Komplex függvény származéka. Példák megoldásokra

Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan kell megtalálni komplex függvény deriváltja. A lecke a lecke logikus folytatása Hogyan lehet megtalálni a származékot?, amelyben a legegyszerűbb származékokat vizsgáltuk, valamint megismerkedtünk a differenciálás szabályaival és néhány technikai technikával a származékok megtalálásához. Ezért, ha nem ismeri túl jól a függvények származékait, vagy a cikk egyes pontjai nem teljesen egyértelműek, akkor először olvassa el a fenti leckét. Kérem, legyen komoly a hangulata – az anyag nem egyszerű, de azért igyekszem egyszerűen és érthetően bemutatni.

A gyakorlatban nagyon gyakran, mondhatnám, szinte mindig kell egy komplex függvény deriváltjával foglalkozni, amikor feladatokat kapunk a deriváltok keresésére.

Nézzük a táblázatot az összetett függvény megkülönböztetésére szolgáló (5. sz.) szabálynál:

Találjuk ki. Először is figyeljünk a bejegyzésre. Itt két függvényünk van - és, és a függvény képletesen szólva a függvénybe van beágyazva. Az ilyen típusú függvényt (amikor az egyik függvény egy másikba van beágyazva) összetett függvénynek nevezzük.

Meghívom a függvényt külső funkcióés a funkciót – belső (vagy beágyazott) függvény.

! Ezek a definíciók nem elméletiek, és nem szerepelhetnek a feladatok végső kialakításában. A „külső funkció”, „belső” funkció informális kifejezéseket csak azért használom, hogy megkönnyítsem az anyag megértését.

A helyzet tisztázásához vegye figyelembe:

1. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

A szinusz alatt nem csak az „X” betű van, hanem egy teljes kifejezés, így a derivált közvetlenül a táblázatból való megtalálása nem fog működni. Azt is észrevesszük, hogy az első négy szabályt itt lehetetlen alkalmazni, látszólag van különbség, de tény, hogy a szinusz nem „téphető darabokra”:

Ebben a példában már intuitív módon világos a magyarázataimból, hogy a függvény egy komplex függvény, a polinom pedig egy belső függvény (beágyazás), és egy külső függvény.

Első lépés amit egy komplex függvény deriváltjának megtalálásakor kell tennie, hogy megérteni, hogy melyik funkció belső és melyik külső.

Egyszerű példák esetén egyértelműnek tűnik, hogy egy polinom van beágyazva a szinusz alá. De mi van, ha nem minden nyilvánvaló? Hogyan lehet pontosan meghatározni, hogy melyik funkció külső és melyik belső? Ehhez a következő technikát javaslom, amit lehet mentálisan vagy piszkozatban is.

Képzeljük el, hogy ki kell számítanunk az at kifejezés értékét egy számológépen (egy helyett tetszőleges szám lehet).

Mit számolunk először? Először is a következő műveletet kell végrehajtania: , ezért a polinom belső függvény lesz:

Másodszor meg kell találni, tehát a szinusz – külső függvény lesz:

Miután mi ELADVA A belső és külső függvényeknél itt az ideje alkalmazni az összetett függvények megkülönböztetésének szabályát.

Kezdjük el dönteni. Az osztályból Hogyan lehet megtalálni a származékot? ne felejtsük el, hogy bármely származék megoldásának tervezése mindig így kezdődik - a kifejezést zárójelbe tesszük, és egy körvonalat teszünk a jobb felső sarokban:

Először megtaláljuk a külső függvény deriváltját (szinusz), nézzük meg az elemi függvények deriváltjainak táblázatát, és vegyük észre, hogy . Minden táblázati képlet akkor is alkalmazható, ha az „x”-t összetett kifejezéssel helyettesítjük, ebben az esetben:

Felhívjuk figyelmét, hogy a belső funkció nem változott, nem nyúlunk hozzá.

Nos, ez teljesen nyilvánvaló

A képlet alkalmazásának végeredménye így néz ki:

A konstans tényező általában a kifejezés elejére kerül:

Félreértés esetén írja le a megoldást papírra, és olvassa el újra a magyarázatokat.

2. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

3. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Mint mindig, most is leírjuk:

Nézzük meg, hol van külső és hol belső funkciónk. Ehhez megpróbáljuk (mentálisan vagy vázlatosan) kiszámítani a kifejezés értékét a -nál. Mit kell először csinálni? Először is ki kell számolni, hogy mi az alap: ezért a polinom a belső függvény:

És csak ezután hajtják végre a hatványozást, ezért a hatványfüggvény egy külső függvény:

A képlet szerint először meg kell találni a külső függvény deriváltját, jelen esetben a fokát. A táblázatban keressük a szükséges képletet: . Még egyszer megismételjük: bármely táblázatos képlet nem csak „X”-re, hanem összetett kifejezésre is érvényes. Így az összetett függvény megkülönböztetésére vonatkozó szabály alkalmazásának eredménye a következő:

Ismét hangsúlyozom, hogy ha a külső függvény deriváltját vesszük, a belső funkciónk nem változik:

Most már csak meg kell találni a belső függvény nagyon egyszerű deriváltját, és egy kicsit módosítani az eredményt:

4. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet önállóan kell megoldania (válasz a lecke végén).

Hogy megszilárdítsam egy összetett függvény deriváltjának megértését, egy megjegyzés nélkül hozok egy példát, próbálja meg egyedül kitalálni, indokolja meg, hol van a külső és hol a belső függvény, miért így oldják meg a feladatokat?

5. példa

a) Keresse meg a függvény deriváltját!

b) Keresse meg a függvény deriváltját!

6. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Itt van egy gyökér, és a gyökér megkülönböztetéséhez hatalomként kell ábrázolni. Így először hozzuk a függvényt a megkülönböztetéshez megfelelő formába:

A függvényt elemezve arra a következtetésre jutunk, hogy a három tag összege belső függvény, a hatványra emelés pedig külső függvény. Alkalmazzuk az összetett függvények differenciálási szabályát:

A fokot ismét gyökként (gyökként) ábrázoljuk, és a belső függvény deriváltjára egy egyszerű szabályt alkalmazunk az összeg differenciálására:

Kész. A kifejezést zárójelben lévő közös nevezőre is csökkentheti, és mindent egy törtként írhat le. Természetesen szép, de ha nehézkes hosszú származékokat kap, jobb, ha ezt nem teszi (könnyű összezavarodni, felesleges hibát elkövetni, és a tanárnak kényelmetlen lesz ellenőrizni).

7. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet önállóan kell megoldania (válasz a lecke végén).

Érdekes megjegyezni, hogy néha az összetett függvények megkülönböztetésének szabálya helyett használhatja a hányadosok megkülönböztetésének szabályát. , de egy ilyen megoldás vicces perverziónak tűnik. Íme egy tipikus példa:

8. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Itt használhatja a hányados differenciálásának szabályát , de sokkal jövedelmezőbb egy komplex függvény differenciálási szabályán keresztül megtalálni a deriváltot:

Felkészítjük a függvényt a differenciálásra - a mínuszt kimozgatjuk a derivált előjelből, és a koszinust a számlálóba emeljük:

A koszinusz belső függvény, a hatványozás külső függvény.
Használjuk a szabályunkat:

Megkeressük a belső függvény deriváltját, és visszaállítjuk a koszinuszát:

Kész. A vizsgált példában fontos, hogy ne keveredjünk össze a jelekben. Egyébként próbáld meg a szabály segítségével megoldani , a válaszoknak egyeznie kell.

9. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet önállóan kell megoldania (válasz a lecke végén).

Eddig olyan eseteket vizsgáltunk, amikor egy komplex függvényben csak egy fészkelődésünk volt. A gyakorlati feladatokban gyakran találhatunk származékokat, ahol a fészkelő babákhoz hasonlóan egymásba 3 vagy akár 4-5 függvény kerül egyszerre.

10. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ismerjük meg ennek a függvénynek a mellékleteit. Próbáljuk meg kiszámítani a kifejezést a kísérleti érték segítségével. Hogyan számolnánk egy számológéppel?

Először meg kell találni, ami azt jelenti, hogy az arcszinusz a legmélyebb beágyazás:

Az egyiknek ezt az arcszinuszát négyzetre kell emelni:

És végül hetet emelünk hatványra:

Vagyis ebben a példában három különböző függvényünk és két beágyazásunk van, míg a legbelső függvény az arcszinusz, a legkülső függvény pedig az exponenciális függvény.

Kezdjük el dönteni

A szabály szerint először a külső függvény deriváltját kell venni. Megnézzük a derivált táblázatot, és megkeressük az exponenciális függvény deriváltját: Az egyetlen különbség az, hogy „x” helyett összetett kifejezésünk van, ami nem tagadja ennek a képletnek az érvényességét. Tehát az összetett függvények megkülönböztetésére vonatkozó szabály alkalmazásának eredménye a következő:

A stroke alatt ismét összetett funkciónk van! De ez már egyszerűbb. Könnyen ellenőrizhető, hogy a belső függvény az arcszinusz, a külső függvény a fokszám. Az összetett függvények megkülönböztetésének szabálya szerint először a hatvány deriváltját kell venni.

Adott egy komplex függvény deriváltjának képletének bizonyítása. Részletesen megvizsgáljuk azokat az eseteket, amikor egy komplex függvény egy vagy két változótól függ. Az általánosítás tetszőleges számú változó esetére történik.

Itt a következő képletek származtatását adjuk meg egy komplex függvény deriválására.
Ha akkor
.
Ha akkor
.
Ha akkor
.

Komplex függvény származéka egy változóból

Legyen az x változó függvénye komplex függvényként ábrázolva a következő formában:
,
ahol van néhány funkció. A függvény az x változó valamely értékére differenciálható. A függvény a változó értékén differenciálható.
Ekkor a komplex (összetett) függvény az x pontban differenciálható, és deriváltját a következő képlet határozza meg:
(1) .

Az (1) képlet a következőképpen is felírható:
;
.

Bizonyíték

Vezessük be a következő jelölést.
;
.
Itt van a változók függvénye és , van egy függvénye az és a változóknak. De kihagyjuk ezeknek a függvényeknek az argumentumait, hogy ne zavarjuk a számításokat.

Mivel a és függvények az x, illetve a pontokban differenciálhatók, ezért ezekben a pontokban vannak ezeknek a függvényeknek a deriváltjai, amelyek a következő határértékek:
;
.

Vegye figyelembe a következő funkciót:
.
Az u változó fix értékére a függvénye. Ez nyilvánvaló
.
Akkor
.

Mivel a függvény a ponton differenciálható függvény, ezért abban a pontban folytonos. Ezért
.
Akkor
.

Most megtaláljuk a származékot.

.

A képlet bevált.

Következmény

Ha egy x változó függvénye egy komplex függvény komplex függvényeként ábrázolható
,
akkor származékát a képlet határozza meg
.
Itt van néhány differenciálható függvény.

Ennek a képletnek a bizonyításához szekvenciálisan kiszámítjuk a deriváltot a komplex függvény differenciálására vonatkozó szabály segítségével.
Tekintsük az összetett függvényt
.
A származéka
.
Vegye figyelembe az eredeti funkciót
.
A származéka
.

Komplex függvény származéka két változóból

Most hagyjuk, hogy a komplex függvény több változótól függjön. Először nézzük meg két változó komplex függvényének esete.

Legyen egy x változótól függő függvény két változó komplex függvénye a következő formában:
,
Ahol
és vannak differenciálható függvények az x változó valamely értékéhez;
- két változó függvénye, amely az , pontban differenciálható. Ekkor a komplex függvény a pont egy bizonyos környezetében van definiálva, és van egy deriváltja, amelyet a következő képlet határoz meg:
(2) .

Bizonyíték

Mivel a és függvények a pontban differenciálhatók, ennek a pontnak egy bizonyos környezetében vannak definiálva, a pontban folytonosak, és deriváltjaik a pontban léteznek, amelyek a következő határértékek:
;
.
Itt
;
.
Ezen funkciók folytonossága miatt egy ponton a következőkkel rendelkezünk:
;
.

Mivel a függvény a pontban differenciálható, ennek a pontnak egy bizonyos környezetében van definiálva, ebben a pontban folytonos, és növekménye a következő formában írható fel:
(3) .
Itt

- egy függvény növelése, ha argumentumait értékekkel és értékekkel növeljük;
;

- a függvény parciális deriváltjai a és változók tekintetében.
A és fix értékeire és a változók és a függvényei. Általában nullára állnak, és:
;
.
Azóta és azóta
;
.

Funkciónövekmény:

. :
.
Cseréljük ki a (3)-at:



.

A képlet bevált.

Egy komplex függvény származéka több változóból

A fenti következtetés könnyen általánosítható arra az esetre, amikor egy komplex függvény változóinak száma kettőnél több.

Például ha f értéke három változó függvénye, Azt
,
Ahol
, és vannak differenciálható függvények az x változó valamely értékére;
- három változó differenciálható függvénye a , , pontban.
Ezután a függvény differenciálhatóságának definíciójából a következőt kapjuk:
(4)
.
Mert a folytonosság miatt
; ; ,
Hogy
;
;
.

A (4)-et elosztva a határértékig a következőt kapjuk:
.

És végül mérlegeljük a legáltalánosabb eset.
Legyen az x változó függvénye n változó komplex függvénye a következő formában:
,
Ahol
vannak differenciálható függvények az x változó valamely értékére;
- n változó differenciálható függvénye egy pontban
, , ... , .
Akkor
.

Komplex származékok. Logaritmikus derivált.
Hatvány-exponenciális függvény deriváltja

Továbbra is fejlesztjük differenciálási technikánkat. Ebben a leckében összevonjuk az általunk tárgyalt anyagot, megnézzük az összetettebb deriváltokat, valamint megismerkedünk a derivált megtalálásának új technikáival és trükkjeivel, különösen a logaritmikus deriválttal.

Azok az olvasók, akik alacsony felkészültséggel rendelkeznek, olvassák el a cikket Hogyan lehet megtalálni a származékot? Példák megoldásokra, amely lehetővé teszi, hogy szinte a semmiből emelje tudását. Ezután alaposan tanulmányoznia kell az oldalt Komplex függvény származéka, megérteni és megoldani Minden az általam felhozott példákat. Ez a lecke logikusan a harmadik a sorban, és elsajátítása után magabiztosan megkülönbözteti a meglehetősen összetett funkciókat. Nem kívánatos a „Hol máshol? Elég volt!”, hiszen minden példa és megoldás valós tesztekből származik, és gyakran találkozunk vele a gyakorlatban.

Kezdjük az ismétléssel. A leckében Komplex függvény származéka Számos példát néztünk meg részletes megjegyzésekkel. A differenciálszámítás és a matematikai elemzés más ágainak tanulmányozása során nagyon gyakran kell differenciálni, és nem mindig kényelmes (és nem is mindig szükséges) a példák részletes leírása. Ezért szóban fogjuk gyakorolni a származékok megtalálását. Erre a legalkalmasabb „jelöltek” a legegyszerűbb összetett függvények származékai, például:

Az összetett függvények differenciálási szabálya szerint :

Ha a jövőben más matan témákat tanul, az ilyen részletes feljegyzéseket leggyakrabban feltételezzük, hogy a hallgató tudja, hogyan találhat ilyen származékokat autopilotán. Képzeljük el, hogy hajnali 3 órakor megszólalt a telefon, és egy kellemes hang megkérdezte: "Mi a deriváltja két X tangensének?" Ezt szinte azonnali és udvarias válasznak kell követnie: .

Az első példa azonnal önálló megoldásra lesz szánva.

1. példa

Keresse meg szóban, például egy műveletben a következő származékokat: . A feladat elvégzéséhez csak használnia kell elemi függvények deriváltjainak táblázata(ha még nem emlékeztél rá). Ha nehézségei vannak, javaslom, hogy olvassa el újra a leckét Komplex függvény származéka.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Válaszok a lecke végén

Komplex származékok

Előzetes tüzérségi előkészítés után a 3-4-5 funkciófészkelésű példák kevésbé lesznek ijesztőek. A következő két példa bonyolultnak tűnhet egyesek számára, de ha megérti őket (valaki szenvedni fog), akkor szinte minden más a differenciálszámításban gyerekviccnek tűnik.

2. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Mint már említettük, egy komplex függvény deriváltjának megtalálásához először is szükség van rá JobbÉRTSE MEG befektetéseit. Azokban az esetekben, amikor kétségek merülnek fel, emlékeztetek egy hasznos technikára: vesszük például az „x” kísérleti értékét, és megpróbáljuk (mentálisan vagy vázlatosan) ezt az értéket behelyettesíteni a „szörnyű kifejezésbe”.

1) Először ki kell számítanunk a kifejezést, ami azt jelenti, hogy az összeg a legmélyebb beágyazás.

2) Ezután ki kell számítania a logaritmust:

4) Ezután felkockázzuk a koszinuszát:

5) Az ötödik lépésben a különbség:

6) És végül, a legkülső függvény a négyzetgyök:

Képlet egy összetett függvény megkülönböztetésére fordított sorrendben alkalmazzák, a legkülső funkciótól a legbelsőig. Mi döntünk:

Úgy tűnik, nincs hiba...

(1) Vegyük a négyzetgyök deriváltját.

(2) A különbség deriváltját a szabály segítségével vesszük

(3) A hármas deriváltja nulla. A második tagban vesszük a fok (kocka) deriváltját.

(4) Vegyük a koszinusz deriváltját.

(5) Vegyük a logaritmus deriváltját.

(6) És végül vesszük a legmélyebb beágyazás származékát.

Lehet, hogy túl nehéznek tűnik, de nem ez a legbrutálisabb példa. Vegyük például Kuznyecov gyűjteményét, és értékelni fogja az elemzett származék minden szépségét és egyszerűségét. Észrevettem, hogy szeretnek hasonlót adni egy vizsgán, hogy ellenőrizzék, hogy a hallgató érti-e, hogyan kell egy komplex függvény deriváltját megtalálni, vagy nem érti.

A következő példa arra szolgál, hogy egyedül oldja meg.

3. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Tipp: Először a linearitási szabályokat és a termékdifferenciálási szabályokat alkalmazzuk

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Ideje áttérni valami kisebbre és szebbre.
Nem ritka, hogy egy példa nem két, hanem három függvény szorzatát mutatja. Hogyan találjuk meg a három tényező szorzatának deriváltját?

4. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Először is nézzük meg, hogy lehet-e három függvény szorzatát két függvény szorzatává alakítani? Például, ha két polinom van a szorzatban, akkor kinyithatjuk a zárójeleket. De a vizsgált példában az összes függvény különbözik: fok, kitevő és logaritmus.

Ilyen esetekben szükséges szekvenciálisan alkalmazza a termékdifferenciálási szabályt kétszer

A trükk az, hogy „y”-vel két függvény szorzatát jelöljük: , „ve”-vel pedig a logaritmust: . Miért lehet ezt megtenni? Ez valóban – ez nem két tényező szorzata és a szabály nem működik?! Nincs semmi bonyolult:

Most már másodszor kell alkalmazni a szabályt zárójelbe:

Meg is csavarodhat, és zárójelbe tesz valamit, de ebben az esetben jobb, ha pontosan ebben a formában hagyja a választ - könnyebb lesz ellenőrizni.

A vizsgált példa a második módon is megoldható:

Mindkét megoldás teljesen egyenértékű.

5. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa egy független megoldásra a mintában az első módszerrel van megoldva.

Nézzünk hasonló példákat a törtekkel.

6. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Többféleképpen is eljuthatsz ide:

Vagy így:

De a megoldást tömörebben írjuk le, ha először a hányados differenciálási szabályát alkalmazzuk , figyelembe véve a teljes számlálót:

Elvileg a példa meg van oldva, és ha így marad, akkor nem lesz hiba. De ha van időd, mindig célszerű megnézni egy piszkozatot, hátha egyszerűsíthető a válasz? A számláló kifejezését redukáljuk közös nevezőre és szabaduljunk meg a háromemeletes törttől:

A további egyszerűsítések hátránya, hogy nem a származék megtalálásakor, hanem a banális iskolaátalakítások során fennáll a hiba veszélye. Másrészt a tanárok gyakran elutasítják a feladatot, és azt kérik, hogy „hozzuk eszünkbe” a származékot.

Egy egyszerűbb példa önálló megoldásra:

7. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Továbbra is elsajátítjuk a derivált megtalálásának módszereit, és most egy tipikus esetet veszünk figyelembe, amikor egy „szörnyű” logaritmust javasolnak a differenciáláshoz

8. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Itt hosszú utat tehet meg az összetett függvények megkülönböztetésének szabályával:

De a legelső lépés azonnal csüggedtségbe sodor – törthatványból kell venni a kellemetlen származékot, majd törtből is.

Ezért előtt hogyan vegyük le egy „kifinomult” logaritmus deriváltját, először egyszerűsítjük a jól ismert iskolai tulajdonságok segítségével:

! Ha van kéznél egy gyakorlófüzet, másolja közvetlenül oda ezeket a képleteket. Ha nincs jegyzetfüzete, másolja ki őket egy papírra, mivel a lecke többi példája ezen képletek körül fog járni.

Magát a megoldást így írhatjuk le:

Alakítsuk át a függvényt:

A származék megkeresése:

Maga a függvény előzetes konvertálása nagyban leegyszerűsítette a megoldást. Így ha hasonló logaritmust javasolnak a differenciáláshoz, mindig tanácsos „lebontani”.

És most néhány egyszerű példa, amelyet önállóan megoldhat:

9. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

10. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Minden átalakítás és válasz a lecke végén található.

Logaritmikus derivált

Ha a logaritmusok származéka ilyen édes zene, akkor felmerül a kérdés: lehetséges-e bizonyos esetekben mesterségesen rendszerezni a logaritmust? Tud! És még szükséges is.

11. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Nemrég néztünk hasonló példákat. Mit kell tenni? Alkalmazhatja egymás után a hányados differenciálási szabályát, majd a szorzat differenciálási szabályát. Ennek a módszernek az a hátránya, hogy a végén egy hatalmas háromemeletes törtet kapunk, amivel egyáltalán nem akarunk foglalkozni.

De elméletben és gyakorlatban van egy olyan csodálatos dolog, mint a logaritmikus derivált. A logaritmusokat mesterségesen is meg lehet szervezni, ha mindkét oldalra „akasztjuk” őket:

Most a jobb oldal logaritmusát kell „szétszedni”, amennyire csak lehetséges (képletek a szemed előtt?). Ezt a folyamatot részletesen leírom:

Kezdjük a megkülönböztetéssel.
Mindkét részt a prime alatt zárjuk:

A jobb oldal származéka meglehetősen egyszerű, nem kommentálom, mert ha ezt a szöveget olvassa, akkor magabiztosan kell kezelnie.

Mi van a bal oldallal?

A bal oldalon van összetett funkció. Előre látom a kérdést: „Miért van egy „Y” betű a logaritmus alatt?

Az a tény, hogy ez az „egy betűs játék” - ÖNMAGA FUNKCIÓ(ha nem túl világos, nézze meg az implicit módon megadott függvény származéka című cikket). Ezért a logaritmus egy külső függvény, az „y” pedig egy belső függvény. És a szabályt egy összetett függvény megkülönböztetésére használjuk :

A bal oldalon, mintha varázsütésre, van egy származékunk. Ezután az arányszabály szerint átvisszük az „y”-t a bal oldali nevezőből a jobb oldal tetejére:

És most emlékezzünk, milyen „játékos” funkcióról beszéltünk a megkülönböztetés során? Nézzük a feltételt:

Végső válasz:

12. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. A lecke végén egy ilyen típusú minta minta látható.

A logaritmikus derivált segítségével meg lehetett oldani a 4-7. számú példák bármelyikét, más dolog, hogy az ottani függvények egyszerűbbek, és talán nem nagyon indokolt a logaritmikus derivált használata.

Hatvány-exponenciális függvény deriváltja

Ezt a funkciót még nem vettük figyelembe. A hatvány-exponenciális függvény olyan függvény, amelyre mind a fok, mind az alap az „x”-től függ. Egy klasszikus példa, amelyet bármelyik tankönyvben vagy előadásban megadunk:

Hogyan találjuk meg a hatvány-exponenciális függvény deriváltját?

Az imént tárgyalt technikát kell használni - a logaritmikus deriváltot. Mindkét oldalra logaritmusokat akasztunk:

Általában a jobb oldalon a fokszám kikerül a logaritmus alól:

Ennek eredményeként a jobb oldalon két függvény szorzata látható, amelyeket a szabványos képlet szerint különböztetünk meg. .

Ehhez megtaláljuk a származékot, mindkét részt vonjuk be:

A további műveletek egyszerűek:

Végül:

Ha bármely konverzió nem teljesen egyértelmű, kérjük, olvassa el újra figyelmesen a 11. példa magyarázatait.

A gyakorlati feladatokban a hatvány-exponenciális függvény mindig összetettebb lesz, mint a tárgyalt előadási példa.

13. példa

Keresse meg egy függvény deriváltját

A logaritmikus deriváltot használjuk.

A jobb oldalon van egy konstans és két tényező szorzata - „x” és „x logaritmus” (a logaritmus alá egy másik logaritmus van beágyazva). A differenciálásnál, mint emlékszünk, jobb, ha a konstanst azonnal kimozdítjuk a származékjelből, hogy ne álljon útban; és természetesen alkalmazzuk az ismert szabályt :

Mint látható, a logaritmikus derivált használatának algoritmusa nem tartalmaz semmilyen különleges trükköt vagy trükköt, és a hatvány-exponenciális függvény deriváltjának megtalálása általában nem jár „kínnal”.

És a tétel egy komplex függvény deriváltjáról, amelynek megfogalmazása a következő:

Legyen 1) az $u=\varphi (x)$ függvénynek valamikor $x_0$ a $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ deriváltja, 2) a $y=f(u)$ függvény legyen a megfelelő $u_0=\varphi (x_0)$ pontban a $y_(u)"=f"(u)$ derivált. Ekkor az említett pontban található $y=f\left(\varphi (x) \right)$ komplex függvénynek is lesz deriváltja, amely megegyezik a $f(u)$ és $\varphi () függvények deriváltjainak szorzatával x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

vagy rövidebb jelöléssel: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Az ebben a szakaszban szereplő példákban minden függvény alakja $y=f(x)$ (azaz csak egy $x$ változó függvényeit vesszük figyelembe). Ennek megfelelően minden példában a $y"$ derivált a $x$ változóra vonatkozik. Annak hangsúlyozására, hogy a derivált a $x$ változóra vonatkozik, gyakran $y"_x$ íródik $y helyett. "$.

Az 1., 2. és 3. példák részletesen ismertetik az összetett függvények deriváltjának megtalálásának folyamatát. A 4. példa a származéktáblázat teljesebb megértését szolgálja, és érdemes megismerkedni vele.

Célszerű az 1-3. számú példák anyagának tanulmányozása után áttérni az 5., 6. és 7. példák önálló megoldására. Az 5., 6. és 7. példák egy rövid megoldást tartalmaznak, hogy az olvasó ellenőrizhesse az eredmény helyességét.

1. számú példa

Keresse meg a $y=e^(\cos x)$ függvény deriváltját.

Meg kell találnunk egy $y"$ komplex függvény deriváltját. Mivel $y=e^(\cos x)$, akkor $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. keressük meg a $ \left(e^(\cos x)\right)"$ deriváltot a deriválttáblázat 6-os képletét használjuk. A 6-os képlet használatához figyelembe kell vennünk, hogy esetünkben $u=\cos x$. A további megoldás abból áll, hogy a 6. képletbe egyszerűen behelyettesítjük a $\cos x$ kifejezést a $u$ helyett:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Most meg kell találnunk a $(\cos x)"$ kifejezés értékét. Ismét áttérünk a származékok táblázatára, kiválasztva a 10-es képletet. Ha az $u=x$-t behelyettesítjük a 10-es képletbe, azt kapjuk : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Most folytassuk az (1.1) egyenlőséget, kiegészítve a talált eredménnyel:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Mivel $x"=1$, folytatjuk az egyenlőséget (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Tehát az (1.3) egyenlőségből a következőt kapjuk: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Természetesen a magyarázatokat és a köztes egyenlőségeket általában kihagyjuk, a derivált megállapítását egy sorba írva, mint az ( 1.3) egyenlőségben, tehát a komplex függvény deriváltja megvan, már csak a választ kell felírni.

Válasz: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

2. példa

Keresse meg a $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ függvény deriváltját.

Ki kell számítanunk a $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ deriváltot. Először is megjegyezzük, hogy a konstans (azaz a 9-es szám) kivehető a származékjelből:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \jobbra)" \tag (2.1) $$

Most térjünk rá a $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ kifejezésre. Hogy könnyebb legyen kiválasztani a kívánt képletet a származékok táblázatából, bemutatom a kifejezést ebben a formában: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Most már világos, hogy szükség van a 2. számú képlet használatára, azaz. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Helyettesítsük be a $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ és $\alpha=12$ karakterláncot ebbe a képletbe:

A (2.1) egyenlőséget a kapott eredménnyel kiegészítve a következőt kapjuk:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Ebben a helyzetben gyakran elkövetik a hibát, amikor a megoldó az első lépésben a $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ képletet választja a képlet helyett $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. A lényeg az, hogy a külső függvény deriváltja legyen az első. Annak megértéséhez, hogy melyik függvény lesz a $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ kifejezésen kívül, képzelje el, hogy a $\arctg^(12)(4\cdot 5^) kifejezés értékét számítja ki. x)$ valamilyen $x$ értéknél. Először kiszámolja az $5^x$ értékét, majd az eredményt megszorozza 4-gyel, így megkapja $4\cdot 5^x$. Most ebből az eredményből vesszük az arctangenst, és megkapjuk a $\arctg(4\cdot 5^x)$ értéket. Ezután a kapott számot a tizenkettedik hatványra emeljük, így $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ lesz. Az utolsó akció, i.e. a 12-es hatványra emelés külső függvény lesz. És ebből kell elkezdenünk a derivált megtalálását, ami a (2.2) egyenlőségben megtörtént.

Most meg kell találnunk a $(\arctg(4\cdot \ln x))"$-t. A derivált táblázat 19. számú képletét használjuk, és behelyettesítjük a $u=4\cdot \ln x$ értékkel:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Egy kicsit egyszerűsítsük a kapott kifejezést, figyelembe véve a $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Az egyenlőség (2.2) a következőképpen alakul:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Marad a $(4\cdot \ln x)"$. Vegyük ki a konstanst (azaz 4) a derivált jelből: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $ A $(\ln x)"$ kereséséhez a 8-as képletet használjuk, amelybe behelyettesítjük az $u=x$-t: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x. "$. Mivel $x"=1$, akkor $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ A kapott eredményt a (2.3) képletbe behelyettesítve kapjuk:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).

Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy komplex függvény deriváltja leggyakrabban egy sorban található, ahogy az az utolsó egyenlőségben van írva. Ezért a standard számítások vagy az ellenőrzési munkák elkészítésekor egyáltalán nem szükséges ilyen részletesen ismertetni a megoldást.

Válasz: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

3. példa

Keresse meg a $y"$ $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ függvényt.

Először kicsit alakítsuk át a $y$ függvényt, a gyököt (gyököt) hatványként kifejezve: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \jobbra)^(\frac(3)(7))$. Most kezdjük el megkeresni a származékot. Mivel $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, akkor:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Használjuk a származékok táblázatának 2. képletét, behelyettesítve a $u=\sin(5\cdot 9^x)$ és $\alpha=\frac(3)(7)$ karakterekkel:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Folytassuk a (3.1) egyenlőséget a kapott eredmény felhasználásával:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Most meg kell találnunk a $(\sin(5\cdot 9^x))"$-t. Ehhez a származéktáblázat 9-es képletét használjuk, és behelyettesítjük a $u=5\cdot 9^x$ értékkel:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

A kapott eredménnyel kiegészítve a (3.2) egyenlőséget, a következőt kapjuk:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Marad a következőt megkeresni: $(5\cdot 9^x)"$. Először is vegyük a konstanst (a $5$ számot) a derivált jelen kívülre, azaz $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. A $(9^x)"$ derivált megtalálásához alkalmazza a derivált táblázat 5. képletét, és cserélje be az $a=9$ és $u=x$ karakterláncot: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Mivel $x"=1$, akkor $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Most folytathatjuk a (3.3) egyenlőséget:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

A hatványokról ismét visszatérhetünk a gyökökhöz (azaz a gyökökhöz), a $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ alakban $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Ezután a származékot a következő formában írjuk le:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).

Válasz: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

4. számú példa

Mutassuk meg, hogy a származékok táblázatának 3. és 4. képlete a táblázat 2. képletének speciális esete.

A derivált táblázat 2. számú képlete tartalmazza az $u^\alpha$ függvény deriváltját. Ha a 2. képletbe behelyettesítjük a $\alpha=-1$-t, a következőt kapjuk:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Mivel $u^(-1)=\frac(1)(u)$ és $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, ezért a (4.1) egyenlőség a következőképpen írható át: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ez a származékok táblázatának 3. számú képlete.

Térjünk vissza a derivált táblázat 2. képletére. Helyettesítsük be a $\alpha=\frac(1)(2)$ karakterláncot:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Mivel $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ és $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, akkor a (4.2) egyenlőség a következőképpen írható át:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

A kapott $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ egyenlőség a derivált táblázat 4. számú képlete. Mint látható, a derivált táblázat 3. és 4. képlete a 2. képletből származik a megfelelő $\alpha$ érték helyettesítésével.

Első szint

Függvény származéka. The Ultimate Guide (2019)

Képzeljünk el egy dombos területen áthaladó egyenes utat. Vagyis fel-le jár, de nem fordul jobbra vagy balra. Ha a tengely vízszintesen az út mentén és függőlegesen van irányítva, akkor az útvonal nagyon hasonló lesz valamilyen folytonos függvény grafikonjához:

A tengely egy bizonyos nulla magassági szint az életben a tengerszintet használjuk.

Amint egy ilyen úton haladunk előre, felfelé vagy lefelé is haladunk. Azt is mondhatjuk: ha az argumentum megváltozik (mozgás az abszcissza tengely mentén), akkor a függvény értéke megváltozik (mozgás az ordináta tengelye mentén). Most pedig gondoljuk át, hogyan határozzuk meg utunk „meredekségét”? Milyen érték lehet ez? Nagyon egyszerű: mennyit fog változni a magasság, ha előre halad egy bizonyos távolságot. Valóban, az út különböző szakaszain egy kilométert előre haladva (az x tengely mentén) a tengerszinthez képest (az y tengely mentén) eltérő számú métert emelkedünk vagy süllyedünk.

Jelöljük az előrehaladást (értsd: „delta x”).

A görög betűt (delta) általában előtagként használják a matematikában, ami "változást" jelent. Vagyis - ez mennyiségi változás, - változás; akkor mi az? Így van, nagyságrendi változás.

Fontos: egy kifejezés egyetlen egész, egyetlen változó. Soha ne válassza el a „deltát” az „x”-től vagy bármely más betűtől! Vagyis például .

Tehát előre, vízszintesen haladtunk előre. Ha összehasonlítjuk az út vonalát a függvény grafikonjával, akkor hogyan jelöljük az emelkedést? Természetesen,. Vagyis ahogy haladunk előre, úgy emelkedünk feljebb.

Az érték könnyen kiszámítható: ha az elején egy magasságban voltunk, majd mozgás után egy magasságban találtuk magunkat, akkor. Ha a végpont alacsonyabb, mint a kezdőpont, akkor negatív lesz - ez azt jelenti, hogy nem emelkedünk, hanem csökkenünk.

Térjünk vissza a "meredekséghez": ez egy olyan érték, amely megmutatja, hogy egy egységnyi távolsággal előre haladva mennyivel (meredeken) nő a magasság:

Tételezzük fel, hogy az út egyes szakaszán egy kilométerrel előrehaladva az út egy kilométert emelkedik. Ekkor a lejtés ezen a helyen egyenlő. És ha az út m-rel előrehaladva km-rel csökken? Ekkor a lejtés egyenlő.

Most nézzük meg egy domb tetejét. Ha fél kilométerrel a csúcs előtt veszed a szakasz elejét, és fél kilométerrel utána a végét, akkor láthatod, hogy a magasság szinte megegyezik.

Vagyis a mi logikánk szerint kiderül, hogy itt a meredekség majdnem egyenlő a nullával, ami nyilvánvalóan nem igaz. Egy kilométeren túl sok minden változhat. A meredekség megfelelőbb és pontosabb értékeléséhez kisebb területeket is figyelembe kell venni. Például, ha megméri a magasságváltozást, amikor egy métert mozog, az eredmény sokkal pontosabb lesz. De lehet, hogy még ez a pontosság sem lesz elég számunkra – elvégre ha van egy oszlop az út közepén, egyszerűen elhaladhatunk mellette. Milyen távolságot válasszunk akkor? Centiméter? Milliméter? A kevesebb jobb!

A való életben a távolságok milliméteres pontossággal történő mérése több mint elég. De a matematikusok mindig a tökéletességre törekednek. Ezért találták ki a koncepciót elenyésző, azaz az abszolút érték kisebb, mint bármely szám, amelyet meg tudunk nevezni. Például azt mondod: egy trilliomod! Mennyivel kevesebb? És ezt a számot elosztod - és még kevesebb lesz. Stb. Ha azt akarjuk írni, hogy egy mennyiség végtelenül kicsi, akkor a következőképpen írjuk: (azt olvassuk, hogy „x nullára hajlamos”). Nagyon fontos megérteni hogy ez a szám nem nulla! De nagyon közel hozzá. Ez azt jelenti, hogy osztani lehet vele.

A végtelenül kicsivel ellentétes fogalom végtelenül nagy (). Valószínűleg már találkozott vele, amikor az egyenlőtlenségeken dolgozott: ez a szám modulo nagyobb, mint bármelyik szám, amit csak gondolhat. Ha a lehető legnagyobb számot találja ki, csak szorozza meg kettővel, és még nagyobb számot kap. És a végtelen még annál is nagyobb, mint ami történik. Valójában a végtelenül nagy és a végtelenül kicsi egymás fordítottja, vagyis at, és fordítva: at.

Most pedig térjünk vissza az utunkra. Az ideálisan számított meredekség az út végtelen kis szegmensére számított meredekség, azaz:

Megjegyzem, hogy végtelenül kicsi elmozdulás esetén a magasságváltozás is végtelenül kicsi lesz. De hadd emlékeztesselek arra, hogy a végtelenül kicsi nem azt jelenti, hogy egyenlő a nullával. Ha végtelenül kicsi számokat osztunk el egymással, akkor egy teljesen közönséges számot kaphatunk, például . Vagyis egy kis érték pontosan többszöröse lehet egy másiknak.

Minek ez az egész? Az út, a meredekség... Nem autóversenyre megyünk, hanem matematikát tanítunk. A matematikában pedig minden pontosan ugyanaz, csak másként hívják.

A származék fogalma

A függvény deriváltja a függvény növekményének és az argumentum növekményének aránya az argumentum végtelen kicsiny növekedéséhez.

Fokozatosan a matematikában változásnak nevezik. Meghívjuk, hogy az argumentum () mennyiben változik a tengely mentén mozogva argumentumnövekményés azt jelöljük, hogy a függvény (magasság) mennyit változott a tengely mentén egy távolsággal előre haladva funkciónövekedésés ki van jelölve.

Tehát egy függvény deriváltja a mikorhoz viszonyított arány. A deriváltot ugyanazzal a betűvel jelöljük, mint a függvényt, csak a jobb felső sarokban lévő prímszámmal: vagy egyszerűen. Tehát írjuk fel a derivált képletet a következő jelölésekkel:

Az út analógiájához hasonlóan itt is, amikor a függvény növekszik, a derivált pozitív, ha csökken, akkor negatív.

Egyenlő lehet-e a derivált nullával? Biztosan. Például, ha sík vízszintes úton haladunk, a meredekség nulla. És igaz, a magasság egyáltalán nem változik. Így van ez a deriválttal is: egy konstans függvény deriváltja (konstans) egyenlő nullával:

mivel egy ilyen függvény növekménye nullával egyenlő bármely.

Emlékezzünk a dombtető példájára. Kiderült, hogy a szegmens végeit a csúcs ellentétes oldalain lehet elhelyezni oly módon, hogy a végek magassága azonos legyen, vagyis a szegmens párhuzamos a tengellyel:

De a nagy szegmensek a pontatlan mérés jelei. A szakaszunkat önmagával párhuzamosan emeljük fel, majd a hossza csökken.

Végül, amikor végtelenül közel vagyunk a csúcshoz, a szakasz hossza végtelenül kicsi lesz. De ugyanakkor párhuzamos maradt a tengellyel, vagyis a magasságkülönbség a végein nullával egyenlő (nem hajlamos, de egyenlő). Tehát a származék

Ez így is felfogható: amikor a legtetején állunk, egy kis balra vagy jobbra eltolódás elhanyagolhatóan megváltoztatja a magasságunkat.

Van egy tisztán algebrai magyarázat is: a csúcstól balra nő a függvény, jobbra pedig csökken. Ahogy korábban megtudtuk, ha egy függvény növekszik, a derivált pozitív, ha csökken, akkor negatív. De simán, ugrások nélkül változik (mivel az út sehol sem változtat élesen a lejtését). Ezért a negatív és a pozitív értékek között kell lennie. Ott lesz, ahol a függvény nem növekszik és nem is csökken - a csúcspontban.

Ugyanez igaz a vályúra (az a terület, ahol a bal oldali funkció csökken, a jobb oldalon pedig nő):

Egy kicsit bővebben az emelésekről.

Tehát az argumentumot nagyságrendre változtatjuk. Milyen értékről változunk? Mi lett ebből (az érvelésből)? Bármely pontot választhatunk, és most ebből fogunk táncolni.

Tekintsünk egy pontot koordinátával. A benne lévő függvény értéke egyenlő. Ezután ugyanazt a lépést tesszük: növeljük a koordinátát. Most mi az érv? Nagyon könnyű: . Mi most a függvény értéke? Ahová az argumentum megy, ott a függvény is: . Mi a helyzet a függvény növekményével? Semmi új: még mindig ennyivel változott a függvény:

Gyakorold a lépések keresését:

1. Keresse meg a függvény növekményét abban a pontban, amikor az argumentum növekménye egyenlő.
2. Ugyanez vonatkozik a függvényre egy ponton.

Megoldások:

Különböző pontokon ugyanazon argumentumnövekmény mellett a függvény növekménye eltérő lesz. Ez azt jelenti, hogy minden pontban más a derivált (ezt már a legelején megbeszéltük - az út meredeksége különböző pontokon). Ezért, amikor deriváltot írunk, meg kell jelölnünk, hogy melyik ponton:

Teljesítmény funkció.

A hatványfüggvény egy olyan függvény, ahol az argumentum bizonyos fokig (logikai, igaz?).

Sőt – bármilyen mértékben: .

A legegyszerűbb eset, ha a kitevő:

Keressük a származékát egy pontban. Emlékezzünk vissza a származékos definícióra:

Tehát az érv ról -ra változik. Mennyi a függvény növekménye?

A növekedés ez. De egy függvény bármely ponton egyenlő az argumentumával. Ezért:

A derivált egyenlő:

A származéka egyenlő:

b) Tekintsük most a másodfokú függvényt (): .

Most emlékezzünk erre. Ez azt jelenti, hogy a növekmény értéke elhanyagolható, mivel végtelenül kicsi, ezért a másik taghoz képest jelentéktelen:

Tehát kitaláltunk egy másik szabályt:

c) Folytatjuk a logikai sorozatot: .

Ez a kifejezés többféleképpen egyszerűsíthető: nyissa meg az első zárójelet az összeg kockájának rövidített szorzatának képletével, vagy faktorizálja a teljes kifejezést a kockák különbségi képletével. Próbálja meg saját kezűleg megtenni a javasolt módszerek bármelyikével.

Szóval a következőket kaptam:

És még egyszer emlékezzünk erre. Ez azt jelenti, hogy figyelmen kívül hagyhatunk minden olyan kifejezést, amely tartalmazza:

Kapunk: .

d) Hasonló szabályok érhetők el nagy teljesítményekre:

e) Kiderül, hogy ez a szabály általánosítható egy tetszőleges kitevővel, még csak nem is egész számmal:

(2)

A szabály a következő szavakkal fogalmazható meg: „a fokozatot együtthatóként előrehozzuk, majd csökkentjük .

Ezt a szabályt később (majdnem a legvégén) be fogjuk bizonyítani. Most nézzünk néhány példát. Keresse meg a függvények deriváltját:

1. (két módon: képlettel és a derivált definíciójával - a függvény növekményének kiszámításával);

1. . Akár hiszi, akár nem, ez egy erőfüggvény. Ha olyan kérdései vannak, mint „Hogy van ez? Hol a diploma?”, ne feledje a „” témát!
   Igen, igen, a gyök is fok, csak töredéke: .
   Ez azt jelenti, hogy a négyzetgyökünk csak egy hatvány kitevővel:
   .
   A származékot a nemrég tanult képlettel keressük:

   Ha ezen a ponton ismét homályossá válik, ismételje meg a „” témát!!! (körülbelül egy fok negatív kitevővel)

2. . Most a kitevő:

   És most a definíción keresztül (elfelejtetted már?):
   ;
   .
   Most, mint általában, figyelmen kívül hagyjuk a következő kifejezést:
   .

3. . Korábbi esetek kombinációja: .

Trigonometrikus függvények.

Itt egy tényt fogunk használni a magasabb matematikából:

Kifejezéssel.

A bizonyítást az intézet első évében tanulja meg (és ahhoz, hogy odáig eljusson, jól le kell tennie az egységes államvizsgát). Most csak grafikusan mutatom be:

Látjuk, hogy amikor a függvény nem létezik, a grafikonon a pont ki van vágva. De minél közelebb van az értékhez, annál közelebb van a funkció ehhez a „célhoz”.

Ezenkívül ezt a szabályt egy számológép segítségével is ellenőrizheti. Igen, igen, ne szégyellje magát, vegyen egy számológépet, még nem tartunk az egységes államvizsgán.

Szóval, próbáljuk meg: ;

Ne felejtse el a számológépet radián módba kapcsolni!

stb. Látjuk, hogy minél kisebb, annál közelebb áll az arány értéke.

a) Tekintsük a függvényt. Szokás szerint keressük meg a növekményét:

A szinuszok különbségét alakítsuk szorzattá. Ehhez a következő képletet használjuk (emlékezzünk a „” témára): .

Most a származék:

Cseréljük ki: . Ekkor infinitezimálisra ez is végtelenül kicsi: . A kifejezés a következő formában jelenik meg:

És most emlékezünk erre a kifejezéssel. És azt is, mi van akkor, ha egy végtelenül kicsi mennyiség elhanyagolható az összegben (azaz at).

Tehát a következő szabályt kapjuk: a szinusz deriváltja egyenlő a koszinusszal:

Ezek alapvető („táblázatos”) származékok. Itt vannak egy listában:

Később még néhányat hozzáadunk hozzájuk, de ezek a legfontosabbak, mivel ezeket használják a leggyakrabban.

Gyakorlat:

1. Keresse meg a függvény deriváltját egy pontban;
2. Keresse meg a függvény deriváltját!

Megoldások:

1. Először keressük meg a származékot általános formában, majd cseréljük be az értékét:
   ;
   .
2. Itt van valami hasonló a hatványfüggvényhez. Próbáljuk meg elhozni őt
   normál nézet:
   .
   Remek, most már használhatja a képletet:
   .
   .
3. . Eeeeeee... Mi ez????

Oké, igazad van, még nem tudjuk, hogyan találjunk ilyen származékokat. Itt többféle funkció kombinációját láthatjuk. A velük való együttműködéshez meg kell tanulnia néhány további szabályt:

Kitevő és természetes logaritmus.

A matematikában van egy függvény, amelynek bármely érték deriváltja egyidejűleg megegyezik magának a függvénynek az értékével. Kitevőnek hívják, és egy exponenciális függvény

Ennek a függvénynek az alapja - egy konstans - egy végtelen tizedes tört, vagyis egy irracionális szám (pl. Ezt „Euler-számnak” hívják, ezért betűvel jelölik.

Tehát a szabály:

Nagyon könnyű megjegyezni.

Nos, ne menjünk messzire, azonnal vegyük figyelembe az inverz függvényt. Melyik függvény az exponenciális függvény inverze? Logaritmus:

Esetünkben az alap a szám:

Egy ilyen logaritmust (vagyis egy bázissal rendelkező logaritmust) „természetesnek” nevezünk, és erre egy speciális jelölést használunk: írunk helyette.

Mivel egyenlő? Természetesen, .

A természetes logaritmus deriváltja is nagyon egyszerű:

Példák:

1. Keresse meg a függvény deriváltját!
2. Mi a függvény deriváltja?

Válaszok: Az exponenciális és a naturális logaritmus derivált szempontból egyedülállóan egyszerű függvények. Az exponenciális és logaritmikus függvények bármely más bázissal eltérő deriválttal rendelkeznek, amit később, a differenciálás szabályainak áttekintése után elemezünk.

A megkülönböztetés szabályai

Mi szabályai? Megint egy új kifejezés, megint?!...

Különbségtétel a származék megtalálásának folyamata.

Ez minden. Mi másnak nevezhetjük ezt a folyamatot egy szóval? Nem derivált... A matematikusok a differenciált a függvény azonos növekményének nevezik. Ez a kifejezés a latin differentia - differencia szóból származik. Itt.

Mindezen szabályok származtatása során két függvényt fogunk használni, például, és. Szükségünk lesz képletekre is a növekedésükhöz:

Összesen 5 szabály van.

Az állandót kivesszük a derivált előjelből.

Ha - valamilyen állandó szám (konstans), akkor.

Nyilvánvalóan a különbségre is érvényes ez a szabály: .

Bizonyítsuk be. Legyen, vagy egyszerűbben.

Példák.

Keresse meg a függvények származékait:

1. egy ponton;
2. egy ponton;
3. egy ponton;
4. azon a ponton.

Megoldások:

1. (a derivált minden pontban ugyanaz, mivel lineáris függvény, emlékszel?);

A termék származéka

Itt minden hasonló: vezessünk be egy új függvényt, és keressük meg a növekményét:

Derivált:

Példák:

1. Keresse meg az és függvények deriváltjait;
2. Keresse meg a függvény deriváltját egy pontban.

Megoldások:

Exponenciális függvény deriváltja

Most már elegendő tudása ahhoz, hogy megtanulja, hogyan kell megtalálni bármely exponenciális függvény deriváltját, és nem csak a kitevőket (elfelejtette már, mi az?).

Szóval, hol van néhány szám.

A függvény deriváltját már ismerjük, ezért próbáljuk meg a függvényünket egy új bázisra redukálni:

Ehhez egy egyszerű szabályt fogunk használni: . Akkor:

Nos, sikerült. Most próbálja meg megtalálni a származékot, és ne felejtse el, hogy ez a függvény összetett.

Megtörtént?

Itt ellenőrizd magad:

A képlet nagyon hasonlított egy kitevő deriváltjához: úgy ahogy volt, ugyanaz marad, csak egy tényező jelent meg, ami csak egy szám, de nem változó.

Példák:
Keresse meg a függvények származékait:

Válaszok:

Ez csak egy szám, amit számológép nélkül nem lehet kiszámolni, vagyis nem lehet egyszerűbb formában leírni. Ezért ebben a formában hagyjuk a válaszban.

Logaritmikus függvény deriváltja

Itt is hasonló a helyzet: már ismeri a természetes logaritmus deriváltját:

Ezért egy tetszőleges logaritmus más bázisú kereséséhez, például:

Ezt a logaritmust az alapra kell redukálnunk. Hogyan lehet megváltoztatni a logaritmus alapját? Remélem emlékszel erre a képletre:

Csak most írjuk helyette:

A nevező egyszerűen egy állandó (állandó szám, változó nélkül). A származékot nagyon egyszerűen kapjuk meg:

Az exponenciális és logaritmikus függvények származékai szinte soha nem találhatók meg az Egységes Államvizsgában, de ezek ismerete nem lesz felesleges.

Komplex függvény származéka.

Mi az a "komplex függvény"? Nem, ez nem logaritmus és nem arctangens. Ezeket a függvényeket nehéz lehet megérteni (bár ha nehéznek találja a logaritmust, olvassa el a „Logaritmusok” témakört, és minden rendben lesz), de matematikai szempontból a „komplex” szó nem azt jelenti, hogy „nehéz”.

Képzeljen el egy kis futószalagot: két ember ül, és valamilyen tárggyal valamilyen műveletet végez. Például az első egy csokoládét csomagol egy csomagolóanyagba, a második pedig egy szalaggal köti össze. Az eredmény egy összetett tárgy: egy szalaggal becsomagolt és átkötött csokoládé. Egy csokoládé szelet elfogyasztásához fordított sorrendben kell végrehajtania a fordított lépéseket.

Készítsünk egy hasonló matematikai csővezetéket: először megkeressük egy szám koszinuszát, majd négyzetre emeljük a kapott számot. Tehát kapunk egy számot (csokoládé), megkeresem a koszinuszát (csomagolóanyag), majd négyzetre teszed, amit kaptam (szalaggal megkötöd). Mi történt? Funkció. Ez egy példa egy összetett függvényre: amikor az érték meghatározásához az első műveletet közvetlenül a változóval hajtjuk végre, majd egy második műveletet az elsőből eredővel.

Könnyen megtehetjük ugyanezeket a lépéseket fordított sorrendben: először négyzetre tesszük, majd megkeresem a kapott szám koszinuszát: . Könnyű kitalálni, hogy az eredmény szinte mindig más lesz. Az összetett függvények fontos jellemzője: ha megváltozik a műveletek sorrendje, akkor a funkció megváltozik.

Más szavakkal, a komplex függvény olyan függvény, amelynek argumentuma egy másik függvény: .

Az első példában .

Második példa: (ugyanaz). .

A művelet, amit utoljára hajtunk végre, elnevezésre kerül "külső" funkció, és az elsőként végrehajtott művelet - ennek megfelelően "belső" funkció(ezek informális elnevezések, csak az anyag egyszerű nyelvezetű magyarázatára használom).

Próbáld meg eldönteni, hogy melyik funkció külső és melyik belső:

Válaszok: A belső és külső függvények szétválasztása nagyon hasonló a változók megváltoztatásához: például egy függvényben

1. Milyen műveletet hajtunk végre először? Először számoljuk ki a szinust, és csak azután kockázzuk fel. Ez azt jelenti, hogy ez egy belső funkció, de külső.
   Az eredeti funkció pedig az összetételük: .
2. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
3. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
4. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
5. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .

Változókat változtatunk és függvényt kapunk.

Nos, most kibontjuk a csokoládét, és megkeressük a származékát. Az eljárás mindig fordított: először megkeressük a külső függvény deriváltját, majd az eredményt megszorozzuk a belső függvény deriváltjával. Az eredeti példához képest így néz ki:

Egy másik példa:

Tehát végül fogalmazzuk meg a hivatalos szabályt:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

Egyszerűnek tűnik, igaz?

Vizsgáljuk meg példákkal:

Megoldások:

1) Belső: ;

Külső: ;

2) Belső: ;

(Csak most ne próbáld megvágni! Semmi sem jön ki a koszinusz alól, emlékszel?)

3) Belső: ;

Külső: ;

Azonnal világos, hogy ez egy háromszintű komplex függvény: elvégre ez már önmagában is egy komplex függvény, és kivonjuk belőle a gyökeret is, vagyis végrehajtjuk a harmadik műveletet (egybe rakjuk a csokoládét). csomagolóanyaggal és szalaggal az aktatáskában). De nincs okunk félni: ezt a funkciót továbbra is a megszokott sorrendben „pakoljuk ki”: a végétől.

Vagyis először megkülönböztetjük a gyökér, majd a koszinusz, és csak azután a zárójelben lévő kifejezést. És akkor az egészet megszorozzuk.

Ilyen esetekben célszerű a műveleteket számozni. Vagyis képzeljük el, mit tudunk. Milyen sorrendben hajtjuk végre a műveleteket a kifejezés értékének kiszámításához? Nézzünk egy példát:

Minél később hajtják végre a műveletet, annál „külsőbb” lesz a megfelelő funkció. A műveletek sorrendje ugyanaz, mint korábban:

Itt a fészekrakás általában 4 szintű. Határozzuk meg a cselekvés menetét.

1. Radikális kifejezés. .

2. Gyökér. .

3. Szinusz. .

4. Négyzet. .

5. Az egészet összerakva:

DERIVÁLT. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Függvény származéka- a függvény növekményének és az argumentum növekményének aránya az argumentum végtelenül kicsiny növekedéséhez:

Alapvető származékok:

A megkülönböztetés szabályai:

Az állandót kivesszük a derivált előjelből:

Az összeg származéka:

A termék származéka:

A hányados származéka:

Egy összetett függvény származéka:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

1. Meghatározzuk a „belső” függvényt, és megkeressük a származékát.
2. Meghatározzuk a „külső” függvényt, és megkeressük a származékát.
3. Az első és a második pont eredményét megszorozzuk.