Praktická práca z matematickej časti: „Funkcie, ich vlastnosti a grafy“ téma: Funkcie. Doména a množina hodnôt funkcie
MINISTERSTVO ŠKOLSTVA REGIÓNU SACHALÍN
GBPOU "STAVEBNÁ TECHNIKA"
Praktická práca
V disciplíne "Matematika"
Kapitola: " Funkcie, ich vlastnosti a grafy.“
Predmet: Funkcie. Doména a množina hodnôt funkcie. Párne a nepárne funkcie.
(didaktický materiál)
Zostavil:
učiteľ
Kazantseva N.A.
Južno-Sachalinsk-2017
Praktická práca z matematikypodľa sekcie« a metodologickénávody na ich realizáciu sú určené žiakomGBPOU "Sakhalinská stavebná škola"
Zostavil : Kazantseva N. A., učiteľka matematiky
Materiál obsahuje praktické práce z matematiky« Funkcie, ich vlastnosti a grafy" A pokyny na ich realizáciu. Smernice sú zostavené v súlade s pracovným programom v matematike a sú určené pre študentov Sachalin Construction College, študenti študujúci všeobecné vzdelávacie programy.
1) Praktická lekcia č.1. Funkcie. Oblasť definície a množiny hodnôt funkcie.………………………………………………………………………...4
2)Praktická lekcia č.2 . Párne a nepárne funkcie………………..6
Praktická lekcia č.1
Funkcie. Doména a množina hodnôt funkcie.
ciele: upevniť zručnosti a zručnosti pri riešení problémov na tému: „Oblasť definície a množina hodnôt funkcie.
Vybavenie:
Poznámka. Najprv by ste si mali zopakovať teoretický materiál na tému: „Oblasť definície a množina hodnôt funkcie“, po ktorej môžete začať vykonávať praktickú časť.
Pokyny:
Definícia: Funkčná doména– toto je množina všetkých hodnôt argumentu x, na ktorom je funkcia špecifikovaná (alebo množina x, pre ktorú má funkcia zmysel).
Označenie:D(y),D( f)- doména definície funkcie.
Pravidlo: Nájsť oblastiNa určenie funkcie z grafu je potrebné navrhnúť graf na OX.
Definícia:Rozsah funkciíje množina y, pre ktorú má funkcia zmysel.
Označenie: E(y), E(f)- rozsah funkcie.
Pravidlo: Nájsť oblastifunkčných hodnôt podľa grafu musí byť graf premietnutý na operačný zosilňovač.
№ 1. Nájdite hodnoty funkcií:
a) f(x) = 4 x+ v bodoch 2;20 ;
b) f(x) = 2 · cos(x) v bodoch; 0;
V) f(x) = v bodoch 1;0; 2;
G) f(x) = 6 hriech 4 x v bodoch; 0;
e) f(x) = 2 9 x+ 10 v bodoch 2; 0; 5.
№ 2. Nájdite doménu funkcie:
a) f(x) =; b ) f(x) =; V ) f(x) =;
G) f(x) = ; d) f(x) = ; e) f (x) = 6 x +1;
a) f(x) = ; h) f(x) = .
№3. Nájdite rozsah funkcie:
A) f(x) = 2+3 x; b) f(x) = 2 7 x + 3.
№ 4. Nájdite definičný a definičný obor funkcie, ktorej graf je znázornený na obrázku:
Praktická lekcia č.2
Párne a nepárne funkcie.
ciele: upevniť zručnosti a zručnosti pri riešení problémov na tému: „Párne a nepárne funkcie“.
Vybavenie: zošit na praktickú prácu, pero, pokyny na dokončenie práce
Poznámka. Najprv by ste si mali zopakovať teoretický materiál na tému: „Párne a nepárne funkcie“, potom môžete začať vykonávať praktickú časť.
Nezabudnite na správne formátovanie riešenia.
Pokyny:
Medzi najdôležitejšie vlastnosti funkcií patrí rovnomernosť a nepárnosť.
Definícia: Funkcia sa volánepárne zmeny jeho význam k jeho opaku,
tie. f (x) = f (x).
Graf nepárnej funkcie je symetrický okolo počiatku (0;0).
Príklady : nepárne funkcie sú y=x, y=, y= hriech x a ďalšie
Napríklad graf y= je skutočne symetrický podľa počiatku (pozri obr. 1):
Obr.1. G graf y= (kubická parabola)
Definícia: Funkcia sa voládokonca , ak pri zmene znamienka argumentu, itsa nemení jeho význam, t.j. f (x) = f (x).
Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi operačného zosilňovača.
Príklady : párne funkcie sú funkcie y=, y= ,
y= cosx atď.
Ukážme napríklad symetriu grafu y= vzhľadom na os operačného zosilňovača:
Obr.2. Graf =
Úlohy pre praktickú prácu:
№1. Analyticky preskúmajte funkciu pre párne alebo nepárne:
1) f (x) = 2 x 3 – 3; 2) f(x) = 5 x 2 + 3;
3) g (x) = - +; 4) g (x) = -2 x 3 + 3;
5) y(x)= 7xc tgx; 6) y(x)= + cosx;
7) t(x)= tgx 3; 8) t(x) = + hriechx.
№2. Analyticky preskúmajte funkciu pre párne alebo nepárne:
1) f (x) =; 2) f (x) = 6 + · hriech 2 x· cosx;
3) f (x) =; 4) f (x) = 2 + · cos 2 x· hriechx;
5) f (x) =; 6) f (x) = 3 + · hriech 4 x· cosx;
7) f (x) =; 8) f (x) = 3 + · cos 4 x· hriechx.
№3. Preskúmajte funkciu pre párne alebo nepárne podľa grafu:
№4. Skontrolujte, či je funkcia párna alebo nepárna?
Často, ako súčasť riešenia problémov, musíme hľadať veľa hodnôt funkcie na doméne definície alebo segmente. Napríklad to treba urobiť pri riešení rôznych druhov nerovností, vyhodnocovaní výrazov atď.
Yandex.RTB R-A-339285-1
V tomto materiáli vám povieme, aký je rozsah hodnôt funkcie, uvedieme hlavné metódy, pomocou ktorých sa dá vypočítať, a analyzujeme problémy rôzneho stupňa zložitosti. Pre názornosť sú jednotlivé ustanovenia znázornené grafmi. Po prečítaní tohto článku získate komplexné pochopenie rozsahu funkcie.
Začnime základnými definíciami.
Definícia 1
Množina hodnôt funkcie y = f (x) na určitom intervale x je množina všetkých hodnôt, ktoré táto funkcia nadobudne pri iterácii cez všetky hodnoty x ∈ X.
Definícia 2
Rozsah hodnôt funkcie y = f (x) je množina všetkých jej hodnôt, ktoré môže nadobudnúť pri vyhľadávaní hodnôt x z rozsahu x ∈ (f).
Rozsah hodnôt určitej funkcie sa zvyčajne označuje ako E (f).
Upozorňujeme, že koncept množiny hodnôt funkcie nie je vždy identický s jej rozsahom hodnôt. Tieto pojmy budú ekvivalentné iba vtedy, ak sa rozsah hodnôt x pri hľadaní množiny hodnôt zhoduje s doménou definície funkcie.
Je tiež dôležité rozlišovať medzi rozsahom hodnôt a rozsahom prijateľných hodnôt premennej x pre výraz na pravej strane y = f (x). Rozsah prípustných hodnôt x pre výraz f (x) bude doménou definície tejto funkcie.
Nižšie je uvedený obrázok zobrazujúci niekoľko príkladov. Modré čiary sú funkčné grafy, červené čiary sú asymptoty, červené body a čiary na zvislej osi sú funkčné rozsahy.
Je zrejmé, že rozsah hodnôt funkcie možno získať premietnutím grafu funkcie na os Oy. Okrem toho môže predstavovať jedno číslo alebo množinu čísel, segment, interval, otvorený lúč, spojenie číselných intervalov atď.
Pozrime sa na hlavné spôsoby, ako nájsť rozsah hodnôt funkcie.
Začnime definovaním množiny hodnôt spojitej funkcie y = f (x) na určitom segmente označenom [ a ; b]. Vieme, že funkcia, ktorá je spojitá na určitom segmente, na ňom dosiahne svoje minimum a maximum, teda najväčšie m a x x ∈ a ; b f (x) a najmenšia hodnota m i n x ∈ a ; b f (x). To znamená, že dostaneme segment m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a; b f (x), ktorý bude obsahovať množiny hodnôt pôvodnej funkcie. Potom všetko, čo musíme urobiť, je nájsť uvedené minimálne a maximálne body na tomto segmente.
Zoberme si problém, v ktorom musíme určiť rozsah arcsínusových hodnôt.
Príklad 1
podmienka: nájdite rozsah hodnôt y = a r c sin x .
Riešenie
Vo všeobecnom prípade sa doména definície arksínusu nachádza na segmente [ - 1 ; 1]. Musíme na ňom určiť najväčšiu a najmenšiu hodnotu zadanej funkcie.
y" = a rc sin x" = 1 1 - x 2
Vieme, že derivácia funkcie bude kladná pre všetky hodnoty x umiestnené v intervale [ - 1 ; 1 ], to znamená, že v celej oblasti definície sa funkcia arcsínus zvýši. To znamená, že najmenšiu hodnotu nadobudne, keď sa x rovná -1, a najväčšiu hodnotu nadobudne, keď sa x rovná 1.
mi n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2
Rozsah hodnôt arcsínusovej funkcie sa teda bude rovnať E (a rc sin x) = - π 2; π 2.
odpoveď: E (a rc sin x) = - π 2; π 2
Príklad 2
podmienka: vypočítajte rozsah hodnôt y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na danom intervale [ 1 ; 4].
Riešenie
Stačí nám vypočítať najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v danom intervale.
Na určenie extrémnych bodov je potrebné vykonať nasledujúce výpočty:
y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0~1; = 15 + 33 8 ≈ 2.
Teraz nájdime hodnoty danej funkcie na koncoch segmentu a bodoch x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:
r (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 r 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 r (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32
To znamená, že množina funkčných hodnôt bude určená segmentom 117 - 165 33 512; 32.
odpoveď: 117 - 165 33 512 ; 32 .
Prejdime k hľadaniu množiny hodnôt spojitej funkcie y = f (x) v intervaloch (a ; b) a a ; + ∞ , - ∞ ; b, - ∞; + ∞ .
Začnime určením najväčšieho a najmenšieho bodu, ako aj intervalov zvyšovania a znižovania na danom intervale. Potom budeme musieť vypočítať jednostranné limity na koncoch intervalu a / alebo limity v nekonečne. Inými slovami, musíme určiť správanie funkcie za daných podmienok. Máme na to všetky potrebné údaje.
Príklad 3
podmienka: vypočítajte rozsah funkcie y = 1 x 2 - 4 na intervale (- 2 ; 2) .
Riešenie
Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na danom segmente
y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2; 2)
Dostali sme maximálnu hodnotu rovnajúcu sa 0, keďže práve v tomto bode sa mení znamienko funkcie a graf začína klesať. Pozri ilustráciu:
To znamená, že y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 bude maximálna hodnota funkcie.
Teraz určíme správanie funkcie pre x, ktoré má tendenciu - 2 na pravej strane a + 2 na ľavej strane. Inými slovami, nachádzame jednostranné limity:
lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞
Ukazuje sa, že hodnoty funkcie sa zvýšia z mínus nekonečna na - 1 4, keď sa argument zmení z - 2 na 0. A keď sa argument zmení z 0 na 2, hodnoty funkcie sa znížia smerom k mínus nekonečnu. V dôsledku toho množina hodnôt danej funkcie na intervale, ktorý potrebujeme, bude (- ∞ ; - 1 4 ] .
odpoveď: (- ∞ ; - 1 4 ] .
Príklad 4
Podmienka: uveďte množinu hodnôt y = t g x na danom intervale - π 2; π 2.
Riešenie
Vieme, že vo všeobecnom prípade je derivácia dotyčnice - π 2; π 2 bude kladné, to znamená, že funkcia sa zvýši. Teraz určme, ako sa funkcia správa v rámci daných hraníc:
lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞
Získali sme nárast hodnôt funkcie z mínus nekonečna na plus nekonečno, keď sa argument zmení z - π 2 na π 2, a môžeme povedať, že množina riešení tejto funkcie bude množinou všetkých skutočných čísla.
odpoveď: - ∞ ; + ∞ .
Príklad 5
podmienka: určiť rozsah funkcie prirodzeného logaritmu y = ln x.
Riešenie
Vieme, že táto funkcia je definovaná pre kladné hodnoty argumentu D (y) = 0; + ∞ . Derivácia na danom intervale bude kladná: y " = ln x " = 1 x . To znamená, že funkcia sa na ňom zvyšuje. Ďalej musíme definovať jednostrannú hranicu pre prípad, keď má argument sklon k 0 (na pravej strane) a keď x ide do nekonečna:
lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
Zistili sme, že hodnoty funkcie sa budú zvyšovať z mínus nekonečna na plus nekonečno, keď sa hodnoty x menia z nuly na plus nekonečno. To znamená, že množina všetkých reálnych čísel je rozsahom hodnôt funkcie prirodzeného logaritmu.
odpoveď: množina všetkých reálnych čísel je rozsah hodnôt funkcie prirodzeného logaritmu.
Príklad 6
podmienka: určte rozsah funkcie y = 9 x 2 + 1 .
Riešenie
Táto funkcia je definovaná za predpokladu, že x je reálne číslo. Vypočítajme najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie, ako aj intervaly jej nárastu a poklesu:
y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
V dôsledku toho sme určili, že táto funkcia sa zníži, ak x ≥ 0; zvýšiť, ak x ≤ 0 ; má maximálny bod y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 s premennou rovnou 0.
Pozrime sa, ako sa funkcia správa v nekonečne:
lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0
Zo záznamu je zrejmé, že hodnoty funkcie sa v tomto prípade budú asymptoticky blížiť k 0.
Zhrnutie: keď sa argument zmení z mínus nekonečna na nulu, hodnoty funkcie sa zvýšia z 0 na 9. Keď sa hodnoty argumentov zmenia z 0 na plus nekonečno, hodnoty zodpovedajúcej funkcie sa znížia z 9 na 0. Ukázali sme to na obrázku:
Ukazuje, že rozsah hodnôt funkcie bude interval E (y) = (0 ; 9 ]
odpoveď: E (y) = (0 ; 9 ]
Ak potrebujeme určiť množinu hodnôt funkcie y = f (x) na intervaloch [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , potom budeme musieť vykonať presne tie isté štúdie. Tieto prípady zatiaľ nebudeme analyzovať: stretneme sa s nimi neskôr v problémy.
Ale čo ak je doménou definície určitej funkcie spojenie niekoľkých intervalov? Potom musíme vypočítať množiny hodnôt pre každý z týchto intervalov a skombinovať ich.
Príklad 7
podmienka: určiť, aký rozsah hodnôt bude y = x x - 2.
Riešenie
Keďže menovateľ funkcie by nemal byť otočený na 0, potom D (y) = - ∞; 2*2; + ∞ .
Začnime definovaním množiny funkčných hodnôt na prvom segmente - ∞; 2, čo je otvorený nosník. Vieme, že funkcia na nej bude klesať, to znamená, že derivácia tejto funkcie bude záporná.
lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
Potom v prípadoch, keď sa argument zmení smerom k mínus nekonečnu, sa hodnoty funkcie asymptoticky priblížia k 1. Ak sa hodnoty x zmenia z mínus nekonečna na 2, potom sa hodnoty znížia z 1 na mínus nekonečno, t.j. funkcia na tomto segmente bude nadobúdať hodnoty z intervalu - ∞; 1. Z nášho uvažovania vylučujeme jednotu, pretože hodnoty funkcie ju nedosahujú, ale iba asymptoticky sa k nej približujú.
Pre otvorený nosník 2; + ∞ vykonávame presne tie isté akcie. Funkcia na ňom tiež klesá:
lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
Hodnoty funkcie na danom segmente sú určené množinou 1; + ∞ . To znamená, že rozsah hodnôt, ktoré potrebujeme pre funkciu špecifikovanú v podmienke, bude zjednotením množín - ∞ ; 1 a 1; + ∞ .
odpoveď: E (y) = - ∞; 1*1; + ∞ .
Toto je možné vidieť na grafe:
Špeciálnym prípadom sú periodické funkcie. Ich rozsah hodnôt sa zhoduje s množinou hodnôt v intervale, ktorý zodpovedá obdobiu tejto funkcie.
Príklad 8
podmienka: určiť rozsah hodnôt sínus y = sin x.
Riešenie
Sínus je periodická funkcia a jej perióda je 2 pi. Vezmite segment 0; 2 π a uvidíte, aká bude množina hodnôt na ňom.
y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z
V rámci 0 ; 2 π funkcia bude mať extrémne body π 2 a x = 3 π 2. Vypočítajme, čomu sa v nich budú rovnať funkčné hodnoty, ako aj na hraniciach segmentu, a potom vyberieme najväčšiu a najmenšiu hodnotu.
y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = sin π 2 = 1
odpoveď: E (sin x) = -1; 1.
Ak potrebujete poznať rozsahy funkcií, ako je mocnina, exponenciálna, logaritmická, goniometrická, inverzná goniometrická, odporúčame vám znovu si prečítať článok o základných elementárnych funkciách. Teória, ktorú tu uvádzame, nám umožňuje overiť hodnoty tam uvedené. Je vhodné sa ich naučiť, pretože sú často potrebné pri riešení problémov. Ak poznáte rozsahy základných funkcií, môžete ľahko nájsť rozsahy funkcií, ktoré sú získané z elementárnych pomocou geometrickej transformácie.
Príklad 9
podmienka: určiť rozsah hodnôt y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .
Riešenie
Vieme, že segment od 0 do pi je rozsah kosínusu oblúka. Inými slovami, E (a rc cos x) = 0; π alebo 0 ≤ a rc cos x ≤ π . Funkciu a r c cos x 3 + 5 π 7 dostaneme z arkuskosínusu jeho posunutím a natiahnutím pozdĺž osi O x, no takéto transformácie nám nič nedajú. To znamená 0 ≤ a rc cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .
Funkciu 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 možno získať z arc cosínusu a r c cos x 3 + 5 π 7 natiahnutím pozdĺž osi y, t.j. 0 ≤ 3 a rc cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π. Konečnou transformáciou je posun pozdĺž osi O y o 4 hodnoty. V dôsledku toho dostaneme dvojitú nerovnosť:
0 - 4 ≤ 3 arc cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
Zistili sme, že rozsah hodnôt, ktoré potrebujeme, sa bude rovnať E (y) = - 4; 3 π-4.
odpoveď: E(y) = -4; 3 π-4.
Ďalší príklad napíšeme bez vysvetlenia, pretože je úplne podobný predchádzajúcemu.
Príklad 10
podmienka: vypočítajte, aký bude rozsah funkcie y = 2 2 x - 1 + 3.
Riešenie
Prepíšme funkciu zadanú v podmienke ako y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3. Pre mocninovú funkciu y = x - 1 2 bude rozsah hodnôt definovaný na intervale 0; + ∞, t.j. x-12 > 0. V tomto prípade:
2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3
Takže E(y) = 3; + ∞ .
odpoveď: E(y) = 3; + ∞ .
Teraz sa pozrime na to, ako nájsť rozsah hodnôt funkcie, ktorá nie je spojitá. Aby sme to dosiahli, musíme rozdeliť celú oblasť na intervaly a nájsť sady hodnôt v každom z nich a potom to, čo získame, spojiť. Aby ste tomu lepšie porozumeli, odporúčame vám prečítať si hlavné typy bodov prerušenia funkcií.
Príklad 11
podmienka: daná funkcia y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Vypočítajte jeho rozsah hodnôt.
Riešenie
Táto funkcia je definovaná pre všetky hodnoty x. Analyzujme to z hľadiska kontinuity pre hodnoty argumentov rovné - 3 a 3:
lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 hriech x 2 - 4 = 2 hriech - 3 2 - 4 = - 2 hriech 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)
Máme neodstrániteľnú diskontinuitu prvého druhu s hodnotou argumentu - 3. Keď sa k tomu priblížime, hodnoty funkcie majú tendenciu k -2 sin 3 2 - 4 a keď x má tendenciu k -3 na pravej strane, hodnoty budú mať tendenciu k -1.
lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
V bode 3 máme neodstrániteľnú diskontinuitu druhého druhu. Keď má funkcia tendenciu k nej, jej hodnoty sa blížia - 1, keď smeruje k rovnakému bodu vpravo - k mínus nekonečnu.
To znamená, že celý definičný obor tejto funkcie je rozdelený na 3 intervaly (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).
V prvom z nich sme dostali funkciu y = 2 sin x 2 - 4. Pretože - 1 ≤ sin x ≤ 1, dostaneme:
1 ≤ hriech x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
To znamená, že na danom intervale (- ∞ ; - 3 ] je množina funkčných hodnôt [ - 6 ; 2 ] .
Na polovičnom intervale (- 3; 3 ] je výsledkom konštantná funkcia y = - 1. Následne sa celá množina jej hodnôt v tomto prípade zredukuje na jedno číslo - 1.
V druhom intervale 3; + ∞ máme funkciu y = 1 x - 3 . Klesá, pretože y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
To znamená, že množina hodnôt pôvodnej funkcie pre x > 3 je množina 0; + ∞ . Teraz spojme výsledky: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; + ∞ .
odpoveď: E(y) = -6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; + ∞ .
Riešenie je znázornené v grafe:
Príklad 12
Podmienka: existuje funkcia y = x 2 - 3 e x. Určte množinu jeho hodnôt.
Riešenie
Je definovaný pre všetky hodnoty argumentov, ktoré sú skutočnými číslami. Určme, v ktorých intervaloch bude táto funkcia narastať a v ktorých bude klesať:
y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x
Vieme, že derivácia bude 0, ak x = - 1 a x = 3. Umiestnime tieto dva body na os a zistíme, aké znamienka bude mať derivácia na výsledných intervaloch.
Funkcia sa zníži o (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ ) a zvýši o [ - 1 ; 3]. Minimálny bod bude - 1, maximálny - 3.
Teraz nájdime zodpovedajúce hodnoty funkcií:
y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3
Pozrime sa na správanie funkcie v nekonečne:
lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0
Na výpočet druhého limitu sa použilo L'Hopitalovo pravidlo. Znázornime si priebeh nášho riešenia na grafe.
Ukazuje, že hodnoty funkcie sa znížia z plus nekonečna na -2 e, keď sa argument zmení z mínus nekonečna na -1. Ak sa zmení z 3 na plus nekonečno, hodnoty sa znížia z 6 e - 3 na 0, ale 0 sa nedosiahne.
Teda E(y) = [-2e; + ∞).
odpoveď: E(y) = [-2e; + ∞)
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Definícia: Číselná funkcia je korešpondencia, ktorá spája každé číslo x z určitej množiny s jedným číslom y.
Označenie:
kde x je nezávislá premenná (argument), y je závislá premenná (funkcia). Množina hodnôt x sa nazýva doména funkcie (označená D(f)). Množina hodnôt y sa nazýva rozsah hodnôt funkcie (označuje sa E(f)). Graf funkcie je množina bodov v rovine so súradnicami (x, f(x))
Metódy určenia funkcie.
- analytická metóda (pomocou matematického vzorca);
- tabuľková metóda (pomocou tabuľky);
- deskriptívna metóda (pomocou slovného opisu);
- grafická metóda (pomocou grafu).
Základné vlastnosti funkcie.
1. Párne a nepárne
Funkcia sa volá aj keď
– definičný obor funkcie je symetrický k nule
f(-x) = f(x)
Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi 0r
Funkcia sa nazýva nepárne, ak
– definičný obor funkcie je symetrický k nule
– pre ľubovoľné x z oblasti definície f(-x) = –f(x)
Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.
2. Frekvencia
Funkcia f(x) sa nazýva periodická s bodkou, ak pre ľubovoľné x z definičnej oblasti f(x) = f(x+T) = f(x-T) .
Graf periodickej funkcie pozostáva z neobmedzene sa opakujúcich identických fragmentov.
3. Monotónnosť (narastajúca, klesajúca)
Funkcia f(x) je rastúca na množine P, ak pre ľubovoľné x 1 a x 2 z tejto množiny tak, že x 1
Funkcia f(x) klesá na množine P ak pre ľubovoľné x 1 a x 2 z tejto množiny tak, že x 1 f(x 2) .
4. Extrémy
Bod X max sa nazýva maximálny bod funkcie f(x), ak pre všetky x z nejakého okolia X max je splnená nerovnosť f(x) f(X max).
Hodnota Y max =f(X max) sa nazýva maximum tejto funkcie.
X max – maximálny bod
Pri max - maxime
Bod X min sa nazýva minimálny bod funkcie f(x), ak pre všetky x z nejakého okolia X min je splnená nerovnosť f(x) f(X min).
Hodnota Y min =f(X min) sa nazýva minimum tejto funkcie.
X min – minimálny bod
Y min – minimum
X min , X max – extrémne body
Y min , Y max – extrémy.
5. Nuly funkcie
Nula funkcie y = f(x) je hodnota argumentu x, pri ktorej sa funkcia stáva nulou: f(x) = 0.
X 1, X 2, X 3 – nuly funkcie y = f(x).
Úlohy a testy na tému "Základné vlastnosti funkcie"
- Vlastnosti funkcie - Numerické funkcie 9. ročník
Lekcie: 2 Zadania: 11 Testy: 1
- Vlastnosti logaritmov - Exponenciálne a logaritmické funkcie 11. stupeň
Lekcie: 2 Zadania: 14 Testov: 1
- Funkcia druhej odmocniny, jej vlastnosti a graf - Funkcia druhej odmocniny. Vlastnosti druhej odmocniny triedy 8
Lekcie: 1 Zadania: 9 Testy: 1
- Mocninné funkcie, ich vlastnosti a grafy - Stupne a korene. Výkonové funkcie stupeň 11
Lekcie: 4 Zadania: 14 Testy: 1
- Funkcie - Dôležité témy pre opakovanie Jednotnej štátnej skúšky z matematiky
Úlohy: 24
Po preštudovaní tejto témy by ste mali byť schopní nájsť doménu definície rôznych funkcií, určiť intervaly monotónnosti funkcie pomocou grafov a preskúmať funkcie na párnosť a nepárnosť. Uvažujme o riešení podobných problémov pomocou nasledujúcich príkladov.
Príklady.
1. Nájdite definičný obor funkcie.
Riešenie: doména definície funkcie sa zistí z podmienky
1) Funkčná oblasť a funkčný rozsah.
Doména funkcie je množina všetkých platných hodnôt argumentov x(premenná x), pre ktoré je funkcia y = f(x) určený. Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt r, ktorú funkcia akceptuje.
V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.
2) Funkčné nuly.
Funkcia nula je hodnota argumentu, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.
3) Intervaly konštantného znamienka funkcie.
Intervaly konštantného znamienka funkcie sú množiny hodnôt argumentov, v ktorých sú hodnoty funkcie iba kladné alebo záporné.
4) Monotónnosť funkcie.
Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.
Klesajúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšej hodnote argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšia hodnota funkcie.
5) Párna (nepárna) funkcia.
Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = f(x).
Graf párnej funkcie je symetrický podľa ordináty. X Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný z oblasti definície platí rovnosť f(-x) = - f(x
)..
Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.
6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.
Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x. Ak takéto číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.
19. Základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy. Aplikácia funkcií v ekonomike.
Základné elementárne funkcie. Ich vlastnosti a grafy
1. Lineárna funkcia.
Lineárna funkcia sa nazýva funkcia tvaru , kde x je premenná, a a b sú reálne čísla.
číslo A nazývaná sklon priamky, rovná sa dotyčnici uhla sklonu tejto priamky ku kladnému smeru osi x. Graf lineárnej funkcie je priamka. Je definovaný dvoma bodmi.
Vlastnosti lineárnej funkcie
1. Definičný obor - množina všetkých reálnych čísel: D(y)=R
2. Množina hodnôt je množina všetkých reálnych čísel: E(y)=R
3. Funkcia nadobúda nulovú hodnotu, keď alebo.
4. Funkcia rastie (klesá) v celom definičnom obore.
5. Lineárna funkcia je spojitá v celom definičnom obore, diferencovateľná a .
2. Kvadratická funkcia.
Volá sa funkcia tvaru, kde x je premenná, koeficienty a, b, c sú reálne čísla kvadratický
Funkcia y=f(x) je taká závislosť premennej y od premennej x, kedy každej platnej hodnote premennej x zodpovedá jedna hodnota premennej y.
Doména definície funkcií D(f) je množina všetkých možných hodnôt premennej x.
Rozsah funkcií E(f) je množina všetkých prípustných hodnôt premennej y.
Graf funkcie y=f(x) je množina bodov v rovine, ktorých súradnice spĺňajú danú funkčnú závislosť, teda body tvaru M (x; f(x)). Grafom funkcie je určitá priamka v rovine.
Ak b=0, funkcia bude mať tvar y=kx a bude volaná priama úmernosť.
D(f) : x \v R;\medzera E(f) : y \v R
Graf lineárnej funkcie je priamka.
Sklon k priamky y=kx+b sa vypočíta podľa tohto vzorca:
k= tan \alpha, kde \alpha je uhol sklonu priamky ku kladnému smeru osi Ox.
1) Funkcia monotónne rastie pre k > 0.
Napríklad: y=x+1
2) Funkcia monotónne klesá ako k< 0 .
Napríklad: y=-x+1
3) Ak k = 0, potom pri ľubovoľných hodnotách b dostaneme skupinu priamych čiar rovnobežných s osou Ox.
Napríklad: y=-1
Inverzná úmernosť
Inverzná úmernosť nazývaná funkcia formulára y=\frac (k)(x), kde k je nenulové reálne číslo
D(f) : x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \v \ľavo \(R/y \neq 0 \vpravo \).
Funkčný graf y=\frac (k)(x) je hyperbola.
1) Ak k > 0, potom sa graf funkcie bude nachádzať v prvej a tretej štvrtine súradnicovej roviny.
Napríklad: y=\frac(1)(x)
2) Ak k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.
Napríklad: y=-\frac(1)(x)
Funkcia napájania
Funkcia napájania je funkciou tvaru y=x^n, kde n je nenulové reálne číslo
1) Ak n=2, potom y=x^2. D(f): x v R; \: E(f) : y \in; hlavná perióda funkcie T=2 \pi