การแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย ขั้นตอนการดำเนินการ กฎ ตัวอย่าง

สมการเป็นหนึ่งในหัวข้อที่ยากที่สุดในการเรียนรู้ แต่ยังเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังในการแก้ปัญหาส่วนใหญ่อีกด้วย

การใช้สมการจะอธิบายกระบวนการต่างๆ ที่เกิดขึ้นในธรรมชาติ สมการมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์อื่นๆ: เศรษฐศาสตร์ ฟิสิกส์ ชีววิทยา และเคมี

ในบทนี้ เราจะพยายามเข้าใจแก่นแท้ของสมการที่ง่ายที่สุด เรียนรู้ที่จะแสดงสิ่งที่ไม่ทราบ และแก้สมการต่างๆ เมื่อคุณเรียนรู้เนื้อหาใหม่ๆ สมการก็จะซับซ้อนมากขึ้น ดังนั้นการทำความเข้าใจพื้นฐานจึงมีความสำคัญมาก

ทักษะเบื้องต้น เนื้อหาบทเรียน

สมการคืออะไร?

สมการคือความเท่าเทียมกันที่มีตัวแปรที่มีค่าที่คุณต้องการค้นหา ค่านี้จะต้องเป็นเช่นนั้นเมื่อแทนที่ในสมการดั้งเดิม จะได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ตัวอย่างเช่น นิพจน์ 2 + 2 = 4 คือความเท่าเทียมกัน เมื่อคำนวณทางด้านซ้ายจะได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง 4 = 4

แต่ความเท่าเทียมกันคือ 2 + x= 4 เป็นสมการเนื่องจากมีตัวแปรอยู่ xซึ่งสามารถหาค่าได้ ค่าจะต้องเป็นเช่นนั้นเมื่อแทนค่านี้ลงในสมการดั้งเดิมจะได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราต้องหาค่าที่เครื่องหมายเท่ากับจะพิสูจน์ตำแหน่งของมัน - ด้านซ้ายจะต้องเท่ากับด้านขวา

สมการ 2 + x= 4 เป็นระดับประถมศึกษา ค่าตัวแปร xเท่ากับเลข 2 สำหรับค่าอื่นใด จะไม่สังเกตความเท่าเทียมกัน

พวกเขาบอกว่าหมายเลข 2 คือ รากหรือ การแก้สมการ 2 + x = 4

รากหรือ คำตอบของสมการ- นี่คือค่าของตัวแปรที่สมการกลายเป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริง

อาจมีหลายรากหรือไม่มีเลยก็ได้ แก้สมการหมายถึงการหารากหรือพิสูจน์ว่าไม่มีราก

ตัวแปรที่รวมอยู่ในสมการจะเรียกว่าอย่างอื่น ไม่ทราบ- คุณมีสิทธิที่จะเรียกมันว่าสิ่งที่คุณต้องการ เหล่านี้เป็นคำพ้องความหมาย

บันทึก- วลี “แก้สมการ” พูดเพื่อตัวเอง การแก้สมการหมายถึง "การทำให้สมการเท่ากัน" ซึ่งทำให้สมการสมดุลเพื่อให้ด้านซ้ายเท่ากับด้านขวา

แสดงสิ่งหนึ่งผ่านอีกสิ่งหนึ่ง

การศึกษาสมการแบบดั้งเดิมเริ่มต้นด้วยการเรียนรู้ที่จะแสดงจำนวนหนึ่งที่รวมอยู่ในความเท่าเทียมกันผ่านจำนวนอื่นๆ อย่าทำลายประเพณีนี้และทำแบบเดียวกัน

พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้:

8 + 2

นิพจน์นี้คือผลรวมของตัวเลข 8 และ 2 ค่าของนิพจน์นี้คือ 10

8 + 2 = 10

เราได้รับความเท่าเทียมกัน ตอนนี้คุณสามารถแสดงตัวเลขใดๆ จากความเท่าเทียมกันนี้ผ่านตัวเลขอื่นๆ ที่รวมอยู่ในความเท่าเทียมกันเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่น ลองเขียนเลข 2 ออกมา

ในการแสดงหมายเลข 2 คุณต้องถามคำถาม: “จะต้องทำอะไรกับหมายเลข 10 และ 8 เพื่อให้ได้หมายเลข 2” เห็นได้ชัดว่าเพื่อให้ได้เลข 2 คุณต้องลบเลข 8 ออกจากเลข 10

นั่นคือสิ่งที่เราทำ เราเขียนเลข 2 และผ่านเครื่องหมายเท่ากับเราบอกว่าเพื่อให้ได้เลข 2 นี้ เราได้ลบเลข 8 ออกจากเลข 10:

2 = 10 − 8

เราแสดงหมายเลข 2 จากความเท่าเทียมกัน 8 + 2 = 10 ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับเรื่องนี้

เมื่อแก้สมการโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อแสดงตัวเลขหนึ่งในรูปของจำนวนอื่น จะสะดวกที่จะแทนที่เครื่องหมายเท่ากับด้วยคำว่า “ มี" - สิ่งนี้จะต้องกระทำด้วยจิตใจ ไม่ใช่ด้วยการแสดงออก

ดังนั้น เมื่อแสดงเลข 2 จากความเท่าเทียมกัน 8 + 2 = 10 เราจะได้ความเท่าเทียมกัน 2 = 10 − 8 ความเท่าเทียมกันนี้สามารถอ่านได้ดังนี้:

2 มี 10 − 8

นั่นก็คือสัญญาณ = แทนที่ด้วยคำว่า "เป็น" นอกจากนี้ ความเท่าเทียมกัน 2 = 10 − 8 สามารถแปลจากภาษาคณิตศาสตร์เป็นภาษามนุษย์ที่เต็มเปี่ยมได้ จากนั้นสามารถอ่านได้ดังนี้:

หมายเลข 2 มีความแตกต่างระหว่างหมายเลข 10 และหมายเลข 8

แต่เราจะจำกัดตัวเองให้แทนที่เครื่องหมายเท่ากับด้วยคำว่า "เป็น" เท่านั้น และเราจะไม่ทำเช่นนี้เสมอไป สำนวนเบื้องต้นสามารถเข้าใจได้โดยไม่ต้องแปลภาษาทางคณิตศาสตร์เป็นภาษามนุษย์

ให้เราคืนความเสมอภาคผลลัพธ์ 2 = 10 − 8 กลับสู่สถานะเดิม:

8 + 2 = 10

คราวนี้มาแสดงเลข 8 กันดีกว่า ว่าเลขที่เหลือต้องทำอย่างไรจึงจะได้เลข 8? ถูกต้อง คุณต้องลบ 2 จากจำนวน 10

8 = 10 − 2

ให้เราคืนความเท่าเทียมกันผลลัพธ์ 8 = 10 − 2 กลับสู่สถานะเดิม:

8 + 2 = 10

ครั้งนี้เราจะแสดงเลข 10 แต่กลายเป็นว่าไม่จำเป็นต้องเขียนเลขสิบเพราะได้แสดงไปแล้ว การสลับส่วนซ้ายและขวาก็เพียงพอแล้วจากนั้นเราจะได้สิ่งที่ต้องการ:

10 = 8 + 2

ตัวอย่างที่ 2- พิจารณาความเท่าเทียมกัน 8 − 2 = 6

ให้เราแสดงตัวเลข 8 จากความเท่าเทียมกันนี้ ในการแสดงหมายเลข 8 จะต้องบวกตัวเลขสองตัวที่เหลือ:

8 = 6 + 2

ให้เราคืนความเท่าเทียมกันผลลัพธ์ 8 = 6 + 2 กลับสู่สถานะเดิม:

8 − 2 = 6

ลองแสดงเลข 2 จากความเท่าเทียมกันนี้ ในการแสดงเลข 2 คุณต้องลบ 6 จาก 8

2 = 8 − 6

ตัวอย่างที่ 3- พิจารณาความเท่าเทียมกัน 3 × 2 = 6

มาแสดงเลข 3 กัน. ในการแสดงเลข 3 คุณต้องมี 6 หารด้วย 2

ลองคืนความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นให้กลับสู่สถานะเดิม:

3 × 2 = 6

ให้เราแสดงเลข 2 จากความเท่าเทียมกันนี้. ในการแสดงเลข 2 คุณต้องมี 6 หารด้วย 3

ตัวอย่างที่ 4- พิจารณาถึงความเท่าเทียมกัน

ให้เราแสดงเลข 15 จากความเท่าเทียมกันนี้ ในการแสดงเลข 15 คุณต้องคูณตัวเลข 3 และ 5

15 = 3 × 5

ให้เราคืนค่าความเท่าเทียมกันที่ได้ 15 = 3 × 5 กลับสู่สถานะเดิม:

ให้เราแสดงเลข 5 จากความเท่าเทียมกันนี้. ในการแสดงเลข 5 คุณต้องมี 15 หารด้วย 3

กฎเกณฑ์ในการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก

ลองพิจารณากฎหลายข้อในการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก พวกเขาอาจคุ้นเคยกับคุณ แต่การทำซ้ำอีกครั้งก็ไม่เสียหาย ในอนาคต สิ่งเหล่านี้อาจถูกลืมไปเมื่อเราเรียนรู้ที่จะแก้สมการโดยไม่ต้องใช้กฎเหล่านี้

ลองกลับมาที่ตัวอย่างแรกซึ่งเราดูไปแล้วในหัวข้อที่แล้ว โดยที่ความเสมอภาค 8 + 2 = 10 เราต้องแสดงเลข 2

ในความเท่าเทียมกัน 8 + 2 = 10 ตัวเลข 8 และ 2 คือพจน์ และตัวเลข 10 คือผลรวม

เพื่อแสดงหมายเลข 2 เราทำสิ่งต่อไปนี้:

2 = 10 − 8

นั่นคือจากผลรวมของ 10 เราลบเทอม 8 ออก

ทีนี้ลองนึกดูว่าในความเท่าเทียมกัน 8 + 2 = 10 แทนที่จะเป็นเลข 2 จะมีตัวแปรอยู่ x

8 + x = 10

ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกัน 8 + 2 = 10 จะกลายเป็นสมการ 8 + x= 10 และตัวแปร x คำที่ไม่รู้จัก

งานของเราคือค้นหาคำที่ไม่รู้จักนั่นคือแก้สมการ 8 + x= 10 . หากต้องการค้นหาคำที่ไม่รู้จัก ให้ตั้งกฎต่อไปนี้:

หากต้องการค้นหาคำที่ไม่รู้จัก คุณต้องลบคำที่ทราบออกจากผลรวม

ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือสิ่งที่เราทำเมื่อเราแสดงค่าสองให้เท่ากับ 8 + 2 = 10 ในการแสดงเทอม 2 เราได้ลบเทอม 8 อีกเทอมหนึ่งออกจากผลรวม 10

2 = 10 − 8

ตอนนี้เพื่อค้นหาคำที่ไม่รู้จัก xเราต้องลบเทอมที่รู้จัก 8 จากผลรวม 10:

x = 10 − 8

หากคุณคำนวณทางด้านขวาของผลลัพธ์ที่เท่ากัน คุณจะพบว่าตัวแปรนั้นมีค่าเท่ากับเท่าใด x

x = 2

เราได้แก้สมการแล้ว ค่าตัวแปร xเท่ากับ 2 เพื่อตรวจสอบค่าของตัวแปร xส่งไปที่สมการเดิม 8+ x= 10 และทดแทน x.ขอแนะนำให้ทำเช่นนี้กับสมการที่แก้ได้แล้ว เนื่องจากคุณไม่สามารถแน่ใจได้อย่างแน่นอนว่าสมการนั้นได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง:

ส่งผลให้

จะใช้กฎเดียวกันนี้หากคำที่ไม่รู้จักคือเลข 8 ตัวแรก

x + 2 = 10

ในสมการนี้ xคือคำที่ไม่รู้จัก 2 คือคำที่รู้จัก 10 คือผลรวม เพื่อค้นหาคำที่ไม่รู้จัก xคุณต้องลบพจน์ที่ทราบ 2 จากผลรวม 10

x = 10 − 2

x = 8

ลองกลับไปที่ตัวอย่างที่สองจากหัวข้อที่แล้ว โดยที่ความเท่าเทียมกัน 8 − 2 = 6 จำเป็นต้องแสดงตัวเลข 8

ในความเท่าเทียมกัน 8 − 2 = 6 เลข 8 คือค่า minuend เลข 2 คือค่าต่ำกว่า และเลข 6 คือค่าความแตกต่าง

เพื่อแสดงหมายเลข 8 เราทำสิ่งต่อไปนี้:

8 = 6 + 2

นั่นคือเราบวกผลต่างของ 6 และลบด้วย 2

ทีนี้ลองจินตนาการว่าในความเท่าเทียมกัน 8 − 2 = 6 แทนที่จะเป็นเลข 8 จะมีตัวแปรอยู่ x

x − 2 = 6

ในกรณีนี้คือตัวแปร xเข้ามามีบทบาทที่เรียกว่า เรื่องราวที่ไม่รู้จัก

หากต้องการค้นหา minuend ที่ไม่รู้จัก จะมีการจัดเตรียมกฎต่อไปนี้:

หากต้องการค้นหา minuend ที่ไม่รู้จัก คุณต้องเพิ่มส่วนย่อยให้กับส่วนต่าง

นี่คือสิ่งที่เราทำเมื่อเราเขียนเลข 8 ในความเสมอภาค 8 − 2 = 6 ในการแสดงค่าลบของ 8 เราได้บวกค่าลบของ 2 เข้ากับผลต่างของ 6

ตอนนี้เพื่อค้นหา minuend ที่ไม่รู้จัก xเราต้องบวกเครื่องหมายลบ 2 เข้ากับผลต่าง 6

x = 6 + 2

หากคุณคำนวณด้านขวา คุณจะรู้ว่าตัวแปรนั้นมีค่าเท่ากับเท่าใด x

x = 8

ทีนี้ลองจินตนาการว่าในความเท่าเทียมกัน 8 − 2 = 6 แทนที่จะเป็นเลข 2 จะมีตัวแปรอยู่ x

8 − x = 6

ในกรณีนี้คือตัวแปร xรับบทนี้ ย่อยที่ไม่รู้จัก

หากต้องการค้นหาจุดย่อยที่ไม่รู้จัก ให้ระบุกฎต่อไปนี้:

ในการหาค่าลบที่ไม่รู้จัก คุณต้องลบผลต่างออกจากค่า minuend

นี่คือสิ่งที่เราทำเมื่อเราแสดงเลข 2 ด้วยความเท่าเทียมกัน 8 − 2 = 6 ในการแสดงเลข 2 เราได้ลบผลต่าง 6 ออกจากเครื่องหมายลบ 8

ตอนนี้เพื่อค้นหา subtrahenend ที่ไม่รู้จัก xคุณต้องลบผลต่าง 6 จากเครื่องหมายลบ 8 อีกครั้ง

x = 8 − 6

เราคำนวณด้านขวาและค้นหาค่า x

x = 2

ลองกลับมาที่ตัวอย่างที่สามจากหัวข้อที่แล้ว โดยที่ความเท่าเทียมกัน 3 × 2 = 6 เราพยายามแสดงเลข 3

ในความเท่าเทียมกัน 3 × 2 = 6 เลข 3 คือตัวคูณ เลข 2 คือตัวคูณ เลข 6 คือผลคูณ

เพื่อแสดงหมายเลข 3 เราทำสิ่งต่อไปนี้:

นั่นคือ เราหารผลคูณของ 6 ด้วยตัวประกอบของ 2.

ทีนี้ลองจินตนาการว่าในความเท่าเทียมกัน 3 × 2 = 6 แทนที่จะเป็นเลข 3 จะมีตัวแปรอยู่ x

x× 2 = 6

ในกรณีนี้คือตัวแปร xรับบทนี้ ตัวคูณที่ไม่รู้จัก.

หากต้องการค้นหาตัวคูณที่ไม่รู้จัก ให้กำหนดกฎต่อไปนี้:

หากต้องการค้นหาตัวคูณที่ไม่รู้จัก คุณต้องหารผลคูณด้วยตัวประกอบ

นี่คือสิ่งที่เราทำเมื่อเราแสดงเลข 3 จากความเท่าเทียมกัน 3 × 2 = 6 เราหารผลคูณ 6 ด้วยตัวประกอบ 2

ตอนนี้เพื่อค้นหาตัวคูณที่ไม่รู้จัก xคุณต้องหารผลคูณ 6 ด้วยตัวประกอบ 2

การคำนวณด้านขวาช่วยให้เราสามารถค้นหาค่าของตัวแปรได้ x

x = 3

ใช้กฎเดียวกันนี้หากตัวแปร xตั้งอยู่แทนที่จะเป็นตัวคูณ ไม่ใช่ตัวคูณ ลองจินตนาการว่าในความเท่าเทียมกัน 3 × 2 = 6 แทนที่จะเป็นตัวเลข 2 จะมีตัวแปร x.

ในกรณีนี้คือตัวแปร xรับบทนี้ ตัวคูณที่ไม่รู้จัก- ในการค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบ มีขั้นตอนเดียวกันกับการค้นหาตัวคูณที่ไม่ทราบ กล่าวคือ การหารผลคูณด้วยปัจจัยที่ทราบ:

หากต้องการค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบ คุณต้องหารผลคูณด้วยตัวคูณ

นี่คือสิ่งที่เราทำเมื่อเราแสดงเลข 2 จากความเท่าเทียมกัน 3 × 2 = 6 จากนั้นเพื่อให้ได้เลข 2 เราจึงหารผลคูณของ 6 ด้วยตัวคูณ 3

ตอนนี้เพื่อค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบ xเราหารผลคูณของ 6 ด้วยตัวคูณของ 3

การคำนวณทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันช่วยให้คุณทราบว่า x เท่ากับเท่าใด

x = 2

ตัวคูณและตัวคูณรวมกันเรียกว่าตัวประกอบ เนื่องจากกฎในการค้นหาตัวคูณและตัวคูณเหมือนกัน เราจึงสามารถกำหนดกฎทั่วไปสำหรับการค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบได้:

หากต้องการค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบ คุณต้องหารผลคูณด้วยปัจจัยที่ทราบ

ตัวอย่างเช่น ลองแก้สมการ 9 × x= 18. ตัวแปร xเป็นปัจจัยที่ไม่ทราบ หากต้องการค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบนี้ คุณต้องหารผลคูณ 18 ด้วยตัวประกอบที่ทราบ 9

มาแก้สมการกัน x× 3 = 27. ตัวแปร xเป็นปัจจัยที่ไม่ทราบ หากต้องการค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบนี้ คุณต้องหารผลคูณ 27 ด้วยปัจจัยที่ทราบ 3

ลองกลับมาที่ตัวอย่างที่สี่จากหัวข้อที่แล้ว โดยที่ความเท่าเทียมกันเราต้องแสดงเลข 15 ในความเท่าเทียมกันนี้ เลข 15 คือเงินปันผล เลข 5 คือตัวหาร และเลข 3 คือผลหาร

เพื่อแสดงหมายเลข 15 เราทำสิ่งต่อไปนี้:

15 = 3 × 5

นั่นคือ เราคูณผลหารของ 3 ด้วยตัวหารของ 5

ทีนี้ลองจินตนาการว่าในความเท่าเทียมกัน แทนที่จะเป็นเลข 15 มีตัวแปรอยู่ x

ในกรณีนี้คือตัวแปร xรับบทนี้ เงินปันผลที่ไม่รู้จัก.

หากต้องการค้นหาเงินปันผลที่ไม่ทราบ มีการกำหนดกฎต่อไปนี้:

หากต้องการหาเงินปันผลที่ไม่ทราบ คุณต้องคูณผลหารด้วยตัวหาร

นี่คือสิ่งที่เราทำเมื่อเราเขียนเลข 15 จากความเท่าเทียมกัน. ในการแสดงจำนวน 15 เราจะคูณผลหารของ 3 ด้วยตัวหารของ 5

ตอนนี้เพื่อค้นหาเงินปันผลที่ไม่รู้จัก xคุณต้องคูณผลหาร 3 ด้วยตัวหาร 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

ทีนี้ลองจินตนาการว่าในความเท่าเทียมกัน แทนที่จะเป็นเลข 5 มีตัวแปรอยู่ x .

ในกรณีนี้คือตัวแปร xรับบทนี้ ตัวหารที่ไม่รู้จัก.

หากต้องการค้นหาตัวหารที่ไม่รู้จัก ให้ใช้กฎต่อไปนี้:

นี่คือสิ่งที่เราทำเมื่อเราเขียนเลข 5 จากความเท่าเทียมกัน. ในการแสดงหมายเลข 5 ให้หารเงินปันผล 15 ด้วยผลหาร 3

ตอนนี้เพื่อค้นหาตัวหารที่ไม่รู้จัก xคุณต้องหารเงินปันผล 15 ด้วยผลหาร 3

มาคำนวณทางด้านขวาของผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน วิธีนี้ทำให้เราทราบว่าตัวแปรมีค่าเท่ากับเท่าใด x .

x = 5

ดังนั้นเพื่อค้นหาสิ่งแปลกปลอม เราจึงศึกษากฎต่อไปนี้:

หากต้องการค้นหาคำที่ไม่รู้จัก คุณต้องลบคำที่ทราบออกจากผลรวม
หากต้องการค้นหา minuend ที่ไม่รู้จัก คุณต้องเพิ่มส่วนย่อยให้กับส่วนต่าง
ในการหาค่าลบที่ไม่รู้จัก คุณต้องลบค่าความแตกต่างออกจากค่า minuend
หากต้องการค้นหาตัวคูณที่ไม่รู้จัก คุณต้องหารผลคูณด้วยตัวประกอบ
หากต้องการค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบ คุณต้องหารผลคูณด้วยตัวคูณ
หากต้องการค้นหาเงินปันผลที่ไม่ทราบ คุณต้องคูณผลหารด้วยตัวหาร
หากต้องการหาตัวหารที่ไม่รู้จัก คุณต้องหารเงินปันผลด้วยผลหาร

ส่วนประกอบ

เราจะเรียกส่วนประกอบต่างๆ ว่าตัวเลขและตัวแปรที่รวมอยู่ในความเท่าเทียมกัน

ดังนั้นส่วนประกอบของการบวกคือ เงื่อนไขและ ผลรวม

องค์ประกอบการลบคือ ข้อเสีย, ต่ำกว่าและ ความแตกต่าง

องค์ประกอบของการคูณคือ ทวีคูณ, ปัจจัยและ งาน

องค์ประกอบของการหารคือเงินปันผล ตัวหาร และผลหาร

ขึ้นอยู่กับองค์ประกอบที่เรากำลังเผชิญอยู่ กฎที่เกี่ยวข้องในการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จักจะถูกนำมาใช้ เราศึกษากฎเหล่านี้ในหัวข้อที่แล้ว เมื่อแก้สมการขอแนะนำให้รู้กฎเหล่านี้ด้วยใจ

ตัวอย่างที่ 1- ค้นหารากของสมการ 45 + x = 60

45 - เทอม x- ไม่ทราบคำ, 60 - ผลรวม เรากำลังจัดการกับส่วนประกอบของการบวก เราจำได้ว่าหากต้องการค้นหาคำที่ไม่รู้จัก คุณต้องลบคำที่ทราบออกจากผลรวม:

x = 60 − 45

ลองคำนวณด้านขวาแล้วรับค่ากัน xเท่ากับ 15

x = 15

ดังนั้นรากของสมการคือ 45 + x= 60 เท่ากับ 15

ส่วนใหญ่แล้วคำที่ไม่รู้จักจะต้องถูกลดให้อยู่ในรูปแบบที่สามารถแสดงออกได้

ตัวอย่างที่ 2- แก้สมการ

ที่นี่แตกต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ คำที่ไม่รู้จักไม่สามารถแสดงได้ทันทีเนื่องจากมีค่าสัมประสิทธิ์ 2 งานของเราคือนำสมการนี้มาสู่รูปแบบที่สามารถแสดงได้ x

ในตัวอย่างนี้ เรากำลังจัดการกับองค์ประกอบของการบวก ได้แก่ เงื่อนไขและผลรวม 2 xคือเทอมแรก 4 คือเทอมที่สอง 8 คือผลรวม

ในกรณีนี้ เทอม 2 xมีตัวแปร x- หลังจากหาค่าของตัวแปรได้แล้ว xเทอม 2 xจะมีลักษณะที่แตกต่างออกไป ดังนั้น เทอม 2 xสามารถใช้เป็นคำที่ไม่รู้จักได้อย่างสมบูรณ์:

ตอนนี้เราใช้กฎในการค้นหาคำที่ไม่รู้จัก ลบคำที่ทราบออกจากผลรวม:

มาคำนวณทางด้านขวาของสมการผลลัพธ์กัน:

เรามีสมการใหม่ ตอนนี้เรากำลังพูดถึงองค์ประกอบของการคูณ: ตัวคูณ ตัวคูณ และผลคูณ 2 - ทวีคูณ x- ตัวคูณ 4 - ผลิตภัณฑ์

ในกรณีนี้คือตัวแปร xไม่ใช่แค่ตัวคูณ แต่เป็นตัวคูณที่ไม่รู้จัก

หากต้องการค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบนี้ คุณต้องหารผลคูณด้วยตัวคูณ:

ลองคำนวณด้านขวาและรับค่าของตัวแปรกัน x

หากต้องการตรวจสอบ ให้ส่งรากที่พบไปยังสมการดั้งเดิมแล้วทดแทน x

ตัวอย่างที่ 3- แก้สมการ 3x+ 9x+ 16x= 56

แสดงสิ่งที่ไม่รู้จักทันที xมันเป็นสิ่งต้องห้าม ก่อนอื่นคุณต้องนำสมการนี้มาอยู่ในรูปแบบที่สามารถแสดงออกมาได้

เรานำเสนอทางด้านซ้ายของสมการนี้:

เรากำลังจัดการกับองค์ประกอบของการคูณ 28 - ทวีคูณ x- ตัวคูณ 56 - สินค้า ในเวลาเดียวกัน xเป็นปัจจัยที่ไม่ทราบ หากต้องการค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบ คุณต้องหารผลคูณด้วยตัวคูณ:

จากที่นี่ xเท่ากับ 2

สมการที่เท่ากัน

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เมื่อแก้สมการ 3x + 9x + 16x = 56 เราได้ให้พจน์ที่คล้ายกันทางด้านซ้ายของสมการ ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการใหม่ 28 x= 56 . สมการเก่า 3x + 9x + 16x = 56 และผลลัพธ์ของสมการใหม่คือ 28 x= 56 เรียกว่า สมการที่เทียบเท่าเนื่องจากรากของมันตรงกัน

สมการจะถูกเรียกว่าเทียบเท่าถ้ารากตรงกัน

เรามาตรวจสอบกัน สำหรับสมการ 3x+ 9x+ 16x= 56 เราพบรากเท่ากับ 2 ก่อนอื่น ลองแทนที่รากนี้ลงในสมการกันก่อน 3x+ 9x+ 16x= 56 แล้วจึงเข้าสู่สมการที่ 28 x= 56 ซึ่งได้มาจากการนำพจน์ที่คล้ายกันมาทางด้านซ้ายของสมการก่อนหน้า เราต้องได้รับความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ตามลำดับการดำเนินการ การคูณจะดำเนินการก่อน:

ลองแทนราก 2 ลงในสมการที่สอง 28 กัน x= 56

เราจะเห็นว่าสมการทั้งสองมีรากที่เหมือนกัน ดังนั้นสมการ 3x+ 9x+ 16x= 6 และ 28 x= 56 เทียบเท่ากันจริงๆ

เพื่อแก้สมการ 3x+ 9x+ 16x= 56 เราใช้หนึ่งในนั้น - การลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน การแปลงเอกลักษณ์ที่ถูกต้องของสมการทำให้เราได้สมการที่เทียบเท่า 28 x= 56 ซึ่งแก้ได้ง่ายกว่า

จากการแปลงที่เหมือนกัน ในขณะนี้ เรารู้เพียงวิธีลดเศษส่วน นำพจน์ที่คล้ายกัน ย้ายตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ และเปิดวงเล็บด้วย มีการแปลงอื่น ๆ ที่คุณควรทราบ แต่สำหรับแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับการแปลงสมการที่เหมือนกันหัวข้อที่เราศึกษาก็เพียงพอแล้ว

ลองพิจารณาการแปลงบางอย่างที่ทำให้เราได้สมการที่เทียบเท่ากัน

หากคุณบวกตัวเลขเดียวกันทั้งสองข้างของสมการ คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับตัวเลขที่ให้มา

และในทำนองเดียวกัน:

หากคุณลบตัวเลขเดียวกันจากทั้งสองข้างของสมการ คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่ให้มา

กล่าวอีกนัยหนึ่ง รากของสมการจะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการบวก (หรือลบออกจากทั้งสองข้าง) จำนวนเดียวกันเข้าไปในจำนวนเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 1- แก้สมการ

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

เราได้สมการ 5 x= 10 . เรากำลังจัดการกับองค์ประกอบของการคูณ เพื่อค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบ xคุณต้องหารผลคูณ 10 ด้วยตัวประกอบที่ทราบ 5

และทดแทน xพบค่า 2

เราได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าสมการได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง

การแก้สมการ เราลบเลข 10 จากทั้งสองข้างของสมการ เป็นผลให้เราได้สมการที่เทียบเท่ากัน รากของสมการนี้ เหมือนกับสมการ ก็เท่ากับ 2 เช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2- แก้สมการ 4( x+ 3) = 16

ลบเลข 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

จะเหลือ 4 อันทางด้านซ้าย xและทางด้านขวามือมีหมายเลข 4

เราได้สมการ 4 x= 4 . เรากำลังจัดการกับองค์ประกอบของการคูณ เพื่อค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบ xคุณต้องหารผลคูณ 4 ด้วยตัวประกอบที่ทราบ 4

ลองกลับไปสู่สมการเดิม 4( x+ 3) = 16 และตัวสำรอง xพบค่า 1

การแก้สมการ 4( x+ 3) = 16 เราลบเลข 12 จากทั้งสองข้างของสมการ เป็นผลให้เราได้สมการที่เทียบเท่ากัน 4 x= 4 . รากของสมการนี้ เช่นสมการที่ 4( x+ 3) = 16 ก็เท่ากับ 1 เช่นกัน

ตัวอย่างที่ 3- แก้สมการ

ลองขยายวงเล็บทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน:

เพิ่มเลข 8 ลงทั้งสองข้างของสมการ

ให้เรานำเสนอคำที่คล้ายกันทั้งสองข้างของสมการ:

จะเหลือ 2 อันทางด้านซ้าย xและทางด้านขวามือมีหมายเลข 9

ในสมการผลลัพธ์ที่ 2 x= 9 เราแสดงคำที่ไม่รู้จัก x

ลองกลับไปสู่สมการเดิม และทดแทน xพบมูลค่า 4.5

การแก้สมการ เราบวกเลข 8 ทั้งสองข้างของสมการ ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการที่เท่ากัน รากของสมการนี้ เหมือนกับสมการ เท่ากับ 4.5 เช่นกัน

กฎข้อถัดไปที่ช่วยให้เราได้สมการที่เทียบเท่ามีดังนี้

หากคุณย้ายคำศัพท์ในสมการจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด

นั่นคือรากของสมการจะไม่เปลี่ยนแปลงหากเราย้ายคำศัพท์จากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย คุณสมบัตินี้เป็นหนึ่งในคุณสมบัติที่สำคัญและเป็นหนึ่งในคุณสมบัติที่มักใช้ในการแก้สมการ

พิจารณาสมการต่อไปนี้:

รากของสมการนี้เท่ากับ 2 ให้เราแทนกัน xรูทนี้และตรวจสอบว่าความเท่าเทียมกันของตัวเลขนั้นถูกต้องหรือไม่

ผลลัพธ์ที่ได้คือความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าเลข 2 นั้นเป็นรากของสมการจริงๆ

ทีนี้ลองทดสอบเงื่อนไขของสมการนี้โดยย้ายพวกมันจากส่วนหนึ่งไปอีกส่วนหนึ่งและเปลี่ยนเครื่องหมาย

เช่น เทอม 3 xจะอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ ย้ายไปทางด้านขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมายไปฝั่งตรงข้าม:

ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการ 12 = 9x − 3x - ทางด้านขวาของสมการนี้:

xเป็นปัจจัยที่ไม่ทราบ มาดูปัจจัยที่รู้จักกันดีนี้กัน:

จากที่นี่ x= 2 . อย่างที่คุณเห็น รากของสมการไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นสมการคือ 12 + 3 x = 9xและ 12 = 9x − 3x เทียบเท่ากัน

ที่จริงแล้ว การแปลงนี้เป็นวิธีการแบบง่ายของการแปลงครั้งก่อน โดยบวก (หรือลบ) จำนวนเดียวกันทั้งสองข้างของสมการ

เราบอกว่าในสมการ 12 + 3 x = 9xเทอม 3 xถูกย้ายไปทางด้านขวาเปลี่ยนป้าย ในความเป็นจริง สิ่งต่อไปนี้เกิดขึ้น: เทอม 3 ถูกลบออกจากทั้งสองข้างของสมการ x

จากนั้นให้พจน์ที่คล้ายกันทางด้านซ้ายและได้สมการ 12 = 9x − 3x. จากนั้นให้คำที่คล้ายกันอีกครั้ง แต่ทางด้านขวาจะได้สมการ 12 = 6 x.

แต่สิ่งที่เรียกว่า "การแปล" จะสะดวกกว่าสำหรับสมการดังกล่าวซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงแพร่หลายมาก เมื่อแก้สมการ เรามักจะใช้การแปลงนี้โดยเฉพาะ

สมการ 12 + 3 ก็เทียบเท่ากันเช่นกัน x= 9xและ 3x− 9x= −12 - คราวนี้สมการคือ 12 + 3 x= 9xเทอม 12 ถูกย้ายไปทางด้านขวา และเทอม 9 xไปทางซ้าย เราไม่ควรลืมว่าสัญญาณของข้อกำหนดเหล่านี้มีการเปลี่ยนแปลงระหว่างการโอน

กฎข้อถัดไปที่ช่วยให้เราได้รับสมการที่เทียบเท่ามีดังนี้:

ถ้าทั้งสองข้างของสมการคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกันไม่เท่ากับศูนย์ คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่ให้มา

กล่าวอีกนัยหนึ่ง รากของสมการจะไม่เปลี่ยนแปลงหากทั้งสองข้างคูณหรือหารด้วยจำนวนเท่ากัน การดำเนินการนี้มักใช้เมื่อคุณต้องการแก้สมการที่มีนิพจน์เศษส่วน

ขั้นแรก มาดูตัวอย่างที่ทั้งสองข้างของสมการจะคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน

ตัวอย่างที่ 1- แก้สมการ

เมื่อแก้สมการที่มีนิพจน์เศษส่วน เป็นเรื่องปกติที่จะต้องทำให้สมการง่ายขึ้นก่อน

ใน ในกรณีนี้เรากำลังเผชิญกับสมการแบบนั้น เพื่อให้สมการนี้ง่ายขึ้น ทั้งสองด้านสามารถคูณด้วย 8:

เราจำได้ว่าสำหรับ เราต้องคูณตัวเศษของเศษส่วนที่กำหนดด้วยจำนวนนี้ เรามีเศษส่วนสองตัวและแต่ละตัวคูณด้วยเลข 8 งานของเราคือการคูณตัวเศษของเศษส่วนด้วยเลข 8 นี้

ตอนนี้ส่วนที่น่าสนใจเกิดขึ้น ตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองมีตัวประกอบเป็น 8 ซึ่งสามารถลดลงได้ 8 ซึ่งจะช่วยให้เรากำจัดนิพจน์เศษส่วนได้:

เป็นผลให้สมการที่ง่ายที่สุดยังคงอยู่

มันไม่ยากที่จะเดาว่ารากของสมการนี้คือ 4

xพบค่า 4

ผลลัพธ์ที่ได้คือความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าสมการได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง

เมื่อแก้สมการนี้ เราคูณทั้งสองข้างด้วย 8 ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการ รากของสมการนี้ก็เหมือนกับสมการ คือ 4 ซึ่งหมายความว่าสมการเหล่านี้เท่ากัน

ตัวประกอบที่ใช้คูณทั้งสองข้างของสมการมักจะเขียนไว้ข้างหน้าส่วนของสมการ ไม่ใช่เขียนไว้ข้างหลัง ดังนั้น ในการแก้สมการ เราคูณทั้งสองข้างด้วยตัวประกอบของ 8 และได้ค่าต่อไปนี้:

สิ่งนี้ไม่ได้เปลี่ยนรากของสมการ แต่ถ้าเราทำสิ่งนี้ขณะอยู่ที่โรงเรียน เราคงถูกตำหนิ เนื่องจากในพีชคณิต เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนตัวประกอบก่อนนิพจน์ที่จะคูณ ดังนั้นจึงแนะนำให้เขียนการคูณทั้งสองข้างของสมการใหม่ด้วยตัวประกอบของ 8 ดังนี้

ตัวอย่างที่ 2- แก้สมการ

ทางด้านซ้าย ตัวประกอบของ 15 สามารถลดลงได้ 15 และทางด้านขวา ตัวประกอบของ 15 และ 5 สามารถลดลงได้ 5

ลองเปิดวงเล็บทางด้านขวาของสมการ:

ย้ายคำศัพท์กันเถอะ xจากด้านซ้ายของสมการไปทางด้านขวาเปลี่ยนเครื่องหมาย และเราย้ายเทอม 15 จากด้านขวาของสมการไปด้านซ้าย และเปลี่ยนเครื่องหมายอีกครั้ง:

เรานำเสนอเทอมที่คล้ายกันทั้งสองข้าง เราได้

เรากำลังจัดการกับองค์ประกอบของการคูณ ตัวแปร x

ลองกลับไปสู่สมการเดิม และทดแทน xพบค่า 5

ผลลัพธ์ที่ได้คือความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าสมการได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง เมื่อแก้สมการนี้ เราจะคูณทั้งสองข้างด้วย 15 เมื่อทำการแปลงที่เหมือนกันเพิ่มเติม เราได้สมการ 10 = 2 x- รากของสมการนี้ เหมือนกับสมการ เท่ากับ 5 ซึ่งหมายความว่าสมการเหล่านี้เทียบเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 3- แก้สมการ

ทางด้านซ้ายคุณสามารถลดสองสามได้และด้านขวาจะเท่ากับ 18

สมการที่ง่ายที่สุดยังคงอยู่ เรากำลังจัดการกับองค์ประกอบของการคูณ ตัวแปร xเป็นปัจจัยที่ไม่ทราบ มาดูปัจจัยที่รู้จักกันดีนี้กัน:

ลองกลับไปสู่สมการเดิมแล้วแทนที่ xพบค่า 9

ตัวอย่างที่ 4- แก้สมการ

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6

ลองเปิดวงเล็บทางด้านซ้ายของสมการกัน ทางด้านขวา สามารถยกตัวประกอบ 6 เป็นตัวเศษได้:

มาลดสิ่งที่สามารถลดได้ทั้งสองข้างของสมการกัน:

มาเขียนสิ่งที่เราเหลืออีกครั้ง:

ลองใช้การโอนข้อกำหนด ข้อกำหนดที่มีสิ่งที่ไม่ทราบ xเราจัดกลุ่มไว้ทางด้านซ้ายของสมการ และคำศัพท์ที่ไม่มีสิ่งที่ไม่ทราบ - ทางด้านขวา:

ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในทั้งสองส่วน:

ทีนี้ลองหาค่าของตัวแปรกัน x- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารผลคูณ 28 ด้วยตัวประกอบที่ทราบ 7

จากที่นี่ x= 4.

ลองกลับไปสู่สมการเดิม และทดแทน xพบค่า 4

ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการตัวเลขที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าสมการได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 5- แก้สมการ

ลองเปิดวงเล็บทั้งสองข้างของสมการเมื่อเป็นไปได้:

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 15

ลองเปิดวงเล็บทั้งสองข้างของสมการ:

ลองลดสิ่งที่สามารถลดได้ทั้งสองข้างของสมการ:

มาเขียนสิ่งที่เราเหลืออีกครั้ง:

ลองขยายวงเล็บหากเป็นไปได้:

ลองใช้การโอนข้อกำหนด เราจัดกลุ่มคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่รู้ไว้ทางด้านซ้ายของสมการ และคำศัพท์ที่ไม่มีสิ่งที่ไม่รู้อยู่ทางด้านขวา อย่าลืมว่าระหว่างการโอน เงื่อนไขจะเปลี่ยนสัญญาณไปในทางตรงกันข้าม:

ให้เรานำเสนอคำที่คล้ายกันทั้งสองข้างของสมการ:

มาหาค่ากัน x

คำตอบที่ได้สามารถแบ่งออกเป็นส่วนทั้งหมด:

ลองกลับไปสู่สมการเดิมแล้วแทนที่ xพบมูลค่า

มันกลายเป็นการแสดงออกที่ค่อนข้างยุ่งยาก ลองใช้ตัวแปรกัน ลองใส่ด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันลงในตัวแปรกัน กและด้านขวาของความเท่าเทียมกันให้เป็นตัวแปร บี

งานของเราคือทำให้แน่ใจว่าด้านซ้ายเท่ากับด้านขวาหรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิสูจน์ความเท่าเทียมกัน A = B

ลองหาค่าของนิพจน์ในตัวแปร A กัน

ค่าตัวแปร กเท่ากับ ทีนี้ลองหาค่าของตัวแปรกัน บี- นั่นคือมูลค่าของด้านขวาของความเท่าเทียมกันของเรา หากเท่ากันก็จะแก้สมการได้อย่างถูกต้อง

เราจะเห็นว่าค่าของตัวแปร บีและค่าของตัวแปร A ก็คือ ซึ่งหมายความว่าด้านซ้ายเท่ากับด้านขวา จากนี้เราสรุปได้ว่าสมการแก้ได้ถูกต้อง

ทีนี้ลองอย่าคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนเดียวกัน แต่ให้หารแทน

พิจารณาสมการ 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 - ลองแก้มันโดยใช้วิธีปกติ: เราจัดกลุ่มคำศัพท์ที่มีสิ่งไม่รู้ทางด้านซ้ายของสมการ และคำศัพท์ที่ไม่มีสิ่งที่ไม่รู้จัก - ทางด้านขวา ต่อไป เมื่อทำการแปลงเอกลักษณ์ที่ทราบแล้ว เราจะพบค่า x

ลองแทนค่าที่พบ 2 แทน xลงในสมการดั้งเดิม:

ทีนี้ลองแยกเงื่อนไขทั้งหมดของสมการออกจากกัน 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 ด้วยจำนวนหนึ่ง เราสังเกตว่าพจน์ทั้งหมดของสมการนี้มีตัวประกอบร่วมคือ 2 เราหารแต่ละพจน์ด้วย:

ลองทำการลดในแต่ละเทอม:

มาเขียนสิ่งที่เราเหลืออีกครั้ง:

เรามาแก้สมการนี้โดยใช้การแปลงข้อมูลประจำตัวที่รู้จักกันดี:

เราได้รูท 2 แล้ว ดังนั้นสมการ 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 และ 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 เทียบเท่ากัน

การหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนเดียวกันจะทำให้คุณสามารถลบค่าที่ไม่รู้จักออกจากสัมประสิทธิ์ได้ ในตัวอย่างก่อนหน้านี้เมื่อเราได้สมการ 7 x= 14 เราต้องหารผลคูณ 14 ด้วยตัวประกอบที่ทราบ 7 แต่ถ้าเราปล่อยสิ่งที่ไม่ทราบออกจากตัวประกอบ 7 ทางด้านซ้าย เราก็จะพบรากทันที เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะหารทั้งสองข้างด้วย 7

เราจะใช้วิธีนี้บ่อยๆ

คูณด้วยลบหนึ่ง

หากทั้งสองข้างของสมการคูณด้วยลบหนึ่ง คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการนี้

กฎข้อนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าการคูณ (หรือหาร) ทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนเดียวกันจะไม่เปลี่ยนรากของสมการที่กำหนด ซึ่งหมายความว่ารากจะไม่เปลี่ยนแปลงหากทั้งสองส่วนของมันคูณด้วย −1

กฎข้อนี้ให้คุณเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนประกอบทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการได้ มีไว้เพื่ออะไร? ขอย้ำอีกครั้งเพื่อให้ได้สมการที่เทียบเท่าซึ่งแก้ได้ง่ายกว่า

พิจารณาสมการ รากของสมการนี้คืออะไร?

เพิ่มเลข 5 ลงทั้งสองข้างของสมการ

ลองดูคำที่คล้ายกัน:

ตอนนี้เรามาจำเกี่ยวกับ ทางด้านซ้ายของสมการคืออะไร? นี่คือผลคูณของลบหนึ่งกับตัวแปร x

นั่นคือเครื่องหมายลบหน้าตัวแปร xไม่ได้อ้างอิงถึงตัวแปรเอง xแต่สำหรับอันหนึ่งซึ่งเราไม่เห็น เนื่องจากปกติแล้วค่าสัมประสิทธิ์ 1 จะไม่ถูกเขียนลงไป ซึ่งหมายความว่าสมการจริงๆ มีลักษณะดังนี้:

เรากำลังจัดการกับองค์ประกอบของการคูณ เพื่อค้นหา เอ็กซ์คุณต้องหารผลคูณ −5 ด้วยปัจจัยที่ทราบ −1

หรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วย −1 ซึ่งง่ายกว่าอีก

ดังนั้นรากของสมการคือ 5 ในการตรวจสอบ ลองแทนที่มันลงในสมการดั้งเดิม อย่าลืมว่าในสมการดั้งเดิม ลบอยู่หน้าตัวแปร xหมายถึงหน่วยที่มองไม่เห็น

ทีนี้ลองคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยลบหนึ่ง:

หลังจากเปิดวงเล็บแล้ว นิพจน์จะเกิดขึ้นทางด้านซ้าย และด้านขวาจะเท่ากับ 10

รากของสมการนี้ก็เหมือนกับสมการคือ 5

ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 2- แก้สมการ

ในสมการนี้ ส่วนประกอบทั้งหมดเป็นลบ การใช้ส่วนประกอบที่เป็นบวกจะสะดวกกว่าในการทำงานกับส่วนประกอบที่เป็นลบ ดังนั้นเรามาเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนประกอบทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการกันดีกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย −1

เห็นได้ชัดว่าเมื่อคูณด้วย −1 จำนวนใดๆ ก็ตามจะเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้นขั้นตอนการคูณด้วย −1 และการเปิดวงเล็บจึงไม่ได้อธิบายโดยละเอียด แต่ส่วนประกอบของสมการที่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามจะถูกเขียนลงในทันที

ดังนั้น การคูณสมการด้วย −1 จึงสามารถเขียนรายละเอียดได้ดังนี้:

หรือคุณสามารถเปลี่ยนสัญญาณของส่วนประกอบทั้งหมดได้:

ผลลัพธ์จะเหมือนเดิม แต่ความแตกต่างคือเราจะประหยัดเวลาเอง

ดังนั้น เมื่อคูณทั้งสองด้านของสมการด้วย −1 เราจะได้สมการ เรามาแก้สมการนี้กัน ลบ 4 จากทั้งสองข้าง แล้วหารทั้งสองข้างด้วย 3

เมื่อพบรากแล้ว ตัวแปรมักจะเขียนทางด้านซ้าย และค่าของมันทางด้านขวา ซึ่งเป็นสิ่งที่เราทำ

ตัวอย่างที่ 3- แก้สมการ

ลองคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย −1 กัน จากนั้นส่วนประกอบทั้งหมดจะเปลี่ยนสัญญาณให้ตรงกันข้าม:

ลบ 2 จากทั้งสองด้านของสมการผลลัพธ์ xและให้คำที่คล้ายกัน:

ลองบวกหนึ่งเข้ากับทั้งสองข้างของสมการและให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน:

เท่ากับศูนย์

เมื่อเร็วๆ นี้เราได้เรียนรู้ว่าถ้าเราย้ายคำศัพท์ในสมการจากส่วนหนึ่งไปอีกส่วนหนึ่ง โดยเปลี่ยนเครื่องหมาย เราจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด

จะเกิดอะไรขึ้นหากคุณย้ายจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่ง ไม่ใช่แค่คำศัพท์เดียว แต่รวมถึงคำศัพท์ทั้งหมดด้วย ถูกต้องแล้ว ส่วนที่เอาเงื่อนไขทั้งหมดออกไปจะเหลือศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่งจะไม่เหลืออะไรเลย

เป็นตัวอย่างให้พิจารณาสมการ มาแก้สมการนี้ตามปกติ - เราจะจัดกลุ่มคำศัพท์ที่ไม่รู้จักไว้เป็นส่วนหนึ่ง และปล่อยให้คำศัพท์ที่เป็นตัวเลขปราศจากสิ่งที่ไม่รู้จักในอีกส่วนหนึ่ง ขั้นต่อไป เมื่อดำเนินการแปลงเอกลักษณ์ที่รู้จัก เราจะค้นหาค่าของตัวแปร x

ทีนี้ลองแก้สมการเดียวกันโดยทำให้ส่วนประกอบทั้งหมดเป็นศูนย์ ในการดำเนินการนี้ เราจะย้ายเงื่อนไขทั้งหมดจากด้านขวาไปด้านซ้าย โดยเปลี่ยนเครื่องหมาย:

ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันทางด้านซ้าย:

บวก 77 ทั้งสองข้างแล้วหารทั้งสองข้างด้วย 7

ทางเลือกอื่นนอกเหนือจากกฎในการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก

แน่นอนว่าเมื่อทราบเกี่ยวกับการแปลงสมการที่เหมือนกันแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องจำกฎเกณฑ์ในการค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบ

ตัวอย่างเช่น หากต้องการค้นหาค่าที่ไม่ทราบในสมการ เราหารผลคูณ 10 ด้วยตัวประกอบที่ทราบ 2

แต่ถ้าคุณหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2 ก็จะพบรากทันที ทางด้านซ้ายของสมการในตัวเศษ ตัวประกอบ 2 และในตัวส่วน ตัวประกอบ 2 จะลดลง 2 และด้านขวาจะเท่ากับ 5

เราแก้สมการของแบบฟอร์มโดยแสดงคำที่ไม่รู้จัก:

แต่คุณสามารถใช้การแปลงแบบเดียวกับที่เราศึกษาวันนี้ได้ ในสมการ เทอม 4 สามารถเลื่อนไปทางด้านขวาได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมาย:

ทางด้านซ้ายของสมการ สองสองจะตัดกัน ด้านขวาจะเท่ากับ 2 ดังนั้น .

หรือคุณลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการได้

ในกรณีของสมการในรูปแบบ จะสะดวกกว่าในการหารผลคูณด้วยปัจจัยที่ทราบ ลองเปรียบเทียบทั้งสองวิธี:

วิธีแก้ปัญหาแรกนั้นสั้นกว่าและเรียบร้อยกว่ามาก วิธีที่สองสามารถย่อให้สั้นลงได้มากหากคุณแบ่งส่วนในหัว

อย่างไรก็ตาม จำเป็นต้องรู้ทั้งสองวิธี จากนั้นจึงใช้วิธีที่คุณต้องการเท่านั้น

เมื่อมีหลายราก

สมการสามารถมีได้หลายราก ยกตัวอย่างสมการ x(x+ 9) = 0 มีสองราก: 0 และ −9

ในสมการ x(x+ 9) = 0 จำเป็นต้องค้นหาค่าดังกล่าว xโดยทางด้านซ้ายจะเท่ากับศูนย์ ทางด้านซ้ายของสมการนี้มีนิพจน์อยู่ xและ (x+9)ซึ่งเป็นปัจจัย จากกฎผลิตภัณฑ์ เรารู้ว่าผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับศูนย์หากมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ (ไม่ว่าจะเป็นปัจจัยแรกหรือตัวที่สอง)

นั่นคือในสมการ x(x+ 9) = 0 ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้หาก xจะเท่ากับศูนย์หรือ (x+9)จะเท่ากับศูนย์

x= 0 หรือ x + 9 = 0

เมื่อตั้งค่านิพจน์ทั้งสองนี้เป็นศูนย์ เราจะสามารถหารากของสมการได้ x(x+ 9) = 0 . รากแรกดังที่เห็นจากตัวอย่างพบได้ทันที หากต้องการหารากที่สอง คุณต้องแก้สมการเบื้องต้น x+ 9 = 0 . มันง่ายที่จะเดาว่ารากของสมการนี้คือ −9 การตรวจสอบแสดงว่ารูทถูกต้อง:

−9 + 9 = 0

ตัวอย่างที่ 2- แก้สมการ

สมการนี้มีสองราก: 1 และ 2 ทางด้านซ้ายของสมการคือผลคูณของนิพจน์ ( x− 1) และ ( x− 2) . และผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้าตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ (หรือตัวประกอบ ( x− 1) หรือตัวประกอบ ( x − 2) ).

มาหาอะไรแบบนี้กัน xภายใต้การแสดงออก ( x− 1) หรือ ( x− 2) กลายเป็นศูนย์:

เราแทนที่ค่าที่พบทีละค่าลงในสมการดั้งเดิมและตรวจสอบให้แน่ใจว่าสำหรับค่าเหล่านี้ด้านซ้ายมือจะเท่ากับศูนย์:

เมื่อมีรากมากมายนับไม่ถ้วน

สมการสามารถมีรากได้มากมายนับไม่ถ้วน นั่นคือโดยการแทนที่ตัวเลขใดๆ ลงในสมการ เราจะได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 1- แก้สมการ

รากของสมการนี้คือตัวเลขใดๆ หากคุณเปิดวงเล็บทางด้านซ้ายของสมการและเพิ่มพจน์ที่คล้ายกัน คุณจะได้ความเท่าเทียมกัน 14 = 14 ความเท่าเทียมกันนี้จะได้รับสำหรับสิ่งใด ๆ x

ตัวอย่างที่ 2- แก้สมการ

รากของสมการนี้คือตัวเลขใดๆ หากคุณเปิดวงเล็บทางด้านซ้ายของสมการ คุณจะได้ค่าความเท่าเทียมกัน 10x + 12 = 10x + 12. ความเท่าเทียมกันนี้จะได้รับสำหรับสิ่งใด ๆ x

เมื่อไม่มีราก

นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นที่สมการไม่มีคำตอบเลย กล่าวคือ มันไม่มีราก ตัวอย่างเช่น สมการไม่มีราก เนื่องจากค่าใดๆ ก็ตาม xด้านซ้ายของสมการจะไม่เท่ากับด้านขวา ตัวอย่างเช่น ให้ . จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2- แก้สมการ

ลองขยายวงเล็บทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน:

ลองดูคำที่คล้ายกัน:

เราจะเห็นว่าด้านซ้ายไม่เท่ากับด้านขวา และนี่จะเป็นกรณีของค่าใดๆ ย- ตัวอย่างเช่น ให้ ย = 3 .

สมการตัวอักษร

สมการสามารถมีได้ไม่เพียงแต่ตัวเลขที่มีตัวแปรเท่านั้น แต่ยังมีตัวอักษรด้วย

ตัวอย่างเช่น สูตรการหาความเร็วเป็นสมการตามตัวอักษร:

สมการนี้อธิบายความเร็วของร่างกายระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งสม่ำเสมอ

ทักษะที่มีประโยชน์คือความสามารถในการแสดงองค์ประกอบใดๆ ที่รวมอยู่ในสมการตัวอักษร ตัวอย่างเช่น ในการหาระยะห่างจากสมการ คุณต้องแสดงตัวแปร ส .

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย ที

ตัวแปรทางด้านขวา ทีมาตัดมันกันเถอะ ที

ในสมการผลลัพธ์ เราสลับด้านซ้ายและขวา:

เรามีสูตรการหาระยะทางซึ่งเราศึกษามาก่อนหน้านี้

ลองหาเวลาจากสมการดู เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องแสดงตัวแปร ที .

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย ที

ตัวแปรทางด้านขวา ทีมาตัดมันกันเถอะ ทีและเขียนสิ่งที่เราเหลือไว้ใหม่:

ในสมการผลลัพธ์ v×t = สแบ่งทั้งสองส่วนออกเป็น โวลต์

ตัวแปรทางด้านซ้าย โวลต์มาตัดมันกันเถอะ โวลต์และเขียนสิ่งที่เราเหลือไว้ใหม่:

เรามีสูตรการกำหนดเวลาที่เราศึกษามาก่อนหน้านี้

สมมุติว่ารถไฟมีความเร็ว 50 กม./ชม

โวลต์= 50 กม./ชม

และระยะทาง 100 กม

ส= 100 กม

จากนั้นจดหมายจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้

เวลาหาได้จากสมการนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณจะต้องสามารถแสดงตัวแปรได้ ที- คุณสามารถใช้กฎในการค้นหาตัวหารที่ไม่รู้จักได้โดยการหารเงินปันผลด้วยผลหาร แล้วจึงกำหนดค่าของตัวแปร ที

หรือคุณสามารถใช้การแปลงที่เหมือนกันได้ ขั้นแรกให้คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย ที

จากนั้นหารทั้งสองข้างด้วย 50

ตัวอย่างที่ 2 x

ลบออกจากทั้งสองข้างของสมการ ก

ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วย ข

ก + ขx = คจากนั้นเราก็จะได้โซลูชั่นสำเร็จรูป มันจะเพียงพอที่จะทดแทนค่าที่ต้องการลงไปได้ ค่าเหล่านั้นที่จะถูกแทนที่ด้วยตัวอักษร ก ข คมักจะเรียกว่า พารามิเตอร์- และสมการของรูปทรง ก + ขx = คเรียกว่า สมการกับพารามิเตอร์- รูทจะเปลี่ยนไปตามพารามิเตอร์

มาแก้สมการ 2 + 4 กัน x= 10 . ดูเหมือนสมการตัวอักษร ก + ขx = ค- แทนที่จะทำการแปลงที่เหมือนกัน เราสามารถใช้โซลูชันสำเร็จรูปได้ ลองเปรียบเทียบทั้งสองวิธี:

เราเห็นว่าวิธีแก้ปัญหาที่สองนั้นง่ายกว่าและสั้นกว่ามาก

สำหรับโซลูชันสำเร็จรูปจำเป็นต้องสังเกตเล็กน้อย พารามิเตอร์ ขจะต้องไม่เท่ากับศูนย์ (ข ≠ 0)เนื่องจากอนุญาตให้หารด้วยศูนย์ด้วยได้

ตัวอย่างที่ 3- ให้สมการตามตัวอักษร แสดงจากสมการนี้ x

ลองเปิดวงเล็บทั้งสองข้างของสมการกัน

ลองใช้การโอนข้อกำหนด พารามิเตอร์ที่มีตัวแปร xเราจัดกลุ่มทางด้านซ้ายของสมการ และพารามิเตอร์ที่ปราศจากตัวแปรนี้ - ทางด้านขวา

ทางด้านซ้าย เราจะนำตัวประกอบออกจากวงเล็บ x

ลองแบ่งทั้งสองข้างออกเป็นพจน์กัน ก-ข

ทางด้านซ้ายสามารถลดตัวเศษและส่วนได้ ก-ข- นี่คือวิธีการแสดงตัวแปรในที่สุด x

ทีนี้ ถ้าเราเจอสมการของรูปแบบ ก(x − ค) = ข(x + ง)จากนั้นเราก็จะได้โซลูชั่นสำเร็จรูป มันจะเพียงพอที่จะทดแทนค่าที่ต้องการลงไปได้

สมมติว่าเราได้รับสมการมา 4(x− 3) = 2(x+ 4) - มันเหมือนกับสมการ ก(x − ค) = ข(x + ง)- มาแก้มันด้วยสองวิธี: ใช้การแปลงที่เหมือนกันและการใช้โซลูชันสำเร็จรูป:

เพื่อความสะดวกขอเอาออกจากสมการนะครับ 4(x− 3) = 2(x+ 4) ค่าพารามิเตอร์ ก, ข, ค, ง - สิ่งนี้จะช่วยให้เราไม่ทำผิดพลาดเมื่อทำการทดแทน:

ดังเช่นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ตัวส่วนตรงนี้ไม่ควรเท่ากับศูนย์ ( ก - ข ≠ 0) . ถ้าเราเจอสมการของรูป ก(x − ค) = ข(x + ง)ซึ่งในพารามิเตอร์ กและ ขจะเท่ากัน เราสามารถพูดได้โดยไม่ต้องแก้สมการว่าสมการนี้ไม่มีราก เนื่องจากผลต่างของตัวเลขที่เหมือนกันคือศูนย์

ตัวอย่างเช่นสมการ 2(x − 3) = 2(x + 4)เป็นสมการของรูปแบบ ก(x − ค) = ข(x + ง)- ในสมการ 2(x − 3) = 2(x + 4)พารามิเตอร์ กและ ขเหมือนกัน ถ้าเราเริ่มแก้ก็จะได้ข้อสรุปว่าด้านซ้ายจะไม่เท่ากับด้านขวา:

ตัวอย่างที่ 4- ให้สมการตามตัวอักษร แสดงจากสมการนี้ x

นำด้านซ้ายของสมการมาเป็นตัวส่วนร่วม:

คูณทั้งสองข้างด้วย ก

ด้านซ้าย xเอามันออกจากวงเล็บเลย

หารทั้งสองข้างด้วยนิพจน์ (1 − ก)

สมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าหนึ่ง

สมการที่กล่าวถึงในบทเรียนนี้เรียกว่า สมการเชิงเส้นของดีกรี 1 โดยไม่ทราบค่าหนึ่ง.

หากสมการถูกกำหนดไว้ที่ระดับแรก โดยไม่มีการหารด้วยค่าที่ไม่รู้จัก และยังไม่มีรากจากค่าที่ไม่รู้จักด้วย ก็สามารถเรียกว่าเชิงเส้นได้ เรายังไม่ได้ศึกษาพลังและรากเหง้า ดังนั้นเพื่อไม่ให้ชีวิตเราซับซ้อน เราจะเข้าใจคำว่า "เชิงเส้น" ว่า "เรียบง่าย"

สมการส่วนใหญ่ที่แก้ได้ในบทเรียนนี้ท้ายที่สุดแล้วมาจากสมการง่ายๆ ซึ่งคุณต้องหารผลคูณด้วยตัวประกอบที่ทราบ ตัวอย่างเช่น นี่คือสมการ 2( x+ 3) = 16 . มาแก้กันเถอะ

ลองเปิดวงเล็บทางด้านซ้ายของสมการ เราจะได้ 2 x+ 6 = 16 ลองย้ายเทอม 6 ไปทางด้านขวา เปลี่ยนเครื่องหมาย แล้วเราจะได้ 2 x= 16 − 6. หาทางขวา เราจะได้ 2 x= 10. ค้นหา xหารผลคูณ 10 ด้วยตัวประกอบที่ทราบ 2 ดังนั้น x = 5.

สมการที่ 2( x+ 3) = 16 เป็นเส้นตรง มันลงมาที่สมการที่ 2 x= 10 เพื่อค้นหารากที่ต้องหารผลคูณด้วยปัจจัยที่ทราบ สมการที่ง่ายที่สุดนี้เรียกว่า สมการเชิงเส้นของดีกรี 1 กับสมการที่ไม่รู้จักในรูปแบบมาตรฐาน- คำว่า "canonical" มีความหมายเหมือนกันกับคำว่า "simple" หรือ "normal"

สมการเชิงเส้นของดีกรีที่ 1 กับสมการที่ไม่รู้จักในรูปแบบมาตรฐานเรียกว่าสมการของรูปแบบ ขวาน = ข

สมการผลลัพธ์ของเรา 2 x= 10 เป็นสมการเชิงเส้นของดีกรี 1 โดยมีค่าหนึ่งที่ไม่รู้จักในรูปแบบมาตรฐาน สมการนี้มีระดับที่ 1 ไม่ทราบค่า ไม่มีการหารด้วยสิ่งที่ไม่ทราบ และไม่มีรากจากสิ่งที่ไม่ทราบ และนำเสนอในรูปแบบมาตรฐาน นั่นคือ ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดซึ่งสามารถกำหนดค่าได้ง่ายที่สุด x- แทนพารามิเตอร์ กและ ขสมการของเราประกอบด้วยตัวเลข 2 และ 10 แต่สมการดังกล่าวอาจมีตัวเลขอื่นๆ ก็ได้ เช่น บวก ลบ หรือเท่ากับศูนย์

ถ้าอยู่ในสมการเชิงเส้น ก= 0 และ ข= 0 ดังนั้นสมการจึงมีรากมากมายไม่สิ้นสุด จริงๆ แล้วถ้า. กเท่ากับศูนย์และ ขเท่ากับศูนย์ ตามด้วยสมการเชิงเส้น ขวาน= ขจะอยู่ในรูปแบบ 0 x= 0 . เพื่อความคุ้มค่าใดๆ xด้านซ้ายจะเท่ากับด้านขวา

ถ้าอยู่ในสมการเชิงเส้น ก= 0 และ ข≠ 0 ดังนั้นสมการจึงไม่มีราก จริงๆ แล้วถ้า. กเท่ากับศูนย์และ ขเท่ากับจำนวนจำนวนหนึ่งที่ไม่เท่ากับศูนย์ พูดเลข 5 แล้วตามด้วยสมการ ขวาน = ขจะอยู่ในรูปแบบ 0 x= 5 . ด้านซ้ายจะเป็นศูนย์ และด้านขวาจะเป็นห้า และศูนย์ก็ไม่เท่ากับห้า

ถ้าอยู่ในสมการเชิงเส้น ก≠ 0 และ ขเท่ากับจำนวนใดๆ แล้วสมการจะมีหนึ่งราก ถูกกำหนดโดยการหารพารามิเตอร์ ขต่อพารามิเตอร์ ก

จริงๆ แล้วถ้า. กเท่ากับจำนวนจำนวนหนึ่งที่ไม่ใช่ศูนย์ เช่น เลข 3 และ ขเท่ากับเลขจำนวนหนึ่ง พูดเลข 6 แล้วสมการจะอยู่ในรูป .
จากที่นี่.

มีอีกรูปแบบหนึ่งของการเขียนสมการเชิงเส้นของระดับแรกโดยไม่ทราบค่าหนึ่ง ดูเหมือนว่านี้: ขวาน - ข= 0 . นี่คือสมการเดียวกันกับ ขวาน = ข

คุณชอบบทเรียนหรือไม่?
เข้าร่วมกลุ่ม VKontakte ใหม่ของเราและเริ่มรับการแจ้งเตือนเกี่ยวกับบทเรียนใหม่

สมการ

จะแก้สมการได้อย่างไร?

ในส่วนนี้ เราจะจำ (หรือศึกษา ขึ้นอยู่กับผู้ที่คุณเลือก) สมการเบื้องต้นที่สุด แล้วสมการคืออะไร? ในภาษามนุษย์ นี่คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์บางประเภทที่มีเครื่องหมายเท่ากับและไม่ทราบค่า ซึ่งโดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร "เอ็กซ์". แก้สมการ- นี่คือการค้นหาค่าของ x ที่เมื่อแทนค่าเข้าไป ต้นฉบับการแสดงออกจะทำให้เรามีตัวตนที่ถูกต้อง ฉันขอเตือนคุณว่าอัตลักษณ์คือการแสดงออกที่ไม่ต้องสงสัย แม้แต่กับบุคคลที่ไม่มีภาระกับความรู้ทางคณิตศาสตร์เลยก็ตาม เช่น 2=2, 0=0, ab=ab เป็นต้น แล้วจะแก้สมการได้อย่างไร?ลองคิดดูสิ

มีสมการทุกประเภท (แปลกใจใช่ไหม?) แต่ความหลากหลายอันไม่มีที่สิ้นสุดทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสี่ประเภทเท่านั้น

4. คนอื่นๆ ครับ)

แน่นอนว่าที่เหลือทั้งหมด ที่สำคัญที่สุด ใช่...) ซึ่งได้แก่ ลูกบาศก์ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ตรีโกณมิติ และอื่นๆ อีกมากมาย เราจะทำงานอย่างใกล้ชิดกับพวกเขาในส่วนที่เหมาะสม

ฉันจะบอกทันทีว่าบางครั้งสมการของสามประเภทแรกก็เสียหายมากจนคุณจำไม่ได้ด้วยซ้ำ... ไม่มีอะไร เราจะเรียนรู้วิธีผ่อนคลายพวกเขา

และเหตุใดเราจึงต้องมีสี่ประเภทนี้? แล้วอะไรล่ะ สมการเชิงเส้นแก้ได้ด้วยวิธีเดียว สี่เหลี่ยมคนอื่น, เหตุผลเศษส่วน - ที่สามก พักผ่อนพวกเขาไม่กล้าเลย! ไม่ใช่ว่าพวกเขาตัดสินใจไม่ได้เลย แต่ฉันผิดวิชาคณิตศาสตร์) เพียงแต่พวกเขามีเทคนิคและวิธีการพิเศษเป็นของตัวเอง

แต่สำหรับสิ่งใด ๆ (ฉันขอย้ำ - เพื่อ ใดๆ!) สมการให้พื้นฐานที่เชื่อถือได้และปลอดภัยสำหรับการแก้ปัญหา ทำงานได้ทุกที่และตลอดเวลา รองพื้นตัวนี้ - ฟังดูน่ากลัว แต่ก็เรียบง่ายมาก และมาก (มาก!)สำคัญ.

จริงๆ แล้ว การแก้สมการประกอบด้วยการแปลงพวกนี้เหมือนกัน 99% ตอบคำถาม: " จะแก้สมการได้อย่างไร?" อยู่ในการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้อย่างชัดเจน คำใบ้ชัดเจนหรือไม่)

การแปลงสมการที่เหมือนกัน

ใน สมการใดๆหากต้องการค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบ คุณต้องแปลงและทำให้ตัวอย่างดั้งเดิมง่ายขึ้น และเมื่อรูปลักษณ์เปลี่ยนไป แก่นแท้ของสมการไม่เปลี่ยนแปลงการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่า เหมือนกันหรือเทียบเท่า

โปรดทราบว่าการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้มีผล โดยเฉพาะสมการนอกจากนี้ยังมีการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วย การแสดงออกนี่เป็นอีกหัวข้อหนึ่ง

ตอนนี้เราจะทำซ้ำทั้งหมด ทั้งหมด ทั้งหมด ขั้นพื้นฐาน การแปลงสมการที่เหมือนกัน

พื้นฐานเพราะสามารถประยุกต์เข้ากับ ใดๆสมการ - เชิงเส้น กำลังสอง เศษส่วน ตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ฯลฯ ฯลฯ

การแปลงข้อมูลระบุตัวตนครั้งแรก: คุณสามารถเพิ่ม (ลบ) ทั้งสองข้างของสมการใดก็ได้ ใดๆ(แต่เหมือนกัน!) ตัวเลขหรือสำนวน (รวมถึงสำนวนที่ไม่รู้จักด้วย!) สิ่งนี้ไม่ได้เปลี่ยนแก่นแท้ของสมการ

ยังไงก็ตาม คุณใช้การแปลงนี้ตลอดเวลา คุณแค่คิดว่าคุณกำลังโอนเทอมบางเทอมจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย พิมพ์:

กรณีนี้เป็นที่คุ้นเคย เราย้ายทั้งสองไปทางขวา และเราได้รับ:

ที่จริงแล้วคุณ เอาไปจากทั้งสองข้างของสมการคือสอง ผลลัพธ์ก็เหมือนกัน:

x+2 - 2 = 3 - 2

การย้ายเงื่อนไขไปทางซ้ายและขวาโดยการเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นเพียงเวอร์ชันย่อของการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ครั้งแรก และเหตุใดเราจึงต้องมีความรู้เชิงลึกเช่นนี้? – คุณถาม ไม่มีสิ่งใดในสมการ เพื่อประโยชน์ของพระเจ้า อดทนไว้ อย่าลืมเปลี่ยนป้ายด้วย แต่ในความไม่เท่าเทียมกัน นิสัยในการโอนย้ายสามารถนำไปสู่ทางตันได้...

การเปลี่ยนแปลงตัวตนครั้งที่สอง: ทั้งสองด้านของสมการสามารถคูณ (หาร) ด้วยสิ่งเดียวกันได้ ไม่ใช่ศูนย์หมายเลขหรือการแสดงออก ข้อ จำกัด ที่เข้าใจได้ปรากฏขึ้นที่นี่แล้ว: การคูณด้วยศูนย์นั้นโง่และการหารนั้นเป็นไปไม่ได้เลย นี่คือการแปลงที่คุณใช้เมื่อคุณแก้อะไรเจ๋งๆ แบบนี้

มันชัดเจน เอ็กซ์= 2. คุณค้นพบมันได้อย่างไร? โดยการคัดเลือก? หรือมันเพิ่งจะเริ่มต้นกับคุณ? เพื่อไม่ให้เลือกและไม่รอความเข้าใจคุณต้องเข้าใจว่าคุณเป็นคนยุติธรรม แบ่งทั้งสองข้างของสมการ 5 เท่า เมื่อหารทางด้านซ้าย (5x) ทั้ง 5 ตัวก็ลดลงเหลือเพียง X ล้วนๆ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการจริงๆ และเมื่อหารด้านขวาของ (10) ด้วย 5 ผลลัพธ์ก็คือ 2 แน่นอน

แค่นั้นแหละ.

มันตลกดี แต่การแปลงที่เหมือนกันทั้งสอง (เพียงสองเท่านั้น!) นี้เป็นพื้นฐานของวิธีแก้ปัญหา สมการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดว้าว! มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะดูตัวอย่างของอะไรและอย่างไรใช่ไหม?)

ตัวอย่างการแปลงสมการที่เหมือนกัน ปัญหาหลัก

เริ่มต้นด้วย อันดับแรกการเปลี่ยนแปลงตัวตน โอนซ้าย-ขวา

เป็นตัวอย่างแก่น้องๆ)

สมมติว่าเราต้องแก้สมการต่อไปนี้:

3-2x=5-3x

มาจำคาถากันเถอะ: "มี X - ไปทางซ้าย ไม่มี X - ไปทางขวา!"คาถานี้เป็นคำแนะนำในการใช้การแปลงข้อมูลประจำตัวครั้งแรก) นิพจน์ที่มี X อยู่ทางขวาคืออะไร? 3x- คำตอบไม่ถูกต้อง! ทางด้านขวามือของเรา - 3x! ลบสามเอ็กซ์! ดังนั้นเมื่อเคลื่อนไปทางซ้ายเครื่องหมายจะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายบวก ปรากฎว่า:

3-2x+3x=5

ดังนั้น X's จึงถูกรวบรวมเป็นกอง เรามาเข้าเรื่องตัวเลขกันดีกว่า มีสามอันทางซ้าย ด้วยสัญญาณอะไร? ไม่ยอมรับคำตอบว่า "ไม่มีเลย"!) ต่อหน้าทั้งสามนั้นไม่มีอะไรถูกดึงออกมาจริงๆ และนี่หมายความว่าก่อนทั้งสามจะมี บวกนักคณิตศาสตร์จึงตกลงกัน ไม่มีอะไรเขียนซึ่งหมายความว่า บวกดังนั้นทริปเปิลจะถูกโอนไปทางด้านขวา ด้วยเครื่องหมายลบเราได้รับ:

-2x+3x=5-3

เหลือเพียงเรื่องเล็กๆ น้อยๆ เท่านั้น ทางซ้าย - นำอันที่คล้ายกันมาทางขวา - นับ คำตอบมาทันที:

ในตัวอย่างนี้ การแปลงข้อมูลประจำตัวเพียงครั้งเดียวก็เพียงพอแล้ว อันที่สองไม่จำเป็น อืม ก็ได้)

ตัวอย่างสำหรับเด็กโต)

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

สมการคือความเท่าเทียมกันที่มีตัวอักษรซึ่งจะต้องค้นหาค่า

ในสมการ สิ่งที่ไม่ทราบมักจะแสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็ก ตัวอักษร "x" [ix] และ "y" [y] มักใช้บ่อยที่สุด

รากของสมการ- นี่คือค่าของตัวอักษรที่ได้รับความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้องจากสมการ
แก้สมการ- หมายถึง ค้นหารากให้หมด หรือต้องแน่ใจว่าไม่มีราก

เมื่อแก้สมการแล้ว เราจะเขียนเช็คไว้หลังคำตอบเสมอ

ข้อมูลสำหรับผู้ปกครอง

เรียนผู้ปกครอง เราขอแจ้งให้คุณทราบว่าในโรงเรียนประถมศึกษาและชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 เด็ก ๆ ไม่รู้จักหัวข้อ "จำนวนลบ"

ดังนั้นจึงต้องแก้สมการโดยใช้เพียงคุณสมบัติของการบวก ลบ คูณหาร เท่านั้น วิธีการแก้สมการสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 มีดังต่อไปนี้

อย่าพยายามอธิบายการแก้สมการโดยการโอนตัวเลขและตัวอักษรจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยที่เครื่องหมายเปลี่ยน

คุณสามารถทบทวนแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับการบวก การลบ การคูณ และการหารได้ในบทเรียน "กฎเลขคณิต"

การแก้สมการการบวกและการลบ

วิธีค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก
ภาคเรียน

วิธีค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก
ข้อเสีย

วิธีค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก
ต่ำกว่า

หากต้องการค้นหาคำที่ไม่รู้จัก คุณต้องลบคำที่ทราบออกจากผลรวม

หากต้องการค้นหา minuend ที่ไม่รู้จัก คุณต้องเพิ่มส่วนย่อยให้กับส่วนต่าง

ในการหาค่าลบที่ไม่รู้จัก คุณต้องลบผลต่างออกจากค่า minuend

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
การตรวจสอบ

x - 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
การตรวจสอบ

16 − 2 = 14
14 = 14

5 - x = 3
x = 5 − 3
x = 2
การตรวจสอบ

การแก้สมการการคูณและการหาร

วิธีค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก
ปัจจัย

วิธีค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก
เงินปันผล

วิธีค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก
ตัวแบ่ง

หากต้องการค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบ คุณต้องหารผลคูณด้วยปัจจัยที่ทราบ

หากต้องการหาเงินปันผลที่ไม่ทราบ คุณต้องคูณผลหารด้วยตัวหาร

หากต้องการหาตัวหารที่ไม่รู้จัก คุณต้องหารเงินปันผลด้วยผลหาร

ปี 4 = 12
ย=12:4
ย=3
การตรวจสอบ

ย: 7 = 2
ย = 2 7
ย=14
การตรวจสอบ

8:y=4
ย=8:4
ย=2
การตรวจสอบ

สมการคือความเท่าเทียมกันที่มีตัวอักษรซึ่งต้องพบเครื่องหมาย วิธีแก้สมการคือชุดของค่าตัวอักษรที่เปลี่ยนสมการให้มีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง:

จำได้ว่าต้องแก้ สมการคุณต้องโอนเงื่อนไขที่ไม่รู้จักไปยังส่วนหนึ่งของความเท่าเทียมกัน และเงื่อนไขที่เป็นตัวเลขไปยังอีกส่วนหนึ่ง นำเงื่อนไขที่คล้ายกันและรับความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

จากความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุด เราจะหาค่าที่ไม่รู้จักตามกฎ: “หนึ่งในปัจจัยเท่ากับผลหารหารด้วยปัจจัยที่สอง”

เนื่องจากจำนวนตรรกยะ a และ b สามารถมีเครื่องหมายเหมือนหรือต่างกันได้ เครื่องหมายของไม่ทราบจึงถูกกำหนดโดยกฎสำหรับการหารจำนวนตรรกยะ

ขั้นตอนการแก้สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นจะต้องทำให้ง่ายขึ้นโดยการเปิดวงเล็บและดำเนินการขั้นตอนที่สอง (การคูณและการหาร)

ย้ายสิ่งที่ไม่รู้จักไปด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ และตัวเลขไปอีกด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ จะได้ค่าเท่ากันกับเครื่องหมายที่กำหนด

นำสิ่งที่คล้ายกันไปทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับเพื่อให้ได้รูปแบบที่เท่าเทียมกัน ขวาน = ข.

คำนวณรากของสมการ (หาค่าที่ไม่ทราบ เอ็กซ์จากความเท่าเทียมกัน x = ข : ก),

ตรวจสอบโดยการแทนที่ค่าที่ไม่รู้จักลงในสมการที่กำหนด

หากเราได้รับข้อมูลประจำตัวในความเท่าเทียมกันของตัวเลข สมการก็จะได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง

กรณีพิเศษของการแก้สมการ

ถ้า สมการเมื่อให้ผลคูณเท่ากับ 0 แล้วเพื่อแก้โจทย์ เราใช้คุณสมบัติของการคูณ: “ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้าตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งหรือทั้งสองตัวเท่ากับศูนย์”

27 (x - 3) = 0
27 ไม่เท่ากับ 0 ซึ่งหมายถึง x - 3 = 0

ตัวอย่างที่สองมีสองคำตอบของสมการ เนื่องจาก
นี่คือสมการระดับที่สอง:

หากสัมประสิทธิ์ของสมการเป็นเศษส่วนสามัญ ก่อนอื่นคุณต้องกำจัดตัวส่วนออกก่อน เมื่อต้องการทำสิ่งนี้:

ค้นหาตัวส่วนร่วม

หาปัจจัยเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเทอมของสมการ

คูณตัวเศษของเศษส่วนและจำนวนเต็มด้วยปัจจัยเพิ่มเติมและเขียนเงื่อนไขทั้งหมดของสมการโดยไม่มีตัวส่วน (ตัวส่วนร่วมสามารถละทิ้งได้)

ย้ายพจน์ที่ไม่ทราบค่าไปด้านหนึ่งของสมการ และย้ายพจน์ที่เป็นตัวเลขจากเครื่องหมายเท่ากับไปอีกด้านหนึ่ง เพื่อให้ได้ค่าความเท่าเทียมกัน

นำสมาชิกที่คล้ายกัน;

คุณสมบัติพื้นฐานของสมการ

ในส่วนใดๆ ของสมการ คุณสามารถเพิ่มคำศัพท์ที่คล้ายกันหรือเปิดวงเล็บได้

พจน์ใดๆ ของสมการสามารถถ่ายโอนจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม

ทั้งสองด้านของสมการสามารถคูณ (หาร) ด้วยจำนวนเดียวกัน ยกเว้น 0

ในตัวอย่างข้างต้น คุณสมบัติทั้งหมดถูกใช้เพื่อแก้สมการ

กฎสำหรับการแก้สมการง่ายๆ

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ “ไม่ค่อยมาก” -
และสำหรับใครที่”เป็นอย่างมากนั้น -

สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นไม่ใช่หัวข้อที่ยากที่สุดในคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แต่มีเทคนิคบางอย่างที่สามารถไขปริศนาได้แม้แต่นักเรียนที่ผ่านการฝึกอบรมแล้ว ลองคิดดูสิ?)

โดยทั่วไปสมการเชิงเส้นถูกกำหนดให้เป็นสมการของรูปแบบ:

ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม? โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณไม่สังเกตเห็นคำว่า: “โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขใดๆ”. และถ้าคุณสังเกตและคิดอย่างไม่ระมัดระวังล่ะ?) ถ้าอย่างนั้น ก=0, ข=0(ตัวเลขใด ๆ ที่เป็นไปได้?) จากนั้นเราจะได้สำนวนตลก:

แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! ถ้าพูดว่า ก=0,ก ข=5,นี่กลายเป็นสิ่งที่ไร้สาระอย่างยิ่ง:

ซึ่งเป็นเรื่องเครียดและบ่อนทำลายความมั่นใจในวิชาคณิตศาสตร์ครับ) โดยเฉพาะช่วงสอบ แต่จากสำนวนแปลกๆ เหล่านี้ คุณต้องหา X ด้วย! ซึ่งไม่มีอยู่เลย และที่น่าประหลาดใจคือ X นี้หาง่ายมาก เราจะเรียนรู้การทำเช่นนี้ ในบทเรียนนี้

จะจดจำสมการเชิงเส้นตามรูปลักษณ์ได้อย่างไร? ขึ้นอยู่กับรูปลักษณ์ภายนอกด้วย) เคล็ดลับก็คือ สมการเชิงเส้นไม่ใช่แค่สมการของแบบฟอร์มเท่านั้น ขวาน + ข = 0 แต่ยังรวมถึงสมการใดๆ ที่สามารถลดทอนให้อยู่ในรูปแบบนี้ได้ด้วยการแปลงและทำให้ง่ายขึ้น แล้วใครจะรู้ว่าจะลงหรือเปล่า?)

สมการเชิงเส้นสามารถรับรู้ได้อย่างชัดเจนในบางกรณี สมมติว่าถ้าเรามีสมการที่มีแต่ค่าที่ไม่รู้จักในระดับแรกและตัวเลขเท่านั้น และในสมการก็ไม่มี เศษส่วนหารด้วย ไม่ทราบ , นี่เป็นสิ่งสำคัญ! และหารด้วย ตัวเลข,หรือเศษส่วนตัวเลข ยินดีด้วย! ตัวอย่างเช่น:

นี่คือสมการเชิงเส้น มีเศษส่วนตรงนี้ แต่ไม่มี x อยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์ ฯลฯ และไม่มี x ในตัวส่วน เช่น เลขที่ หารด้วย x- และนี่คือสมการ

ไม่สามารถเรียกว่าเชิงเส้นได้ ตรงนี้ X ล้วนอยู่ในระดับแรก แต่ก็มีอยู่ การหารด้วยนิพจน์ด้วย x- หลังจากลดความซับซ้อนและการแปลงแล้ว คุณจะได้สมการเชิงเส้น สมการกำลังสอง หรืออะไรก็ได้ที่คุณต้องการ

ปรากฎว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะจดจำสมการเชิงเส้นในตัวอย่างที่ซับซ้อนบางอย่างจนกว่าคุณจะเกือบจะแก้มันได้ นี่เป็นเรื่องที่น่าหงุดหงิด แต่ในงานมอบหมายตามกฎแล้วเขาไม่ถามถึงรูปแบบของสมการใช่ไหม? งานมอบหมายจะถามหาสมการ ตัดสินใจ.สิ่งนี้ทำให้ฉันมีความสุข)

การแก้สมการเชิงเส้น ตัวอย่าง.

ผลเฉลยของสมการเชิงเส้นทั้งหมดประกอบด้วยการแปลงสมการที่เหมือนกัน อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ (สองรายการ!) เป็นพื้นฐานของการแก้ปัญหา สมการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดกล่าวอีกนัยหนึ่งคือการแก้ปัญหา ใดๆสมการเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ ในกรณีของสมการเชิงเส้น มัน (คำตอบ) จะขึ้นอยู่กับการแปลงเหล่านี้และจบลงด้วยคำตอบแบบเต็ม ตามลิงค์ไปก็เข้าท่าใช่ไหม?) ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีตัวอย่างการแก้สมการเชิงเส้นอยู่ที่นั่นด้วย

ก่อนอื่น เรามาดูตัวอย่างที่ง่ายที่สุดกันก่อน โดยไม่มีข้อผิดพลาดใดๆ สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้สมการนี้

นี่คือสมการเชิงเส้น X ทั้งหมดอยู่ในยกกำลังแรก ไม่มีการหารด้วย X แต่จริงๆ แล้ว มันไม่สำคัญสำหรับเราว่าสมการจะเป็นแบบไหน เราจำเป็นต้องแก้ไขมัน โครงการที่นี่เรียบง่าย รวบรวมทุกอย่างที่มีเครื่องหมาย X ทางด้านซ้ายของสมการ ทุกสิ่งที่ไม่มีเครื่องหมาย X (ตัวเลข) ทางด้านขวา

ในการทำเช่นนี้คุณต้องทำการโอน — 4x ไปทางซ้าย พร้อมเปลี่ยนป้ายแน่นอน และ — 3 - ไปทางขวา โดยวิธีการนี้คือ การแปลงสมการที่เหมือนกันครั้งแรกน่าประหลาดใจ? ซึ่งหมายความว่าคุณไม่ได้ติดตามลิงก์ แต่ไร้ผล) เราได้รับ:

นี่คือสิ่งที่คล้ายกัน เราพิจารณา:

เราต้องการอะไรเพื่อความสุขที่สมบูรณ์? ใช่ เพื่อให้มี X บริสุทธิ์ทางด้านซ้าย! ห้าขวางทางอยู่ กำจัดทั้งห้าด้วยความช่วยเหลือ การแปลงสมการที่เหมือนกันครั้งที่สองกล่าวคือเราหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 5 เราได้คำตอบพร้อมแล้ว:

แน่นอนว่าเป็นตัวอย่างเบื้องต้น นี่เป็นการวอร์มอัพ) ยังไม่ชัดเจนนักว่าทำไมฉันถึงจำการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันได้ที่นี่ ตกลง. เอาวัวข้างเขากันเถอะ) มาตัดสินใจอะไรที่มั่นคงกว่านี้กันดีกว่า

ตัวอย่างเช่น นี่คือสมการ:

เราจะเริ่มต้นที่ไหน? ด้วย X - ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา? นั่นเป็นไปได้ ก้าวเล็ก ๆ ไปตามถนนยาว หรือคุณสามารถทำได้ทันทีด้วยวิธีที่เป็นสากลและทรงพลัง แน่นอนว่าหากคุณมีการแปลงสมการที่เหมือนกันในคลังแสงของคุณ

ฉันถามคำถามสำคัญกับคุณ: คุณไม่ชอบอะไรมากที่สุดเกี่ยวกับสมการนี้

95 จาก 100 คนจะตอบว่า: เศษส่วน - คำตอบนั้นถูกต้อง เรามากำจัดพวกมันกันเถอะ ดังนั้นเราจึงเริ่มทันทีด้วย การเปลี่ยนแปลงตัวตนครั้งที่สอง- คุณต้องคูณเศษส่วนทางซ้ายด้วยอะไรจึงจะลดตัวส่วนลงได้หมด? ถูกต้องตอนตี 3 และทางขวา? คูณ 4 แต่คณิตศาสตร์ยอมให้เราคูณทั้งสองข้างได้ หมายเลขเดียวกัน- เราจะออกไปได้อย่างไร? ลองคูณทั้งสองข้างด้วย 12 กัน! เหล่านั้น. ถึงตัวส่วนร่วม จากนั้นทั้งสามและสี่ก็จะลดลง อย่าลืมว่าคุณต้องคูณแต่ละส่วน โดยสิ้นเชิง- ขั้นตอนแรกมีลักษณะดังนี้:

ใส่ใจ! เศษ (x+2)ฉันใส่มันไว้ในวงเล็บแล้ว! เพราะเวลาคูณเศษส่วน ตัวเศษก็ต้องคูณด้วย! ตอนนี้คุณสามารถลดเศษส่วนได้:

ขยายวงเล็บที่เหลือ:

ไม่ใช่ตัวอย่าง แต่เป็นความสุขอย่างแท้จริง!) ตอนนี้เรามาจำคาถาจากโรงเรียนประถมกันดีกว่า: มี X - ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา!และใช้การแปลงนี้:

และหารทั้งสองส่วนด้วย 25 นั่นคือ ใช้การแปลงครั้งที่สองอีกครั้ง:

แค่นั้นแหละ. คำตอบ: เอ็กซ์=0,16

โปรดทราบ: เพื่อนำสมการสับสนดั้งเดิมมาอยู่ในรูปแบบที่ดี เราใช้สอง (เพียงสอง!) การเปลี่ยนแปลงตัวตน– การแปลซ้าย-ขวาด้วยการเปลี่ยนเครื่องหมายและการคูณหารของสมการด้วยจำนวนเดียวกัน นี่เป็นวิธีสากล! เราจะทำงานในลักษณะนี้ด้วย ใดๆ สมการ! ใครก็ได้อย่างแน่นอน นั่นคือเหตุผลที่ฉันพูดซ้ำเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันเหล่านี้อย่างน่าเบื่อ)

อย่างที่คุณเห็น หลักการแก้สมการเชิงเส้นนั้นง่ายมาก เราใช้สมการและทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้การแปลงที่เหมือนกันจนกว่าเราจะได้คำตอบ ปัญหาหลักอยู่ที่การคำนวณ ไม่ใช่หลักการของการแก้ปัญหา

แต่. มีเรื่องน่าประหลาดใจในกระบวนการแก้สมการเชิงเส้นระดับพื้นฐานที่สุดจนทำให้คุณมึนงงได้) โชคดีที่มีเรื่องน่าประหลาดใจได้เพียงสองเรื่องเท่านั้น เรามาเรียกพวกเขาว่ากรณีพิเศษกันดีกว่า

กรณีพิเศษในการแก้สมการเชิงเส้น

ความประหลาดใจครั้งแรก

สมมติว่าคุณเจอสมการพื้นฐานบางอย่าง เช่น:

เบื่อเล็กน้อยเราย้ายไปโดยให้ X ไปทางซ้ายโดยไม่มี X - ไปทางขวา ด้วยการเปลี่ยนป้ายทุกอย่างเรียบร้อยดี เราได้รับ:

เราคิดและ อ๊ะ. เราได้รับ:

ความเท่าเทียมกันในตัวเองนี้เป็นสิ่งที่น่ารังเกียจไม่ได้ ศูนย์ก็คือศูนย์จริงๆ แต่ X หายไป! และเราต้องเขียนลงในคำตอบว่า x เท่ากับอะไร?ไม่อย่างนั้นจะไม่นับวิธีแก้ปัญหาใช่ไหม) การหยุดชะงัก?

เงียบสงบ! ในกรณีที่น่าสงสัย กฎทั่วไปส่วนใหญ่จะช่วยคุณได้ จะแก้สมการได้อย่างไร? การแก้สมการหมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่า หาค่าทั้งหมดของ x ซึ่งเมื่อแทนค่าลงในสมการดั้งเดิมแล้วจะทำให้เรามีความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

แต่เรามีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง เรียบร้อยแล้วมันได้ผล! 0=0 แม่นกว่าขนาดไหน! ยังต้องดูว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นกับ x อะไร ค่า X ใดที่สามารถทดแทนได้ ต้นฉบับสมการถ้า x พวกนี้ พวกเขาจะยังคงลดลงเหลือศูนย์หรือไม่?มาเร็ว?)

ใช่. X ก็ใช้แทนกันได้ ใดๆ!คุณต้องการอันไหน? อย่างน้อย 5 อย่างน้อย 0.05 อย่างน้อย -220 พวกเขาจะยังคงหดตัว ไม่เชื่อก็ตรวจสอบได้) แทนค่า X ใดๆ ลงไป ต้นฉบับสมการและคำนวณ คุณจะได้รับความจริงอันบริสุทธิ์ตลอดเวลา: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 และอื่นๆ

นี่คือคำตอบของคุณ: x - ตัวเลขใด ๆ

คำตอบสามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันได้ สาระสำคัญไม่เปลี่ยนแปลง นี่เป็นคำตอบที่ถูกต้องและครบถ้วนสมบูรณ์

ความประหลาดใจครั้งที่สอง

ลองใช้สมการเชิงเส้นเบื้องต้นแบบเดียวกันแล้วเปลี่ยนตัวเลขเพียงตัวเดียวในนั้น นี่คือสิ่งที่เราจะตัดสินใจ:

หลังจากการแปลงที่เหมือนกัน เราก็ได้สิ่งที่น่าสนใจ:

แบบนี้. เราแก้สมการเชิงเส้นแล้วได้ความเท่าเทียมกันแปลกๆ ในแง่คณิตศาสตร์เราได้ ความเท่าเทียมกันที่ผิดพลาดแต่พูดง่ายๆ นี่ไม่เป็นความจริง เรฟ. แต่ถึงกระนั้นก็ตาม เรื่องไร้สาระนี้เป็นเหตุผลที่ดีมากในการแก้สมการอย่างถูกต้อง)

เราคิดตามกฎทั่วไปอีกครั้ง เมื่อแทนค่า x ในสมการเดิม เราจะได้อะไร จริงความเท่าเทียมกัน? ใช่ไม่มี! ไม่มีค่า X ดังกล่าว ใส่อะไรลงไปทุกอย่างก็ลดลงเหลือแต่เรื่องไร้สาระ)

นี่คือคำตอบของคุณ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

นี่เป็นคำตอบที่สมบูรณ์เช่นกัน ในทางคณิตศาสตร์มักพบคำตอบเช่นนี้

แบบนี้. ตอนนี้ ฉันหวังว่าการหายไปของ X ในกระบวนการแก้สมการใดๆ (ไม่ใช่แค่เชิงเส้น) จะไม่ทำให้คุณสับสนเลย นี่เป็นเรื่องคุ้นเคยอยู่แล้ว)

ตอนนี้เราได้จัดการกับหลุมพรางทั้งหมดในสมการเชิงเส้นแล้ว ก็สมเหตุสมผลที่จะแก้มัน

พวกเขาจะเข้าสอบ Unified State หรือไม่? - ฉันได้ยินคำถามของคนที่ใช้งานได้จริง ฉันตอบ ในรูปแบบที่บริสุทธิ์ - ไม่ พื้นฐานเกินไป แต่ใน GIA หรือเมื่อแก้ไขปัญหาในการสอบ Unified State คุณจะต้องเจอกับมันแน่นอน! ดังนั้นเราจึงเปลี่ยนเมาส์เป็นปากกาแล้วตัดสินใจ

คำตอบได้รับความระส่ำระสาย: 2.5; ไม่มีวิธีแก้ปัญหา 51; 17.

มันได้ผลเหรอ! ยินดีด้วย! คุณมีโอกาสที่ดีในการสอบ)

คำตอบไม่ตรงกัน? อืม. สิ่งนี้ไม่ทำให้ฉันมีความสุข นี่ไม่ใช่หัวข้อที่คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้อง แนะนำให้ไปดูมาตรา 555 ครับ อธิบายไว้ละเอียดมาก อะไรจะต้องทำและ ยังไงทำเช่นนี้เพื่อไม่ให้สับสนในการตัดสินใจ โดยใช้สมการเหล่านี้เป็นตัวอย่าง

ก วิธีแก้สมการฉลาดแกมโกงมากขึ้น - นี่คือในหัวข้อถัดไป

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

ที่นี่คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

และที่นี่คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

การแก้สมการเชิงเส้นเกรด 7

สำหรับ การแก้สมการเชิงเส้นใช้กฎพื้นฐานสองข้อ (คุณสมบัติ)

คุณสมบัติหมายเลข 1
หรือ
กฎการโอน

เมื่อถ่ายโอนจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งของสมการ สมาชิกของสมจะเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม

ลองดูกฎการโอนพร้อมตัวอย่าง สมมติว่าเราต้องแก้สมการเชิงเส้น

จำไว้ว่าสมการใดๆ ก็มีด้านซ้ายและขวา

ลองย้ายเลข "3" จากด้านซ้ายของสมการไปทางด้านขวา

เนื่องจากตัวเลข “3” มีเครื่องหมาย “+” ทางด้านซ้ายของสมการ หมายความว่า “3” จะถูกโอนไปทางด้านขวาของสมการที่มีเครื่องหมาย “−”

ค่าตัวเลขผลลัพธ์ "x = 2" เรียกว่ารากของสมการ

อย่าลืมจดคำตอบหลังจากแก้สมการใดๆ แล้ว

ลองพิจารณาอีกสมการหนึ่ง

ตามกฎการโอนย้าย "4x" จากด้านซ้ายของสมการไปทางขวาโดยเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม

แม้ว่าจะไม่มีป้ายหน้า "4x" แต่เราเข้าใจว่ามีป้าย "+" ที่หน้า "4x"

ทีนี้ลองให้อันที่คล้ายกันแล้วแก้สมการจนจบ

คุณสมบัติหมายเลข 2
หรือ
กฎการแบ่ง

ในสมการใดๆ คุณสามารถหารด้านซ้ายและด้านขวาด้วยจำนวนเดียวกันได้

แต่คุณไม่สามารถแบ่งออกเป็นสิ่งที่ไม่รู้จักได้!

ลองดูตัวอย่างวิธีใช้กฎการหารเมื่อแก้สมการเชิงเส้น

ตัวเลข “4” ที่ย่อมาจาก “x” เรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขของสิ่งที่ไม่ทราบ

ระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขกับค่าไม่ทราบ จะต้องมีการคูณเสมอ

ในการแก้สมการ คุณต้องแน่ใจว่า "x" มีค่าสัมประสิทธิ์เป็น "1"

ลองถามตัวเองว่า “เราควรหาร “4” ด้วยอะไรเพื่อที่จะได้
ได้ "1"? คำตอบชัดเจน คุณต้องหารด้วย "4"

เราใช้กฎการหารและหารด้านซ้ายและด้านขวาของสมการด้วย "4" อย่าลืมว่าต้องแบ่งทั้งส่วนซ้ายและขวา

ลองใช้การลดเศษส่วนแล้วแก้สมการเชิงเส้นจนจบ

วิธีแก้สมการถ้า "x" เป็นลบ

บ่อยครั้งในสมการมีสถานการณ์ที่ "x" มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นลบ เหมือนในสมการด้านล่างนี้

ในการแก้สมการดังกล่าว เราถามตัวเองอีกครั้งว่า "เราต้องหาร "−2" ด้วยอะไรจึงจะได้ "1"? คุณต้องหารด้วย “−2”

การแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ในวิดีโอนี้ เราจะวิเคราะห์สมการเชิงเส้นทั้งชุดที่แก้โดยใช้อัลกอริทึมเดียวกัน นั่นคือสาเหตุที่เรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด

ก่อนอื่น เรามานิยามกันดีกว่า: สมการเชิงเส้นคืออะไร และอันไหนเรียกว่าง่ายที่สุด?

สมการเชิงเส้นคือสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและอยู่ที่ระดับแรกเท่านั้น

สมการที่ง่ายที่สุดหมายถึงการก่อสร้าง:

สมการเชิงเส้นอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดขนาดให้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดโดยใช้อัลกอริทึม:

ขยายวงเล็บ ถ้ามี
ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ และย้ายเทอมที่ไม่มีตัวแปรไปอีกด้านหนึ่ง
ให้คำที่คล้ายกันทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
หารสมการผลลัพธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$

แน่นอนว่าอัลกอริทึมนี้ไม่ได้ช่วยเสมอไป ความจริงก็คือบางครั้งหลังจากการใช้เครื่องจักรทั้งหมดนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$ จะเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ เป็นไปได้สองทางเลือก:

สมการนี้ไม่มีคำตอบเลย ตัวอย่างเช่น เมื่อผลลัพธ์เช่น $0\cdot x=8$ ปรากฏออกมา นั่นคือ ทางซ้ายเป็นศูนย์ และทางขวาเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ ในวิดีโอด้านล่าง เราจะดูสาเหตุหลายประการที่ทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปได้
ผลเฉลยคือตัวเลขทั้งหมด กรณีเดียวที่เป็นไปได้คือเมื่อสมการลดลงเหลือโครงสร้าง $0\cdot x=0$ มันค่อนข้างสมเหตุสมผลที่ไม่ว่าเราจะแทนที่ $x$ อะไรก็ตาม มันก็ยังกลายเป็น "ศูนย์เท่ากับศูนย์" เช่น ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ตอนนี้เรามาดูกันว่าทั้งหมดนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างในชีวิตจริง

ตัวอย่างการแก้สมการ

วันนี้เรากำลังพูดถึงสมการเชิงเส้น และเฉพาะสมการที่ง่ายที่สุดเท่านั้น โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นหมายถึงความเท่าเทียมกันใดๆ ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวเท่านั้น และจะไปที่ระดับแรกเท่านั้น

โครงสร้างดังกล่าวได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันโดยประมาณ:

ก่อนอื่น คุณต้องขยายวงเล็บ (ถ้ามี) (ดังตัวอย่างที่แล้ว)
จากนั้นจึงผสมให้เข้ากัน
สุดท้าย ให้แยกตัวแปรออก เช่น ย้ายทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร - ข้อกำหนดที่มีอยู่ - ไปด้านหนึ่ง และย้ายทุกสิ่งที่เหลือโดยไม่มีตัวแปรไปยังอีกด้านหนึ่ง

ตามกฎแล้วคุณจะต้องให้สิ่งที่คล้ายกันในแต่ละด้านของความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นและหลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่คือการหารด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x" แล้วเราจะได้คำตอบสุดท้าย

ตามทฤษฎี สิ่งนี้ดูดีและเรียบง่าย แต่ในทางปฏิบัติ แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายที่มีประสบการณ์ก็สามารถสร้างข้อผิดพลาดที่ไม่เหมาะสมในสมการเชิงเส้นที่ค่อนข้างง่ายได้ โดยทั่วไปแล้วข้อผิดพลาดจะเกิดขึ้นเมื่อเปิดวงเล็บหรือเมื่อคำนวณ "บวก" และ "ลบ"

นอกจากนั้น ยังเกิดขึ้นที่สมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบเลย หรือคำตอบคือเส้นจำนวนทั้งหมด กล่าวคือ หมายเลขใดก็ได้ เราจะดูรายละเอียดปลีกย่อยเหล่านี้ในบทเรียนของวันนี้ แต่เราจะเริ่มต้นด้วยงานที่ง่ายที่สุดตามที่คุณเข้าใจแล้ว

โครงการแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ก่อนอื่น ให้ฉันเขียนโครงร่างทั้งหมดสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดอีกครั้ง:

ขยายวงเล็บออก ถ้ามี
เราแยกตัวแปรต่างๆ เช่น เราย้ายทุกอย่างที่มี "X's" ไปด้านหนึ่ง และทุกอย่างที่ไม่มี "X's" ไปอีกด้านหนึ่ง
เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน
เราหารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x"

แน่นอนว่าโครงการนี้ใช้ไม่ได้ผลเสมอไป มีรายละเอียดปลีกย่อยและลูกเล่นบางอย่างอยู่ และตอนนี้เราจะมาทำความรู้จักกับพวกเขา

การแก้ตัวอย่างจริงของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ขั้นตอนแรกต้องการให้เราเปิดวงเล็บ แต่ไม่ได้อยู่ในตัวอย่างนี้ เราจึงข้ามขั้นตอนนี้ไป ในขั้นตอนที่ 2 เราต้องแยกตัวแปรต่างๆ ออก โปรดทราบ: เรากำลังพูดถึงเฉพาะข้อกำหนดส่วนบุคคลเท่านั้น ลองเขียนมันลงไป:

เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันทางซ้ายและขวา แต่ได้ดำเนินการไปแล้วที่นี่ ดังนั้นเราจึงไปยังขั้นตอนที่สี่: หารด้วยสัมประสิทธิ์:

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบ

เราเห็นวงเล็บในปัญหานี้ ดังนั้นมาขยายกันดีกว่า:

ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาเราเห็นการออกแบบเดียวกันโดยประมาณ แต่ให้ดำเนินการตามอัลกอริทึมนั่นคือ การแยกตัวแปร:

งานนี้มีรากฐานมาจากอะไร? คำตอบ: สำหรับใด ๆ ดังนั้นเราจึงเขียนได้ว่า $x$ เป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้

สมการเชิงเส้นที่สามน่าสนใจกว่า:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

มีวงเล็บหลายอันที่นี่ แต่ไม่ได้คูณด้วยอะไรเลย แต่นำหน้าด้วยเครื่องหมายต่างกัน มาทำลายพวกเขากัน:

เราทำขั้นตอนที่สองที่เราทราบอยู่แล้ว:

เราดำเนินการขั้นตอนสุดท้าย - หารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ "x":

สิ่งที่ต้องจำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น

หากเราเพิกเฉยต่องานง่าย ๆ เกินไป ฉันอยากจะพูดดังต่อไปนี้:

อย่างที่ผมบอกไปแล้ว ไม่ใช่ทุกสมการเชิงเส้นจะมีวิธีแก้ปัญหา บางครั้งมันก็ไม่มีรากเลย
แม้ว่าจะมีราก แต่ก็อาจมีศูนย์อยู่ด้วย - ไม่มีอะไรผิดปกติ

ศูนย์เป็นตัวเลขเดียวกันกับตัวเลขอื่นๆ คุณไม่ควรเลือกปฏิบัติไม่ว่าในทางใดทางหนึ่ง หรือคิดว่าถ้าคุณได้ศูนย์ แสดงว่าคุณได้ทำสิ่งผิด

คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับการเปิดวงเล็บ โปรดทราบ: เมื่อมี "ลบ" อยู่ข้างหน้า เราจะลบออก แต่ในวงเล็บเราเปลี่ยนเครื่องหมายเป็น ตรงข้าม- จากนั้นเราสามารถเปิดมันได้โดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน: เราจะได้สิ่งที่เราเห็นในการคำนวณด้านบน

การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้จะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงความผิดพลาดที่โง่เขลาและเป็นอันตรายในโรงเรียนมัธยมปลาย เมื่อการกระทำเช่นนั้นถูกมองข้ามไป

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน

เรามาดูสมการที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า ตอนนี้การก่อสร้างจะซับซ้อนมากขึ้นและเมื่อทำการแปลงต่าง ๆ ฟังก์ชันกำลังสองจะปรากฏขึ้น อย่างไรก็ตาม เราไม่ควรกลัวสิ่งนี้ เพราะถ้าตามแผนของผู้เขียน เรากำลังแก้สมการเชิงเส้น ในระหว่างกระบวนการแปลง monomials ทั้งหมดที่มีฟังก์ชันกำลังสองจะต้องถูกยกเลิก

แน่นอนว่าขั้นตอนแรกคือการเปิดวงเล็บออก เรามาทำสิ่งนี้อย่างระมัดระวัง:

มาดูความเป็นส่วนตัวกันดีกว่า:

แน่นอนว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ ดังนั้นเราจะเขียนสิ่งนี้ไว้ในคำตอบ:

เราทำการกระทำแบบเดียวกัน ขั้นตอนแรก:

มาย้ายทุกอย่างด้วยตัวแปรไปทางซ้ายและไม่มีตัวแปรไปทางขวา:

แน่นอนว่าสมการเชิงเส้นนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นเราจะเขียนมันแบบนี้:

หรือไม่มีราก

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

สมการทั้งสองได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์ จากการใช้สองนิพจน์นี้เป็นตัวอย่าง เรามั่นใจอีกครั้งว่าแม้ในสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด ทุกอย่างอาจไม่ง่ายนัก อาจมีรากเดียวหรือไม่มีก็ได้ หรือหลายรากอย่างไม่สิ้นสุด ในกรณีของเรา เราพิจารณาสมการสองสมการ ซึ่งทั้งสองสมการไม่มีรากเลย

แต่ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปยังข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่ง: วิธีทำงานกับวงเล็บและวิธีเปิดหากมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า พิจารณานิพจน์นี้:

ก่อนที่จะเปิด คุณต้องคูณทุกอย่างด้วย "X" โปรดทราบ: ทวีคูณ แต่ละเทอม- ข้างในมีสองเทอม - ตามลำดับ, สองเทอมและคูณ

และหลังจากการเปลี่ยนแปลงที่ดูเหมือนขั้นพื้นฐาน แต่สำคัญมากและเป็นอันตรายเสร็จสิ้นแล้ว คุณสามารถเปิดวงเล็บได้จากมุมมองของข้อเท็จจริงที่ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หลังจากนั้น ใช่ ใช่: ตอนนี้เมื่อการแปลงเสร็จสิ้น เราจำได้ว่ามีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ ซึ่งหมายความว่าทุกสิ่งด้านล่างเพียงเปลี่ยนเครื่องหมาย ในขณะเดียวกันวงเล็บก็หายไปและที่สำคัญที่สุดคือ "ลบ" ด้านหน้าก็หายไปเช่นกัน

เราทำเช่นเดียวกันกับสมการที่สอง:

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันจะให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงเล็กๆ น้อยๆ ที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญเหล่านี้ เนื่องจากการแก้สมการนั้นเป็นลำดับของการแปลงเบื้องต้นเสมอ โดยที่การไม่สามารถดำเนินการง่ายๆ ได้อย่างชัดเจนและมีความสามารถนำไปสู่ความจริงที่ว่านักเรียนมัธยมปลายมาหาฉันและเรียนรู้ที่จะแก้สมการง่ายๆ ดังกล่าวอีกครั้ง

แน่นอนว่าวันนั้นจะมาถึงเมื่อคุณจะต้องฝึกฝนทักษะเหล่านี้จนเป็นไปโดยอัตโนมัติ คุณไม่จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงมากมายในแต่ละครั้งอีกต่อไป คุณจะเขียนทุกอย่างในบรรทัดเดียว แต่ในขณะที่คุณเพิ่งเรียนรู้ คุณต้องเขียนแต่ละการกระทำแยกกัน

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

สิ่งที่เรากำลังจะแก้ไขตอนนี้แทบจะเรียกได้ว่าเป็นงานที่ง่ายที่สุด แต่ความหมายยังคงเหมือนเดิม

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21=3\]

คูณองค์ประกอบทั้งหมดในส่วนแรก:

มาทำความเป็นส่วนตัวกันดีกว่า:

มาทำขั้นตอนสุดท้ายให้เสร็จ:

นี่คือคำตอบสุดท้ายของเรา และแม้ว่าในกระบวนการแก้เรามีสัมประสิทธิ์กับฟังก์ชันกำลังสอง พวกมันก็หักล้างกัน ซึ่งทำให้สมการเป็นเส้นตรงและไม่ใช่กำลังสอง

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

มาทำขั้นตอนแรกกันอย่างระมัดระวัง: คูณแต่ละองค์ประกอบจากวงเล็บแรกด้วยแต่ละองค์ประกอบจากวินาที ควรได้รับคำศัพท์ใหม่ทั้งหมดสี่คำหลังจากการเปลี่ยนแปลง:

ตอนนี้เรามาทำการคูณอย่างระมัดระวังในแต่ละเทอม:

ย้ายเงื่อนไขที่มี "X" ไปทางซ้ายและเงื่อนไขที่ไม่มี - ไปทางขวา:

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

เราได้รับคำตอบสุดท้ายอีกครั้ง

หมายเหตุที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสมการทั้งสองนี้มีดังต่อไปนี้: ทันทีที่เราเริ่มคูณวงเล็บที่มีมากกว่าหนึ่งเทอม ก็จะเสร็จสิ้นตามกฎต่อไปนี้: เราใช้เทอมแรกจากเทอมแรกและคูณด้วยแต่ละองค์ประกอบจาก ที่สอง; จากนั้นเราก็นำองค์ประกอบที่สองจากองค์ประกอบแรกและคูณกับแต่ละองค์ประกอบจากวินาทีในทำนองเดียวกัน ผลก็คือเราจะมีเทอมสี่เทอม

เกี่ยวกับผลรวมพีชคณิต

จากตัวอย่างสุดท้ายนี้ ฉันอยากจะเตือนนักเรียนว่าผลรวมพีชคณิตคืออะไร ในคณิตศาสตร์คลาสสิก 1-7$ เราหมายถึงโครงสร้างง่ายๆ คือ ลบ 7 จาก 1 ในพีชคณิตเราหมายถึงสิ่งต่อไปนี้: ไปที่ตัวเลข "หนึ่ง" เราจะบวกอีกจำนวนหนึ่งคือ "ลบเจ็ด" นี่คือสาเหตุที่ผลรวมพีชคณิตแตกต่างจากผลรวมเลขคณิตทั่วไป

ทันทีที่เมื่อทำการแปลงทั้งหมด การบวกและการคูณแต่ละครั้ง คุณเริ่มเห็นโครงสร้างที่คล้ายกับที่อธิบายไว้ข้างต้น คุณจะไม่มีปัญหาใดๆ ในพีชคณิตเมื่อทำงานกับพหุนามและสมการ

สุดท้ายนี้ เรามาดูตัวอย่างอีกสองสามตัวอย่างที่จะซับซ้อนกว่าตัวอย่างที่เราเพิ่งดูไป และเพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะต้องขยายอัลกอริธึมมาตรฐานของเราเล็กน้อย

การแก้สมการด้วยเศษส่วน

เพื่อแก้ปัญหาดังกล่าว เราจะต้องเพิ่มอีกหนึ่งขั้นตอนให้กับอัลกอริทึมของเรา แต่ก่อนอื่น ฉันขอเตือนคุณเกี่ยวกับอัลกอริทึมของเรา:

แยกตัวแปร

อนิจจา อัลกอริธึมที่ยอดเยี่ยมนี้ แม้จะมีประสิทธิภาพทั้งหมด กลับกลายเป็นว่าไม่เหมาะสมเลยเมื่อเรามีเศษส่วนอยู่ตรงหน้า และสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่างนี้ เรามีเศษส่วนทั้งทางซ้ายและขวาในสมการทั้งสอง

วิธีการทำงานในกรณีนี้? ใช่ มันง่ายมาก! ในการทำเช่นนี้คุณต้องเพิ่มขั้นตอนอีกขั้นตอนหนึ่งให้กับอัลกอริทึมซึ่งสามารถทำได้ทั้งก่อนและหลังการดำเนินการครั้งแรก ได้แก่ การกำจัดเศษส่วน ดังนั้นอัลกอริทึมจะเป็นดังนี้:

กำจัดเศษส่วน.
เปิดวงเล็บ
เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
หารด้วยอัตราส่วน.

“การกำจัดเศษส่วน” หมายความว่าอย่างไร? และเหตุใดจึงสามารถทำได้ทั้งหลังและก่อนขั้นตอนมาตรฐานแรก? ที่จริงแล้ว ในกรณีของเรา เศษส่วนทั้งหมดเป็นตัวส่วนเป็นตัวเลข เช่น ทุกที่ตัวส่วนเป็นเพียงตัวเลข. ดังนั้น ถ้าเราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนนี้ เราก็จะกำจัดเศษส่วนออกไป

กำจัดเศษส่วนในสมการนี้:

โปรดทราบ: ทุกอย่างคูณด้วย "สี่" หนึ่งครั้ง เช่น เพียงเพราะคุณมีวงเล็บสองวงเล็บไม่ได้หมายความว่าคุณต้องคูณแต่ละวงเล็บด้วย "สี่" มาเขียนกัน:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(-1 \right)\cdot 4\]

เราแยกตัวแปร:

เราดำเนินการลดข้อกำหนดที่คล้ายกัน:

\[-4x=-1\ซ้าย| :\left(-4 \right) \right.\]

เราได้รับคำตอบสุดท้ายแล้ว มาดูสมการที่สองกันดีกว่า

ที่นี่เราทำการกระทำเดียวกันทั้งหมด:

นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกคุณในวันนี้

ประเด็นสำคัญ

ข้อค้นพบที่สำคัญคือ:

รู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น
ความสามารถในการเปิดวงเล็บ
อย่ากังวลหากคุณมีฟังก์ชันกำลังสองอยู่ที่ไหนสักแห่ง มีแนวโน้มว่าฟังก์ชันเหล่านี้จะลดลงในกระบวนการแปลงต่อไป
สมการเชิงเส้นมีรากอยู่สามประเภท แม้แต่รากที่ง่ายที่สุด: รากเดียว เส้นจำนวนทั้งหมดคือราก และไม่มีรากเลย

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเชี่ยวชาญหัวข้อที่เรียบง่าย แต่สำคัญมากสำหรับการทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ทั้งหมดเพิ่มเติม หากมีบางอย่างไม่ชัดเจน ให้ไปที่ไซต์และแก้ไขตัวอย่างที่นำเสนอที่นั่น คอยติดตามสิ่งที่น่าสนใจอีกมากมายรอคุณอยู่!

สมการไม่ลงตัว: การเรียนรู้การแก้โดยใช้วิธีแยกราก
วิธีแก้สมการกำลังสอง
ทดสอบบทเรียน “สำนวนเชิงซ้อนกับเศษส่วน” (ง่าย)
Trial Unified State Exam 2012 ตั้งแต่วันที่ 7 ธันวาคม ตัวเลือก 1 (ไม่มีลอการิทึม)
บทเรียนวิดีโอเกี่ยวกับปัญหา C2: ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ
ครูสอนพิเศษคณิตศาสตร์: จะหานักเรียนได้ที่ไหน?

หากต้องการดูวิดีโอ ให้กรอกอีเมลของคุณแล้วคลิกปุ่ม "เริ่มการฝึกอบรม"

อาจารย์ผู้สอนที่มีประสบการณ์ 12 ปี
บันทึกวิดีโอของแต่ละบทเรียน
ค่าเรียนเดี่ยว - 3,000 รูเบิลเป็นเวลา 60 นาที

เมื่อเราทำงานกับนิพจน์ต่างๆ ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวอักษร และตัวแปร เราจะต้องดำเนินการทางคณิตศาสตร์จำนวนมาก เมื่อเราทำการแปลงหรือคำนวณมูลค่า สิ่งสำคัญมากคือต้องปฏิบัติตามลำดับที่ถูกต้องของการกระทำเหล่านี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์มีลำดับการดำเนินการพิเศษของตนเอง

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ในบทความนี้เราจะบอกคุณว่าการกระทำใดควรทำก่อนและควรทำสิ่งใดหลังจากนั้น ขั้นแรก มาดูนิพจน์ง่ายๆ สองสามนิพจน์ที่มีเฉพาะตัวแปรหรือค่าตัวเลข ตลอดจนเครื่องหมายการหาร การคูณ การลบ และการบวก จากนั้นลองยกตัวอย่างด้วยวงเล็บแล้วพิจารณาว่าควรคำนวณตามลำดับใด ในส่วนที่สาม เราจะให้ลำดับที่จำเป็นของการแปลงและการคำนวณในตัวอย่างเหล่านั้นซึ่งรวมถึงสัญญาณของราก พลัง และฟังก์ชันอื่นๆ

ในกรณีของนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ ลำดับของการกระทำจะถูกกำหนดอย่างชัดเจน:

การกระทำทั้งหมดจะดำเนินการจากซ้ายไปขวา
เราทำการหารและการคูณก่อน และการลบและการบวกอย่างที่สอง

ความหมายของกฎเหล่านี้ง่ายต่อการเข้าใจ ลำดับการเขียนจากซ้ายไปขวาแบบดั้งเดิมจะกำหนดลำดับพื้นฐานของการคำนวณ และความจำเป็นในการคูณหรือหารก่อนนั้นอธิบายได้จากสาระสำคัญของการดำเนินการเหล่านี้

เรามาทำงานบางอย่างเพื่อความชัดเจนกันดีกว่า เราใช้เฉพาะนิพจน์ตัวเลขที่ง่ายที่สุดเพื่อให้การคำนวณทั้งหมดสามารถทำได้ทางจิตใจ วิธีนี้ทำให้คุณสามารถจดจำลำดับที่ต้องการได้อย่างรวดเร็วและตรวจสอบผลลัพธ์ได้อย่างรวดเร็ว

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:คำนวณว่าจะได้เท่าไหร่ 7 − 3 + 6 .

สารละลาย

ไม่มีวงเล็บในนิพจน์ของเรา และไม่มีการคูณและการหารด้วย ดังนั้นเราจึงดำเนินการทั้งหมดตามลำดับที่ระบุ ขั้นแรกเราลบสามออกจากเจ็ด แล้วบวกหกเข้ากับเศษที่เหลือและจบลงด้วยสิบ นี่คือบันทึกของโซลูชันทั้งหมด:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

คำตอบ: 7 − 3 + 6 = 10 .

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข:การคำนวณควรทำตามลำดับใดในนิพจน์? 6:2 8:3?

สารละลาย

เพื่อตอบคำถามนี้ เรามาอ่านกฎสำหรับนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บที่เรากำหนดไว้ก่อนหน้านี้อีกครั้ง เรามีเพียงการคูณและการหารตรงนี้ ซึ่งหมายความว่าเราเก็บลำดับการคำนวณเป็นลายลักษณ์อักษรและนับตามลำดับจากซ้ายไปขวา

คำตอบ:ขั้นแรกเราหารหกด้วยสอง คูณผลลัพธ์ด้วยแปด และหารตัวเลขผลลัพธ์ด้วยสาม

ตัวอย่างที่ 3

เงื่อนไข:คำนวณว่าจะเท่ากับ 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2

สารละลาย

ขั้นแรก เรามากำหนดลำดับการดำเนินการที่ถูกต้อง เนื่องจากเรามีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ประเภทพื้นฐานทั้งหมดที่นี่ - การบวก ลบ การคูณ การหาร สิ่งแรกที่เราต้องทำคือหารและคูณ การกระทำเหล่านี้ไม่มีลำดับความสำคัญซึ่งกันและกัน ดังนั้นเราจึงดำเนินการตามลำดับลายลักษณ์อักษรจากขวาไปซ้าย นั่นคือ 5 ต้องคูณด้วย 6 จึงจะได้ 30 จากนั้น 30 หารด้วย 3 จึงได้ 10 หลังจากนั้นหาร 4 ด้วย 2 นี่คือ 2 แทนที่ค่าที่พบลงในนิพจน์ดั้งเดิม:

17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

ไม่มีการหารหรือการคูณอีกต่อไปแล้ว ดังนั้นเราจึงคำนวณที่เหลือตามลำดับและรับคำตอบ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

คำตอบ:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

จนกว่าจะจดจำลำดับของการดำเนินการได้อย่างแม่นยำ คุณสามารถใส่ตัวเลขไว้เหนือเครื่องหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพื่อระบุลำดับของการคำนวณ ตัวอย่างเช่น สำหรับปัญหาข้างต้น เราสามารถเขียนได้ดังนี้:

หากเรามีนิพจน์ตัวอักษร เราก็ทำเช่นเดียวกัน ขั้นแรกเราคูณและหาร จากนั้นจึงบวกและลบ

การดำเนินการระยะที่หนึ่งและสองคืออะไร?

บางครั้งในหนังสืออ้างอิง การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะแบ่งออกเป็นการดำเนินการของขั้นที่หนึ่งและขั้นที่สอง ให้เรากำหนดคำจำกัดความที่จำเป็น

การดำเนินการในระยะแรก ได้แก่ การลบและการบวก ขั้นที่สองคือการคูณและการหาร

เมื่อรู้ชื่อเหล่านี้แล้ว เราก็สามารถเขียนกฎที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้เกี่ยวกับลำดับการกระทำได้ดังนี้:

คำจำกัดความ 2

ในนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บ คุณต้องดำเนินการของขั้นตอนที่สองในทิศทางจากซ้ายไปขวาก่อน จากนั้นจึงดำเนินการของขั้นตอนแรก (ในทิศทางเดียวกัน)

ลำดับการคำนวณในนิพจน์ที่มีวงเล็บ

วงเล็บเป็นสัญญาณที่บอกเราถึงลำดับการกระทำที่ต้องการ ในกรณีนี้สามารถเขียนกฎที่ต้องการได้ดังนี้:

คำจำกัดความ 3

หากมีวงเล็บในนิพจน์ ขั้นตอนแรกคือดำเนินการในวงเล็บ หลังจากนั้นเราจะคูณและหาร จากนั้นจึงบวกและลบจากซ้ายไปขวา

สำหรับนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บนั้นถือได้ว่าเป็นส่วนสำคัญของนิพจน์หลัก เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ในวงเล็บ เราจะคงขั้นตอนเดิมที่เรารู้จักไว้ เรามาแสดงแนวคิดของเราด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 4

เงื่อนไข:คำนวณว่าจะได้เท่าไหร่ 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

สารละลาย

มีวงเล็บอยู่ในนิพจน์นี้ เรามาเริ่มกันที่วงเล็บเลย ก่อนอื่น ลองคำนวณว่า 7 − 2 · 3 จะเป็นเท่าใด ที่นี่เราต้องคูณ 2 ด้วย 3 และลบผลลัพธ์ออกจาก 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

เราคำนวณผลลัพธ์ในวงเล็บที่สอง ที่นั่นเรามีการกระทำเดียวเท่านั้น: 6 − 4 = 2 .

ตอนนี้เราต้องแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในนิพจน์ดั้งเดิม:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

เริ่มต้นด้วยการคูณและการหาร จากนั้นทำการลบและรับ:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

นี่เป็นการสรุปการคำนวณ

คำตอบ: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

อย่าตกใจหากเงื่อนไขของเรามีนิพจน์ที่มีวงเล็บบางอันล้อมรอบเครื่องหมายอื่น เราจำเป็นต้องใช้กฎข้างต้นกับนิพจน์ทั้งหมดในวงเล็บอย่างสม่ำเสมอ เรามาเอาปัญหานี้กัน

ตัวอย่างที่ 5

เงื่อนไข:คำนวณว่าจะได้เท่าไหร่ 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

สารละลาย

เรามีวงเล็บอยู่ในวงเล็บ เราเริ่มต้นด้วย 3 + 1 + 4 · (2 + 3) คือ 2 + 3 มันจะเป็น 5 ค่าจะต้องถูกแทนที่ในนิพจน์และคำนวณว่า 3 + 1 + 4 · 5 เราจำได้ว่าก่อนอื่นเราต้องคูณแล้วบวก: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24- แทนที่ค่าที่พบลงในนิพจน์ดั้งเดิมเราจะคำนวณคำตอบ: 4 + 24 = 28 .

คำตอบ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ที่มีวงเล็บอยู่ในวงเล็บ เราจะเริ่มต้นด้วยวงเล็บด้านในและดำเนินการไปจนถึงวงเล็บด้านนอก

สมมติว่าเราต้องหาว่า (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 จะเป็นเท่าใด เราเริ่มต้นด้วยนิพจน์ในวงเล็บด้านใน เนื่องจาก 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 นิพจน์เดิมสามารถเขียนเป็น (4 + (4 + 1) − 1) − 1 มองอีกครั้งที่วงเล็บด้านใน: 4 + 1 = 5 เรามาถึงการแสดงออก (4 + 5 − 1) − 1 - เรานับ 4 + 5 − 1 = 8 และผลที่ได้คือผลต่าง 8 - 1 ผลลัพธ์ที่ได้คือ 7

ลำดับการคำนวณในนิพจน์ที่มีกำลัง ราก ลอการิทึม และฟังก์ชันอื่นๆ

หากเงื่อนไขของเรามีนิพจน์ที่มีฟังก์ชันยกกำลัง รูท ลอการิทึม หรือตรีโกณมิติ (ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์) หรือฟังก์ชันอื่นๆ ก่อนอื่นเราจะคำนวณค่าของฟังก์ชันนั้น หลังจากนั้นเราดำเนินการตามกฎที่ระบุไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันมีความสำคัญเท่ากันกับนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บ

ลองดูตัวอย่างการคำนวณดังกล่าว

ตัวอย่างที่ 6

เงื่อนไข:หาว่าเท่าไหร่ (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7.

สารละลาย

เรามีนิพจน์ที่มีดีกรีซึ่งจะต้องค้นหาค่าก่อน เรานับ: 6 2 = 36 ทีนี้ลองแทนที่ผลลัพธ์เป็นนิพจน์ หลังจากนั้นจะอยู่ในรูปแบบ (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 - 7 = 13

คำตอบ: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

ในบทความแยกต่างหากที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณค่าของนิพจน์เราได้ให้ตัวอย่างการคำนวณอื่น ๆ ที่ซับซ้อนมากขึ้นในกรณีของนิพจน์ที่มีรากองศา ฯลฯ เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับมัน

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

สมการเชิงเส้นคือสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวและอยู่ที่ระดับแรกเท่านั้น

สมการที่ง่ายที่สุดหมายถึงการก่อสร้าง:

ขยายวงเล็บ ถ้ามี
ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปด้านหนึ่งของเครื่องหมายเท่ากับ และย้ายเทอมที่ไม่มีตัวแปรไปอีกด้านหนึ่ง
ให้คำที่คล้ายกันทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
หารสมการผลลัพธ์ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร $x$

สมการนี้ไม่มีคำตอบเลย ตัวอย่างเช่น เมื่อผลลัพธ์เช่น $0\cdot x=8$ ปรากฏออกมา นั่นคือ ทางซ้ายเป็นศูนย์ และทางขวาเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ ในวิดีโอด้านล่าง เราจะดูสาเหตุหลายประการที่ทำให้สถานการณ์นี้เป็นไปได้
ผลเฉลยคือตัวเลขทั้งหมด กรณีเดียวที่เป็นไปได้คือเมื่อสมการลดลงเหลือโครงสร้าง $0\cdot x=0$ มันค่อนข้างสมเหตุสมผลที่ไม่ว่าเราจะแทนที่ $x$ อะไรก็ตาม มันก็ยังกลายเป็น "ศูนย์เท่ากับศูนย์" เช่น ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ตอนนี้เรามาดูกันว่าทั้งหมดนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างในชีวิตจริง

ตัวอย่างการแก้สมการ

โครงสร้างดังกล่าวได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันโดยประมาณ:

ก่อนอื่น คุณต้องขยายวงเล็บ (ถ้ามี) (ดังตัวอย่างที่แล้ว)
จากนั้นจึงผสมให้เข้ากัน
สุดท้าย ให้แยกตัวแปรออก เช่น ย้ายทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร—เงื่อนไขที่มีตัวแปร—ไปด้านหนึ่ง และย้ายทุกสิ่งที่เหลือโดยไม่มีตัวแปรไปยังอีกด้านหนึ่ง

โครงการแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ขยายวงเล็บออก ถ้ามี
เราแยกตัวแปรต่างๆ เช่น เราย้ายทุกอย่างที่มี "X's" ไปด้านหนึ่ง และทุกอย่างที่ไม่มี "X's" ไปอีกด้านหนึ่ง
เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน
เราหารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ของ "x"

การแก้ตัวอย่างจริงของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ภารกิจที่ 1

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบ

ภารกิจที่ 2

เราเห็นวงเล็บในปัญหานี้ ดังนั้นมาขยายกันดีกว่า:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

ภารกิจที่ 3

สมการเชิงเส้นที่สามน่าสนใจกว่า:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

เราทำขั้นตอนที่สองที่เราทราบอยู่แล้ว:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

มาทำคณิตศาสตร์กันเถอะ:

เราดำเนินการขั้นตอนสุดท้าย - หารทุกอย่างด้วยสัมประสิทธิ์ "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

สิ่งที่ต้องจำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น

หากเราเพิกเฉยต่องานง่าย ๆ เกินไป ฉันอยากจะพูดดังต่อไปนี้:

อย่างที่ผมบอกไปแล้ว ไม่ใช่ทุกสมการเชิงเส้นจะมีวิธีแก้ปัญหา บางครั้งมันก็ไม่มีรากเลย
แม้ว่าจะมีราก แต่ก็อาจมีศูนย์อยู่ด้วย - ไม่มีอะไรผิดปกติ

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน

ตัวอย่างหมายเลข 1

มาดูความเป็นส่วนตัวกันดีกว่า:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

แน่นอนว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ ดังนั้นเราจะเขียนสิ่งนี้ไว้ในคำตอบ:

\[\varไม่มีอะไร\]

หรือไม่มีราก

ตัวอย่างหมายเลข 2

เราทำการกระทำแบบเดียวกัน ขั้นตอนแรก:

มาย้ายทุกอย่างด้วยตัวแปรไปทางซ้ายและไม่มีตัวแปรไปทางขวา:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

\[\var ไม่มีอะไร\],

หรือไม่มีราก

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

เราทำเช่นเดียวกันกับสมการที่สอง:

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

ภารกิจที่ 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

คูณองค์ประกอบทั้งหมดในส่วนแรก:

มาทำความเป็นส่วนตัวกันดีกว่า:

นี่คือบางส่วนที่คล้ายกัน:

มาทำขั้นตอนสุดท้ายให้เสร็จ:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

ภารกิจที่ 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

ตอนนี้เรามาทำการคูณอย่างระมัดระวังในแต่ละเทอม:

ย้ายเงื่อนไขที่มี "X" ไปทางซ้ายและเงื่อนไขที่ไม่มี - ไปทางขวา:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

เราได้รับคำตอบสุดท้ายอีกครั้ง

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

เกี่ยวกับผลรวมพีชคณิต

การแก้สมการด้วยเศษส่วน

เปิดวงเล็บ
แยกตัวแปร
เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
หารด้วยอัตราส่วน.

กำจัดเศษส่วน.
เปิดวงเล็บ
แยกตัวแปร
เอาอันที่คล้ายกันมาด้วย
หารด้วยอัตราส่วน.

ตัวอย่างหมายเลข 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

กำจัดเศษส่วนในสมการนี้:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

ตอนนี้เรามาขยาย:

เราแยกตัวแปร:

เราดำเนินการลดข้อกำหนดที่คล้ายกัน:

\[-4x=-1\ซ้าย| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

เราได้รับคำตอบสุดท้ายแล้ว มาดูสมการที่สองกันดีกว่า

ตัวอย่างหมายเลข 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

ที่นี่เราทำการกระทำเดียวกันทั้งหมด:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกคุณในวันนี้

ประเด็นสำคัญ

ข้อค้นพบที่สำคัญคือ:

รู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงเส้น
ความสามารถในการเปิดวงเล็บ
อย่ากังวลหากคุณมีฟังก์ชันกำลังสองอยู่ที่ไหนสักแห่ง มีแนวโน้มว่าฟังก์ชันเหล่านี้จะลดลงในกระบวนการแปลงต่อไป
สมการเชิงเส้นมีรากอยู่สามประเภท แม้แต่รากที่ง่ายที่สุด: รากเดียว เส้นจำนวนทั้งหมดคือราก และไม่มีรากเลย

การแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย ขั้นตอนการดำเนินการ กฎ ตัวอย่าง

สมการคืออะไร?

แสดงสิ่งหนึ่งผ่านอีกสิ่งหนึ่ง

กฎเกณฑ์ในการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก

ส่วนประกอบ

สมการที่เท่ากัน

คูณด้วยลบหนึ่ง

เท่ากับศูนย์

ทางเลือกอื่นนอกเหนือจากกฎในการค้นหาสิ่งที่ไม่รู้จัก

เมื่อมีหลายราก

เมื่อมีรากมากมายนับไม่ถ้วน

เมื่อไม่มีราก

สมการตัวอักษร

สมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่าหนึ่ง

สมการ

จะแก้สมการได้อย่างไร?

การแปลงสมการที่เหมือนกัน

ตัวอย่างการแปลงสมการที่เหมือนกัน ปัญหาหลัก

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ข้อมูลสำหรับผู้ปกครอง

การแก้สมการการบวกและการลบ

การแก้สมการการคูณและการหาร

ขั้นตอนการแก้สมการเชิงเส้น

กรณีพิเศษของการแก้สมการ

คุณสมบัติพื้นฐานของสมการ

กฎสำหรับการแก้สมการง่ายๆ

สมการเชิงเส้น

การแก้สมการเชิงเส้น ตัวอย่าง.

กรณีพิเศษในการแก้สมการเชิงเส้น

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้

การแก้สมการเชิงเส้นเกรด 7

คุณสมบัติหมายเลข 1 หรือ กฎการโอน

คุณสมบัติหมายเลข 2 หรือ กฎการแบ่ง

วิธีแก้สมการถ้า "x" เป็นลบ

การแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ตัวอย่างการแก้สมการ

โครงการแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

การแก้ตัวอย่างจริงของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย

สิ่งที่ต้องจำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

เกี่ยวกับผลรวมพีชคณิต

การแก้สมการด้วยเศษส่วน

ประเด็นสำคัญ

การดำเนินการระยะที่หนึ่งและสองคืออะไร?

ลำดับการคำนวณในนิพจน์ที่มีวงเล็บ

ลำดับการคำนวณในนิพจน์ที่มีกำลัง ราก ลอการิทึม และฟังก์ชันอื่นๆ

ตัวอย่างการแก้สมการ

โครงการแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่าย

การแก้ตัวอย่างจริงของสมการเชิงเส้นอย่างง่าย

ภารกิจที่ 1

ภารกิจที่ 2

ภารกิจที่ 3

สิ่งที่ต้องจำเมื่อแก้สมการเชิงเส้น

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน

ตัวอย่างหมายเลข 1

ตัวอย่างหมายเลข 2

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

การแก้สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

ภารกิจที่ 1

ภารกิจที่ 2

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

เกี่ยวกับผลรวมพีชคณิต

การแก้สมการด้วยเศษส่วน

ตัวอย่างหมายเลข 1

ตัวอย่างหมายเลข 2

ประเด็นสำคัญ

คุณสมบัติหมายเลข 1
หรือ
กฎการโอน

คุณสมบัติหมายเลข 2
หรือ
กฎการแบ่ง