นิพจน์ที่ซับซ้อนด้วยเศษส่วน ขั้นตอน

เศษส่วน- รูปแบบการแสดงตัวเลขในคณิตศาสตร์ แถบเศษส่วนแสดงถึงการดำเนินการหาร เศษเศษส่วนเรียกว่าเงินปันผลและ ตัวส่วน- ตัวแบ่ง ตัวอย่างเช่น ในเศษส่วน ตัวเศษคือ 5 และตัวส่วนคือ 7

ถูกต้องเศษส่วนที่มีตัวเศษมากกว่าตัวส่วนเรียกว่าเศษส่วน ถ้าเศษส่วนเหมาะสม โมดูลัสของค่าจะน้อยกว่า 1 เสมอ เศษส่วนอื่นๆ ทั้งหมดคือ ผิด.

เศษส่วนเรียกว่า ผสมถ้าเขียนเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วน นี่จะเหมือนกับผลรวมของตัวเลขนี้และเศษส่วน:

คุณสมบัติหลักของเศษส่วน

ถ้าตัวเศษและส่วนของเศษส่วนคูณด้วยจำนวนเดียวกัน ค่าของเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ

การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม

หากต้องการนำเศษส่วนสองตัวมาเป็นตัวส่วนร่วม คุณต้องมี:

1. คูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของวินาที
2. คูณตัวเศษของเศษส่วนที่สองด้วยตัวส่วนของตัวแรก
3. แทนที่ตัวส่วนของเศษส่วนทั้งสองด้วยผลคูณของมัน

การดำเนินการกับเศษส่วน

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.คุณต้องบวกเศษส่วนสองส่วน

1. เพิ่มตัวเศษใหม่ของเศษส่วนทั้งสองและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่าง:

การลบคุณต้องลบเศษส่วนหนึ่งออกจากอีกเศษส่วนหนึ่ง

1. ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม
2. ลบตัวเศษของวินาทีออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรกและปล่อยให้ตัวส่วนไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่าง:

การคูณหากต้องการคูณเศษส่วนหนึ่งด้วยอีกเศษส่วนหนึ่ง ให้คูณทั้งเศษและส่วน:

แผนก.หากต้องการหารเศษส่วนหนึ่งด้วยอีกเศษส่วนหนึ่ง ให้คูณตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของวินาที และคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของวินาที:

หากต้องการแสดงส่วนหนึ่งเป็นเศษส่วนของทั้งหมด คุณต้องแบ่งส่วนหนึ่งออกเป็นทั้งหมด

ภารกิจที่ 1มีนักเรียนในชั้นเรียน 30 คน ขาดไป 4 คน ขาดนักเรียนกี่สัดส่วน?

สารละลาย:

คำตอบ:ไม่มีนักเรียนในชั้นเรียน

การหาเศษส่วนจากตัวเลข

ในการแก้ปัญหาที่คุณต้องค้นหาส่วนหนึ่งของทั้งหมด ให้ใช้กฎต่อไปนี้:

ถ้าส่วนหนึ่งของผลรวมแสดงเป็นเศษส่วน เมื่อต้องการหาส่วนนี้ คุณสามารถหารผลทั้งหมดด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยตัวเศษ

ภารกิจที่ 1มี 600 รูเบิล เงินจำนวนนี้ถูกใช้ไปแล้ว คุณใช้เงินไปเท่าไหร่?

สารละลาย:หากต้องการหา 600 รูเบิลขึ้นไป เราต้องแบ่งจำนวนเงินนี้ออกเป็น 4 ส่วน ดังนั้นเราจึงหาเงินได้หนึ่งในสี่ส่วน:

600: 4 = 150 (ร.)

คำตอบ:ใช้ไป 150 รูเบิล

ภารกิจที่ 2มี 1,000 รูเบิล เงินจำนวนนี้ถูกใช้ไปแล้ว ใช้เงินไปเท่าไหร่?

สารละลาย:จากคำชี้แจงปัญหาเรารู้ว่า 1,000 รูเบิลประกอบด้วยห้าส่วนเท่า ๆ กัน ขั้นแรก เรามาดูกันว่ามีกี่รูเบิลเป็นหนึ่งในห้าของ 1,000 แล้วเราจะพบว่ามีกี่รูเบิลเป็นสองในห้า:

1) 1,000: 5 = 200 (ร.) - หนึ่งในห้า

2) 200 · 2 = 400 (ร.) - สองในห้า

การกระทำทั้งสองนี้สามารถรวมกันได้: 1,000: 5 · 2 = 400 (r.)

คำตอบ:ใช้ไป 400 รูเบิล

วิธีที่สองในการค้นหาส่วนหนึ่งของทั้งหมด:

หากต้องการค้นหาส่วนหนึ่งของผลรวม คุณสามารถคูณเศษส่วนด้วยเศษส่วนเพื่อแสดงส่วนนั้นของผลรวมได้

ภารกิจที่ 3ตามกฎบัตรของสหกรณ์ เพื่อให้การประชุมที่รายงานผลถูกต้อง อย่างน้อยต้องมีสมาชิกขององค์กรเข้าร่วม สหกรณ์มีสมาชิก 120 คน การประชุมการรายงานสามารถจัดองค์ประกอบใดได้บ้าง?

สารละลาย:

คำตอบ:การประชุมรายงานสามารถเกิดขึ้นได้หากมีสมาชิกขององค์กร 80 คน

การหาตัวเลขตามเศษส่วนของมัน

ในการแก้ปัญหาที่คุณต้องค้นหาทั้งหมดจากส่วนของมัน ให้ใช้กฎต่อไปนี้:

หากส่วนหนึ่งของผลรวมที่ต้องการแสดงเป็นเศษส่วน หากต้องการค้นหาทั้งหมดนี้ คุณสามารถหารส่วนนี้ด้วยตัวเศษของเศษส่วนแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยตัวส่วน

ภารกิจที่ 1เราใช้ไป 50 รูเบิล ซึ่งน้อยกว่าจำนวนเงินเดิม หาจำนวนเงินเดิม

สารละลาย:จากคำอธิบายปัญหาเราพบว่า 50 รูเบิลน้อยกว่าจำนวนเงินเดิม 6 เท่านั่นคือ จำนวนเงินเดิมคือ 6 เท่ามากกว่า 50 รูเบิล หากต้องการค้นหาจำนวนนี้ คุณต้องคูณ 50 ด้วย 6:

50 · 6 = 300 (ร.)

คำตอบ:จำนวนเงินเริ่มต้นคือ 300 รูเบิล

ภารกิจที่ 2เราใช้ไป 600 รูเบิล ซึ่งน้อยกว่าจำนวนเงินเดิม หาจำนวนเงินเดิม

สารละลาย:เราจะถือว่าจำนวนที่ต้องการประกอบด้วยสามในสาม ตามเงื่อนไขสองในสามของจำนวนเท่ากับ 600 รูเบิล ขั้นแรกหาหนึ่งในสามของจำนวนเงินเดิมแล้วจำนวนรูเบิลคือสามในสาม (จำนวนเงินเดิม):

1) 600: 2 3 = 900 (ร.)

คำตอบ:จำนวนเงินเริ่มต้นคือ 900 รูเบิล

วิธีที่สองในการค้นหาทั้งหมดจากส่วนหนึ่งของมัน:

หากต้องการค้นหาจำนวนเต็มด้วยค่าที่แสดงส่วนนั้น คุณสามารถหารค่านี้ด้วยเศษส่วนที่แสดงส่วนนี้ได้

ภารกิจที่ 3เซ็กเมนต์ เอบีเท่ากับ 42 ซม. คือความยาวของส่วน ซีดี- ค้นหาความยาวของส่วน ซีดี.

สารละลาย:

คำตอบ:ความยาวส่วน ซีดี 70 ซม.

ภารกิจที่ 4นำแตงโมมาที่ร้าน ก่อนอาหารกลางวันทางร้านจะขายแตงโมที่ซื้อมา และหลังอาหารกลางวันมีแตงโมเหลือขายอีก 80 ลูก คุณนำแตงโมไปที่ร้านกี่ลูก?

สารละลาย:ขั้นแรก เรามาดูกันว่าส่วนใดของแตงโมที่นำมาคือหมายเลข 80 เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้นำจำนวนแตงโมทั้งหมดที่นำมาเป็นชิ้นเดียวแล้วลบด้วยจำนวนแตงโมที่ขายได้ (ขายแล้ว):

ดังนั้นเราจึงเรียนรู้ว่าแตงโม 80 ลูกคิดเป็นจำนวนแตงโมที่นำมาทั้งหมด ตอนนี้เราพบว่ามีแตงโมกี่ลูกจากจำนวนทั้งหมดประกอบขึ้นแล้วมีแตงโมกี่ลูก (จำนวนแตงโมที่นำมา):

2) 80: 4 15 = 300 (แตงโม)

คำตอบ:มีการนำแตงโมไปที่ร้านทั้งหมด 300 ลูก

ตัวอย่างที่มีเศษส่วนเป็นหนึ่งในองค์ประกอบพื้นฐานของคณิตศาสตร์ สมการที่มีเศษส่วนมีหลายประเภท ด้านล่างนี้เป็นคำแนะนำโดยละเอียดสำหรับการแก้ไขตัวอย่างประเภทนี้

วิธีแก้ตัวอย่างด้วยเศษส่วน - กฎทั่วไป

ในการแก้ตัวอย่างเศษส่วนทุกประเภท ไม่ว่าจะเป็นการบวก ลบ คูณ หาร คุณจำเป็นต้องรู้กฎพื้นฐาน:

• ในการบวกนิพจน์เศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน (ตัวส่วนคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างสุดของเศษส่วน ตัวเศษอยู่ด้านบน) คุณต้องบวกตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม
• หากต้องการลบนิพจน์เศษส่วนตัวที่สอง (ที่มีตัวส่วนเท่ากัน) ออกจากเศษส่วนหนึ่ง คุณต้องลบตัวเศษและปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม
• หากต้องการบวกหรือลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน คุณต้องหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด
• หากต้องการหาผลคูณเศษส่วน คุณต้องคูณทั้งเศษและส่วน และถ้าเป็นไปได้ให้ลด
• หากต้องการหารเศษส่วนด้วยเศษส่วน คุณต้องคูณเศษส่วนแรกด้วยเศษส่วนที่สองโดยกลับด้าน

วิธีแก้ตัวอย่างด้วยเศษส่วน - ฝึกฝน

กฎข้อ 1 ตัวอย่างที่ 1:

คำนวณ 3/4 +1/4

ตามกฎข้อที่ 1 ถ้าเศษส่วนสองตัว (หรือมากกว่า) มีตัวส่วนเท่ากัน คุณก็แค่บวกตัวเศษเท่านั้น เราได้: 3/4 + 1/4 = 4/4 ถ้าเศษส่วนมีตัวเศษและส่วนเท่ากัน เศษส่วนจะเท่ากับ 1

คำตอบ: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1

กฎข้อ 2 ตัวอย่างที่ 1:

คำนวณ: 3/4 – 1/4

เมื่อใช้กฎข้อ 2 ในการแก้สมการนี้ คุณต้องลบ 1 จาก 3 และปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม เราได้ 2/4. เนื่องจาก 2 กับ 4 ลดได้ 2 ตัว เราจึงลดแล้วได้ 1/2

คำตอบ: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2

กฎข้อ 3 ตัวอย่างที่ 1

คำนวณ: 3/4 + 1/6

วิธีแก้: เมื่อใช้กฎข้อที่ 3 เราจะหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด ตัวส่วนร่วมที่น้อยที่สุดคือจำนวนที่หารด้วยตัวส่วนของนิพจน์เศษส่วนทั้งหมดในตัวอย่างได้ ดังนั้นเราจึงต้องหาจำนวนขั้นต่ำที่จะหารด้วย 4 และ 6 ลงตัว. จำนวนนี้คือ 12. เราเขียน 12 เป็นตัวส่วน. หาร 12 ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแรก เราได้ 3 คูณด้วย 3 เขียน 3 ในตัวเศษ *3 และเครื่องหมาย + หาร 12 ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนที่สอง เราได้ 2 คูณ 2 ด้วย 1 เขียน 2*1 ในตัวเศษ ดังนั้นเราจึงได้เศษส่วนใหม่ที่มีตัวส่วนเท่ากับ 12 และตัวเศษเท่ากับ 3*3+2*1=11 11/12.

คำตอบ: 11/12

กฎข้อ 3 ตัวอย่างที่ 2:

คำนวณ 3/4 – 1/6 ตัวอย่างนี้คล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้ามาก เราทำขั้นตอนเดียวกันทั้งหมด แต่ในตัวเศษ แทนที่จะเป็นเครื่องหมาย + เราเขียนเครื่องหมายลบ. เราได้: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12

คำตอบ: 7/12

กฎข้อ 4 ตัวอย่างที่ 1:

คำนวณ: 3/4 * 1/4

โดยใช้กฎข้อที่สี่ เราจะคูณตัวส่วนของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของวินาที และตัวเศษของเศษส่วนแรกด้วยตัวเศษของวินาที 3*1/4*4 = 3/16

คำตอบ: 3/16

กฎข้อ 4 ตัวอย่างที่ 2:

คำนวณ 2/5 * 10/4

เศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ ในกรณีของผลิตภัณฑ์ ตัวเศษของเศษส่วนแรกและส่วนของเศษส่วนที่สองและเศษของเศษส่วนที่สองและส่วนของเศษส่วนแรกจะถูกยกเลิก

2 ยกเลิกจาก 4 10 ยกเลิกจาก 5 เราได้ 1 * 2/2 = 1*1 = 1

คำตอบ: 2/5 * 10/4 = 1

กฎข้อ 5 ตัวอย่างที่ 1:

คำนวณ: 3/4: 5/6

เมื่อใช้กฎข้อที่ 5 เราได้: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5 เราลดเศษส่วนตามหลักการของตัวอย่างที่แล้วแล้วได้ 9/10

คำตอบ: 9/10.

วิธีแก้ตัวอย่างด้วยเศษส่วน - สมการเศษส่วน

สมการเศษส่วนคือตัวอย่างที่ตัวส่วนประกอบด้วยค่าที่ไม่ทราบ ในการแก้สมการดังกล่าว คุณต้องใช้กฎบางอย่าง

ลองดูตัวอย่าง:

แก้สมการ 15/3x+5 = 3

ให้เราจำไว้ว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ เช่น ค่าตัวส่วนจะต้องไม่เป็นศูนย์ เมื่อแก้ไขตัวอย่างดังกล่าวจะต้องระบุสิ่งนี้ เพื่อจุดประสงค์นี้จึงมี OA (ช่วงค่าที่อนุญาต)

ได้ 3x+5 ≠ 0
ดังนั้น: 3x ≠ 5
x ≠ 5/3

ที่ x = 5/3 สมการก็ไม่มีคำตอบ

เมื่อระบุ ODZ แล้ว วิธีที่ดีที่สุดในการแก้สมการนี้คือการกำจัดเศษส่วน ในการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเรานำเสนอค่าที่ไม่ใช่เศษส่วนทั้งหมดเป็นเศษส่วน ในกรณีนี้คือเลข 3 เราได้: 15/(3x+5) = 3/1 ในการกำจัดเศษส่วน คุณต้องคูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด ในกรณีนี้ มันจะเป็น (3x+5)*1 ลำดับของการกระทำ:

1. คูณ 15/(3x+5) ด้วย (3x+5)*1 = 15*(3x+5)
2. เปิดวงเล็บ: 15*(3x+5) = 45x + 75
3. เราทำเช่นเดียวกันกับด้านขวาของสมการ: 3*(3x+5) = 9x + 15
4. เท่ากันด้านซ้ายและขวา: 45x + 75 = 9x +15
5. เลื่อน X ไปทางซ้าย ตัวเลขไปทางขวา: 36x = – 50
6. ค้นหา x: x = -50/36
7. เราลด: -50/36 = -25/18

คำตอบ: ODZ x ≠ 5/3 x = -25/18.

วิธีแก้ตัวอย่างเศษส่วน - อสมการเศษส่วน

อสมการเศษส่วนประเภท (3x-5)/(2-x)≥0 ได้รับการแก้ไขโดยใช้แกนตัวเลข ลองดูตัวอย่างนี้

ลำดับของการกระทำ:

• เราถือว่าตัวเศษและส่วนเป็นศูนย์: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• เราวาดแกนตัวเลขโดยเขียนค่าผลลัพธ์ลงไป
• วาดวงกลมใต้ค่า วงกลมมีสองประเภท - เติมแล้วและว่างเปล่า วงกลมที่เต็มแล้วหมายความว่าค่าที่กำหนดอยู่ภายในช่วงการแก้ปัญหา วงกลมว่างแสดงว่าค่านี้ไม่รวมอยู่ในกลุ่มโซลูชัน
• เนื่องจากตัวส่วนไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ จึงจะมีวงกลมว่างอยู่ใต้ตำแหน่งที่ 2

• ในการหาเครื่องหมาย เราจะแทนจำนวนใดๆ ที่มากกว่า 2 ลงในสมการ เช่น 3 (3*3-5)/(2-3)= -4 ค่าเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าเราเขียนลบไว้เหนือพื้นที่หลังทั้งสอง จากนั้นแทนที่ค่า X ใดๆ ของช่วงตั้งแต่ 5/3 ถึง 2 เช่น 1 ค่าจะเป็นลบอีกครั้ง เราเขียนลบ. เราทำซ้ำเช่นเดียวกันกับพื้นที่ที่อยู่สูงถึง 5/3 เราแทนจำนวนใดๆ ที่น้อยกว่า 5/3 เช่น 1 อีกครั้ง ลบ

• เนื่องจากเราสนใจค่าของ x ที่นิพจน์จะมากกว่าหรือเท่ากับ 0 และไม่มีค่าดังกล่าว (มีเครื่องหมายลบอยู่ทุกหนทุกแห่ง) ความไม่เท่าเทียมกันนี้จึงไม่มีวิธีแก้ปัญหานั่นคือ x = Ø (ชุดว่าง)

คำตอบ: x = Ø

วิทยาศาสตร์ที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งที่สามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้ในสาขาวิชาต่างๆ เช่น เคมี ฟิสิกส์ และแม้แต่ชีววิทยา ก็คือคณิตศาสตร์ การศึกษาวิทยาศาสตร์นี้ช่วยให้คุณพัฒนาคุณสมบัติทางจิตและเพิ่มความสามารถในการมีสมาธิ หัวข้อหนึ่งที่สมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษในหลักสูตรคณิตศาสตร์คือการบวกและการลบเศษส่วน นักเรียนหลายคนพบว่าการเรียนเป็นเรื่องยาก บางทีบทความของเราอาจช่วยให้คุณเข้าใจหัวข้อนี้ได้ดีขึ้น

วิธีลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

เศษส่วนเป็นตัวเลขเดียวกันกับที่คุณสามารถดำเนินการต่างๆ ได้ ความแตกต่างจากจำนวนเต็มอยู่ที่การมีตัวส่วน นั่นคือเหตุผลที่เมื่อดำเนินการกับเศษส่วน คุณต้องศึกษาคุณสมบัติและกฎบางประการของมัน กรณีที่ง่ายที่สุดคือการลบเศษส่วนสามัญที่มีตัวส่วนแสดงเป็นจำนวนเดียวกัน การดำเนินการนี้จะไม่ใช่เรื่องยากหากคุณรู้กฎง่ายๆ:

• ในการที่จะลบวินาทีจากเศษส่วนหนึ่ง จำเป็นต้องลบตัวเศษของเศษส่วนที่หักออกจากตัวเศษของเศษส่วนที่ถูกลดขนาด เราเขียนตัวเลขนี้ลงในตัวเศษของผลต่าง และปล่อยให้ตัวส่วนเท่าเดิม: k/m - b/m = (k-b)/m

ตัวอย่างการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

จากตัวเศษของเศษส่วน "7" เราลบตัวเศษของเศษส่วน "3" ที่จะลบออกเราจะได้ "4" เราเขียนตัวเลขนี้ในตัวเศษของคำตอบและในตัวส่วนเราใส่จำนวนเดียวกันกับที่อยู่ในตัวส่วนของเศษส่วนตัวแรกและตัวที่สอง - "19"

รูปภาพด้านล่างแสดงตัวอย่างที่คล้ายกันอีกหลายตัวอย่าง

ลองพิจารณาตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้โดยการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเหมือนกัน:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

จากตัวเศษของเศษส่วน "29" ลดลงโดยการลบตัวเศษของเศษส่วนที่ตามมาทั้งหมด - "3", "8", "2", "7" เป็นผลให้เราได้ผลลัพธ์ "9" ซึ่งเราเขียนลงในตัวเศษของคำตอบและในตัวส่วนเราเขียนจำนวนที่อยู่ในตัวส่วนของเศษส่วนเหล่านี้ทั้งหมด - "47"

การบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

การบวกและการลบเศษส่วนสามัญมีหลักการเดียวกัน

• ในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน คุณต้องบวกตัวเศษด้วย จำนวนผลลัพธ์คือตัวเศษของผลรวม และตัวส่วนจะยังคงเหมือนเดิม: k/m + b/m = (k + b)/m

เรามาดูกันว่าสิ่งนี้มีลักษณะอย่างไรโดยใช้ตัวอย่าง:

1/4 + 2/4 = 3/4.

ไปที่ตัวเศษของเทอมแรกของเศษส่วน - "1" - เพิ่มตัวเศษของเทอมที่สองของเศษส่วน - "2" ผลลัพธ์ - "3" - ถูกเขียนลงในตัวเศษของผลรวมและตัวส่วนจะเหลือเหมือนเดิมกับที่มีอยู่ในเศษส่วน - "4"

เศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันและการลบ

เราได้พิจารณาการดำเนินการกับเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันแล้ว อย่างที่คุณเห็นการรู้กฎง่ายๆ การแก้ไขตัวอย่างดังกล่าวนั้นค่อนข้างง่าย แต่ถ้าคุณต้องการดำเนินการกับเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันล่ะ? นักเรียนมัธยมศึกษาหลายคนสับสนกับตัวอย่างดังกล่าว แต่ถึงแม้ที่นี่ ถ้าคุณรู้หลักการของการแก้ปัญหา ตัวอย่างก็จะไม่ใช่เรื่องยากสำหรับคุณอีกต่อไป นอกจากนี้ยังมีกฎอยู่ที่นี่โดยที่การแก้เศษส่วนดังกล่าวเป็นไปไม่ได้เลย

หากต้องการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน จะต้องลดเศษส่วนให้เหลือตัวส่วนที่เล็กที่สุดเท่ากัน



เราจะพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการทำเช่นนี้

คุณสมบัติของเศษส่วน

ในการที่จะนำเศษส่วนหลายตัวมาเป็นตัวส่วนเดียวกัน คุณต้องใช้คุณสมบัติหลักของเศษส่วนในการแก้ปัญหา: หลังจากหารหรือคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกันแล้ว คุณจะได้เศษส่วนเท่ากับเศษส่วนที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น เศษส่วน 2/3 สามารถมีส่วนได้ เช่น “6”, “9”, “12” เป็นต้น กล่าวคือ มันสามารถมีรูปแบบของตัวเลขใดๆ ก็ได้ที่เป็นพหุคูณของ “3” หลังจากที่เราคูณทั้งเศษและส่วนด้วย “2” เราก็จะได้เศษส่วน 4/6 หลังจากที่เราคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนเดิมด้วย "3" เราจะได้ 6/9 และถ้าเราดำเนินการคล้ายกันกับตัวเลข "4" เราก็จะได้ 8/12 ความเท่าเทียมกันหนึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

วิธีแปลงเศษส่วนหลายตัวให้เป็นตัวส่วนเดียวกัน

มาดูวิธีลดเศษส่วนหลายตัวให้เป็นตัวส่วนเดียวกันกัน ตัวอย่างเช่น ลองหาเศษส่วนที่แสดงในภาพด้านล่าง ขั้นแรก คุณต้องพิจารณาว่าตัวเลขใดที่สามารถเป็นตัวส่วนได้ทั้งหมด เพื่อให้ง่ายขึ้น ลองแยกตัวประกอบตัวส่วนที่มีอยู่ก่อน

ตัวส่วนของเศษส่วน 1/2 และเศษส่วน 2/3 ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ตัวส่วน 7/9 มีตัวประกอบสองตัวคือ 7/9 = 7/(3 x 3) ตัวส่วนของเศษส่วน 5/6 = 5/(2 x 3) ตอนนี้เราต้องพิจารณาว่าปัจจัยใดจะน้อยที่สุดสำหรับเศษส่วนทั้งสี่นี้ เนื่องจากเศษส่วนแรกมีเลข “2” อยู่ในตัวส่วน จึงหมายความว่าต้องมีอยู่ในตัวส่วนทั้งหมด ในเศษส่วน 7/9 จึงมีแฝดสองตัว ซึ่งหมายความว่าทั้งสองตัวจะต้องอยู่ในตัวส่วนด้วย เมื่อคำนึงถึงสิ่งที่กล่าวมาข้างต้น เราพิจารณาว่าตัวส่วนประกอบด้วยตัวประกอบสามตัว: 3, 2, 3 และเท่ากับ 3 x 2 x 3 = 18



ลองพิจารณาเศษส่วนแรก - 1/2. ตัวส่วนมี "2" แต่ไม่มี "3" หลักเดียว แต่ควรมีสองหลัก ในการทำเช่นนี้ เราจะคูณตัวส่วนด้วยสองสามเท่า แต่ตามคุณสมบัติของเศษส่วน เราต้องคูณตัวเศษด้วยสองสามเท่า:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18

เราทำการดำเนินการเดียวกันกับเศษส่วนที่เหลือ

• 2/3 - หนึ่งสามและหนึ่งสองหายไปในตัวส่วน:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18
• 7/9 หรือ 7/(3 x 3) - ตัวส่วนไม่มีสอง:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18
• 5/6 หรือ 5/(2 x 3) - ตัวส่วนไม่มีสาม:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18

เมื่อรวมกันแล้วจะมีลักษณะดังนี้:



วิธีลบและบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกัน

ดังที่กล่าวข้างต้น การบวกหรือลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนต่างกันจะต้องลดให้เหลือตัวส่วนเท่ากัน แล้วจึงใช้กฎการลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันตามที่ได้หารือกันไปแล้ว

ลองดูเป็นตัวอย่าง: 4/18 - 3/15

การค้นหาผลคูณของตัวเลข 18 และ 15:

• เลข 18 ประกอบด้วย 3 x 2 x 3
• เลข 15 ประกอบด้วย 5 x 3
• ตัวคูณร่วมจะเป็นปัจจัยต่อไปนี้: 5 x 3 x 3 x 2 = 90

หลังจากพบตัวส่วนแล้ว จำเป็นต้องคำนวณปัจจัยที่จะแตกต่างกันสำหรับแต่ละเศษส่วน นั่นคือจำนวนที่ไม่เพียงแต่ตัวส่วนเท่านั้น แต่ยังต้องคูณตัวเศษด้วย ในการทำเช่นนี้ เราหารจำนวนที่เราพบ (ตัวคูณร่วม) ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนซึ่งเราต้องหาตัวประกอบเพิ่มเติม

• 90 หารด้วย 15 ผลลัพธ์ที่ได้คือเลข “6” ที่จะเป็นตัวคูณของ 3/15
• 90 หารด้วย 18 ผลลัพธ์ตัวเลข “5” จะเป็นตัวคูณสำหรับ 4/18

ขั้นต่อไปของการแก้ปัญหาของเราคือลดเศษส่วนแต่ละส่วนให้เหลือตัวส่วน “90”

เราได้พูดคุยกันแล้วเกี่ยวกับวิธีการทำเช่นนี้ เรามาดูกันว่าสิ่งนี้เขียนอย่างไรในตัวอย่าง:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45

หากเศษส่วนมีจำนวนน้อย คุณสามารถกำหนดตัวส่วนร่วมได้ดังตัวอย่างที่แสดงในภาพด้านล่าง



เช่นเดียวกับผู้ที่มีตัวส่วนต่างกัน

การลบและการมีส่วนจำนวนเต็ม

เราได้พูดคุยโดยละเอียดเกี่ยวกับการลบเศษส่วนและการบวกแล้ว แต่จะลบอย่างไรถ้าเศษส่วนมีส่วนเป็นจำนวนเต็ม? ลองใช้กฎสองสามข้ออีกครั้ง:

• แปลงเศษส่วนทั้งหมดที่มีส่วนเป็นจำนวนเต็มให้เป็นเศษส่วนเกิน พูดง่ายๆ ก็คือ ลบบางส่วนออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณจำนวนของส่วนจำนวนเต็มด้วยตัวส่วนของเศษส่วน แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้เข้ากับตัวเศษ จำนวนที่ออกมาหลังจากการกระทำเหล่านี้คือตัวเศษของเศษส่วนเกิน. ตัวส่วนยังคงไม่เปลี่ยนแปลง
• ถ้าเศษส่วนมีตัวส่วนต่างกัน ก็ควรลดให้เหลือตัวส่วนเท่ากัน
• ทำการบวกหรือลบโดยใช้ตัวส่วนเท่ากัน
• เมื่อได้รับเศษส่วนเกินให้เลือกทั้งส่วน



มีอีกวิธีหนึ่งที่คุณสามารถเพิ่มและลบเศษส่วนที่มีทั้งส่วนได้ ในการดำเนินการนี้ การกระทำจะดำเนินการแยกกันโดยทั้งส่วน และการกระทำโดยใช้เศษส่วนแยกกัน และผลลัพธ์จะถูกบันทึกร่วมกัน



ตัวอย่างที่ให้มาประกอบด้วยเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ในกรณีที่ตัวส่วนต่างกันจะต้องทำให้ค่าเท่ากันแล้วดำเนินการตามตัวอย่าง

การลบเศษส่วนออกจากจำนวนเต็ม

การดำเนินการกับเศษส่วนอีกประเภทหนึ่งคือกรณีที่ต้องลบเศษส่วนเมื่อมองแวบแรก ตัวอย่างดังกล่าวดูเหมือนจะแก้ไขได้ยาก อย่างไรก็ตามทุกอย่างค่อนข้างง่ายที่นี่ เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องแปลงจำนวนเต็มให้เป็นเศษส่วน และให้ตัวส่วนเท่ากันซึ่งอยู่ในเศษส่วนที่ถูกลบ ต่อไป เราจะทำการลบแบบเดียวกับการลบที่มีตัวส่วนเท่ากัน ในตัวอย่างดูเหมือนว่านี้:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9

การลบเศษส่วน (เกรด 6) ที่นำเสนอในบทความนี้เป็นพื้นฐานในการแก้ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งจะกล่าวถึงในเกรดต่อๆ ไป ความรู้ในหัวข้อนี้จะถูกนำไปใช้ในการแก้ฟังก์ชัน อนุพันธ์ และอื่นๆ ในภายหลัง ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจและเข้าใจการดำเนินการกับเศษส่วนที่กล่าวถึงข้างต้น

การกระทำที่มีเศษส่วน ในบทความนี้เราจะดูตัวอย่างทุกอย่างโดยละเอียดพร้อมคำอธิบาย เราจะพิจารณาเศษส่วนสามัญ เราจะดูทศนิยมในภายหลัง แนะนำให้ดูให้ครบและศึกษาตามลำดับครับ

1. ผลรวมของเศษส่วน ผลต่างของเศษส่วน

กฎ: เมื่อบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน ผลลัพธ์จะเป็นเศษส่วน - ตัวส่วนยังคงเหมือนเดิม และตัวเศษจะเท่ากับผลรวมของตัวเศษของเศษส่วน

กฎ: เมื่อคำนวณความแตกต่างระหว่างเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันเราจะได้เศษส่วน - ตัวส่วนยังคงเหมือนเดิมและตัวเศษของวินาทีจะถูกลบออกจากตัวเศษของเศษส่วนแรก

สัญกรณ์อย่างเป็นทางการสำหรับผลรวมและผลต่างของเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน:

ตัวอย่าง (1):

เห็นได้ชัดว่าเมื่อให้เศษส่วนธรรมดาทุกอย่างก็ง่าย แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันผสมกัน? ไม่มีอะไรซับซ้อน...

ตัวเลือกที่ 1– คุณสามารถแปลงให้เป็นรายการธรรมดาแล้วคำนวณได้

ตัวเลือกที่ 2– คุณสามารถ "ทำงาน" แยกกันด้วยส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วน

ตัวอย่าง (2):

มากกว่า:

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าให้ผลต่างของเศษส่วนคละสองตัวและตัวเศษของเศษส่วนแรกน้อยกว่าตัวเศษของวินาที? คุณสามารถดำเนินการได้สองวิธี

ตัวอย่าง (3):

*แปลงเป็นเศษส่วนธรรมดา คำนวณผลต่าง แล้วแปลงเศษส่วนเกินที่ได้ให้เป็นเศษส่วนคละ

*เราแบ่งเป็นจำนวนเต็มและเศษส่วนได้สามแล้วนำเสนอ 3 เป็นผลรวมของ 2 กับ 1 โดยหนึ่งแทนเป็น 11/11 แล้วหาผลต่างระหว่าง 11/11 กับ 7/11 แล้วคำนวณผลลัพธ์ . ความหมายของการแปลงข้างต้นคือนำ (เลือก) หน่วยมานำเสนอเป็นเศษส่วนด้วยตัวส่วนที่ต้องการ จากนั้นเราก็ลบอีกหน่วยออกจากเศษส่วนนี้

อีกตัวอย่างหนึ่ง:

สรุป: มีแนวทางที่เป็นสากล - ในการคำนวณผลรวม (ผลต่าง) ของเศษส่วนผสมที่มีตัวส่วนเท่ากัน พวกเขาสามารถแปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมได้เสมอ จากนั้นจึงดำเนินการที่จำเป็น หลังจากนี้ หากผลลัพธ์เป็นเศษส่วนเกิน เราจะแปลงเป็นเศษส่วนคละ

ด้านบนนี้เราดูตัวอย่างที่มีเศษส่วนซึ่งมีตัวส่วนเท่ากัน จะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวส่วนต่างกัน? ในกรณีนี้ เศษส่วนจะลดลงเหลือตัวส่วนเท่ากันและดำเนินการตามที่ระบุ หากต้องการเปลี่ยน (แปลง) เศษส่วน จะใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน

ลองดูตัวอย่างง่ายๆ:

ในตัวอย่างนี้ เราจะเห็นได้ทันทีว่าเศษส่วนตัวใดตัวหนึ่งสามารถเปลี่ยนให้มีส่วนเท่ากันได้อย่างไร

หากเรากำหนดวิธีลดเศษส่วนให้ตัวส่วนเท่ากัน เราจะเรียกวิธีนี้ว่า วิธีที่หนึ่ง.

นั่นคือทันทีที่ "ประมาณ" เศษส่วน คุณต้องพิจารณาว่าวิธีนี้ใช้ได้ผลหรือไม่ - เราจะตรวจสอบว่าตัวส่วนที่มากกว่าหารด้วยตัวที่เล็กกว่าหรือไม่ และถ้ามันหารลงตัวได้ เราก็จะทำการแปลง - เราคูณทั้งเศษและส่วนเพื่อให้ตัวส่วนของทั้งสองเศษส่วนเท่ากัน

ตอนนี้ดูตัวอย่างเหล่านี้:

วิธีการนี้ใช้ไม่ได้กับพวกเขา ยังมีวิธีลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วมอีกด้วย เรามาพิจารณากัน

วิธีที่สอง.

เราคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนแรกด้วยตัวส่วนของวินาที และตัวเศษและส่วนของเศษส่วนที่สองคูณด้วยตัวส่วนของตัวแรก:

*อันที่จริงแล้ว เราลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบเมื่อตัวส่วนเท่ากัน ต่อไป เราใช้กฎในการบวกเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน

ตัวอย่าง:

*วิธีนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็นสากลและใช้ได้เสมอ ข้อเสียเพียงอย่างเดียวคือหลังจากการคำนวณแล้ว คุณอาจได้เศษส่วนที่จะต้องลดลงอีก

ลองดูตัวอย่าง:

จะเห็นได้ว่าตัวเศษและส่วนหารด้วย 5 ลงตัว:

วิธีที่สาม

คุณต้องค้นหาตัวส่วนร่วมน้อย (LCM) นี่จะเป็นตัวส่วนร่วม. นี่มันเลขอะไรครับ? นี่คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่หารด้วยตัวเลขแต่ละตัว

ดูสิ นี่คือตัวเลขสองตัว: 3 และ 4 มีตัวเลขหลายตัวที่หารด้วยตัวเลขเหล่านี้คือ 12, 24, 36, ... ค่าที่น้อยที่สุดคือ 12 หรือ 6 และ 15, 30, 60, 90 คือ แบ่งตามพวกมัน.... ค่าน้อยที่สุดคือ 30 คำถามคือ จะระบุตัวคูณร่วมน้อยนี้ได้อย่างไร?

มีอัลกอริธึมที่ชัดเจน แต่บ่อยครั้งที่สามารถทำได้ทันทีโดยไม่ต้องคำนวณ ตัวอย่างเช่น ตามตัวอย่างข้างต้น (3 และ 4, 6 และ 15) ไม่จำเป็นต้องใช้อัลกอริธึม เราเอาตัวเลขจำนวนมาก (4 และ 15) เพิ่มเป็นสองเท่าและเห็นว่าพวกมันหารด้วยตัวเลขตัวที่สองลงตัว แต่ตัวเลขคู่สามารถ เป็นอย่างอื่น เช่น 51 และ 119

อัลกอริทึม เพื่อที่จะหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนหลายๆ ตัว คุณต้อง:

- แยกแต่ละตัวเลขออกเป็นปัจจัยง่ายๆ

— เขียนบันทึกการสลายตัวของพวกมันที่ใหญ่กว่า

- คูณด้วยตัวประกอบที่หายไปของตัวเลขอื่นๆ

ลองดูตัวอย่าง:

50 และ 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

ในการขยายใหญ่ขึ้นจำนวนหนึ่งห้าหายไป

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 และ 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

ในการขยายจำนวนที่มากขึ้นจำนวนสองและสามหายไป

=> LCM(48.72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* ผลคูณร่วมน้อยของจำนวนเฉพาะสองตัวคือผลคูณของมัน

คำถาม! เหตุใดการหาตัวคูณร่วมน้อยจึงมีประโยชน์ เนื่องจากคุณสามารถใช้วิธีที่สองและลดเศษส่วนผลลัพธ์ได้ ใช่ เป็นไปได้ แต่ไม่สะดวกเสมอไป ดูตัวส่วนของตัวเลข 48 และ 72 หากคุณเพียงแค่คูณพวกมัน 48∙72 = 3456 คุณจะยอมรับว่าการใช้ตัวเลขที่น้อยกว่าจะดีกว่า

ลองดูตัวอย่าง:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

การขยายตัวของจำนวนที่มากขึ้นหายไปสามเท่า

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

ตอนนี้ลองใช้วิธีแรก:

*ดูความแตกต่างในการคำนวณในกรณีแรกมีขั้นต่ำ แต่ในส่วนที่สองคุณต้องแยกงานบนกระดาษและแม้แต่เศษส่วนที่คุณได้รับก็ต้องลดลง การค้นหา LOC ช่วยให้งานง่ายขึ้นอย่างมาก

ตัวอย่างเพิ่มเติม:

*ในตัวอย่างที่สอง เห็นได้ชัดว่าจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 40 และ 60 ลงตัวคือ 120

ผลลัพธ์! อัลกอริธึมคอมพิวเตอร์ทั่วไป!

— เราลดเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนธรรมดาหากมีเศษส่วนเป็นจำนวนเต็ม

- เรานำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม (ขั้นแรกเราดูว่าตัวส่วนหนึ่งหารด้วยอีกตัวหนึ่งลงตัวหรือไม่ ถ้าหารลงตัวได้ เราก็คูณทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนอีกส่วนนี้ ถ้าหารไม่ลงตัว เราก็ใช้วิธีอื่น ระบุไว้ข้างต้น)

- เมื่อได้รับเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากันแล้ว เราก็ดำเนินการ (บวก ลบ)

- หากจำเป็น เราจะลดผลลัพธ์ลง

- หากจำเป็น ให้เลือกทั้งส่วน

2. ผลคูณของเศษส่วน

กฎนั้นง่าย เมื่อคูณเศษส่วน ตัวเศษและส่วนจะถูกคูณ:

ตัวอย่าง: