Súradnice priesečníka dvoch priamych čiar online. Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine

V dvojrozmernom priestore sa dve priamky pretínajú iba v jednom bode, definovanom súradnicami (x,y). Keďže obe priamky prechádzajú ich priesečníkom, súradnice (x,y) musia spĺňať obe rovnice, ktoré tieto priamky opisujú. S niektorými ďalšími schopnosťami môžete nájsť priesečníky parabol a iných kvadratických kriviek.

Kroky

Priesečník dvoch čiar

Napíšte rovnicu každého riadku, pričom izolujte premennú „y“ na ľavej strane rovnice. Ostatné členy rovnice by mali byť umiestnené na pravej strane rovnice. Možno, že rovnica, ktorá vám bola poskytnutá, bude obsahovať premennú f(x) alebo g(x) namiesto „y“; v tomto prípade izolujte takúto premennú. Ak chcete izolovať premennú, vykonajte príslušné výpočty na oboch stranách rovnice.

• Ak vám nie sú dané rovnice čiar, na základe informácií, ktoré poznáte.
• Príklad. Dané priamky opísané rovnicami a y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Ak chcete izolovať „y“ v druhej rovnici, pridajte číslo 12 na obe strany rovnice:

1. Hľadáte priesečník oboch priamok, teda bod, ktorého súradnice (x, y) spĺňajú obe rovnice. Keďže premenná „y“ sa nachádza na ľavej strane každej rovnice, výrazy nachádzajúce sa na pravej strane každej rovnice možno prirovnať. Napíšte novú rovnicu.

   • Príklad. Pretože y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) A y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), potom môžeme napísať nasledujúcu rovnosť: .

2. Nájdite hodnotu premennej "x". Nová rovnica obsahuje iba jednu premennú, "x". Ak chcete nájsť "x", izolujte túto premennú na ľavej strane rovnice vykonaním príslušného výpočtu na oboch stranách rovnice. Mali by ste dostať rovnicu v tvare x = __ (ak to nedokážete, pozrite si túto časť).

   • Príklad. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Pridať 2 x (\displaystyle 2x) na každú stranu rovnice:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Odčítajte 3 z každej strany rovnice:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Vydeľte každú stranu rovnice 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Zistenú hodnotu premennej "x" použite na výpočet hodnoty premennej "y". Za týmto účelom nahraďte nájdenú hodnotu „x“ do rovnice (akejkoľvek) priamky.

   • Príklad. x = 3 (\displaystyle x=3) A y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Skontrolujte odpoveď. Ak to chcete urobiť, nahraďte hodnotu „x“ do inej rovnice riadku a nájdite hodnotu „y“. Ak získate rôzne hodnoty y, skontrolujte, či sú vaše výpočty správne.

   • Príklad: x = 3 (\displaystyle x=3) A y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Dostali ste rovnakú hodnotu pre y, takže vo výpočtoch nie sú žiadne chyby.

5. Zapíšte si súradnice (x,y). Po vypočítaní hodnôt „x“ a „y“ ste našli súradnice priesečníka dvoch čiar. Zapíšte súradnice priesečníka v tvare (x,y).

   • Príklad. x = 3 (\displaystyle x=3) A y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Dve priamky sa teda pretínajú v bode so súradnicami (3,6).

6. Výpočty v špeciálnych prípadoch. V niektorých prípadoch nie je možné nájsť hodnotu premennej "x". To však neznamená, že ste urobili chybu. Špeciálny prípad nastáva, keď je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

   • Ak sú dve čiary rovnobežné, nepretínajú sa. V tomto prípade sa premenná „x“ jednoducho zníži a vaša rovnica sa zmení na nezmyselnú rovnosť (napr. 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). V takom prípade do odpovede napíšte, že sa čiary nepretínajú alebo neexistuje žiadne riešenie.
   • Ak obe rovnice opisujú jednu priamku, potom bude existovať nekonečný počet priesečníkov. V tomto prípade sa premenná „x“ jednoducho zruší a vaša rovnica sa zmení na prísnu rovnosť (napr. 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). V takom prípade do odpovede napíšte, že tieto dva riadky sa zhodujú.

   Problémy s kvadratickými funkciami

   1. Definícia kvadratickej funkcie. V kvadratickej funkcii má jedna alebo viac premenných druhý stupeň (ale nie vyšší), napr. x 2 (\displaystyle x^(2)) alebo y 2 (\displaystyle y^(2)). Grafy kvadratických funkcií sú krivky, ktoré sa nemusia pretínať alebo sa môžu pretínať v jednom alebo dvoch bodoch. V tejto časti vám povieme, ako nájsť priesečník alebo body kvadratických kriviek.

   2. Prepíšte každú rovnicu izoláciou premennej „y“ na ľavej strane rovnice. Ostatné členy rovnice by mali byť umiestnené na pravej strane rovnice.

      • Príklad. Nájdite bod(y) priesečníka grafov x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) A
      • Izolujte premennú "y" na ľavej strane rovnice:
      • A y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • V tomto príklade dostanete jednu kvadratickú funkciu a jednu lineárnu funkciu. Pamätajte, že ak dostanete dve kvadratické funkcie, výpočty sú podobné krokom uvedeným nižšie.

   3. Vyrovnajte výrazy na pravej strane každej rovnice. Keďže premenná „y“ sa nachádza na ľavej strane každej rovnice, výrazy nachádzajúce sa na pravej strane každej rovnice možno prirovnať.

      • Príklad. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) A y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Preneste všetky členy výslednej rovnice na jej ľavú stranu a na pravú stranu napíšte 0. Ak to chcete urobiť, urobte základnú matematiku. To vám umožní vyriešiť výslednú rovnicu.

      • Príklad. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Odčítajte „x“ od oboch strán rovnice:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Odčítajte 7 od oboch strán rovnice:

   5. Vyriešte kvadratickú rovnicu. Presunutím všetkých členov rovnice na jej ľavú stranu získate kvadratickú rovnicu. Dá sa vyriešiť tromi spôsobmi: pomocou špeciálneho vzorca a.

      • Príklad. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Keď vynásobíte rovnicu, dostanete dva binomy, ktoré po vynásobení dostanete pôvodnú rovnicu. V našom príklade prvý termín x 2 (\displaystyle x^(2)) možno rozložiť na x * x. Zapíšte si toto: (x) (x) = 0
      • V našom príklade môže byť voľný člen -6 faktorizovaný do nasledujúcich faktorov: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • V našom príklade je druhým členom x (alebo 1x). Pridajte každý pár faktorov fiktívneho výrazu (v našom príklade -6), kým nezískate 1. V našom príklade je vhodný pár faktorov fiktívneho výrazu -2 a 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), pretože − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Do prázdnych políčok doplňte nájdenú dvojicu čísel: .

   6. Nezabudnite na druhý priesečník dvoch grafov. Ak problém vyriešite rýchlo a nie veľmi opatrne, môžete zabudnúť na druhý priesečník. Tu je návod, ako nájsť súradnice x dvoch priesečníkov:

      • Príklad (faktorizácia). Ak v rov. (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) jeden z výrazov v zátvorkách sa bude rovnať 0, potom sa celá rovnica bude rovnať 0. Preto ju môžeme zapísať takto: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) A x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (to znamená, že ste našli dva korene rovnice).
      • Príklad (použitie vzorca alebo dokončenie dokonalého štvorca). Pri použití jednej z týchto metód sa v procese riešenia objaví druhá odmocnina. Napríklad rovnica z nášho príkladu bude mať tvar x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Pamätajte, že pri odmocnení dostanete dve riešenia. V našom prípade: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), A 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Zapíšte si teda dve rovnice a nájdite dve hodnoty x.

   7. Grafy sa pretínajú v jednom bode alebo sa nepretínajú vôbec. Takéto situácie nastanú, ak sú splnené nasledujúce podmienky:

      • Ak sa grafy pretínajú v jednom bode, potom sa kvadratická rovnica rozloží na identické faktory, napríklad (x-1) (x-1) = 0, a druhá odmocnina z 0 sa objaví vo vzorci ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). V tomto prípade má rovnica len jedno riešenie.
      • Ak sa grafy vôbec nepretínajú, rovnica sa nerozloží a vo vzorci sa objaví druhá odmocnina záporného čísla (napr. − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). V takom prípade do odpovede napíšte, že neexistuje riešenie.

Ach-och-och-och-och... no je to ťažké, akoby si čítal vetu sám pre seba =) Relax však pomôže neskôr, najmä keď som si dnes kúpila príslušné doplnky. Preto poďme k prvej časti, dúfam, že do konca článku si udržím veselú náladu.

Relatívna poloha dvoch priamych čiar

To je prípad, keď publikum spieva v zbore. Dve rovné čiary môžu:

1) zápas;

2) byť paralelné: ;

3) alebo sa pretínajú v jednom bode: .

Pomoc pre figuríny : Prosím, zapamätajte si matematickú značku križovatky, bude sa objavovať veľmi často. Zápis znamená, že čiara sa pretína s čiarou v bode .

Ako určiť vzájomnú polohu dvoch čiar?

Začnime prvým prípadom:

Dve čiary sa zhodujú vtedy a len vtedy, ak sú ich zodpovedajúce koeficienty proporcionálne, to znamená, že existuje číslo „lambda“ také, že sú splnené rovnosti

Uvažujme priame čiary a zo zodpovedajúcich koeficientov vytvorte tri rovnice: . Z každej rovnice vyplýva, že tieto čiary sa teda zhodujú.

Vskutku, ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobte –1 (znamienka zmeny) a všetky koeficienty rovnice znížením o 2, dostanete rovnakú rovnicu: .

Druhý prípad, keď sú čiary rovnobežné:

Dve čiary sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty premenných úmerné: , Ale.

Ako príklad zvážte dve priame čiary. Skontrolujeme proporcionalitu zodpovedajúcich koeficientov pre premenné:

Je však celkom zrejmé, že.

A tretí prípad, keď sa čiary pretínajú:

Dve čiary sa pretínajú vtedy a len vtedy, ak ich koeficienty premenných NIE sú proporcionálne, to znamená, že NEEXISTUJE taká hodnota „lambda“, aby boli splnené rovnosti

Takže pre priame čiary vytvoríme systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že , a z druhej rovnice: , čo znamená systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Koeficienty premenných teda nie sú proporcionálne.

Záver: čiary sa pretínajú

V praktických problémoch môžete použiť práve diskutovanú schému riešenia. Mimochodom, veľmi to pripomína algoritmus na kontrolu kolinearity vektorov, na ktorý sme sa pozreli v triede Koncept lineárnej (ne)závislosti vektorov. Základy vektorov. Existuje však civilizovanejší obal:

Príklad 1

Zistite relatívnu polohu čiar:

Riešenie založené na štúdiu smerových vektorov priamych čiar:

a) Z rovníc nájdeme smerové vektory priamok: .

, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne a čiary sa pretínajú.

Pre každý prípad dám na križovatku kameň so značkami:

Zvyšok preskočte kameň a choďte ďalej, priamo ku Kašchei nesmrteľnému =)

b) Nájdite smerové vektory čiar:

Čiary majú rovnaký smerový vektor, čo znamená, že sú buď rovnobežné, alebo zhodné. Tu nie je potrebné počítať determinant.

Je zrejmé, že koeficienty neznámych sú úmerné a .

Poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá:

teda

c) Nájdite smerové vektory čiar:

Vypočítajme determinant tvorený súradnicami týchto vektorov:
, preto sú smerové vektory kolineárne. Čiary sú buď rovnobežné alebo zhodné.

Koeficient proporcionality „lambda“ je ľahko viditeľný priamo z pomeru vektorov kolineárneho smeru. Dá sa to však zistiť aj prostredníctvom koeficientov samotných rovníc: .

Teraz poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá. Oba voľné termíny sú nulové, takže:

Výsledná hodnota spĺňa túto rovnicu (vo všeobecnosti ju spĺňa akékoľvek číslo).

Čiary sa teda zhodujú.

Odpoveď:

Veľmi skoro sa naučíte (alebo dokonca ste sa už naučili) riešiť diskutovaný problém doslova v priebehu niekoľkých sekúnd. V tomto ohľade nevidím zmysel ponúkať čokoľvek pre nezávislé riešenie, je lepšie položiť ďalšiu dôležitú tehlu do geometrického základu:

Ako zostrojiť priamku rovnobežnú s danou?

Za neznalosť tejto najjednoduchšej úlohy slávik zbojník tvrdo trestá.

Príklad 2

Priamka je daná rovnicou. Napíšte rovnicu pre rovnobežku, ktorá prechádza bodom.

Riešenie: Neznámy riadok označme písmenom . Čo o nej hovorí stav? Priamka prechádza bodom. A ak sú čiary rovnobežné, potom je zrejmé, že smerový vektor priamky „tse“ je vhodný aj na zostrojenie priamky „de“.

Z rovnice vyberieme smerový vektor:

Odpoveď:

Príklad geometrie vyzerá jednoducho:

Analytické testovanie pozostáva z nasledujúcich krokov:

1) Skontrolujeme, či priamky majú rovnaký smerový vektor (ak rovnica priamky nie je správne zjednodušená, vektory budú kolineárne).

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici.

Vo väčšine prípadov možno analytické testovanie ľahko vykonať ústne. Pozrite sa na dve rovnice a mnohí z vás rýchlo určia rovnobežnosť čiar bez akéhokoľvek kreslenia.

Príklady nezávislých riešení dnes budú kreatívne. Pretože stále budete musieť súťažiť s Babou Yagou a ona, viete, je milovníčkou najrôznejších hádaniek.

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom rovnobežným s priamkou ak

Existuje racionálny a nie až taký racionálny spôsob, ako to vyriešiť. Najkratšia cesta je na konci hodiny.

Trochu sme pracovali s paralelnými líniami a vrátime sa k nim neskôr. Prípad zhodujúcich sa línií je málo zaujímavý, preto sa pozrime na problém, ktorý je vám veľmi známy zo školských osnov:

Ako nájsť priesečník dvoch čiar?

Ak rovno pretínajú v bode , potom sú jeho súradnice riešením sústavy lineárnych rovníc

Ako nájsť priesečník čiar? Vyriešte systém.

Tu máš geometrický význam sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi- sú to dve pretínajúce sa (najčastejšie) čiary v rovine.

Príklad 4

Nájdite priesečník čiar

Riešenie: Existujú dva spôsoby riešenia - grafický a analytický.

Grafická metóda je jednoducho nakresliť dané čiary a zistiť priesečník priamo z výkresu:

Tu je naša pointa: . Pre kontrolu by ste mali nahradiť jej súradnice do každej rovnice čiary, mali by sa zmestiť tam aj tam. Inými slovami, súradnice bodu sú riešením systému. V podstate sme sa pozreli na grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc s dvoma rovnicami, dvoma neznámymi.

Grafická metóda samozrejme nie je zlá, no sú tu citeľné nevýhody. Nie, nejde o to, že siedmaci sa takto rozhodujú, ide o to, že vytvorenie správneho a PRESNEHO nákresu zaberie čas. Navyše, niektoré rovné čiary nie je také ľahké zostrojiť a samotný priesečník sa môže nachádzať niekde v tridsiatom kráľovstve mimo hárku zošita.

Preto je vhodnejšie hľadať priesečník analytickou metódou. Poďme vyriešiť systém:

Na riešenie systému bola použitá metóda sčítania rovníc po členoch. Ak chcete rozvíjať príslušné zručnosti, vezmite si lekciu Ako vyriešiť sústavu rovníc?

Odpoveď:

Kontrola je triviálna - súradnice priesečníka musia spĺňať každú rovnicu systému.

Príklad 5

Nájdite priesečník čiar, ak sa pretínajú.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Je vhodné rozdeliť úlohu do niekoľkých etáp. Analýza stavu naznačuje, že je potrebné:
1) Napíšte rovnicu priamky.
2) Napíšte rovnicu priamky.
3) Zistite vzájomnú polohu čiar.
4) Ak sa čiary pretínajú, nájdite priesečník.

Vývoj akčného algoritmu je typický pre mnohé geometrické problémy a budem sa na to opakovane zameriavať.

Úplné riešenie a odpoveď na konci lekcie:

Predtým, ako sme sa dostali k druhej časti lekcie, neboli opotrebované ani topánky:

Kolmé čiary. Vzdialenosť od bodu k čiare.
Uhol medzi rovnými čiarami

Začnime typickou a veľmi dôležitou úlohou. V prvej časti sme sa naučili, ako postaviť priamku rovnobežnú s touto, a teraz sa chatrč na kuracích stehnách otočí o 90 stupňov:

Ako zostrojiť priamku kolmú na danú?

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou. Napíšte rovnicu kolmú na priamku prechádzajúcu bodom.

Riešenie: Podľa podmienok je známe, že . Bolo by pekné nájsť smerový vektor čiary. Keďže čiary sú kolmé, trik je jednoduchý:

Z rovnice „odstránime“ normálový vektor: , ktorý bude smerovacím vektorom priamky.

Zostavme rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora:

Odpoveď:

Rozšírime geometrický náčrt:

Hmmm... Oranžová obloha, oranžové more, oranžová ťava.

Analytické overenie riešenia:

1) Z rovníc vyberieme smerové vektory a s pomocou skalárny súčin vektorov prichádzame k záveru, že priamky sú skutočne kolmé: .

Mimochodom, môžete použiť normálne vektory, je to ešte jednoduchšie.

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici .

Test je opäť jednoduché vykonať ústne.

Príklad 7

Nájdite priesečník kolmých čiar, ak je rovnica známa a bodka.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. V úlohe je viacero akcií, preto je vhodné formulovať riešenie bod po bode.

Naša vzrušujúca cesta pokračuje:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Máme pred sebou rovný pás rieky a našou úlohou je dostať sa k nemu najkratšou cestou. Neexistujú žiadne prekážky a najoptimálnejšou trasou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmého segmentu.

Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje gréckym písmenom „rho“, napríklad: – vzdialenosť od bodu „em“ k priamke „de“.

Vzdialenosť od bodu k čiare vyjadrené vzorcom

Príklad 8

Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare

Riešenie: všetko, čo musíte urobiť, je starostlivo nahradiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:

Odpoveď:

Urobme výkres:

Nájdená vzdialenosť od bodu k čiare je presne dĺžka červeného segmentu. Ak nakreslíte kresbu na kockovaný papier v mierke 1 jednotky. = 1 cm (2 bunky), potom možno vzdialenosť odmerať obyčajným pravítkom.

Uvažujme o ďalšej úlohe založenej na rovnakom výkrese:

Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku . Navrhujem vykonať kroky sami, ale načrtnem algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:

1) Nájdite čiaru, ktorá je kolmá na čiaru.

2) Nájdite priesečník čiar: .

Obe akcie sú podrobne diskutované v tejto lekcii.

3) Bod je stredom segmentu. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. Autor: vzorce pre súradnice stredu segmentu nájdeme .

Bolo by dobré skontrolovať, či je vzdialenosť tiež 2,2 jednotky.

Pri výpočtoch tu môžu nastať ťažkosti, ale vo veži je veľkým pomocníkom mikrokalkulačka, ktorá vám umožní vypočítať bežné zlomky. Už som Vám mnohokrát poradil a budem Vás odporúčať znova.

Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?

Príklad 9

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

Toto je ďalší príklad, aby ste sa rozhodli sami. Dám vám malú nápovedu: existuje nekonečne veľa spôsobov, ako to vyriešiť. Zhrnutie na konci lekcie, ale je lepšie sa pokúsiť uhádnuť sami, myslím, že vaša vynaliezavosť bola dobre vyvinutá.

Uhol medzi dvoma priamymi čiarami

Každý roh je zárubňou:


V geometrii sa uhol medzi dvoma priamkami považuje za MENŠÍ uhol, z čoho automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepovažuje za uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. A jeho “zelený” sused resp opačne orientované„malinový“ kútik.

Ak sú čiary kolmé, potom ktorýkoľvek zo 4 uhlov možno považovať za uhol medzi nimi.

Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, zásadne dôležitý je smer, v ktorom sa uhol „posúva“. Po druhé, negatívne orientovaný uhol sa zapíše so znamienkom mínus, napríklad ak .

Prečo som ti to povedal? Zdá sa, že si vystačíme s obvyklou koncepciou uhla. Faktom je, že vzorce, podľa ktorých nájdeme uhly, môžu ľahko vyústiť do negatívneho výsledku, a to by vás nemalo zaskočiť. Uhol so znamienkom mínus nie je o nič horší a má veľmi špecifický geometrický význam. V prípade záporného uhla na výkrese nezabudnite označiť jeho orientáciu šípkou (v smere hodinových ručičiek).

Ako nájsť uhol medzi dvoma priamkami? Existujú dva pracovné vzorce:

Príklad 10

Nájdite uhol medzi čiarami

Riešenie A Metóda jedna

Uvažujme dve priame čiary definované rovnicami vo všeobecnom tvare:

Ak rovno nie kolmá, To orientovaný Uhol medzi nimi možno vypočítať pomocou vzorca:

Pozorne si všímajme menovateľa – presne taký je bodkový produkt smerovanie vektorov priamych čiar:

Ak , potom sa menovateľ vzorca stane nulou a vektory budú ortogonálne a čiary budú kolmé. Preto bola vznesená výhrada k nekolmosti priamych čiar vo formulácii.

Na základe vyššie uvedeného je vhodné formalizovať riešenie v dvoch krokoch:

1) Vypočítajme skalárny súčin smerových vektorov priamok:
, čo znamená, že čiary nie sú kolmé.

2) Nájdite uhol medzi priamymi čiarami pomocou vzorca:

Pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol. V tomto prípade používame nepárnosť arkustangens (pozri. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií):

Odpoveď:

V odpovedi uvádzame presnú hodnotu, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch a radiánoch), vypočítanú pomocou kalkulačky.

No, mínus, mínus, nič veľké. Tu je geometrická ilustrácia:

Nie je prekvapujúce, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože v probléme je prvé číslo priamka a „odskrutkovanie“ uhla začalo presne s ním.

Ak naozaj chcete získať kladný uhol, musíte zameniť čiary, to znamená vziať koeficienty z druhej rovnice a zoberte koeficienty z prvej rovnice. Stručne povedané, musíte začať s priamym .

Na vyriešenie geometrickej úlohy súradnicovou metódou je potrebný priesečník, ktorého súradnice sú použité pri riešení. Nastane situácia, keď potrebujete hľadať súradnice priesečníka dvoch čiar v rovine alebo určiť súradnice tých istých čiar v priestore. Tento článok sa zaoberá prípadmi hľadania súradníc bodov, kde sa dané čiary pretínajú.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Je potrebné definovať priesečníky dvoch priamok.

Časť o vzájomnej polohe čiar v rovine ukazuje, že sa môžu zhodovať, byť rovnobežné, pretínať sa v jednom spoločnom bode alebo sa môžu pretínať. Dve čiary v priestore sa nazývajú pretínajúce sa, ak majú jeden spoločný bod.

Definícia priesečníka čiar znie takto:

Definícia 1

Bod, v ktorom sa dve priamky pretínajú, sa nazýva ich priesečník. Inými slovami, bod pretínajúcich sa čiar je priesečník.

Pozrime sa na obrázok nižšie.

Pred nájdením súradníc priesečníka dvoch čiar je potrebné zvážiť nižšie uvedený príklad.

Ak má rovina súradnicový systém O x y, potom sú určené dve priamky a a b. Čiara a zodpovedá všeobecnej rovnici tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, pre čiaru b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Potom M 0 (x 0 , y 0) je určitý bod roviny, treba určiť, či bod M 0 bude priesečníkom týchto priamok.

Na vyriešenie problému je potrebné dodržať definíciu. Potom sa priamky musia pretínať v bode, ktorého súradnice sú riešením daných rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. To znamená, že súradnice priesečníka sú dosadené do všetkých daných rovníc. Ak po substitúcii dávajú správnu identitu, potom sa za ich priesečník považuje M 0 (x 0 , y 0).

Príklad 1

Dané dve pretínajúce sa čiary 5 x - 2 y - 16 = 0 a 2 x - 5 y - 19 = 0. Bude bod M 0 so súradnicami (2, - 3) priesečníkom.

Riešenie

Aby bol priesečník priamok platný, je potrebné, aby súradnice bodu M 0 spĺňali rovnice priamok. Dá sa to skontrolovať ich nahradením. Chápeme to

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Obe rovnosti sú pravdivé, čo znamená, že M 0 (2, - 3) je priesečníkom daných čiar.

Znázornime toto riešenie na súradnicovej čiare na obrázku nižšie.

odpoveď: daný bod so súradnicami (2, - 3) bude priesečníkom daných čiar.

Príklad 2

Budú sa priamky 5 x + 3 y - 1 = 0 a 7 x - 2 y + 11 = 0 pretínať v bode M 0 (2, - 3)?

Riešenie

Ak chcete problém vyriešiť, musíte do všetkých rovníc nahradiť súradnice bodu. Chápeme to

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Druhá rovnosť nie je pravdivá, to znamená, že daný bod nepatrí do priamky 7 x - 2 y + 11 = 0. Z toho máme, že bod M 0 nie je priesečníkom priamok.

Nákres jasne ukazuje, že M 0 nie je priesečník čiar. Majú spoločný bod so súradnicami (- 1, 2).

odpoveď: bod so súradnicami (2, - 3) nie je priesečníkom daných čiar.

Pristúpime k hľadaniu súradníc priesečníkov dvoch priamok pomocou daných rovníc v rovine.

Dve pretínajúce sa čiary a a b sú špecifikované rovnicami v tvare A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, ktoré sa nachádzajú na O x y. Pri označení priesečníka M 0 zistíme, že by sme mali pokračovať v hľadaní súradníc pomocou rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Z definície je zrejmé, že M 0 je spoločný priesečník priamok. V tomto prípade musia jeho súradnice spĺňať rovnice A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Inými slovami, toto je riešenie výslednej sústavy A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

To znamená, že na nájdenie súradníc priesečníka je potrebné pridať všetky rovnice do systému a vyriešiť ho.

Príklad 3

Dané dve priamky x - 9 y + 14 = 0 a 5 x - 2 y - 16 = 0 v rovine. je potrebné nájsť ich priesečník.

Riešenie

Údaje o podmienkach rovnice sa musia zhromaždiť do systému, potom získame x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. Aby sme to vyriešili, prvá rovnica sa vyrieši pre x a výraz sa nahradí do druhej:

x - 9 r + 14 = 0 5 x - 2 r - 16 = 0 ⇔ x = 9 r - 14 5 x - 2 r. - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 r. - 14 5 9 r. - 14 - 2 r. 16 = 0 ⇔ x = 9 r - 14 43 r - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 r - 14 r = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 r = 2 ⇔ x = 4 r = 2

Výsledné čísla sú súradnice, ktoré bolo potrebné nájsť.

odpoveď: M 0 (4, 2) je priesečník priamok x - 9 y + 14 = 0 a 5 x - 2 y - 16 = 0.

Hľadanie súradníc vedie k riešeniu systému lineárnych rovníc. Ak je podmienkou daný iný typ rovnice, potom by sa mala zredukovať na normálnu formu.

Príklad 4

Určte súradnice priesečníkov priamok x - 5 = y - 4 - 3 a x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R.

Riešenie

Najprv musíte uviesť rovnice do všeobecného tvaru. Potom dostaneme, že x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R sa transformuje takto:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Potom vezmeme rovnicu kanonického tvaru x - 5 = y - 4 - 3 a transformujeme. Chápeme to

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 r - 4 ⇔ 3 x - 5 r + 20 = 0

Odtiaľ máme, že súradnice sú priesečníkom

x - 9 r + 14 = 0 3 x - 5 r + 20 = 0 ⇔ x - 9 r = - 14 3 x - 5 r = - 20

Na nájdenie súradníc použijeme Cramerovu metódu:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y = 22 22 = 1

odpoveď: M° (- 5, 1).

Existuje aj spôsob, ako nájsť súradnice priesečníka čiar umiestnených v rovine. Je použiteľné, keď je jedna z priamok daná parametrickými rovnicami v tvare x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Potom namiesto hodnoty x dosadíme x = x 1 + a x · λ a y = y 1 + a y · λ, kde dostaneme λ = λ 0, čo zodpovedá priesečníku so súradnicami x 1 + a x · λ 0 y1 + ay · λ0.

Príklad 5

Určte súradnice priesečníka priamky x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R a x - 5 = y - 4 - 3.

Riešenie

Je potrebné vykonať substitúciu v x - 5 = y - 4 - 3 výrazom x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ, potom dostaneme:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Pri riešení zistíme, že λ = -1. Z toho vyplýva, že medzi priamkami x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R a x - 5 = y - 4 - 3 je priesečník. Na výpočet súradníc je potrebné do parametrickej rovnice dosadiť výraz λ = - 1. Potom dostaneme, že x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

odpoveď: M° (- 5, 1).

Ak chcete plne pochopiť tému, musíte poznať niektoré nuansy.

Najprv musíte pochopiť umiestnenie čiar. Keď sa pretnú, zistíme súradnice v iných prípadoch nebude riešenie. Aby ste sa vyhli tejto kontrole, môžete vytvoriť systém v tvare A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Ak existuje riešenie, dôjdeme k záveru, že čiary sa pretínajú. Ak neexistuje riešenie, potom sú paralelné. Keď má systém nekonečný počet riešení, hovorí sa, že sa zhodujú.

Príklad 6

Dané čiary x 3 + y - 4 = 1 a y = 4 3 x - 4. Zistite, či majú spoločný bod.

Riešenie

Zjednodušením daných rovníc dostaneme 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 a 4 3 x - y - 4 = 0.

Rovnice by sa mali zhromaždiť do systému pre následné riešenie:

1 3 x - 1 4 r - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 r = 1 4 3 x - y = 4

Z toho vidíme, že rovnice sú vyjadrené cez seba, potom dostaneme nekonečný počet riešení. Potom rovnice x 3 + y - 4 = 1 a y = 4 3 x - 4 definujú rovnakú čiaru. Preto neexistujú žiadne priesečníky.

odpoveď: dané rovnice definujú rovnakú priamku.

Príklad 7

Nájdite súradnice bodu pretínajúcich sa čiar 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 a 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Riešenie

Podľa stavu je to možné, linky sa nebudú pretínať. Je potrebné vytvoriť sústavu rovníc a riešiť. Na riešenie je potrebné použiť Gaussovu metódu, pretože s jej pomocou je možné skontrolovať kompatibilitu rovnice. Dostaneme systém formulára:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 r - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 r. = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Dostali sme nesprávnu rovnosť, čo znamená, že systém nemá žiadne riešenia. Dospeli sme k záveru, že čiary sú rovnobežné. Neexistujú žiadne priesečníky.

Druhé riešenie.

Najprv musíte určiť prítomnosť priesečníkov čiar.

n 1 → = (2, 2 - 3) je normálový vektor priamky 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, potom vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 je normálový vektor pre priamku 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Je potrebné skontrolovať kolinearitu vektorov n 1 → = (2, 2 - 3) a n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7). Získame rovnosť v tvare 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Je to správne, pretože 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Z toho vyplýva, že vektory sú kolineárne. To znamená, že čiary sú rovnobežné a nemajú žiadne priesečníky.

odpoveď: neexistujú žiadne priesečníky, čiary sú rovnobežné.

Príklad 8

Nájdite súradnice priesečníka daných priamok 2 x - 1 = 0 a y = 5 4 x - 2 .

Riešenie

Na vyriešenie zostavíme sústavu rovníc. dostaneme

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Nájdite determinant hlavnej matice. Na to platí 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Keďže sa nerovná nule, sústava má 1 riešenie. Z toho vyplýva, že čiary sa pretínajú. Poďme vyriešiť systém na hľadanie súradníc priesečníkov:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Zistili sme, že priesečník daných čiar má súradnice M 0 (1 2, - 11 8).

odpoveď: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok v priestore

Rovnakým spôsobom sa nájdu priesečníky priamych čiar v priestore.

Keď sú priamky a a b dané v súradnicovej rovine O x y z rovnicami pretínajúcich sa rovín, potom existuje priamka a, ktorú je možné určiť pomocou danej sústavy A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 a priamka b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D4 = 0.

Keď je bod M 0 priesečníkom priamok, potom jeho súradnice musia byť riešeniami oboch rovníc. Získame lineárne rovnice v systéme:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B4y + C4z + D4 = 0

Pozrime sa na podobné úlohy pomocou príkladov.

Príklad 9

Nájdite súradnice priesečníka daných priamok x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Riešenie

Poskladáme sústavu x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 a vyriešime. Ak chcete nájsť súradnice, musíte vyriešiť pomocou matice. Potom získame hlavnú maticu tvaru A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 a rozšírenú maticu T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Určíme Gaussovu hodnosť matice.

Chápeme to

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Z toho vyplýva, že poradie rozšírenej matice má hodnotu 3. Potom zo sústavy rovníc x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 vyplýva len jedno riešenie.

Základ minor má determinant 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0, potom posledná rovnica neplatí. Získame, že x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Riešenie sústavy x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

To znamená, že priesečník x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 má súradnice (1, - 3, 0).

odpoveď: (1 , - 3 , 0) .

Sústava tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 má len jedno riešenie. To znamená, že čiary a a b sa pretínajú.

V iných prípadoch rovnica nemá riešenie, teda ani spoločné body. To znamená, že nie je možné nájsť bod so súradnicami, pretože neexistuje.

Preto sústava tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 sa rieši Gaussovou metódou. Ak je nekompatibilný, čiary sa nepretínajú. Ak existuje nekonečný počet riešení, potom sa zhodujú.

Môžete to vyriešiť výpočtom hlavných a rozšírených radov matice a potom použiť Kroneckerovu-Capelliho vetu. Dostávame jedno, veľa riešení alebo žiadne.

Príklad 10

Sú uvedené rovnice priamok x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 a x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Nájdite priesečník.

Riešenie

Najprv si vytvoríme sústavu rovníc. Dostaneme, že x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Riešime to Gaussovou metódou:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Je zrejmé, že systém nemá žiadne riešenia, čo znamená, že čiary sa nepretínajú. Neexistuje žiadny priesečník.

odpoveď: neexistuje žiadny priesečník.

Ak sú čiary dané pomocou kužeľových alebo parametrických rovníc, musíte ich zredukovať na formu rovníc pretínajúcich sa rovín a potom nájsť súradnice.

Príklad 11

Dané dve priamky x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R a x 2 = y - 3 0 = z 5 v O x y z. Nájdite priesečník.

Riešenie

Priamky definujeme rovnicami dvoch pretínajúcich sa rovín. Chápeme to

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Nájdeme súradnice 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, preto vypočítame poradie matice. Hodnosť matice je 3 a menší základ je 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, čo znamená, že posledná rovnica musí byť zo systému vylúčená. Chápeme to

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Riešime systém Cramerovou metódou. Dostaneme, že x = - 2 y = 3 z = - 5. Odtiaľto dostaneme, že priesečník daných čiar dáva bod so súradnicami (- 2, 3, - 5).

odpoveď: (- 2 , 3 , - 5) .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Pri riešení niektorých geometrických úloh pomocou súradnicovej metódy musíte nájsť súradnice priesečníka čiar. Najčastejšie musíte hľadať súradnice priesečníka dvoch priamok v rovine, ale niekedy je potrebné určiť súradnice priesečníka dvoch priamok v priestore. V tomto článku sa budeme zaoberať hľadaním súradníc bodu, v ktorom sa pretínajú dve priamky.

Navigácia na stránke.

Priesečník dvoch priamok je definícia.

Najprv definujme priesečník dvoch priamok.

V časti o vzájomnej polohe priamok v rovine je ukázané, že dve priamky v rovine sa môžu buď zhodovať (a majú nekonečne veľa spoločných bodov), alebo byť rovnobežné (a dve priamky nemajú žiadne spoločné body), alebo sa môžu pretínať. , ktoré majú jeden spoločný bod. Možností vzájomnej polohy dvoch priamok v priestore je viac – môžu sa zhodovať (majú nekonečne veľa spoločných bodov), môžu byť rovnobežné (teda ležať v rovnakej rovine a nepretínajú sa), môžu sa pretínať (nie ležia v rovnakej rovine) a môžu mať aj jeden spoločný bod, teda pretínať sa. Takže dve čiary v rovine aj v priestore sa nazývajú pretínajúce sa, ak majú jeden spoločný bod.

Z definície pretínajúcich sa čiar to vyplýva určenie priesečníka čiar: Bod, v ktorom sa pretínajú dve priamky, sa nazýva priesečník týchto priamok. Inými slovami, jediným spoločným bodom dvoch pretínajúcich sa čiar je priesečník týchto čiar.

Pre názornosť uvádzame grafické znázornenie priesečníka dvoch priamok v rovine a v priestore.

Začiatok stránky

Nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok v rovine.

Pred nájdením súradníc priesečníka dvoch priamok v rovine pomocou ich známych rovníc zvážte pomocnú úlohu.

Oxy a A b. Budeme predpokladať, že rovno a zodpovedá všeobecnej rovnici priamky formulára , a priamky b– typ . Nech je nejaký bod na rovine a musíme zistiť, či je bod M 0 priesečník daných čiar.

Poďme vyriešiť problém.

Ak M0 a A b, potom podľa definície tiež patrí do riadku a a rovno b, to znamená, že jeho súradnice musia vyhovovať rovnici aj rovnici. Preto musíme nahradiť súradnice bodu M 0 do rovníc daných čiar a zistite, či to vedie k dvom správnym rovnostiam. Ak súradnice bodu M 0 spĺňajú obe rovnice a , potom je priesečník čiar a A b, inak M 0 .

Ide o pointu M 0 so súradnicami (2, -3) priesečník čiar 5x-2y-16=0 A 2x-5y-19=0?

Ak M 0 je skutočne priesečníkom daných priamok, potom jeho súradnice spĺňajú rovnice priamok. Skontrolujeme to dosadením súradníc bodu M 0 do uvedených rovníc:

Máme teda dve skutočné rovnosti, M 0 (2, -3)- priesečník čiar 5x-2y-16=0 A 2x-5y-19=0.

Pre prehľadnosť uvádzame nákres, ktorý zobrazuje priame čiary a sú viditeľné súradnice ich priesečníkov.

áno, bodka M 0 (2, -3) je priesečník čiar 5x-2y-16=0 A 2x-5y-19=0.

Pretínajú sa čiary? 5x+3y-1=0 A 7x-2y+11=0 v bode M 0 (2, -3)?

Dosadíme súradnice bodu M 0 do rovníc priamok, táto akcia skontroluje, či bod patrí M 0 obe priame čiary súčasne:

Od druhej rovnice pri dosadzovaní súradníc bodu do nej M 0 nepremenila na skutočnú rovnosť, potom bod M 0 nepatrí do radu 7x-2y+11=0. Z tejto skutočnosti môžeme usúdiť, že bod M 0 nie je priesečníkom daných čiar.

Nákres tiež jasne ukazuje, že bod M 0 nie je priesečníkom čiar 5x+3y-1=0 A 7x-2y+11=0. Je zrejmé, že dané čiary sa pretínajú v bode so súradnicami (-1, 2) .

M 0 (2, -3) nie je priesečníkom čiar 5x+3y-1=0 A 7x-2y+11=0.

Teraz môžeme prejsť k úlohe nájsť súradnice priesečníka dvoch priamok pomocou daných rovníc priamok v rovine.

Nech je na rovine pripevnený pravouhlý karteziánsky súradnicový systém Oxy a dané dve pretínajúce sa čiary a A b rovnice a resp. Priesečník daných priamok označme ako M 0 a vyriešte nasledujúci problém: nájdite súradnice priesečníka dvoch priamok a A b podľa známych rovníc týchto čiar a .

Bodka M0 patrí každej z pretínajúcich sa čiar a A b podľa definície. Potom súradnice priesečníka čiar a A b spĺňať rovnicu aj rovnicu . Preto súradnice priesečníka dvoch čiar a A b sú riešením sústavy rovníc (pozri článok riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc).

Aby ste teda našli súradnice priesečníka dvoch priamok definovaných v rovine všeobecnými rovnicami, musíte vyriešiť sústavu zloženú z rovníc daných priamok.

Pozrime sa na príklad riešenia.

Nájdite priesečník dvoch priamok definovaných v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine pomocou rovníc x-9y+14=0 A 5x-2y-16=0.

Sú nám dané dve všeobecné rovnice priamok, urobme z nich sústavu: . Riešenia výsledného systému rovníc sa dajú ľahko nájsť vyriešením jeho prvej rovnice vzhľadom na premennú x a dosaďte tento výraz do druhej rovnice:

Nájdené riešenie sústavy rovníc nám dáva požadované súradnice priesečníka dvoch priamok.

M 0 (4, 2)– priesečník čiar x-9y+14=0 A 5x-2y-16=0.

Takže nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok, definovaných všeobecnými rovnicami v rovine, vedie k riešeniu systému dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi premennými. Ale čo ak priamky v rovine nie sú dané všeobecnými rovnicami, ale rovnicami iného typu (pozri typy rovníc priamky v rovine)? V týchto prípadoch môžete najskôr zredukovať rovnice čiar do všeobecného tvaru a až potom nájsť súradnice priesečníka.

Pred nájdením súradníc priesečníka daných priamok zredukujeme ich rovnice do všeobecného tvaru. Prechod z parametrických rovníc čiary na všeobecnú rovnicu tejto čiary vyzerá takto:

Teraz vykonajte potrebné kroky s kanonickou rovnicou priamky:

Požadované súradnice priesečníka čiar sú teda riešením systému rovníc tvaru . Na jeho vyriešenie používame Cramerovu metódu:

M 0 (-5, 1)

Existuje ďalší spôsob, ako nájsť súradnice priesečníka dvoch priamok v rovine. Je vhodné použiť, keď je jedna z čiar daná parametrickými rovnicami tvaru a druhá čiarovou rovnicou iného typu. V tomto prípade v inej rovnici namiesto premenných x A r môžete dosadiť výrazy a , odkiaľ získate hodnotu, ktorá zodpovedá priesečníku daných čiar. V tomto prípade má priesečník čiar súradnice.

Pomocou tejto metódy nájdime súradnice priesečníka čiar z predchádzajúceho príkladu.

Určte súradnice priesečníka čiar a .

Dosadíme do rovnice priamkový výraz:

Po vyriešení výslednej rovnice dostaneme . Táto hodnota zodpovedá spoločnému bodu čiar a . Súradnice priesečníka vypočítame dosadením priamky do parametrických rovníc:
.

M 0 (-5, 1).

Na dokončenie obrazu je potrebné prediskutovať ešte jeden bod.

Pred zistením súradníc priesečníka dvoch priamok na rovine je vhodné sa presvedčiť, či sa dané priamky skutočne pretínajú. Ak sa ukáže, že pôvodné čiary sa zhodujú alebo sú rovnobežné, potom nemôže byť reč o nájdení súradníc priesečníka takýchto čiar.

Môžete sa, samozrejme, zaobísť bez takejto kontroly, ale okamžite vytvorte systém rovníc formulára a vyriešte ho. Ak má systém rovníc jedinečné riešenie, potom udáva súradnice bodu, v ktorom sa pôvodné priamky pretínajú. Ak systém rovníc nemá žiadne riešenia, potom môžeme dospieť k záveru, že pôvodné čiary sú rovnobežné (keďže neexistuje taký pár reálnych čísel x A r, čo by súčasne spĺňalo obe rovnice daných čiar). Z prítomnosti nekonečného počtu riešení sústavy rovníc vyplýva, že pôvodné priamky majú nekonečne veľa spoločných bodov, čiže sa zhodujú.

Pozrime sa na príklady, ktoré zodpovedajú týmto situáciám.

Zistite, či sa čiary a pretínajú, a ak sa pretínajú, potom nájdite súradnice priesečníka.

Uvedené rovnice čiar zodpovedajú rovnicam a . Poďme vyriešiť systém zložený z týchto rovníc.

Je zrejmé, že rovnice sústavy sú lineárne vyjadrené jedna cez druhú (druhá rovnica sústavy sa získa z prvej vynásobením oboch jej častí číslom 4 ), preto má sústava rovníc nekonečný počet riešení. Rovnice teda definujú rovnakú priamku a nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka týchto priamok.

rovníc a sú definované v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy rovnakú priamku, takže nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka.

Nájdite súradnice priesečníka čiar a , ak je to možné.

Stav problému umožňuje, že čiary sa nemusia pretínať. Vytvorme systém z týchto rovníc. Na jeho vyriešenie použijeme Gaussovu metódu, pretože nám umožňuje určiť kompatibilitu alebo nekompatibilitu systému rovníc, a ak je kompatibilný, nájsť riešenie:

Posledná rovnica sústavy sa po priamom prechode Gaussovou metódou zmenila na nesprávnu rovnosť, preto sústava rovníc nemá riešenia. Z toho môžeme usúdiť, že pôvodné čiary sú rovnobežné a nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka týchto čiar.

Druhé riešenie.

Poďme zistiť, či sa dané čiary pretínajú.

Normálny vektor je čiara a vektor je normálny vektor čiary. Skontrolujme, že podmienka kolinearity vektorov a : rovnosť je pravdivá, pretože normálové vektory daných priamok sú kolineárne. Potom sú tieto čiary rovnobežné alebo zhodné. Nemôžeme teda nájsť súradnice priesečníka pôvodných čiar.

nie je možné nájsť súradnice priesečníka daných čiar, pretože tieto čiary sú rovnobežné.

Nájdite súradnice priesečníka čiar 2x-1=0 a , ak sa pretínajú.

Zostavme sústavu rovníc, ktoré sú všeobecnými rovnicami daných čiar: . Determinant hlavnej matice tejto sústavy rovníc je nenulový, preto sústava rovníc má jedinečné riešenie, ktoré udáva priesečník daných priamok.

Aby sme našli súradnice priesečníka čiar, musíme vyriešiť systém:

Výsledné riešenie nám dáva súradnice priesečníka čiar, teda priesečník čiar 2x-1=0 A .

Začiatok stránky

Nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok v priestore.

Súradnice priesečníka dvoch priamok v trojrozmernom priestore sa nachádzajú podobne.

Nechajte pretínajúce sa čiary a A bšpecifikované v pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz rovnice dvoch pretínajúcich sa rovín, teda priamky a je určená systémom tvaru a priamky b- . Nechaj M 0– priesečník čiar a A b. Potom bod M 0 podľa definície tiež patrí do radu a a rovno b, preto jeho súradnice spĺňajú rovnice oboch priamok. Teda súradnice priesečníka čiar a A b predstavujú riešenie sústavy lineárnych rovníc tvaru . Tu budeme potrebovať informácie z časti o riešení sústav lineárnych rovníc, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných.

Pozrime sa na riešenia príkladov.

Nájdite súradnice priesečníka dvoch priamok definovaných v priestore rovnicami a .

Zostavme sústavu rovníc z rovníc daných čiar: . Riešenie tohto systému nám poskytne požadované súradnice priesečníka priamok v priestore. Poďme nájsť riešenie napísanej sústavy rovníc.

Hlavná matica systému má tvar a rozšírená - .

Poďme určiť hodnosť matice A a maticová hodnosť T. Používame metódu ohraničenia maloletých, ale nebudeme podrobne popisovať výpočet determinantov (v prípade potreby si pozrite článok Výpočet determinantu matice):

Hodnosť hlavnej matice sa teda rovná hodnote rozšírenej matice a rovná sa trom.

V dôsledku toho má systém rovníc jedinečné riešenie.

Determinant budeme brať ako základ moll, preto by mala byť posledná rovnica zo sústavy rovníc vylúčená, keďže sa nezúčastňuje na tvorbe základu moll. takže,

Riešenie pre výsledný systém je ľahké nájsť:

Priesečník čiar má teda súradnice (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Je potrebné poznamenať, že systém rovníc má jedinečné riešenie práve vtedy, ak sú priamky a A b pretínajú. Ak rovno A A b rovnobežka alebo kríženie, potom posledná sústava rovníc nemá riešenia, keďže v tomto prípade priamky nemajú spoločné body. Ak rovno a A b sa zhodujú, potom majú nekonečný počet spoločných bodov, preto má uvedený systém rovníc nekonečný počet riešení. V týchto prípadoch však nemôžeme hovoriť o hľadaní súradníc priesečníka čiar, pretože čiary sa nepretínajú.

Ak teda vopred nevieme, či sa dané čiary pretínajú a A b alebo nie, potom je rozumné vytvoriť sústavu rovníc tvaru a vyriešiť ju Gaussovou metódou. Ak dostaneme jedinečné riešenie, potom bude zodpovedať súradniciam priesečníka čiar a A b. Ak sa ukáže, že systém je nekonzistentný, tak ten priamy a A b nepretínajú sa. Ak má sústava nekonečný počet riešení, potom priamky a A b zápas.

Môžete to urobiť bez použitia Gaussovej metódy. Prípadne môžete vypočítať poradie hlavných a rozšírených matíc tohto systému a na základe získaných údajov a Kronecker-Capelliho vety dospieť k záveru buď o existencii jediného riešenia, alebo o existencii mnohých riešení, alebo o absencii riešenia. Je to vec vkusu.

Ak sa čiary pretínajú, určte súradnice priesečníka.

Zo zadaných rovníc vytvoríme sústavu: . Poďme to vyriešiť pomocou Gaussovej metódy v maticovom tvare:

Ukázalo sa, že sústava rovníc nemá riešenia, preto sa dané priamky nepretínajú a o nájdení súradníc priesečníka týchto priamok nemôže byť ani reči.

nemôžeme nájsť súradnice priesečníka daných čiar, keďže tieto čiary sa nepretínajú.

Keď sú pretínajúce sa priamky dané kanonickými rovnicami priamky v priestore alebo parametrickými rovnicami priamky v priestore, mali by sa najprv získať ich rovnice vo forme dvoch pretínajúcich sa rovín a až potom nájsť súradnice priesečníka.

V pravouhlom súradnicovom systéme sú definované dve pretínajúce sa čiary Oxyz rovnice a . Nájdite súradnice priesečníka týchto čiar.

Definujme počiatočné priamky rovnicami dvoch pretínajúcich sa rovín:

Na nájdenie súradníc priesečníka priamok zostáva vyriešiť sústavu rovníc. Hodnosť hlavnej matice tohto systému sa rovná hodnosti rozšírenej matice a je rovná trom (odporúčame túto skutočnosť skontrolovať). Vezmime si za základ moll, preto môžeme poslednú rovnicu zo systému vylúčiť. Po vyriešení výsledného systému pomocou akejkoľvek metódy (napríklad Cramerovej metódy) získame riešenie. Priesečník čiar má teda súradnice (-2, 3, -5) .

Lekcia zo série „Geometrické algoritmy“

Dobrý deň, milý čitateľ!

Pokračujme v oboznamovaní sa s geometrickými algoritmami. V minulej lekcii sme našli rovnicu priamky pomocou súradníc dvoch bodov. Dostali sme rovnicu v tvare:

Dnes si napíšeme funkciu, ktorá pomocou rovníc dvoch priamok zistí súradnice ich priesečníka (ak nejaký existuje). Na kontrolu rovnosti reálnych čísel použijeme špeciálnu funkciu RealEq().

Body na rovine sú opísané dvojicou reálnych čísel. Pri použití reálneho typu je lepšie implementovať porovnávacie operácie pomocou špeciálnych funkcií.

Dôvod je známy: na type Real v programovacom systéme Pascal neexistuje vzťah poradia, preto je lepšie nepoužívať záznamy v tvare a = b, kde a a b sú reálne čísla.
Dnes predstavíme funkciu RealEq() na implementáciu operácie „=“ (úplne rovnaká):

Funkcia RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (prísne rovnaké) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Úloha. Sú dané rovnice dvoch priamok: a . Nájdite bod ich priesečníka.

Riešenie. Zrejmým riešením je vyriešiť sústavu priamkových rovníc: Prepíšme tento systém trochu inak:
(1)

Uveďme nasledujúcu notáciu: , , . Tu je D determinant systému a sú to determinanty vyplývajúce z nahradenia stĺpca koeficientov pre zodpovedajúcu neznámu stĺpcom voľných členov. Ak , potom je systém (1) určitý, to znamená, že má jedinečné riešenie. Toto riešenie možno nájsť pomocou nasledujúcich vzorcov: , ktoré sú tzv Cramerove vzorce. Dovoľte mi pripomenúť, ako sa vypočítava determinant druhého rádu. Determinant rozlišuje dve uhlopriečky: hlavnú a vedľajšiu. Hlavná diagonála pozostáva z prvkov v smere od ľavého horného rohu determinantu k pravému dolnému rohu. Bočná uhlopriečka - z pravého horného rohu do ľavého dolného rohu. Determinant druhého rádu sa rovná súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky mínus súčin prvkov vedľajšej uhlopriečky.

Kód používa funkciu RealEq() na kontrolu rovnosti. Výpočty na reálnych číslach sa vykonávajú s presnosťou _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(presnosť výpočtu) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real;<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Funkcia RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (prísne rovnaké) begin RealEq:=Abs(a-b)