Zložité výrazy so zlomkami. Postup
Zlomok- forma znázornenia čísel v matematike. Zlomková čiara označuje operáciu delenia. Čitateľ zlomok sa nazýva dividenda a menovateľ- rozdeľovač. Napríklad v zlomku je čitateľ 5 a menovateľ 7.
Správne Zlomok, ktorého čitateľ je väčší ako menovateľ, sa nazýva zlomok. Ak je zlomok vlastný, modul jeho hodnoty je vždy menší ako 1. Všetky ostatné zlomky sú nesprávne.
Zlomok sa nazýva zmiešané, ak je zapísaný ako celé číslo a zlomok. Je to rovnaké ako súčet tohto čísla a zlomku:
Hlavná vlastnosť zlomku
Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia rovnakým číslom, hodnota zlomku sa nezmení, teda napr.
Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa
Ak chcete priviesť dva zlomky do spoločného menovateľa, potrebujete:
- Vynásobte čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého
- Vynásobte čitateľa druhého zlomku menovateľom prvého
- Nahraďte menovateľov oboch zlomkov ich súčinom
Operácie so zlomkami
Doplnenie. Na pridanie dvoch zlomkov potrebujete
- Pridajte nových čitateľov oboch zlomkov a ponechajte menovateľa nezmenený
Príklad:
Odčítanie. Ak chcete odčítať jeden zlomok od druhého, potrebujete
- Zmenšiť zlomky na spoločného menovateľa
- Odčítajte čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechajte menovateľa nezmenený
Príklad:
Násobenie. Ak chcete vynásobiť jeden zlomok druhým, vynásobte ich čitateľov a menovateľov:
divízie. Ak chcete rozdeliť jeden zlomok druhým, vynásobte čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého a vynásobte menovateľa prvého zlomku čitateľom druhého:
Ak chcete časť vyjadriť ako zlomok celku, musíte časť rozdeliť na celok.
Úloha 1. V triede je 30 žiakov, štyria chýbajú. Aký podiel študentov chýba?
Riešenie:
odpoveď: V triede nie sú žiadni študenti.
Nájdenie zlomku z čísla
Na riešenie problémov, v ktorých potrebujete nájsť časť celku, platí nasledujúce pravidlo:
Ak je časť celku vyjadrená ako zlomok, potom na nájdenie tejto časti môžete celok vydeliť menovateľom zlomku a výsledok vynásobiť jeho čitateľom.
Úloha 1. Bolo tam 600 rubľov, táto suma bola vynaložená. Koľko peňazí ste minuli?
Riešenie: aby sme našli 600 rubľov alebo viac, musíme túto sumu rozdeliť na 4 časti, čím zistíme, koľko peňazí je jedna štvrtá časť:
600:4 = 150 (r.)
odpoveď: strávil 150 rubľov.
Úloha 2. Bolo tam 1 000 rubľov, táto suma bola vynaložená. Koľko peňazí sa minulo?
Riešenie: z výpisu problému vieme, že 1000 rubľov pozostáva z piatich rovnakých častí. Najprv zistíme, koľko rubľov je jedna pätina z 1 000, a potom zistíme, koľko rubľov sú dve pätiny:
1) 1000: 5 = 200 (r.) - jedna pätina.
2) 200 · 2 = 400 (r.) - dve pätiny.
Tieto dve akcie možno kombinovať: 1 000: 5 · 2 = 400 (r.).
odpoveď: minulo sa 400 rubľov.
Druhý spôsob, ako nájsť časť celku:
Ak chcete nájsť časť celku, môžete celok vynásobiť zlomkom vyjadrujúcim túto časť celku.
Úloha 3. Podľa stanov družstva, aby bola ohlasovacia schôdza platná, musia byť prítomní aspoň členovia organizácie. Družstvo má 120 členov. V akom zložení sa môže uskutočniť spravodajské stretnutie?
Riešenie: 
odpoveď: spravodajská schôdza sa môže konať, ak má organizácia 80 členov.
Nájdenie čísla jeho zlomkom
Na riešenie problémov, v ktorých potrebujete nájsť celok z jeho časti, platí nasledujúce pravidlo:
Ak je časť požadovaného celku vyjadrená ako zlomok, potom na nájdenie tohto celku môžete túto časť vydeliť čitateľom zlomku a výsledok vynásobiť jeho menovateľom.
Úloha 1. Minuli sme 50 rubľov, čo bolo menej ako pôvodná suma. Nájdite pôvodnú sumu peňazí.
Riešenie: z popisu problému vidíme, že 50 rubľov je 6-krát menej ako pôvodná suma, t.j. pôvodná suma je 6-krát vyššia ako 50 rubľov. Ak chcete zistiť túto sumu, musíte vynásobiť 50 x 6:
50 · 6 = 300 (r.)
odpoveď: počiatočná suma je 300 rubľov.
Úloha 2. Minuli sme 600 rubľov, čo bolo menej ako pôvodná suma peňazí. Nájdite pôvodnú sumu.
Riešenie: Budeme predpokladať, že požadovaný počet pozostáva z troch tretín. Podľa podmienky sa dve tretiny čísla rovnajú 600 rubľov. Najprv nájdime jednu tretinu pôvodnej sumy a potom, koľko rubľov sú tri tretiny (pôvodná suma):
1) 600 : 2 3 = 900 (r.)
odpoveď: počiatočná suma je 900 rubľov.
Druhý spôsob, ako nájsť celok z jeho časti:
Ak chcete nájsť celok podľa hodnoty vyjadrujúcej jeho časť, môžete túto hodnotu vydeliť zlomkom vyjadrujúcim túto časť.
Úloha 3. Segment AB, rovná 42 cm, je dĺžka segmentu CD. Nájdite dĺžku segmentu CD.
Riešenie: 
odpoveď: dĺžka segmentu CD 70 cm.
Úloha 4. Do obchodu boli prinesené vodné melóny. Pred obedom obchod predal melóny, ktoré priniesol, a po obede ostalo na predaj 80 melónov. Koľko melónov ste priniesli do obchodu?
Riešenie: Najprv zistime, ktorá časť prinesených melónov je číslo 80. Aby sme to urobili, vezmime celkový počet prinesených melónov ako jeden a odpočítajme od neho počet melónov, ktoré boli predané (predané):
A tak sme sa dozvedeli, že 80 melónov tvorí celkový počet prinesených melónov. Teraz zistíme, koľko melónov z celkového množstva tvorí, a koľko melónov tvorí (počet prinesených melónov):
2) 80:4 15 = 300 (vodové melóny)
odpoveď: Celkovo bolo do predajne privezených 300 melónov.
Príklady so zlomkami sú jedným zo základných prvkov matematiky. Existuje mnoho rôznych typov rovníc so zlomkami. Nižšie sú uvedené podrobné pokyny na riešenie príkladov tohto typu.
Ako riešiť príklady so zlomkami – všeobecné pravidlá
Ak chcete vyriešiť príklady so zlomkami akéhokoľvek typu, či už ide o sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie, musíte poznať základné pravidlá:
- Ak chcete pridať zlomkové výrazy s rovnakým menovateľom (menovateľ je číslo umiestnené v spodnej časti zlomku, čitateľ je v hornej časti), musíte pridať ich čitateľov a menovateľa ponechať rovnaký.
- Ak chcete od jedného zlomku odčítať druhý zlomkový výraz (s rovnakým menovateľom), musíte odčítať ich čitateľov a menovateľa ponechať rovnaký.
- Ak chcete sčítať alebo odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte nájsť najnižšieho spoločného menovateľa.
- Ak chcete nájsť zlomkový produkt, musíte vynásobiť čitateľov a menovateľov a ak je to možné, znížiť.
- Ak chcete zlomok rozdeliť zlomkom, vynásobte prvý zlomok druhým obráteným zlomkom.
Ako riešiť príklady so zlomkami – precvičenie
Pravidlo 1, príklad 1:
Vypočítajte 3/4 + 1/4.
Podľa pravidla 1, ak majú dva (alebo viaceré) zlomky rovnakého menovateľa, jednoducho sčítate ich čitateľov. Dostaneme: 3/4 + 1/4 = 4/4. Ak má zlomok rovnaký čitateľ aj menovateľ, zlomok sa bude rovnať 1.
Odpoveď: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Pravidlo 2, príklad 1:
Vypočítajte: 3/4 – 1/4
Pomocou pravidla číslo 2 na vyriešenie tejto rovnice musíte odpočítať 1 od 3 a ponechať menovateľa rovnakého. Získame 2/4. Keďže dve 2 a 4 sa dajú zmenšiť, zredukujeme a dostaneme 1/2.
Odpoveď: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.
Pravidlo 3, príklad 1
Vypočítajte: 3/4 + 1/6
Riešenie: Pomocou 3. pravidla nájdeme najnižšieho spoločného menovateľa. Najmenší spoločný menovateľ je číslo, ktoré je deliteľné menovateľmi všetkých zlomkových výrazov v príklade. Potrebujeme teda nájsť minimálne číslo, ktoré bude deliteľné 4 aj 6. Toto číslo je 12. Ako menovateľ napíšeme 12 Vydelíme 12 menovateľom prvého zlomku, dostaneme 3, vynásobíme 3, napíšeme 3 v čitateli *3 a znamienko +. Vydelíme 12 menovateľom druhého zlomku, dostaneme 2, vynásobíme 2 1, do čitateľa napíšeme 2*1. Takže dostaneme nový zlomok s menovateľom rovným 12 a čitateľom rovným 3*3+2*1=11. 11/12.
Odpoveď: 11/12
Pravidlo 3, príklad 2:
Vypočítajte 3/4 – 1/6. Tento príklad je veľmi podobný predchádzajúcemu. Všetky kroky robíme rovnako, ale do čitateľa namiesto znamienka + napíšeme znamienko mínus. Získame: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.
Odpoveď: 7/12
Pravidlo 4, príklad 1:
Vypočítajte: 3/4 * 1/4
Pomocou štvrtého pravidla vynásobíme menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého a čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého. 3*1/4*4 = 3/16.
Odpoveď: 3/16
Pravidlo 4, Príklad 2:
Vypočítajte 2/5 * 10/4.
Táto frakcia sa môže znížiť. Pri súčine sa ruší čitateľ prvého zlomku a menovateľ druhého zlomku a čitateľ druhého zlomku a menovateľ prvého zlomku.
2 ruší od 4. 10 ruší od 5. Dostaneme 1 * 2/2 = 1*1 = 1.
Odpoveď: 2/5 * 10/4 = 1
Pravidlo 5, príklad 1:
Vypočítajte: 3/4: 5/6
Pomocou 5. pravidla dostaneme: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Zlomok zredukujeme podľa princípu predchádzajúceho príkladu a dostaneme 9/10.
Odpoveď: 9/10.
Ako riešiť príklady so zlomkami - zlomkové rovnice
Zlomkové rovnice sú príklady, kde menovateľ obsahuje neznámu. Na vyriešenie takejto rovnice musíte použiť určité pravidlá.
Pozrime sa na príklad:
Vyriešte rovnicu 15/3x+5 = 3
Pamätajme, že nulou sa deliť nedá, t.j. hodnota menovateľa nesmie byť nula. Pri riešení takýchto príkladov to treba uviesť. Na tento účel existuje OA (prípustný rozsah hodnôt).
Takže 3x+5 ≠ 0.
Preto: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
Pri x = 5/3 rovnica jednoducho nemá riešenie.
Po zadaní ODZ je najlepším spôsobom, ako vyriešiť túto rovnicu, zbaviť sa zlomkov. Aby sme to urobili, najprv uvedieme všetky nezlomkové hodnoty ako zlomok, v tomto prípade číslo 3. Dostaneme: 15/(3x+5) = 3/1. Aby ste sa zbavili zlomkov, musíte každý z nich vynásobiť najnižším spoločným menovateľom. V tomto prípade to bude (3x+5)*1. Postupnosť akcií:
- Vynásobte 15/(3x+5) číslom (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
- Otvorte zátvorky: 15*(3x+5) = 45x + 75.
- To isté urobíme s pravou stranou rovnice: 3*(3x+5) = 9x + 15.
- Prirovnajte ľavú a pravú stranu: 45x + 75 = 9x +15
- Posuňte X doľava, čísla doprava: 36x = – 50
- Nájdite x: x = -50/36.
- Znižujeme: -50/36 = -25/18
Odpoveď: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.
Ako riešiť príklady so zlomkami – zlomkové nerovnice
Pomocou číselnej osi sa riešia zlomkové nerovnosti typu (3x-5)/(2-x)≥0. Pozrime sa na tento príklad.
Postupnosť akcií:
- Čitateľ a menovateľ dávame rovnítko na nulu: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2 - Nakreslíme číselnú os a zapíšeme na ňu výsledné hodnoty.
- Nakreslite kruh pod hodnotou. Existujú dva typy kruhov - vyplnené a prázdne. Vyplnený kruh znamená, že daná hodnota je v rozsahu riešenia. Prázdny kruh znamená, že táto hodnota nie je zahrnutá v rozsahu riešení.
- Keďže menovateľ nemôže byť rovný nule, pod 2. bude prázdny kruh.
- Na určenie znamienok dosadíme do rovnice ľubovoľné číslo väčšie ako dva, napríklad 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. hodnota je záporná, čo znamená, že nad oblasť za dvojkou napíšeme mínus. Potom za X dosaďte ľubovoľnú hodnotu intervalu od 5/3 do 2, napríklad 1. Hodnota je opäť záporná. Píšeme mínus. To isté opakujeme s oblasťou umiestnenou do 5/3. Dosadíme ľubovoľné číslo menšie ako 5/3, napríklad 1. Opäť mínus.
- Keďže nás zaujímajú hodnoty x, pri ktorých bude výraz väčší alebo rovný 0, a takéto hodnoty neexistujú (všade sú mínusky), táto nerovnosť nemá riešenie, teda x = Ø (prázdna sada).
Odpoveď: x = Ø
Jednou z najvýznamnejších vied, ktorej uplatnenie môžeme vidieť v odboroch ako chémia, fyzika či dokonca biológia, je matematika. Štúdium tejto vedy vám umožňuje rozvíjať niektoré duševné vlastnosti a zlepšiť schopnosť koncentrácie. Jednou z tém, ktoré si v kurze Matematika zaslúžia osobitnú pozornosť, je sčítanie a odčítanie zlomkov. Pre mnohých študentov je štúdium ťažké. Možno vám náš článok pomôže lepšie pochopiť túto tému.
Ako odčítať zlomky, ktorých menovateľ je rovnaký
Zlomky sú rovnaké čísla, s ktorými môžete vykonávať rôzne operácie. Ich rozdiel od celých čísel spočíva v prítomnosti menovateľa. Preto pri vykonávaní operácií so zlomkami musíte študovať niektoré z ich vlastností a pravidiel. Najjednoduchším prípadom je odčítanie obyčajných zlomkov, ktorých menovateľmi sú rovnaké čísla. Vykonanie tejto akcie nebude ťažké, ak poznáte jednoduché pravidlo:
- Na odčítanie sekundy od jedného zlomku je potrebné odčítať čitateľa odčítaného zlomku od čitateľa zlomku, ktorý sa redukuje. Toto číslo zapíšeme do čitateľa rozdielu a menovateľa necháme rovnaký: k/m - b/m = (k-b)/m.
Príklady odčítania zlomkov, ktorých menovateľ je rovnaký
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
Od čitateľa zlomku „7“ odčítame čitateľa zlomku „3“, ktorý sa má odčítať, dostaneme „4“. Toto číslo zapíšeme do čitateľa odpovede a do menovateľa dáme rovnaké číslo, aké bolo v menovateli prvého a druhého zlomku - „19“.
Na obrázku nižšie je niekoľko ďalších podobných príkladov.
Uvažujme o zložitejšom príklade, kde sa odčítajú zlomky s podobnými menovateľmi:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
Z čitateľa zlomku „29“ sa zníži postupným odčítaním čitateľov všetkých nasledujúcich zlomkov - „3“, „8“, „2“, „7“. V dôsledku toho dostaneme výsledok „9“, ktorý zapíšeme do čitateľa odpovede a do menovateľa zapíšeme číslo, ktoré je v menovateľoch všetkých týchto zlomkov - „47“.
Sčítanie zlomkov, ktoré majú rovnaký menovateľ
Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov sa riadi rovnakým princípom.
- Ak chcete pridať zlomky, ktorých menovateľ je rovnaký, musíte pridať čitateľov. Výsledné číslo je čitateľom súčtu a menovateľ zostane rovnaký: k/m + b/m = (k + b)/m.
Pozrime sa, ako to vyzerá na príklade:
1/4 + 2/4 = 3/4.
K čitateľovi prvého člena zlomku - „1“ - pridajte čitateľa druhého člena zlomku - „2“. Výsledok - „3“ - sa zapíše do čitateľa súčtu a menovateľ zostane rovnaký ako v zlomkoch - „4“.
Zlomky s rôznymi menovateľmi a ich odčítanie
Už sme uvažovali o operácii so zlomkami, ktoré majú rovnaký menovateľ. Ako vidíte, s vedomím jednoduchých pravidiel je riešenie takýchto príkladov celkom jednoduché. Čo ak však potrebujete vykonať operáciu so zlomkami, ktoré majú rôznych menovateľov? Mnoho stredoškolákov je z takýchto príkladov zmätených. Ale aj tu platí, že ak poznáte princíp riešenia, príklady už pre vás nebudú ťažké. Existuje tu aj pravidlo, bez ktorého je riešenie takýchto zlomkov jednoducho nemožné.
- 2/3 - v menovateli chýba jedna trojka a jedna dvojka:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 alebo 7/(3 x 3) - v menovateli chýba dvojka:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 alebo 5/(2 x 3) - v menovateli chýba trojka:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - Číslo 18 sa skladá z 3 x 2 x 3.
- Číslo 15 sa skladá z 5 x 3.
- Spoločným násobkom budú tieto faktory: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 delené 15. Výsledné číslo „6“ bude násobiteľom 3/15.
- 90 delené 18. Výsledné číslo „5“ bude násobiteľom 4/18.
- Preveďte všetky zlomky, ktoré majú celočíselnú časť, na nesprávne. Jednoducho povedané, odstráňte celú časť. Za týmto účelom vynásobte číslo celočíselnej časti menovateľom zlomku a výsledný produkt pridajte do čitateľa. Číslo, ktoré po týchto akciách vyjde, je čitateľom nesprávneho zlomku. Menovateľ zostáva nezmenený.
- Ak majú zlomky rôznych menovateľov, mali by sa zredukovať na rovnakého menovateľa.
- Vykonajte sčítanie alebo odčítanie s rovnakými menovateľmi.
- Pri prijímaní nesprávnej frakcie vyberte celú časť.
Ak chcete odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musia sa zredukovať na rovnaký najmenší menovateľ.
Budeme hovoriť podrobnejšie o tom, ako to urobiť.
Vlastnosť zlomku
Ak chcete priviesť niekoľko zlomkov do rovnakého menovateľa, musíte v riešení použiť hlavnú vlastnosť zlomku: po vydelení alebo vynásobení čitateľa a menovateľa rovnakým číslom dostanete zlomok rovný danému.
Napríklad zlomok 2/3 môže mať menovateľov ako „6“, „9“, „12“ atď., To znamená, že môže mať tvar ľubovoľného čísla, ktoré je násobkom „3“. Po vynásobení čitateľa a menovateľa „2“ dostaneme zlomok 4/6. Po vynásobení čitateľa a menovateľa pôvodného zlomku „3“ dostaneme 6/9 a ak vykonáme podobnú operáciu s číslom „4“, dostaneme 8/12. Jedna rovnosť môže byť napísaná takto:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
Ako previesť viaceré zlomky na rovnaký menovateľ
Pozrime sa, ako zredukovať viaceré zlomky na rovnaký menovateľ. Zoberme si napríklad zlomky zobrazené na obrázku nižšie. Najprv musíte určiť, ktoré číslo sa môže stať menovateľom všetkých z nich. Aby sme to uľahčili, rozložme existujúcich menovateľov.
Menovateľ zlomku 1/2 a zlomku 2/3 nemožno rozdeliť na faktor. Menovateľ 7/9 má dva faktory 7/9 = 7/(3 x 3), menovateľ zlomku 5/6 = 5/(2 x 3). Teraz musíme určiť, ktoré faktory budú najmenšie pre všetky tieto štyri zlomky. Keďže prvý zlomok má v menovateli číslo „2“, znamená to, že musí byť prítomný vo všetkých menovateľoch v zlomku 7/9 sú dve trojice, čo znamená, že v menovateli musia byť aj obe. Berúc do úvahy vyššie uvedené, určíme, že menovateľ pozostáva z troch faktorov: 3, 2, 3 a rovná sa 3 x 2 x 3 = 18.
Zoberme si prvý zlomok - 1/2. V menovateli je „2“, ale nie je tam ani jedna číslica „3“, ale mali by byť dve. Aby sme to dosiahli, vynásobíme menovateľa dvoma trojitami, ale podľa vlastnosti zlomku musíme vynásobiť čitateľa dvoma trojitami:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
Rovnaké operácie vykonávame so zvyšnými frakciami.
Všetko spolu to vyzerá takto:
Ako odčítať a sčítať zlomky, ktoré majú rôznych menovateľov
Ako už bolo spomenuté vyššie, na sčítanie alebo odčítanie zlomkov, ktoré majú rôznych menovateľov, je potrebné ich zredukovať na rovnakého menovateľa a potom použiť pravidlá na odčítanie zlomkov, ktoré majú rovnakého menovateľa, o ktorých už bola reč.
Pozrime sa na to ako príklad: 4/18 – 3/15.
Nájdenie násobku čísel 18 a 15:
Po nájdení menovateľa je potrebné vypočítať faktor, ktorý bude pre každý zlomok iný, teda číslo, ktorým bude potrebné vynásobiť nielen menovateľa, ale aj čitateľa. Za týmto účelom vydeľte číslo, ktoré sme našli (spoločný násobok) menovateľom zlomku, pre ktorý je potrebné určiť ďalšie faktory.
Ďalšou fázou nášho riešenia je zredukovať každý zlomok na menovateľ „90“.
Už sme hovorili o tom, ako sa to robí. Pozrime sa, ako je to napísané na príklade:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
Ak majú zlomky malé čísla, môžete určiť spoločného menovateľa, ako v príklade na obrázku nižšie.
To isté platí pre tie s rôznymi menovateľmi.
Odčítanie a celočíselné časti
Odčítanie zlomkov a ich sčítanie sme už podrobne rozobrali. Ale ako odčítať, ak má zlomok celočíselnú časť? Opäť použijeme niekoľko pravidiel:
Existuje ďalší spôsob, ako môžete sčítať a odčítať zlomky s celými časťami. Na tento účel sa akcie vykonávajú oddelene s celými časťami a akcie so zlomkami oddelene a výsledky sa zaznamenávajú spoločne.
Uvedený príklad pozostáva zo zlomkov, ktoré majú rovnaký menovateľ. V prípade, že menovatele sú odlišné, musia byť uvedené na rovnakú hodnotu a potom vykonať akcie, ako je uvedené v príklade.
Odčítanie zlomkov od celých čísel
Ďalším typom operácie so zlomkami je prípad, keď treba zlomok odčítať Na prvý pohľad sa takýto príklad zdá ťažko riešiteľný. Tu je však všetko celkom jednoduché. Aby ste to vyriešili, musíte previesť celé číslo na zlomok a s rovnakým menovateľom, aký je v odčítanom zlomku. Ďalej vykonáme odčítanie podobné odčítaniu s rovnakými menovateľmi. V príklade to vyzerá takto:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
Odčítanie zlomkov (6. ročník) uvedené v tomto článku je základom pre riešenie zložitejších príkladov, ktoré sú zahrnuté v nasledujúcich ročníkoch. Znalosť tejto témy sa následne využíva pri riešení funkcií, derivácií a pod. Preto je veľmi dôležité pochopiť a pochopiť operácie so zlomkami, o ktorých sme hovorili vyššie.
Akcie so zlomkami. V tomto článku sa pozrieme na príklady, všetko podrobne s vysvetleniami. Budeme brať do úvahy bežné zlomky. Na desatinné miesta sa pozrieme neskôr. Odporúčam si to celé pozrieť a preštudovať si to postupne.
1. Súčet zlomkov, rozdiel zlomkov.
Pravidlo: pri sčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi je výsledkom zlomok, ktorého menovateľ zostáva rovnaký a jeho čitateľ sa bude rovnať súčtu čitateľov zlomkov.
Pravidlo: pri výpočte rozdielu medzi zlomkami s rovnakými menovateľmi dostaneme zlomok - menovateľ zostáva rovnaký a čitateľ druhého sa odčíta od čitateľa prvého zlomku.
Formálny zápis súčtu a rozdielu zlomkov s rovnakými menovateľmi:
Príklady (1):
Je jasné, že keď sú uvedené bežné zlomky, potom je všetko jednoduché, ale čo keď sú zmiešané? Nič zložité...
Možnosť 1– môžete ich previesť na obyčajné a potom ich vypočítať.
Možnosť 2– môžete „pracovať“ oddelene s celočíselnými a zlomkovými časťami.
Príklady (2):
Viac:
Čo ak je daný rozdiel dvoch zmiešaných zlomkov a čitateľ prvého zlomku je menší ako čitateľ druhého? Môžete tiež konať dvoma spôsobmi.
Príklady (3):
*Prevedené na obyčajné zlomky, vypočítaný rozdiel, prevedený výsledný nesprávny zlomok na zmiešaný zlomok.
*Rozdelili sme to na celé číslo a zlomkové časti, dostali sme trojku, potom sme prezentovali 3 ako súčet 2 a 1, pričom jedna bola reprezentovaná ako 11/11, potom sme našli rozdiel medzi 11/11 a 7/11 a vypočítali výsledok . Význam vyššie uvedených transformácií je vziať (vybrať) jednotku a prezentovať ju vo forme zlomku s menovateľom, ktorý potrebujeme, potom môžeme od tohto zlomku odpočítať ďalšiu.
Ďalší príklad:
Záver: existuje univerzálny prístup - na výpočet súčtu (rozdielu) zmiešaných zlomkov s rovnakými menovateľmi je možné ich vždy previesť na nesprávne a potom vykonať potrebnú akciu. Potom, ak je výsledkom nesprávny zlomok, prevedieme ho na zmiešaný zlomok.
Vyššie sme sa pozreli na príklady so zlomkami, ktoré majú rovnakých menovateľov. Čo ak sú menovatelia odlišní? V tomto prípade sa zlomky znížia na rovnaký menovateľ a vykoná sa zadaná akcia. Na zmenu (premenu) zlomku sa využíva základná vlastnosť zlomku.
Pozrime sa na jednoduché príklady:
V týchto príkladoch okamžite vidíme, ako možno jeden zo zlomkov premeniť, aby získal rovnakých menovateľov.
Ak určíme spôsoby redukcie zlomkov na rovnakého menovateľa, nazveme tento PRVÁ SPÔSOB.
To znamená, že ihneď pri „odhade“ zlomku musíte zistiť, či tento prístup bude fungovať - skontrolujeme, či je väčší menovateľ deliteľný menším. A ak je deliteľné, tak vykonáme transformáciu - vynásobíme čitateľa a menovateľa tak, aby sa menovatelia oboch zlomkov vyrovnali.
Teraz sa pozrite na tieto príklady:
Tento prístup sa na nich nevzťahuje. Existujú aj spôsoby, ako zlomky zredukovať na spoločného menovateľa;
Metóda DVA.
Čitateľ a menovateľ prvého zlomku vynásobíme menovateľom druhého a čitateľa a menovateľa druhého zlomku menovateľom prvého:
*V skutočnosti zlomky zmenšujeme do tvaru, keď sa menovatelia stanú rovnakými. Ďalej použijeme pravidlo na sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Príklad:
*Túto metódu možno nazvať univerzálnou a vždy funguje. Jedinou nevýhodou je, že po výpočtoch môžete skončiť so zlomkom, ktorý bude potrebné ďalej znížiť.
Pozrime sa na príklad:
Je vidieť, že čitateľ a menovateľ sú deliteľné 5:
Metóda TRETIA.
Musíte nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) menovateľov. Toto bude spoločný menovateľ. Čo je to za číslo? Toto je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné každým z čísel.
Pozri, tu sú dve čísla: 3 a 4, existuje veľa čísel, ktoré sú nimi deliteľné - sú to 12, 24, 36, ... Najmenšie z nich je 12. Alebo 6 a 15, 30, 60, 90 sú nimi deliteľné.... Najmenej je 30. Otázka znie – ako určiť tento najmenší spoločný násobok?
Existuje jasný algoritmus, ale často sa to dá urobiť okamžite bez výpočtov. Napríklad podľa vyššie uvedených príkladov (3 a 4, 6 a 15) nie je potrebný žiadny algoritmus, vzali sme veľké čísla (4 a 15), zdvojnásobili sme ich a videli sme, že sú deliteľné druhým číslom, ale dvojice čísel môžu byť iné, napríklad 51 a 119.
Algoritmus. Ak chcete určiť najmenší spoločný násobok niekoľkých čísel, musíte:
- rozložiť každé číslo na JEDNODUCHÉ faktory
— zapíšte si rozklad VÄČŠIEHO z nich
- vynásobte ho CHYBAJÚCImi faktormi iných čísel
Pozrime sa na príklady:
50 a 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
v rozšírení väčšej číslo jedna päťka chýba
=> LCM(50;60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 a 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
v rozšírení väčšie číslo dva a tri chýbajú
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Najmenší spoločný násobok dvoch prvočísel je ich súčin
Otázka! Prečo je užitočné nájsť najmenší spoločný násobok, keď môžete použiť druhú metódu a jednoducho znížiť výsledný zlomok? Áno, je to možné, ale nie vždy je to pohodlné. Pozrite sa na menovateľ čísel 48 a 72, ak ich jednoducho vynásobíte 48∙72 = 3456. Súhlasíte, že je príjemnejšie pracovať s menšími číslami.
Pozrime sa na príklady:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
rozšíreniu väčšieho počtu chýba trojka
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Teraz použijeme prvú metódu:
*Pozrite sa na rozdiel vo výpočtoch, v prvom prípade je ich minimum, ale v druhom musíte pracovať oddelene na papieri a dokonca aj zlomok, ktorý ste dostali, musíte znížiť. Nájdenie LOC výrazne zjednodušuje prácu.
Ďalšie príklady:
*V druhom príklade je jasné, že najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 40 a 60, je 120.
VÝSLEDOK! VŠEOBECNÝ VÝPOČTOVÝ ALGORITHM!
— zlomky redukujeme na obyčajné, ak existuje celá časť.
- zlomky privedieme k spoločnému menovateľovi (najprv sa pozrieme na to, či je jeden menovateľ deliteľný druhým; ak je deliteľný, tak čitateľa a menovateľa tohto druhého zlomku vynásobíme; ak nie je deliteľný, postupujeme podľa iných metód uvedené vyššie).
- Po prijatí zlomkov s rovnakými menovateľmi vykonávame operácie (sčítanie, odčítanie).
- v prípade potreby znížime výsledok.
- ak je to potrebné, vyberte celú časť.
2. Súčin frakcií.
Pravidlo je jednoduché. Pri násobení zlomkov sa ich čitatelia a menovatelia násobia:
Príklady: