แผนภูมิความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ระดับรายการ

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง (2019)

ลำดับหมายเลข

เรามานั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลขกันดีกว่า ตัวอย่างเช่น:
คุณสามารถเขียนตัวเลขใดก็ได้ และอาจมีได้มากเท่าที่คุณต้องการ (ในกรณีของเราก็มีอยู่แล้ว) ไม่ว่าเราจะเขียนตัวเลขไปกี่จำนวน เราก็บอกได้เสมอว่าอันไหนเป็นอันแรก อันไหนเป็นอันที่สอง และต่อๆ ไปจนถึงตัวสุดท้าย นั่นคือ เราสามารถนับเลขได้ นี่คือตัวอย่างลำดับตัวเลข:

ลำดับหมายเลข
ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับของเรา:

หมายเลขที่กำหนดจะเฉพาะกับหมายเลขเดียวในลำดับเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มีตัวเลขสามวินาทีในลำดับ ตัวเลขที่สอง (เช่นตัวเลขที่ th) จะเหมือนกันเสมอ
จำนวนที่มีจำนวนเรียกว่าเทอมที่ 3 ของลำดับ

โดยปกติเราเรียกลำดับทั้งหมดด้วยตัวอักษรบางตัว (เช่น) และสมาชิกแต่ละคนของลำดับนี้จะเป็นตัวอักษรเดียวกัน โดยมีดัชนีเท่ากับจำนวนสมาชิกนี้:

ในกรณีของเรา:

สมมติว่าเรามีลำดับตัวเลขซึ่งความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันเท่ากันและเท่ากัน
ตัวอย่างเช่น:

ฯลฯ
ลำดับตัวเลขนี้เรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
คำว่า "ความก้าวหน้า" ถูกนำมาใช้โดยนักเขียนชาวโรมันชื่อ Boethius ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 6 และเป็นที่เข้าใจในความหมายที่กว้างกว่าว่าเป็นลำดับตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด ชื่อ "เลขคณิต" โอนมาจากทฤษฎีสัดส่วนต่อเนื่องที่ชาวกรีกโบราณศึกษา

นี่คือลำดับตัวเลข ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวจะเท่ากับลำดับก่อนหน้าที่บวกเข้ากับหมายเลขเดียวกัน จำนวนนี้เรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และถูกกำหนดไว้

พยายามพิจารณาว่าลำดับตัวเลขใดเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และลำดับใดไม่ใช่:

ก)
ข)
ค)
ง)

เข้าใจแล้ว? ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:
เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - b, c
ไม่ใช่ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - a, d

กลับไปที่ความก้าวหน้าที่กำหนด () แล้วลองค้นหาค่าของเทอมที่ 3 ของมัน มีอยู่ สองวิธีที่จะค้นหามัน

1. วิธีการ

เราสามารถบวกเลขความก้าวหน้าเข้ากับค่าก่อนหน้าได้จนกว่าเราจะถึงระยะที่ 3 ของความก้าวหน้า เป็นการดีที่เราไม่มีอะไรจะสรุปมากนัก - มีเพียงสามค่าเท่านั้น:

ดังนั้นเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายไว้จึงเท่ากับ

2. วิธีการ

จะเป็นอย่างไรถ้าเราจำเป็นต้องค้นหามูลค่าของระยะที่ 3 ของความก้าวหน้า? การบวกจะใช้เวลามากกว่าหนึ่งชั่วโมง และไม่ใช่ความจริงที่ว่าเราจะไม่ทำผิดพลาดเมื่อบวกตัวเลข
แน่นอนว่านักคณิตศาสตร์ได้คิดค้นวิธีที่ไม่จำเป็นต้องเพิ่มผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ให้กับค่าก่อนหน้า ลองดูภาพที่วาดให้ละเอียดยิ่งขึ้น... แน่นอนคุณได้สังเกตเห็นรูปแบบบางอย่างแล้ว ได้แก่:

ตัวอย่างเช่น ลองดูว่าค่าของเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ประกอบด้วยเท่าใด:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

พยายามหาค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดด้วยตัวเองด้วยวิธีนี้

คุณคำนวณแล้วหรือยัง? เปรียบเทียบบันทึกย่อของคุณกับคำตอบ:

โปรดทราบว่าคุณได้ตัวเลขเดียวกันกับวิธีก่อนหน้าทุกประการ เมื่อเราเพิ่มเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นค่าก่อนหน้าตามลำดับ
เรามาลอง "ลดความเป็นตัวตน" ของสูตรนี้ - มาวางไว้ในรูปแบบทั่วไปแล้วจะได้:

สมการความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถเพิ่มหรือลดลงได้

เพิ่มขึ้น- ความก้าวหน้าซึ่งแต่ละมูลค่าที่ตามมาของข้อกำหนดจะมากกว่าค่าก่อนหน้า
ตัวอย่างเช่น:

จากมากไปน้อย- ความก้าวหน้าซึ่งแต่ละค่าของข้อกำหนดที่ตามมาจะน้อยกว่าค่าก่อนหน้า
ตัวอย่างเช่น:

สูตรที่ได้รับใช้ในการคำนวณเงื่อนไขทั้งในเงื่อนไขที่เพิ่มขึ้นและลดลงของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
มาตรวจสอบสิ่งนี้ในทางปฏิบัติ
เราได้รับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขต่อไปนี้: มาตรวจสอบกันว่าตัวเลขลำดับที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้จะเป็นอย่างไรหากเราใช้สูตรของเราในการคำนวณ:

ตั้งแต่นั้นมา:

ดังนั้นเราจึงมั่นใจว่าสูตรดำเนินการทั้งในการลดลงและเพิ่มความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
พยายามค้นหาเงื่อนไขที่ th และ th ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ด้วยตัวเอง

ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:

คุณสมบัติความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มาทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้น - เราจะได้คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
สมมติว่าเราได้รับเงื่อนไขต่อไปนี้:
- ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ค้นหาค่า
ง่าย ๆ ที่คุณพูดและเริ่มนับตามสูตรที่คุณรู้อยู่แล้ว:

ให้เอ่อแล้ว:

จริงอย่างแน่นอน ปรากฎว่าเราพบก่อนแล้วจึงบวกเข้ากับตัวเลขแรกแล้วได้สิ่งที่เรากำลังมองหา ถ้าความก้าวหน้าแสดงด้วยค่าเล็กๆ ก็ไม่มีอะไรซับซ้อน แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราได้รับตัวเลขในเงื่อนไขล่ะ? ยอมรับว่ามีความเป็นไปได้ที่จะเกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณ
ทีนี้ลองคิดดูว่าจะสามารถแก้ไขปัญหานี้ในขั้นตอนเดียวโดยใช้สูตรใดๆ ได้หรือไม่? ใช่แน่นอน และนั่นคือสิ่งที่เราจะพยายามนำเสนอออกมาในตอนนี้

ให้เราแสดงคำที่ต้องการของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เนื่องจากสูตรในการค้นหาที่เรารู้จัก - นี่เป็นสูตรเดียวกับที่เราได้รับตั้งแต่ต้น:
, แล้ว:

ระยะก่อนหน้าของความก้าวหน้าคือ:
ระยะต่อไปของความก้าวหน้าคือ:

เรามาสรุปข้อกำหนดก่อนหน้าและถัดไปของความก้าวหน้า:

ปรากฎว่าผลรวมของเงื่อนไขก่อนหน้าและเงื่อนไขถัดไปของความก้าวหน้าคือค่าสองเท่าของเงื่อนไขความก้าวหน้าที่อยู่ระหว่างพวกเขา กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากต้องการค้นหาค่าของเทอมความก้าวหน้าด้วยค่าก่อนหน้าและค่าต่อเนื่องที่ทราบ คุณจะต้องบวกค่าเหล่านั้นแล้วหารด้วย

ใช่แล้ว เราได้เลขเดียวกัน มารักษาความปลอดภัยของวัสดุกันเถอะ คำนวณมูลค่าสำหรับความก้าวหน้าด้วยตัวเอง ไม่ยากเลย

ทำได้ดี! คุณรู้เกือบทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้า! ยังคงต้องหาสูตรเพียงสูตรเดียวเท่านั้น ซึ่งตามตำนานสามารถอนุมานได้ง่าย ๆ ด้วยตัวเองโดยหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล "ราชาแห่งนักคณิตศาสตร์" - Carl Gauss...

เมื่อ Carl Gauss อายุ 9 ขวบ ครูคนหนึ่งซึ่งยุ่งอยู่กับการตรวจสอบงานของนักเรียนในชั้นเรียนอื่น ได้ถามคำถามในชั้นเรียนดังนี้: “คำนวณผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ ถึง (ตามแหล่งข้อมูลอื่นถึง) รวม” ลองนึกภาพความประหลาดใจของครูเมื่อนักเรียนคนหนึ่งของเขา (นี่คือคาร์ล เกาส์) นาทีต่อมาให้คำตอบที่ถูกต้องกับงาน ในขณะที่เพื่อนร่วมชั้นของผู้บ้าระห่ำส่วนใหญ่ได้รับผลลัพธ์ที่ผิดหลังจากคำนวณมาเป็นเวลานาน...

คาร์ล เกาส์ วัยหนุ่มสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่างที่คุณสามารถสังเกตได้ง่ายเช่นกัน
สมมติว่าเรามีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยเทอมที่ -: เราจำเป็นต้องค้นหาผลรวมของเงื่อนไขเหล่านี้ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แน่นอนว่า เราสามารถรวมค่าทั้งหมดด้วยตนเอง แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้างานนั้นต้องการหาผลรวมของเงื่อนไขตามที่เกาส์กำลังมองหา?

ให้เราบรรยายถึงความก้าวหน้าที่มอบให้เรา ดูตัวเลขที่ไฮไลต์อย่างใกล้ชิดแล้วลองดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ กับตัวเลขเหล่านั้น

คุณลองแล้วหรือยัง? คุณสังเกตเห็นอะไร? ขวา! ผลรวมของพวกเขาเท่ากัน

ทีนี้บอกหน่อยเถอะว่าความก้าวหน้าที่มอบให้เรามีทั้งหมดกี่คู่? แน่นอนว่าครึ่งหนึ่งของตัวเลขทั้งหมดนั่นเอง
จากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของสองเทอมของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากัน และคู่ที่คล้ายกันเท่ากัน เราจึงได้ผลลัพธ์ว่าผลรวมทั้งหมดเท่ากับ:
.
ดังนั้น สูตรสำหรับผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเป็นดังนี้:

ในปัญหาบางอย่างเราไม่รู้คำศัพท์ที่ 3 แต่เรารู้ถึงความแตกต่างของความก้าวหน้า ลองแทนสูตรของเทอมที่ 3 ลงในสูตรผลรวม
คุณได้อะไร?

ทำได้ดี! ตอนนี้กลับมาที่ปัญหาที่ Carl Gauss ถาม: คำนวณด้วยตัวคุณเองว่าผลรวมของตัวเลขที่เริ่มต้นจาก -th เท่ากับเท่าใด และผลรวมของตัวเลขที่เริ่มต้นจาก -th

คุณได้รับเท่าไหร่?
เกาส์พบว่าผลรวมของพจน์เท่ากัน และผลรวมของพจน์นั้น นั่นคือสิ่งที่คุณตัดสินใจ?

ในความเป็นจริง สูตรสำหรับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้รับการพิสูจน์โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ไดโอแฟนตัส ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 3 และตลอดเวลานี้ คนที่มีไหวพริบได้ใช้คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างเต็มที่
ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพอียิปต์โบราณและโครงการก่อสร้างที่ใหญ่ที่สุดในยุคนั้น - การก่อสร้างปิรามิด... รูปภาพแสดงด้านใดด้านหนึ่ง

คุณพูดว่าความก้าวหน้าอยู่ที่ไหน? มองให้ดีและหารูปแบบจำนวนบล็อกทรายในแต่ละแถวของกำแพงพีระมิด

ทำไมไม่ก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์? คำนวณจำนวนบล็อกที่จำเป็นในการสร้างกำแพงด้านหนึ่งหากวางอิฐบล็อกไว้ที่ฐาน ฉันหวังว่าคุณจะไม่นับในขณะที่เลื่อนนิ้วไปบนหน้าจอ คุณจำสูตรสุดท้ายและทุกสิ่งที่เราพูดเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้ไหม

ใน ในกรณีนี้ความคืบหน้ามีลักษณะดังนี้: .
ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
จำนวนเงื่อนไขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
เรามาแทนที่ข้อมูลของเราเป็นสูตรสุดท้าย (คำนวณจำนวนบล็อกได้ 2 วิธี)

วิธีที่ 1

วิธีที่ 2

และตอนนี้คุณสามารถคำนวณบนมอนิเตอร์ได้: เปรียบเทียบค่าที่ได้รับกับจำนวนบล็อกที่อยู่ในปิรามิดของเรา เข้าใจแล้ว? ทำได้ดีมาก คุณเชี่ยวชาญผลรวมของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว
แน่นอนว่าคุณไม่สามารถสร้างปิรามิดจากบล็อกที่ฐานได้ แต่จากอะไรล่ะ? ลองคำนวณว่าต้องใช้อิฐทรายจำนวนเท่าใดในการสร้างกำแพงด้วยเงื่อนไขนี้
คุณจัดการหรือไม่?
คำตอบที่ถูกต้องคือบล็อก:

การฝึกอบรม

งาน:

Masha กำลังมีรูปร่างดีสำหรับฤดูร้อน เธอเพิ่มจำนวนท่าสควอชทุกวัน Masha จะทำ squats กี่ครั้งในหนึ่งสัปดาห์ถ้าเธอทำ squats ในการฝึกซ้อมครั้งแรก?
ผลรวมของเลขคี่ทั้งหมดที่มีอยู่เป็นเท่าใด
เมื่อจัดเก็บบันทึก ตัวบันทึกจะซ้อนกันในลักษณะที่แต่ละชั้นบนสุดมีบันทึกหนึ่งรายการน้อยกว่าบันทึกก่อนหน้า อิฐหนึ่งก้อนมีท่อนไม้กี่ท่อน ถ้ารากฐานของท่อนไม้เป็นท่อนไม้?

คำตอบ:

ให้เรากำหนดพารามิเตอร์ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้
(สัปดาห์ = วัน)
คำตอบ:ในสองสัปดาห์ Masha ควรทำ squats วันละครั้ง
เลขคี่ตัวแรก เลขสุดท้าย
ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
อย่างไรก็ตาม จำนวนเลขคี่คือครึ่งหนึ่ง เราจะมาตรวจสอบข้อเท็จจริงนี้โดยใช้สูตรในการหาเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
ตัวเลขประกอบด้วยเลขคี่
ลองแทนที่ข้อมูลที่มีอยู่ลงในสูตร:
คำตอบ:ผลรวมของเลขคี่ทั้งหมดที่อยู่ในนั้นมีค่าเท่ากัน
เรามาจำปัญหาเกี่ยวกับปิรามิดกันดีกว่า สำหรับกรณีของเรา a เนื่องจากแต่ละเลเยอร์บนสุดจะลดลงหนึ่งบันทึก ดังนั้นโดยรวมแล้วจะมีหลายเลเยอร์ นั่นก็คือ
ลองแทนที่ข้อมูลลงในสูตร:
คำตอบ:มีท่อนซุงอยู่ในการก่ออิฐ

มาสรุปกัน

- ลำดับตัวเลขที่ความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันเท่ากันและเท่ากัน มันอาจจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงก็ได้
การหาสูตรเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เขียนโดยสูตร - โดยที่ คือจำนวนตัวเลขในความก้าวหน้า
คุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์- - โดยที่คือจำนวนตัวเลขที่กำลังดำเนินอยู่
ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้สองวิธี:

โดยที่คือจำนวนค่า

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ระดับกลาง

ลำดับหมายเลข

ลองนั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลขกัน ตัวอย่างเช่น:

คุณสามารถเขียนตัวเลขใดๆ ก็ได้ และจะมีได้มากเท่าที่คุณต้องการ แต่เราสามารถพูดได้เสมอว่าอันไหนเป็นอันดับแรก อันไหนเป็นที่สอง และอื่น ๆ นั่นคือเราสามารถนับพวกมันได้ นี่คือตัวอย่างลำดับตัวเลข

ลำดับหมายเลขคือชุดตัวเลขซึ่งแต่ละชุดสามารถกำหนดหมายเลขเฉพาะได้

กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละหมายเลขสามารถเชื่อมโยงกับจำนวนธรรมชาติจำนวนหนึ่งและเป็นจำนวนเฉพาะได้ และเราจะไม่กำหนดหมายเลขนี้ให้กับหมายเลขอื่นจากชุดนี้

ตัวเลขที่มีตัวเลขเรียกว่าสมาชิกตัวที่ 2 ของลำดับ

จะสะดวกมากหากบางสูตรสามารถระบุเทอมที่ 3 ของลำดับได้ ยกตัวอย่างสูตร

กำหนดลำดับ:

และสูตรก็มีลำดับดังนี้:

ตัวอย่างเช่น ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือลำดับ (เทอมแรกในที่นี้มีค่าเท่ากัน และผลต่างคือ) หรือ (, ส่วนต่าง)

สูตรเทอมที่ n

เราเรียกสูตรที่เกิดซ้ำซึ่งในการหาเทอมที่ 3 คุณจำเป็นต้องรู้คำก่อนหน้าหรือหลายคำก่อนหน้านี้:

หากต้องการค้นหาระยะที่ 3 ของความก้าวหน้าโดยใช้สูตรนี้ เราจะต้องคำนวณเก้าค่าก่อนหน้า เช่น ปล่อยให้มัน. แล้ว:

ตอนนี้ชัดเจนแล้วว่าสูตรคืออะไร?

ในแต่ละบรรทัดที่เราบวกเข้าไป คูณด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่ง อันไหน? ง่ายมาก: นี่คือจำนวนสมาชิกปัจจุบันลบ:

ตอนนี้สะดวกขึ้นมากแล้วใช่ไหม? เราตรวจสอบ:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ให้ค้นหาสูตรสำหรับเทอมที่ n และค้นหาเทอมที่ร้อย

สารละลาย:

เทอมแรกมีค่าเท่ากัน ความแตกต่างคืออะไร? นี่คือสิ่งที่:

(เหตุนี้จึงเรียกว่าความแตกต่างเพราะเท่ากับผลต่างของระยะต่อเนื่องของการก้าวหน้า)

ดังนั้นสูตร:

จากนั้นเทอมที่ร้อยจะเท่ากับ:

ผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ ถึง คืออะไร?

ตามตำนาน คาร์ล เกาส์ นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ เมื่อตอนอายุ 9 ขวบ คำนวณจำนวนนี้ในเวลาไม่กี่นาที เขาสังเกตเห็นว่าผลรวมของเลขตัวแรกและตัวสุดท้ายเท่ากัน ผลรวมของเลขที่สองและเลขสุดท้ายเท่ากัน ผลรวมของเลขที่สามและเลข 3 จากท้ายสุดเท่ากัน เป็นต้น มีคู่ดังกล่าวทั้งหมดกี่คู่? ถูกต้อง ครึ่งหนึ่งของจำนวนทั้งหมดนั่นเอง ดังนั้น,

สูตรทั่วไปสำหรับผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเป็น:

ตัวอย่าง:
ค้นหาผลรวมของตัวคูณสองหลักทั้งหมด

สารละลาย:

ตัวเลขแรกคือสิ่งนี้ แต่ละหมายเลขที่ตามมาจะได้มาจากการเพิ่มหมายเลขก่อนหน้า ดังนั้นตัวเลขที่เราสนใจจะสร้างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยเทอมแรกและผลต่าง

สูตรของเทอมที่ 3 สำหรับความก้าวหน้านี้:

มีคำศัพท์กี่คำที่อยู่ในความก้าวหน้าหากทุกคำต้องเป็นเลขสองหลัก?

ง่ายมาก: .

ระยะสุดท้ายของความก้าวหน้าจะเท่ากัน จากนั้นผลรวม:

คำตอบ: .

ตอนนี้ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

ทุกวันนักกีฬาจะวิ่งมากกว่าวันก่อนหน้า เขาจะวิ่งรวมกี่กิโลเมตรในหนึ่งสัปดาห์ถ้าเขาวิ่ง km m ในวันแรก?
นักปั่นจักรยานเดินทางหลายกิโลเมตรทุกวันมากกว่าวันก่อนหน้า วันแรกเดินทาง กม. เขาต้องเดินทางกี่วันจึงจะครบหนึ่งกิโลเมตร? วันสุดท้ายของการเดินทางเขาจะเดินทางกี่กิโลเมตร?
ราคาตู้เย็นในร้านค้าลดลงเท่ากันทุกปี พิจารณาว่าราคาตู้เย็นลดลงเท่าใดในแต่ละปีหากขายเป็นรูเบิลหกปีต่อมาขายเป็นรูเบิล

คำตอบ:

สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการจดจำความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และกำหนดพารามิเตอร์ ในกรณีนี้ (สัปดาห์ = วัน) คุณต้องพิจารณาผลรวมของเงื่อนไขแรกของความก้าวหน้านี้:
.
คำตอบ:
นี่คือสิ่งที่ได้รับ: จะต้องพบ
แน่นอนว่าคุณต้องใช้สูตรผลรวมเดียวกันกับในปัญหาก่อนหน้านี้:
.
แทนค่า:
เห็นได้ชัดว่ารูตไม่พอดี ดังนั้นคำตอบก็คือ
ลองคำนวณเส้นทางที่เดินทางในวันสุดท้ายโดยใช้สูตรของเทอมที่ 3:
(กม.)
คำตอบ:
ที่ให้ไว้: . หา: .
ไม่มีอะไรง่ายไปกว่านี้อีกแล้ว:
(ถู).
คำตอบ:

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

นี่คือลำดับตัวเลขซึ่งความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันจะเท่ากันและเท่ากัน

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถเพิ่ม () และลด ()

ตัวอย่างเช่น:

สูตรการหาเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เขียนโดยสูตร โดยที่ คือจำนวนตัวเลขที่กำลังดำเนินอยู่

คุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ช่วยให้คุณสามารถค้นหาคำศัพท์ของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดายหากทราบคำศัพท์ใกล้เคียง - โดยที่จำนวนตัวเลขในความก้าวหน้าคือจำนวนใด

ผลรวมของเงื่อนไขความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มีสองวิธีในการค้นหาจำนวนเงิน:

จำนวนค่าอยู่ที่ไหน

ตัวอย่างเช่น ลำดับ $2$; $5$; $5$; $8$; $8$; $11$; $11$; $14$... เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากแต่ละองค์ประกอบที่ตามมาจะแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้าด้วยสาม (สามารถหาได้จากองค์ประกอบก่อนหน้าโดยการบวกสาม):

ในความก้าวหน้านี้ ผลต่าง $d$ เป็นบวก (เท่ากับ $3$) และดังนั้น แต่ละเทอมถัดไปจึงมากกว่าเทอมก่อนหน้า ความก้าวหน้าดังกล่าวเรียกว่า เพิ่มขึ้น.

อย่างไรก็ตาม $d$ อาจเป็นจำนวนลบก็ได้ ตัวอย่างเช่นในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $16$; $10$; $10$; $4$; $4$; $-2$; $-2$; $-8$... ผลต่างความก้าวหน้า $d$ เท่ากับลบ 6

และในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะมีขนาดเล็กกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า ความก้าวหน้าเหล่านี้เรียกว่า ลดลง.

สัญกรณ์ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวเล็ก

เรียกว่าตัวเลขที่ก่อให้เกิดความก้าวหน้า สมาชิก(หรือองค์ประกอบ)

พวกเขาแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แต่มีดัชนีตัวเลขเท่ากับจำนวนขององค์ประกอบตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right$\) ประกอบด้วยองค์ประกอบ $a_1=2$; $a_2=5$; $a_3=8$ และอื่นๆ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับความก้าวหน้า $a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right$\)

การแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

โดยหลักการแล้ว ข้อมูลที่นำเสนอข้างต้นเพียงพอที่จะแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้เกือบทุกปัญหา (รวมถึงปัญหาที่นำเสนอที่ OGE ด้วย)

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข $b_1=7; d=4$ ค้นหา $b_5$
สารละลาย:

คำตอบ: $b_5=23$

ตัวอย่าง (OGE) เทอมสามแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดไว้: $62; 49; 36…$ จงหาค่าของเทอมลบแรกของความก้าวหน้านี้..
สารละลาย:

	เราได้รับองค์ประกอบแรกของลำดับและรู้ว่ามันคือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ นั่นคือแต่ละองค์ประกอบแตกต่างจากเพื่อนบ้านด้วยจำนวนเดียวกัน มาดูกันว่าอันไหนโดยการลบอันก่อนหน้าออกจากองค์ประกอบถัดไป: $d=49-62=-13$
	ตอนนี้เราสามารถฟื้นฟูความก้าวหน้าของเราไปสู่องค์ประกอบ (ลบแรก) ที่เราต้องการได้
	พร้อม. คุณสามารถเขียนคำตอบได้

คำตอบ: $-3$

ตัวอย่าง (OGE) เมื่อพิจารณาองค์ประกอบหลายรายการติดต่อกันของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: $…5; x; 10; 12.5...$ ค้นหาค่าขององค์ประกอบที่กำหนดโดยตัวอักษร $x$
สารละลาย:

	ในการค้นหา $x$ เราจำเป็นต้องรู้ว่าองค์ประกอบถัดไปแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้ามากเพียงใด กล่าวคือ ความแตกต่างของความก้าวหน้า ลองค้นหาจากองค์ประกอบใกล้เคียงสององค์ประกอบที่รู้จัก: $d=12.5-10=2.5$
	และตอนนี้เราสามารถค้นหาสิ่งที่ต้องการได้อย่างง่ายดาย: $x=5+2.5=7.5$
	พร้อม. คุณสามารถเขียนคำตอบได้

คำตอบ: $7,5$.

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไขต่อไปนี้: $a_1=-11$; $a_(n+1)=a_n+5$ จงหาผลรวมของหกเทอมแรกของความก้าวหน้านี้
สารละลาย:

เราจำเป็นต้องหาผลรวมของหกเทอมแรกของความก้าวหน้า แต่เราไม่ทราบความหมาย เราได้รับเพียงองค์ประกอบแรกเท่านั้น ดังนั้นเราจึงคำนวณค่าทีละรายการก่อนโดยใช้สิ่งที่มอบให้เรา:

$n=1$; $a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6$
$n=2$; $n=2$; $a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1$
$n=3$; $n=3$; $a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4$
และเมื่อคำนวณองค์ประกอบทั้งหกที่เราต้องการแล้ว เราก็จะพบผลรวมของมัน

$S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=$
$=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9$

พบจำนวนเงินที่ต้องการแล้ว

คำตอบ: $S_6=9$.

ตัวอย่าง (OGE) ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $a_(12)=23$; $a_(16)=51$ ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้านี้
สารละลาย:

คำตอบ: $ง=7$.

สูตรสำคัญสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

อย่างที่คุณเห็น ปัญหามากมายเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถแก้ไขได้โดยการทำความเข้าใจสิ่งสำคัญ - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นสายโซ่ของตัวเลข และแต่ละองค์ประกอบที่ตามมาในสายโซ่นี้ได้มาโดยการเพิ่มหมายเลขเดียวกันเข้ากับองค์ประกอบก่อนหน้า ( ความแตกต่างของความก้าวหน้า)

อย่างไรก็ตาม บางครั้งมีสถานการณ์ที่การตัดสินใจ "เผชิญหน้า" ไม่สะดวกอย่างยิ่ง ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพว่าในตัวอย่างนี้เราต้องค้นหาไม่ใช่องค์ประกอบที่ห้า $b_5$ แต่เป็นองค์ประกอบที่สามร้อยแปดสิบหก $b_(386)$ เราควรบวกสี่ $385$ ครั้งไหม? หรือจินตนาการว่าในตัวอย่างสุดท้าย คุณต้องหาผลรวมขององค์ประกอบเจ็ดสิบสามตัวแรก คุณจะเหนื่อยกับการนับ...

ดังนั้นในกรณีเช่นนี้ พวกเขาไม่ได้แก้ปัญหาแบบ "เผชิญหน้า" แต่ใช้สูตรพิเศษที่ได้มาจากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และหลักๆ คือสูตรสำหรับเทอมที่ n ของการก้าวหน้าและสูตรสำหรับผลรวมของ $n$ เทอมแรก

สูตรของ $n$ เทอมที่ 3: $a_n=a_1+(n-1)d$ โดยที่ $a_1$ คือเทอมแรกของความก้าวหน้า
$n$ – จำนวนขององค์ประกอบที่ต้องการ;
$a_n$ – เทอมของความก้าวหน้าที่มีหมายเลข $n$

สูตรนี้ช่วยให้เราค้นหาองค์ประกอบที่สามร้อยหรือล้านได้อย่างรวดเร็ว โดยรู้เฉพาะองค์ประกอบแรกและส่วนต่างของความก้าวหน้า

ตัวอย่าง. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข: $b_1=-159$; $ง=8.2$ ค้นหา $b_(246)$
สารละลาย:

คำตอบ: $b_(246)=1850$

สูตรสำหรับผลรวมของ n เทอมแรก: $S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n$ โดยที่

$a_n$ – คำสรุปสุดท้าย;

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข $a_n=3.4n-0.6$ หาผลรวมของพจน์ $25$ แรกของความก้าวหน้านี้
สารละลาย:

$S_(25)=$$\frac(a_1+a_(25))(2 )$ $\cdot 25$		ในการคำนวณผลรวมของเทอมยี่สิบห้าแรก เราจำเป็นต้องทราบค่าของเทอมแรกและยี่สิบห้า ความก้าวหน้าของเราได้มาจากสูตรของเทอมที่ n ขึ้นอยู่กับจำนวน (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมดู) มาคำนวณองค์ประกอบแรกด้วยการแทนที่องค์ประกอบหนึ่งด้วย $n$
$n=1;$ $a_1=3.4·1-0.6=2.8$		ทีนี้ ลองหาเทอมที่ยี่สิบห้าโดยการแทนที่ยี่สิบห้าแทน $n$
$n=25;$ $a_(25)=3.4·25-0.6=84.4$		ตอนนี้เราสามารถคำนวณจำนวนเงินที่ต้องการได้อย่างง่ายดาย
$S_(25)=$$\frac(a_1+a_(25))(2)$ $\cdot 25=$ $=$ $\frac(2.8+84.4)(2)$ $\cdot 25 =$$1090$		คำตอบพร้อมแล้ว

คำตอบ: $S_(25)=1,090$

สำหรับผลรวม $n$ ของเทอมแรก คุณสามารถได้สูตรอื่น: คุณเพียงแค่ต้อง $S_(25)=$$\frac(a_1+a_(25))(2)$ \ (\cdot 25\ ) แทน $a_n$ แทนที่สูตรของมัน $a_n=a_1+(n-1)d$ เราได้รับ:

สูตรสำหรับผลรวมของ n พจน์แรก: $S_n=$$\frac(2a_1+(n-1)d)(2)$ $\cdot n$ โดยที่

$S_n$ – ผลรวมที่ต้องการของ $n$ องค์ประกอบแรก
$a_1$ – เทอมแรกที่สรุป;
$d$ – ความต่างของความก้าวหน้า;
$n$ – จำนวนองค์ประกอบทั้งหมด

ตัวอย่าง. หาผลรวมของพจน์ $33$-ex แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: $17$; $15.5$; $15.5$; $14$…
สารละลาย:

คำตอบ: $S_(33)=-231$

ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้น

ตอนนี้คุณมีข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็นในการแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เกือบทุกอย่างแล้ว มาจบหัวข้อโดยคำนึงถึงปัญหาที่คุณไม่เพียงแต่ต้องใช้สูตรเท่านั้น แต่ยังต้องคิดอีกนิดหน่อย (ในวิชาคณิตศาสตร์สิ่งนี้มีประโยชน์ ☺)

ตัวอย่าง (OGE) หาผลรวมของพจน์ที่เป็นลบของการก้าวหน้า: $-19.3$; $-19$; $-19$; $-18.7$…
สารละลาย:

$S_n=$$\frac(2a_1+(n-1)d)(2)$ $\cdot n$		งานนี้คล้ายกับงานก่อนหน้ามาก เราเริ่มที่จะแก้สิ่งเดียวกัน: ก่อนอื่นเราหา $d$
$d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3$		ตอนนี้ฉันต้องการแทนที่ $d$ ลงในสูตรของผลรวม... และมีความแตกต่างเล็กๆ น้อยๆ เกิดขึ้น - เราไม่รู้ $n$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราไม่รู้ว่าจะต้องเพิ่มคำศัพท์จำนวนเท่าใด จะทราบได้อย่างไร? ลองคิดดู เราจะหยุดเพิ่มองค์ประกอบเมื่อเราไปถึงองค์ประกอบบวกแรก นั่นคือคุณต้องค้นหาจำนวนองค์ประกอบนี้ ยังไง? มาเขียนสูตรสำหรับคำนวณองค์ประกอบใดๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: $a_n=a_1+(n-1)d$ สำหรับกรณีของเรา
$a_n=a_1+(n-1)d$
$a_n=-19.3+(n-1)·0.3$		เราต้องการให้ $a_n$ มีค่ามากกว่าศูนย์ เรามาดูกันว่า $n$ สิ่งนี้จะเกิดอะไรขึ้น
$-19.3+(n-1)·0.3>0$
$(n-1)·0.3>19.3$ $\|:0.3$		เราหารอสมการทั้งสองด้านด้วย $0.3$
$n-1>$$\frac(19.3)(0.3)$		เราโอนลบหนึ่งไม่ลืมเปลี่ยนป้าย
$n>$$\frac(19.3)(0.3)$ $+1$		มาคำนวณกัน...
$n>65,333…$		...และปรากฎว่าองค์ประกอบบวกตัวแรกจะมีตัวเลข $66$ ดังนั้น ค่าลบสุดท้ายจึงมี $n=65$ ในกรณีนี้ลองตรวจสอบสิ่งนี้กัน
$n=65;$ $a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1$ $n=66;$ $a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2$		ดังนั้นเราจึงต้องเพิ่มองค์ประกอบแรก $65$
$S_(65)=$ $\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)$$\cdot 65$ $S_(65)=$$(-38.6+19.2)(2)$$\cdot 65=-630.5$		คำตอบพร้อมแล้ว

คำตอบ: $S_(65)=-630.5$

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข: $a_1=-33$; $a_(n+1)=a_n+4$ ค้นหาผลรวมจากองค์ประกอบ $26$th ถึง $42$
สารละลาย:

$a_1=-33;$ $a_(n+1)=a_n+4$	ในปัญหานี้ คุณต้องค้นหาผลรวมขององค์ประกอบด้วย แต่ไม่ได้เริ่มจากองค์ประกอบแรก แต่เริ่มจาก $26$th สำหรับกรณีเช่นนี้เราไม่มีสูตร จะตัดสินใจอย่างไร? ง่ายมาก - หากต้องการหาผลรวมจาก $26$th ถึง $42$th คุณต้องหาผลรวมจาก $1$th ถึง $42$th ก่อน แล้วจึงลบออก จากนั้นผลรวมตั้งแต่แรกถึง $25$th (ดูรูป)
	สำหรับความก้าวหน้าของเรา $a_1=-33$ และความแตกต่าง $d=4$ (ท้ายที่สุดแล้ว เราเพิ่มสี่องค์ประกอบก่อนหน้าเพื่อค้นหาองค์ประกอบถัดไป) เมื่อรู้เช่นนี้ เราจะหาผลรวมขององค์ประกอบ $42$-y ตัวแรกได้
$S_(42)=$ $\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)$$\cdot 42=$ $=$$\frac(-66+164)(2)$ $\cdot 42=2058$	ตอนนี้ผลรวมขององค์ประกอบแรก $25$
$S_(25)=$ $\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)$$\cdot 25=$ $=$$\frac(-66+96)(2)$ $\cdot 25=375$	และสุดท้าย เราก็คำนวณคำตอบ
$S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683$

คำตอบ: $ส=1683$.

สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มีสูตรอีกหลายสูตรที่เราไม่ได้พิจารณาในบทความนี้ เนื่องจากมีประโยชน์ในทางปฏิบัติต่ำ อย่างไรก็ตาม คุณสามารถค้นหาได้อย่างง่ายดาย

ระดับรายการ

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง (2019)

ลำดับหมายเลข

ลำดับหมายเลข
ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับของเรา:

ในกรณีของเรา:

ก)
ข)
ค)
ง)

1. วิธีการ

ดังนั้นเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายไว้จึงเท่ากับ

2. วิธีการ

คุณคำนวณแล้วหรือยัง? เปรียบเทียบบันทึกย่อของคุณกับคำตอบ:

สมการความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถเพิ่มหรือลดลงได้

ตั้งแต่นั้นมา:

ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:

คุณสมบัติความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ให้เอ่อแล้ว:

ระยะก่อนหน้าของความก้าวหน้าคือ:
ระยะต่อไปของความก้าวหน้าคือ:

เรามาสรุปข้อกำหนดก่อนหน้าและถัดไปของความก้าวหน้า:

ในกรณีนี้ ความคืบหน้าจะเป็นดังนี้:
ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
จำนวนเงื่อนไขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
เรามาแทนที่ข้อมูลของเราเป็นสูตรสุดท้าย (คำนวณจำนวนบล็อกได้ 2 วิธี)

วิธีที่ 1

วิธีที่ 2

การฝึกอบรม

งาน:

Masha กำลังมีรูปร่างดีสำหรับฤดูร้อน เธอเพิ่มจำนวนท่าสควอชทุกวัน Masha จะทำ squats กี่ครั้งในหนึ่งสัปดาห์ถ้าเธอทำ squats ในการฝึกซ้อมครั้งแรก?
ผลรวมของเลขคี่ทั้งหมดที่มีอยู่เป็นเท่าใด
เมื่อจัดเก็บบันทึก ตัวบันทึกจะซ้อนกันในลักษณะที่แต่ละชั้นบนสุดมีบันทึกหนึ่งรายการน้อยกว่าบันทึกก่อนหน้า อิฐหนึ่งก้อนมีท่อนไม้กี่ท่อน ถ้ารากฐานของท่อนไม้เป็นท่อนไม้?

คำตอบ:

ให้เรากำหนดพารามิเตอร์ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้
(สัปดาห์ = วัน)
คำตอบ:ในสองสัปดาห์ Masha ควรทำ squats วันละครั้ง
เลขคี่ตัวแรก เลขสุดท้าย
ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
อย่างไรก็ตาม จำนวนเลขคี่คือครึ่งหนึ่ง เราจะมาตรวจสอบข้อเท็จจริงนี้โดยใช้สูตรในการหาเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:
ตัวเลขประกอบด้วยเลขคี่
ลองแทนที่ข้อมูลที่มีอยู่ลงในสูตร:
คำตอบ:ผลรวมของเลขคี่ทั้งหมดที่อยู่ในนั้นมีค่าเท่ากัน
เรามาจำปัญหาเกี่ยวกับปิรามิดกันดีกว่า สำหรับกรณีของเรา a เนื่องจากแต่ละเลเยอร์บนสุดจะลดลงหนึ่งบันทึก ดังนั้นโดยรวมแล้วจะมีหลายเลเยอร์ นั่นก็คือ
ลองแทนที่ข้อมูลลงในสูตร:
คำตอบ:มีท่อนซุงอยู่ในการก่ออิฐ

มาสรุปกัน

- ลำดับตัวเลขที่ความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันเท่ากันและเท่ากัน มันอาจจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงก็ได้
การหาสูตรเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เขียนโดยสูตร - โดยที่ คือจำนวนตัวเลขในความก้าวหน้า
คุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์- - โดยที่คือจำนวนตัวเลขที่กำลังดำเนินอยู่
ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้สองวิธี:

โดยที่คือจำนวนค่า

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ระดับกลาง

ลำดับหมายเลข

ลองนั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลขกัน ตัวอย่างเช่น:

ลำดับหมายเลขคือชุดตัวเลขซึ่งแต่ละชุดสามารถกำหนดหมายเลขเฉพาะได้

ตัวเลขที่มีตัวเลขเรียกว่าสมาชิกตัวที่ 2 ของลำดับ

จะสะดวกมากหากบางสูตรสามารถระบุเทอมที่ 3 ของลำดับได้ ยกตัวอย่างสูตร

กำหนดลำดับ:

และสูตรก็มีลำดับดังนี้:

สูตรเทอมที่ n

ตอนนี้ชัดเจนแล้วว่าสูตรคืออะไร?

ตอนนี้สะดวกขึ้นมากแล้วใช่ไหม? เราตรวจสอบ:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

สารละลาย:

เทอมแรกมีค่าเท่ากัน ความแตกต่างคืออะไร? นี่คือสิ่งที่:

ดังนั้นสูตร:

จากนั้นเทอมที่ร้อยจะเท่ากับ:

ผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ ถึง คืออะไร?

สูตรทั่วไปสำหรับผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเป็น:

ตัวอย่าง:
ค้นหาผลรวมของตัวคูณสองหลักทั้งหมด

สารละลาย:

สูตรของเทอมที่ 3 สำหรับความก้าวหน้านี้:

มีคำศัพท์กี่คำที่อยู่ในความก้าวหน้าหากทุกคำต้องเป็นเลขสองหลัก?

ง่ายมาก: .

ระยะสุดท้ายของความก้าวหน้าจะเท่ากัน จากนั้นผลรวม:

คำตอบ: .

ตอนนี้ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

ทุกวันนักกีฬาจะวิ่งมากกว่าวันก่อนหน้า เขาจะวิ่งรวมกี่กิโลเมตรในหนึ่งสัปดาห์ถ้าเขาวิ่ง km m ในวันแรก?
นักปั่นจักรยานเดินทางหลายกิโลเมตรทุกวันมากกว่าวันก่อนหน้า วันแรกเดินทาง กม. เขาต้องเดินทางกี่วันจึงจะครบหนึ่งกิโลเมตร? วันสุดท้ายของการเดินทางเขาจะเดินทางกี่กิโลเมตร?
ราคาตู้เย็นในร้านค้าลดลงเท่ากันทุกปี พิจารณาว่าราคาตู้เย็นลดลงเท่าใดในแต่ละปีหากขายเป็นรูเบิลหกปีต่อมาขายเป็นรูเบิล

คำตอบ:

สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการจดจำความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และกำหนดพารามิเตอร์ ในกรณีนี้ (สัปดาห์ = วัน) คุณต้องพิจารณาผลรวมของเงื่อนไขแรกของความก้าวหน้านี้:
.
คำตอบ:
นี่คือสิ่งที่ได้รับ: จะต้องพบ
แน่นอนว่าคุณต้องใช้สูตรผลรวมเดียวกันกับในปัญหาก่อนหน้านี้:
.
แทนค่า:
เห็นได้ชัดว่ารูตไม่พอดี ดังนั้นคำตอบก็คือ
ลองคำนวณเส้นทางที่เดินทางในวันสุดท้ายโดยใช้สูตรของเทอมที่ 3:
(กม.)
คำตอบ:
ที่ให้ไว้: . หา: .
ไม่มีอะไรง่ายไปกว่านี้อีกแล้ว:
(ถู).
คำตอบ:

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถเพิ่ม () และลด ()

ตัวอย่างเช่น:

สูตรการหาเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เขียนโดยสูตร โดยที่ คือจำนวนตัวเลขที่กำลังดำเนินอยู่

คุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ผลรวมของเงื่อนไขความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มีสองวิธีในการค้นหาจำนวนเงิน:

จำนวนค่าอยู่ที่ไหน

ใช่ ใช่: ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ของเล่นสำหรับคุณ :)

เพื่อน ๆ หากคุณกำลังอ่านข้อความนี้ หลักฐานแคปภายในบอกฉันว่าคุณยังไม่รู้ว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร แต่คุณจริงๆ (ไม่ แบบนี้: SOOOOO!) อยากรู้จริงๆ ดังนั้นฉันจะไม่ทรมานคุณด้วยการแนะนำที่ยาวและจะตรงประเด็น

ขั้นแรก ยกตัวอย่างบางส่วน ลองดูตัวเลขหลายชุด:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

ชุดนี้มีอะไรเหมือนกันบ้าง? เมื่อมองแวบแรกไม่มีอะไร แต่จริงๆ แล้วมีอะไรบางอย่าง กล่าวคือ: แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้าด้วยหมายเลขเดียวกัน.

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง ชุดแรกเป็นเพียงตัวเลขที่ต่อเนื่องกัน โดยแต่ละชุดถัดไปจะมากกว่าชุดก่อนหน้าหนึ่งตัว ในกรณีที่สอง ความแตกต่างระหว่างตัวเลขที่อยู่ติดกันคือ 5 อยู่แล้ว แต่ความแตกต่างนี้ยังคงเป็นค่าคงที่ ในกรณีที่สามไม่มีรากเลย อย่างไรก็ตาม $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ และ $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$ เช่น และในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบถัดไปก็จะเพิ่มขึ้นเพียง $\sqrt(2)$ (และอย่ากลัวว่าจำนวนนี้จะไม่มีเหตุผล)

ดังนั้น: ลำดับดังกล่าวทั้งหมดเรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ให้คำจำกัดความที่เข้มงวด:

คำนิยาม. ลำดับของตัวเลขที่แต่ละตัวถัดไปแตกต่างจากตัวเลขก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากันทุกประการ เรียกว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จำนวนที่ตัวเลขแตกต่างกันมากเรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้า และส่วนใหญ่มักแสดงด้วยตัวอักษร $d$

สัญลักษณ์: $\left(((a)_(n)) \right)$ คือความก้าวหน้าของมันเอง $d$ คือความแตกต่าง

และบันทึกสำคัญสองสามข้อ ประการแรกจะพิจารณาเฉพาะความก้าวหน้าเท่านั้น สั่งลำดับของตัวเลข: อนุญาตให้อ่านอย่างเคร่งครัดตามลำดับที่เขียน - และไม่มีอะไรอื่นอีก ไม่สามารถจัดเรียงหรือสลับหมายเลขได้

ประการที่สอง ลำดับนั้นสามารถเป็นได้ทั้งแบบจำกัดหรืออนันต์ ตัวอย่างเช่น เซต (1; 2; 3) เห็นได้ชัดว่าเป็นการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีขอบเขตจำกัด แต่ถ้าคุณเขียนอะไรบางอย่างด้วยจิตวิญญาณ (1; 2; 3; 4; ...) - นี่เป็นความก้าวหน้าที่ไม่มีที่สิ้นสุดอยู่แล้ว จุดไข่ปลาหลังสี่ดูเหมือนจะบอกเป็นนัยว่ายังมีตัวเลขอีกสองสามตัวที่จะตามมา มากมายนับไม่ถ้วน เป็นต้น :)

ฉันอยากจะทราบด้วยว่าความก้าวหน้าสามารถเพิ่มขึ้นหรือลดลงได้ เราได้เห็นอันที่เพิ่มขึ้นแล้ว - ชุดเดียวกัน (1; 2; 3; 4; ...) นี่คือตัวอย่างของความก้าวหน้าที่ลดลง:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

โอเค โอเค ตัวอย่างสุดท้ายอาจดูซับซ้อนเกินไป แต่ที่เหลือผมคิดว่าคุณเข้าใจ ดังนั้นเราจึงแนะนำคำจำกัดความใหม่:

คำนิยาม. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรียกว่า:

เพิ่มขึ้นหากแต่ละองค์ประกอบถัดไปมากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า

ลดลง ในทางกลับกัน หากแต่ละองค์ประกอบที่ตามมาน้อยกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า

นอกจากนี้ยังมีสิ่งที่เรียกว่าลำดับ "คงที่" ซึ่งประกอบด้วยหมายเลขซ้ำเดียวกัน ตัวอย่างเช่น (3; 3; 3; ...)

เหลือเพียงคำถามเดียว: จะแยกแยะความก้าวหน้าที่เพิ่มขึ้นจากความก้าวหน้าที่ลดลงได้อย่างไร? โชคดีที่ทุกอย่างที่นี่ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของตัวเลข $d$ เท่านั้น เช่น ความแตกต่างของความก้าวหน้า:

ถ้า $d \gt 0$ ความก้าวหน้าจะเพิ่มขึ้น
ถ้า $d \lt 0$ แสดงว่าความก้าวหน้าลดลงอย่างเห็นได้ชัด
ท้ายที่สุด มีกรณี $d=0$ - ในกรณีนี้ความก้าวหน้าทั้งหมดจะลดลงเหลือลำดับที่คงที่ซึ่งมีตัวเลขเหมือนกัน: (1; 1; 1; 1; ...) เป็นต้น

ลองคำนวณส่วนต่าง $d$ สำหรับความก้าวหน้าที่ลดลงสามรายการข้างต้น ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะนำองค์ประกอบสองรายการที่อยู่ติดกัน (เช่นองค์ประกอบที่หนึ่งและที่สอง) แล้วลบตัวเลขทางด้านซ้ายจากตัวเลขทางด้านขวา มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

ดังที่เราเห็นในทั้งสามกรณี ความแตกต่างกลายเป็นลบจริงๆ และตอนนี้เมื่อเราเข้าใจคำจำกัดความไม่มากก็น้อยแล้ว ก็ถึงเวลาที่จะพิจารณาว่ามีการอธิบายความก้าวหน้าอย่างไรและมีคุณสมบัติใดบ้าง

เงื่อนไขความก้าวหน้าและสูตรการเกิดซ้ำ

เนื่องจากองค์ประกอบของลำดับของเราไม่สามารถสลับได้ จึงสามารถกำหนดหมายเลขได้:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \ขวา$\]

องค์ประกอบแต่ละส่วนของชุดนี้เรียกว่าสมาชิกของความก้าวหน้า โดยระบุด้วยตัวเลข: สมาชิกตัวแรก สมาชิกคนที่สอง ฯลฯ

นอกจากนี้ดังที่เราทราบแล้วว่าเงื่อนไขใกล้เคียงของความก้าวหน้านั้นสัมพันธ์กันโดยสูตร:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\ลูกศรขวา ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

กล่าวโดยย่อ หากต้องการค้นหาระยะ $n$th ของความก้าวหน้า คุณต้องรู้ระยะ $n-1$th และส่วนต่าง $d$ สูตรนี้เรียกว่าเกิดซ้ำ เนื่องจากด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถค้นหาตัวเลขใดๆ ก็ได้โดยการรู้ตัวเลขก่อนหน้าเท่านั้น (และอันที่จริงคือตัวเลขก่อนหน้าทั้งหมด) สิ่งนี้ไม่สะดวกมากดังนั้นจึงมีสูตรที่ฉลาดกว่าซึ่งจะลดการคำนวณใด ๆ ลงเหลือเพียงเทอมแรกและความแตกต่าง:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

คุณคงเคยเจอสูตรนี้มาแล้ว พวกเขาชอบใส่ไว้ในหนังสืออ้างอิงและหนังสือแก้ปัญหาทุกประเภท และในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ที่สมเหตุสมผลเล่มใดเล่มหนึ่งก็เป็นหนึ่งในหนังสือเรียนเล่มแรกๆ

อย่างไรก็ตาม ฉันขอแนะนำให้คุณฝึกฝนสักหน่อย

ภารกิจที่ 1 เขียนสามเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$

สารละลาย. ดังนั้นเราจึงรู้เทอมแรก $((a)_(1))=8$ และผลต่างของความก้าวหน้า $d=-5$ ลองใช้สูตรที่เพิ่งให้มาและแทนที่ $n=1$, $n=2$ และ $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(จัดแนว)\]

คำตอบ: (8; 3; −2)

แค่นั้นแหละ! โปรดทราบ: ความก้าวหน้าของเราลดลง

แน่นอนว่า $n=1$ ไม่สามารถทดแทนได้ - เรารู้จักเทอมแรกอยู่แล้ว อย่างไรก็ตาม โดยการแทนที่ความสามัคคี เรามั่นใจว่าแม้ในระยะแรกสูตรของเราก็ยังใช้ได้ ในกรณีอื่น ๆ ทุกอย่างล้วนเป็นเลขคณิตซ้ำซาก

ภารกิจที่ 2 เขียนสามเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ลงไป ถ้าเทอมที่เจ็ดเท่ากับ −40 และเทอมที่สิบเจ็ดเท่ากับ −50

สารละลาย. ลองเขียนเงื่อนไขของปัญหาด้วยเงื่อนไขที่คุ้นเคย:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \ขวา.\]

ฉันใส่เครื่องหมายระบบเพราะจะต้องปฏิบัติตามข้อกำหนดเหล่านี้พร้อมกัน ตอนนี้ โปรดทราบว่าถ้าเราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง (เรามีสิทธิ์ที่จะทำเช่นนี้ เนื่องจากเรามีระบบ) เราจะได้สิ่งนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((ก)_(1))+16d-((ก)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&ง=-1. \\ \end(จัดแนว)\]

นั่นเป็นวิธีที่ง่ายในการค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้า! สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่ตัวเลขที่พบลงในสมการใดๆ ของระบบ ตัวอย่างเช่น ในตอนแรก:

\[\begin(เมทริกซ์) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ก)_(1))=-40+6=-34 \\ \end(เมทริกซ์)\]

ตอนนี้เมื่อรู้เทอมแรกและความแตกต่างแล้ว ยังคงต้องค้นหาเทอมที่สองและสาม:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((ก)_(3))=((ก)_(1))+2d=-34-2=-36 \\ \end(จัดแนว)\]

พร้อม! ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

คำตอบ: (−34; −35; −36)

สังเกตคุณสมบัติที่น่าสนใจของความก้าวหน้าที่เราค้นพบ: ถ้าเรานำเทอม $n$th และ $m$th มาลบออกจากกัน เราจะได้ผลต่างของความก้าวหน้าคูณด้วยตัวเลข $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

คุณสมบัติที่เรียบง่าย แต่มีประโยชน์มากที่คุณต้องรู้อย่างแน่นอน - ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถเร่งการแก้ปัญหาความก้าวหน้าหลายอย่างได้อย่างมาก นี่คือตัวอย่างที่ชัดเจนของสิ่งนี้:

ภารกิจที่ 3 เทอมที่ห้าของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ 8.4 และเทอมที่สิบคือ 14.4 ค้นหาระยะที่สิบห้าของความก้าวหน้านี้

สารละลาย. เนื่องจาก $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ และเราจำเป็นต้องค้นหา $((a)_(15))$ เราจึงสังเกตสิ่งต่อไปนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((ก)_(10))-((ก)_(5))=5d \\ \end(จัดแนว)\]

แต่ตามเงื่อนไข $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ ดังนั้น $5d=6$ ซึ่งเรามี:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((ก)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(จัดแนว)\]

คำตอบ: 20.4

แค่นั้นแหละ! เราไม่จำเป็นต้องสร้างระบบสมการใดๆ และคำนวณเทอมแรกและผลต่าง - ทุกอย่างแก้ไขได้ภายในสองสามบรรทัด

ตอนนี้เรามาดูปัญหาอีกประเภทหนึ่ง - การค้นหาเงื่อนไขเชิงลบและเชิงบวกของความก้าวหน้า ไม่มีความลับว่าหากความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นและเทอมแรกเป็นลบ ไม่ช้าก็เร็วเงื่อนไขเชิงบวกจะปรากฏขึ้น และในทางกลับกัน: เงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ลดลงจะกลายเป็นเชิงลบไม่ช้าก็เร็ว

ในเวลาเดียวกัน เป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะค้นหาช่วงเวลานี้แบบ "เผชิญหน้า" โดยการดูองค์ประกอบต่างๆ ตามลำดับ บ่อยครั้งที่ปัญหาถูกเขียนในลักษณะที่ไม่รู้สูตร การคำนวณต้องใช้กระดาษหลายแผ่น เราจะหลับไปในขณะที่เราพบคำตอบ ดังนั้นเรามาลองแก้ไขปัญหาเหล่านี้ให้เร็วขึ้นกันดีกว่า

ภารกิจที่ 4 มีพจน์ที่เป็นลบจำนวนเท่าใดในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ −38.5; −35.8; -

สารละลาย. ดังนั้น $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$ จากจุดที่เราพบความแตกต่างทันที:

โปรดทราบว่าความแตกต่างนั้นเป็นค่าบวก ดังนั้นความก้าวหน้าจึงเพิ่มขึ้น เทอมแรกเป็นลบ ดังนั้นเมื่อถึงจุดหนึ่ง เราก็จะสะดุดกับจำนวนบวก คำถามเดียวคือเมื่อสิ่งนี้จะเกิดขึ้น

ลองหาดูว่าเงื่อนไขเชิงลบจะคงอยู่นานเท่าใด (เช่น ขึ้นอยู่กับจำนวนธรรมชาติ $n$):

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\ลูกศรขวา ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\ลูกศรขวา ((n)_(\สูงสุด ))=15 \\ \end(จัดแนว)\]

บรรทัดสุดท้ายต้องมีคำอธิบายบางอย่าง เรารู้ว่า $n \lt 15\frac(7)(27)$ ในทางกลับกัน เราพอใจกับค่าจำนวนเต็มของตัวเลขเท่านั้น (ยิ่งกว่านั้น: $n\in \mathbb(N)$) ดังนั้นจำนวนที่อนุญาตมากที่สุดคือ $n=15$ อย่างแม่นยำ และไม่ว่าในกรณีใด 16 .

ภารกิจที่ 5 ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ จงหาจำนวนพจน์บวกแรกของความก้าวหน้านี้

นี่จะเป็นปัญหาเดียวกันกับปัญหาก่อนหน้าทุกประการ แต่เราไม่ทราบ $((a)_(1))$ แต่ทราบคำศัพท์ใกล้เคียง: $((a)_(5))$ และ $((a)_(6))$ ดังนั้นเราจึงสามารถค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:

นอกจากนี้ เรามาลองแสดงพจน์ที่ห้าผ่านพจน์แรกและความแตกต่างโดยใช้สูตรมาตรฐาน:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((ก)_(5))=((ก)_(1))+4d; \\ & -150=((ก)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((ก)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(จัดแนว)\]

ตอนนี้เราดำเนินการโดยการเปรียบเทียบกับงานก่อนหน้า มาดูกันว่าตัวเลขบวกลำดับใดจะปรากฏขึ้นที่จุดใด:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ลูกศรขวา ((n)_(\min ))=56 \\ \end(จัดแนว)\]

วิธีแก้จำนวนเต็มขั้นต่ำของอสมการนี้คือเลข 56

โปรดทราบ: ในงานสุดท้าย ทุกอย่างเกิดจากความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด ดังนั้นตัวเลือก $n=55$ จะไม่เหมาะกับเรา

ตอนนี้เราได้เรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาง่ายๆ แล้ว เรามาดูปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นกันดีกว่า แต่ก่อนอื่น เรามาศึกษาคุณสมบัติที่มีประโยชน์อีกอย่างหนึ่งของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กันดีกว่า ซึ่งจะช่วยประหยัดเวลาและเซลล์ที่ไม่เท่ากันได้มากในอนาคต :)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและการเยื้องเท่ากัน

ลองพิจารณาพจน์ที่ต่อเนื่องกันหลายพจน์ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้น $\left(((a)_(n)) \right)$ ลองทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน:

เงื่อนไขความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์บนเส้นจำนวน

ฉันทำเครื่องหมายเงื่อนไขที่กำหนดเองโดยเฉพาะ $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ และไม่ใช่บางส่วน $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ฯลฯ เพราะกฎที่ฉันจะบอกคุณตอนนี้ใช้ได้ผลเหมือนกันกับ "กลุ่ม" ใดๆ

และกฎก็ง่ายมาก จำสูตรที่เกิดซ้ำแล้วเขียนสำหรับเงื่อนไขที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((ก)_(n-1))=((ก)_(n-2))+d; \\ & ((ก)_(n))=((ก)_(n-1))+d; \\ & ((ก)_(n+1))=((ก)_(n))+d; \\ & ((ก)_(n+2))=((ก)_(n+1))+d; \\ \end(จัดแนว)\]

อย่างไรก็ตาม ความเท่าเทียมกันเหล่านี้สามารถเขียนใหม่ให้แตกต่างออกไปได้:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((ก)_(n-2))=((ก)_(n))-2d; \\ & ((ก)_(n-3))=((ก)_(n))-3d; \\ & ((ก)_(n+1))=((ก)_(n))+d; \\ & ((ก)_(n+2))=((ก)_(n))+2d; \\ & ((ก)_(n+3))=((ก)_(n))+3d; \\ \end(จัดแนว)\]

แล้วไงล่ะ? และความจริงที่ว่าเงื่อนไข $((a)_(n-1))$ และ $((a)_(n+1))$ อยู่ในระยะห่างเท่ากันจาก $((a)_(n)) $ . และระยะนี้เท่ากับ $d$ เช่นเดียวกันอาจกล่าวได้เกี่ยวกับเงื่อนไข $((a)_(n-2))$ และ $((a)_(n+2))$ - พวกมันก็ถูกลบออกจาก $((a)_(n) เช่นกัน )$ ที่ระยะเท่ากันเท่ากับ $2d$ เราสามารถดำเนินต่อไปได้ไม่จำกัด แต่ภาพก็อธิบายความหมายได้ดี

เงื่อนไขของความก้าวหน้าอยู่ห่างจากศูนย์กลางเท่ากัน

สิ่งนี้มีความหมายสำหรับเราอย่างไร? ซึ่งหมายความว่า $((a)_(n))$ สามารถพบได้หากทราบตัวเลขใกล้เคียง:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

เราได้รับข้อความที่ยอดเยี่ยม: ทุกพจน์ของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์ข้างเคียง! ยิ่งกว่านั้น: เราสามารถถอยจาก $((a)_(n))$ ของเราไปทางซ้ายและทางขวาได้ ไม่ใช่ทีละก้าว แต่เป็นก้าว $k$ - และสูตรจะยังคงถูกต้อง:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

เหล่านั้น. เราสามารถหา $((a)_(150))$ บางส่วนได้อย่างง่ายดายถ้าเรารู้ $((a)_(100))$ และ $((a)_(200))$ เพราะ $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าข้อเท็จจริงข้อนี้ไม่ได้ให้ประโยชน์อะไรแก่เราเลย อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ ปัญหาหลายอย่างได้รับการออกแบบเป็นพิเศษเพื่อใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ลองดู:

ภารกิจที่ 6 ค้นหาค่าทั้งหมดของ $x$ โดยที่ตัวเลข $-6((x)^(2))$, $x+1$ และ $14+4((x)^(2))$ เป็นเทอมที่ต่อเนื่องกันของ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ตามลำดับที่ระบุ)

สารละลาย. เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้เป็นสมาชิกของความก้าวหน้า เงื่อนไขค่าเฉลี่ยเลขคณิตจึงเป็นที่พอใจสำหรับตัวเลขเหล่านี้: องค์ประกอบส่วนกลาง $x+1$ สามารถแสดงในรูปขององค์ประกอบข้างเคียงได้:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0 \\ \end(จัดแนว)\]

ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการกำลังสองแบบคลาสสิก รากของมัน: $x=2$ และ $x=-3$ คือคำตอบ

คำตอบ: −3; 2.

ภารกิจที่ 7 ค้นหาค่าของ $$ ซึ่งตัวเลข $-1;4-3;(()^(2))+1$ ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ตามลำดับนั้น)

สารละลาย. ให้เราแสดงระยะกลางอีกครั้งผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์ข้างเคียง:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0 \\ \end(จัดแนว)\]

สมการกำลังสองอีกครั้ง และอีกครั้งมีสองราก: $x=6$ และ $x=1$

คำตอบ: 1; 6.

หากในกระบวนการแก้ไขปัญหาคุณเกิดตัวเลขที่โหดร้ายหรือคุณไม่แน่ใจในความถูกต้องของคำตอบที่พบทั้งหมดมีเทคนิคที่ยอดเยี่ยมที่ให้คุณตรวจสอบได้: เราแก้ไขปัญหาถูกต้องหรือไม่?

สมมติว่าในปัญหาข้อ 6 เราได้รับคำตอบ −3 และ 2 เราจะตรวจสอบได้อย่างไรว่าคำตอบเหล่านี้ถูกต้อง ลองเสียบเข้ากับสภาพเดิมแล้วดูว่าจะเกิดอะไรขึ้น ฉันขอเตือนคุณว่าเรามีตัวเลขสามตัว ($-6(()^(2))$, $+1$ และ $14+4(()^(2))$) ซึ่งจะต้องก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แทน $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\ลูกศรขวา \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(จัดแนว)\]

เราได้ตัวเลข −54; −2; 50 ที่แตกต่างกันด้วย 52 ถือเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างไม่ต้องสงสัย สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นสำหรับ $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\ลูกศรขวา \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(จัดแนว)\]

ก้าวหน้าอีกครั้งแต่มีผลต่าง 27 ดังนั้นปัญหาจึงได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง ผู้ที่ต้องการสามารถตรวจสอบปัญหาที่สองได้ด้วยตนเอง แต่ฉันจะพูดทันที: ทุกอย่างถูกต้องเช่นกัน

โดยทั่วไป ขณะแก้ไขปัญหาสุดท้าย เราพบข้อเท็จจริงที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งที่ต้องจำไว้ด้วย:

หากตัวเลขสามตัวทำให้ตัวเลขที่สองเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของเลขตัวแรกและตัวสุดท้าย ตัวเลขเหล่านี้ก็จะก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในอนาคต การทำความเข้าใจข้อความนี้จะช่วยให้เรา "สร้าง" ความก้าวหน้าที่จำเป็นตามเงื่อนไขของปัญหาได้อย่างแท้จริง แต่ก่อนที่เราจะ "ก่อสร้าง" ดังกล่าว เราควรให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่งซึ่งตามมาโดยตรงจากสิ่งที่ได้พูดคุยกันไปแล้ว

การจัดกลุ่มและการรวมองค์ประกอบ

ลองกลับไปสู่แกนจำนวนอีกครั้ง ให้เราสังเกตว่ามีสมาชิกหลายคนของความก้าวหน้าซึ่งอาจเกิดขึ้นระหว่างนั้น มีค่าต่อสมาชิกคนอื่นๆ มากมาย:

มีองค์ประกอบ 6 ประการที่ทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน

ลองแสดง "หางซ้าย" ถึง $((a)_(n))$ และ $d$ และ "หางขวา" ถึง $((a)_(k))$ และ $d$ มันง่ายมาก:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((ก)_(n+2))=((ก)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(จัดแนว)\]

โปรดทราบว่าจำนวนเงินต่อไปนี้จะเท่ากัน:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= เอส; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ส. \end(จัดแนว)\]

พูดง่ายๆ ก็คือ ถ้าเราพิจารณาว่าเป็นการเริ่มต้นสององค์ประกอบของความก้าวหน้า ซึ่งโดยรวมแล้วเท่ากับตัวเลข $S$ จากนั้นจึงเริ่มก้าวจากองค์ประกอบเหล่านี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม (เข้าหากันหรือกลับกันเพื่อเคลื่อนตัวออกไป) แล้ว ผลรวมขององค์ประกอบที่เราจะสะดุดก็จะเท่ากันด้วย$เอส$. สิ่งนี้สามารถแสดงได้ชัดเจนที่สุดในรูปแบบกราฟิก:

การเยื้องที่เท่ากันจะให้ปริมาณที่เท่ากัน

การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงนี้จะช่วยให้เราแก้ไขปัญหาที่มีระดับความซับซ้อนที่สูงกว่าโดยพื้นฐานมากกว่าที่เราพิจารณาข้างต้น ตัวอย่างเช่น:

ภารกิจที่ 8 หาผลต่างของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยเทอมแรกคือ 66 และผลิตภัณฑ์ของเทอมที่สองและสิบสองมีค่าน้อยที่สุด

สารละลาย. มาเขียนทุกสิ่งที่เรารู้:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min \end(จัดแนว)\]

ดังนั้นเราจึงไม่ทราบความแตกต่างของความก้าวหน้า $d$ จริงๆ แล้ว วิธีแก้ปัญหาทั้งหมดจะถูกสร้างขึ้นโดยคำนึงถึงความแตกต่าง เนื่องจากผลิตภัณฑ์ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((ก)_(12))=((ก)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right) \end(จัดแนว)\]

สำหรับผู้ที่อยู่ในรถถัง: ฉันเอาตัวคูณโดยรวมของ 11 จากวงเล็บที่สอง ดังนั้น ผลคูณที่ต้องการคือฟังก์ชันกำลังสองเทียบกับตัวแปร $d$ ดังนั้น ให้พิจารณาฟังก์ชัน $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - กราฟของมันจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านหงาย เนื่องจาก ถ้าเราขยายวงเล็บเราจะได้:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างที่คุณเห็น ค่าสัมประสิทธิ์ของเทอมสูงสุดคือ 11 ซึ่งเป็นจำนวนบวก ดังนั้นเราจึงกำลังเผชิญกับพาราโบลาที่มีกิ่งก้านสูงขึ้น:

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง - พาราโบลา
โปรดทราบ: พาราโบลานี้รับค่าต่ำสุดที่จุดยอดด้วย abscissa $((d)_(0))$ แน่นอน เราสามารถคำนวณค่า Abscissa นี้โดยใช้รูปแบบมาตรฐาน (มีสูตร $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) แต่จะสมเหตุสมผลกว่ามากหากสังเกต จุดยอดที่ต้องการนั้นอยู่บนสมมาตรของแกนของพาราโบลา ดังนั้นจุด $((d)_(0))$ จึงอยู่ห่างจากรากของสมการเท่ากัน $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(จัดแนว)\]

นั่นคือเหตุผลที่ฉันไม่รีบร้อนที่จะเปิดวงเล็บ: ในรูปแบบดั้งเดิมรากนั้นหาง่ายมาก ดังนั้น Abscissa จึงเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลข −66 และ −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

ตัวเลขที่ค้นพบให้อะไรแก่เรา? ด้วยเหตุนี้ ผลิตภัณฑ์ที่ต้องการจะใช้ค่าที่น้อยที่สุด (อย่างไรก็ตาม เราไม่เคยคำนวณ $((y)_(\min ))$ ซึ่งเราไม่ต้องการ) ในขณะเดียวกันตัวเลขนี้ก็เป็นส่วนต่างจากความก้าวหน้าเดิมนั่นคือ เราพบคำตอบแล้ว :)

คำตอบ: −36

ภารกิจที่ 9 ระหว่างตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $-\frac(1)(6)$ ให้ใส่ตัวเลขสามตัวเข้าด้วยกัน เพื่อที่เมื่อรวมกับตัวเลขเหล่านี้แล้ว จะกลายเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

สารละลาย. โดยพื้นฐานแล้ว เราต้องสร้างลำดับของตัวเลขห้าตัว โดยที่ทราบตัวเลขตัวแรกและตัวสุดท้ายแล้ว เรามาแสดงตัวเลขที่หายไปด้วยตัวแปร $x$, $y$ และ $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

โปรดทราบว่าตัวเลข $y$ คือ "ตรงกลาง" ของลำดับของเรา - มันมีระยะห่างเท่ากันจากตัวเลข $x$ และ $z$ และจากตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $-\frac (1)( 6)$. และหากเราไม่สามารถรับ $y$ จากตัวเลข $x$ และ $z$ ได้ แสดงว่าสถานการณ์จะแตกต่างออกไปเมื่อสิ้นสุดความก้าวหน้า จำค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

ตอนนี้เมื่อรู้ $y$ เราก็จะพบตัวเลขที่เหลือ โปรดทราบว่า $x$ อยู่ระหว่างตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $y=-\frac(1)(3)$ ที่เราเพิ่งพบ นั่นเป็นเหตุผล

โดยใช้เหตุผลเดียวกัน เราจะพบจำนวนที่เหลือ:

พร้อม! เราพบตัวเลขทั้งสามตัว ลองเขียนคำตอบตามลำดับที่ควรแทรกระหว่างตัวเลขเดิม

คำตอบ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

ภารกิจที่ 10 ระหว่างตัวเลข 2 ถึง 42 ให้ใส่ตัวเลขหลายๆ ตัวที่เมื่อรวมกับตัวเลขเหล่านี้แล้ว จะทำให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หากคุณรู้ว่าผลรวมของตัวเลขตัวแรก ตัวที่สอง และตัวสุดท้ายคือ 56

สารละลาย. ปัญหาที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นซึ่งได้รับการแก้ไขตามรูปแบบเดียวกันกับปัญหาก่อนหน้า - ผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิต ปัญหาคือเราไม่รู้ว่าต้องใส่ตัวเลขจำนวนเท่าใด ดังนั้น ให้เราสันนิษฐานเพื่อความแน่ชัดว่าหลังจากใส่ทุกอย่างแล้ว จะมีตัวเลข $n$ พอดี และตัวแรกคือ 2 และตัวสุดท้ายคือ 42 ในกรณีนี้ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสามารถแสดงได้ในรูปแบบ:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( ก)_(n-1));42 \ขวา$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าตัวเลข $((a)_(2))$ และ $((a)_(n-1))$ ได้มาจากตัวเลข 2 และ 42 ที่ขอบโดยหันเข้าหากันหนึ่งก้าว เช่น. . ไปที่ศูนย์กลางของลำดับ และนี่หมายความว่า

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

แต่นิพจน์ที่เขียนข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((ก)_(3))=56; \\ & ((ก)_(3))=56-44=12. \\ \end(จัดแนว)\]

เมื่อทราบ $((a)_(3))$ และ $((a)_(1))$ เราจะสามารถค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\ลูกศรขวา d=5 \\ \end(จัดแนว)\]

สิ่งที่เหลืออยู่คือการค้นหาเงื่อนไขที่เหลือ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((ก)_(2))=2+5=7; \\ & ((ก)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(จัดแนว)\]

ดังนั้นในขั้นตอนที่ 9 เราจะมาถึงทางด้านซ้ายสุดของลำดับ - หมายเลข 42 โดยรวมแล้วต้องใส่ตัวเลขเพียง 7 ตัวเท่านั้น: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

คำตอบ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

ปัญหาคำกับความก้าวหน้า

โดยสรุป ฉันต้องการพิจารณาปัญหาง่ายๆ สองสามข้อ ง่ายๆ อย่างนั้น: สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ที่เรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนและไม่ได้อ่านสิ่งที่เขียนไว้ข้างต้น ปัญหาเหล่านี้อาจดูยาก อย่างไรก็ตาม นี่คือปัญหาประเภทต่างๆ ที่ปรากฏใน OGE และการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นฉันขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับปัญหาเหล่านี้

ภารกิจที่ 11 ทีมงานผลิตชิ้นส่วนได้ 62 ชิ้นในเดือนมกราคม และในแต่ละเดือนต่อมาพวกเขาผลิตได้เพิ่มขึ้น 14 ชิ้นจากเดือนก่อนหน้า เดือนพฤศจิกายนทีมงานผลิตได้กี่ชิ้น?

สารละลาย. แน่นอนว่าจำนวนส่วนที่แสดงตามเดือนจะแสดงถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้น นอกจากนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

พฤศจิกายนเป็นเดือนที่ 11 ของปี ดังนั้นเราจึงต้องหา $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

ดังนั้นจะมีการผลิต 202 ชิ้นในเดือนพฤศจิกายน

ภารกิจที่ 12 เวิร์คช็อปเย็บเล่มหนังสือ 216 เล่มในเดือนมกราคม และในแต่ละเดือนถัดไปจะผูกหนังสือได้มากกว่าเดือนก่อน 4 เล่ม การประชุมเชิงปฏิบัติการผูกหนังสือกี่เล่มในเดือนธันวาคม

สารละลาย. ทุกอย่างเหมือนกัน:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ธันวาคมเป็นเดือนที่ 12 สุดท้ายของปี ดังนั้นเราจึงกำลังมองหา $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

นี่คือคำตอบ - หนังสือ 260 เล่มจะเข้าเล่มในเดือนธันวาคม

ถ้าคุณอ่านมาได้ไกลขนาดนี้ ฉันขอแสดงความยินดีกับคุณทันที คุณสำเร็จ "หลักสูตรนักสู้รุ่นเยาว์" ในด้านความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว คุณสามารถไปยังบทเรียนถัดไปได้อย่างปลอดภัยซึ่งเราจะศึกษาสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าตลอดจนผลที่ตามมาที่สำคัญและมีประโยชน์มาก

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือชุดของตัวเลขซึ่งแต่ละตัวเลขจะมากกว่า (หรือน้อยกว่า) กว่าตัวเลขก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากัน

หัวข้อนี้มักจะดูซับซ้อนและเข้าใจยาก ดัชนีตัวอักษรระยะที่ n ของความก้าวหน้าความแตกต่างของความก้าวหน้า - ทั้งหมดนี้ทำให้เกิดความสับสนใช่... ลองหาความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้วทุกอย่างจะดีขึ้นทันที)

แนวคิดเรื่องความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่เรียบง่ายและชัดเจน คุณมีข้อสงสัยหรือไม่? เปล่าประโยชน์) ดูเอาเอง

ฉันจะเขียนชุดตัวเลขที่ยังเขียนไม่เสร็จ:

1, 2, 3, 4, 5, ...

คุณสามารถขยายซีรี่ส์นี้ได้หรือไม่? ต่อไปจะเลขอะไรหลังจากเลขห้า? ทุกคน...เอ่อ...พูดสั้นๆ ทุกคนจะรู้ว่าเลข 6, 7, 8, 9 ฯลฯ จะมาตามมา

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น ฉันให้ชุดตัวเลขที่ยังไม่เสร็จแก่คุณ:

2, 5, 8, 11, 14, ...

คุณจะสามารถจับลาย ขยายซีรีส์ และตั้งชื่อได้ ที่เจ็ดหมายเลขแถว?

หากคุณรู้ว่าตัวเลขนี้คือ 20 ยินดีด้วย! ไม่เพียงแต่คุณรู้สึกเท่านั้น ประเด็นสำคัญของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แต่ยังนำไปใช้ในธุรกิจได้สำเร็จอีกด้วย! หากคุณยังไม่เข้าใจให้อ่านต่อ

ตอนนี้เรามาแปลประเด็นสำคัญจากความรู้สึกเป็นคณิตศาสตร์กันดีกว่า)

จุดสำคัญประการแรก

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับชุดตัวเลขนี่เป็นความสับสนในตอนแรก เราคุ้นเคยกับการแก้สมการ การวาดกราฟ และอื่นๆ... แต่ที่นี่เราขยายอนุกรม หาจำนวนอนุกรม...

ไม่เป็นไร. เพียงแต่ว่าความก้าวหน้าคือการได้รู้จักกับสาขาวิชาคณิตศาสตร์สาขาใหม่เป็นครั้งแรก ส่วนนี้เรียกว่า "ซีรี่ส์" และใช้ได้กับชุดตัวเลขและสำนวนโดยเฉพาะ คุ้นเคยกันดี..)

จุดสำคัญที่สอง

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จำนวนใดๆ จะแตกต่างจากจำนวนก่อนหน้า ด้วยจำนวนที่เท่ากัน

ในตัวอย่างแรก ความแตกต่างนี้คือหนึ่ง ไม่ว่าคุณจะเอาเลขอะไรก็ตาม มันมากกว่าเลขก่อนหน้าหนึ่งตัว ในช่วงที่สอง - สาม จำนวนใด ๆ ก็ตามจะมากกว่าจำนวนก่อนหน้าสามเท่า จริงๆ แล้วมันเป็นช่วงเวลานี้เองที่เปิดโอกาสให้เราเข้าใจรูปแบบและคำนวณตัวเลขที่ตามมา

จุดสำคัญประการที่สาม

ช่วงเวลานี้ไม่โดดเด่น ใช่... แต่มันสำคัญมากจริงๆ นี่คือ: หมายเลขความก้าวหน้าแต่ละหมายเลขอยู่ในตำแหน่งของมันมีเลขตัวแรก มีเลขเจ็ด มีเลขสี่สิบห้า ฯลฯ หากคุณผสมพวกมันแบบสุ่ม รูปแบบจะหายไป ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ก็จะหายไปเช่นกัน ที่เหลือก็แค่ชุดตัวเลข

นั่นคือประเด็นทั้งหมด

แน่นอนว่าข้อกำหนดและการกำหนดใหม่จะปรากฏในหัวข้อใหม่ คุณจำเป็นต้องรู้จักพวกเขา ไม่เช่นนั้นคุณจะไม่เข้าใจงาน ตัวอย่างเช่น คุณจะต้องตัดสินใจบางอย่างเช่น:

เขียนหกเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า a 2 = 5, d = -2.5

สร้างแรงบันดาลใจใช่ไหม) จดหมาย ดัชนีบางส่วน... และงานนี้ไม่มีอะไรง่ายไปกว่านี้แล้ว คุณเพียงแค่ต้องเข้าใจความหมายของคำศัพท์และการกำหนด ตอนนี้เราจะเชี่ยวชาญเรื่องนี้และกลับสู่ภารกิจอีกครั้ง

ข้อกำหนดและการกำหนด

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือชุดตัวเลขที่แต่ละหมายเลขมีความแตกต่างจากหมายเลขก่อนหน้า ด้วยจำนวนที่เท่ากัน

ปริมาณนี้เรียกว่า - ลองดูแนวคิดนี้โดยละเอียด

ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือจำนวนเงินตามจำนวนความก้าวหน้าใดๆ มากกว่าอันก่อนหน้า

จุดสำคัญประการหนึ่ง โปรดใส่ใจกับคำว่า "มากกว่า".ในทางคณิตศาสตร์ หมายความว่าแต่ละหมายเลขความก้าวหน้าเป็น โดยการเพิ่มผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขก่อนหน้า

ในการคำนวณสมมติว่า ที่สองคุณต้องมีหมายเลขซีรีส์ อันดับแรกตัวเลข เพิ่มความแตกต่างอย่างมากของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สำหรับการคำนวณ ที่ห้า- ความแตกต่างเป็นสิ่งจำเป็น เพิ่มถึง ที่สี่อืม ฯลฯ

ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อาจจะ เชิงบวก,แล้วแต่ละตัวเลขในชุดก็จะกลายเป็นตัวเลขจริง มากกว่าครั้งก่อนความก้าวหน้านี้เรียกว่า เพิ่มขึ้น.ตัวอย่างเช่น:

8; 13; 18; 23; 28; .....

ที่นี่แต่ละหมายเลขจะได้รับ โดยการเพิ่มจำนวนบวก +5 จากจำนวนก่อนหน้า

ความแตกต่างอาจจะเป็น เชิงลบ,แล้วแต่ละหมายเลขในชุดจะเป็น น้อยกว่าครั้งก่อนความก้าวหน้านี้เรียกว่า (คุณจะไม่เชื่อมัน!) ลดลง.

ตัวอย่างเช่น:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ที่นี่แต่ละหมายเลขก็ได้รับเช่นกัน โดยการเพิ่มไปที่อันก่อนหน้าแต่เป็นเลขลบอยู่แล้ว -5

อย่างไรก็ตาม เมื่อทำงานกับความก้าวหน้า จะมีประโยชน์มากในการกำหนดธรรมชาติของมันทันที ไม่ว่าจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงก็ตาม สิ่งนี้ช่วยได้มากในการตัดสินใจ มองเห็นข้อผิดพลาด และแก้ไขก่อนที่จะสายเกินไป

ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มักจะแสดงด้วยตัวอักษร ง.

จะหาได้อย่างไร ง- ง่ายมาก จำเป็นต้องลบออกจากตัวเลขใดๆ ในชุดข้อมูล ก่อนหน้าตัวเลข. ลบ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ของการลบเรียกว่า "ผลต่าง")

ให้เรานิยาม เช่น งเพื่อเพิ่มความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

2, 5, 8, 11, 14, ...

เราเอาตัวเลขใดๆ ในชุดที่เราต้องการ เช่น 11 มาลบออก หมายเลขก่อนหน้าเหล่านั้น. 8:

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง สำหรับการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ ความแตกต่างคือสาม

คุณสามารถรับมันได้ หมายเลขความก้าวหน้าใด ๆเพราะ เพื่อความก้าวหน้าโดยเฉพาะ ด-เหมือนเดิมเสมออย่างน้อยก็ที่ต้นแถว อย่างน้อยก็ตรงกลาง อย่างน้อยก็ที่ไหนก็ได้ คุณไม่สามารถรับเฉพาะหมายเลขแรกเท่านั้น เพียงเพราะเลขตัวแรกสุด ไม่มีอันก่อนหน้า)

อีกอย่างก็รู้แบบนั้น. ง=3การค้นหาเลขลำดับที่ 7 ของความก้าวหน้านี้ทำได้ง่ายมาก ลองบวก 3 เข้ากับเลขห้า - เราได้เลขหก มันจะเป็น 17 ลองบวกสามเข้ากับเลขหก เราจะได้เลขเจ็ด - ยี่สิบ

เรามากำหนดกัน งสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จากมากไปหาน้อย:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ฉันเตือนคุณว่าต้องพิจารณาโดยไม่คำนึงถึงสัญญาณ งจำเป็นจากหมายเลขใด ๆ เอาอันก่อนหน้าออกไปเลือกหมายเลขความก้าวหน้า เช่น -7 หมายเลขก่อนหน้าของเขาคือ -2 แล้ว:

ง = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

ผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อาจเป็นจำนวนเท่าใดก็ได้: จำนวนเต็ม เศษส่วน จำนวนอตรรกยะ หรือจำนวนใดก็ได้

ข้อกำหนดและการกำหนดอื่น ๆ

แต่ละหมายเลขในชุดเรียกว่า สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

สมาชิกแต่ละคนก้าวหน้า มีหมายเลขของตัวเองตัวเลขเป็นไปตามลำดับอย่างเคร่งครัดโดยไม่มีลูกเล่นใดๆ ที่หนึ่ง สอง สาม สี่ ฯลฯ เช่น ในขั้นที่ 2, 5, 8, 11, 14, ... สองคือเทอมแรก ห้าคือเทอมสอง สิบเอ็ดคือเทอมสี่ เข้าใจไหม...) โปรดเข้าใจให้ชัดเจน - ตัวเลขนั้นเองสามารถเป็นอะไรก็ได้ ทั้งหมด เศษส่วน ลบ อะไรก็ได้ แต่ การนับตัวเลข- อย่างเคร่งครัด!

จะเขียนความก้าวหน้าในรูปแบบทั่วไปได้อย่างไร? ไม่มีคำถาม! แต่ละตัวเลขในชุดจะเขียนเป็นตัวอักษร โดยปกติจะใช้ตัวอักษรเพื่อแสดงถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ก- หมายเลขสมาชิกจะแสดงด้วยดัชนีที่มุมขวาล่าง เราเขียนคำศัพท์โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (หรืออัฒภาค) เช่นนี้

1, 2, 3, 4, 5, .....

1- นี่คือหมายเลขแรก 3- ที่สาม ฯลฯ ไม่มีอะไรแฟนซี ชุดนี้สามารถเขียนสั้น ๆ ได้ดังนี้: (หนึ่ง).

ความก้าวหน้าเกิดขึ้น มีขอบเขตและไม่มีที่สิ้นสุด

สุดยอดความก้าวหน้ามีจำนวนสมาชิกจำกัด ห้า สามสิบแปด อะไรก็ได้ แต่มันเป็นจำนวนจำกัด

อนันต์ความก้าวหน้า - มีจำนวนสมาชิกไม่สิ้นสุด อย่างที่คุณอาจเดาได้)

คุณสามารถเขียนความคืบหน้าขั้นสุดท้ายผ่านชุดข้อมูลลักษณะนี้ โดยมีทุกพจน์และมีจุดต่อท้าย:

1, 2, 3, 4, 5.

หรือแบบนี้ถ้ามีสมาชิกเยอะ:

1, 2, ... 14, 15

ในรายการสั้น ๆ คุณจะต้องระบุจำนวนสมาชิกเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น (สำหรับสมาชิกยี่สิบคน) ดังนี้:

(น) n = 20

ความก้าวหน้าที่ไม่สิ้นสุดสามารถรับรู้ได้ด้วยจุดไข่ปลาที่ท้ายแถว ดังตัวอย่างในบทเรียนนี้

ตอนนี้คุณสามารถแก้ไขงานได้ งานนั้นเรียบง่าย เพียงเพื่อทำความเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่านั้น

ตัวอย่างงานเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มาดูรายละเอียดงานที่ให้ไว้ข้างต้นโดยละเอียด:

1. เขียนหกเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า a 2 = 5, d = -2.5

เราแปลงานเป็นภาษาที่เข้าใจได้ มีการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างไม่สิ้นสุด ทราบความก้าวหน้าหมายเลขที่สอง: ก 2 = 5ทราบความแตกต่างของความก้าวหน้า: ง = -2.5เราจำเป็นต้องค้นหาเทอมที่หนึ่ง สาม สี่ ห้า และหกของความก้าวหน้านี้

เพื่อความชัดเจน ฉันจะเขียนชุดตามเงื่อนไขของปัญหา หกเทอมแรก โดยเทอมที่สองคือห้า:

1, 5, 3, 4, 5, 6,....

3 = 2 + ง

ทดแทนในการแสดงออก ก 2 = 5และ ง = -2.5- อย่าลืมเกี่ยวกับลบ!

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

เทอมที่สามมีขนาดเล็กกว่าเทอมที่สอง ทุกอย่างมีเหตุผล หากจำนวนมากกว่าครั้งก่อน เชิงลบค่าซึ่งหมายความว่าตัวเลขจะน้อยกว่าตัวเลขก่อนหน้า ความก้าวหน้ากำลังลดลง เอาล่ะ มาพิจารณากัน) เรานับเทอมที่สี่ของซีรีส์ของเรา:

4 = 3 + ง

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + ง

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + ง

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ดังนั้นจึงมีการคำนวณเงื่อนไขตั้งแต่ที่สามถึงหก ผลลัพธ์ที่ได้คือซีรีส์ต่อไปนี้:

1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

มันยังคงค้นหาเทอมแรก 1ตามวินาทีที่รู้จักกันดี นี่คือก้าวไปอีกทางหนึ่ง ไปทางซ้าย) ดังนั้น ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ งไม่ควรเพิ่มเข้าไป 2, ก เอาไป:

1 = 2 - ง

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

แค่นั้นแหละ. คำตอบที่ได้รับมอบหมาย:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

ฉันต้องการทราบว่าเราได้แก้ไขงานนี้แล้ว กำเริบทาง. คำที่น่ากลัวนี้หมายถึงเพียงการค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าเท่านั้น ตามหมายเลขก่อนหน้า(ติดกัน)เราจะดูวิธีอื่นๆ ในการทำงานกับความก้าวหน้าด้านล่าง

ข้อสรุปที่สำคัญประการหนึ่งสามารถสรุปได้จากงานง่ายๆ นี้

จดจำ:

ถ้าเรารู้อย่างน้อยหนึ่งเทอมและผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราก็สามารถหาเทอมใดๆ ของความก้าวหน้านี้ได้

คุณจำได้ไหม? ข้อสรุปง่ายๆ นี้ช่วยให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาส่วนใหญ่ของหลักสูตรของโรงเรียนในหัวข้อนี้ได้ งานทั้งหมดเกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์หลักสามประการ: สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผลต่างของความก้าวหน้า จำนวนสมาชิกของความก้าวหน้าทั้งหมด.

แน่นอนว่าพีชคณิตก่อนหน้านี้ทั้งหมดจะไม่ถูกยกเลิก) อสมการ สมการ และสิ่งอื่นๆ ติดอยู่กับความก้าวหน้า แต่ ตามความก้าวหน้านั่นเอง- ทุกอย่างหมุนรอบพารามิเตอร์สามตัว

เป็นตัวอย่าง ลองดูงานยอดนิยมบางงานในหัวข้อนี้

2. เขียนความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อันจำกัดเป็นอนุกรม ถ้า n=5, d = 0.4 และ a 1 = 3.6

ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ ทุกอย่างได้รับไปแล้ว คุณต้องจำไว้ว่าเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นั้นถูกนับอย่างไร นับและจดบันทึกไว้ ขอแนะนำว่าอย่าพลาดคำศัพท์ในเงื่อนไขงาน: "สุดท้าย" และ " n=5" เพื่อไม่ให้นับจนหน้าซีดหมด) มีสมาชิกเพียง 5 (ห้า) คนในความก้าวหน้านี้:

2 = 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

3 = 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

4 = 3 + ง = 4.4 + 0.4 = 4.8

5 = 4 + ง = 4.8 + 0.4 = 5.2

ยังคงต้องเขียนคำตอบ:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

งานอื่น:

3. พิจารณาว่าหมายเลข 7 จะเป็นสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) หรือไม่หาก ก 1 = 4.1; ง = 1.2

อืม... ใครรู้บ้าง? จะตรวจสอบบางสิ่งได้อย่างไร?

ฮาวทู... เขียนความคืบหน้าเป็นซีรีส์แล้วดูว่าจะมีเซเว่นอยู่หรือเปล่า! เรานับ:

ก 2 = ก 1 + ง = 4.1 + 1.2 = 5.3

3 = 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

4 = 3 + ง = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ตอนนี้เห็นได้อย่างชัดเจนว่าเราอายุแค่เจ็ดขวบ ลื่นไถลผ่านระหว่าง 6.5 ถึง 7.7! เจ็ดไม่รวมอยู่ในชุดตัวเลขของเรา ดังนั้น เจ็ดจะไม่เป็นสมาชิกของการก้าวหน้าที่กำหนด

คำตอบ: ไม่.

และนี่คือปัญหาตาม GIA เวอร์ชันจริง:

4. มีการเขียนคำศัพท์ที่ต่อเนื่องกันหลายคำของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

- 15; เอ็กซ์; 9; 6; -

นี่คือซีรีส์ที่เขียนโดยไม่มีจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้น ไม่มีหมายเลขสมาชิก ไม่มีความแตกต่าง ง- ไม่เป็นไร. เพื่อแก้ปัญหา แค่เข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ก็เพียงพอแล้ว มาดูกันว่าอะไรเป็นไปได้ ที่จะรู้จากซีรีย์นี้เหรอ? พารามิเตอร์หลักสามประการคืออะไร?

หมายเลขสมาชิก? ไม่มีหมายเลขเดียวที่นี่

แต่มีตัวเลขสามตัวและ - โปรดทราบ! - คำ "สม่ำเสมอ"อยู่ในสภาพ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขจะเรียงลำดับอย่างเคร่งครัดโดยไม่มีช่องว่าง แถวนี้มีสองคนเหรอ? ใกล้เคียงรู้จักตัวเลขเหรอ? ใช่ ฉันมี! เหล่านี้คือ 9 และ 6 ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้! ลบออกจากหก ก่อนหน้าหมายเลขเช่น เก้า:

เหลือเพียงเรื่องเล็กๆ น้อยๆ เท่านั้น หมายเลขใดจะเป็นหมายเลขก่อนหน้าของ X? สิบห้า. ซึ่งหมายความว่า X สามารถหาได้ง่ายโดยการบวกง่ายๆ เพิ่มส่วนต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็น 15:

แค่นั้นแหละ. คำตอบ: x=12

เราแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวเราเอง หมายเหตุ: ปัญหาเหล่านี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับสูตร เพื่อเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างแท้จริง) เราแค่เขียนชุดตัวเลขและตัวอักษร ดูและคิดออก

5. ค้นหาพจน์บวกแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ถ้า 5 = -3; ง = 1.1

6. เป็นที่รู้กันว่าหมายเลข 5.5 เป็นสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) โดยที่ 1 = 1.6; ง = 1.3 กำหนดหมายเลข n ของเทอมนี้

7. เป็นที่ทราบกันว่าในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 2 = 4; 5 = 15.1 หา 3.

8. มีการเขียนคำศัพท์ติดต่อกันหลายคำของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

- 15.6; เอ็กซ์; 3.4; -

ค้นหาเงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ระบุด้วยตัวอักษร x

9. รถไฟเริ่มเคลื่อนตัวจากสถานีโดยเพิ่มความเร็วสม่ำเสมอ 30 เมตรต่อนาที รถไฟในห้านาทีจะมีความเร็วเท่าไร? ให้คำตอบเป็น กม./ชม.

10. เป็นที่รู้กันว่าในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 2 = 5; 6 = -5 หา 1.

คำตอบ (อยู่ในความระส่ำระสาย): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

ทุกอย่างได้ผลหรือไม่? อัศจรรย์! คุณสามารถเชี่ยวชาญความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้นได้ในบทเรียนต่อไปนี้

ทุกอย่างไม่ได้ผลเหรอ? ไม่มีปัญหา. ในมาตราพิเศษ 555 ปัญหาทั้งหมดนี้จะถูกแยกออกทีละส่วน) และแน่นอนว่ามีการอธิบายเทคนิคการปฏิบัติง่ายๆ ที่เน้นวิธีแก้ปัญหาของงานดังกล่าวอย่างชัดเจนในทันที!

อย่างไรก็ตาม ในเกมไขปริศนารถไฟ มีปัญหาสองประการที่ผู้คนมักจะสะดุดล้ม เรื่องหนึ่งเป็นเรื่องของความก้าวหน้าล้วนๆ และเรื่องที่สองเป็นเรื่องทั่วไปสำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ด้วย นี่คือการแปลมิติจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่ง มันแสดงให้เห็นว่าปัญหาเหล่านี้ควรได้รับการแก้ไขอย่างไร

ในบทนี้ เราพิจารณาความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และตัวแปรหลัก นี่ก็เพียงพอแล้วสำหรับการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดในหัวข้อนี้ เพิ่ม งเป็นตัวเลข เขียนเป็นชุด ทุกอย่างจะได้รับการแก้ไข

วิธีใช้นิ้วใช้ได้ผลดีกับชิ้นส่วนที่สั้นมากในแถว ดังตัวอย่างในบทเรียนนี้ หากอนุกรมยาวกว่านี้ การคำนวณก็จะซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น หากอยู่ในปัญหา 9 ในคำถาม เราจะแทนที่ "ห้านาที"บน "สามสิบห้านาที"ปัญหาจะยิ่งแย่ลงไปอีก)

และยังมีงานที่มีเนื้อหาเรียบง่าย แต่ไร้สาระในแง่ของการคำนวณเช่น:

มีการกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ค้นหา 121 ถ้า 1 =3 และ d=1/6

แล้วเราจะบวก 1/6 หลายๆ ครั้งล่ะ?! ฆ่าตัวตายได้!?

คุณทำได้) หากคุณไม่ทราบสูตรง่ายๆ ที่คุณสามารถแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้ภายในหนึ่งนาที สูตรนี้จะอยู่ในบทเรียนถัดไป และปัญหานี้ได้รับการแก้ไขที่นั่น ในหนึ่งนาที)

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		ในการคำนวณผลรวมของเทอมยี่สิบห้าแรก เราจำเป็นต้องทราบค่าของเทอมแรกและยี่สิบห้า ความก้าวหน้าของเราได้มาจากสูตรของเทอมที่ n ขึ้นอยู่กับจำนวน (ดูรายละเอียดเพิ่มเติมดู) มาคำนวณองค์ประกอบแรกด้วยการแทนที่องค์ประกอบหนึ่งด้วย \(n\)
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		ทีนี้ ลองหาเทอมที่ยี่สิบห้าโดยการแทนที่ยี่สิบห้าแทน \(n\)
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		ตอนนี้เราสามารถคำนวณจำนวนเงินที่ต้องการได้อย่างง่ายดาย
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		คำตอบพร้อมแล้ว

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		งานนี้คล้ายกับงานก่อนหน้ามาก เราเริ่มที่จะแก้สิ่งเดียวกัน: ก่อนอื่นเราหา \(d\)
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		ตอนนี้ฉันต้องการแทนที่ \(d\) ลงในสูตรของผลรวม... และมีความแตกต่างเล็กๆ น้อยๆ เกิดขึ้น - เราไม่รู้ \(n\) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราไม่รู้ว่าจะต้องเพิ่มคำศัพท์จำนวนเท่าใด จะทราบได้อย่างไร? ลองคิดดู เราจะหยุดเพิ่มองค์ประกอบเมื่อเราไปถึงองค์ประกอบบวกแรก นั่นคือคุณต้องค้นหาจำนวนองค์ประกอบนี้ ยังไง? มาเขียนสูตรสำหรับคำนวณองค์ประกอบใดๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: \(a_n=a_1+(n-1)d\) สำหรับกรณีของเรา
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		เราต้องการให้ \(a_n\) มีค่ามากกว่าศูนย์ เรามาดูกันว่า \(n\) สิ่งนี้จะเกิดอะไรขึ้น
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(\|:0.3\)		เราหารอสมการทั้งสองด้านด้วย \(0.3\)
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		เราโอนลบหนึ่งไม่ลืมเปลี่ยนป้าย
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		มาคำนวณกัน...
\(n>65,333…\)		...และปรากฎว่าองค์ประกอบบวกตัวแรกจะมีตัวเลข \(66\) ดังนั้น ค่าลบสุดท้ายจึงมี \(n=65\) ในกรณีนี้ลองตรวจสอบสิ่งนี้กัน
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		ดังนั้นเราจึงต้องเพิ่มองค์ประกอบแรก \(65\)
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		คำตอบพร้อมแล้ว

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	ในปัญหานี้ คุณต้องค้นหาผลรวมขององค์ประกอบด้วย แต่ไม่ได้เริ่มจากองค์ประกอบแรก แต่เริ่มจาก \(26\)th สำหรับกรณีเช่นนี้เราไม่มีสูตร จะตัดสินใจอย่างไร? ง่ายมาก - หากต้องการหาผลรวมจาก \(26\)th ถึง \(42\)th คุณต้องหาผลรวมจาก \(1\)th ถึง \(42\)th ก่อน แล้วจึงลบออก จากนั้นผลรวมตั้งแต่แรกถึง \(25\)th (ดูรูป)
	สำหรับความก้าวหน้าของเรา \(a_1=-33\) และความแตกต่าง \(d=4\) (ท้ายที่สุดแล้ว เราเพิ่มสี่องค์ประกอบก่อนหน้าเพื่อค้นหาองค์ประกอบถัดไป) เมื่อรู้เช่นนี้ เราจะหาผลรวมขององค์ประกอบ \(42\)-y ตัวแรกได้
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	ตอนนี้ผลรวมขององค์ประกอบแรก \(25\)
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	และสุดท้าย เราก็คำนวณคำตอบ
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

	ในการค้นหา \(x\) เราจำเป็นต้องรู้ว่าองค์ประกอบถัดไปแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้ามากเพียงใด กล่าวคือ ความแตกต่างของความก้าวหน้า ลองค้นหาจากองค์ประกอบใกล้เคียงสององค์ประกอบที่รู้จัก: \(d=12.5-10=2.5\)
	และตอนนี้เราสามารถค้นหาสิ่งที่ต้องการได้อย่างง่ายดาย: \(x=5+2.5=7.5\)
	พร้อม. คุณสามารถเขียนคำตอบได้

แผนภูมิความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง (2019)

ลำดับหมายเลข

คุณสมบัติความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

การฝึกอบรม

มาสรุปกัน

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ระดับกลาง

ลำดับหมายเลข

สูตรเทอมที่ n

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

สูตรการหาเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ผลรวมของเงื่อนไขความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

สัญกรณ์ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวเล็ก

การแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

สูตรสำคัญสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

สูตรสำหรับผลรวมของ n เทอมแรก: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\) โดยที่

สูตรสำหรับผลรวมของ n พจน์แรก: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) โดยที่

ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้น

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง (2019)

ลำดับหมายเลข

คุณสมบัติความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

การฝึกอบรม

มาสรุปกัน

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ระดับกลาง

ลำดับหมายเลข

สูตรเทอมที่ n

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

สูตรการหาเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ผลรวมของเงื่อนไขความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

เงื่อนไขความก้าวหน้าและสูตรการเกิดซ้ำ

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและการเยื้องเท่ากัน

การจัดกลุ่มและการรวมองค์ประกอบ

ปัญหาคำกับความก้าวหน้า

แนวคิดเรื่องความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ข้อกำหนดและการกำหนด

ความแตกต่างความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ข้อกำหนดและการกำหนดอื่น ๆ

ตัวอย่างงานเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...