ภาพพิมพ์หินน้ำตก Maurits Escher - ผู้เชี่ยวชาญด้านภาพลวงตา
Maurits Escher เป็นศิลปินกราฟิกชาวดัตช์ที่โดดเด่นซึ่งเป็นที่รู้จักไปทั่วโลกจากผลงานของเขา ตรงกลางในพิพิธภัณฑ์เปิดในปี 2545 และตั้งชื่อตามเขาว่า "Escher in het Paleis" โดยมีการจัดแสดงนิทรรศการถาวรผลงาน 130 ชิ้นโดยปรมาจารย์ คุณจะบอกว่ากราฟิกน่าเบื่อ เพราะเหตุใด บางที... บางทีนี่อาจพูดได้เกี่ยวกับผลงานของศิลปินกราฟิก แต่ไม่ใช่เกี่ยวกับ Escher ศิลปินเป็นที่รู้จักจากการมองเห็นโลกที่ไม่ธรรมดาและเล่นกับตรรกะของอวกาศ
การแกะสลักอันน่าอัศจรรย์ของ Escher ในความหมายที่แท้จริงสามารถมองได้ว่าเป็นการแสดงภาพกราฟิกของทฤษฎีสัมพัทธภาพ ผลงานที่พรรณนาถึงตัวเลขและการเปลี่ยนแปลงที่เป็นไปไม่ได้นั้นน่าหลงใหลอย่างแท้จริง พวกมันไม่เหมือนสิ่งอื่นใด
Maurits Escher เป็นผู้เชี่ยวชาญด้านปริศนาอย่างแท้จริง และภาพลวงตาของเขาแสดงให้เห็นสิ่งที่ไม่มีอยู่จริง ในภาพเขียนของเขา ทุกสิ่งเปลี่ยนแปลง ไหลอย่างราบรื่นจากรูปแบบหนึ่งไปยังอีกรูปแบบหนึ่ง บันไดไม่มีจุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุด และน้ำไหลขึ้นด้านบน บางคนจะอุทาน - เป็นไปไม่ได้! ดูด้วยตัวคุณเอง
ภาพวาดอันโด่งดัง “กลางวันและกลางคืน”
“ขึ้น-ลง” ที่คนมักจะเดินขึ้นบันได...หรือลง?
“สัตว์เลื้อยคลาน” - ที่นี่จระเข้เปลี่ยนจากตัวที่วาดเป็นสามมิติ...
“ การวาดรูปมือ” - โดยที่มือทั้งสองวาดซึ่งกันและกัน
"การประชุม"
“มือกับลูกบอลสะท้อนแสง”
ไข่มุกหลักของพิพิธภัณฑ์คือผลงาน "Metamorphoses" สูง 7 เมตรของ Escher การแกะสลักนี้ช่วยให้คุณได้สัมผัสถึงความเชื่อมโยงระหว่างความเป็นนิรันดร์และอนันต์ ที่ซึ่งเวลาและพื้นที่ถูกรวมเป็นหนึ่งเดียว
พิพิธภัณฑ์แห่งนี้ตั้งอยู่ในพระราชวังฤดูหนาวเดิมของสมเด็จพระราชินีเอ็มมา ซึ่งเป็นคุณย่าของสมเด็จพระราชินีเบียทริกซ์ที่ครองราชย์อยู่ในขณะนี้ เอ็มมาซื้อพระราชวังแห่งนี้ในปี พ.ศ. 2439 และอาศัยอยู่ในพระราชวังจนกระทั่งเสียชีวิตในเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2477 ในห้องโถงสองห้องของพิพิธภัณฑ์ซึ่งเรียกว่า "ห้องหลวง" เฟอร์นิเจอร์และรูปถ่ายของสมเด็จพระราชินีเอ็มมาได้รับการเก็บรักษาไว้และบนผ้าม่านก็มีข้อมูลเกี่ยวกับการตกแต่งภายในของพระราชวังในสมัยนั้น
ที่ชั้นบนสุดของพิพิธภัณฑ์มีนิทรรศการแบบโต้ตอบ "Look Like Escher" นี่คือโลกแห่งภาพลวงตาอันมหัศจรรย์ที่แท้จริง ในลูกบอลวิเศษ โลกปรากฏขึ้นและหายไป กำแพงเคลื่อนตัวและเปลี่ยนแปลง และเด็กๆ ดูสูงกว่าพ่อแม่ ต่อไปอีกหน่อยก็จะมีพื้นที่ผิดปกติซึ่งจะพังทลายลงมาในทุกย่างก้าว และในลูกบอลสีเงิน คุณสามารถมองเห็นตัวเองผ่านสายตาของ Escher
Maurits Cornelis Escher เป็นศิลปินกราฟิกชาวดัตช์ที่ประสบความสำเร็จด้วยการพิมพ์หินตามแนวคิด งานแกะสลักไม้และโลหะ ตลอดจนภาพประกอบสำหรับหนังสือ แสตมป์ จิตรกรรมฝาผนัง และผ้าทอ ตัวแทนที่โดดเด่นที่สุดของศิลปะอิมป์ (ภาพของตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้)
Maurits Escher เกิดที่เนเธอร์แลนด์ในเมือง Luvander ในครอบครัวของวิศวกร George Arnold Escher และลูกสาวของรัฐมนตรี Sarah Adriana Gleichman-Escher Maurits เป็นลูกคนสุดท้องและลูกคนที่สี่ในครอบครัว เมื่อเขาอายุ 5 ขวบ ทั้งครอบครัวย้ายไปที่ Arnhem ซึ่งเขาใช้เวลาส่วนใหญ่ในวัยเด็ก ขณะเข้าโรงเรียนมัธยม ศิลปินในอนาคตประสบความสำเร็จในการสอบตก ซึ่งเขาถูกส่งไปที่โรงเรียนสถาปัตยกรรมและมัณฑนศิลป์ในฮาร์เลม เมื่ออยู่ที่โรงเรียนใหม่ Maurits Escher ยังคงพัฒนาความสามารถในการสร้างสรรค์ของเขาต่อไป โดยแสดงภาพวาดและภาพตัดบางส่วนให้กับครูของเขา Samuel Jessern ผู้ซึ่งสร้างแรงบันดาลใจให้เขาทำงานประเภทการตกแต่งต่อไป ต่อจากนั้น Escher ประกาศกับพ่อของเขาว่าเขาต้องการเรียนมัณฑนศิลป์และแทบไม่สนใจสถาปัตยกรรมเลย
เมื่อสำเร็จการศึกษา Maurits Escher ได้เดินทางไปทั่วอิตาลีซึ่งเขาได้พบกับ Jetta Wimker ภรรยาในอนาคตของเขา สามีภรรยาคู่หนึ่งตั้งรกรากอยู่ในกรุงโรม ซึ่งพวกเขาอาศัยอยู่จนถึงปี 1935 ในช่วงเวลานี้ Escher เดินทางไปทั่วอิตาลีเป็นประจำและวาดภาพและสเก็ตช์ภาพ ต่อมาหลายชิ้นถูกนำมาใช้เป็นพื้นฐานในการสร้างงานแกะสลักไม้
ในช่วงปลายทศวรรษปี 1920 Escher ได้รับความนิยมอย่างมากในเนเธอร์แลนด์ และความจริงข้อนี้ได้รับอิทธิพลอย่างมากจากพ่อแม่ของศิลปิน ในปีพ.ศ. 2472 เขาจัดนิทรรศการ 5 แห่งในฮอลแลนด์และสวิตเซอร์แลนด์ ซึ่งได้รับการวิจารณ์จากนักวิจารณ์ค่อนข้างดี ในช่วงเวลานี้ ภาพวาดของ Escher ถูกเรียกว่ากลไกและ "ตรรกะ" เป็นครั้งแรก ในปี พ.ศ. 2474 ศิลปินหันมาใช้ภาพพิมพ์แกะไม้ น่าเสียดายที่ความสำเร็จของศิลปินไม่ได้นำเงินมาให้เขามากนัก และเขามักจะหันไปหาพ่อเพื่อขอความช่วยเหลือทางการเงิน ตลอดชีวิตของเขา พ่อแม่ของเขาสนับสนุน Maurits Escher ในทุกความพยายามของเขา ดังนั้นเมื่อพ่อของเขาเสียชีวิตในปี 1939 และอีกหนึ่งปีต่อมาแม่ของเขา Escher ก็ไม่รู้สึกดีที่สุด
ในปีพ. ศ. 2489 ศิลปินเริ่มสนใจเทคโนโลยีการพิมพ์แกะซึ่งโดดเด่นด้วยความซับซ้อนในการดำเนินการ ด้วยเหตุนี้ จนถึงปี ค.ศ. 1951 Escher จึงพิมพ์ภาพพิมพ์ mezzotint เพียงเจ็ดภาพเท่านั้น และไม่ได้ใช้เทคนิคนี้อีก ในปี 1949 Escher และศิลปินอีกสองคนได้จัดนิทรรศการผลงานกราฟิกขนาดใหญ่ของพวกเขาในรอตเตอร์ดัม หลังจากการตีพิมพ์หลายเรื่องซึ่ง Escher กลายเป็นที่รู้จักไม่เพียง แต่ในยุโรปเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในสหรัฐอเมริกาด้วย เขายังคงทำงานในสายเลือดที่เลือกไว้ สร้างสรรค์ผลงานศิลปะใหม่ๆ ที่บางครั้งก็คาดไม่ถึงมากขึ้นเรื่อยๆ
ผลงานที่โดดเด่นที่สุดชิ้นหนึ่งของ Escher คือภาพพิมพ์หิน "น้ำตก" ซึ่งมีพื้นฐานมาจากสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ น้ำตกทำหน้าที่เป็นกลไกการเคลื่อนที่ตลอดเวลา และหอคอยก็ดูเหมือนจะมีความสูงเท่ากัน แม้ว่าหนึ่งในนั้นจะเล็กกว่าอีกชั้นก็ตาม งานแกะสลักตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้สองชิ้นต่อมาของ Escher ได้แก่ Belvedere และ Descending และ Ascending ถูกสร้างขึ้นระหว่างปี 1958 ถึง 1961 ผลงานที่น่าสนใจบางชิ้นยังรวมถึงการแกะสลัก "ขึ้นและลง", "สัมพัทธภาพ", "Metamorphoses I", "Metamorphoses II", "Metamorphoses III" (งานที่ใหญ่ที่สุดคือ 48 เมตร), "ท้องฟ้าและน้ำ" หรือ "สัตว์เลื้อยคลาน" .
ในเดือนกรกฎาคม พ.ศ. 2512 เอสเชอร์ได้สร้างภาพพิมพ์แกะไม้ชิ้นสุดท้ายโดยใช้ชื่อว่า "งู" และเมื่อวันที่ 27 มีนาคม พ.ศ. 2515 ศิลปินเสียชีวิตด้วยโรคมะเร็งลำไส้ ตลอดชีวิตของเขา Escher ได้สร้างภาพพิมพ์หิน งานแกะสลัก และภาพแกะสลักไม้ 448 ภาพ ตลอดจนภาพวาดและภาพร่างที่แตกต่างกันมากกว่า 2,000 ภาพ คุณลักษณะที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งคือ Escher เช่นเดียวกับผู้ยิ่งใหญ่รุ่นก่อน ๆ ของเขา (Michelangelo, Leonardo da Vinci, Dürer และ Holben) เป็นคนถนัดซ้าย
ศิลปะทางคณิตศาสตร์ของ Moritz Escher 28 กุมภาพันธ์ 2014
ต้นฉบับนำมาจาก imit_omsu ในศิลปะคณิตศาสตร์ของมอริตซ์ เอสเชอร์
“นักคณิตศาสตร์เปิดประตูสู่อีกโลกหนึ่ง แต่พวกเขาเองก็ไม่กล้าเข้าสู่โลกนี้ พวกเขาสนใจเส้นทางที่ประตูตั้งอยู่มากกว่าในสวนที่อยู่ด้านหลัง”
(เอ็ม.ซี. เอสเชอร์)
ภาพพิมพ์หิน "มือที่มีทรงกลมกระจก" ภาพเหมือนตนเอง
Maurits Cornelius Escher เป็นศิลปินกราฟิกชาวดัตช์ที่นักคณิตศาสตร์ทุกคนรู้จัก
โครงเรื่องของผลงานของ Escher โดดเด่นด้วยความเข้าใจอย่างมีไหวพริบเกี่ยวกับความขัดแย้งเชิงตรรกะและพลาสติก
เขาเป็นที่รู้จักจากผลงานของเขาโดยใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ตั้งแต่ขีดจำกัดและแถบโมเบียสไปจนถึงเรขาคณิต Lobachevsky
ภาพพิมพ์แกะไม้ "มดแดง"
Maurits Escher ไม่ได้รับการศึกษาพิเศษทางคณิตศาสตร์ใดๆ แต่ตั้งแต่เริ่มต้นอาชีพสร้างสรรค์ เขาสนใจคุณสมบัติของอวกาศและศึกษาด้านที่ไม่คาดคิดของมัน
“สายสัมพันธ์แห่งความสามัคคี”
เอสเชอร์มักจะขลุกอยู่กับการผสมผสานระหว่างโลก 2 มิติและ 3 มิติ 
ภาพพิมพ์หิน "การวาดด้วยมือ"
พิมพ์หิน "สัตว์เลื้อยคลาน"
เทสเซลเลชั่น
Tessellation คือการแบ่งระนาบออกเป็นรูปร่างที่เหมือนกัน เพื่อศึกษาการแบ่งพาร์ติชันประเภทนี้ แนวคิดเรื่องกลุ่มสมมาตรถูกนำมาใช้แบบดั้งเดิม ลองจินตนาการถึงระนาบที่มีการวาดเทสเซลล์ออกมา เครื่องบินสามารถหมุนรอบแกนที่ต้องการและเลื่อนได้ การเปลี่ยนแปลงจะถูกกำหนดโดยเวกเตอร์กะ และการหมุนจะถูกกำหนดโดยจุดศูนย์กลางและมุม การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเรียกว่าการเคลื่อนไหว พวกเขาบอกว่าการเคลื่อนไหวนี้หรือนั้นมีความสมมาตรหากหลังจากนั้นการปูกระเบื้องกลายเป็นตัวมันเอง
ตัวอย่างเช่น ขอให้เราพิจารณาระนาบที่แบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่าๆ กัน ซึ่งเป็นสมุดบันทึกลายตารางหมากรุกที่ไม่มีที่สิ้นสุดในทุกทิศทาง หากระนาบดังกล่าวหมุน 90 องศา (180, 270 หรือ 360 องศา) รอบจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมใดๆ การปูกระเบื้องจะกลายเป็นตัวมันเอง นอกจากนี้ยังแปลงร่างเป็นตัวเองเมื่อเลื่อนด้วยเวกเตอร์ขนานกับด้านใดด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ความยาวของเวกเตอร์จะต้องเป็นจำนวนเท่าของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ในปี 1924 นักเรขาคณิต George Pólya (ก่อนที่จะย้ายไปสหรัฐอเมริกา György Pólya) ตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับกลุ่มสมมาตรเทสเซลเลชัน ซึ่งเขาพิสูจน์ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่ง (แม้ว่าจะค้นพบแล้วในปี พ.ศ. 2434 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Evgraf Fedorov และต่อมาก็ลืมไปอย่างมีความสุข): มีเพียง 17 กลุ่มที่มีความสมมาตรซึ่งรวมถึงการเปลี่ยนแปลงในทิศทางที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองทิศทาง ในปี 1936 Escher สนใจลวดลายมัวร์ (จากมุมมองทางเรขาคณิต ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของการปูกระเบื้อง) อ่านงานของ Pólya แม้ว่าเขาจะไม่เข้าใจคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่อยู่เบื้องหลังงาน แต่ด้วยการยอมรับของเขาเอง Escher ก็สามารถจับภาพสาระสำคัญทางเรขาคณิตของมันได้ ด้วยเหตุนี้ Escher จึงสร้างผลงานมากกว่า 40 ชิ้นจากทั้งหมด 17 กลุ่ม
โมเสก.
ภาพพิมพ์แกะไม้ "กลางวันและกลางคืน"
"การปูกระเบื้องปกติของระนาบ IV"
ภาพพิมพ์แกะไม้ "ท้องฟ้าและน้ำ"
เทสเซลเลชั่น กลุ่มนี้เรียบง่าย การสร้าง: การเลื่อนสมมาตรและการถ่ายโอนแบบขนาน แต่กระเบื้องปูก็เยี่ยมมาก และบวกกับ Mobius Strip นั่นเอง 
แม่พิมพ์ไม้ "นักขี่ม้า"
อีกรูปแบบหนึ่งในธีมของโลกแบนและปริมาตรและเทสเซลเลชัน 
ภาพพิมพ์หิน "กระจกวิเศษ"
Escher เป็นเพื่อนกับนักฟิสิกส์ Roger Penrose ในเวลาว่างจากวิชาฟิสิกส์ Penrose ใช้เวลาแก้ปริศนาทางคณิตศาสตร์ วันหนึ่งเขาเกิดแนวคิดขึ้นมาว่า ถ้าเราจินตนาการถึงเทสเซลเลชันที่ประกอบด้วยตัวเลขมากกว่าหนึ่งรูป กลุ่มของสมมาตรของมันจะแตกต่างจากที่โปลยาอธิบายไว้หรือไม่ เมื่อปรากฎว่าคำตอบสำหรับคำถามนี้อยู่ในเชิงยืนยัน - นี่คือที่มาของโมเสกเพนโรส ในช่วงทศวรรษ 1980 มีการค้นพบว่ามีความเกี่ยวข้องกับผลึกควอซิคริสตัล (รางวัลโนเบลสาขาเคมี 2011)
อย่างไรก็ตาม เอสเชอร์ไม่มีเวลา (หรืออาจไม่ต้องการ) ที่จะใช้ภาพโมเสกนี้ในงานของเขา (แต่มีภาพโมเสกที่ยอดเยี่ยมอย่างยิ่งโดย Penrose "Penrose's Chickens" พวกเขาไม่ได้ทาสีโดย Escher)
เครื่องบินโลบาเชฟสกี้
ประการที่ห้าในรายการสัจพจน์ในองค์ประกอบของ Euclid ในการฟื้นฟูของไฮเบิร์กคือข้อความต่อไปนี้: หากเส้นตรงที่ตัดกันเส้นตรงสองเส้นทำให้เกิดมุมด้านเดียวภายในน้อยกว่าสองมุมฉาก จากนั้นเมื่อขยายออกไปอย่างไม่มีกำหนด เส้นตรงทั้งสองนี้จะบรรจบกันที่ ด้านที่มีมุมน้อยกว่าสองมุมฉาก ในวรรณคดีสมัยใหม่แนะนำให้ใช้สูตรที่เทียบเท่าและสง่างามกว่า: ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นจะมีเส้นขนานกับจุดที่กำหนดและยิ่งไปกว่านั้นมีเพียงจุดเดียวเท่านั้น แต่ถึงแม้จะอยู่ในสูตรนี้ สัจพจน์ก็ดูยุ่งยากและสับสน ซึ่งต่างจากสมมุติฐานอื่นๆ ของ Euclid ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมนักวิทยาศาสตร์จึงพยายามหาคำกล่าวนี้จากสัจพจน์อื่นๆ มาเป็นเวลากว่าสองพันปีแล้ว ที่จริงแล้วคือเปลี่ยนสมมุติฐานให้เป็นทฤษฎีบท
ในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ นิโคไล โลบาเชฟสกี พยายามทำสิ่งนี้โดยขัดแย้ง: เขาสันนิษฐานว่าสมมุติฐานนั้นไม่ถูกต้องและพยายามค้นหาความขัดแย้ง แต่ไม่พบ - และด้วยเหตุนี้ Lobachevsky จึงสร้างเรขาคณิตใหม่ ในนั้นผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรง จะมีเส้นต่าง ๆ จำนวนอนันต์ผ่านไปซึ่งไม่ได้ตัดกับเส้นที่กำหนด Lobachevsky ไม่ใช่คนแรกที่ค้นพบเรขาคณิตใหม่นี้ แต่เขาเป็นคนแรกที่ตัดสินใจประกาศต่อสาธารณะซึ่งแน่นอนว่าเขาถูกหัวเราะเยาะ
การรับรู้หลังมรณกรรมต่องานของ Lobachevsky เกิดขึ้นเหนือสิ่งอื่นใดด้วยการปรากฏตัวของแบบจำลองเรขาคณิตของเขา - ระบบของวัตถุบนระนาบยุคลิดธรรมดาที่ตอบสนองสัจพจน์ทั้งหมดของ Euclid ยกเว้นสมมุติฐานที่ห้า หนึ่งในแบบจำลองเหล่านี้เสนอโดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ Henri Poincaré ในปี 1882 - เพื่อความต้องการการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและซับซ้อน
ให้มีวงกลมขอบเขตที่เราเรียกว่าขอบเขตสัมบูรณ์ “จุด” ในแบบจำลองของเราจะเป็นจุดภายในของวงกลม บทบาทของ "เส้นตรง" เล่นโดยวงกลมหรือเส้นตรงที่ตั้งฉากกับค่าสัมบูรณ์ (แม่นยำยิ่งขึ้นคือส่วนโค้งของพวกมันตกอยู่ภายในวงกลม) ความจริงที่ว่าสมมุติฐานที่ห้าไม่ถือเป็นบรรทัด “โดยตรง” ดังกล่าวแทบจะชัดเจน ความจริงที่ว่าสมมุติฐานที่เหลือได้รับการปฏิบัติตามสำหรับวัตถุเหล่านี้นั้นชัดเจนน้อยกว่าเล็กน้อย แต่ก็เป็นเช่นนั้น
ปรากฎว่าในแบบจำลอง Poincaré คุณสามารถกำหนดระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ ได้ ในการคำนวณความยาว ต้องใช้แนวคิดของหน่วยเมตริกรีแมนเนียน คุณสมบัติของมันมีดังต่อไปนี้: ยิ่งจุด "เส้นตรง" คู่หนึ่งอยู่ใกล้จุดสัมบูรณ์มากเท่าใด ระยะห่างระหว่างจุดเหล่านั้นก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น มุมยังถูกกำหนดไว้ระหว่าง "เส้นตรง" - นี่คือมุมระหว่างแทนเจนต์ที่จุดตัดของ "เส้นตรง"
ตอนนี้กลับมาที่การปูกระเบื้อง พวกมันจะมีลักษณะอย่างไรหากแบบจำลองปัวน์กาเรถูกแบ่งออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่เหมือนกัน (นั่นคือ รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านและมุมเท่ากันทั้งหมด) ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมควรมีขนาดเล็กลงเมื่อเข้าใกล้ค่าสัมบูรณ์ Escher ตระหนักถึงแนวคิดนี้ในผลงานชุด "The Limit Circle" อย่างไรก็ตาม Dutchman ไม่ได้ใช้พาร์ติชันปกติ แต่เป็นเวอร์ชันที่สมมาตรมากกว่า กรณีที่ความงามมีความสำคัญมากกว่าความแม่นยำทางคณิตศาสตร์
แม่พิมพ์ไม้ "จำกัด - Circle II"
แม่พิมพ์ไม้ "จำกัด - Circle III"
ภาพพิมพ์แกะไม้ "สวรรค์และนรก"
ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้
ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้มักเรียกว่าภาพลวงตาพิเศษ ซึ่งดูเหมือนเป็นภาพของวัตถุสามมิติบนเครื่องบิน แต่เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิด จะพบความขัดแย้งทางเรขาคณิตในโครงสร้าง ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้เป็นที่สนใจไม่เพียงแต่สำหรับนักคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่นักจิตวิทยาและผู้เชี่ยวชาญด้านการออกแบบก็ศึกษาตัวเลขเหล่านี้ด้วย
ปู่ทวดของบุคคลที่เป็นไปไม่ได้คือสิ่งที่เรียกว่า Necker cube ซึ่งเป็นภาพที่คุ้นเคยของลูกบาศก์บนเครื่องบิน เสนอโดยนักผลึกศาสตร์ชาวสวีเดน หลุยส์ เนกเกอร์ ในปี ค.ศ. 1832 สิ่งเกี่ยวกับภาพนี้คือสามารถตีความได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น มุมที่ระบุในรูปนี้ด้วยวงกลมสีแดงอาจเป็นมุมที่ใกล้กับเรามากที่สุดจากทุกมุมของลูกบาศก์ หรือในทางกลับกัน คือมุมที่ไกลที่สุด
ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ที่แท้จริงตัวแรกๆ ถูกสร้างขึ้นโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวสวีเดนอีกคน Oskar Rutersvärd ในช่วงทศวรรษที่ 1930 โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขามีความคิดที่จะประกอบสามเหลี่ยมจากลูกบาศก์ซึ่งไม่มีอยู่ในธรรมชาติ Roger Penrose ที่กล่าวถึงแล้วโดยเป็นอิสระจาก Ruthersward ร่วมกับ Lionel Penrose พ่อของเขา ได้ตีพิมพ์บทความใน British Journal of Psychology เรื่อง "Impossible Objects: A Special Type of Optical Illusions" (1956) ในนั้น ครอบครัวเพนโรสเสนอวัตถุสองชิ้นดังกล่าว ได้แก่ สามเหลี่ยมเพนโรส (รูปทรงลูกบาศก์แบบแข็งของรัทเธอร์สเวิร์ด) และบันไดเพนโรส พวกเขาตั้งชื่อ Maurits Escher ว่าเป็นแรงบันดาลใจในการทำงานของพวกเขา
วัตถุทั้งสอง - สามเหลี่ยมและบันได - ต่อมาปรากฏในภาพวาดของ Escher
ภาพพิมพ์หิน "สัมพัทธภาพ"
ภาพพิมพ์หิน "น้ำตก"
ภาพพิมพ์หิน "เบลเวเดียร์"
ภาพพิมพ์หิน "ขึ้นและลง"
ผลงานอื่นๆ ที่มีความหมายทางคณิตศาสตร์:
รูปหลายเหลี่ยมดาว: 
ภาพพิมพ์แกะไม้ "ดวงดาว"
ภาพพิมพ์หิน "การแบ่งลูกบาศก์ลูกบาศก์"
ภาพพิมพ์หิน "พื้นผิวที่ปกคลุมไปด้วยระลอกคลื่น"
ภาพพิมพ์ "สามโลก"
ผลงานของ Escher แสดงให้เห็นความขัดแย้ง นั่นคือน้ำที่ตกลงมาจากน้ำตกขับเคลื่อนล้อที่ควบคุมน้ำให้ขึ้นไปถึงยอดน้ำตก น้ำตกแห่งนี้มีโครงสร้างของสามเหลี่ยมเพนโรสที่ "เป็นไปไม่ได้": ภาพพิมพ์หินถูกสร้างขึ้นจากบทความใน British Journal of Psychology
โครงสร้างประกอบด้วยคานขวาง 3 อันวางซ้อนกันเป็นมุมฉาก น้ำตกในภาพพิมพ์หินทำงานเหมือนกับเครื่องจักรที่เคลื่อนที่ตลอดเวลา ขึ้นอยู่กับการเคลื่อนไหวของดวงตา ปรากฏสลับกันว่าหอคอยทั้งสองเหมือนกันและหอคอยทางด้านขวาจะต่ำกว่าหอคอยด้านซ้ายหนึ่งชั้น
เขียนบทวิจารณ์เกี่ยวกับบทความ "น้ำตก (การพิมพ์หิน)"
หมายเหตุ
ลิงค์
- เว็บไซต์อย่างเป็นทางการ: (อังกฤษ)
ข้อความที่ตัดตอนมาจากลักษณะของน้ำตก (ภาพพิมพ์หิน)
- ไม่มีเลย; มีคำสั่งให้ออกศึกแล้วเจ้าชาย Andrei มุ่งหน้าไปที่ประตูจากด้านหลังซึ่งได้ยินเสียง แต่ในขณะที่เขาต้องการเปิดประตู เสียงในห้องก็เงียบลง ประตูก็เปิดออกตามใจชอบ และ Kutuzov ซึ่งมีจมูกอันแหลมคมบนใบหน้าอวบอ้วนก็ปรากฏตัวขึ้นที่ธรณีประตู
เจ้าชาย Andrei ยืนอยู่ตรงข้ามกับ Kutuzov; แต่จากการแสดงออกของดวงตาที่มองเห็นเพียงตาเดียวของผู้บัญชาการทหารสูงสุด เห็นได้ชัดว่าความคิดและความห่วงใยครอบงำเขามากจนดูเหมือนบดบังการมองเห็นของเขา เขามองตรงไปที่ใบหน้าของผู้ช่วยของเขาและจำเขาไม่ได้
- คุณทำเสร็จแล้วเหรอ? – เขาหันไปหา Kozlovsky
- วินาทีนี้ ฯพณฯ
Bagration ชายร่างเตี้ยที่มีใบหน้ามั่นคงและไม่ขยับเขยื้อนแบบตะวันออก เป็นคนแห้งและยังไม่แก่เดินตามผู้บัญชาการทหารสูงสุด
“ ฉันรู้สึกเป็นเกียรติที่ปรากฏตัว” เจ้าชายอังเดรพูดซ้ำเสียงดังและยื่นซองจดหมายให้
- โอ้จากเวียนนาเหรอ? ดี. หลังจากนั้น หลังจากนั้น!
Kutuzov ออกไปพร้อมกับ Bagration บนระเบียง
“เอาละ เจ้าชาย ลาก่อน” เขาพูดกับ Bagration - พระคริสต์ทรงอยู่กับคุณ ฉันขออวยพรคุณสำหรับความสำเร็จอันยิ่งใหญ่นี้
ทันใดนั้นใบหน้าของ Kutuzov ก็อ่อนลงและมีน้ำตาไหลออกมาในดวงตาของเขา เขาดึง Bagration มาหาเขาด้วยมือซ้าย และด้วยมือขวาซึ่งมีแหวน เห็นได้ชัดว่าเขาไขว้เขาด้วยท่าทางที่คุ้นเคยและยื่นแก้มที่อวบอิ่มให้เขา แทนที่จะให้ Bagration จูบเขาที่คอ