Vodopádová litografia. Maurits Escher - majster optických ilúzií
Maurits Escher je vynikajúci holandský grafik známy svojimi dielami po celom svete. V centre, v múzeu, otvorenom v roku 2002 a pomenovanom po ňom „Escher in het Paleis“, je otvorená stála výstava 130 diel majstra. Povedali by ste, že grafika je nudná? Možno... možno sa to dá povedať o dielach grafikov, ale nie o Escherovi. Umelec je známy nezvyčajným videním sveta a hraním sa s logikou priestoru.
Escherove fantastické rytiny v doslovnom zmysle slova možno vnímať ako grafické znázornenie teórie relativity. Diela, ktoré zobrazujú nemožné postavy a premeny, sú doslova hypnotizujúce a nepodobajú sa ničomu inému.
Maurits Escher bol skutočným majstrom hádaniek a jeho optické ilúzie ukazujú veci, ktoré v skutočnosti neexistujú. V jeho obrazoch sa všetko mení, plynulo prechádza z jednej formy do druhej, schodisko nemá začiatok ani koniec a voda tečie nahor. Niekto zvolá - to nemôže byť! Presvedčte sa sami.
Slávny obraz „Deň a noc“
„Výstup a zostup“, kde ľudia vždy chodia po schodoch... alebo dole?
"Plazy" - tu sa aligátory menia z nakreslených na trojrozmerné...
„Kresliace ruky“ - v ktorých sa dve ruky navzájom kreslia.
"stretnutie"
"Ruka s reflexnou loptičkou"
Hlavnou perlou múzea je Escherovo 7-metrové dielo „Metamorfózy“. Táto rytina vám umožní zažiť spojenie medzi večnosťou a nekonečnosťou, kde sa čas a priestor spájajú do jedného.
Múzeum sa nachádza v bývalom Zimnom paláci kráľovnej Emmy, prababičky teraz vládnucej kráľovnej Beatrix. Emma kúpila palác v roku 1896 a žila v ňom až do svojej smrti v máji 1934. V dvoch sálach múzea, ktoré sa nazývajú „Kráľovské izby“, sa zachoval nábytok a fotografie kráľovnej Emmy a na záclonách sú informácie o interiéri paláca tých čias.
Na najvyššom poschodí múzea je interaktívna výstava „Look Like Escher“. Toto je skutočný magický svet ilúzií. V magickej guli sa svety objavujú a miznú, steny sa pohybujú a menia a deti vyzerajú vyššie ako ich rodičia. O kúsok ďalej je nezvyčajná podlaha, ktorá sa pod každým krokom opticky prepadá a v striebornej guli sa vidíte Escherovými očami.
Maurits Cornelis Escher je holandský grafik, ktorý zožal úspechy svojimi konceptuálnymi litografiami, drevorytinami a kovorytinami, ako aj ilustráciami kníh, poštových známok, fresiek a tapisérií. Najvýraznejší predstaviteľ imp artu (obraz nemožných postáv).
Maurits Escher sa narodil v Holandsku v meste Luvander v rodine inžiniera Georga Arnolda Eschera a dcéry ministerky Sarah Adriany Gleichman-Escher. Maurits bol najmladším a štvrtým dieťaťom v rodine. Keď mal 5 rokov, celá rodina sa presťahovala do Arnhemu, kde prežil väčšinu svojej mladosti. Počas nástupu na strednú školu budúci umelec úspešne neuspel na skúškach, na ktoré bol poslaný na Školu architektúry a dekoratívneho umenia v Haarleme. Keď bol Maurits Escher v novej škole, pokračoval v rozvíjaní svojich tvorivých schopností a súčasne ukázal niektoré kresby a linoryty svojmu učiteľovi Samuelovi Jessernovi, ktorý ho inšpiroval, aby pokračoval v práci v dekoratívnom žánri. Následne Escher oznámil svojmu otcovi, že chce študovať dekoratívne umenie a architektúra ho prakticky nezaujíma.
Po ukončení štúdia odišiel Maurits Escher cestovať po Taliansku, kde sa stretol so svojou budúcou manželkou Jettou Wimker. Mladý pár sa usadil v Ríme, kde žili až do roku 1935. Počas celej tejto doby Escher pravidelne cestoval po Taliansku a robil kresby a náčrty. Mnohé z nich boli neskôr použité ako podklad pre tvorbu drevorytín.
Koncom 20-tych rokov sa Escher stal v Holandsku veľmi populárnym a túto skutočnosť do značnej miery ovplyvnili umelcovi rodičia. V roku 1929 usporiadal päť výstav v Holandsku a Švajčiarsku, ktoré získali celkom lichotivé recenzie od kritikov. V tomto období sa Escherove obrazy najskôr nazývali mechanické a „logické“. V roku 1931 sa umelec obrátil na drevotlač. Bohužiaľ, úspech umelca mu nepriniesol veľa peňazí a často sa obrátil na svojho otca so žiadosťou o finančnú pomoc. Jeho rodičia počas celého života podporovali Mauritsa Eschera vo všetkých jeho snahách, takže keď mu v roku 1939 zomrel otec a o rok neskôr matka, Escher sa necítil najlepšie.
V roku 1946 sa umelec začal zaujímať o technológiu hĺbkotlače, ktorá sa vyznačovala určitou zložitosťou pri vykonávaní. Z tohto dôvodu Escher do roku 1951 skompletizoval iba sedem tlačí mezzotintovým spôsobom a už v tejto technike nepracoval. V roku 1949 Escher a ďalší dvaja umelci zorganizovali veľkú výstavu svojich grafických prác v Rotterdame, po sérii publikácií, o ktorých sa Escher stal známym nielen v Európe, ale aj v USA. Pokračoval v práci vo zvolenom duchu a vytváral stále viac nových a niekedy nečakaných umeleckých diel.
Jedným z najvýznamnejších diel Eschera je litografia „Vodopád“, založená na nemožnom trojuholníku. Vodopád plní úlohu stroja večného pohybu a veže sa zdajú byť rovnako vysoké, hoci jedna z nich je o poschodie menšia ako druhá. Escherove dve následné rytiny nemožných postáv, Belvedere a Descending and Ascending, vznikli v rokoch 1958 až 1961. Medzi veľmi zaujímavé diela patria aj rytiny „Hore a dole“, „Relativita“, „Metamorfózy I“, „Premeny II“, „Premeny III“ (najväčšie dielo má 48 metrov), „Obloha a voda“ alebo „Plazy“ .
V júli 1969 vytvoril Escher svoj posledný drevorez s názvom „Hady“. A 27. marca 1972 umelec zomrel na rakovinu čriev. Počas svojho života vytvoril Escher 448 litografií, rytín a drevorezieb a viac ako 2000 rôznych kresieb a náčrtov. Ďalšou zaujímavosťou bolo, že Escher bol rovnako ako mnohí jeho veľkí predchodcovia (Michelangelo, Leonardo da Vinci, Dürer a Holben) ľavák.
Matematické umenie Moritza Eschera 28. februára 2014
Originál prevzatý z imit_omsu v knihe Matematické umenie Moritza Eschera
„Matematici otvorili dvere vedúce do iného sveta, ale sami sa neodvážili vstúpiť do tohto sveta. Viac ich zaujíma cesta, na ktorej stoja dvere, ako záhrada, ktorá za nimi leží.“
(M.C. Escher)
Litografia "Ruka so zrkadlovou guľou", autoportrét.
Maurits Cornelius Escher je holandský grafik, ktorého pozná každý matematik.
Zápletky Escherových diel sa vyznačujú vtipným chápaním logických a plastických paradoxov.
Je známy predovšetkým svojimi prácami, v ktorých využíval rôzne matematické pojmy – od limity a Möbiovho pásu až po Lobačevského geometriu.
Drevorez "Červené mravce".
Maurits Escher nezískal žiadne špeciálne matematické vzdelanie. Ale od samého začiatku svojej tvorivej kariéry sa zaujímal o vlastnosti priestoru a študoval jeho nečakané stránky.
"Vazby jednoty"
Escher často fušoval do kombinácií 2-dimenzionálneho a 3-dimenzionálneho sveta. 
Litografia "Ruky kreslenia".
Litografia "Plazy".
Teselácie.
Teselácia je rozdelenie roviny na rovnaké obrazce. Na štúdium tohto druhu rozdelenia sa tradične používa koncept skupiny symetrie. Predstavme si rovinu, na ktorej je nakreslená nejaká teselácia. Rovina sa môže otáčať okolo ľubovoľnej osi a posúvať. Posun je určený vektorom posunu a otočenie je určené stredom a uhlom. Takéto premeny sa nazývajú pohyby. Hovorí sa, že ten alebo ten pohyb je symetria, ak sa po ňom obklad zmení na seba.
Zoberme si napríklad rovinu rozdelenú na rovnaké štvorce – nekonečný list kockovaného zošita vo všetkých smeroch. Ak sa takáto rovina otočí o 90 stupňov (180, 270 alebo 360 stupňov) okolo stredu ľubovoľného štvorca, obklad sa zmení na seba. Tiež sa transformuje do seba, keď sa posunie o vektor rovnobežný s jednou zo strán štvorcov. Dĺžka vektora musí byť násobkom strany štvorca.
V roku 1924 geometer George Pólya (pred presťahovaním sa do USA György Pólya) publikoval prácu o teselačných skupinách symetrie, v ktorej dokázal pozoruhodnú skutočnosť (hoci ju už v roku 1891 objavil ruský matematik Evgraf Fedorov a neskôr na ňu šťastne zabudol): existuje iba 17 skupinových symetrií, ktoré zahŕňajú posuny najmenej v dvoch rôznych smeroch. V roku 1936 Escher, ktorý sa zaujímal o maurské vzory (z geometrického hľadiska variant obkladu), prečítal Pólyovu prácu. Napriek tomu, že podľa vlastného priznania nerozumel všetkej matematike za prácou, Escher dokázal zachytiť jej geometrickú podstatu. Výsledkom bolo, že na základe všetkých 17 skupín vytvoril Escher viac ako 40 diel.
Mozaika.
Drevorez "Deň a noc".
"Pravidelné obkladanie roviny IV".
Drevorez "Nebo a voda".
Teselácie. Skupina je jednoduchá, generujúca: posuvná symetria a paralelný prenos. Ale dlažba je úžasná. A v kombinácii s Mobius Strip je to. 
Drevorez "Jazdci".
Ďalšia variácia na tému plochého a objemového sveta a teselácií. 
Litografia "Magické zrkadlo".
Escher bol priateľom s fyzikom Rogerom Penrosom. Vo svojom voľnom čase z fyziky trávil Penrose čas riešením matematických hádaniek. Jedného dňa prišiel s nasledujúcou myšlienkou: ak si predstavíme teseláciu pozostávajúcu z viacerých figúrok, bola by jej skupina symetrií odlišná od tých, ktoré opísal Pólya? Ako sa ukázalo, odpoveď na túto otázku je kladná – tak sa zrodila Penroseova mozaika. V 80. rokoch sa zistilo, že súvisí s kvázikryštálmi (Nobelova cena za chémiu 2011).
Escher však nemal čas (alebo možno nechcel) túto mozaiku použiť vo svojej tvorbe. (Ale existuje úplne úžasná mozaika od Penrosa, „Penroseove kurčatá“, nenamaľoval ich Escher.)
Lobačevského lietadlo.
Piatym v zozname axióm v Euklidových prvkoch v Heibergovej rekonštrukcii je toto tvrdenie: ak priamka pretínajúca dve priamky vytvára vnútorné jednostranné uhly menšie ako dva pravé uhly, potom sa tieto dve priamky, predĺžené na neurčito, stretnú na strana, kde sú uhly menšie ako dva pravé uhly. V modernej literatúre sa uprednostňuje ekvivalentná a elegantnejšia formulácia: bodom, ktorý neleží na priamke, prechádza priamka rovnobežná s danou, navyše len jedna. Ale aj v tejto formulácii vyzerá axióma, na rozdiel od ostatných Euklidových postulátov, ťažkopádne a mätúce – preto sa vedci už dvetisíc rokov snažia odvodiť toto tvrdenie z iných axióm. To je v skutočnosti zmeniť postulát na vetu.
V 19. storočí sa o to pokúsil matematik Nikolaj Lobačevskij protirečením: predpokladal, že postulát je nesprávny a pokúsil sa rozpor objaviť. Ale to sa nenašlo - a v dôsledku toho Lobačevskij postavil novú geometriu. V nej bodom, ktorý neleží na priamke, prechádza nekonečné množstvo rôznych priamok, ktoré sa s danou nepretínajú. Lobačevskij nebol prvý, kto objavil túto novú geometriu. Bol však prvý, kto sa to rozhodol verejne vyhlásiť – za čo sa mu samozrejme smiali.
K posmrtnému uznaniu Lobačevského diela došlo okrem iného aj vďaka objaveniu sa modelov jeho geometrie – sústav objektov na obyčajnej euklidovskej rovine, ktoré spĺňali všetky Euklidove axiómy, s výnimkou piateho postulátu. Jeden z týchto modelov navrhol matematik a fyzik Henri Poincaré v roku 1882 - pre potreby funkčnej a komplexnej analýzy.
Nech existuje kruh, ktorého hranicu nazývame absolútna. „Body“ v našom modeli budú vnútorné body kruhu. Úlohu „priamych čiar“ zohrávajú kruhy alebo priame čiary kolmé na absolútno (presnejšie ich oblúky spadajúce do kruhu). Skutočnosť, že piaty postulát neplatí pre takéto „priame“ línie, je takmer zrejmá. Skutočnosť, že zostávajúce postuláty sú pre tieto objekty splnené, je o niečo menej zrejmé, je to však tak.
Ukazuje sa, že v modeli Poincaré môžete určiť vzdialenosť medzi bodmi. Na výpočet dĺžky je potrebný koncept Riemannovej metriky. Jeho vlastnosti sú nasledovné: čím bližšie je pár bodov „priamky“ k absolútnemu bodu, tým väčšia je vzdialenosť medzi nimi. Uhly sú tiež definované medzi „priamkami“ - to sú uhly medzi dotyčnicami v priesečníku „priamok“.
Teraz sa vráťme k obkladom. Ako budú vyzerať, ak sa Poincarého model rozdelí na identické pravidelné polygóny (teda polygóny so všetkými rovnakými stranami a uhlami)? Napríklad polygóny by sa mali zmenšovať, čím bližšie sú k absolútnu. Túto myšlienku realizoval Escher v sérii diel „The Limit Circle“. Holanďan však nepoužil bežné priečky, ale ich symetrickejšie verzie. Prípad, keď sa ukázalo, že krása je dôležitejšia ako matematická presnosť.
Drevorez "Limit - Kruh II".
Drevorez "Limit - Kruh III".
Drevorez "Nebo a peklo".
Nemožné postavy.
Nemožné postavy sa zvyčajne nazývajú špeciálne optické ilúzie - zdajú sa byť obrazom nejakého trojrozmerného objektu v rovine. Ale pri bližšom skúmaní sa v ich štruktúre odhalia geometrické rozpory. Nemožné postavy sú zaujímavé nielen pre matematikov, ale aj pre odborníkov na dizajn.
Prastarým otcom nemožných figúrok je takzvaná Neckerova kocka, známy obraz kocky v lietadle. Navrhol to švédsky kryštalograf Louis Necker v roku 1832. Na tomto obrázku je to, že sa dá interpretovať rôznymi spôsobmi. Napríklad roh označený na tomto obrázku červeným kruhom nám môže byť zo všetkých rohov kocky najbližší, alebo naopak, najvzdialenejší.
Prvé skutočne nemožné postavy ako také vytvoril ďalší švédsky vedec Oskar Rutersvärd v 30. rokoch 20. storočia. Najmä prišiel s myšlienkou zostaviť trojuholník z kociek, ktoré v prírode nemôžu existovať. Nezávisle od Rutherswarda publikoval už spomínaný Roger Penrose spolu so svojím otcom Lionelom Penrosom v British Journal of Psychology článok s názvom „Impossible Objects: A Special Type of Optical Illusions“ (1956). Penrosovci v ňom navrhli dva takéto objekty – Penrosov trojuholník (pevná verzia Rutherswardovho návrhu kociek) a Penroseovo schodisko. Ako inšpiráciu pre svoju tvorbu označili Mauritsa Eschera.
Oba objekty – trojuholník aj schodisko – sa neskôr objavili na Escherových obrazoch.
Litografia "Relativita".
Litografia "Vodopád".
Litografia "Belvedere".
Litografia "Vzostup a zostup".
Ďalšie diela s matematickým významom:
Hviezdne mnohouholníky: 
Drevorez "Hviezdy".
Litografia "Kubické delenie priestoru".
Litografia "Povrch pokrytý vlnkami".
Litografia "Tri svety"
Toto Escherovo dielo zobrazuje paradox – padajúca voda vodopádu poháňa koleso, ktoré smeruje vodu na vrchol vodopádu. Vodopád má štruktúru „nemožného“ Penroseovho trojuholníka: litografia bola vytvorená na základe článku v British Journal of Psychology.
Konštrukciu tvoria tri priečniky naukladané na seba v pravom uhle. Vodopád v litografii funguje ako perpetum mobile. Podľa pohybu oka sa striedavo ukazuje, že obe veže sú identické a že veža napravo je o poschodie nižšia ako ľavá veža.
Napíšte recenziu na článok "Vodopád (litografia)"
Poznámky
Odkazy
- Oficiálna webová stránka: (anglicky)
Úryvok charakterizujúci vodopád (litografia)
- Žiadna neexistuje; boli vydané rozkazy na boj.Princ Andrei zamieril k dverám, spoza ktorých bolo počuť hlasy. Ale práve keď chcel otvoriť dvere, hlasy v miestnosti stíchli, dvere sa samé od seba otvorili a na prahu sa objavil Kutuzov s orlím nosom na bacuľatej tvári.
Princ Andrei stál priamo oproti Kutuzovovi; ale z výrazu jediného vidiaceho oka vrchného veliteľa bolo jasné, že myšlienky a obavy ho zamestnávali natoľko, že mu to zakrývalo zrak. Pozrel sa priamo do tváre svojho pobočníka a nepoznal ho.
- No, skončil si? – obrátil sa ku Kozlovskému.
- Hneď teraz, Vaša Excelencia.
Bagration, nízky muž s orientálnym typom pevnej a nehybnej tváre, suchý, ešte nie starý muž, nasledoval hlavného veliteľa.
"Mám tú česť objaviť sa," zopakoval princ Andrei dosť nahlas a podal obálku.
- Oh, z Viedne? Dobre. Po, po!
Kutuzov vyšiel s Bagrationom na verandu.
"Nuž, princ, zbohom," povedal Bagrationovi. - Kristus je s vami. Žehnám vám za tento skvelý čin.
Kutuzovova tvár zrazu zmäkla a v očiach sa mu objavili slzy. Ľavou rukou pritiahol Bagrationa k sebe a pravou rukou, na ktorej bol prsteň, ho zrejme známym gestom prekrížil a ponúkol mu bacuľaté líce, namiesto toho ho Bagration pobozkal na krk.