Riešenie rovníc, nerovníc, sústav pomocou funkčných grafov. Vizuálny sprievodca (2019)

Rovnice s parametrami sa právom považujú za jeden z najťažších problémov školskej matematiky. Práve tieto úlohy sa z roka na rok zaraďujú do zoznamu úloh typu B a C v jednotnej štátnej skúške Jednotná štátna skúška. Medzi veľkým množstvom rovníc s parametrami sa však nájdu aj také, ktoré sa dajú jednoducho graficky vyriešiť. Zoberme si túto metódu pomocou príkladu riešenia niekoľkých problémov.

Nájdite súčet celočíselných hodnôt čísla a, pre ktoré platí rovnica |x 2 – 2x – 3| = a má štyri korene.

Riešenie.

Aby sme odpovedali na otázku problému, zostrojme grafy funkcií na jednej súradnicovej rovine

y = |x 2 – 2x – 3| a y = a.

Graf prvej funkcie y = |x 2 – 2x – 3| získame z grafu paraboly y = x 2 – 2x – 3 symetrickým zobrazením vzhľadom na os x tej časti grafu, ktorá je pod osou Ox. Časť grafu umiestnená nad osou x zostane nezmenená.

Urobme to krok za krokom. Grafom funkcie y = x 2 – 2x – 3 je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor. Na zostavenie jeho grafu nájdeme súradnice vrcholu. Dá sa to urobiť pomocou vzorca x 0 = -b/2a. Teda x 0 = 2/2 = 1. Aby sme našli súradnicu vrcholu paraboly pozdĺž osi y, dosadíme výslednú hodnotu za x 0 do rovnice príslušnej funkcie. Dostaneme, že y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. To znamená, že vrchol paraboly má súradnice (1; -4).

Ďalej musíte nájsť priesečníky vetiev paraboly so súradnicovými osami. V priesečníkoch vetiev paraboly s osou x je hodnota funkcie nulová. Preto riešime kvadratickú rovnicu x 2 – 2x – 3 = 0. Jej koreňmi budú požadované body. Podľa Vietovej vety máme x 1 = -1, x 2 = 3.

V priesečníkoch vetiev paraboly s ordinátnou osou je hodnota argumentu nulová. Bod y = -3 je teda priesečníkom vetiev paraboly s osou y. Výsledný graf je znázornený na obrázku 1.

Aby sme získali graf funkcie y = |x 2 – 2x – 3|, zobrazme časť grafu umiestnenú pod úsečkou symetricky vzhľadom na os x. Výsledný graf je znázornený na obrázku 2.

Graf funkcie y = a je priamka rovnobežná s osou x. Je to znázornené na obrázku 3. Pomocou obrázku zistíme, že grafy majú štyri spoločné body (a rovnica má štyri korene), ak a patrí do intervalu (0; 4).

Celočíselné hodnoty čísla a z výsledného intervalu: 1; 2; 3. Aby sme odpovedali na otázku problému, nájdime súčet týchto čísel: 1 + 2 + 3 = 6.

odpoveď: 6.

Nájdite aritmetický priemer celočíselných hodnôt čísla a, pre ktoré platí rovnica |x 2 – 4|x| – 1| = a má šesť koreňov.

Začnime vynesením funkcie y = |x 2 – 4|x| – 1|. Aby sme to dosiahli, používame rovnosť a 2 = |a| 2 a vyberte celý štvorec v submodulárnom výraze napísanom na pravej strane funkcie:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Potom bude mať pôvodná funkcia tvar y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Aby sme vytvorili graf tejto funkcie, zostrojíme sekvenčné grafy funkcií:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – parabola s vrcholom v bode so súradnicami (2; -5); (obr. 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – časť paraboly zostrojená v kroku 1, ktorá sa nachádza napravo od osi y, je symetricky zobrazená naľavo od osi Oy; (obr. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – časť grafu zostrojená v bode 2, ktorá sa nachádza pod osou x, je zobrazená symetricky vzhľadom na os x smerom nahor. (obr. 3).

Pozrime sa na výsledné kresby:

Graf funkcie y = a je priamka rovnobežná s osou x.

Pomocou obrázku usúdime, že grafy funkcií majú šesť spoločných bodov (rovnica má šesť koreňov), ak a patrí do intervalu (1; 5).

To je možné vidieť na nasledujúcom obrázku:

Nájdite aritmetický priemer celočíselných hodnôt parametra a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

odpoveď: 3.

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.

OSR. "Riešenie rovníc pomocou grafov."
Cvičenie:
1) Základné zhrnutie.
Graf je množina bodov na rovine súradníc, ktoré majú hodnoty x a y.
sú spojené nejakou závislosťou a každej hodnote x zodpovedá jedna hodnota y.
Grafická metóda je jedným z najpohodlnejších a najnázornejších spôsobov prezentácie a analýzy.
informácie.
V praxi sa často ukazuje ako užitočná grafická metóda riešenia rovníc. On
je nasledovné: na vyriešenie rovníc f(x)=0 nakreslite funkciu y=f(x) a nájdite
úsečky priesečníkov grafu s osou Ox: tieto úsečky sú koreňmi rovnice.
Algoritmus na grafické riešenie rovníc
Ak chcete graficky vyriešiť rovnicu v tvare f(x) = g(x), potrebujete:
1. Zostrojte grafy funkcií v jednej súradnicovej rovine:
y = f(x) a y = g(x).
2. Nájdite priesečníky týchto grafov.
3. Označte úsečku každého z týchto priesečníkov.
4. Zapíšte si odpoveď.
Je celkom jednoduché riešiť sústavu rovníc graficky, keďže každá
rovnica sústavy na súradnicovej rovine predstavuje niekt
riadok.
Zostrojením grafov týchto rovníc a nájdením súradníc ich bodov
priesečníky (ak existujú), získame požadované riešenie.
Grafické riešenie nerovností spočíva v hľadaní takých bodov x,
v ktorej jeden graf leží nad alebo pod druhým.
Príklady:
#1: Vyriešte rovnicu
x
4
5
x

bodov
kríž
ja
grafov
funkcie
№
2.
Rozhodnite sa
je
kreslenie
úsečka

1
.
rovnice

5
cm.
:
X

X

4
Rozhodnutím
pri
ui
Vyšetrenie

1
4
15


4
4
správne
Odpoveď
.1:

rovnica

x
3
3
x

Rozhodnutím
rovnice
je
pri

3

X
ui


3
X
cm.
kreslenie
úsečka

.
2
bodov
kríž
ja
grafov
funkcie
č. 3. Re

1
3


Vyšetrenie
:
3


1

správne

1:

33
Odpoveď
.

šiť rovnicu
Riešenie: Zostavme si grafy funkcií
a y = x
Grafy funkcií sa nepretínajú, a preto rovnica nemá korene (pozri obrázok).
Odpoveď: žiadne korene.
č. 4. Nájdite hodnotu výrazu x + y, ak (x
;y
je riešením sústavy rovníc.
Riešenie:
doľava.
paralelný prenos o 1 jednotku
paralelný preklad 2 jednotky doľava.
= 1, r
=1
+ y
=0.
X
X
odpoveď: 0.

č. 5. Vyriešte nerovnosť
Odpoveď: x>2.
>12 1,5x. č. 6. Vyriešte nerovnosť
. Odpoveď: x>0.
č. 7. Vyriešte rovnicu sinx + cosx=1. Nakreslíme funkcie y=sinx u y=1cosx (obrázok 5).
Graf ukazuje, že rovnica má 2 riešenia: x = 2 n, kde nЄZ a x = /2+2 k, kde kЄZ.
π
π
π
2
hriech x(
1
cos x(
6
4
2
1
2
2
1
1
0
x
2
4
6
2
č.8. Riešte rovnicu: 3x = (x1) 2 + 3
Riešenie: používame funkčnú metódu riešenia rovníc:
pretože tento systém má jedinečné riešenie, potom pomocou metódy výberu nájdeme x = 1

odpoveď: 1.
č.9.Vyriešte nerovnosť: cos x 1 + 3x
Riešenie:
odpoveď: (
;
).
č. 10. Vyriešte rovnicu
V našom prípade funkcia
rastie, keď x>0, a funkcia y = 3 – x klesá, keď
všetky hodnoty x, vrátane x>0, čo znamená
rovnica
koreň Všimnite si, že pre x = 2 platí rovnica
do skutočnej rovnosti, keďže
má najviac jeden
.
odpoveď: 2.
2) Vyriešte úlohu:
1) Má rovnica koreň a ak áno, je kladný alebo záporný?
A)
; b)
, c) 6x = 1/6, d)
.
2) Vyriešte rovnicu graficky
.
1
3
X







3
X
3) Vyriešte rovnicu graficky:
A)
b)
.
3
x
3
X
5

1
2
X

4) Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x).
1) 1 2) 6 3) 7 4) 8
5) Ktorý z obrázkov znázorňuje graf funkcie
?
pri
log
x
1
2
1) na 2) na 3) na 4)
pri
1 1 1
6) Graf ktorej funkcie je znázornený na obrázku?
1) y = 2 x 1,5; 2) y = 2x – 2;
3) y = 2x – 3; 4) y = 2x – 2.
7) Ktorá funkcia je znázornená na obrázku?

1) y = sinx; 2)
pri

hriech
 

x


6



; 3)
pri

hriech
 

x


3



; 4)
.
pri

hriech
x





6



8) Na obrázku je znázornený graf funkcií
y = f (x) a y = g (x), dané na intervale
[5;6]. Zadajte tie hodnoty x, pre ktoré
platí nerovnosť g(x).
r
y
) (xg
f(x)1

1) [5; 0] 2) [5; 2]
0 1 x
3) [2; 2] 4)
9) Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x).
Nájdite počet koreňov celého čísla rovnice f(x)= 0.
1) 3 2) 4 3) 2 4) 1
)(xf
y
10) Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x).
Nájdite počet celočíselných koreňov rovnice f(x)+2= 0.
1) 3 2) 5 3) 4 4) 1

Grafické riešenie rovníc

Rozkvet, 2009

Úvod

Potreba riešiť kvadratické rovnice v dávnych dobách bola spôsobená potrebou riešenia problémov súvisiacich s hľadaním oblastí zemských a vojenských výkopových prác, ako aj s rozvojom astronómie a samotnej matematiky. Babylončania dokázali vyriešiť kvadratické rovnice okolo roku 2000 pred Kristom. Pravidlo na riešenie týchto rovníc uvedené v babylonských textoch sa v podstate zhoduje s modernými, ale nie je známe, ako Babylončania k tomuto pravidlu dospeli.

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc v Európe boli prvýkrát uvedené v knihe Abacus, ktorú v roku 1202 napísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci. Jeho kniha prispela k rozšíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách.

Ale všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc so všetkými možnými kombináciami koeficientov b a c sformuloval v Európe až v roku 1544 M. Stiefel.

V roku 1591 Francois Viet zaviedol vzorce na riešenie kvadratických rovníc.

V starovekom Babylone dokázali vyriešiť niektoré typy kvadratických rovníc.

Diofanta Alexandrijského A Euklides, Al-Khwarizmi A Omar Khayyam riešili rovnice pomocou geometrických a grafických metód.

V 7. ročníku sme študovali funkcie y = C, y =kx, y =kx+ m, y =x 2,y = –x 2, v 8 triede - y = √x, y =|x|, y =sekera2 + bx+ c, y =k/ x. V učebnici algebry pre 9. ročník som videl funkcie, ktoré mi ešte neboli známe: y =x 3, y =x 4,y =x 2n, y =x- 2n, y = 3√x, (x– a) 2 + (y –b) 2 = r 2 a ďalšie. Existujú pravidlá na vytváranie grafov týchto funkcií. Zaujímalo by ma, či existujú aj iné funkcie, ktoré sa riadia týmito pravidlami.

Mojou úlohou je študovať funkčné grafy a riešiť rovnice graficky.

1. Aké sú funkcie?

Graf funkcie je množina všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnotám argumentov a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie.

Lineárna funkcia je daná rovnicou y =kx+ b, Kde k A b- nejaké čísla. Graf tejto funkcie je priamka.

Inverzne proporcionálna funkcia y =k/ x, kde k ¹ 0. Graf tejto funkcie sa nazýva hyperbola.

Funkcia (x– a) 2 + (y –b) 2 = r2 , Kde A, b A r- nejaké čísla. Grafom tejto funkcie je kružnica s polomerom r so stredom v bode A ( A, b).

Kvadratická funkcia r= sekera2 + bx+ c Kde A,b, S– niektoré čísla a A¹ 0. Graf tejto funkcie je parabola.

Rovnica pri2 (a– x) = x2 (a+ x) . Grafom tejto rovnice bude krivka nazývaná strofoid.

/>Rovnica (x2 + r2 ) 2 = a(x2 – r2 ) . Graf tejto rovnice sa nazýva Bernoulliho lemniskát.

Rovnica. Graf tejto rovnice sa nazýva astroid.

Krivka (x2 r2 - 2 sekery)2 = 4 a2 (x2 + y2 ) . Táto krivka sa nazýva kardioidná.

Funkcie: y =x 3 – kubická parabola, y =x 4, y = 1/x 2.

2. Pojem rovnice a jej grafické riešenie

Rovnica– výraz obsahujúci premennú.

Vyriešte rovnicu- to znamená nájsť všetky jeho korene, alebo dokázať, že neexistujú.

Koreň rovnice je číslo, ktoré po dosadení do rovnice vytvorí správnu číselnú rovnosť.

Riešenie rovníc graficky umožňuje nájsť presnú alebo približnú hodnotu koreňov, umožňuje nájsť počet koreňov rovnice.

Pri zostavovaní grafov a riešení rovníc sa využívajú vlastnosti funkcie, preto sa metóda často nazýva funkcionálno-grafická.

Aby sme rovnicu vyriešili, „rozdelíme“ ju na dve časti, zavedieme dve funkcie, zostavíme ich grafy a nájdeme súradnice priesečníkov grafov. Úsečky týchto bodov sú koreňmi rovnice.

3. Algoritmus na vykreslenie grafu funkcie

Poznanie grafu funkcie y =f(x) môžete vytvárať grafy funkcií y =f(x+ m) ,y =f(x)+ l A y =f(x+ m)+ l. Všetky tieto grafy sú získané z grafu funkcie y =f(x) pomocou paralelnej prenosovej transformácie: na │ m│ jednotky mierky vpravo alebo vľavo pozdĺž osi x a ďalej │ l│ jednotky mierky nahor alebo nadol pozdĺž osi r.

4. Grafické riešenie kvadratickej rovnice

Na príklade kvadratickej funkcie budeme uvažovať o grafickom riešení kvadratickej rovnice. Graf kvadratickej funkcie je parabola.

Čo vedeli starí Gréci o parabole?

Moderná matematická symbolika vznikla v 16. storočí.

Starovekí grécki matematici nemali ani súradnicovú metódu, ani pojem funkcie. Napriek tomu podrobne študovali vlastnosti paraboly. Vynaliezavosť starovekých matematikov je jednoducho úžasná – veď mohli používať len kresby a slovné opisy závislostí.

Najviac plne preskúmaná parabola, hyperbola a elipsa Apollonius z Pergy, ktorý žil v 3. storočí pred Kristom. Tieto krivky pomenoval a naznačil, aké podmienky spĺňajú body ležiace na tej či onej krivke (napokon neexistovali žiadne vzorce!).

Existuje algoritmus na zostavenie paraboly:

Nájdite súradnice vrcholu paraboly A (x0; y0): X=- b/2 a;

y0=axo2+in0+s;

Nájdite os súmernosti paraboly (priamka x=x0);

PAGE_BREAK--

Zostavujeme tabuľku hodnôt na zostavenie kontrolných bodov;

Výsledné body zostrojíme a zostrojíme body, ktoré sú k nim symetrické vzhľadom na os symetrie.

1. Pomocou algoritmu zostrojíme parabolu r= x2 – 2 x– 3 . Úsečky priesečníkov s osou x a tam sú korene kvadratickej rovnice x2 – 2 x– 3 = 0.

Existuje päť spôsobov, ako túto rovnicu graficky vyriešiť.

2. Rozdeľme rovnicu na dve funkcie: r= x2 A r= 2 x+ 3

3. Rozdeľme rovnicu na dve funkcie: r= x2 –3 A r=2 x. Korene rovnice sú úsečky priesečníkov paraboly a priamky.

4. Transformujte rovnicu x2 – 2 x– 3 = 0 izoláciou celého štvorca do funkcií: r= (x–1) 2 A r=4. Korene rovnice sú úsečky priesečníkov paraboly a priamky.

5. Vydeľte obe strany rovnice členmi x2 – 2 x– 3 = 0 na x, dostaneme x– 2 – 3/ x= 0 , rozdeľme túto rovnicu na dve funkcie: r= x– 2, r= 3/ x. Korene rovnice sú úsečky priesečníkov priamky a hyperboly.

5. Grafické riešenie stupňových rovnícn

Príklad 1 Vyriešte rovnicu x5 = 3 – 2 x.

r= x5 , r= 3 – 2 x.

odpoveď: x = 1.

Príklad 2 Vyriešte rovnicu 3 √ x= 10 – x.

Korene tejto rovnice sú úsečkou priesečníka grafov dvoch funkcií: r= 3 √ x, r= 10 – x.

odpoveď: x = 8.

Záver

Po pohľade na grafy funkcií: y =sekera2 + bx+ c, y =k/ x, у = √x, y =|x|, y =x 3, y =x 4,y = 3√x, Všimol som si, že všetky tieto grafy sú zostavené podľa pravidla paralelného prekladu vzhľadom na osi x A r.

Na príklade riešenia kvadratickej rovnice môžeme konštatovať, že grafická metóda je použiteľná aj pre rovnice stupňa n.

Grafické metódy riešenia rovníc sú krásne a zrozumiteľné, ale neposkytujú 100% záruku vyriešenia akejkoľvek rovnice. Úsečky priesečníkov grafov môžu byť približné.

V 9. ročníku a na strednej škole sa budem naďalej oboznamovať s ďalšími funkciami. Zaujíma ma, či tieto funkcie dodržiavajú pravidlá paralelného prenosu pri vytváraní svojich grafov.

Budúci rok by som sa chcel zamyslieť aj nad problematikou grafického riešenia sústav rovníc a nerovníc.

Literatúra

1. Algebra. 7. trieda. Časť 1. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. M.: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. 8. trieda. Časť 1. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. M.: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. 9. ročníka. Časť 1. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. M.: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. História matematiky v škole. VII-VIII ročníky. – M.: Školstvo, 1982.

5. Časopis Matematika č. 5 2009; č. 8 2007; č. 23 2008.

6. Grafické riešenie rovníc webové stránky na internete: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; strana 3–6.htm.

Grafické riešenie rovníc

Rozkvet, 2009

Úvod

Ale všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc so všetkými možnými kombináciami koeficientov b a c sformuloval v Európe až v roku 1544 M. Stiefel.

V roku 1591 Francois Viet zaviedol vzorce na riešenie kvadratických rovníc.

V starovekom Babylone dokázali vyriešiť niektoré typy kvadratických rovníc.

Diofanta Alexandrijského A Euklides , Al-Khwarizmi A Omar Khayyam riešili rovnice pomocou geometrických a grafických metód.

V 7. ročníku sme študovali funkcie y = C, y = kx , y = kx + m , y = x 2 ,y = – x 2 , v 8 triede - y = √ x , y = |x |, y = sekera 2 + bx + c , y = k / x. V učebnici algebry pre 9. ročník som videl funkcie, ktoré mi ešte neboli známe: y = x 3 , y = x 4 ,y = x 2n, y = x - 2n, y = 3 √x , ( x – a ) 2 + (y – b ) 2 = r 2 a ďalšie. Existujú pravidlá na vytváranie grafov týchto funkcií. Zaujímalo by ma, či existujú aj iné funkcie, ktoré sa riadia týmito pravidlami.

Mojou úlohou je študovať funkčné grafy a riešiť rovnice graficky.

1. Aké sú funkcie?

Graf funkcie je množina všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnotám argumentov a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie.

Lineárna funkcia je daná rovnicou y = kx + b, Kde k A b- nejaké čísla. Graf tejto funkcie je priamka.

Inverzne proporcionálna funkcia y = k / x, kde k¹ 0. Graf tejto funkcie sa nazýva hyperbola.

Funkcia ( x – a ) 2 + (y – b ) 2 = r 2 , Kde A , b A r- nejaké čísla. Grafom tejto funkcie je kružnica s polomerom r so stredom v bode A ( A , b).

Kvadratická funkcia r = sekera 2 + bx + c Kde A, b , S– niektoré čísla a A¹ 0. Graf tejto funkcie je parabola.

Rovnica y 2 ( a – x ) = x 2 ( a + x ) . Grafom tejto rovnice bude krivka nazývaná strofoid.

Rovnica ( x 2 + r 2 ) 2 = a ( x 2 – r 2 ) . Graf tejto rovnice sa nazýva Bernoulliho lemniskát.

Rovnica. Graf tejto rovnice sa nazýva astroid.

Krivka (x 2 y 2 – 2 a x) 2 = 4 a 2 (x 2 + y 2). Táto krivka sa nazýva kardioidná.

Funkcie: y = x 3 – kubická parabola, y = x 4 , y = 1/ x 2 .

2. Pojem rovnice a jej grafické riešenie

Rovnica– výraz obsahujúci premennú.

Vyriešte rovnicu- to znamená nájsť všetky jeho korene, alebo dokázať, že neexistujú.

Koreň rovnice je číslo, ktoré po dosadení do rovnice vytvorí správnu číselnú rovnosť.

Riešenie rovníc graficky umožňuje nájsť presnú alebo približnú hodnotu koreňov, umožňuje nájsť počet koreňov rovnice.

Pri zostavovaní grafov a riešení rovníc sa využívajú vlastnosti funkcie, preto sa metóda často nazýva funkcionálno-grafická.

Aby sme rovnicu vyriešili, „rozdelíme“ ju na dve časti, zavedieme dve funkcie, zostavíme ich grafy a nájdeme súradnice priesečníkov grafov. Úsečky týchto bodov sú koreňmi rovnice.

3. Algoritmus na vykreslenie grafu funkcie

Poznanie grafu funkcie y = f ( x ) môžete vytvárať grafy funkcií y = f ( x + m ) ,y = f ( x )+ l A y = f ( x + m )+ l. Všetky tieto grafy sú získané z grafu funkcie y = f ( x ) pomocou paralelnej prenosovej transformácie: na │ m │ jednotky mierky vpravo alebo vľavo pozdĺž osi x a ďalej │ l │ jednotky mierky nahor alebo nadol pozdĺž osi r .

4. Grafické riešenie kvadratickej rovnice

Na príklade kvadratickej funkcie budeme uvažovať o grafickom riešení kvadratickej rovnice. Graf kvadratickej funkcie je parabola.

Čo vedeli starí Gréci o parabole?

Moderná matematická symbolika vznikla v 16. storočí.

Existuje algoritmus na zostavenie paraboly:

Nájdite súradnice vrcholu paraboly A (x 0; y 0): x 0 =- b /2 a ;

Y° = axo2+ v 0 + c;

Nájdite os súmernosti paraboly (priamka x = x 0);

Zostavujeme tabuľku hodnôt na zostavenie kontrolných bodov;

Výsledné body zostrojíme a zostrojíme body, ktoré sú k nim symetrické vzhľadom na os symetrie.

1. Pomocou algoritmu zostrojíme parabolu r = x 2 – 2 x – 3 . Úsečky priesečníkov s osou x a tam sú korene kvadratickej rovnice x 2 – 2 x – 3 = 0.

Existuje päť spôsobov, ako túto rovnicu graficky vyriešiť.

2. Rozdeľme rovnicu na dve funkcie: r = x 2 A r = 2 x + 3

3. Rozdeľme rovnicu na dve funkcie: r = x 2 –3 A r =2 x. Korene rovnice sú úsečky priesečníkov paraboly a priamky.

4. Transformujte rovnicu x 2 – 2 x – 3 = 0 izoláciou celého štvorca do funkcií: r = ( x –1) 2 A r =4. Korene rovnice sú úsečky priesečníkov paraboly a priamky.

5. Vydeľte obe strany rovnice členmi x 2 – 2 x – 3 = 0 na x, dostaneme x – 2 – 3/ x = 0 , rozdeľme túto rovnicu na dve funkcie: r = x – 2, r = 3/ x . Korene rovnice sú úsečky priesečníkov priamky a hyperboly.

5. Grafické riešenie stupňových rovníc n

Príklad 1 Vyriešte rovnicu x 5 = 3 – 2 x .

r = x 5 , r = 3 – 2 x .