatnej práce, kultúry správania, presnosti pri vedení záznamov.

Priebeh lekcie:

1. Organizačný moment

„Vzdelanie nie je počet prebratých lekcií, ale počet pochopených. Takže ak chceš ísť vpred, tak sa ponáhľaj pomaly a buď opatrný."

2. Motivácia hodiny.

Jeden mudrc povedal: „Najvyšším prejavom ducha je myseľ. Najvyšším prejavom rozumu je geometria. Geometrická bunka je trojuholník. Je nevyčerpateľný ako vesmír. Kruh je dušou geometrie. Poznaj kruh a spoznáš nielen dušu geometrie, ale pozdvihneš svoju dušu.“

Pokúsime sa spolu s vami urobiť malý prieskum. Podeľme sa o svoje nápady, ktoré vás napadnú, a nebojte sa robiť chyby, každá myšlienka nám môže dať nový smer hľadania. Naše úspechy sa niekomu nemusia zdať veľké, ale budú to naše vlastné úspechy!

3. Aktualizácia základných vedomostí.

Aké uhly môžu byť?

Čo sú trojuholníky?

Aké sú hlavné prvky, ktoré definujú trojuholník?

Aké typy trojuholníkov existujú v závislosti od strán?

Aké typy trojuholníkov existujú v závislosti od uhlov?

čo je noha?

Čo je prepona?

Ako sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka?

Aké vzťahy medzi stranami a uhlami tohto trojuholníka poznáte?

Prečo potrebujete poznať vzťahy medzi stranami a uhlami?

Aké problémy v živote môžu viesť k potrebe vypočítať neznáme strany v trojuholníku?

Pojem „hypotenza“ pochádza z gréckeho slova „hyponeinouse“, čo znamená „naťahovať sa cez niečo“, „sťahovať sa“. Slovo pochádza z vyobrazenia starogréckych harf, na ktorých sú struny natiahnuté na koncoch dvoch navzájom kolmých stojanov. Pojem "kathetus" pochádza z gréckeho slova "kathetos", čo znamená začiatok "olovnice", "kolmý".

Euclid povedal: "Nohy sú strany, ktoré zvierajú pravý uhol."

V starovekom Grécku už bola známa metóda konštrukcie pravouhlého trojuholníka na zemi. Použili na to lano, na ktorom bolo uviazaných 13 uzlov, v rovnakej vzdialenosti od seba. Pri stavbe pyramíd v Egypte sa takto vyrábali pravouhlé trojuholníky. Pravdepodobne preto sa pravouhlý trojuholník so stranami 3,4,5 nazýval egyptský trojuholník.

4. Štúdium nového materiálu.

V dávnych dobách ľudia sledovali hviezdy a na základe týchto pozorovaní si viedli kalendár, vypočítali dátumy sejby a čas riečnych záplav; lode na mori a karavány na súši navigovali svoju cestu podľa hviezd. To všetko viedlo k potrebe naučiť sa vypočítať strany v trojuholníku, ktorého dva vrcholy sú na zemi a tretí predstavuje bod na hviezdnej oblohe. Na základe tejto potreby vznikla veda o trigonometrii – veda, ktorá študuje súvislosti medzi stranami trojuholníka.

Myslíte si, že vzťahy, ktoré už poznáme, stačia na riešenie takýchto problémov?

Účelom dnešnej lekcie je preskúmať nové súvislosti a závislosti, odvodiť vzťahy, pomocou ktorých v ďalších lekciách geometrie budete môcť takéto úlohy riešiť.

Vcíťme sa do role vedcov a po starodávnych génioch Thalesa, Euklida, Pytagorasa sa vydáme cestou hľadania pravdy.

Na to potrebujeme teoretický základ.

Červenou farbou zvýraznite uhol A a nohu BC.

Zvýraznite nohu AC v zelenej farbe.

Vypočítajme, aká časť je opačnou stranou pre ostrý uhol A k jeho prepone, aby sme to urobili, zložíme pomer opačnej strany k prepone:

Tento pomer má špeciálny názov – taký, že každý človek v každom bode planéty chápe, že hovoríme o čísle predstavujúcom pomer protiľahlej strany ostrého uhla k prepone. Toto slovo je sínusové. Zapíšte si to. Keďže slovo sínus bez názvu uhla stráca akýkoľvek význam, matematický zápis je nasledovný:

Teraz zostavte pomer priľahlej nohy k prepone pre ostrý uhol A:

Tento pomer sa nazýva kosínus. Jeho matematický zápis:

Uvažujme ďalší pomer pre ostrý uhol A: pomer protiľahlej strany k susednej strane:

Tento pomer sa nazýva tangens. Jeho matematický zápis:

5. Konsolidácia nového materiálu.

Upevnime naše prechodné objavy.

Sínus je...

Kosínus je...

Tangenta je...

hriech A =	hriech O =	hriech A 1 =
cos A =	cos O =	pretože A 1 =
tan A =	tg O =	tan A 1 =

Riešte ústne č. 88, 889, 892 (práca vo dvojiciach).

Využitie získaných vedomostí na riešenie praktického problému:

„Z majákovej veže vysokej 70 m je viditeľná loď pod uhlom 3° k horizontu. Aké to je

vzdialenosť od majáku k lodi?

Problém je vyriešený frontálne. Počas besedy si robíme nákres a potrebné poznámky na tabuľu a do zošitov.

Pri riešení problému sa používajú tabuľky Bradis.

Zvážte riešenie problému s. 175.

Riešenie č. 902(1).

6. Cvičenie pre oči.

Bez toho, aby ste otočili hlavu, sa pozrite okolo steny triedy po obvode v smere hodinových ručičiek, tabuľu po obvode proti smeru hodinových ručičiek, trojuholník zobrazený na stojane v smere hodinových ručičiek a rovnaký trojuholník proti smeru hodinových ručičiek. Otočte hlavu doľava a pozrite sa na líniu horizontu a teraz na špičku nosa. Zavri oči, napočítaj do 5, otvor oči a...

Priložíme si dlane k očiam,
Rozložíme pevné nohy.
Odbočenie doprava
Majestátne sa rozhliadneme okolo seba.
A tiež musíte ísť doľava
Pozrite sa spod dlaní.
A - doprava! A ešte jedna vec
Cez ľavé rameno!
Teraz pokračujme v práci.

7. Samostatná práca žiakov.

Riešenie č.

8. Zhrnutie lekcie. Reflexia. D/z.

Aké nové veci ste sa naučili? V triede:

zvážili ste...

ty si analyzoval...

dostal si...

uzavrel si...

rozšírili ste si slovnú zásobu o nasledujúce výrazy...

Svetová veda začala geometriou. Človek sa nemôže skutočne kultúrne a duchovne rozvíjať, ak neštudoval geometriu v škole. Geometria vznikla nielen z praktických, ale aj z duchovných potrieb človeka.

Takto poeticky vysvetlila svoju lásku ku geometrii

milujem geometriu...

Učím geometriu, pretože ju milujem

Potrebujeme geometriu, bez nej sa nikam nedostaneme.

Sínus, kosínus, obvod - tu je dôležité všetko,

Všetko je tu potrebné

Musíte sa len naučiť a pochopiť všetko veľmi jasne,

Dokončite úlohy a testy včas.