Riešenie sústav rovníc rôznymi metódami. Základné metódy riešenia sústav rovníc

Materiál v tomto článku je určený na prvé zoznámenie sa so sústavami rovníc. Tu predstavíme definíciu sústavy rovníc a jej riešenia a tiež zvážime najbežnejšie typy sústav rovníc. Ako obvykle uvedieme vysvetľujúce príklady.

Navigácia na stránke.

Čo je to sústava rovníc?

K definícii sústavy rovníc budeme pristupovať postupne. Po prvé, povedzme, že je vhodné to dať, pričom uvedieme dva body: po prvé, typ nahrávky a po druhé, význam vložený do tejto nahrávky. Pozrime sa na ne postupne a potom zovšeobecníme úvahy do definície sústav rovníc.

Majme ich niekoľko pred sebou. Zoberme si napríklad dve rovnice 2 x+y=−3 a x=5. Napíšeme ich pod seba a spojíme vľavo s kučeravou zátvorkou:

Záznamy tohto typu, ktorými je niekoľko rovníc usporiadaných do stĺpca a spojených vľavo zloženou zátvorkou, sú záznamy sústav rovníc.

Čo znamenajú takéto zápisy? Definujú množinu všetkých takýchto riešení rovníc systému, ktoré sú riešením každej rovnice.

Nebolo by na škodu opísať to inými slovami. Predpokladajme, že niektoré riešenia prvej rovnice sú riešeniami všetkých ostatných rovníc systému. Takže systémový záznam znamená len ich.

Teraz sme pripravení primerane prijať definíciu sústavy rovníc.

Definícia.

Sústavy rovníc záznamy hovorov, ktoré sú rovnicami umiestnenými pod sebou, spojenými vľavo zloženou zátvorkou, ktoré označujú množinu všetkých riešení rovníc, ktoré sú zároveň riešeniami každej rovnice systému.

Podobná definícia je uvedená v učebnici, nie je tam však uvedená pre všeobecný prípad, ale pre dve racionálne rovnice s dvoma premennými.

Hlavné typy

Je jasné, že existuje nekonečné množstvo rôznych rovníc. Prirodzene existuje aj nekonečné množstvo sústav rovníc zostavených pomocou nich. Preto pre pohodlie pri štúdiu a práci so systémami rovníc má zmysel rozdeliť ich do skupín podľa podobných charakteristík a potom prejsť k zvažovaniu systémov rovníc jednotlivých typov.

Prvé delenie naznačuje počet rovníc zahrnutých v systéme. Ak existujú dve rovnice, potom môžeme povedať, že máme systém dvoch rovníc, ak sú tri, potom systém troch rovníc atď. Je jasné, že nemá zmysel hovoriť o systéme jednej rovnice, pretože v tomto prípade máme v podstate dočinenia so samotnou rovnicou, a nie so systémom.

Ďalšie delenie je založené na počte premenných podieľajúcich sa na písaní rovníc systému. Ak je jedna premenná, tak máme do činenia so sústavou rovníc s jednou premennou (hovoria aj s jednou neznámou), ak sú dve, tak so sústavou rovníc s dvoma premennými (s dvoma neznámymi) atď. napr. je sústava rovníc s dvoma premennými x a y.

To sa týka počtu všetkých rôznych premenných zahrnutých do záznamu. V zázname každej rovnice nemusia byť zahrnuté všetky naraz, stačí ich prítomnosť aspoň v jednej rovnici. napr. je sústava rovníc s tromi premennými x, y a z. V prvej rovnici je premenná x prítomná explicitne a y a z sú implicitné (môžeme predpokladať, že tieto premenné majú nulu), a v druhej rovnici sú x a z, ale premenná y nie je explicitne uvedená. Inými slovami, prvú rovnicu možno považovať za a druhý – ako x+0·y−3·z=0.

Tretím bodom, v ktorom sa systémy rovníc líšia, je typ samotných rovníc.

V škole sa začína štúdium sústav rovníc sústavy dvoch lineárnych rovníc v dvoch premenných. To znamená, že takéto systémy tvoria dve lineárne rovnice. Tu je pár príkladov: A . Učia sa základy práce so sústavami rovníc.

Pri riešení zložitejších úloh sa môžete stretnúť aj so sústavami troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi.

Ďalej v 9. ročníku sa do sústav dvoch rovníc s dvoma premennými pridávajú nelineárne rovnice, väčšinou celé rovnice druhého stupňa, menej často - vyššie stupne. Tieto sústavy sa nazývajú sústavy nelineárnych rovníc, v prípade potreby sa uvádza počet rovníc a neznámych; Ukážme príklady takýchto systémov nelineárnych rovníc: A .

A potom v systémoch sú napríklad aj . Zvyčajne sa nazývajú jednoducho sústavy rovníc bez toho, aby sa špecifikovalo, ktoré rovnice. Tu stojí za zmienku, že systém rovníc sa najčastejšie označuje jednoducho ako „systém rovníc“ a vysvetlenia sa pridávajú iba v prípade potreby.

Na strednej škole, keď sa materiál študuje, iracionálne, trigonometrické, logaritmické a exponenciálne rovnice prenikajú do systémov: , , .

Ak sa pozrieme ešte ďalej do učiva prvého ročníka univerzity, hlavný dôraz sa kladie na štúdium a riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc (SLAE), teda rovníc, v ktorých ľavá strana obsahuje polynómy prvého stupňa, a na pravej strane sú určité čísla. Ale tam sa už na rozdiel od školy neberú dve lineárne rovnice s dvoma premennými, ale ľubovoľný počet rovníc s ľubovoľným počtom premenných, ktorý sa často nezhoduje s počtom rovníc.

Aké je riešenie sústavy rovníc?

Pojem „riešenie sústavy rovníc“ priamo odkazuje na sústavy rovníc. V škole je uvedená definícia riešenia sústavy rovníc s dvoma premennými :

Definícia.

Riešenie sústavy rovníc s dvoma premennými sa nazýva dvojica hodnôt týchto premenných, ktorá mení každú rovnicu systému na správnu, inými slovami, je riešením každej rovnice systému.

Napríklad dvojica premenných hodnôt x=5, y=2 (môže byť napísaná ako (5, 2)) je podľa definície riešením systému rovníc, pretože rovnice systému, keď x= 5 sa do nich dosadí y=2, premenia sa na správne číselné rovnosti 5+2=7 a 5−2=3. Dvojica hodnôt x=3, y=0 však nie je riešením tohto systému, pretože pri dosadení týchto hodnôt do rovníc sa prvá z nich zmení na nesprávnu rovnosť 3+0=7.

Podobné definície možno formulovať pre systémy s jednou premennou, ako aj pre systémy s tromi, štyrmi atď. premenných.

Definícia.

Riešenie sústavy rovníc s jednou premennou bude existovať hodnota premennej, ktorá je koreňom všetkých rovníc systému, to znamená, že všetky rovnice premení na správne číselné rovnosti.

Uveďme si príklad. Uvažujme sústavu rovníc s jednou premennou t tvaru . Číslo −2 je jeho riešením, keďže obe (−2) 2 =4 a 5·(−2+2)=0 sú skutočné číselné rovnosti. A t=1 nie je riešením systému, pretože dosadením tejto hodnoty vzniknú dve nesprávne rovnosti 1 2 =4 a 5·(1+2)=0.

Definícia.

Riešenie systému s tromi, štyrmi atď. premenné nazývané tri, štyri atď. hodnoty premenných, v uvedenom poradí, čím sa všetky rovnice systému premenia na skutočné rovnosti.

Takže podľa definície je trojica hodnôt premenných x=1, y=2, z=0 riešením systému , keďže 2·1=2, 5·2=10 a 1+2+0=3 sú skutočné číselné rovnosti. A (1, 0, 5) nie je riešením tohto systému, pretože pri dosadení týchto hodnôt premenných do rovníc systému sa druhá z nich zmení na nesprávnu rovnosť 5 · 0 = 10 a tretia tiež 1+0+5=3.

Všimnite si, že sústavy rovníc nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať konečný počet riešení, napríklad jedno, dve, ..., alebo môžu mať nekonečne veľa riešení. Uvidíte to, keď sa hlbšie ponoríte do témy.

Ak vezmeme do úvahy definície sústavy rovníc a ich riešenia, môžeme dospieť k záveru, že riešenie sústavy rovníc je priesečníkom množín riešení všetkých jej rovníc.

Na záver uvádzame niekoľko súvisiacich definícií:

Definícia.

nekĺbový, ak nemá žiadne riešenia, inak sa systém volá kĺb.

Definícia.

Sústava rovníc je tzv neistý, ak má nekonečne veľa riešení, a istý, ak má konečný počet riešení alebo ich nemá vôbec.

Tieto pojmy sú zavedené napríklad v učebnici, ale v škole sa používajú pomerne zriedkavo, častejšie ich počuť na vysokých školách.

Referencie.

Algebra: učebnica pre 7. ročník všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: 9. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovič A.G. Algebra. 7. trieda. V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 17. vyd., dod. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: chor. ISBN 978-5-346-02432-3.
Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročníka. V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovič A.G. Algebra a začiatky matematickej analýzy. 11. trieda. V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.
Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2004. - 384 s.: ill.
A. G. Kurosh. Kurz vyššej algebry.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytická geometria: Učebnica: Pre vysoké školy. – 5. vyd. – M.: Veda. Fizmatlit, 1999. – 224 s. – (Kurz vyššej matematiky a matematickej fyziky). – ISBN 5-02-015234 – X (vydanie 3)

Spoľahlivejšia ako grafická metóda diskutovaná v predchádzajúcom odseku.

Substitučná metóda

Túto metódu sme použili v 7. ročníku pri riešení sústav lineárnych rovníc. Algoritmus vyvinutý v 7. ročníku je celkom vhodný na riešenie sústav dvoch ľubovoľných rovníc (nie nutne lineárnych) s dvomi premennými x a y (samozrejme, premenné môžu byť označené aj inými písmenami, na čom nezáleží). V skutočnosti sme tento algoritmus použili v predchádzajúcom odseku, keď problém dvojciferného čísla viedol k matematickému modelu, ktorý je sústavou rovníc. Túto sústavu rovníc sme vyššie riešili substitučnou metódou (pozri príklad 1 z § 4).

Algoritmus na použitie substitučnej metódy pri riešení sústavy dvoch rovníc s dvoma premennými x, y.

1. Vyjadrite y pomocou x z jednej rovnice sústavy.
2. Dosaďte výsledný výraz namiesto y do inej rovnice sústavy.
3. Vyriešte výslednú rovnicu pre x.
4. Do výrazu y až x získaného v prvom kroku postupne dosaďte každý z koreňov rovnice nájdenej v treťom kroku namiesto x.
5. Napíšte odpoveď vo forme párov hodnôt (x; y), ktoré boli nájdené v treťom a štvrtom kroku.

4) Dosaďte jednu po druhej každú z nájdených hodnôt y do vzorca x = 5 - 3. Ak potom
5) Dvojice (2; 1) a riešenia danej sústavy rovníc.

Odpoveď: (2; 1);

Algebraická metóda sčítania

Túto metódu, podobne ako substitučnú metódu, poznáte z kurzu algebry 7. ročníka, kde bola použitá na riešenie sústav lineárnych rovníc. Pripomeňme si podstatu metódy na nasledujúcom príklade.

Príklad 2 Riešiť sústavu rovníc

Vynásobme všetky členy prvej rovnice systému 3 a druhú rovnicu ponechajme nezmenenú:
Odčítajte druhú rovnicu systému od jeho prvej rovnice:

Výsledkom algebraického sčítania dvoch rovníc pôvodnej sústavy bola rovnica, ktorá bola jednoduchšia ako prvá a druhá rovnica danej sústavy. Touto jednoduchšou rovnicou máme právo nahradiť akúkoľvek rovnicu danej sústavy, napríklad druhú. Potom bude daný systém rovníc nahradený jednoduchším systémom:

Tento systém je možné riešiť pomocou substitučnej metódy. Z druhej rovnice, ktorú zistíme, dosadíme tento výraz namiesto y do prvej rovnice sústavy

Zostáva nahradiť nájdené hodnoty x do vzorca

Ak x = 2, potom

Našli sme teda dve riešenia systému:

Metóda zavádzania nových premenných

S metódou zavádzania novej premennej pri riešení racionálnych rovníc s jednou premennou ste sa oboznámili v kurze algebry 8. ročníka. Podstata tejto metódy riešenia sústav rovníc je rovnaká, ale z technického hľadiska existujú niektoré vlastnosti, o ktorých budeme diskutovať v nasledujúcich príkladoch.

Príklad 3 Riešiť sústavu rovníc

Zaveďme novú premennú Potom môžeme prvú rovnicu systému prepísať do jednoduchšej formy: Riešime túto rovnicu vzhľadom na premennú t:

Obe tieto hodnoty spĺňajú podmienku, a preto sú koreňmi racionálnej rovnice s premennou t. To ale znamená buď tam, kde zistíme, že x = 2y, alebo
Pomocou metódy zavedenia novej premennej sa nám teda podarilo „stratifikovať“ prvú rovnicu systému, ktorá bola na pohľad pomerne zložitá, do dvoch jednoduchších rovníc:

x = 2 y; y - 2x.

čo bude ďalej? A potom každú z dvoch získaných jednoduchých rovníc treba postupne zvážiť v systéme s rovnicou x 2 - y 2 = 3, ktorú sme si ešte nezapamätali. Inými slovami, problém spočíva v riešení dvoch systémov rovníc:

Musíme nájsť riešenia pre prvý systém, druhý systém a zahrnúť všetky výsledné dvojice hodnôt do odpovede. Poďme vyriešiť prvú sústavu rovníc:

Využime substitučnú metódu, najmä keď je tu na to všetko pripravené: dosaďte do druhej rovnice sústavy namiesto x výraz 2y. dostaneme

Pretože x = 2y, zistíme, že x 1 = 2, x 2 = 2. Takto získame dve riešenia danej sústavy: (2; 1) a (-2; -1). Poďme vyriešiť druhú sústavu rovníc:

Opäť použijeme substitučnú metódu: do druhej rovnice sústavy dosadíme výraz 2x namiesto y. dostaneme

Táto rovnica nemá korene, čo znamená, že systém rovníc nemá riešenia. Do odpovede je teda potrebné zahrnúť len riešenia prvého systému.

Odpoveď: (2; 1); (-2;-1).

Metóda zavádzania nových premenných pri riešení sústav dvoch rovníc s dvoma premennými sa používa v dvoch verziách. Prvá možnosť: zavedie sa jedna nová premenná a použije sa len v jednej rovnici systému. Presne to sa stalo v príklade 3. Druhá možnosť: zavedú sa dve nové premenné a použijú sa súčasne v oboch rovniciach systému. Bude to tak v príklade 4.

Príklad 4. Riešiť sústavu rovníc

Predstavme si dve nové premenné:

Tak to zoberme do úvahy

To vám umožní prepísať daný systém v oveľa jednoduchšej forme, ale s ohľadom na nové premenné a a b:

Pretože a = 1, potom z rovnice a + 6 = 2 zistíme: 1 + 6 = 2; 6 = 1. Čo sa týka premenných a a b, máme jedno riešenie:

Ak sa vrátime k premenným x a y, dostaneme sústavu rovníc

Použime metódu algebraického sčítania na vyriešenie tohto systému:

Odvtedy z rovnice 2x + y = 3 zistíme:
Čo sa týka premenných x a y, máme jedno riešenie:

Tento odsek ukončíme krátkym, ale dosť vážnym teoretickým rozhovorom. Už ste získali nejaké skúsenosti s riešením rôznych rovníc: lineárnych, kvadratických, racionálnych, iracionálnych. Viete, že hlavnou myšlienkou riešenia rovnice je postupný prechod z jednej rovnice na druhú, jednoduchšiu, ale ekvivalentnú danej rovnici. V predchádzajúcom odseku sme zaviedli pojem ekvivalencie pre rovnice s dvoma premennými. Tento koncept sa používa aj pre sústavy rovníc.

Definícia.

Dve sústavy rovníc s premennými x a y sa nazývajú ekvivalentné, ak majú rovnaké riešenia alebo ak obe sústavy nemajú žiadne riešenia.

Všetky tri metódy (substitúcia, algebraické sčítanie a zavádzanie nových premenných), o ktorých sme hovorili v tejto časti, sú z hľadiska ekvivalencie absolútne správne. Inými slovami, pomocou týchto metód nahrádzame jednu sústavu rovníc inou, jednoduchšou, ale ekvivalentnou pôvodnej sústave.

Grafická metóda riešenia sústav rovníc

Už sme sa naučili riešiť sústavy rovníc takými bežnými a spoľahlivými spôsobmi, ako je metóda substitúcie, algebraické sčítanie a zavedenie nových premenných. Teraz si spomeňme na metódu, ktorú ste už študovali v predchádzajúcej lekcii. To znamená, zopakujme si, čo viete o metóde grafického riešenia.

Metóda riešenia sústav rovníc graficky zahŕňa zostrojenie grafu pre každú z konkrétnych rovníc, ktoré sú zahrnuté v danom systéme a nachádzajú sa v rovnakej súradnicovej rovine, ako aj tam, kde je potrebné nájsť priesečníky bodov týchto rovníc. grafov. Na vyriešenie tohto systému rovníc sú súradnice tohto bodu (x; y).

Malo by sa pamätať na to, že je bežné, že grafický systém rovníc má buď jediné správne riešenie, alebo nekonečný počet riešení, prípadne nemá žiadne riešenia.

Teraz sa pozrime na každé z týchto riešení podrobnejšie. A tak systém rovníc môže mať jedinečné riešenie, ak sa čiary, ktoré sú grafmi rovníc systému, pretínajú. Ak sú tieto čiary rovnobežné, potom takýto systém rovníc nemá absolútne žiadne riešenia. Ak sa priame grafy rovníc systému zhodujú, potom takýto systém umožňuje nájsť veľa riešení.

Teraz sa pozrime na algoritmus na riešenie systému dvoch rovníc s 2 neznámymi pomocou grafickej metódy:

Najprv zostavíme graf 1. rovnice;
Druhým krokom bude vytvorenie grafu, ktorý sa týka druhej rovnice;
Po tretie, musíme nájsť priesečníky grafov.
A ako výsledok dostaneme súradnice každého priesečníka, ktorý bude riešením systému rovníc.

Pozrime sa na túto metódu podrobnejšie pomocou príkladu. Dostali sme systém rovníc, ktoré je potrebné vyriešiť:

Riešenie rovníc

1. Najprv zostavíme graf tejto rovnice: x2+y2=9.

Treba však poznamenať, že tento graf rovníc bude kruh so stredom v počiatku a jeho polomer bude rovný trom.

2. Naším ďalším krokom bude graf rovnice ako: y = x – 3.

V tomto prípade musíme zostrojiť priamku a nájsť body (0;−3) a (3;0).

3. Pozrime sa, čo máme. Vidíme, že priamka pretína kružnicu v dvoch jej bodoch A a B.

Teraz hľadáme súradnice týchto bodov. Vidíme, že súradnice (3;0) zodpovedajú bodu A a súradnice (0;−3) zodpovedajú bodu B.

A čo získame ako výsledok?

Čísla (3;0) a (0;−3) získané, keď priamka pretína kružnicu, sú presne riešeniami oboch rovníc systému. A z toho vyplýva, že tieto čísla sú aj riešeniami tejto sústavy rovníc.

To znamená, že odpoveďou na toto riešenie sú čísla: (3;0) a (0;−3).

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov v Ruskej federácii – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc (SLAE) je nepochybne najdôležitejšou témou kurzu lineárnej algebry. Obrovské množstvo problémov zo všetkých odvetví matematiky sa týka riešenia sústav lineárnych rovníc. Tieto faktory vysvetľujú dôvod tohto článku. Materiál článku je vybraný a štruktúrovaný tak, aby ste s jeho pomocou mohli

zvoliť optimálnu metódu riešenia vášho systému lineárnych algebraických rovníc,
študovať teóriu zvolenej metódy,
vyriešte svoj systém lineárnych rovníc zvážením podrobných riešení typických príkladov a problémov.

Stručný popis materiálu článku.

Najprv uvedieme všetky potrebné definície, pojmy a zavedieme notácie.

Ďalej sa budeme zaoberať metódami riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a ktoré majú jedinečné riešenie. Po prvé sa zameriame na Cramerovu metódu, po druhé si ukážeme maticovú metódu riešenia takýchto sústav rovníc a po tretie rozoberieme Gaussovu metódu (metóda sekvenčnej eliminácie neznámych premenných). Pre upevnenie teórie určite vyriešime niekoľko SLAE rôznymi spôsobmi.

Potom prejdeme k riešeniu sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných alebo hlavná matica sústavy je singulárna. Sformulujme Kroneckerovu-Capelliho vetu, ktorá nám umožňuje stanoviť kompatibilitu SLAE. Analyzujme riešenie systémov (ak sú kompatibilné) pomocou konceptu minoritnej bázy matice. Zvážime aj Gaussovu metódu a podrobne popíšeme riešenia príkladov.

Určite sa zastavíme pri štruktúre všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych algebraických rovníc. Uveďme koncept základného systému riešení a ukážme, ako sa všeobecné riešenie SLAE zapisuje pomocou vektorov základného systému riešení. Pre lepšie pochopenie sa pozrime na niekoľko príkladov.

Na záver zvážime systémy rovníc, ktoré možno redukovať na lineárne, ako aj rôzne problémy, pri riešení ktorých vznikajú SLAE.

Navigácia na stránke.

Definície, pojmy, označenia.

Budeme uvažovať sústavy p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými (p sa môže rovnať n) tvaru

Neznáme premenné, - koeficienty (niektoré reálne alebo komplexné čísla), - voľné členy (aj reálne alebo komplexné čísla).

Táto forma záznamu sa nazýva SLAE koordinovať.

IN matricový formulár písanie tohto systému rovníc má tvar,
Kde - hlavná matica systému, - stĺpcová matica neznámych premenných, - stĺpcová matica voľných členov.

Ak k matici A pridáme maticu-stĺpec voľných členov ako (n+1)-tý stĺpec, dostaneme tzv. rozšírená matica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných výrazov je oddelený zvislou čiarou od zostávajúcich stĺpcov, tj.

Riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc nazývaný súbor hodnôt neznámych premenných, ktorý premieňa všetky rovnice systému na identity. Maticová rovnica pre dané hodnoty neznámych premenných sa tiež stáva identitou.

Ak má sústava rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva kĺb.

Ak systém rovníc nemá riešenia, potom sa nazýva nekĺbový.

Ak má SLAE jedinečné riešenie, potom sa nazýva istý; ak existuje viac ako jedno riešenie, potom - neistý.

Ak sa voľné členy všetkých rovníc sústavy rovnajú nule , potom sa systém zavolá homogénne, inak - heterogénne.

Riešenie elementárnych sústav lineárnych algebraických rovníc.

Ak sa počet rovníc systému rovná počtu neznámych premenných a determinant jeho hlavnej matice sa nerovná nule, potom sa takéto SLAE budú nazývať elementárne. Takéto sústavy rovníc majú jedinečné riešenie a v prípade homogénneho systému sú všetky neznáme premenné rovné nule.

Takéto SLAE sme začali študovať na strednej škole. Pri ich riešení sme zobrali jednu rovnicu, jednu neznámu premennú sme vyjadrili inými a dosadili ju do zvyšných rovníc, potom sme zobrali ďalšiu rovnicu, vyjadrili ďalšiu neznámu premennú a dosadili ju do iných rovníc atď. Alebo použili metódu sčítania, to znamená, že pridali dve alebo viac rovníc na odstránenie niektorých neznámych premenných. Nebudeme sa týmito metódami podrobne zaoberať, keďže ide v podstate o modifikácie Gaussovej metódy.

Hlavnými metódami riešenia elementárnych sústav lineárnych rovníc sú Cramerova metóda, maticová metóda a Gaussova metóda. Poďme si ich roztriediť.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť systém lineárnych algebraických rovníc

v ktorej sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému je odlišný od nuly, teda .

Nech je determinant hlavnej matice systému a - determinanty matíc, ktoré sa získajú z A nahradením 1., 2., …, n stĺpec respektíve stĺpec voľných členov:

S týmto zápisom sa neznáme premenné počítajú pomocou vzorcov Cramerovej metódy as . Takto sa nájde riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc pomocou Cramerovej metódy.

Príklad.

Cramerova metóda .

Riešenie.

Hlavná matica systému má tvar . Vypočítajme jeho determinant (ak je to potrebné, pozri článok):

Keďže determinant hlavnej matice systému je nenulový, systém má jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou.

Poskladajme a vypočítajme potrebné determinanty (determinant získame nahradením prvého stĺpca v matici A stĺpcom voľných členov, determinant nahradením druhého stĺpca stĺpcom voľných členov a nahradením tretieho stĺpca matice A stĺpcom voľných členov) :

Hľadanie neznámych premenných pomocou vzorcov :

odpoveď:

Hlavnou nevýhodou Cramerovej metódy (ak ju možno nazvať nevýhodou) je zložitosť výpočtu determinantov pri počte rovníc v sústave viac ako tri.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).

Nech je systém lineárnych algebraických rovníc daný v maticovom tvare, kde matica A má rozmer n x n a jej determinant je nenulový.

Keďže matica A je invertibilná, to znamená, že existuje inverzná matica. Ak obe strany rovnosti vynásobíme ľavou, dostaneme vzorec na nájdenie matice-stĺpca neznámych premenných. Takto sme získali riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc pomocou maticovej metódy.

Príklad.

Riešiť sústavu lineárnych rovníc maticová metóda.

Riešenie.

Prepíšme sústavu rovníc do maticového tvaru:

Pretože

potom možno SLAE vyriešiť pomocou maticovej metódy. Pomocou inverznej matice možno nájsť riešenie tohto systému ako .

Zostrojme inverznú maticu pomocou matice z algebraických doplnkov prvkov matice A (ak je to potrebné, pozri článok):

Zostáva vypočítať maticu neznámych premenných vynásobením inverznej matice do maticového stĺpca voľných členov (ak je to potrebné, pozri článok):

odpoveď:

alebo v inom zápise x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hlavným problémom pri hľadaní riešení sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou je zložitosť hľadania inverznej matice, najmä pre štvorcové matice vyššieho ako tretieho rádu.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie systému n lineárnych rovníc s n neznámymi premennými
ktorého determinant hlavnej matice je odlišný od nuly.

Podstata Gaussovej metódy pozostáva z postupného vylúčenia neznámych premenných: najprv sa x 1 vylúči zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou, potom sa x 2 vylúči zo všetkých rovníc, počnúc treťou atď., až kým nebude známa iba neznáma premenná x n zostáva v poslednej rovnici. Tento proces transformácie systémových rovníc na sekvenčnú elimináciu neznámych premenných sa nazýva pomocou priamej Gaussovej metódy. Po dokončení dopredného zdvihu Gaussovej metódy sa z poslednej rovnice zistí x n, pomocou tejto hodnoty z predposlednej rovnice sa vypočíta x n-1 atď., Z prvej rovnice sa zistí x 1. Proces výpočtu neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice systému k prvej sa nazýva inverzná ku Gaussovej metóde.

Stručne popíšme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.

Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Vylúčme neznámu premennú x 1 zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Aby sme to dosiahli, do druhej rovnice systému pridáme prvú, vynásobenú , do tretej rovnice pridáme prvú, vynásobenú , atď., K n-tej rovnici pridáme prvú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde, a .

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výslednej sústavy, ktorá je vyznačená na obrázku

Aby sme to dosiahli, do tretej rovnice systému pridáme druhú, vynásobenú , do štvrtej rovnice pridáme druhú, vynásobenú , atď., K n-tej rovnici pridáme druhú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde, a . Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k eliminácii neznámeho x 3, pričom podobne postupujeme aj s časťou systému označenou na obr.

Pokračujeme teda v priamom postupe Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Od tohto momentu začíname obrátene Gaussovej metódy: x n vypočítame z poslednej rovnice ako , pomocou získanej hodnoty x n nájdeme x n-1 z predposlednej rovnice atď., Z prvej rovnice nájdeme x 1 .

Príklad.

Riešiť sústavu lineárnych rovníc Gaussova metóda.

Riešenie.

Vylúčme neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice sústavy. Aby sme to dosiahli, k obom stranám druhej a tretej rovnice pridáme zodpovedajúce časti prvej rovnice, vynásobené, resp.

Teraz odstránime x 2 z tretej rovnice tak, že k jej ľavej a pravej strane pridáme ľavú a pravú stranu druhej rovnice, vynásobíme:

Tým sa dokončí dopredný ťah Gaussovej metódy, začneme spätný ťah.

Z poslednej rovnice výslednej sústavy rovníc zistíme x 3:

Z druhej rovnice dostaneme .

Z prvej rovnice nájdeme zostávajúcu neznámu premennú a tým dokončíme opak Gaussovej metódy.

odpoveď:

Xi = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Vo všeobecnosti sa počet rovníc systému p nezhoduje s počtom neznámych premenných n:

Takéto SLAE nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo mať nekonečne veľa riešení. Toto tvrdenie platí aj pre systémy rovníc, ktorých hlavná matica je štvorcová a singulárna.

Kroneckerova-Capelliho veta.

Pred nájdením riešenia systému lineárnych rovníc je potrebné zistiť jeho kompatibilitu. Odpoveď na otázku, kedy je SLAE kompatibilný a kedy nekonzistentný, dáva Kroneckerova-Capelliho veta:
Aby bol systém p rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n) konzistentný, je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť hlavnej matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice, tj. , Poradie (A) = Poradie (T).

Uvažujme ako príklad použitie Kronecker-Capelliho vety na určenie kompatibility systému lineárnych rovníc.

Príklad.

Zistite, či má sústava lineárnych rovníc riešenia.

Riešenie.

. Využime metódu ohraničenia maloletých. Minor druhého rádu odlišný od nuly. Pozrime sa na maloletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia:

Keďže všetky hraničiace neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, poradie hlavnej matice sa rovná dvom.

Na druhej strane, hodnosť rozšírenej matice sa rovná trom, keďže maloletý je tretieho rádu

odlišný od nuly.

teda Rang(A) teda pomocou Kronecker-Capelliho vety môžeme konštatovať, že pôvodný systém lineárnych rovníc je nekonzistentný.

odpoveď:

Systém nemá riešenia.

Takže sme sa naučili určiť nekonzistentnosť systému pomocou Kronecker-Capelliho vety.

Ako však nájsť riešenie pre SLAE, ak je preukázaná jeho kompatibilita?

Na to potrebujeme koncept minoritnej bázy matice a vetu o hodnosti matice.

Volá sa minor najvyššieho rádu matice A, odlišný od nuly základné.

Z definície základu minor vyplýva, že jej poradie sa rovná hodnosti matice. Pre nenulovú maticu A môže byť niekoľko vedľajších základov;

Zoberme si napríklad maticu .

Všetky minority tretieho rádu tejto matice sú rovné nule, pretože prvky tretieho riadku tejto matice sú súčtom zodpovedajúcich prvkov prvého a druhého riadku.

Nasledujúce maloletí druhého poriadku sú základné, pretože sú nenulové

maloletí nie sú základné, pretože sa rovnajú nule.

Veta o poradí matice.

Ak sa poradie matice rádu p x n rovná r, potom všetky riadkové (a stĺpcové) prvky matice, ktoré netvoria zvolenú základňu minor, sú lineárne vyjadrené v zmysle zodpovedajúcich riadkových (a stĺpcových) prvkov tvoriacich základ minor.

Čo nám hovorí veta o poradí matice?

Ak sme podľa Kronecker-Capelliho vety stanovili kompatibilitu systému, potom zvolíme ľubovoľnú menšiu bázu hlavnej matice systému (jej poradie sa rovná r) a vylúčime zo systému všetky rovnice, ktoré netvoria vybraný základ moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentný pôvodnému, keďže vyradené rovnice sú stále nadbytočné (podľa vety o poradí matice sú lineárnou kombináciou zostávajúcich rovníc).

Výsledkom je, že po vyradení nepotrebných rovníc systému sú možné dva prípady.

Ak sa počet rovníc r vo výslednej sústave rovná počtu neznámych premenných, potom bude určitý a jediné riešenie možno nájsť Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Príklad.

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice systému sa rovná dvom, keďže maloletý je druhého rádu odlišný od nuly. Rozšírený Matrix Rank sa tiež rovná dvom, keďže jediný menší stupeň tretieho rádu je nula

a vyššie uvažovaná neplnoletá osoba druhého poriadku sa líši od nuly. Na základe Kronecker-Capelliho vety môžeme tvrdiť kompatibilitu pôvodného systému lineárnych rovníc, keďže Rank(A)=Rank(T)=2.

Ako základ berieme drobné . Tvoria ju koeficienty prvej a druhej rovnice:

Tretia rovnica systému sa nezúčastňuje na tvorbe bázy moll, preto ju vylúčime zo systému na základe vety o hodnosti matice:

Takto sme získali elementárny systém lineárnych algebraických rovníc. Poďme to vyriešiť Cramerovou metódou:

odpoveď:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ak je počet rovníc r vo výslednom SLAE menší ako počet neznámych premenných n, potom na ľavých stranách rovníc ponecháme členy tvoriace základ menšie a zvyšné členy prenesieme na pravé strany rovnice. rovnice sústavy s opačným znamienkom.

Neznáme premenné (z nich r), ktoré zostávajú na ľavej strane rovníc, sa nazývajú hlavné.

Neznáme premenné (existuje n - r kusov), ktoré sú na pravej strane, sa nazývajú zadarmo.

Teraz veríme, že voľné neznáme premenné môžu nadobudnúť ľubovoľné hodnoty, zatiaľ čo hlavné neznáme premenné budú vyjadrené prostredníctvom voľných neznámych premenných jedinečným spôsobom. Ich vyjadrenie možno nájsť riešením výsledného SLAE pomocou Cramerovej metódy, maticovej metódy alebo Gaussovej metódy.

Pozrime sa na to na príklade.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Poďme nájsť hodnosť hlavnej matice systému metódou ohraničenia maloletých. Zoberme si a 1 1 = 1 ako nenulovú mollovú hodnotu prvého rádu. Začnime hľadať nenulovú moll druhého rádu ohraničujúcu tento moll:

Takto sme našli nenulovú moll druhého rádu. Začnime hľadať nenulový hraničný moll tretieho rádu:

Hodnosť hlavnej matice je teda tri. Hodnosť rozšírenej matice sa tiež rovná trom, to znamená, že systém je konzistentný.

Za základ berieme nájdený nenulový moll tretieho rádu.

Pre prehľadnosť uvádzame prvky, ktoré tvoria základ moll:

Na ľavej strane systémových rovníc necháme výrazy zapojené do základnej menšej časti a zvyšok prenesieme s opačnými znamienkami na pravú stranu:

Dajme voľným neznámym premenným x 2 a x 5 ľubovoľné hodnoty, teda akceptujeme , kde sú ľubovoľné čísla. V tomto prípade bude mať SLAE formu

Vyriešme výsledný elementárny systém lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou:

Preto, .

Vo svojej odpovedi nezabudnite uviesť voľné neznáme premenné.

odpoveď:

Kde sú ľubovoľné čísla.

Poďme si to zhrnúť.

Aby sme vyriešili systém všeobecných lineárnych algebraických rovníc, najprv určíme jeho kompatibilitu pomocou Kronecker-Capelliho vety. Ak sa pozícia hlavnej matice nerovná hodnote rozšírenej matice, potom dospejeme k záveru, že systém je nekompatibilný.

Ak sa hodnosť hlavnej matice rovná hodnosti rozšírenej matice, vyberieme vedľajšiu bázu a zahodíme rovnice systému, ktoré sa nezúčastňujú na tvorbe vybranej vedľajšej bázy.

Ak sa poradie základnej minor rovná počtu neznámych premenných, potom má SLAE jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť akoukoľvek nám známou metódou.

Ak je poradie menšieho základu menšie ako počet neznámych premenných, potom na ľavej strane systémových rovníc ponecháme výrazy s hlavnými neznámymi premennými, zvyšné výrazy prenesieme na pravé strany a zadáme ľubovoľné hodnoty. voľné neznáme premenné. Z výslednej sústavy lineárnych rovníc nájdeme pomocou Cramerovej metódy, maticovej metódy alebo Gaussovej metódy hlavné neznáme premenné.

Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Gaussovu metódu možno použiť na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc akéhokoľvek druhu bez toho, aby sa najprv testovala ich kompatibilita. Proces postupnej eliminácie neznámych premenných umožňuje vyvodiť záver o kompatibilite aj nekompatibilite SLAE a ak existuje riešenie, umožňuje ho nájsť.

Z výpočtového hľadiska je výhodnejšia Gaussova metóda.

Jej podrobný popis a analyzované príklady nájdete v článku Gaussova metóda riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Zápis všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych lineárnych algebraických systémov pomocou vektorov základného systému riešení.

V tejto časti budeme hovoriť o simultánnych homogénnych a nehomogénnych systémoch lineárnych algebraických rovníc, ktoré majú nekonečný počet riešení.

Poďme sa najprv zaoberať homogénnymi systémami.

Základný systém riešení homogénna sústava p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými je súborom (n – r) lineárne nezávislých riešení tejto sústavy, kde r je rád malej bázy hlavnej matice sústavy.

Ak lineárne nezávislé riešenia homogénnej SLAE označíme ako X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) sú stĺpcové matice rozmeru n o 1) , potom je všeobecné riešenie tohto homogénneho systému reprezentované ako lineárna kombinácia vektorov základného systému riešení s ľubovoľnými konštantnými koeficientmi C 1, C 2, ..., C (n-r), ktoré je, .

Čo znamená všeobecné riešenie homogénneho systému lineárnych algebraických rovníc (oroslau)?

Význam je jednoduchý: vzorec špecifikuje všetky možné riešenia pôvodného SLAE, inými slovami, berie ľubovoľnú množinu hodnôt ľubovoľných konštánt C 1, C 2, ..., C (n-r), pomocou vzorca budeme získať jeden z roztokov pôvodného homogénneho SLAE.

Ak teda nájdeme fundamentálny systém riešení, potom môžeme definovať všetky riešenia tohto homogénneho SLAE ako .

Ukážme si proces konštrukcie základného systému riešení homogénneho SLAE.

Z pôvodného systému lineárnych rovníc vyberieme minoritný základ, vylúčime zo systému všetky ostatné rovnice a všetky členy obsahujúce voľné neznáme premenné prenesieme na pravú stranu rovníc systému s opačnými znamienkami. Dajme voľným neznámym premenným hodnoty 1,0,0,...,0 a vypočítajme hlavné neznáme riešením výslednej elementárnej sústavy lineárnych rovníc akýmkoľvek spôsobom, napríklad pomocou Cramerovej metódy. Výsledkom bude X (1) - prvé riešenie základného systému. Ak dáme voľným neznámym hodnoty 0,1,0,0,…,0 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (2) . A tak ďalej. Ak voľným neznámym premenným priradíme hodnoty 0,0,…,0,1 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (n-r) . Týmto spôsobom sa skonštruuje základný systém riešení homogénneho SLAE a jeho všeobecné riešenie môže byť zapísané v tvare .

Pre nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc je všeobecné riešenie reprezentované v tvare , kde je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému a je partikulárnym riešením pôvodného nehomogénneho SLAE, ktoré získame tak, že voľným neznámym dáme hodnoty 0,0,…,0 a výpočet hodnôt hlavných neznámych.

Pozrime sa na príklady.

Príklad.

Nájdite základnú sústavu riešení a všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc .

Riešenie.

Hodnosť hlavnej matice homogénnych sústav lineárnych rovníc sa vždy rovná hodnosti rozšírenej matice. Pomocou metódy ohraničenia maloletých nájdime hodnosť hlavnej matice. Ako nenulovú minoritu prvého rádu berieme prvok a 1 1 = 9 hlavnej matice systému. Nájdite hraničnú nenulovú moll druhého rádu:

Bol nájdený minor druhého rádu, odlišný od nuly. Poďme cez neplnoletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia, pri hľadaní nenulovej jednotky:

Všetky neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, preto sa poradie hlavnej a rozšírenej matice rovná dvom. Vezmime si . Pre prehľadnosť si všimnime prvky systému, ktoré ho tvoria:

Tretia rovnica pôvodného SLAE sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju možno vylúčiť:

Ponecháme členy obsahujúce hlavné neznáme na pravej strane rovníc a prenesieme členy s voľnými neznámymi na pravú stranu:

Zostavme základnú sústavu riešení pôvodnej homogénnej sústavy lineárnych rovníc. Základný systém riešení tohto SLAE pozostáva z dvoch riešení, keďže pôvodný SLAE obsahuje štyri neznáme premenné a poradie jeho základu minor je rovné dvom. Na nájdenie X (1) dáme voľným neznámym premenným hodnoty x 2 = 1, x 4 = 0, potom nájdeme hlavné neznáme zo systému rovníc
.

Lekcia a prezentácia na tému: "Sústavy rovníc. Substitučná metóda, metóda sčítania, metóda zavedenia novej premennej"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 9. ročník
Simulátor pre učebnice od Atanasyan L.S. Simulátor pre učebnice Pogorelova A.V.

Metódy riešenia sústav nerovníc

Chlapci, študovali sme sústavy rovníc a naučili sme sa ich riešiť pomocou grafov. Teraz sa pozrime, aké iné spôsoby riešenia systémov existujú?
Takmer všetky metódy na ich riešenie sa nelíšia od tých, ktoré sme študovali v 7. ročníku. Teraz musíme urobiť nejaké úpravy podľa rovníc, ktoré sme sa naučili riešiť.
Podstatou všetkých metód opísaných v tejto lekcii je nahradenie systému ekvivalentným systémom s jednoduchšou formou a riešením. Chlapci, pamätajte, aký je ekvivalentný systém.

Substitučná metóda

Prvý spôsob riešenia sústav rovníc s dvoma premennými je nám dobre známy – ide o substitučnú metódu. Túto metódu sme použili na riešenie lineárnych rovníc. Teraz sa pozrime, ako riešiť rovnice vo všeobecnom prípade?

Ako by ste mali postupovať pri rozhodovaní?
1. Vyjadrite jednu z premenných pomocou inej. Najčastejšie používané premenné v rovniciach sú x a y. V jednej z rovníc vyjadrujeme jednu premennú pomocou inej. Tip: Pred začatím riešenia si pozorne prezrite obe rovnice a vyberte si tú, kde je jednoduchšie vyjadriť premennú.
2. Dosaďte výsledný výraz do druhej rovnice namiesto premennej, ktorá bola vyjadrená.
3. Vyriešte rovnicu, ktorú sme dostali.
4. Dosaďte výsledné riešenie do druhej rovnice. Ak existuje niekoľko riešení, musíte ich nahradiť postupne, aby ste nestratili niekoľko riešení.
5. V dôsledku toho dostanete dvojicu čísel $(x;y)$, ktoré je potrebné zapísať ako odpoveď.

Príklad.
Riešte systém s dvoma premennými pomocou substitučnej metódy: $\začiatok(prípady)x+y=5, \\xy=6\koniec(prípady)$.

Riešenie.
Pozrime sa bližšie na naše rovnice. Je zrejmé, že vyjadrenie y pomocou x v prvej rovnici je oveľa jednoduchšie.
$\začiatok(prípady)y=5-x, \\xy=6\koniec(prípady)$.
Dosadíme prvý výraz do druhej rovnice $\začiatok(prípady)y=5-x, \\x(5-2x)=6\koniec(prípady)$.
Vyriešme druhú rovnicu samostatne:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Získali sme dve riešenia druhej rovnice $x_1=2$ a $x_2=3$.
Dosadzujte postupne do druhej rovnice.
Ak $x=2$, potom $y=3$. Ak $x=3$, potom $y=2$.
Odpoveďou budú dva páry čísel.
Odpoveď: $(2;3)$ a $(3;2)$.

Algebraická metóda sčítania

Túto metódu sme študovali aj v 7. ročníku.
Je známe, že racionálnu rovnicu v dvoch premenných môžeme vynásobiť ľubovoľným číslom, pričom nezabudneme vynásobiť obe strany rovnice. Jednu z rovníc sme vynásobili určitým číslom, takže pri pridávaní výslednej rovnice do druhej rovnice sústavy sa jedna z premenných zničila. Potom bola rovnica vyriešená pre zostávajúcu premennú.
Táto metóda stále funguje, aj keď nie vždy je možné zničiť jednu z premenných. Umožňuje však výrazne zjednodušiť formu jednej z rovníc.

Príklad.
Vyriešte systém: $\začiatok(prípady)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\koniec(prípady)$.

Riešenie.
Vynásobme prvú rovnicu 2.
$\začiatok(prípady)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\koniec (prípady)$.
Odčítajme druhú od prvej rovnice.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Ako vidíte, tvar výslednej rovnice je oveľa jednoduchší ako pôvodný. Teraz môžeme použiť substitučnú metódu.
$\začiatok(prípady)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\koniec (prípady)$.
Vo výslednej rovnici vyjadrime x pomocou y.
$\začiatok(prípady)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\koniec (prípady)$.
Máme $y=-1$ a $y=-3$.
Dosadme tieto hodnoty postupne do prvej rovnice. Získame dve dvojice čísel: $(1;-1)$ a $(-1;-3)$.
Odpoveď: $(1;-1)$ a $(-1;-3)$.

Metóda na zavedenie novej premennej

Túto metódu sme študovali aj my, no pozrime sa na ňu ešte raz.

Príklad.
Vyriešte systém: $\začiatok(prípady)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\koniec(prípady)$.

Riešenie.
Uveďme náhradu $t=\frac(x)(y)$.
Prepíšme prvú rovnicu novou premennou: $t+\frac(2)(t)=3$.
Vyriešme výslednú rovnicu:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Máme $t=2$ alebo $t=1$. Zavedme opačnú zmenu $t=\frac(x)(y)$.
Máme: $x=2y$ a $x=y$.

Pre každý z výrazov musí byť pôvodný systém vyriešený samostatne:
$\začiatok(prípady)x=2r, \\2x^2-y^2=1\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=y, \\2x^2-y^2=1\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=2r, \\8y^2-y^2=1\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=y, \\2y^2-y^2=1\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=2y, \\7y^2=1\koniec(prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=2y, \\y^2=1\koniec(prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\koniec(prípady)$.

Príklad.
$\začiatok(prípady)x=y, \\y=±1\koniec(prípady)$.

Riešenie.
$\začiatok(prípady)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\koniec(prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=±1, \\y=±1\koniec(prípady)$.
Dostali sme štyri dvojice riešení.
Odpoveď: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Vyriešte systém: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\koniec(prípady)$.
Zavedme náhradu: $z=\frac(2)(x-3y)$ a $t=\frac(3)(2x+y)$.
Prepíšme pôvodné rovnice novými premennými:
$\začiatok(prípady)z+t=2, \\4z-3t=1\koniec (prípady)$.
Použime metódu algebraického sčítania:
$\začiatok(prípady)3z+3t=6, \\4z-3t=1\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)7z=7, \\4z-3t=1\koniec(prípady)$.
$\začiatok(prípady)z=1, \\-3t=1-4\koniec(prípady)$.
$\začiatok(prípady)z=1, \\t=1\koniec (prípady)$.
Predstavme si spätnú substitúciu:
$\začiatok(prípady)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\koniec (prípady)$.
$\začiatok(prípady)x-3y=2, \\2x+y=3\koniec(prípady)$.
Použime substitučnú metódu:

$\začiatok(prípady)x=2+3y, \\4+6y+y=3\koniec(prípady)$.

$\začiatok(prípady)x=2+3y, \\7y=-1\koniec(prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\koniec(prípady)$.
$\začiatok(prípady)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\koniec (prípady)$.
Odpoveď: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.
Úlohy o sústavách rovníc pre nezávislé riešenie
Riešiť systémy: