Nemožné predmety. Nemožné postavy v reálnom svete

Obrázok 1

Toto je nemožná trojhra. Táto kresba nie je ilustráciou priestorového objektu, pretože takýto objekt nemôže existovať. Naše OKO bez problémov akceptuje túto skutočnosť a samotný predmet. Môžeme prísť s množstvom argumentov na obhajobu nemožnosti objektu. Napríklad plocha C leží v horizontálnej rovine, zatiaľ čo plocha A je naklonená k nám a plocha B je od nás naklonená, a ak hrany A a. B sa od seba rozchádzajú, nemôžu sa stretnúť v hornej časti obrázku, ako vidíme v tomto prípade. Môžeme poznamenať, že tribar tvorí uzavretý trojuholník, všetky tri lúče sú na seba kolmé a súčet jeho vnútorných uhlov sa rovná 270 stupňom, čo je nemožné. Pomôcť nám môžu základné princípy stereometrie, a to, že tri nerovnobežné roviny sa stretávajú vždy v rovnakom bode. Na obrázku 1 však vidíme nasledovné:

Tmavosivá rovina C sa stretáva s rovinou B; priesečník - l;
Tmavosivá rovina C sa stretáva so svetlosivou rovinou A; priesečník - m;
Biela rovina B sa stretáva so svetlosivou rovinou A; priesečník - n;
Križovatkové čiary l, m, n pretínajú v troch rôznych bodoch.

Predmetný obrazec teda nespĺňa jedno zo základných tvrdení stereometrie, že tri nerovnobežné roviny (v tomto prípade A, B, C) sa musia stretnúť v jednom bode.

Aby som to zhrnul: bez ohľadu na to, aké zložité alebo jednoduché môže byť naše uvažovanie, OKO nám signalizuje rozpory bez akéhokoľvek vysvetlenia z jeho strany.

Nemožný kmeň je paradoxný z viacerých hľadísk. Trvá zlomok sekundy, kým oko oznámi správu: „Toto je uzavretý objekt pozostávajúci z troch pruhov.“ O chvíľu nasleduje: „Tento objekt nemôže existovať...“. Tretiu správu možno čítať ako: "...a teda prvý dojem bol nesprávny." Teoreticky by sa takýto objekt mal rozpadnúť do mnohých línií, ktoré nemajú medzi sebou žiadny významný vzťah a už sa nezostavujú do podoby kmeňa. To sa však nestane a OKO opäť signalizuje: „Toto je predmet, kmeň." Stručne povedané, záver je taký, že je to objekt aj nie objekt, a to je prvý paradox. Oba výklady majú rovnakú silu, ako keby OKO prenechalo konečný verdikt vyššiemu orgánu.

Druhá paradoxná vlastnosť nemožného tribaru vyplýva z úvah o jeho konštrukcii. Ak blok A smeruje k nám a blok B je nasmerovaný preč od nás, a napriek tomu sú spojené, potom uhol, ktorý tvoria, musí ležať na dvoch miestach súčasne, jedno bližšie k pozorovateľovi a druhé vzdialenejšie. . (To isté platí pre ďalšie dva uhly, pretože objekt zostáva identicky tvarovaný, keď je druhý uhol otočený nahor.)

Obrázok 2. Bruno Ernst, fotografia nemožného kmeňa, 1985
Obrázok 3. Gerard Traarbach, "Perfect timing", olej na plátne, 100x140 cm, 1985, tlačené odzadu
Obrázok 4. Dirk Huiser, "Kocka", irisovaná sieťotlač, 48x48 cm, 1984

Realita nemožných predmetov

Jedna z najťažších otázok o nemožných postavách sa týka ich reality: skutočne existujú alebo nie? Prirodzene, obraz nemožného kmeňa existuje a o tom niet pochýb. Zároveň však niet pochýb, že trojrozmerná forma, ktorú nám predstavuje OKO, ako taká v okolitom svete neexistuje. Z tohto dôvodu sme sa rozhodli rozprávať o nemožnom predmety, nie o nemožnom postavy(hoci sú pod týmto názvom známejšie v angličtine). Zdá sa, že je to uspokojivé riešenie tejto dilemy. A predsa, keď napríklad pozorne skúmame nemožný kmeň, jeho priestorová realita nás stále mätie.

Tvárou v tvár objektu rozloženému na samostatné časti je takmer nemožné uveriť, že jednoduchým spojením tyčí a kociek sa dá vytvoriť požadovaný nemožný tribar.

Obrázok 3 je obzvlášť atraktívny pre špecialistov na kryštalografiu. Objekt sa javí ako pomaly rastúci kryštál, kocky sú vložené do existujúcej kryštálovej mriežky bez narušenia celkovej štruktúry.

Fotografia na obrázku 2 je skutočná, aj keď tri-bar vyrobený z cigár a vyfotografovaný z určitého uhla nie je skutočný. Toto je vizuálny vtip, ktorý vytvoril Roger Penrose, spoluautor prvého článku a Impossible Tribar.

Obrázok 5.

Obrázok 5 zobrazuje tribar zložený z očíslovaných blokov s rozmermi 1x1x1 dm. Jednoduchým spočítaním kociek zistíme, že objem figúry je 12 dm 3 a plocha je 48 dm 2.

Obrázok 6.
Obrázok 7.

Podobným spôsobom môžeme vypočítať vzdialenosť, ktorú lienka prejde po tribare (obrázok 7). Stredový bod každého bloku je očíslovaný a smer pohybu je označený šípkami. Povrch tribaru sa teda javí ako dlhá súvislá cesta. Lienka musí urobiť štyri celé kruhy, kým sa vráti do svojho východiskového bodu.

Obrázok 8.

Možno začnete mať podozrenie, že nemožný kmeň má na svojej neviditeľnej strane nejaké tajomstvá. Ale môžete ľahko nakresliť priehľadný nemožný tribar (obr. 8). V tomto prípade sú viditeľné všetky štyri strany. Objekt však naďalej vyzerá celkom reálne.

Položme si otázku ešte raz: čo presne robí z tri-baru údaj, ktorý možno interpretovať toľkými spôsobmi. Musíme si uvedomiť, že OKO spracováva obraz nemožného predmetu zo sietnice rovnakým spôsobom, ako spracováva obrazy bežných predmetov - stoličky alebo domu. Výsledkom je „priestorový obraz“. V tejto fáze nie je rozdiel medzi nemožným tri-barom a bežnou stoličkou. Nemožný kmeň teda existuje v hĺbke nášho mozgu na rovnakej úrovni ako všetky ostatné objekty okolo nás. Odmietnutie oka potvrdiť trojrozmernú „životaschopnosť“ kmeňa v skutočnosti nijako nezmenšuje skutočnosť, že v našich hlavách je prítomný nemožný kmeň.

V 1. kapitole sme narazili na nemožný predmet, ktorého telo zmizlo v ničote. V kresbe ceruzou „Osobný vlak“ (obr. 11) použil Fons de Vogelaere nenápadne rovnaký princíp so zosilneným stĺpom na ľavej strane obrázku. Ak sledujeme stĺp zhora nadol alebo zatvoríme spodnú časť obrázku, uvidíme stĺp, ktorý je podopretý štyrmi podperami (z ktorých sú viditeľné iba dve). Ak sa však na ten istý stĺp pozriete zdola, uvidíte dosť široký otvor, cez ktorý môže prejsť vlak. Pevné kamenné bloky sa zároveň ukážu ako... tenšie ako vzduch!

Tento objekt je dostatočne jednoduchý na kategorizáciu, ale keď ho začneme analyzovať, ukáže sa ako dosť zložitý. Výskumníci ako Broydrick Thro ukázali, že samotný popis tohto javu vedie k rozporom. Konflikt na jednej z hraníc. OKO najskôr vypočíta obrysy a potom z nich zostaví tvary. Zmätok nastane, keď obrysy majú dva účely v dvoch rôznych tvaroch alebo častiach tvaru, ako na obrázku 11.

Obrázok 9.

Podobná situácia nastáva na obrázku 9. Na tomto obrázku je vrstevnica l vystupuje aj ako hranica formy A aj ako hranica formy B. Nie je však hranicou oboch foriem súčasne. Ak sa vaše oči pozerajú najprv na hornú časť kresby, potom na čiaru l bude vnímaná ako hranica tvaru A a zostane ňou, kým sa nezistí, že A je otvorený tvar. V tomto bode EYE ponúka druhú interpretáciu línie l, totiž, že ide o hranicu tvaru B. Ak sledujeme svoj pohľad späť po čiare l, potom sa opäť vrátime k prvému výkladu.

Ak by toto bola jediná nejasnosť, potom by sme mohli hovoriť o piktografickom dvojčísle. Záver však komplikujú ďalšie faktory, ako je fenomén miznutia postavy z pozadia a najmä priestorové zobrazenie postavy OČOM. V tejto súvislosti sa môžete inak pozrieť na obrázky 7, 8 a 9 z kapitoly 1. Hoci sa tieto typy tvarov prejavujú ako skutočné priestorové objekty, môžeme ich dočasne nazvať nemožnými objektmi a popísať (ale nevysvetliť ich) nasledovnými všeobecnými pojmami: OKO vypočítava z týchto objektov dva rôzne vzájomne sa vylučujúce trojrozmerné tvary, ktoré však existujú súčasne. To je možné vidieť na obrázku 11 v niečom, čo vyzerá ako monolitický stĺp. Po opätovnom preskúmaní sa však zdá, že je otvorený, so širokou medzerou v strede, cez ktorú by mohol prejsť vlak, ako je znázornené na obrázku.

Obrázok 10. Arthur Stibbe, "Vpredu a vzadu", kartón/akryl, 50x50 cm, 1986
Obrázok 11. Fons de Vogelaere, "Osobný vlak", kresba ceruzkou, 80x98 cm, 1984

Nemožný predmet ako paradox

Obrázok 12. Oscar Reutersvärd, "Perspective japonaise n° 274 dda", kresba kolorovaným tušom, 74x54 cm

Na začiatku tejto kapitoly sme videli nemožný predmet ako trojrozmerný paradox, teda obraz, ktorého stereografické prvky si navzájom odporujú. Pred ďalším skúmaním tohto paradoxu je potrebné pochopiť, či existuje niečo také ako obrazový paradox. V skutočnosti existuje – spomeňte si na morské panny, sfingy a iné rozprávkové bytosti, ktoré sa často vyskytujú vo výtvarnom umení stredoveku a ranej renesancie. Ale v tomto prípade nejde o prácu OKA, ktorú narúša taká piktografická rovnica ako žena + ryba = morská panna, ale o naše vedomosti (najmä poznatky z biológie), podľa ktorých je takáto kombinácia neprijateľná. Iba tam, kde si priestorové údaje na obrázku sietnice navzájom odporujú, „automatické“ spracovanie údajov EY zlyhá. OKO nie je pripravené na spracovanie takéhoto podivného materiálu a my sme svedkami vizuálneho zážitku, ktorý je pre nás nový.

Obrázok 13a. Harry Turner, kresba zo série "Paradoxné vzory", kombinované médiá, 1973-78
Obrázok 13b. Harry Turner, "Corner", kombinované médiá, 1978

Priestorové informácie obsiahnuté v obraze sietnice (pri pohľade len jedným okom) môžeme rozdeliť do dvoch tried – prírodné a kultúrne. Prvá trieda obsahuje informácie, ktoré nie sú ovplyvnené kultúrnym prostredím človeka, a ktoré sa nachádzajú aj v obrazoch. Táto skutočná „neskazená povaha“ zahŕňa nasledovné:

Objekty rovnakej veľkosti sa zdajú menšie, čím sú ďalej. Toto je základný princíp lineárnej perspektívy, ktorý hrá veľkú úlohu vo výtvarnom umení už od renesancie;
Objekt, ktorý čiastočne blokuje iný objekt, je nám bližšie;
Predmety alebo časti objektu, ktoré sú navzájom spojené, sú od nás v rovnakej vzdialenosti;
Objekty umiestnené relatívne ďaleko od nás budú horšie rozlíšiteľné a budú skryté modrým oparom priestorovej perspektívy;
Strana objektu, na ktorú dopadá svetlo, je jasnejšia ako opačná strana a tiene smerujú v smere opačnom k zdroju svetla.

Obrázok 14. Zenon Kulpa, „Impossible Figures“, atrament/papier, 30x21 cm, 1980

V kultúrnom prostredí zohrávajú pri našom hodnotení priestoru dôležitú úlohu nasledujúce dva faktory. Ľudia si svoj životný priestor vytvorili tak, že v ňom prevládajú pravé uhly. Naša architektúra, nábytok a mnohé nástroje sú v podstate tvorené obdĺžnikmi. Dá sa povedať, že sme náš svet zabalili do pravouhlého súradnicového systému, do sveta priamych línií a uhlov.

Obrázok 15. Mitsumasa Anno, "Sekcia kocky"
Obrázok 16. Mitsumasa Anno, "zložité drevené puzzle"
Obrázok 17. Monika Buch, "Modrá kocka", akryl/drevo, 80x80 cm, 1976

Naša druhá trieda priestorových informácií – kultúrna, je teda jasná a zrozumiteľná:

Plocha je rovina, ktorá pokračuje, kým nám iné detaily nepovedia, že sa neskončila;
Uhly, v ktorých sa tieto tri roviny stretávajú, definujú tri hlavné smery, takže kľukaté čiary môžu naznačovať expanziu alebo kontrakciu.

Obrázok 18. Tamas Farcas, "Crystal", irisovaná tlač, 40x29 cm, 1980
Obrázok 19. Frans Erens, akvarel, 1985

V našom kontexte je rozlišovanie medzi prírodným a kultúrnym prostredím veľmi užitočné. Náš vizuálny zmysel sa vyvinul v prírodnom prostredí a má tiež úžasnú schopnosť presne a presne spracovať priestorové informácie z kultúrnych kategórií.

Nemožné objekty (aspoň väčšina z nich) existujú vďaka prítomnosti vzájomne si odporujúcich priestorových výpovedí. Napríklad na obraze Jos de Mey „Dvojitá strážená brána do zimnej Arkádie“ (obr. 20) sa rovný povrch tvoriaci hornú časť steny v spodnej časti rozpadá na niekoľko rovín, ktoré sa nachádzajú v rôznych vzdialenostiach od pozorovateľ. Dojem rôznych vzdialeností vytvárajú aj prekrývajúce sa časti postavy na obraze Arthura Stibbeho „Vpredu a vzadu“ (obr. 10), ktoré odporujú pravidlu rovnej plochy. Na akvarelovej kresbe Fransa Erensa (obr. 19) nám polica zobrazená v perspektíve svojim klesajúcim koncom prezrádza, že je umiestnená vodorovne, vzďaľuje sa od nás a je tiež pripevnená k podperám tak, byť vertikálne. Na obraze „Päť nositeľov“ od Fonsa de Vogelaere (obr. 21) nás zarazí množstvo stereografických paradoxov. Obraz síce neobsahuje paradoxné prekrývajúce sa predmety, no obsahuje veľa paradoxných súvislostí. Zaujímavosťou je spôsob, akým je ústredná postava spojená so stropom. Päť postáv podopierajúcich strop spája parapet a strop toľkými paradoxnými spojeniami, že OKO nekonečne hľadá bod, z ktorého je najlepšie vidieť.

Obrázok 20. Jos de Mey, "Dvojitá strážená brána do zimnej Arkádie", plátno/akryl, 60x70 cm, 1983
Obrázok 21. Fons de Vogelaere, "Päť nositeľov", kresba ceruzou, 80x98 cm, 1985

Možno si myslíte, že s každým možným typom stereografického prvku, ktorý sa objaví na maľbe, by bolo relatívne ľahké vytvoriť systematický prehľad nemožných figúrok:

Tie, ktoré obsahujú prvky perspektívy, ktoré sú vo vzájomnom rozpore;
Tie, v ktorých sú perspektívne prvky v rozpore s priestorovými informáciami naznačenými prekrývajúcimi sa prvkami;
atď.

Čoskoro však zistíme, že na mnohé takéto konflikty nenájdeme existujúce príklady, pričom niektoré nemožné objekty sa do takéhoto systému zmestia len ťažko. Takáto klasifikácia nám však umožní objaviť mnoho zatiaľ neznámych typov nemožných predmetov.

Obrázok 22. Shigeo Fukuda, "Images of illusion", sieťotlač, 102x73 cm, 1984

Definície

Na záver tejto kapitoly sa pokúsme definovať nemožné objekty.

V mojej prvej publikácii o obrazoch s nemožnými predmetmi M.K. Escher, ktorý sa objavil okolo roku 1960, som dospel k nasledujúcej formulácii: možný objekt možno vždy považovať za projekciu – reprezentáciu trojrozmerného objektu. V prípade nemožných objektov však neexistuje žiadny trojrozmerný objekt, ktorého by táto projekcia predstavovala, a v tomto prípade môžeme nemožný objekt nazvať iluzórnym zobrazením. Táto definícia je nielen neúplná, ale aj nesprávna (k tomu sa ešte vrátime v kapitole 7), keďže sa týka len matematickej stránky nemožných objektov.

Obrázok 23. Oscar Reutersvärd, "Kocková organizácia priestoru", kresba kolorovaným tušom, 29x20,6 cm.
V skutočnosti tento priestor nie je vyplnený, pretože väčšie kocky nie sú spojené s menšími kockami.

Zeno Kulpa ponúka nasledujúcu definíciu: obraz nemožného objektu je dvojrozmerná postava, ktorá vytvára dojem existujúceho trojrozmerného objektu a táto postava nemôže existovať tak, ako ju priestorovo interpretujeme; teda akýkoľvek pokus o jeho vytvorenie vedie k (priestorovým) rozporom, ktoré sú pre diváka jasne viditeľné.

Posledný bod Kulpy naznačuje jeden praktický spôsob, ako zistiť, či je objekt nemožný alebo nie: skúste si ho vytvoriť sami. Čoskoro uvidíte, možno ešte pred začatím stavby, že to nemôžete urobiť.

Uprednostnil by som definíciu, ktorá zdôrazňuje, že OKO pri analýze nemožného objektu dospeje k dvom protichodným záverom. Uprednostňujem túto definíciu, pretože vystihuje dôvod týchto vzájomne protichodných záverov a zároveň objasňuje skutočnosť, že nemožnosť nie je matematickou vlastnosťou figúry, ale vlastnosťou divákovej interpretácie figúry.

Na základe toho navrhujem nasledujúcu definíciu:

Nemožný objekt má dvojrozmerné zobrazenie, ktoré OKO interpretuje ako trojrozmerný objekt, a zároveň OKO určuje, že tento objekt nemôže byť trojrozmerný, pretože priestorové informácie obsiahnuté na obrázku sú protichodné.

Obrázok 24. Oscar Reutersväird, „Nemožné štyri takty s priečkami“
Obrázok 25. Bruno Ernst, "Zmiešané ilúzie", fotografia, 1985

Úvod………………………………………………………………………………………..2

Hlavná časť. Nemožné čísla ……………………………………………… 4

2.1. Trochu histórie……………………………………………………….. 4

2.2. Typy nemožných figúrok………………………………………………..6

2.3. Oscar Ruthersward – otec nemožnej postavy………………………..11

2.4. Nemožné čísla sú možné!………………………………………………..13

2.5. Aplikácia nemožných figúrok ……………………………………… 14

Záver……………………………………………………………………………………….. 15

Referencie………………………………………………………………16

Úvod

Už nejaký čas ma zaujímajú figúrky, ktoré na prvý pohľad vyzerajú obyčajne, no pri bližšom pohľade vidno, že s nimi niečo nie je v poriadku. Zaujali ma hlavne takzvané nemožné figúry, pri pohľade na ktoré má človek dojem, že v skutočnom svete nemôžu existovať. Chcel som sa o nich dozvedieť viac.

„Svet nemožných postáv“ je jednou z najzaujímavejších tém, ktorá sa rýchlo rozvinula až na začiatku dvadsiateho storočia. Oveľa skôr sa však touto problematikou zaoberali mnohí vedci a filozofi. Dokonca aj také jednoduché objemové tvary, ako je kocka, pyramída, rovnobežnosten, môžu byť reprezentované ako kombinácia niekoľkých postáv umiestnených v rôznych vzdialenostiach od oka pozorovateľa. Vždy by mala existovať čiara, pozdĺž ktorej sa obrázky jednotlivých častí spájajú do uceleného obrazu.

"Nemožná postava je trojrozmerný objekt vyrobený na papieri, ktorý v skutočnosti nemôže existovať, ale ktorý však možno vidieť ako dvojrozmerný obraz." Toto je jeden z typov optické ilúzie, figúrka, ktorá sa na prvý pohľad javí ako projekcia obyčajného trojrozmerného objektu, pri pozornom preskúmaní ktorého sa stanú viditeľnými protichodné spojenia prvkov figúry. Vytvára sa ilúzia o nemožnosti existencie takejto postavy v trojrozmernom priestore.

Stál som pred otázkou: „Existujú v reálnom svete nemožné postavy?

Ciele projektu:

1. Zistite, čo robiťak vytvorenýObjavujú sa neskutočné postavy.

2. Nájdite aplikácienemožné postavy.

Ciele projektu:

1. Preštudujte si literatúru na tému „Nemožné postavy“.

2 .Urobte klasifikáciunemožné postavy.

3.PZvážte spôsoby, ako vytvoriť nemožné postavy.

4.Je nemožné vytvoriťnová postava.

Téma mojej práce je aktuálna, pretože chápanie paradoxov je jedným zo znakov typu tvorivého potenciálu, ktorým disponujú najlepší matematici, vedci a umelci. Mnohé diela s neskutočnými predmetmi možno klasifikovať ako „intelektuálne matematické hry“. Takýto svet sa dá modelovať iba pomocou matematických vzorcov, ľudia si to jednoducho nevedia predstaviť. A nemožné figúry sú užitočné pre rozvoj priestorovej predstavivosti. Človek neúnavne duševne vytvára okolo seba niečo, čo bude pre neho jednoduché a zrozumiteľné. Nevie si ani predstaviť, že niektoré predmety okolo neho môžu byť „nemožné“. V skutočnosti je svet jeden, no dá sa naň pozerať z rôznych uhlov pohľadu.

nemožnénové figúrky

Trochu histórie

Nemožné figúry sa pomerne často nachádzajú v starovekých rytinách, maľbách a ikonách - v niektorých prípadoch máme zjavné chyby v prenose perspektívy, v iných - so zámernými deformáciami v dôsledku umeleckého dizajnu.

V stredovekej japonskej a perzskej maľbe sú nemožné predmety neoddeliteľnou súčasťou orientálneho umeleckého štýlu, ktorý poskytuje iba všeobecný náčrt obrazu, ktorého detaily si divák „musí“ premyslieť nezávisle, podľa svojich preferencií. Tu je škola pred nami. Našu pozornosť púta architektonická štruktúra v pozadí, ktorej geometrická nesúrodosť je zrejmá. Môže sa interpretovať ako vnútorná stena miestnosti alebo vonkajšia stena budovy, ale obe tieto interpretácie sú nesprávne, pretože máme do činenia s rovinou, ktorá je vonkajšou aj vonkajšou stenou, teda obrazom. zobrazuje typický nemožný predmet.

Obrazy so skreslenou perspektívou možno nájsť už na začiatku prvého tisícročia. Miniatúra z knihy Henricha II., vytvorená pred rokom 1025 a uchovávaná v Bavorskej štátnej knižnici v Mníchove, zobrazuje Madonu s dieťaťom. Obraz zobrazuje klenbu pozostávajúcu z troch stĺpov a stredný stĺp by mal byť podľa zákonov perspektívy umiestnený pred Madonou, ale nachádza sa za ňou, čo dáva obrazu efekt nereálnosti.

Druhynemožné postavy.

„Nemožné postavy“ sú rozdelené do 4 skupín. Takže prvý:

Úžasný trojuholník - tribar.

Toto číslo je možno prvým nemožným predmetom publikovaným v tlači. Objavil sa v roku 1958. Jeho autori, otec a syn Lionell a Roger Penrose, genetik a matematik, definovali objekt ako „trojrozmernú obdĺžnikovú štruktúru“. Nazývalo sa to aj „tribar“. Na prvý pohľad sa zdá, že tribar je jednoducho obrazom rovnostranného trojuholníka. Ale strany zbiehajúce sa v hornej časti obrázku sa zdajú byť kolmé. Zároveň sa ľavý a pravý okraj nižšie tiež javí ako kolmý. Ak sa pozriete na každý detail samostatne, zdá sa to byť skutočné, ale vo všeobecnosti toto číslo nemôže existovať. Nie je zdeformovaný, ale pri kreslení boli nesprávne spojené správne prvky.

Tu je niekoľko ďalších príkladov nemožných figúrok založených na tribare.

Trojnásobne zdeformovaný kmeň

Trojuholník z 12 kociek

Okrídlený Tribar

Trojité domino

Nekonečné schodisko

Táto postava sa najčastejšie nazýva „Nekonečné schodisko“, „Večné schodisko“ alebo „Penroseovo schodisko“ - podľa svojho tvorcu. Nazýva sa aj „cesta neustále stúpajúca a klesajúca“.

Tento údaj bol prvýkrát publikovaný v roku 1958. Objaví sa pred nami schodisko, ktoré zdanlivo vedie hore alebo dole, no zároveň človek, ktorý po ňom kráča, nestúpa ani neklesne. Po dokončení svojej vizuálnej trasy sa ocitne na začiatku cesty.

„Nekonečné schodisko“ úspešne použil umelec Maurits K. Escher, tentoraz vo svojej litografii „Výstup a zostup“, vytvorenej v roku 1960.

Schodisko so štyrmi alebo siedmimi schodmi. Autor sa pri tvorbe tejto figúry s veľkým počtom schodov mohol inšpirovať hromadou obyčajných železničných podvalov. Keď sa chystáte vyliezť na tento rebrík, budete stáť pred voľbou: či vyliezť štyri alebo sedem schodov.

Tvorcovia tohto schodiska využili paralelné línie na navrhnutie koncoviek rovnako rozmiestnených blokov; Niektoré bloky sa zdajú byť skrútené, aby zodpovedali ilúzii.

Vesmírna vidlica.

Ďalšia skupina figúrok sa súhrnne nazýva „Vesmírna vidlica“. S touto postavou vstupujeme do samotného jadra a podstaty nemožného. Toto môže byť najväčšia trieda nemožných objektov.

Tento notoricky známy nemožný predmet s tromi (alebo dvoma?) zubami si obľúbili inžinieri a nadšenci hádaniek v roku 1964. Prvá publikácia venovaná nezvyčajnej postave vyšla v decembri 1964. Autor to nazval „vzpera pozostávajúca z troch prvkov“.

Z praktického hľadiska je tento zvláštny trojzubec alebo konzolový mechanizmus absolútne nepoužiteľný. Niektorí ľudia to jednoducho nazývajú „nešťastnou chybou“. Jeden z predstaviteľov leteckého priemyslu navrhol využiť jeho vlastnosti pri konštrukcii interdimenzionálnej vesmírnej ladičky.

Nemožné boxy

Ďalší nemožný objekt sa objavil v roku 1966 v Chicagu ako výsledok originálnych experimentov fotografa Dr. Charlesa F. Cochrana. Mnoho milovníkov nemožných postáv experimentovalo s „Crazy Boxom“. Autor to pôvodne nazval „Free Box“ a uviedol, že bol „navrhnutý na odosielanie nemožných predmetov vo veľkom počte“.

„Crazy box“ je rám kocky obrátený naruby. Bezprostredným predchodcom „Crazy Box“ bol „Impossible Box“ (autor Escher) a jeho predchodcom bol zasa Necker Cube.

Nie je to nemožný objekt, ale je to obrazec, v ktorom možno parameter hĺbky vnímať nejednoznačne.

Keď sa pozrieme na kocku Necker, všimneme si, že tvár s bodkou je buď v popredí alebo v pozadí, preskakuje z jednej pozície do druhej.

Oscar Ruthersvard - otec nemožnej postavy.

„Otec“ nemožných postáv je švédsky umelec Oscar Rutersvard. Švédsky umelec Oscar Ruthersvard, špecialista na vytváranie obrazov nemožných postáv, tvrdil, že sa zle vyzná v matematike, no napriek tomu povýšil svoje umenie na úroveň vedy a vytvoril celú teóriu vytvárania nemožných postáv podľa určitého počtu vzory.

Postavy rozdelil do dvoch hlavných skupín. Jednu z nich nazval „skutočne nemožné postavy“. Ide o dvojrozmerné obrazy trojrozmerných telies, ktoré sa dajú vyfarbiť a tieňovať na papier, ale nemajú monolitickú a stabilnú hĺbku.

Ďalším typom sú pochybné nemožné postavy. Tieto obrázky nepredstavujú jednotlivé pevné telesá. Sú kombináciou dvoch alebo viacerých figúrok. Nedajú sa maľovať, ani sa na ne nedá aplikovať svetlo a tieň.

Skutočná nemožná postava pozostáva z pevného počtu možných prvkov, zatiaľ čo pochybná „stratí“ určitý počet prvkov, ak ich budete sledovať očami.

Jedna verzia týchto nemožných postáv je veľmi jednoduchá na vykonanie a mnoho z tých, ktorí automaticky kreslia geometrické

čísla pri telefonovaní, bolo to urobené viac ako raz. Musíte nakresliť päť, šesť alebo sedem rovnobežných čiar, dokončiť tieto čiary na rôznych koncoch rôznymi spôsobmi - a nemožná postava je pripravená. Ak napríklad nakreslíte päť rovnobežných čiar, môžu skončiť ako dva trámy na jednej strane a tri na druhej strane.

Na obrázku vidíme tri možnosti pre pochybné nemožné figúry. Vľavo je troj-sedem trámová konštrukcia postavená zo siedmich línií, v ktorých sa tri trámy menia na sedem. Postava v strede, postavená z troch línií, v ktorých sa jeden trám mení na dva okrúhle trámy. Postava vpravo, skonštruovaná zo štyroch línií, v ktorých sa dva okrúhle trámy menia na dva trámy

Ruthersvard počas svojho života namaľoval asi 2500 postáv. Ruthersvardove knihy vyšli v mnohých jazykoch vrátane ruštiny.

Nemožné čísla sú možné!

Mnoho ľudí verí, že nemožné postavy sú skutočne nemožné a nemôžu byť vytvorené v skutočnom svete. Musíme si však uvedomiť, že akýkoľvek výkres na list papiera je projekciou trojrozmernej postavy. Preto každá postava nakreslená na papieri musí existovať v trojrozmernom priestore. Nemožné predmety na obrazoch sú projekcie trojrozmerných predmetov, čo znamená, že predmety môžu byť realizované vo forme sochárskych kompozícií. Existuje mnoho spôsobov, ako ich vytvoriť. Jedným z nich je použitie zakrivených čiar ako strán nemožného trojuholníka. Vytvorená socha vyzerá nemožne len z jedného bodu. Od tohto bodu vyzerajú zakrivené strany rovno a cieľ sa dosiahne - vytvorí sa skutočný „nemožný“ objekt.

Ruský umelec Anatolij Konenko, náš súčasník, rozdelil nemožné postavy do 2 tried: niektoré sa dajú simulovať v realite, iné nie. Modely nemožných postáv sa nazývajú Amesove modely.

Urobil som Amesov model mojej nemožnej krabice. Zobral som štyridsaťdva kociek a zlepil som ich tak, aby vytvorili kocku, ktorej časť okraja chýbala. Podotýkam, že na vytvorenie úplnej ilúzie je potrebný správny uhol pohľadu a správne osvetlenie.

Študoval som nemožné útvary pomocou Eulerovej vety a dospel som k nasledovnému záveru: Eulerova veta, ktorá platí pre akýkoľvek konvexný mnohosten, neplatí pre nemožné útvary, ale platí pre ich Amesove modely.

Vytváram svoje nemožné postavy pomocou rady O. Rutherswarda. Na papier som nakreslil sedem rovnobežných čiar. Spojila som ich zospodu prerušovanou čiarou a zhora som im dala tvar rovnobežnostenov. Pozrite sa na to najprv zhora a potom zdola. Takýchto figúrok môžete vymyslieť nekonečné množstvo. Pozri prílohu.

Aplikácia nemožných figúrok

Nemožné figúrky niekedy nájdu nečakané využitie. Oscar Ruthersvard vo svojej knihe „Omojliga figurer“ hovorí o využití imp-artových kresieb na psychoterapiu. Píše, že obrazy svojimi paradoxmi vyvolávajú prekvapenie, sústreďujú pozornosť a túžbu po dešifrovaní. Psychológ Roger Shepard použil myšlienku trojzubca pre svoj obraz nemožného slona.

Vo Švédsku sa používajú v zubnej praxi: prezeraním obrázkov v čakárni sú pacienti odvedení od nepríjemných myšlienok pred zubárskou ordináciou.

Nemožné postavy inšpirovali umelcov k vytvoreniu úplne nového hnutia v maľbe nazývaného impossibilizmus. Holandský umelec Escher je považovaný za nemožného. Je autorom slávnych litografií „Vodopád“, „Výstup a zostup“ a „Belvedere“. Umelec použil efekt „nekonečného schodiska“, ktorý objavil Rootesward.

V zahraničí na uliciach miest môžeme vidieť architektonické stelesnenia nemožných postáv.

Najznámejšie použitie nemožných postáv v populárnej kultúre je logo automobilového koncernu "Renault"

Matematici tvrdia, že paláce, v ktorých môžete zísť po schodoch vedúcich hore, môžu existovať. Aby ste to dosiahli, stačí postaviť takúto štruktúru nie v trojrozmernom, ale povedzme v štvorrozmernom priestore. Ale vo virtuálnom svete, ktorý nám otvára moderná počítačová technika, sa nič také nedá. Takto sa v týchto dňoch realizujú myšlienky človeka, ktorý na úsvite storočia veril v existenciu nemožných svetov.

Záver.

Nemožné figúry nútia našu myseľ najprv vidieť, čo by nemalo byť, až potom hľadať odpoveď – čo sa urobilo zle, aká je skrytá podstata paradoxu. A niekedy nie je také ľahké nájsť odpoveď - je to skryté v optickom, psychologickom, logickom vnímaní kresieb.

Rozvoj vedy, potreba myslieť novým spôsobom, hľadanie krásy – všetky tieto nároky moderného života nás nútia hľadať nové metódy, ktoré môžu zmeniť priestorové myslenie a predstavivosť.

Po preštudovaní literatúry na túto tému som bol schopný odpovedať na otázku „Existujú v reálnom svete nemožné postavy? Uvedomil som si, že nemožné je možné a neskutočné figúry sa dajú vyrobiť vlastnými rukami. Vytvoril som Amesov model „Impossible Cube“ a otestoval som na ňom Eulerovu vetu. Po pohľade na spôsoby, ako postaviť nemožné postavy, som bol schopný nakresliť svoje vlastné nemožné postavy. Bol som schopný to ukázať

Záver 1: Všetky nemožné postavy môžu existovať v reálnom svete.

Záver2: Eulerova veta, platná pre akýkoľvek konvexný mnohosten, je nepravdivá pre nemožné postavy, ale platí pre ich Amesove modely.

Záver 3: Bude oveľa viac oblastí, v ktorých sa budú používať nemožné čísla.

Môžeme teda povedať, že svet nemožných postáv je mimoriadne zaujímavý a rôznorodý. Štúdium nemožných útvarov je z hľadiska geometrie dosť dôležité. Dielo je možné využiť na hodinách matematiky na rozvoj priestorového myslenia žiakov. Pre tvorivých ľudí so sklonom k invencii sú nemožné figúry akousi pákou na vytvorenie niečoho nového a nezvyčajného.

Referencie

Levitin Karl Geometric Rhapsody. – M.: Vedomosti, 1984, -176 s.

Penrose L., Penrose R. Impossible objects, Quantum, č. 5, 1971, s

Reutersvard O. Nemožné čísla. – M.: Stroyizdat, 1990, 206 s.

Tkacheva M.V. Rotujúce kocky. – M.: Drop, 2002. – 168 s.

Naše oči nemôžu vedieť
povaha predmetov.
Tak im to nenúťte
bludy rozumu.

Titus Lucretius Carus

Bežný výraz „optická ilúzia“ je vo svojej podstate nesprávny. Oči nás nemôžu oklamať, keďže sú len medzičlánkom medzi objektom a ľudským mozgom. Optická ilúzia sa zvyčajne nevyskytuje kvôli tomu, čo vidíme, ale preto, že nevedome uvažujeme a nedobrovoľne sa mýlime: „myseľ sa môže pozerať na svet očami, a nie očami“.

Jednou z najpozoruhodnejších oblastí umeleckého hnutia optického umenia (op-art) je imp-art (nemožné umenie), založené na zobrazovaní nemožných postáv. Nemožné objekty sú kresby na rovine (akákoľvek rovina je dvojrozmerná) zobrazujúce trojrozmerné štruktúry, ktoré v skutočnom trojrozmernom svete nemožno existovať. Klasická a jedna z najjednoduchších figúrok je nemožný trojuholník.

V nemožnom trojuholníku je každý uhol sám osebe možný, ale vzniká paradox, keď ho berieme do úvahy ako celok. Strany trojuholníka smerujú k divákovi aj od neho, takže jeho jednotlivé časti nemôžu tvoriť skutočný trojrozmerný objekt.

Presne povedané, náš mozog interpretuje kresbu na rovine ako trojrozmerný model. Vedomie nastavuje „hĺbku“, v ktorej sa nachádza každý bod obrazu. Naše predstavy o skutočnom svete čelia protirečeniu, určitej nezrovnalosti a musíme urobiť nejaké predpoklady:

rovné 2D čiary sa interpretujú ako rovné 3D čiary;
2D rovnobežné čiary sa interpretujú ako 3D rovnobežné čiary;
ostré a tupé uhly sa interpretujú ako pravé uhly v perspektíve;
vonkajšie čiary sa považujú za hranicu formulára. Táto vonkajšia hranica je mimoriadne dôležitá pre vytvorenie úplného obrazu.

Ľudské vedomie najprv vytvorí všeobecný obraz objektu a potom skúma jednotlivé časti. Každý uhol je kompatibilný s priestorovou perspektívou, ale keď sa spojí, vytvorí priestorový paradox. Ak zatvoríte niektorý z rohov trojuholníka, nemožnosť zmizne.

História nemožných postáv

S chybami v priestorovej výstavbe sa stretávali umelci aj pred tisíc rokmi. Za prvého, kto skonštruoval a analyzoval nemožné predmety, sa však považuje švédsky umelec Oscar Reutersvard, ktorý v roku 1934 nakreslil prvý nemožný trojuholník pozostávajúci z deviatich kociek.

Anglický matematik a fyzik Roger Penrose, nezávislý od agentúry Reuters, znovu objavil nemožný trojuholník a uverejnil jeho obraz v britskom psychologickom časopise v roku 1958. Ilúzia využíva „falošnú perspektívu“. Niekedy sa táto perspektíva nazýva čínska, pretože podobný spôsob kreslenia, keď je hĺbka kresby „nejednoznačná“, sa často nachádzal v dielach čínskych umelcov.

Nemožná kocka

V roku 1961 Holanďan Maurits C. Escher, inšpirovaný nemožným Penroseovým trojuholníkom, vytvoril slávnu litografiu „Vodopád“. Voda na obrázku nekonečne tečie, za vodným kolesom prechádza ďalej a končí späť na mieste štartu. V podstate ide o obraz perpetu mobile, ale každý pokus o skutočné vybudovanie tejto štruktúry je odsúdený na neúspech.

Odvtedy bol nemožný trojuholník použitý viac ako raz v dielach iných majstrov. Okrem už spomínaných môžeme menovať Belgičana Jos de Mey, Švajčiara Sandro del Prete a Maďara Istvana Orosza.

Tak ako sa obrazy tvoria z jednotlivých pixelov na obrazovke, aj zo základných geometrických tvarov možno vytvárať objekty nemožnej reality. Napríklad kresba „Moskva“, ktorá zobrazuje nezvyčajnú schému moskovského metra. Obraz najprv vnímame ako celok, no keď pohľadom sledujeme jednotlivé línie, presvedčíme sa o nemožnosti ich existencie.

Na výkrese "Tri slimáky" nie sú malé a veľké kocky orientované v normálnej izometrickej projekcii. Menšia kocka susedí s väčšou na prednej a zadnej strane, čo znamená, že podľa trojrozmernej logiky má rovnaké rozmery niektorých strán ako väčšia. Spočiatku sa zdá, že kresba je skutočným znázornením pevného telesa, ale ako analýza pokračuje, odhaľujú sa logické rozpory tohto objektu.

Kresba „Tri slimáky“ pokračuje v tradícii druhej slávnej nemožnej postavy – nemožnej kocky (krabica).

Kombináciu rôznych predmetov možno nájsť aj v nie celkom serióznej kresbe „IQ“ (inteligenčný kvocient). Je zaujímavé, že niektorí ľudia nevnímajú nemožné predmety, pretože ich myseľ nedokáže identifikovať ploché obrázky s trojrozmernými predmetmi.

Donald E. Simanek naznačil, že pochopenie vizuálnych paradoxov je jedným z charakteristických znakov toho druhu kreativity, ktorým disponujú najlepší matematici, vedci a umelci. Mnohé diela s paradoxnými predmetmi možno klasifikovať ako „intelektuálne matematické hry“. Moderná veda hovorí o 7-rozmernom alebo 26-rozmernom modeli sveta. Takýto svet sa dá modelovať iba pomocou matematických vzorcov, ľudia si to jednoducho nevedia predstaviť. Tu prichádzajú vhod nemožné figúrky. Z filozofického hľadiska slúžia ako pripomienka, že každý jav (v systémovej analýze, vede, politike, ekonomike atď.) by sa mal posudzovať vo všetkých zložitých a nezrejmých vzťahoch.

Obraz „Nemožná abeceda“ predstavuje množstvo nemožných (a možných) predmetov.

Treťou populárnou nemožnou postavou je neuveriteľné schodisko, ktoré vytvoril Penrose. Po nej budete nepretržite buď stúpať (proti smeru hodinových ručičiek), alebo klesať (v smere hodinových ručičiek). Penroseov model tvoril základ slávneho obrazu M. Eschera „Hore a dole“ („Vzostupne a zostupne“).

Existuje ďalšia skupina objektov, ktoré nemožno implementovať. Klasickou figúrkou je nemožný trojzubec, čiže „čertova vidlička“.

Ak pozorne preštudujete obrázok, všimnete si, že tri zuby sa postupne menia na dva na jednej základni, čo vedie ku konfliktu. Porovnáme počet zubov nad a pod a dospejeme k záveru, že objekt je nemožný.

Internetové zdroje o nemožných objektoch

Na prvý pohľad sa zdá, že nemožné postavy môžu existovať iba v lietadle. V skutočnosti môžu byť neuveriteľné postavy stelesnené v trojrozmernom priestore, ale pre „rovnaký efekt“ sa na ne musíte pozerať z určitého bodu.

Skreslená perspektíva je bežným javom v starovekom maliarstve. Niekde to bolo kvôli neschopnosti umelcov skonštruovať obraz, niekde to bol prejav ľahostajnosti k realizmu, ktorý bol uprednostňovaný pred symbolizmom. Materiálny svet bol čiastočne rehabilitovaný počas renesancie. Renesanční majstri začali skúmať perspektívu a objavovali hry s priestorom.

Jeden z obrazov nemožnej postavy pochádza zo 16. storočia - na obraze Pietera Bruegela staršieho „Straka na šibenici“ vyzerá tá istá šibenica podozrivo.

Veľká sláva prišla k nemožným postavám dvadsiateho storočia. Švédsky umelec Oskar Rootesvard namaľoval v roku 1934 trojuholník zložený z kociek „Opus 1“ a o niekoľko rokov neskôr „Opus 2B“, v ktorom bol počet kociek znížený. Sám umelec poznamenáva, že za najcennejšiu vec vo vývoji postáv, ktoré podnikol v školských rokoch, by sa nemalo považovať vytvorenie samotných kresieb, ale schopnosť pochopiť, že to, čo je nakreslené, je paradoxné a odporuje zákonom. euklidovskej geometrie.

Moja prvá nemožná postava sa objavila náhodou, keď som v roku 1934, v poslednom ročníku na gymnáziu, čmáral učebnicu latinskej gramatiky a kreslil do nej geometrické útvary.
Oscar Rootesward "Nemožné čísla"

V 50-tych rokoch dvadsiateho storočia vyšiel článok britského matematika Rogera Penrosea venovaný zvláštnostiam vnímania priestorových foriem zobrazených na rovine. Článok bol publikovaný v British Journal of Psychology, ktorý hovorí veľa o podstate nemožných postáv. Hlavná vec na nich nie je ani paradoxná geometria, ale to, ako takéto javy vníma naša myseľ. Zvyčajne trvá niekoľko sekúnd, kým prídete na to, čo presne je na obrázku „zlé“.

Vďaka Rogerovi Penrosovi sa na tieto postavy pozeralo z vedeckého hľadiska ako na objekty so špeciálnymi topologickými charakteristikami. Austrálska socha, o ktorej sme hovorili vyššie, je presne nemožným Penroseovým trojuholníkom, v ktorom sú všetky komponenty skutočné, ale obraz neprispieva k celistvosti, ktorá môže existovať v trojrozmernom svete. Penrosov trojuholník je zavádzajúci tým, že poskytuje falošnú perspektívu.

Záhadné postavy sa stali zdrojom inšpirácie pre fyzikov, matematikov a umelcov. Grafik Maurits Escher, inšpirovaný Penrosovým článkom, vytvoril niekoľko litografií, ktoré mu priniesli slávu ako iluzionistovi, a následne pokračoval v experimentovaní s priestorovými deformáciami na rovine.

Nemožná vidlica

Nemožný trojzubec, blivet alebo dokonca, ako sa tiež nazýva, „diablova vidlička“ je postava s tromi okrúhlymi hrotmi na jednom konci a obdĺžnikovými na druhom. Ukazuje sa, že objekt je v pravej a ľavej časti celkom normálny, no v komplexe sa ukáže ako čisté šialenstvo.

Tento efekt sa dosahuje v dôsledku skutočnosti, že je ťažké jasne povedať, kde je popredie a kde je pozadie.

Iracionálna kocka

Nemožná kocka (známa aj ako „Escherova kocka“) sa objavila v litografii „Belvedere“ od Mauritsa Eschera. Zdá sa, že táto kocka svojou existenciou porušuje všetky základné geometrické zákony. Riešenie, ako vždy pri nemožných číslach, je celkom jednoduché: ľudské oko má tendenciu vnímať dvojrozmerné obrazy ako trojrozmerné objekty.

Medzitým by v troch rozmeroch vyzerala nemožná kocka takto a z určitého bodu by vyzerala rovnako ako na obrázku vyššie.

Nemožné postavy sú veľmi zaujímavé pre psychológov, kognitívnych vedcov a evolučných biológov, ktoré pomáhajú dozvedieť sa viac o našom videní a priestorovom myslení. Počítačová technika, virtuálna realita a projekcie dnes rozširujú možnosti, takže na kontroverzné predmety sa možno pozerať s novým záujmom.

Okrem klasických príkladov, ktoré sme uviedli, existuje mnoho ďalších možností pre nemožné postavy a umelci a matematici prichádzajú s novými a paradoxnými možnosťami. Sochári a architekti používajú riešenia, ktoré sa môžu zdať neuveriteľné, hoci ich vzhľad závisí od smeru, ktorým sa divák pozerá (ako sľúbil Escher – relativita!).

Nemusíte byť profesionálnym architektom, aby ste si vyskúšali vytváranie objemových nemožností. Existujú origami nemožných postáv - to sa dá zopakovať doma stiahnutím polotovaru.

Užitočné zdroje

Impossible World je zdroj v ruštine a angličtine so slávnymi maľbami, stovkami príkladov nemožných postáv a programami na vytvorenie neuveriteľného na vlastnú päsť.
M.C. Escher - oficiálna stránka M.K. Escher, ktorú založila spoločnosť MC Escher Company (anglicky a holandsky).
- umelecké diela, články, životopis (ruský jazyk).

Nemožné postavy sú postavy zobrazené v perspektíve tak, aby na prvý pohľad vyzerali ako obyčajná postava. Pri bližšom skúmaní si však divák uvedomí, že takáto postava nemôže existovať v trojrozmernom priestore. Escher zobrazil nemožné postavy vo svojich slávnych obrazoch Belvedere (1958), Výstup a zostup (1960) a Vodopád (1961). Jedným z príkladov nemožnej postavy je obraz súčasného maďarského umelca Istvana Orosza.

Istvan Oros "Križovatka" (1999). Reprodukcia kovovej rytiny. Obraz zobrazuje mosty, ktoré nemôžu existovať v trojrozmernom priestore. Napríklad vo vode sú odrazy, ktoré nemôžu byť pôvodnými mostami.

Mobiov pás

Möbiov pás je trojrozmerný objekt, ktorý má iba jednu stranu. Tento typ pásky sa dá ľahko vyrobiť z pásika papiera tak, že sa jeden koniec pásika stočí a potom sa oba konce zlepia. Escher zobrazil Möbiov pás vo filmoch Jazdci (1946), Möbiov pás II (Červené mravce) (1963) a Uzly (1965).

"Uzly" - Maurits Cornelis Escher 1965

Neskôr sa plochy s minimálnou energiou stali inšpiráciou pre mnohých matematických umelcov. Brent Collins, používa Möbiove pásy a minimálne energetické plochy, ako aj iné typy abstrakcií v sochárstve.

Skreslené a nezvyčajné perspektívy

Neobvyklé perspektívne systémy obsahujúce dva alebo tri úbežníky sú tiež obľúbenou témou mnohých umelcov. Medzi ne patrí aj príbuzný odbor – anamorfné umenie. Escher použil skreslenú perspektívu vo viacerých svojich dielach, Nad a pod (1947), Dom schodov (1951) a Obrazáreň (1956). Dick Termes používa šesťbodovú perspektívu na kreslenie scén na gule a mnohosteny, ako je znázornené v príklade nižšie.

Dick Termes "Klietka pre človeka" (1978). Toto je maľovaná guľa, ktorá bola vytvorená pomocou šesťbodovej perspektívy. Zobrazuje geometrickú štruktúru vo forme mriežky, cez ktorú je viditeľná krajina. Do klietky prenikajú tri vetvy a plazy sa po nej plazia. Zatiaľ čo niektorí skúmajú svet, iní sa ocitnú v klietke.

Slovo anamorfný je utvorené z dvoch gréckych slov „ana“ (opäť) a morthe (forma). Anamorfné obrazy sú obrazy, ktoré sú tak silne skreslené, že je nemožné ich rozoznať bez špeciálneho zrkadla. Toto zrkadlo sa niekedy nazýva anamorfoskop. Ak sa pozriete cez anamorfoskop, obraz sa „znova sformuje“ do rozpoznateľného obrazu. Európski umelci ranej renesancie boli fascinovaní lineárnymi anamorfickými maľbami, kde sa podlhovastý obraz pri pohľade z uhla stal opäť normálnym. Slávnym príkladom je obraz Hansa Holbeina „The Ambassadors“ (1533), ktorý zobrazuje predĺženú lebku. Obraz môže byť naklonený v hornej časti schodiska, takže ľudia kráčajúci po schodoch budú vystrašení obrazom lebky. Anamorfné maľby, na zobrazenie ktorých sú potrebné valcové zrkadlá, boli populárne v Európe a na východe v 17. a 18. storočí. Takéto obrázky často niesli správy o politickom proteste alebo mali erotický obsah. Escher vo svojej tvorbe nepoužil klasické anamorfické zrkadlá, v niektorých obrazoch však použil zrkadlá sférické. Jeho najznámejším dielom v tomto štýle je „Hand with a Reflecting Sphere“ (1935). Príklad nižšie ukazuje klasický anamorfický obrázok od Istvana Orosza.

Istvan Oros "Studňa" (1998). Obraz „Studňa“ bol vytlačený z kovovej rytiny. Dielo vzniklo k storočnici narodenia M.K. Escher. Escher napísal o exkurziách do matematického umenia ako o prechádzke krásnou záhradou, kde sa nič neopakuje. Brána na ľavej strane obrázku oddeľuje Escherovu matematickú záhradu, ktorá sa nachádza v mozgu, od fyzického sveta. Rozbité zrkadlo na pravej strane obrazu ukazuje pohľad na malé mestečko Atrani na pobreží Amalfi v Taliansku. Escher to miesto miloval a nejaký čas tam žil. Toto mesto zobrazil na druhom a treťom obraze zo série Metamorfózy. Ak na miesto studne umiestnite valcové zrkadlo, ako je znázornené vpravo, objaví sa v ňom akoby mávnutím Escherova tvár.