Node a nok kalkulačka s riešením. Najmenší spoločný násobok LCM

Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok sú kľúčové aritmetické pojmy, vďaka ktorým je práca so zlomkami jednoduchá. LCM a najčastejšie sa používajú na nájdenie spoločného menovateľa viacerých zlomkov.

Základné pojmy

Deliteľ celého čísla X je ďalšie celé číslo Y, ktorým sa X delí bez zanechania zvyšku. Napríklad deliteľ čísla 4 je 2 a 36 je 4, 6, 9. Násobkom celého čísla X je číslo Y, ktoré je deliteľné X bez zvyšku. Napríklad 3 je násobok 15 a 6 je násobok 12.

Pre každú dvojicu čísel môžeme nájsť ich spoločných deliteľov a násobkov. Napríklad pre 6 a 9 je spoločný násobok 18 a spoločný deliteľ 3. Je zrejmé, že páry môžu mať niekoľko deliteľov a násobkov, takže výpočty používajú najväčšieho deliteľa GCD a najmenšieho násobku LCM.

Najmenší deliteľ nemá význam, pretože pre každé číslo je vždy jedna. Najväčší násobok je tiež nezmyselný, pretože postupnosť násobkov siaha do nekonečna.

Hľadá sa gcd

Existuje mnoho metód na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa, z ktorých najznámejšie sú:

• postupné vyhľadávanie deliteľov, výber spoločných pre pár a hľadanie najväčšieho z nich;
• rozklad čísel na nedeliteľné faktory;
• euklidovský algoritmus;
• binárny algoritmus.

Dnes sú vo vzdelávacích inštitúciách najpopulárnejšími metódami rozklad na hlavné faktory a euklidovský algoritmus. Ten sa zase používa pri riešení diofantických rovníc: hľadanie GCD je potrebné na kontrolu rovnice na možnosť rozlíšenia v celých číslach.

Nájdenie NOC

Najmenší spoločný násobok sa určí aj postupným vyhľadávaním alebo rozkladom na nedeliteľné faktory. Okrem toho je ľahké nájsť LCM, ak už bol určený najväčší deliteľ. Pre čísla X a Y sú LCM a GCD spojené nasledujúcim vzťahom:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Ak napríklad GCM(15,18) = 3, potom LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najzrejmejším príkladom použitia LCM je nájsť spoločného menovateľa, ktorým je najmenší spoločný násobok dané zlomky.

Coprime čísla

Ak dvojica čísel nemá spoločných deliteľov, potom sa takáto dvojica nazýva koprimá. Gcd pre takéto páry sa vždy rovná jednej a na základe spojenia medzi deliteľmi a násobkami sa gcd pre párové páry rovná ich súčinu. Napríklad čísla 25 a 28 sú relatívne prvočísla, pretože nemajú spoločných deliteľov, a LCM(25, 28) = 700, čo zodpovedá ich súčinu. Akékoľvek dve nedeliteľné čísla budú vždy relatívne prvočísla.

Spoločný deliteľ a viacnásobná kalkulačka

Pomocou našej kalkulačky môžete vypočítať GCD a LCM pre ľubovoľný počet čísel, z ktorých si môžete vybrať. Úlohy týkajúce sa výpočtu spoločných deliteľov a násobkov sa nachádzajú v aritmetike 5. a 6. ročníka, ale GCD a LCM sú kľúčové pojmy v matematike a používajú sa v teórii čísel, planimetrii a komunikačnej algebre.

Príklady zo života

Spoločný menovateľ zlomkov

Najmenší spoločný násobok sa používa pri hľadaní spoločného menovateľa niekoľkých zlomkov. Povedzme, že v aritmetickom probléme potrebujete sčítať 5 zlomkov:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Ak chcete pridať zlomky, výraz sa musí zredukovať na spoločného menovateľa, čím sa zníži problém s nájdením LCM. Ak to chcete urobiť, vyberte v kalkulačke 5 čísel a do príslušných buniek zadajte hodnoty menovateľov. Program vypočíta LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Teraz musíte pre každý zlomok vypočítať ďalšie faktory, ktoré sú definované ako pomer LCM k menovateľovi. Takže dodatočné multiplikátory budú vyzerať takto:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Potom vynásobíme všetky zlomky zodpovedajúcim dodatočným faktorom a dostaneme:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Takéto zlomky môžeme ľahko sčítať a dostaneme výsledok 159/360. Zlomok znížime o 3 a uvidíme konečnú odpoveď - 53/120.

Riešenie lineárnych diofantických rovníc

Lineárne diofantické rovnice sú vyjadrením tvaru ax + by = d. Ak je pomer d / gcd(a, b) celé číslo, potom je rovnica riešiteľná v celých číslach. Pozrime sa na pár rovníc, aby sme zistili, či majú celočíselné riešenie. Najprv skontrolujme rovnicu 150x + 8y = 37. Pomocou kalkulačky zistíme GCD (150,8) = 2. Vydelíme 37/2 = 18,5. Číslo nie je celé číslo, preto rovnica nemá celé korene.

Skontrolujeme rovnicu 1320x + 1760y = 10120. Pomocou kalkulačky nájdite GCD(1320, 1760) = 440. Vydeľte 10120/440 = 23. Výsledkom je celé číslo, preto je diofantínska rovnica riešiteľná v .

Záver

GCD a LCM zohrávajú veľkú úlohu v teórii čísel a samotné koncepty sú široko používané v širokej škále oblastí matematiky. Použite našu kalkulačku na výpočet najväčších deliteľov a najmenších násobkov ľubovoľného počtu čísel.

Nižšie uvedený materiál je logickým pokračovaním teórie z článku s názvom LCM - najmenší spoločný násobok, definícia, príklady, spojenie medzi LCM a GCD. Tu budeme hovoriť o nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM), pričom osobitnú pozornosť budeme venovať riešeniu príkladov. Najprv si ukážeme, ako sa vypočíta LCM dvoch čísel pomocou GCD týchto čísel. Ďalej sa pozrieme na nájdenie najmenšieho spoločného násobku rozkladom čísel na prvočísla. Potom sa zameriame na nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel a venujeme pozornosť aj výpočtu LCM záporných čísel.

Navigácia na stránke.

Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) cez GCD

Jeden spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na vzťahu medzi LCM a GCD. Existujúce spojenie medzi LCM a GCD nám umožňuje vypočítať najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel prostredníctvom známeho najväčšieho spoločného deliteľa. Zodpovedajúci vzorec je LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Pozrime sa na príklady nájdenia LCM pomocou daného vzorca.

Príklad.

Nájdite najmenší spoločný násobok dvoch čísel 126 a 70.

Riešenie.

V tomto príklade a=126, b=70. Použime spojenie medzi LCM a GCD, vyjadrené vzorcom LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). To znamená, že najprv musíme nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel 70 a 126, potom môžeme pomocou napísaného vzorca vypočítať LCM týchto čísel.

Nájdite GCD(126, 70) pomocou euklidovského algoritmu: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, teda GCD(126, 70)=14.

Teraz nájdeme požadovaný najmenší spoločný násobok: GCD(126; 70)=126·70:GCD(126; 70)= 126,70:14=630.

odpoveď:

LCM(126,70)=630.

Príklad.

Čomu sa rovná LCM(68, 34)?

Riešenie.

Pretože 68 je deliteľné 34, potom GCD(68, 34)=34. Teraz vypočítame najmenší spoločný násobok: GCD(68; 34)=68·34:GCD(68; 34)= 68-34:34=68.

odpoveď:

LCM(68,34)=68.

Všimnite si, že predchádzajúci príklad vyhovuje nasledujúcemu pravidlu na nájdenie LCM pre kladné celé čísla a a b: ak je číslo a deliteľné b, potom najmenší spoločný násobok týchto čísel je a.

Nájdenie LCM rozdelením čísel na prvočísla

Ďalší spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na rozklade čísel na prvočísla. Ak poskladáte súčin zo všetkých prvočísel daných čísel a potom z tohto súčinu vylúčite všetky spoločné prvočísla prítomné v rozšíreniach daných čísel, výsledný súčin sa bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku daných čísel. .

Uvedené pravidlo pre nájdenie LCM vyplýva z rovnosti LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Súčin čísel a a b sa skutočne rovná súčinu všetkých faktorov podieľajúcich sa na rozširovaní čísel a a b. Na druhej strane, GCD(a, b) sa rovná súčinu všetkých prvočiniteľov súčasne prítomných v expanziách čísel a a b (ako je popísané v časti o hľadaní GCD pomocou rozšírenia čísel na prvočísla).

Uveďme si príklad. Dajte nám vedieť, že 75=3·5·5 a 210=2·3·5·7. Zostavme súčin zo všetkých faktorov týchto expanzií: 2·3·3·5·5·5·7 . Teraz z tohto súčinu vylúčime všetky faktory prítomné v rozšírení čísla 75 aj rozšírení čísla 210 (takýmito faktormi sú 3 a 5), ​​potom bude súčin mať tvar 2·3·5·5·7 . Hodnota tohto súčinu sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku 75 a 210, tj. NOC(75; 210)= 2·3·5·5·7=1 050.

Príklad.

Rozložte čísla 441 a 700 na prvočísla a nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.

Riešenie.

Rozložme čísla 441 a 700 do prvočísel:

Dostaneme 441=3·3·7·7 a 700=2·2·5·5·7.

Teraz poskladajme súčin zo všetkých faktorov podieľajúcich sa na rozširovaní týchto čísel: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Vylúčme z tohto produktu všetky faktory, ktoré sú súčasne prítomné v oboch expanziách (existuje len jeden taký faktor - toto je číslo 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. teda LCM(441; 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

odpoveď:

NOC(441,700)= 44100.

Pravidlo na nájdenie LCM pomocou rozkladu čísel na prvočísla možno formulovať trochu inak. Ak sa chýbajúce faktory z rozšírenia čísla b pripočítajú k faktorom z rozšírenia čísla a, potom sa hodnota výsledného súčinu bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku čísel a a b.

Vezmime si napríklad rovnaké čísla 75 a 210, ich rozklad na prvočiniteľ je nasledovný: 75=3·5·5 a 210=2·3·5·7. K faktorom 3, 5 a 5 z rozšírenia čísla 75 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 7 z rozšírenia čísla 210, dostaneme súčin 2·3·5·5·7, ktorého hodnota je sa rovná LCM(75, 210).

Príklad.

Nájdite najmenší spoločný násobok 84 a 648.

Riešenie.

Najprv získame rozklady čísel 84 a 648 na prvočiniteľa. Vyzerajú ako 84=2·2·3·7 a 648=2·2·2·3·3·3·3. K faktorom 2, 2, 3 a 7 z rozšírenia čísla 84 pripočítame chýbajúce faktory 2, 3, 3 a 3 z rozšírenia čísla 648, dostaneme súčin 2 2 2 3 3 3 3 7, čo sa rovná 4 536 . Požadovaný najmenší spoločný násobok 84 a 648 je teda 4 536.

odpoveď:

LCM(84,648)=4,536.

Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel

Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel možno nájsť postupným nájdením LCM dvoch čísel. Pripomeňme si zodpovedajúcu vetu, ktorá umožňuje nájsť LCM troch alebo viacerých čísel.

Veta.

Nech sú dané kladné celé čísla a 1 , a 2 , …, a k, najmenší spoločný násobok m k týchto čísel nájdeme postupným výpočtom m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2, a 3), …, mk = LCM(mk-1, ak).

Uvažujme o aplikácii tejto vety na príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku štyroch čísel.

Príklad.

Nájdite LCM štyroch čísel 140, 9, 54 a 250.

Riešenie.

V tomto príklade a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Najprv nájdeme m2 = LOC(a1, a2) = LOC(140; 9). Aby sme to dosiahli, pomocou euklidovského algoritmu určíme GCD(140, 9), máme 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, teda GCD(140, 9)=1, odkiaľ GCD(140; 9)=140 9:GCD(140; 9)= 140.9:1=1260. To znamená, m2 = 1 260.

Teraz nájdeme m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). Vypočítajme to pomocou GCD(1 260, 54), ktoré určíme aj pomocou euklidovského algoritmu: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Potom gcd(1,260, 54)=18, z čoho gcd(1,260,54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. To znamená, m3 = 3 780.

Zostáva len nájsť m4 = LOC(m3, a4) = LOC(3 780, 250). Aby sme to dosiahli, nájdeme GCD(3,780, 250) pomocou euklidovského algoritmu: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Preto GCM(3,780, 250)=10, odkiaľ GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3 780 · 250 : 10 = 94 500. To znamená, m4 = 94 500.

Takže najmenší spoločný násobok pôvodných štyroch čísel je 94 500.

odpoveď:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

V mnohých prípadoch je vhodné nájsť najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel pomocou prvočíselných rozkladov daných čísel. V tomto prípade by ste mali dodržiavať nasledujúce pravidlo. Najmenší spoločný násobok viacerých čísel sa rovná súčinu, ktorý sa skladá takto: chýbajúce činitele z rozšírenia druhého čísla sa pripočítajú ku všetkým súčiniteľom z rozšírenia prvého čísla, chýbajúce činitele z rozšírenia prvého čísla tretie číslo sa pripočíta k výsledným faktorom atď.

Pozrime sa na príklad hľadania najmenšieho spoločného násobku pomocou prvočíselného rozkladu.

Príklad.

Nájdite najmenší spoločný násobok piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.

Riešenie.

Najprv získame rozklady týchto čísel na prvočísla: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je prvočíslo, zhoduje sa s jej rozkladom na prvočiniteľa) a 143=11·13.

Ak chcete nájsť LCM týchto čísel, k faktorom prvého čísla 84 (sú to 2, 2, 3 a 7), musíte pridať chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla 6. Rozklad čísla 6 neobsahuje chýbajúce faktory, keďže 2 aj 3 sú už prítomné v rozklade prvého čísla 84. Ďalej k faktorom 2, 2, 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia tretieho čísla 48, dostaneme množinu faktorov 2, 2, 2, 2, 3 a 7. V ďalšom kroku nebude potrebné do tejto sady pridávať násobiče, keďže 7 je v nej už obsiahnutá. Nakoniec k faktorom 2, 2, 2, 2, 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 11 a 13 z rozšírenia čísla 143. Dostaneme súčin 2·2·2·2·3·7·11·13, čo sa rovná 48 048.

Pokračujme v rozhovore o najmenšom spoločnom násobku, ktorý sme začali v časti „LCM - najmenší spoločný násobok, definícia, príklady“. V tejto téme sa pozrieme na spôsoby, ako nájsť LCM pre tri alebo viac čísel, a pozrieme sa na otázku, ako nájsť LCM záporného čísla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) cez GCD

Vzťah medzi najmenším spoločným násobkom a najväčším spoločným deliteľom sme už stanovili. Teraz sa naučíme, ako určiť LCM pomocou GCD. Po prvé, poďme zistiť, ako to urobiť pre kladné čísla.

Definícia 1

Najmenší spoločný násobok môžete nájsť pomocou najväčšieho spoločného deliteľa pomocou vzorca LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Príklad 1

Musíte nájsť LCM čísel 126 a 70.

Riešenie

Zoberme si a = 126, b = 70. Dosaďte hodnoty do vzorca na výpočet najmenšieho spoločného násobku cez najväčšieho spoločného deliteľa LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Nájde gcd čísel 70 a 126. Na to potrebujeme euklidovský algoritmus: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, teda GCD (126 , 70) = 14 .

Vypočítajme LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

odpoveď: LCM(126,70) = 630.

Príklad 2

Nájdite číslo 68 a 34.

Riešenie

GCD v tomto prípade nie je ťažké nájsť, pretože 68 je deliteľné 34. Vypočítajme najmenší spoločný násobok pomocou vzorca: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

odpoveď: LCM(68,34) = 68.

V tomto príklade sme použili pravidlo na nájdenie najmenšieho spoločného násobku kladných celých čísel a a b: ak je prvé číslo deliteľné druhým, LCM týchto čísel sa bude rovnať prvému číslu.

Nájdenie LCM rozdelením čísel na prvočísla

Teraz sa pozrime na metódu hľadania LCM, ktorá je založená na rozklade čísel na prvočiniteľa.

Definícia 2

Aby sme našli najmenší spoločný násobok, musíme vykonať niekoľko jednoduchých krokov:

• skladáme súčin všetkých prvočísel čísel, pre ktoré potrebujeme nájsť LCM;
• z ich výsledných produktov vylučujeme všetky hlavné faktory;
• produkt získaný po odstránení spoločných prvočísel sa bude rovnať LCM daných čísel.

Táto metóda hľadania najmenšieho spoločného násobku je založená na rovnosti LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Ak sa pozriete na vzorec, bude jasné: súčin čísel a a b sa rovná súčinu všetkých faktorov, ktoré sa podieľajú na rozklade týchto dvoch čísel. V tomto prípade sa gcd dvoch čísel rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v rozkladoch daných dvoch čísel.

Príklad 3

Máme dve čísla 75 a 210. Môžeme ich rozpočítať takto: 75 = 3 5 5 A 210 = 2 3 5 7. Ak poskladáte súčin všetkých faktorov dvoch pôvodných čísel, dostanete: 2 3 3 5 5 5 7.

Ak vylúčime faktory spoločné pre čísla 3 a 5, dostaneme súčin nasledujúceho tvaru: 2 3 5 5 7 = 1050. Tento produkt bude naším LCM pre čísla 75 a 210.

Príklad 4

Nájdite LCM čísel 441 A 700 , pričom obe čísla sa rozdelia na prvočísla.

Riešenie

Nájdite všetky prvočísla čísel uvedených v podmienke:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dostaneme dva reťazce čísel: 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7.

Súčin všetkých faktorov, ktoré sa podieľali na rozklade týchto čísel, bude mať tvar: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Poďme nájsť spoločné faktory. Toto je číslo 7. Vylúčme to z celkového produktu: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ukazuje sa, že NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odpoveď: LOC(441, 700) = 44 100.

Uveďme inú formuláciu metódy na nájdenie LCM rozkladom čísel na prvočiniteľa.

Definícia 3

Predtým sme z celkového počtu vylúčili faktory spoločné pre obe čísla. Teraz to urobíme inak:

• Zoberme obe čísla do prvočiniteľov:
• doplniť k súčinu prvočísel prvého čísla chýbajúce činitele druhého čísla;
• získame súčin, ktorým bude požadovaná LCM dvoch čísel.

Príklad 5

Vráťme sa k číslam 75 a 210, pre ktoré sme už LCM hľadali v jednom z predchádzajúcich príkladov. Rozdeľme ich na jednoduché faktory: 75 = 3 5 5 A 210 = 2 3 5 7. Na súčin faktorov 3, 5 a 5 čísla 75 doplniť chýbajúce faktory 2 A 7 čísla 210. Získame: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Toto je LCM čísel 75 a 210.

Príklad 6

Je potrebné vypočítať LCM čísel 84 a 648.

Riešenie

Rozložme čísla z podmienky do jednoduchých faktorov: 84 = 2 2 3 7 A 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Pridajme k súčinu faktory 2, 2, 3 a 7 čísla 84 chýbajúce faktory 2, 3, 3 a
3 čísla 648. Dostaneme produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Toto je najmenší spoločný násobok 84 a 648.

odpoveď: LCM(84,648) = 4,536.

Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel

Bez ohľadu na to, s koľkými číslami máme čo do činenia, algoritmus našich akcií bude vždy rovnaký: postupne nájdeme LCM dvoch čísel. Pre tento prípad existuje veta.

Veta 1

Predpokladajme, že máme celé čísla a 1 , a 2 , ... , k. NOC m k tieto čísla sa zistia postupným výpočtom m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Teraz sa pozrime na to, ako sa dá veta použiť na riešenie konkrétnych problémov.

Príklad 7

Musíte vypočítať najmenší spoločný násobok štyroch čísel 140, 9, 54 a 250 .

Riešenie

Zavedme zápis: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Začnime výpočtom m 2 = LCM (a 1, a 2) = LCM (140, 9). Aplikujme euklidovský algoritmus na výpočet GCD čísel 140 a 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Získame: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1 260. Preto m 2 = 1 260.

Teraz vypočítajme pomocou rovnakého algoritmu m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Pri výpočtoch dostaneme m 3 = 3 780.

Všetko, čo musíme urobiť, je vypočítať m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Postupujeme podľa rovnakého algoritmu. Dostaneme m 4 = 94 500.

LCM štyroch čísel z príkladu podmienky je 94500.

odpoveď: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Ako vidíte, výpočty sú jednoduché, ale dosť náročné na prácu. Ak chcete ušetriť čas, môžete ísť iným spôsobom.

Definícia 4

Ponúkame vám nasledujúci algoritmus akcií:

• všetky čísla rozložíme na prvočiniteľa;
• k súčinu činiteľov prvého čísla pripočítame chýbajúce činitele súčinu druhého čísla;
• k produktu získanému v predchádzajúcej fáze pridáme chýbajúce faktory tretieho čísla atď.;
• výsledný súčin bude najmenší spoločný násobok všetkých čísel z podmienky.

Príklad 8

Musíte nájsť LCM piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.

Riešenie

Rozložme všetkých päť čísel na prvočísla: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Prvočísla, čo je číslo 7, nemožno zahrnúť do prvočísel. Takéto čísla sa zhodujú s ich rozkladom na prvočísla.

Teraz zoberme súčin prvočiniteľov 2, 2, 3 a 7 čísla 84 a pripočítajme k nim chýbajúce činitele druhého čísla. Rozložili sme číslo 6 na 2 a 3. Tieto faktory sú už v súčine prvého čísla. Preto ich vynechávame.

Pokračujeme v dopĺňaní chýbajúcich násobiteľov. Prejdime k číslu 48, z ktorého súčinu prvočiniteľov vezmeme 2 a 2. Potom pridáme prvočíslo 7 zo štvrtého čísla a faktory 11 a 13 z piateho. Získame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Ide o najmenší spoločný násobok pôvodných piatich čísel.

odpoveď: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Nájdenie najmenšieho spoločného násobku záporných čísel

Aby bolo možné nájsť najmenší spoločný násobok záporných čísel, musia byť tieto čísla najskôr nahradené číslami s opačným znamienkom a potom je potrebné vykonať výpočty pomocou vyššie uvedených algoritmov.

Príklad 9

LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) a LCM ( - 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Takéto akcie sú prípustné vzhľadom na skutočnosť, že ak to prijmeme a A − a- opačné čísla,
potom množina násobkov čísla a sa zhoduje s množinou násobkov čísla − a.

Príklad 10

Je potrebné vypočítať LCM záporných čísel − 145 A − 45 .

Riešenie

Nahradíme čísla − 145 A − 45 na ich opačné čísla 145 A 45 . Teraz pomocou algoritmu vypočítame LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1 305, pričom sme predtým určili GCD pomocou euklidovského algoritmu.

Dostaneme, že LCM čísel je − 145 a − 45 rovná sa 1 305 .

odpoveď: LCM (- 145, - 45) = 1 305.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Násobok je číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné daným číslom. Najmenší spoločný násobok (LCM) skupiny čísel je najmenšie číslo, ktoré je deliteľné každým číslom v skupine bez zanechania zvyšku. Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok, musíte nájsť prvočísla daných čísel. LCM možno vypočítať aj pomocou množstva iných metód, ktoré sa vzťahujú na skupiny dvoch alebo viacerých čísel.

Kroky

Séria násobkov

Pozrite sa na tieto čísla. Tu opísanú metódu je najlepšie použiť, keď sú zadané dve čísla, z ktorých každé je menšie ako 10. Ak sú zadané väčšie čísla, použite inú metódu.

• Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok 5 a 8. Sú to malé čísla, takže môžete použiť túto metódu.

1. Násobok je číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné daným číslom. Násobky nájdete v tabuľke násobenia.

   • Napríklad čísla, ktoré sú násobkami 5, sú: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Napíšte sériu čísel, ktoré sú násobkami prvého čísla. Urobte to pod násobkami prvého čísla, aby ste porovnali dve sady čísel.

   • Napríklad čísla, ktoré sú násobkami 8, sú: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 a 64.

3. Nájdite najmenšie číslo, ktoré je prítomné v oboch súboroch násobkov. Možno budete musieť napísať dlhé série násobkov, aby ste našli celkové číslo. Najmenšie číslo, ktoré je prítomné v oboch súboroch násobkov, je najmenší spoločný násobok.

   • Napríklad najmenšie číslo, ktoré sa vyskytuje v rade násobkov 5 a 8, je číslo 40. Preto je 40 najmenší spoločný násobok 5 a 8.

   Prvotná faktorizácia

   1. Pozrite sa na tieto čísla. Tu opísanú metódu je najlepšie použiť, keď sú zadané dve čísla, z ktorých každé je väčšie ako 10. Ak sú zadané menšie čísla, použite inú metódu.

      • Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok čísel 20 a 84. Každé z čísel je väčšie ako 10, takže môžete použiť túto metódu.

   2. Rozdeľte prvé číslo na prvočísla. To znamená, že musíte nájsť také prvočísla, z ktorých po vynásobení vznikne dané číslo. Keď nájdete hlavné faktory, napíšte ich ako rovnosti.

      • napr. 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krát 10=20) A 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Prvočísla čísla 20 sú teda čísla 2, 2 a 5. Napíšte ich ako výraz: .

   3. Faktor druhé číslo do prvočiniteľov. Urobte to rovnakým spôsobom, ako ste rozkladali prvé číslo, teda nájdite také prvočísla, ktoré po vynásobení dajú dané číslo.

      • napr. 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) A 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Prvočísla čísla 84 sú teda čísla 2, 7, 3 a 2. Napíšte ich ako výraz: .

   4. Napíšte spoločné faktory pre obe čísla. Napíšte také faktory ako operáciu násobenia. Pri písaní každého faktora ho prečiarknite v oboch výrazoch (výrazoch, ktoré popisujú rozklad čísel na prvočísla).

      • Napríklad obe čísla majú spoločný faktor 2, tak napíšte 2 × (\displaystyle 2\times ) a prečiarknite 2 v oboch výrazoch.
      • Čo majú obe čísla spoločné, je ďalší faktor 2, tak napíšte 2 × 2 (\displaystyle 2\time 2) a prečiarknite druhé 2 v oboch výrazoch.

   5. Pridajte zostávajúce faktory do operácie násobenia. Ide o faktory, ktoré nie sú prečiarknuté v oboch výrazoch, teda faktory, ktoré nie sú spoločné pre obe čísla.

      • Napríklad vo výraze 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\krát 2\krát 5) Obidve dvojky (2) sú prečiarknuté, pretože ide o spoločné faktory. Faktor 5 nie je prečiarknutý, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\time 2\time 5)
      • Vo výraze 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\krát 7\krát 3\krát 2) obe dvojky (2) sú tiež prečiarknuté. Faktory 7 a 3 nie sú prečiarknuté, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3).

   6. Vypočítajte najmenší spoločný násobok. Ak to chcete urobiť, vynásobte čísla v písomnej operácii násobenia.

      • napr. 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3=420). Takže najmenší spoločný násobok 20 a 84 je 420.

   Hľadanie spoločných faktorov

   1. Nakreslite mriežku ako pri hre piškvorky. Takáto mriežka pozostáva z dvoch rovnobežných čiar, ktoré sa pretínajú (v pravom uhle) s ďalšími dvoma rovnobežnými čiarami. Získate tak tri riadky a tri stĺpce (mriežka sa veľmi podobá na ikonu #). Napíšte prvé číslo do prvého riadku a druhého stĺpca. Napíšte druhé číslo do prvého riadku a tretieho stĺpca.

      • Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok čísel 18 a 30. Do prvého riadka a druhého stĺpca napíšte číslo 18 a do prvého riadka a tretieho stĺpca napíšte číslo 30.

   2. Nájdite deliteľa spoločného pre obe čísla. Napíšte to do prvého riadku a prvého stĺpca. Je lepšie hľadať hlavné faktory, ale nie je to podmienkou.

      • Napríklad 18 a 30 sú párne čísla, takže ich spoločný činiteľ je 2. Napíš teda 2 do prvého riadku a prvého stĺpca.

   3. Vydeľte každé číslo prvým deliteľom. Každý podiel napíšte pod príslušné číslo. Kvocient je výsledkom delenia dvoch čísel.

      • napr. 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), tak napíšte 9 pod 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), tak napíšte 15 pod 30.

   4. Nájdite deliteľa spoločného pre oba kvocienty. Ak takýto deliteľ neexistuje, preskočte nasledujúce dva kroky. V opačnom prípade napíšte deliteľa do druhého riadku a prvého stĺpca.

      • Napríklad 9 a 15 sú deliteľné 3, preto napíšte 3 do druhého riadku a prvého stĺpca.

   5. Vydeľte každý podiel jeho druhým deliteľom. Každý výsledok delenia zapíšte pod príslušný kvocient.

      • napr. 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), tak napíšte 3 pod 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), tak napíšte 5 pod 15.

   6. V prípade potreby pridajte do mriežky ďalšie bunky. Opakujte opísané kroky, kým podiely nebudú mať spoločného deliteľa.

   7. Zakrúžkujte čísla v prvom stĺpci a poslednom riadku mriežky. Potom napíšte vybrané čísla ako operáciu násobenia.

      • Napríklad čísla 2 a 3 sú v prvom stĺpci a čísla 3 a 5 sú v poslednom riadku, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5).

   8. Nájdite výsledok násobenia čísel. Tým sa vypočíta najmenší spoločný násobok dvoch daných čísel.

      • napr. 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5=90). Takže najmenší spoločný násobok 18 a 30 je 90.

   Euklidov algoritmus

   1. Pamätajte na terminológiu spojenú s operáciou delenia. Dividenda je číslo, ktoré sa delí. Deliteľ je číslo, ktorým sa delí. Kvocient je výsledkom delenia dvoch čísel. Zvyšok je číslo, ktoré zostane po delení dvoch čísel.

      • Napríklad vo výraze 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 je dividenda
        6 je deliteľ
        2 je kvocient
        3 je zvyšok.

Pozrime sa na tri spôsoby, ako nájsť najmenší spoločný násobok.

Zisťovanie faktorizáciou

Prvým spôsobom je nájsť najmenší spoločný násobok rozdelením daných čísel na prvočísla.

Povedzme, že potrebujeme nájsť LCM čísel: 99, 30 a 28. Aby sme to urobili, rozložme každé z týchto čísel do prvočíselných faktorov:

Aby bolo požadované číslo deliteľné 99, 30 a 28, je potrebné a postačujúce, aby zahŕňalo všetky prvočísla týchto deliteľov. Aby sme to dosiahli, musíme zobrať všetky prvočísla týchto čísel na najväčšiu možnú silu a vynásobiť ich:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

LCM (99, 30, 28) = 13 860 teda žiadne iné číslo menšie ako 13 860 nie je deliteľné 99, 30 alebo 28.

Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok daných čísel, započítajte ich do ich prvočísel, potom zoberte každý prvočiniteľ s najväčším exponentom, v ktorom sa vyskytuje, a vynásobte tieto faktory spolu.

Keďže relatívne prvočísla nemajú spoločné prvočísla, ich najmenší spoločný násobok sa rovná súčinu týchto čísel. Napríklad tri čísla: 20, 49 a 33 sú relatívne prvočísla. Preto

LCM (20, 49, 33) = 204933 = 32,340.

To isté treba urobiť pri hľadaní najmenšieho spoločného násobku rôznych prvočísel. Napríklad LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Hľadanie výberom

Druhý spôsob je nájsť najmenší spoločný násobok výberom.

Príklad 1. Keď je najväčšie z daných čísel delené iným daným číslom, potom sa LCM týchto čísel rovná najväčšiemu z nich. Napríklad zadané štyri čísla: 60, 30, 10 a 6. Každé z nich je deliteľné 60, preto:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

V ostatných prípadoch sa na nájdenie najmenšieho spoločného násobku používa nasledujúci postup:

1. Určte najväčšie číslo z daných čísel.
2. Ďalej nájdeme čísla, ktoré sú násobkami najväčšieho čísla tak, že ho vynásobíme prirodzenými číslami v rastúcom poradí a skontrolujeme, či je výsledný súčin deliteľný zvyšnými danými číslami.

Príklad 2. Dané tri čísla 24, 3 a 18. Určíme najväčšie z nich – toto je číslo 24. Ďalej nájdeme čísla, ktoré sú násobkami 24, pričom skontrolujeme, či je každé z nich deliteľné 18 a 3:

24 · 1 = 24 - deliteľné 3, ale nie deliteľné 18.

24 · 2 = 48 - deliteľné 3, ale nie deliteľné 18.

24 · 3 = 72 – deliteľné 3 a 18.

LCM (24, 3, 18) = 72.

Hľadanie postupným hľadaním LCM

Treťou metódou je nájsť najmenší spoločný násobok postupným hľadaním LCM.

LCM dvoch daných čísel sa rovná súčinu týchto čísel vydelenému ich najväčším spoločným deliteľom.

Príklad 1. Nájdite LCM dvoch daných čísel: 12 a 8. Určte ich najväčšieho spoločného deliteľa: GCD (12, 8) = 4. Vynásobte tieto čísla:

Produkt delíme podľa ich gcd:

LCM (12, 8) = 24.

Ak chcete nájsť LCM troch alebo viacerých čísel, použite nasledujúci postup:

1. Najprv nájdite LCM ľubovoľných dvoch z týchto čísel.
2. Potom LCM nájdeného najmenšieho spoločného násobku a tretieho daného čísla.
3. Potom LCM výsledného najmenšieho spoločného násobku a štvrtého čísla atď.
4. Hľadanie LCM teda pokračuje, pokiaľ existujú čísla.

Príklad 2. Nájdite LCM troch daných čísel: 12, 8 a 9. Už sme našli LCM čísel 12 a 8 v predchádzajúcom príklade (toto je číslo 24). Zostáva nájsť najmenší spoločný násobok čísla 24 a tretieho daného čísla - 9. Určte ich najväčšieho spoločného deliteľa: GCD (24, 9) = 3. Vynásobte LCM číslom 9:

Produkt delíme podľa ich gcd:

LCM (12, 8, 9) = 72.