A racionális számokkal végzett műveletek alapvető tulajdonságai (módszertani fejlesztés). aritmetikai műveletek racionális számokkal
Rajz. Aritmetikai műveletek racionális számokkal.
Szöveg:
A racionális számokkal végzett műveletek szabályai:
. azonos előjelű számok összeadásakor össze kell adni a moduljaikat, és a közös jelüket az összeg elé kell tenni;
. két különböző előjelű szám összeadásakor egy nagyobb modulusú számból vonjuk ki a kisebb modulusú számot, és a kapott különbség elé tegyük a nagyobb modulusú szám előjelét;
. Amikor kivonunk egy számot a másikból, a minuendhez hozzá kell adni a kivonandó számmal ellentétes számot: a - b = a + (-b)
. két azonos előjelű szám szorzásakor azok moduljait megszorozzuk, és a kapott szorzat elé pluszjelet helyezünk;
. két különböző előjelű szám szorzásakor azok moduljait megszorozzuk, és a kapott szorzat elé mínuszjelet helyezünk;
. azonos előjelű számok osztásakor az osztó modulját elosztjuk az osztó moduljával, és a kapott hányados elé pluszjelet teszünk;
. különböző előjelű számok osztásakor az osztó modulját elosztjuk az osztó moduljával, és a kapott hányados elé mínusz jelet helyezünk;
. Ha a nullát olyan számmal osztjuk és szorozzuk, amely nem egyenlő nullával, az eredmény nulla:
. Nem lehet nullával osztani.
Ez a cikk áttekintést nyújt racionális számokkal végzett műveletek tulajdonságai. Először bejelentik azokat az alapvető tulajdonságokat, amelyeken az összes többi tulajdonság alapul. Ezt követően a racionális számokkal végzett műveletek néhány egyéb gyakran használt tulajdonságát adjuk meg.
Oldalnavigáció.
Soroljuk fel a racionális számokkal végzett műveletek alapvető tulajdonságai(a, b és c tetszőleges racionális számok):
- Az a+b=b+a összeadás kommutatív tulajdonsága.
- Összeadás (a+b)+c=a+(b+c) kombinációs tulajdonsága.
- Semleges elem léte összeadással - nulla, amelynek tetszőleges számmal való összeadása nem változtat ezen a számon, vagyis a+0=a.
- Minden a racionális számhoz van egy ellentétes −a szám, amelyre a+(−a)=0.
- Racionális számok szorzásának kommutatív tulajdonsága a·b=b·a.
- A szorzás kombinatív tulajdonsága (a·b)·c=a·(b·c) .
- A semleges szorzási elem létezése olyan egység, szorzás, amellyel bármely szám nem változtatja meg ezt a számot, azaz a·1=a.
- Minden a nullától eltérő racionális számhoz van egy a −1 inverz szám, amelyre a·a −1 =1 .
- Végül a racionális számok összeadása és szorzása az összeadáshoz viszonyított szorzás eloszlási tulajdonságával függ össze: a·(b+c)=a·b+a·c.
A racionális számokkal végzett műveletek felsorolt tulajdonságai alapvetőek, hiszen az összes többi tulajdonság levonható belőlük.
Egyéb fontos tulajdonságok
A racionális számokkal végzett műveletek kilenc felsorolt alapvető tulajdonsága mellett számos igen széles körben használt tulajdonság létezik. Adjunk nekik egy rövid áttekintést.
Kezdjük a tulajdonsággal, amelyet as betűkkel írunk a·(−b)=−(a·b) vagy az as szorzás kommutatív tulajdonsága folytán (−a) b=−(a b). Ebből a tulajdonságból közvetlenül következik a racionális számok különböző előjelekkel való szorzásának szabálya, ennek bizonyítását ebben a cikkben is megadjuk. Ez a tulajdonság megmagyarázza azt a szabályt, hogy „plusz szorozva mínusz mínusz, mínusz plusz szorozva mínusz”.
Itt a következő tulajdonság: (−a)·(−b)=a·b. Ez magában foglalja a negatív racionális számok szorzásának szabályát, ebben a cikkben a fenti egyenlőség bizonyítékát is találja. Ez a tulajdonság megfelel a „mínuszszor mínusz plusz” szorzási szabálynak.
Kétségtelenül érdemes egy tetszőleges a racionális szám nullával való szorzására összpontosítani: a·0=0 vagy 0 a=0. Bizonyítsuk be ezt a tulajdonságot. Tudjuk, hogy 0=d+(−d) bármely racionális d esetén, akkor a·0=a·(d+(−d)) . Az eloszlási tulajdonság lehetővé teszi a kapott kifejezés átírását a·d+a·(−d) formátumba, és mivel a·(−d)=−(a·d) , akkor a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Így két ellentétes szám összegéhez jutottunk, amelyek egyenlőek a·d és −(a·d) értékkel, ezek összege nullát ad, ami az a·0=0 egyenlőséget bizonyítja.
Könnyen észrevehető, hogy fent csak az összeadás és szorzás tulajdonságait soroltuk fel, míg a kivonás és osztás tulajdonságairól egy szó sem esett. Ez annak köszönhető, hogy a racionális számok halmazán a kivonás és az osztás műveletei az összeadás és a szorzás inverzeként vannak megadva. Vagyis az a−b különbség az a+(−b) összeg, az a:b hányados pedig az a·b−1 (b≠0) szorzat.
A kivonás és osztás ezen definícióit, valamint az összeadás és szorzás alapvető tulajdonságait figyelembe véve a műveletek tetszőleges tulajdonságait racionális számokkal igazolhatja.
Példaként bizonyítsuk be a szorzás eloszlási tulajdonságát a kivonáshoz képest: a·(b−c)=a·b−a·c. A következő egyenlőséglánc teljesül: a·(b-c)=a·(b+(-c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b–a·c, ami a bizonyíték.
A szerzői jog okosdiákok tulajdona
Minden jog fenntartva.
Szerzői jogi törvény védi. A www.webhely egyetlen része sem, beleértve a belső anyagokat és a megjelenést, semmilyen formában nem reprodukálható vagy felhasználható a szerzői jog tulajdonosának előzetes írásbeli engedélye nélkül.
Ez a lecke a racionális számok összeadását és kivonását tárgyalja. A téma összetettnek minősül. Itt fel kell használni a korábban megszerzett tudás teljes arzenálját.
Az egész számok összeadásának és kivonásának szabályai a racionális számokra is vonatkoznak. Emlékezzünk vissza, hogy a racionális számok olyan számok, amelyek törtként ábrázolhatók, ahol a – ez a tört számlálója, b a tört nevezője. ahol, b nem lehet nulla.
Ebben a leckében egyre gyakrabban hívjuk meg a törteket és a vegyes számokat egyetlen gyakori kifejezéssel - racionális számok.
Óra navigáció:1. példa Keresse meg a kifejezés jelentését:
Az egyes racionális számokat zárójelben tegyük a jeleivel együtt. Figyelembe vesszük, hogy a kifejezésben megadott plusz egy műveleti jel, és nem vonatkozik a törtre. Ennek a törtnek saját pluszjele van, amely nem látható, mivel nincs leírva. De az érthetőség kedvéért leírjuk:
Ez a különböző előjelű racionális számok összeadása. Különböző előjelű racionális számok összeadásához ki kell vonni a kisebb modult a nagyobb modulból, és a kapott válasz elé tegyük annak a racionális számnak az előjelét, amelynek modulja nagyobb. És annak megértéséhez, hogy melyik modulus nagyobb és melyik kisebb, össze kell tudnia hasonlítani ezen törtek modulusait, mielőtt kiszámítja őket:
A racionális szám modulusa nagyobb, mint a racionális szám modulusa. Ezért kivontuk a -ból. Választ kaptunk. Majd ezt a törtet 2-vel csökkentve megkaptuk a végső választ.
Néhány primitív művelet, mint például a számok zárójelbe helyezése és modulok hozzáadása, kihagyható. Ezt a példát röviden leírhatjuk:
2. példa Keresse meg a kifejezés jelentését:
Az egyes racionális számokat zárójelben tegyük a jeleivel együtt. Figyelembe vesszük, hogy a racionális számok közötti mínusz a művelet jele, és nem vonatkozik a törtre. Ennek a törtnek saját pluszjele van, amely nem látható, mivel nincs leírva. De az érthetőség kedvéért leírjuk:
Helyettesítsük a kivonást összeadásra. Emlékeztessünk, hogy ehhez hozzá kell adni a minuendhez a részfejjel ellentétes számot:
Negatív racionális számok összeadását kaptuk. Negatív racionális számok hozzáadásához hozzá kell adni a moduljaikat, és a kapott válasz elé mínuszt kell tenni:
Jegyzet. Nem szükséges minden racionális számot zárójelbe tenni. Ez a kényelem érdekében történik, hogy jól látható legyen a racionális számok előjele.
3. példa Keresse meg a kifejezés jelentését:
Ebben a kifejezésben a törtek különböző nevezőkkel rendelkeznek. A feladatunk megkönnyítése érdekében ezeket a törteket redukáljuk közös nevezőre. Ennek mikéntjével nem foglalkozunk részletesen. Ha nehézségeket tapasztal, feltétlenül ismételje meg a leckét.
Miután a törteket közös nevezőre redukáltuk, a kifejezés a következő formában jelenik meg:
Ez a különböző előjelű racionális számok összeadása. Kivonjuk a kisebb modult a nagyobb modulból, és a kapott válasz elé tesszük annak a racionális számnak az előjelét, amelynek modulja nagyobb:
Röviden írjuk le ennek a példának a megoldását:
4. példa Keresse meg egy kifejezés értékét
Számítsuk ki ezt a kifejezést a következőképpen: adjuk össze a racionális számokat, majd vonjuk ki a racionális számot a kapott eredményből. 
Első akció:
Második akció:
5. példa. Keresse meg a kifejezés jelentését:
Képzeljük el a −1 egész számot törtként, és alakítsuk át a vegyes számot nem megfelelő törtté:
Az egyes racionális számokat zárójelben tegyük a jeleivel együtt:
Különböző előjelű racionális számok összeadását kaptuk. Kivonjuk a kisebb modult a nagyobb modulból, és a kapott válasz elé tesszük annak a racionális számnak az előjelét, amelynek modulja nagyobb:
Választ kaptunk.
Van egy második megoldás is. Ez abból áll, hogy az egész részeket külön-külön összerakják.
Tehát térjünk vissza az eredeti kifejezéshez:
Tegyük zárójelbe az egyes számokat. Ehhez a vegyes szám ideiglenes:
Számítsuk ki az egész részeket:
(−1) + (+2) = 1
A fő kifejezésben a (-1) + (+2) helyett a kapott egységet írjuk:
Az eredményül kapott kifejezés: . Ehhez írja össze az egységet és a törtet:
Röviden írjuk le a megoldást:
6. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét
A vegyes számot alakítsuk át helytelen törtté. A többit változtatás nélkül írjuk át:
Az egyes racionális számokat zárójelben tegyük a jeleivel együtt:
Helyettesítsük a kivonást összeadásra:
Röviden írjuk le ennek a példának a megoldását:
7. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét
Képzeljük el a −5 egész számot törtként, és alakítsuk át a vegyes számot nem megfelelő törtté:
Hozzuk ezeket a törteket közös nevezőre. Miután közös nevezőre redukáltuk, a következő formát öltik:
Az egyes racionális számokat zárójelben tegyük a jeleivel együtt:
Helyettesítsük a kivonást összeadásra:
Negatív racionális számok összeadását kaptuk. Adjuk össze ezeknek a számoknak a moduljait, és tegyünk egy mínuszt a kapott válasz elé:
Így a kifejezés értéke .
Oldjuk meg ezt a példát a második módon. Térjünk vissza az eredeti kifejezéshez:
A vegyes számot írjuk kibővített formában. A többit írjuk át változtatás nélkül:
Minden racionális számot zárójelbe teszünk a jeleivel együtt:
Számítsuk ki az egész részeket:
A főkifejezésben a kapott szám beírása helyett −7
A kifejezés egy vegyes szám írásának kiterjesztett formája. Összeírjuk a −7 számot és a törtet, hogy megkapjuk a végső választ:
Írjuk le röviden ezt a megoldást:
8. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét
Minden racionális számot zárójelbe teszünk a jeleivel együtt:
Helyettesítsük a kivonást összeadásra:
Negatív racionális számok összeadását kaptuk. Adjuk össze ezeknek a számoknak a moduljait, és tegyünk egy mínuszt a kapott válasz elé:
Tehát a kifejezés értéke
Ezt a példát a második módon lehet megoldani. Ez az egész és a töredékrészek külön-külön történő összeadásából áll. Térjünk vissza az eredeti kifejezéshez:
Az egyes racionális számokat zárójelben tegyük a jeleivel együtt:
Helyettesítsük a kivonást összeadásra:
Negatív racionális számok összeadását kaptuk. Adjuk össze ezeknek a számoknak a moduljait, és tegyünk egy mínuszt a kapott válasz elé. De ezúttal összeadjuk az egész részeket (−1 és −2), mind a tört, mind a −2
Írjuk le röviden ezt a megoldást:
9. példa. Keressen kifejezési kifejezéseket 
Váltsuk át a vegyes számokat helytelen törtekké:
Egy racionális számot tegyünk zárójelbe az előjelével együtt. Nem kell racionális számot zárójelbe tenni, mivel az már zárójelben van:
Negatív racionális számok összeadását kaptuk. Adjuk össze ezeknek a számoknak a moduljait, és tegyünk egy mínuszt a kapott válasz elé:
Tehát a kifejezés értéke
Most próbáljuk meg megoldani ugyanazt a példát a második módon, mégpedig úgy, hogy egész és tört részeket adunk külön.
Ezúttal a rövid megoldás érdekében próbáljunk meg néhány lépést kihagyni, például vegyes számot írjunk kibővített formában, és a kivonást cseréljük összeadásra:
Kérjük, vegye figyelembe, hogy a tört részek közös nevezőre csökkentek.
10. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét 
Helyettesítsük a kivonást összeadásra:
Az eredményül kapott kifejezés nem tartalmaz negatív számokat, amelyek a hibák fő okai. És mivel nincsenek negatív számok, eltávolíthatjuk a pluszt a részjel előtt, és eltávolíthatjuk a zárójeleket is:
Az eredmény egy egyszerű kifejezés, amely könnyen kiszámítható. Számítsuk ki a számunkra megfelelő módon:
11. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét
Ez a különböző előjelű racionális számok összeadása. Vonjuk ki a kisebb modult a nagyobb modulból, és a kapott válasz elé tegyük annak a racionális számnak az előjelét, amelynek modulja nagyobb:
12. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét 
A kifejezés több racionális számból áll. Eszerint mindenekelőtt a zárójelben lévő lépéseket kell végrehajtania.
Először kiszámítjuk a kifejezést, majd összeadjuk a kapott eredményeket.
Első akció:
Második akció:
Harmadik akció:
Válasz: kifejezés értéke egyenlő
13. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét 
Váltsuk át a vegyes számokat helytelen törtekké:
Tegyük zárójelbe a racionális számot az előjelével együtt. A racionális számot nem kell zárójelbe tenni, mert az már zárójelben van:
Hozzuk ezeket a törteket közös nevezőre. Miután közös nevezőre redukáltuk, a következő formát öltik:
Helyettesítsük a kivonást összeadásra:
Különböző előjelű racionális számok összeadását kaptuk. Vonjuk ki a kisebb modult a nagyobb modulból, és a kapott válasz elé tegyük annak a racionális számnak az előjelét, amelynek modulja nagyobb:
Így a kifejezés jelentése egyenlő
Nézzük meg a tizedesjegyek összeadását és kivonását, amelyek szintén racionális számok, és lehetnek pozitívak vagy negatívak.
14. példa. Keresse meg a −3,2 + 4,3 kifejezés értékét!
Az egyes racionális számokat zárójelben tegyük a jeleivel együtt. Figyelembe vesszük, hogy a kifejezésben megadott plusz egy műveleti jel, és nem vonatkozik a tizedes törtre 4.3. Ennek a tizedes törtnek saját pluszjele van, amely nem látható, mivel nincs leírva. De az érthetőség kedvéért leírjuk:
(−3,2) + (+4,3)
Ez a különböző előjelű racionális számok összeadása. Különböző előjelű racionális számok összeadásához ki kell vonni a kisebb modult a nagyobb modulból, és a kapott válasz elé kell tenni azt a racionális számot, amelynek modulja nagyobb. És annak megértéséhez, hogy melyik modul nagyobb és melyik kisebb, össze kell tudnia hasonlítani ezeknek a tizedes törteknek a moduljait, mielőtt kiszámítja őket:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
A 4,3-as szám modulusa nagyobb, mint a −3,2-es szám modulusa, ezért 4,3-ból kivontuk a 3,2-t. Megkaptuk a választ 1.1. A válasz pozitív, mivel a választ meg kell előznie annak a racionális számnak, amelynek modulusa nagyobb. És a 4.3 szám modulusa nagyobb, mint a −3.2 szám modulusa
Így a −3,2 + (+4,3) kifejezés értéke 1,1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
15. példa. Keresse meg a 3,5 + (−8,3) kifejezés értékét
Ez a különböző előjelű racionális számok összeadása. Az előző példához hasonlóan a nagyobb modulból kivonjuk a kisebbet, és a válasz elé tesszük annak a racionális számnak a jelét, amelynek modulja nagyobb:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Így a 3,5 + (−8,3) kifejezés értéke −4,8
Ezt a példát röviden leírhatjuk:
3,5 + (−8,3) = −4,8
16. példa. Keresse meg a −7.2 + (−3.11) kifejezés értékét
Ez a negatív racionális számok összeadása. Negatív racionális számok hozzáadásához hozzá kell adni a moduljaikat, és a kapott válasz elé mínuszt kell tenni.
A modulokkal kihagyhatja a bejegyzést, hogy ne zavarja a kifejezést:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Így a −7,2 + (−3,11) kifejezés értéke −10,31
Ezt a példát röviden leírhatjuk:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
17. példa. Keresse meg a −0,48 + (−2,7) kifejezés értékét
Ez a negatív racionális számok összeadása. Adjuk hozzá a moduljaikat, és tegyünk egy mínuszt a kapott válasz elé. A modulokkal kihagyhatja a bejegyzést, hogy ne zavarja a kifejezést:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
18. példa. Keresse meg a −4,9 − 5,9 kifejezés értékét!
Az egyes racionális számokat zárójelben tegyük a jeleivel együtt. Figyelembe vesszük, hogy a mínusz, amely a −4,9 és 5,9 racionális számok között található, műveleti jel, és nem tartozik az 5,9 számhoz. Ennek a racionális számnak megvan a maga pluszjele, ami azért láthatatlan, mert nincs leírva. De az érthetőség kedvéért leírjuk:
(−4,9) − (+5,9)
Helyettesítsük a kivonást összeadásra:
(−4,9) + (−5,9)
Negatív racionális számok összeadását kaptuk. Adjuk hozzá a moduljaikat, és tegyünk egy mínuszt a kapott válasz elé:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Így a −4,9 − 5,9 kifejezés értéke −10,8
−4,9 − 5,9 = −10,8
19. példa. Keresse meg a 7 − 9.3 kifejezés értékét
Tegyük az egyes számokat zárójelbe a jeleivel együtt.
(+7) − (+9,3)
Helyettesítsük a kivonást összeadásra
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Így a 7 − 9,3 kifejezés értéke −2,3
Röviden írjuk le ennek a példának a megoldását:
7 − 9,3 = −2,3
20. példa. Keresse meg a −0,25 − (−1,2) kifejezés értékét
Helyettesítsük a kivonást összeadásra:
−0,25 + (+1,2)
Különböző előjelű racionális számok összeadását kaptuk. Vonjuk ki a kisebb modult a nagyobb modulból, és a válasz elé tegyük annak a számnak az előjelét, amelynek a modulja nagyobb:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Röviden írjuk le ennek a példának a megoldását:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
21. példa. Keresse meg a −3,5 + (4,1 − 7,1) kifejezés értékét
Végezzük el a zárójelben lévő műveleteket, majd a kapott választ adjuk hozzá a −3.5 számmal
Első akció:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Második akció:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Válasz: a −3,5 + (4,1 − 7,1) kifejezés értéke −6,5.
22. példa. Keresse meg a (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) kifejezés értékét!
Végezzük el a zárójelben lévő lépéseket. Ezután az első zárójelek végrehajtása eredményeként kapott számból vonja ki a második zárójelek végrehajtása eredményeként kapott számot:
Első akció:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Második akció:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Harmadik felvonás
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Válasz: a (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) kifejezés értéke 6.
23. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Minden racionális számot tegyünk zárójelben a jeleivel együtt
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Helyettesítsük a kivonást összeadásra, ahol lehetséges:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
A kifejezés több kifejezésből áll. Az összeadás kombinatív törvénye szerint, ha egy kifejezés több tagból áll, akkor az összeg nem függ a műveletek sorrendjétől. Ez azt jelenti, hogy a feltételek bármilyen sorrendben hozzáadhatók.
Ne találjuk fel újra a kereket, hanem adjuk hozzá az összes kifejezést balról jobbra a megjelenési sorrendben:
Első akció:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Második akció:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Harmadik akció:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Válasz: a −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 kifejezés értéke 1.
24. példa. Keresse meg egy kifejezés értékét
A −1,8 tizedes törtet alakítsuk át vegyes számmá. A többit változtatás nélkül írjuk át:
