Az algebra középiskolai tanulmányozása során (9. osztály) az egyik fontos téma a numerikus sorozatok tanulmányozása, amelyek magukban foglalják a progressziót - geometriát és aritmetikát. Ebben a cikkben egy aritmetikai progressziót és megoldási példákat tekintünk meg.

Mi az aritmetikai progresszió?

Ennek megértéséhez meg kell határozni a szóban forgó progressziót, valamint meg kell adni azokat az alapképleteket, amelyeket a későbbiekben a problémák megoldása során használni fogunk.

Az aritmetika vagy olyan rendezett racionális számok halmaza, amelyek minden tagja valamilyen állandó értékkel különbözik az előzőtől. Ezt az értéket különbségnek nevezzük. Vagyis egy rendezett számsor bármely tagjának és a különbségnek a ismeretében visszaállíthatja a teljes aritmetikai sorozatot.

Mondjunk egy példát. A következő számsorozat egy aritmetikai sorozat lesz: 4, 8, 12, 16, ..., mivel a különbség ebben az esetben 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). De a 3, 5, 8, 12, 17 számok halmaza már nem tulajdonítható a vizsgált progresszió típusának, mivel a különbség nem állandó érték (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Fontos képletek

Most mutassuk be azokat az alapvető képleteket, amelyekre szükség lesz a feladatok számtani progresszióval történő megoldásához. Jelöljük az a n szimbólummal a sorozat n-edik tagját, ahol n egész szám. A különbséget a latin d betűvel jelöljük. Ekkor a következő kifejezések érvényesek:

1. Az n-edik tag értékének meghatározására a következő képlet alkalmas: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Az első n tag összegének meghatározásához: S n = (a n +a 1)*n/2.

Ahhoz, hogy megértsük a 9. osztályban a megoldásokkal végzett számtani haladás példáit, elég megjegyezni ezt a két képletet, mivel a szóban forgó típusú problémák ezek használatán alapulnak. Ne feledje azt is, hogy a progresszió különbségét a következő képlet határozza meg: d = a n - a n-1.

1. példa: ismeretlen tag keresése

Adjunk egy egyszerű példát egy aritmetikai sorozatra és a megoldáshoz szükséges képletekre.

Legyen adott a 10, 8, 6, 4, ... sorozat, öt tagot kell találni benne.

A feladat feltételeiből már az is következik, hogy az első 4 tag ismert. Az ötödik kétféleképpen határozható meg:

1. Először számoljuk ki a különbséget. Van: d = 8 - 10 = -2. Hasonlóképpen, elvihet bármely két másik tagot egymás mellett. Például d = 4 - 6 = -2. Mivel ismert, hogy d = a n - a n-1, akkor d = a 5 - a 4, amiből kapjuk: a 5 = a 4 + d. Az ismert értékeket behelyettesítjük: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. A második módszer a kérdéses progresszió különbségének ismeretét is megköveteli, ezért először meg kell határozni a fentiek szerint (d = -2). Tudva, hogy az első tag a 1 = 10, a sorozat n számának képletét használjuk. Van: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Ha n = 5-öt behelyettesítünk az utolsó kifejezésbe, a következőt kapjuk: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Mint látható, mindkét megoldás ugyanarra az eredményre vezetett. Vegye figyelembe, hogy ebben a példában a d progressziókülönbség negatív érték. Az ilyen sorozatokat csökkenőnek nevezzük, mivel minden következő tag kisebb, mint az előző.

2. példa: progresszió különbség

Most bonyolítsuk egy kicsit a problémát, mondjunk példát arra, hogyan találjuk meg egy aritmetikai sorozat különbségét.

Ismeretes, hogy bizonyos algebrai progresszióban az 1. tag egyenlő 6-tal, a 7. tag pedig 18-cal. Meg kell találni a különbséget, és vissza kell állítani ezt a sorozatot a 7. tagra.

Használjuk a képletet az ismeretlen tag meghatározásához: a n = (n - 1) * d + a 1 . Helyettesítsük be a feltételből ismert adatokat, vagyis az a 1 és a 7 számokat, így kapjuk: 18 = 6 + 6 * d. Ebből a kifejezésből könnyen kiszámítható a különbség: d = (18 - 6) /6 = 2. Így a feladat első részét megválaszoltuk.

A sorozat 7. tagjára való visszaállításához az algebrai progresszió definícióját kell használni, azaz a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d és így tovább. Ennek eredményeként a teljes sorozatot visszaállítjuk: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

3. példa: progresszió készítése

Bonyolítsuk még jobban a problémát. Most azt a kérdést kell megválaszolnunk, hogyan találhatunk számtani sorozatot. A következő példa megadható: két szám van megadva, például - 4 és 5. Létre kell hozni egy algebrai progressziót úgy, hogy ezek közé még három tag kerüljön.

Mielőtt elkezdené megoldani ezt a problémát, meg kell értenie, hogy az adott számok milyen helyet foglalnak el a jövőbeni fejlődésben. Mivel még három tag lesz közöttük, akkor a 1 = -4 és egy 5 = 5. Ennek megállapítása után áttérünk az előzőhöz hasonló feladatra. Az n-edik tagra ismét a képletet használjuk, így kapjuk: a 5 = a 1 + 4 * d. Ebből: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Amit itt kaptunk, az nem a különbség egész értéke, hanem egy racionális szám, így az algebrai haladás képlete változatlan marad.

Most adjuk hozzá a talált különbséget 1-hez, és állítsuk vissza a progresszió hiányzó tagjait. A következőt kapjuk: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, amelyek egybeesnek a probléma körülményeivel.

4. példa: a progresszió első tagja

Adjunk továbbra is példákat a megoldásokkal való aritmetikai progresszióra. Minden korábbi feladatban ismert volt az algebrai progresszió első száma. Most nézzünk meg egy más típusú problémát: legyen két szám, ahol egy 15 = 50 és egy 43 = 37. Meg kell találni, hogy melyik számmal kezdődik ez a sorozat.

Az eddig használt képletek egy 1 és d ismeretét feltételezik. A problémafelvetésben ezekről a számokról nem tudunk semmit. Mindazonáltal minden olyan kifejezéshez felírunk kifejezéseket, amelyekről információ áll rendelkezésre: a 15 = a 1 + 14 * d és a 43 = a 1 + 42 * d. Két egyenletet kaptunk, amelyben 2 ismeretlen mennyiség van (a 1 és d). Ez azt jelenti, hogy a feladat egy lineáris egyenletrendszer megoldására redukálódik.

A rendszer legegyszerűbb megoldása, ha minden egyenletben 1-et fejezünk ki, majd az eredményül kapott kifejezéseket összehasonlítjuk. Első egyenlet: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; második egyenlet: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ezeket a kifejezéseket egyenlővé téve a következőt kapjuk: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, innen a különbség d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (csak 3 tizedesjegy van megadva).

A d ismeretében a fenti 2 kifejezés bármelyikét használhatja 1-hez. Például először: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ha kétségei vannak a kapott eredménnyel kapcsolatban, ellenőrizheti, például meghatározhatja a progresszió 43. tagját, amely a feltételben van megadva. A következőt kapjuk: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Az apró hiba abból adódik, hogy a számításoknál ezredrészekre kerekítést alkalmaztak.

5. számú példa: összeg

Most nézzünk meg néhány példát egy aritmetikai sorozat összegének megoldásával.

Legyen a következő alakú numerikus progresszió: 1, 2, 3, 4, ...,. Hogyan lehet kiszámítani ezeknek a számoknak a 100 összegét?

A számítástechnika fejlődésének köszönhetően meg lehet oldani ezt a problémát, vagyis az összes számot egymás után hozzáadni, amit a számítógép azonnal megtesz, amint valaki megnyomja az Enter billentyűt. A probléma azonban mentálisan megoldható, ha odafigyelünk arra, hogy a bemutatott számsor egy algebrai progresszió, és a különbsége egyenlő 1-gyel. Az összeg képletét alkalmazva a következőt kapjuk: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Érdekes megjegyezni, hogy ezt a problémát „gaussi”-nak nevezik, mert a 18. század elején a még csak 10 éves híres német fejében néhány másodperc alatt meg tudta oldani. A fiú nem ismerte az algebrai haladás összegének képletét, de észrevette, hogy ha páronként összeadja a sorozat végén lévő számokat, mindig ugyanazt az eredményt kapja, azaz 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., és mivel ezek az összegek pontosan 50 (100 / 2) lesznek, akkor a helyes válaszhoz elegendő 50-et megszorozni 101-gyel.

6. példa: tagok összege n-től m-ig

A számtani progresszió összegének egy másik tipikus példája a következő: adott egy számsor: 3, 7, 11, 15, ..., meg kell találni, hogy mekkora lesz a 8-tól 14-ig terjedő tagok összege .

A probléma kétféleképpen oldható meg. Az első közülük 8-tól 14-ig ismeretlen kifejezéseket keres, majd egymás után összegzi őket. Mivel kevés a kifejezés, ez a módszer nem elég munkaigényes. Ennek ellenére azt javasolják, hogy ezt a problémát egy második módszerrel oldják meg, amely univerzálisabb.

Az ötlet az, hogy egy képletet kapjunk az m és n tagok közötti algebrai haladás összegére, ahol n > m egész számok. Mindkét esetben két kifejezést írunk az összegre:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Mivel n > m, nyilvánvaló, hogy a 2. összeg tartalmazza az elsőt. Az utolsó következtetés azt jelenti, hogy ha felvesszük ezen összegek különbségét, és hozzáadjuk az a m tagot (különbözet ​​felvétele esetén levonjuk az S n összegből), akkor megkapjuk a feladatra a szükséges választ. Van: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Ebbe a kifejezésbe n és m képleteket kell behelyettesíteni. Ekkor a következőt kapjuk: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

A kapott képlet kissé körülményes, azonban az S mn összeg csak n, m, a 1 és d függvénye. Esetünkben a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ezeket a számokat behelyettesítve a következőt kapjuk: S mn = 301.

Amint a fenti megoldásokból látható, minden probléma az n-edik tag kifejezésének és az első tagok összegének képletének ismeretén alapul. Mielőtt elkezdené megoldani ezeket a problémákat, javasoljuk, hogy figyelmesen olvassa el a feltételt, értse meg egyértelműen, mit kell találnia, és csak ezután folytassa a megoldást.

Egy másik tipp, hogy törekedjünk az egyszerűségre, vagyis ha bonyolult matematikai számítások használata nélkül tud válaszolni egy kérdésre, akkor ezt meg kell tennie, hiszen ebben az esetben kisebb a tévedés valószínűsége. Például a 6-os megoldású aritmetikai sorozat példájában megállhatunk az S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m képletnél, és ossza fel az átfogó problémát külön részfeladatokra (ebben az esetben először keresse meg az a n és a m kifejezéseket).

Ha kétségei vannak az elért eredménnyel kapcsolatban, javasoljuk, hogy ellenőrizze azt, ahogyan az egyes példákban is megtörtént. Megtudtuk, hogyan találhatunk számtani sorozatot. Ha rájössz, nem is olyan nehéz.

Igen, igen: a számtani progresszió nem játékszer neked :)

Nos, barátaim, ha ezt a szöveget olvassátok, akkor a belső zárójelek azt sugallják, hogy még nem tudjátok, mi az a számtani progresszió, de nagyon (nem, így: NAGYON!) szeretnétek tudni. Ezért nem gyötörlek hosszú bevezetőkkel, és rögtön a lényegre térek.

Először is egy-két példa. Nézzünk meg néhány számkészletet:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Mi a közös ezekben a készletekben? Első pillantásra semmi. De valójában van valami. Ugyanis: minden következő elem ugyanazzal a számmal tér el az előzőtől.

Ítélje meg maga. Az első halmaz egyszerűen egymást követő számokból áll, minden következő eggyel több, mint az előző. A második esetben a szomszédos számok különbsége már öt, de ez a különbség továbbra is állandó. A harmadik esetben gyökerek vannak. Azonban $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, és $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, azaz. és ebben az esetben minden következő elem egyszerűen növekszik $\sqrt(2)$-val (és ne félj attól, hogy ez a szám irracionális).

Tehát: minden ilyen sorozatot aritmetikai progressziónak nevezünk. Adjunk egy szigorú definíciót:

Meghatározás. Aritmetikai sorozatnak nevezzük azt a számsorozatot, amelyben minden következő pontosan ugyanannyival különbözik az előzőtől. Pont azt az összeget, amellyel a számok különböznek, progressziós különbségnek nevezzük, és leggyakrabban $d$ betűvel jelöljük.

Jelölés: $\left(((a)_(n)) \right)$ maga a progresszió, $d$ a különbsége.

És csak néhány fontos megjegyzés. Először is csak a progressziót veszik figyelembe elrendelte számsor: szigorúan a beírásuk sorrendjében olvashatóak - és semmi más. A számokat nem lehet átrendezni vagy felcserélni.

Másodszor, maga a sorozat lehet véges vagy végtelen. Például az (1; 2; 3) halmaz nyilvánvalóan véges aritmetikai sorozat. De ha leírsz valamit a szellemben (1; 2; 3; 4; ...) - ez már végtelen fejlődés. A négy utáni ellipszis arra utal, hogy még jó néhány szám jön. Például végtelenül sok. :)

Azt is szeretném megjegyezni, hogy a progresszió növekedhet vagy csökkenhet. Láttunk már növekvőeket - ugyanaz a halmaz (1; 2; 3; 4; ...). Íme, példák a progresszió csökkenésére:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oké, oké: az utolsó példa túl bonyolultnak tűnhet. De a többit szerintem érted. Ezért új definíciókat vezetünk be:

Meghatározás. Az aritmetikai progressziót nevezzük:

1. növekszik, ha minden következő elem nagyobb, mint az előző;
2. csökken, ha éppen ellenkezőleg, minden következő elem kisebb, mint az előző.

Ezen kívül vannak úgynevezett „stacionárius” sorozatok - ezek ugyanabból az ismétlődő számból állnak. Például (3; 3; 3; ...).

Csak egy kérdés marad: hogyan lehet megkülönböztetni a növekvő progressziót a csökkenőtől? Szerencsére itt minden csak a $d$ szám előjelén múlik, pl. Előrehaladási különbségek:

1. Ha $d \gt 0$, akkor a progresszió növekszik;
2. Ha $d \lt 0$, akkor a progresszió nyilvánvalóan csökken;
3. Végül ott van a $d=0$ eset – ebben az esetben a teljes progresszió azonos számok stacionárius sorozatára redukálódik: (1; 1; 1; 1; ...) stb.

Próbáljuk meg kiszámítani a $d$ különbséget a fent megadott három csökkenő progresszióhoz. Ehhez elegendő bármely két szomszédos elemet (például az elsőt és a másodikat) kivenni, és kivonni a bal oldali számot a jobb oldali számból. Így fog kinézni:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Amint látjuk, a különbség mindhárom esetben negatívnak bizonyult. És most, hogy többé-kevésbé kitaláltuk a definíciókat, ideje kitalálni, hogyan írják le a progressziót, és milyen tulajdonságaik vannak.

Progressziós tagok és ismétlődési képlet

Mivel sorozataink elemei nem cserélhetők fel, ezért számozhatók:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \jobb\)\]

Ennek a halmaznak az egyes elemeit egy progresszió tagjainak nevezzük. Egy szám jelzi őket: első tag, második tag stb.

Ezenkívül, mint már tudjuk, a progresszió szomszédos tagjai a következő képlettel kapcsolódnak egymáshoz:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Jobbra ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Röviden, egy progresszió $n$-edik tagjának megtalálásához ismernünk kell az $n-1$-edik tagot és a $d$ különbséget. Ezt a képletet ismétlődőnek nevezzük, mert segítségével bármely számot csak az előző (és valójában az összes korábbi) ismeretében találhat meg. Ez nagyon kényelmetlen, ezért van egy ravaszabb képlet, amely minden számítást az első tagra és a különbségre redukál:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Valószínűleg már találkoztál ezzel a képlettel. Szeretik mindenféle segédkönyvekben, megoldási könyvekben megadni. És minden értelmes matematikai tankönyvben az elsők között van.

Azt javaslom azonban, hogy gyakoroljon egy kicsit.

1. számú feladat. Írja fel a $\left(((a)_(n)) \right)$ aritmetikai sorozat első három tagját, ha $((a)_(1))=8,d=-5$.

Megoldás. Tehát ismerjük az első tagot $((a)_(1))=8$ és a progresszió különbségét a $d=-5$. Használjuk az imént megadott képletet, és cseréljük be a $n=1$, $n=2$ és $n=3$ értékeket:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(igazítás)\]

Válasz: (8; 3; -2)

Ez minden! Figyelem: fejlődésünk csökken.

Természetesen a $n=1$ nem helyettesíthető – az első kifejezést már ismerjük. Az egységet helyettesítve azonban meggyőződtünk arról, hogy a képletünk már az első ciklusban is működik. Más esetekben minden a banális aritmetikára dőlt el.

2. feladat. Írja fel egy aritmetikai sorozat első három tagját, ha hetedik tagja -40, tizenhetedik tagja pedig -50.

Megoldás. Írjuk le a probléma feltételét ismerős kifejezésekkel:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(igazítás) \jobbra.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(igazítás) \jobb.\]

Azért tettem fel a rendszerjelet, mert ezeknek a követelményeknek egyszerre kell teljesülniük. Most jegyezzük meg, hogy ha kivonjuk az elsőt a második egyenletből (jogunk van erre, hiszen van rendszerünk), ezt kapjuk:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(igazítás)\]

Így könnyű megtalálni a haladási különbséget! Nem marad más hátra, mint behelyettesíteni a talált számot a rendszer bármely egyenletébe. Például az elsőben:

\[\begin(mátrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(mátrix)\]

Most, az első kifejezés és a különbség ismeretében, meg kell találni a második és a harmadik kifejezést:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(igazítás)\]

Kész! A probléma megoldódott.

Válasz: (-34; -35; -36)

Figyeljük meg a progresszió érdekes tulajdonságát, amit felfedeztünk: ha kivesszük a $n$-edik és a $m$-edik tagot, és kivonjuk őket egymástól, akkor megkapjuk a progresszió különbségét megszorozva a $n-m$ számmal:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Egy egyszerű, de nagyon hasznos tulajdonság, amit feltétlenül ismerned kell - segítségével jelentősen felgyorsíthatod számos progressziós probléma megoldását. Íme egy világos példa erre:

3. feladat. Egy aritmetikai sorozat ötödik tagja 8,4, tizedik tagja 14,4. Keresse meg ennek a progressziónak a tizenötödik tagját.

Megoldás. Mivel $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, és meg kell találnunk a $((a)_(15))$-t, a következőket jegyezzük meg:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(igazítás)\]

De feltétellel $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, tehát $5d=6$, amiből a következő:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(igazítás)\]

Válasz: 20.4

Ez minden! Nem kellett egyenletrendszert létrehoznunk, és kiszámolni az első tagot és a különbséget - minden csak néhány sorban megoldódott.

Most nézzünk meg egy másik típusú problémát – keressük a progresszió negatív és pozitív feltételeit. Nem titok, hogy ha egy progresszió növekszik, és az első tagja negatív, akkor előbb-utóbb pozitív kifejezések jelennek meg benne. És fordítva: a csökkenő progresszió feltételei előbb-utóbb negatívvá válnak.

Ugyanakkor nem mindig lehet „fejjel” megtalálni ezt a pillanatot úgy, hogy egymás után végigjárjuk az elemeket. A feladatokat gyakran úgy írják le, hogy a képletek ismerete nélkül a számítások több papírlapot vennének igénybe – egyszerűen elalszunk, miközben megtaláljuk a választ. Ezért próbáljuk meg gyorsabban megoldani ezeket a problémákat.

4. feladat. Hány negatív tag van a számtani sorozatban −38,5; −35,8; ...?

Megoldás. Tehát $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, ahonnan azonnal megtaláljuk a különbséget:

Vegye figyelembe, hogy a különbség pozitív, így a progresszió növekszik. Az első tag negatív, tehát valamikor valóban pozitív számokba botlunk. A kérdés csak az, hogy ez mikor fog megtörténni.

Próbáljuk meg kideríteni, meddig (azaz hány $n$ természetes számig) marad meg a tagok negativitása:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Jobbra ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \jobbra. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Jobbra ((n)_(\max ))=15. \\ \end(igazítás)\]

Az utolsó sor némi magyarázatot igényel. Tehát tudjuk, hogy $n \lt 15\frac(7)(27)$. Másrészt megelégszünk a számnak csak egész értékeivel (sőt: $n\in \mathbb(N)$), így a legnagyobb megengedett szám pontosan $n=15$, semmi esetre sem 16 .

5. feladat. Aritmetikai haladásban $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Keresse meg ennek a progressziónak az első pozitív tagjának számát.

Ez pontosan ugyanaz a probléma lenne, mint az előző, de nem tudjuk, hogy $((a)_(1))$. De a szomszédos tagok ismertek: $((a)_(5))$ és $((a)_(6))$, így könnyen megtalálhatjuk a progresszió különbségét:

Ezenkívül próbáljuk meg kifejezni az ötödik tagot az elsőn és a különbséget a standard képlettel:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(igazítás)\]

Most az előző feladat analógiájával folytatjuk. Nézzük meg, hogy sorozatunk melyik pontján jelennek meg a pozitív számok:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Jobbra ((n)_(\min ))=56. \\ \end(igazítás)\]

Ennek az egyenlőtlenségnek a minimális egész számú megoldása az 56.

Figyelem: az utolsó feladatban minden a szigorú egyenlőtlenséghez vezetett, így a $n=55$ opció nem felel meg nekünk.

Most, hogy megtanultuk az egyszerű problémák megoldását, térjünk át a bonyolultabbakra. De először tanulmányozzuk az aritmetikai progresszió egy másik nagyon hasznos tulajdonságát, amely sok időt és egyenlőtlen cellákat takarít meg a jövőben :)

Számtani átlag és egyenlő behúzások

Tekintsük a $\left(((a)_(n)) \right)$ növekvő számtani progresszió több egymást követő tagját. Próbáljuk meg megjelölni őket a számegyenesen:

A számegyenes számtani sorozatának feltételei

Kifejezetten tetszőleges kifejezéseket jelöltem meg $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, és nem néhány $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ stb. Mert a szabály, amelyről most elmondom, ugyanúgy működik minden „szegmensre”.

És a szabály nagyon egyszerű. Emlékezzünk az ismétlődő képletre, és írjuk le az összes megjelölt kifejezésre:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(igazítás)\]

Ezeket az egyenlőségeket azonban másképpen is át lehet írni:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(igazítás)\]

Nos, és mi van? És az a tény, hogy a $((a)_(n-1))$ és $((a)_(n+1))$ kifejezések azonos távolságra vannak a $((a)_(n)) $-tól . És ez a távolság egyenlő $d$-val. Ugyanez mondható el a $((a)_(n-2))$ és $((a)_(n+2))$ kifejezésekről is - ezek szintén kikerülnek a $((a)_(n) )$ ugyanolyan távolságban, mint $2d$. A végtelenségig folytathatjuk, de a jelentést jól szemlélteti a kép

A progresszió feltételei azonos távolságra vannak a középponttól

Mit jelent ez számunkra? Ez azt jelenti, hogy a $((a)_(n))$ megtalálható, ha a szomszédos számok ismertek:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kiváló állítást kaptunk: egy számtani sorozat minden tagja egyenlő a szomszédos tagok számtani átlagával! Sőt: a $((a)_(n))$-unkból balra és jobbra nem egy, hanem $k$ lépéssel visszaléphetünk - és a képlet továbbra is helyes lesz:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Azok. könnyen találhatunk néhány $((a)_(150))$-t, ha ismerjük $((a)_(100))$ és $((a)_(200))$, mert $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Első pillantásra úgy tűnhet, hogy ez a tény nem ad nekünk semmi hasznosat. A gyakorlatban azonban sok feladatot kifejezetten a számtani átlag használatára szabnak. Nézd meg:

6. feladat. Keresse meg a $x$ összes olyan értékét, amelyeknél a $-6((x)^(2))$, $x+1$ és a $14+4((x)^(2))$ számok egymást követő tagjai egy aritmetikai sorozat (a jelzett sorrendben).

Megoldás. Mivel ezek a számok egy progresszió tagjai, a számtani átlag feltétele teljesül rájuk: a $x+1$ központi elem a szomszédos elemekkel fejezhető ki:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(igazítás)\]

Az eredmény egy klasszikus másodfokú egyenlet. Gyökerei: $x=2$ és $x=-3$ a válaszok.

Válasz: −3; 2.

7. feladat. Keresse meg a $$ azon értékeit, amelyeknél a $-1;4-3;(()^(2))+1$ számok aritmetikai sorozatot alkotnak (ebben a sorrendben).

Megoldás. A középső tagot ismét fejezzük ki a szomszédos tagok számtani átlagán keresztül:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(igazítás)\]

Megint másodfokú egyenlet. És megint két gyök van: $x=6$ és $x=1$.

Válasz: 1; 6.

Ha egy probléma megoldása során brutális számokat talál ki, vagy nem vagy teljesen biztos a talált válaszok helyességében, akkor van egy csodálatos technika, amely lehetővé teszi, hogy ellenőrizze: helyesen oldottuk meg a problémát?

Tegyük fel, hogy a 6. feladatban −3-as és 2-es választ kaptunk. Hogyan ellenőrizhetjük, hogy ezek a válaszok helyesek-e? Csak csatlakoztassuk őket az eredeti állapotba, és meglátjuk, mi történik. Hadd emlékeztesselek arra, hogy három számunk van ($-6(()^(2))$, $+1$ és $14+4(()^(2))$), amelyeknek számtani sorozatot kell alkotniuk. Helyettesítsük $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Jobbra \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(igazítás)\]

Megkaptuk a −54 számokat; −2; Az 50, amely 52-vel különbözik, kétségtelenül egy aritmetikai progresszió. Ugyanez történik $x=2$ esetén is:

\[\begin(align) & x=2\Jobbra \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(igazítás)\]

Ismét egy progresszió, de 27-es különbséggel. Így a probléma helyesen megoldódott. Aki szeretné, a második problémát saját maga is leellenőrizheti, de rögtön leszögezem: ott is minden rendben van.

Általánosságban elmondható, hogy az utolsó feladatok megoldása során egy másik érdekes ténnyel találkoztunk, amelyet szintén emlékezni kell:

Ha három szám olyan, hogy a második az első és az utolsó számtani átlaga, akkor ezek a számok számtani sorozatot alkotnak.

A jövőben ennek az állításnak a megértése lehetővé teszi számunkra, hogy a probléma körülményei alapján szó szerint „megkonstruáljuk” a szükséges előrelépéseket. Mielőtt azonban belevágnánk egy ilyen „konstrukcióba”, még egy tényre kell figyelnünk, amely közvetlenül következik a már tárgyaltakból.

Elemek csoportosítása és összegzése

Térjünk vissza ismét a számtengelyhez. Jegyezzük meg ott a progresszió több tagját, amelyek között talán. megér sok más tagot:

A számegyenesen 6 elem található

Próbáljuk meg kifejezni a „bal farkát” $((a)_(n))$ és $d$, a „jobb farok” pedig $((a)_(k))$ és $d$ között. Nagyon egyszerű:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(igazítás)\]

Most vegye figyelembe, hogy a következő összegek egyenlőek:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(igazítás)\]

Egyszerűen fogalmazva, ha a progresszió két elemét tekintjük kezdetnek, amelyek összesen megegyeznek valamilyen $S$ számmal, majd ezektől az elemektől ellentétes irányban (egymás felé vagy fordítva távolodni) kezdünk lépni, akkor azoknak az elemeknek az összegei is egyenlőek lesznek, amelyekbe belebotlunk$S$. Ez a legvilágosabban grafikusan ábrázolható:

Az egyenlő behúzások egyenlő összegeket adnak

Ennek a ténynek a megértése lehetővé teszi számunkra, hogy alapvetően magasabb szintű bonyolultságú problémákat oldjunk meg, mint amelyeket fentebb vizsgáltunk. Például ezek:

8. feladat. Határozzuk meg egy olyan aritmetikai sorozat különbségét, amelyben az első tag 66, a második és a tizenkettedik tag szorzata pedig a lehető legkisebb!

Megoldás. Írjunk le mindent, amit tudunk:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(igazítás)\]

Tehát nem ismerjük a $d$ progresszió különbséget. Valójában a teljes megoldás a különbség köré épül fel, mivel a $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ szorzat a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(igazítás)\]

A tankban lévőknek: a második zárójelből kivettem a 11-es teljes szorzót. Így a kívánt szorzat egy másodfokú függvény a $d$ változóhoz képest. Ezért tekintsük a $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ függvényt - a grafikonja egy parabola lesz felfelé ágazva, mert ha kibővítjük a zárójeleket, a következőket kapjuk:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Mint látható, a legmagasabb tag együtthatója 11 - ez egy pozitív szám, tehát valóban felfelé ágazó parabolával van dolgunk:

egy másodfokú függvény grafikonja - parabola

Figyelem: ez a parabola minimális értékét a $((d)_(0))$ abszcissza csúcsánál veszi fel. Természetesen ezt az abszcisszát a standard séma segítségével is kiszámíthatjuk (van a $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ képlet), de sokkal ésszerűbb lenne megjegyezni hogy a kívánt csúcs a parabola tengelyszimmetriáján fekszik, ezért a $((d)_(0))$ pont egyenlő távolságra van a $f\left(d \right)=0$ egyenlet gyökétől:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(igazítás)\]

Éppen ezért nem siettem különösebben a zárójelek kinyitásával: eredeti formájukban a gyökereket nagyon-nagyon könnyű megtalálni. Ezért az abszcissza egyenlő a -66 és -6 számok számtani átlagával:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Mit ad nekünk a felfedezett szám? Vele a szükséges szorzat felveszi a legkisebb értéket (egyébként soha nem számoltunk $((y)_(\min ))$ - ezt nem követelik meg tőlünk). Ugyanakkor ez a szám az eredeti progresszió különbsége, azaz. megtaláltuk a választ :)

Válasz: −36

9. feladat. A $-\frac(1)(2)$ és $-\frac(1)(6)$ számok közé illesszen be három számot úgy, hogy ezekkel a számokkal együtt aritmetikai sorozatot alkossanak.

Megoldás. Lényegében öt számból álló sorozatot kell készítenünk, az első és az utolsó szám már ismert. Jelöljük a hiányzó számokat a $x$, $y$ és $z$ változókkal:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Vegye figyelembe, hogy a $y$ szám a sorozatunk „közepe” - egyenlő távolságra van a $x$ és $z$ számoktól, valamint a $-\frac(1)(2)$ és $-\frac számoktól (1)(6)$. És ha jelenleg nem tudjuk megkapni az $y$-t a $x$ és a $z$ számokból, akkor a progresszió végeinél más a helyzet. Emlékezzünk a számtani átlagra:

Most $y$ ismeretében megtaláljuk a fennmaradó számokat. Ne feledje, hogy $x$ a $-\frac(1)(2)$ és az általunk talált $y=-\frac(1)(3)$ számok között található. Ezért

Hasonló érveléssel megtaláljuk a fennmaradó számot:

Kész! Mindhárom számot megtaláltuk. Írjuk be őket a válaszba abban a sorrendben, ahogyan az eredeti számok közé kerüljenek.

Válasz: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

10. feladat. A 2 és 42 számok közé illesszen be több olyan számot, amelyek ezekkel a számokkal együtt aritmetikai sorozatot alkotnak, ha tudja, hogy a beszúrt számok első, második és utolsó összege 56.

Megoldás. Egy még összetettebb probléma, amelyet azonban az előzőekkel megegyező séma szerint oldanak meg - a számtani átlagon keresztül. A probléma az, hogy nem tudjuk pontosan, hány számot kell beszúrni. Ezért a határozottság kedvéért tegyük fel, hogy minden beillesztés után pontosan $n$ számok lesznek, amelyek közül az első 2, az utolsó pedig 42. Ebben az esetben a szükséges aritmetikai progresszió a következő formában ábrázolható:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \jobbra\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Megjegyzendő azonban, hogy a $((a)_(2))$ és $((a)_(n-1))$ számokat a 2 és 42 számokból kapjuk egymás felé egy lépéssel az éleken, azaz . a sorozat közepére. Ez pedig azt jelenti

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

De akkor a fent írt kifejezés a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(igazítás)\]

$((a)_(3))$ és $((a)_(1))$ ismeretében könnyen megtalálhatjuk a progresszió különbségét:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Jobbra d=5. \\ \end(igazítás)\]

Már csak a fennmaradó feltételeket kell megtalálni:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(igazítás)\]

Így már a 9. lépésnél elérkezünk a sorozat bal végéhez - a 42-es számhoz. Összesen csak 7 számot kellett beszúrni: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Válasz: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Szóproblémák progressziókkal

Befejezésül néhány viszonylag egyszerű problémát szeretnék megvizsgálni. Nos, ilyen egyszerű: a legtöbb olyan diák számára, aki matematikát tanul az iskolában, és nem olvasta el a fent leírtakat, ezek a problémák nehéznek tűnhetnek. Mindazonáltal az OGE-ben és az Egységes Államvizsgában matematikából ezek a típusú problémák jelennek meg, ezért javaslom, hogy ismerkedjen meg velük.

11. számú feladat. A csapat januárban 62 alkatrészt gyártott le, minden következő hónapban pedig 14 alkatrészt gyártottak többet, mint az előző hónapban. Hány alkatrészt gyártott a csapat novemberben?

Megoldás. Nyilvánvaló, hogy a hónaponként felsorolt ​​részek száma növekvő számtani progressziót jelent. Ráadásul:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November az év 11. hónapja, ezért meg kell találnunk $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ezért novemberben 202 alkatrész készül.

12. feladat. A könyvkötő műhely januárban 216 könyvet kötött be, minden további hónapban pedig 4 könyvvel többet kötött be, mint az előző hónapban. Hány könyvet kötött be decemberben a műhely?

Megoldás. Minden a régi:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

December az év utolsó, 12. hónapja, ezért keresünk $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ez a válasz – decemberben 260 könyvet kötnek be.

Nos, ha idáig olvastad, sietve gratulálok: sikeresen elvégezted a „fiatal harcos tanfolyamot” számtani sorozatokban. Nyugodtan továbbléphet a következő leckére, ahol tanulmányozzuk a haladás összegének képletét, valamint annak fontos és nagyon hasznos következményeit.

Utasítás

Az aritmetikai sorozat az a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d formájú sorozat. d számú lépés progresszió.Nyilvánvaló, hogy az aritmetika tetszőleges n-edik tagjának általános progresszió alakja: An = A1+(n-1)d. Aztán ismerve az egyik tagot progresszió, tag progresszióés lépj progresszió, lehet, vagyis a haladó tag száma. Nyilvánvalóan az n = (An-A1+d)/d képlet határozza meg.

Legyen most ismert az m-edik tag progresszióés egy másik tagja progresszió- n-edik, de n , mint az előző esetben, de ismert, hogy n és m nem esik egybe progresszió képlettel számítható ki: d = (An-Am)/(n-m). Ekkor n = (An-Am+md)/d.

Ha egy számtani egyenlet több elemének összege ismert progresszió, valamint az első és az utolsó, akkor ezeknek az elemeknek a száma is meghatározható Az aritmetika összege progresszió egyenlő lesz: S = ((A1+An)/2)n. Ekkor n = 2S/(A1+An) - chdenov progresszió. Felhasználva azt a tényt, hogy An = A1+(n-1)d, ez a képlet átírható így: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Ebből másodfokú egyenlet megoldásával fejezhetjük ki n-t.

A számtani sorozat olyan rendezett számhalmaz, amelynek minden tagja az első kivételével ugyanannyival különbözik az előzőtől. Ezt az állandó értéket a progresszió vagy lépése különbségének nevezzük, és a számtani progresszió ismert tagjaiból számítható ki.

Utasítás

Ha az első és a második vagy bármely más szomszédos tag pár értéke ismert a feladat feltételeiből, a különbség kiszámításához (d) egyszerűen vonja ki az előzőt a következő tagból. A kapott érték lehet pozitív vagy negatív szám – ez attól függ, hogy a progresszió növekszik-e. Általános formában írja fel a folyamat egy tetszőleges párjának (aᵢ és aᵢ₊₁) megoldását a következőképpen: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Egy ilyen progressziójú tagpárhoz, amelyek közül az egyik az első (a1), a másik pedig bármely más tetszőlegesen választott, szintén létrehozható egy képlet a különbség (d) meghatározására. Ebben az esetben azonban ismerni kell a sorozat egy tetszőlegesen kiválasztott tagjának sorszámát (i). A különbség kiszámításához adjuk össze mindkét számot, és a kapott eredményt osszuk el egy tetszőleges tag eggyel csökkentett sorszámával. Általában a következőképpen írjuk ezt a képletet: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ha az i sorszámú aritmetikai sorozat tetszőleges tagja mellett egy másik u sorszámú tag is ismert, akkor ennek megfelelően változtassa meg az előző lépés képletét. Ebben az esetben a progresszió különbsége (d) ennek a két tagnak az összege, osztva a sorszámuk különbségével: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

A (d) különbség kiszámításának képlete némileg bonyolultabbá válik, ha a feladatfeltételek megadják annak első tagjának (a₁) értékét és az aritmetikai sorozat első tagjainak adott számának (i) összegét (Sᵢ). A kívánt érték eléréséhez osszuk el az összeget az azt alkotó tagok számával, vonjuk ki a sorozat első számának értékét, és duplázzuk meg az eredményt. A kapott értéket osszuk el az eggyel csökkentett összeget alkotó tagok számával. Általában a következőképpen írjuk fel a diszkrimináns kiszámításának képletét: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Első szint

Aritmetikai progresszió. Részletes elmélet példákkal (2019)

Számsorozat

Szóval, üljünk le, és kezdjünk el néhány számot írni. Például:
Bármilyen számot írhatsz, és annyi lehet, amennyit akarsz (esetünkben ilyenek vannak). Akárhány számot írunk, mindig meg tudjuk mondani, hogy melyik az első, melyik a második, és így tovább az utolsóig, vagyis meg tudjuk őket számozni. Ez egy példa egy számsorozatra:

Számsorozat
Például a sorozatunkhoz:

A hozzárendelt szám csak egy számra vonatkozik a sorozatban. Más szóval, nincs három másodperces szám a sorozatban. A második szám (mint a th szám) mindig ugyanaz.
A számmal rendelkező számot a sorozat th tagjának nevezzük.

Általában a teljes sorozatot valamilyen betűvel hívjuk (például,), és ennek a sorozatnak minden tagja ugyanaz a betű, amelynek indexe megegyezik ennek a tagnak a számával: .

A mi esetünkben:

Tegyük fel, hogy van egy számsorozatunk, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő.
Például:

stb.
Ezt a számsorozatot aritmetikai sorozatnak nevezzük.
A „progresszió” kifejezést Boethius római szerző vezette be még a 6. században, és tágabb értelemben végtelen számsorozatként értelmezték. Az „aritmetika” elnevezést a folytonos arányok elméletéből vették át, amelyet az ókori görögök tanulmányoztak.

Ez egy számsorozat, amelynek minden tagja egyenlő az előzővel, amely ugyanahhoz a számhoz van hozzáadva. Ezt a számot aritmetikai progresszió különbségének nevezzük, és jelöljük.

Próbáld meg meghatározni, hogy mely számsorozatok aritmetikai sorozatok, és melyek nem:

a)
b)
c)
d)

Megvan? Hasonlítsuk össze a válaszainkat:
Is számtani progresszió - b, c.
Nem számtani progresszió - a, d.

Térjünk vissza az adott progresszióhoz () és próbáljuk meg megtalálni a th tag értékét. Létezik kettő megtalálásának módja.

1. Módszer

Addig adhatjuk a progressziószámot az előző értékhez, amíg el nem érjük a progresszió edik tagját. Még jó, hogy nincs sok összefoglalni valónk – csak három érték:

Tehát a leírt aritmetikai progresszió edik tagja egyenlő.

2. Módszer

Mi van, ha meg kell találnunk a progresszió th tagjának értékét? Az összegzés több mint egy órát venne igénybe, és nem tény, hogy nem hibáznánk a számok összeadásakor.
Természetesen a matematikusok kitalálták azt a módot, hogy nem szükséges egy számtani sorozat különbségét hozzáadni az előző értékhez. Nézze meg közelebbről a megrajzolt képet... Bizonyára Ön is észrevett már egy bizonyos mintát, mégpedig:

Például nézzük meg, miből áll ennek az aritmetikai sorozatnak az értéke:


Más szavakkal:

Próbáld meg magad is így megtalálni egy adott számtani sorozat tagjának értékét.

Kiszámoltad? Hasonlítsa össze a jegyzeteit a válasszal:

Kérjük, vegye figyelembe, hogy pontosan ugyanazt a számot kapta, mint az előző módszernél, amikor az aritmetikai progresszió tagjait szekvenciálisan hozzáadtuk az előző értékhez.
Próbáljuk meg „személyteleníteni” ezt a képletet – fogalmazzuk meg általános formában, és kapjuk meg:

Aritmetikai progresszió egyenlete.

Az aritmetikai progressziók növekedhetnek vagy csökkenhetnek.

Növekvő- olyan progressziók, amelyekben a kifejezések minden következő értéke nagyobb, mint az előző.
Például:

Csökkenő- olyan progressziók, amelyekben a kifejezések minden további értéke kisebb, mint az előző.
Például:

A származtatott képletet egy aritmetikai sorozat növekvő és csökkenő tagjának számításakor használják.
Vizsgáljuk meg ezt a gyakorlatban.
Adunk egy aritmetikai sorozatot, amely a következő számokból áll: Nézzük meg, mi lesz ennek az aritmetikai sorozatnak a száma, ha a képletünket használjuk a kiszámításához:

Azóta:

Így meg vagyunk győződve arról, hogy a képlet csökkenő és növekvő aritmetikai progresszióban is működik.
Próbálja meg saját maga megtalálni ennek az aritmetikai sorozatnak a th és th tagját.

Hasonlítsuk össze az eredményeket:

Aritmetikai progresszió tulajdonsága

Bonyolítsuk a problémát – levezetjük az aritmetikai progresszió tulajdonságát.
Tegyük fel, hogy a következő feltételt kapjuk:
- aritmetikai progresszió, keresse meg az értéket.
Könnyű, mondja, és elkezd számolni a már ismert képlet szerint:

Na akkor hadd:

Teljesen igaza van. Kiderült, hogy először megtaláljuk, majd hozzáadjuk az első számhoz, és megkapjuk, amit keresünk. Ha a progressziót kis értékek képviselik, akkor nincs benne semmi bonyolult, de mi van, ha a feltételben számokat adunk? Egyetértek, előfordulhat, hogy hibát követnek el a számításokban.
Most gondoljon arra, hogy meg lehet-e oldani ezt a problémát egy lépésben bármilyen képlet segítségével? Természetesen igen, és ezt igyekszünk most kihozni.

Jelöljük az aritmetikai progresszió szükséges tagját úgy, hogy a megtalálásának képlete ismert – ez ugyanaz a képlet, amelyet az elején levezettünk:
, Akkor:

• a progresszió előző tagja:
• a progresszió következő tagja:

Foglaljuk össze a progresszió előző és későbbi feltételeit:

Kiderül, hogy a progresszió előző és következő tagjának összege a közöttük elhelyezkedő progressziótag dupla értéke. Más szavakkal, egy ismert korábbi és egymást követő értékekkel rendelkező progressziós tag értékének meghatározásához össze kell adni őket, és el kell osztani velük.

Így van, ugyanaz a számunk. Biztosítsuk az anyagot. Számolja ki maga a továbblépés értékét, ez egyáltalán nem nehéz.

Szép munka! Szinte mindent tudsz a fejlődésről! Már csak egy képletet kell kideríteni, amelyet a legenda szerint minden idők egyik legnagyobb matematikusa, a „matematikusok királya” - Karl Gauss - könnyen levezetett...

Amikor Carl Gauss 9 éves volt, egy tanár, aki azzal volt elfoglalva, hogy ellenőrizte a diákok munkáját más osztályokban, a következő feladatot adta az órán: „Számítsa ki az összes természetes szám összegét től-ig (más források szerint) inkluzívan.” Képzeljük el a tanár meglepetését, amikor az egyik tanítványa (ez Karl Gauss volt) egy perccel később helyes választ adta a feladatra, miközben a vakmerő osztálytársa hosszas számolás után rossz eredményt kapott...

A fiatal Carl Gauss észrevett egy bizonyos mintát, amelyet Ön is könnyen észrevehet.
Tegyük fel, hogy van egy aritmetikai sorozatunk, amely -edik tagokból áll: Meg kell találnunk a számtani folyamat ezen tagjainak összegét. Természetesen manuálisan is összegezhetjük az összes értéket, de mi van akkor, ha a feladathoz meg kell találni a tagok összegét, ahogyan azt Gauss kereste?

Ábrázoljuk a nekünk adott fejlődést. Nézze meg közelebbről a kiemelt számokat, és próbáljon meg különféle matematikai műveleteket végrehajtani velük.


Kibróbáltad? mit vettél észre? Jobb! Összegük egyenlő

Most mondd meg, hány ilyen pár van összesen a nekünk adott progresszióban? Természetesen az összes számnak pontosan a fele.
Abból a tényből kiindulva, hogy egy aritmetikai sorozat két tagjának összege egyenlő, és a hasonló párok egyenlőek, azt kapjuk, hogy a teljes összeg egyenlő:
.
Így bármely aritmetikai progresszió első tagjának összegének képlete a következő lesz:

Egyes feladatokban nem ismerjük a th tagot, de ismerjük a progresszió különbségét. Próbálja meg behelyettesíteni a th tag képletét az összegképletbe.
Mit kaptál?

Szép munka! Most térjünk vissza a Carl Gaussnak feltett feladathoz: számolja ki magának, hogy a th-től kezdődő számok összege hányados, és mennyivel egyenlő a th-től kezdődő számok összege!

mennyit kaptál?
Gauss megállapította, hogy a tagok összege egyenlő, és a tagok összege egyenlő. Így döntöttél?

Valójában az ókori görög tudós, Diophantus bizonyította be az aritmetikai haladás összegének képletét a 3. században, és ez idő alatt a szellemes emberek teljes mértékben kihasználták a számtani progresszió tulajdonságait.
Képzeljük el például az ókori Egyiptomot és az akkori legnagyobb építkezést - egy piramis építését... A képen az egyik oldala látható.

Hol van itt a fejlődés, azt mondod? Nézze meg alaposan, és keresse meg a mintát a homoktömbök számában a piramisfal minden sorában.


Miért nem egy aritmetikai sorozat? Számítsa ki, hány tömbre van szükség egy fal építéséhez, ha tömbtéglákat helyeznek az alapra. Remélem, nem fog számolni, miközben az ujját a monitoron mozgatja, emlékszik az utolsó képletre és mindarra, amit az aritmetikai progresszióról mondtunk?

Ebben az esetben a progresszió így néz ki: .
Aritmetikai progresszió különbség.
Egy aritmetikai sorozat tagjainak száma.
Helyettesítsük be adatainkat az utolsó képletekbe (2 módon számítsuk ki a blokkok számát).

1. módszer.

2. módszer.

És most már számolhat a monitoron: hasonlítsa össze a kapott értékeket a piramisunkban lévő blokkok számával. Megvan? Jól tetted, elsajátítottad egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának összegét.
Természetesen nem lehet piramist építeni az alján lévő kockákból, de? Próbálja kiszámolni, hány homoktégla szükséges egy ilyen feltétellel rendelkező fal építéséhez.
Sikerült?
A helyes válasz a blokkok:

Kiképzés

Feladatok:

1. Masha formába lendül a nyárra. Minden nap növeli a guggolások számát. Hányszor fog Mása guggolni egy héten, ha az első edzésen guggolt?
2. Mennyi a benne lévő páratlan számok összege.
3. A naplók tárolása során a naplózók úgy rakják egymásra azokat, hogy minden felső réteg eggyel kevesebbet tartalmazzon, mint az előző. Hány rönk van egy falazatban, ha a falazat alapja rönk?

Válaszok:

1. Határozzuk meg az aritmetikai progresszió paramétereit. Ebben az esetben
   (hetek = napok).

   Válasz: Két hét múlva Masha naponta egyszer guggolást kell végeznie.

2. Első páratlan szám, utolsó szám.
   Aritmetikai progresszió különbség.
   A páratlan számok száma fele, de nézzük meg ezt a tényt a számtani sorozat tizedik tagjának meghatározására szolgáló képlettel:

   A számok páratlan számokat tartalmaznak.
   Helyettesítsük be a rendelkezésre álló adatokat a képletbe:

   Válasz: A benne foglalt páratlan számok összege egyenlő.

3. Emlékezzünk a piramisokkal kapcsolatos problémára. A mi esetünkben a , mivel minden felső réteg egy rönkvel lecsökken, akkor összesen egy csomó réteg van, azaz.
   Helyettesítsük be az adatokat a képletbe:

   Válasz: A falazatban rönkök vannak.

Foglaljuk össze

1. - olyan számsorozat, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő. Lehet növekvő vagy csökkenő.
2. Képlet keresése Egy aritmetikai sorozat edik tagját a - képlettel írjuk fel, ahol a számok száma a sorozatban.
3. Egy aritmetikai sorozat tagjainak tulajdonsága- - hol a folyamatban lévő számok száma.
4. Egy aritmetikai sorozat tagjainak összege kétféleképpen lehet megtalálni:
   
   , ahol az értékek száma.

ARITMETIKAI PROGRESSZIÓ. ÁTLAGOS SZINT

Számsorozat

Üljünk le és kezdjünk el néhány számot írni. Például:

Bármilyen számot írhat, és annyi lehet, amennyit csak akar. De mindig meg tudjuk mondani, hogy melyik az első, melyik a második, és így tovább, vagyis meg tudjuk számozni őket. Ez egy példa egy számsorozatra.

Számsorozat számok halmaza, amelyek mindegyikéhez egyedi szám rendelhető.

Más szóval, minden szám társítható egy bizonyos természetes számhoz, és egy egyedihez. És ezt a számot nem fogjuk hozzárendelni egyetlen másik számhoz sem ebből a készletből.

A számmal rendelkező számot a sorozat th tagjának nevezzük.

Általában a teljes sorozatot valamilyen betűvel hívjuk (például,), és ennek a sorozatnak minden tagja ugyanaz a betű, amelynek indexe megegyezik ennek a tagnak a számával: .

Nagyon kényelmes, ha a sorozat edik tagja valamilyen képlettel megadható. Például a képlet

beállítja a sorrendet:

A képlet pedig a következő sorrend:

Például egy aritmetikai sorozat egy sorozat (az első tag egyenlő, a különbség pedig egyenlő). Vagy (, különbség).

n-edik tagképlet

Ismétlődő képletnek nevezünk, amelyben a th tag megismeréséhez ismerni kell az előzőt vagy több korábbit:

Ahhoz, hogy ezzel a képlettel megtaláljuk például a progresszió edik tagját, ki kell számítanunk az előző kilencet. Például hagyd. Akkor:

Nos, most már világos, hogy mi a képlet?

Minden sorban hozzáadjuk, megszorozzuk valamilyen számmal. Melyik? Nagyon egyszerű: ez a jelenlegi tag száma mínusz:

Most sokkal kényelmesebb, igaz? Ellenőrizzük:

Döntsd el magad:

A számtani sorozatban keresse meg az n-edik tag képletét és keresse meg a századik tagot.

Megoldás:

Az első tag egyenlő. Mi a különbség? Íme:

(Ezért nevezik különbségnek, mert egyenlő a progresszió egymást követő tagjainak különbségével).

Tehát a képlet:

Ekkor a századik tag egyenlő:

Mennyi az összes természetes szám összege től ig?

A legenda szerint a nagy matematikus, Carl Gauss, 9 éves fiúként néhány perc alatt kiszámolta ezt az összeget. Észrevette, hogy az első és az utolsó szám összege egyenlő, a második és az utolsó előtti szám összege megegyezik, a harmadik és a 3. szám összege a végétől azonos, és így tovább. Hány ilyen pár van összesen? Ez így van, pontosan fele az összes szám számának, vagyis. Így,

Az általános képlet bármely aritmetikai progresszió első tagjának összegére a következő lesz:

Példa:
Keresse meg az összes kétjegyű többszörös összegét!

Megoldás:

Az első ilyen szám ez. Minden további számot az előző számhoz hozzáadva kapunk. Így az általunk érdekelt számok egy aritmetikai sorozatot alkotnak az első taggal és a különbséggel.

Ennek a haladásnak a képlete:

Hány tag van a folyamatban, ha mindegyiknek két számjegyűnek kell lennie?

Nagyon könnyű: .

A progresszió utolsó tagja egyenlő lesz. Akkor az összeg:

Válasz: .

Most döntsd el magad:

1. A sportoló minden nap több métert fut, mint előző nap. Összesen hány kilométert fut le egy hét alatt, ha km m-t futott az első napon?
2. Egy kerékpáros minden nap több kilométert tesz meg, mint előző nap. Az első napon km-t utazott. Hány napot kell utaznia egy kilométer megtételéhez? Hány kilométert fog megtenni utazása utolsó napján?
3. A hűtőszekrény ára a boltban minden évben ugyanennyivel csökken. Határozza meg, mennyivel csökkent évente egy hűtőszekrény ára, ha rubelért kínálták fel, hat évvel később pedig rubelért adták el.

Válaszok:

1. Itt a legfontosabb az aritmetikai progresszió felismerése és paramétereinek meghatározása. Ebben az esetben (hetek = napok). Meg kell határoznia ennek a haladásnak az első tagjainak összegét:
   .
   Válasz:
2. Itt van megadva: , meg kell találni.
   Nyilvánvalóan ugyanazt az összegképletet kell használnia, mint az előző feladatban:
   .
   Cserélje ki az értékeket:

   A gyökér nyilván nem illik, szóval a válasz.
   Számítsuk ki az elmúlt nap során megtett utat a th tag képletével:
   (km).
   Válasz:

3. Adott: . Megtalálja: .
   Nem is lehetne egyszerűbb:
   (dörzsölés).
   Válasz:

SZÁMÍTÁSI PROGRESSZIÓ. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Ez egy olyan számsorozat, amelyben a szomszédos számok különbsége azonos és egyenlő.

Az aritmetikai progresszió lehet növekvő () és csökkenő ().

Például:

Képlet egy aritmetikai sorozat n-edik tagjának megtalálására

a képlet írja le, ahol a folyamatban lévő számok száma.

Egy aritmetikai sorozat tagjainak tulajdonsága

Lehetővé teszi, hogy könnyen megtalálja egy progresszió tagját, ha a szomszédos tagok ismertek - hol van a progresszióban lévő számok száma.

Egy aritmetikai sorozat tagjainak összege

Kétféleképpen találhatja meg az összeget:

Hol van az értékek száma.

Hol van az értékek száma.

Például a \(2\); \(5\); \(8\); \(tizenegy\); A \(14\)... egy aritmetikai sorozat, mert minden következő elem hárommal különbözik az előzőtől (három hozzáadásával kapható meg az előzőtől):

Ebben a progresszióban a \(d\) különbség pozitív (egyenlő \(3\)), ezért minden következő tag nagyobb, mint az előző. Az ilyen progressziókat ún növekvő.

A \(d\) azonban negatív szám is lehet. Például, aritmetikai sorozatban \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... a \(d\) progressziókülönbség mínusz hat.

És ebben az esetben minden következő elem kisebb lesz, mint az előző. Ezeket a progressziókat ún csökkenő.

Aritmetikai progressziós jelölés

A haladást egy kis latin betű jelzi.

A progressziót alkotó számokat nevezzük tagjai(vagy elemek).

Ugyanazzal a betűvel vannak jelölve, mint aritmetikai progresszió, de a numerikus index megegyezik az elem számával.

Például az \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aritmetikai sorozat a \(a_1=2\) elemekből áll; \(a_2=5\); \(a_3=8\) és így tovább.

Más szavakkal, a \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Aritmetikai progressziós feladatok megoldása

Elvileg a fent bemutatott információk már szinte minden számtani progressziós probléma megoldására elegendőek (beleértve az OGE-nél felkínáltakat is).

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a \(b_1=7; d=4\) feltételek határozzák meg. Keresse meg a \(b_5\).
Megoldás:

Válasz: \(b_5=23\)

Példa (OGE). Adott egy aritmetikai sorozat első három tagja: \(62; 49; 36…\) Határozza meg a folyamat első negatív tagjának értékét.
Megoldás:

	Megadjuk a sorozat első elemeit, és tudjuk, hogy ez egy aritmetikai sorozat. Vagyis minden elem ugyanazzal a számmal különbözik szomszédjától. Nézzük meg, melyiket, ha a következő elemből kivonjuk az előzőt: \(d=49-62=-13\).
	Most visszaállíthatjuk a haladást az (első negatív) elemre, amelyre szükségünk van.
	Kész. Választ írhatsz.

Válasz: \(-3\)

Példa (OGE). Adott egy aritmetikai sorozat több egymást követő eleme: \(…5; x; 10; 12,5...\) Határozza meg az \(x\) betűvel jelölt elem értékét!
Megoldás:

	Az \(x\) kereséséhez tudnunk kell, hogy a következő elem mennyiben tér el az előzőtől, más szóval a progresszió különbségétől. Keressük meg két ismert szomszédos elemből: \(d=12,5-10=2,5\).
	És most könnyen megtaláljuk, amit keresünk: \(x=5+2,5=7,5\).
	Kész. Választ írhatsz.

Válasz: \(7,5\).

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a következő feltételek határozzák meg: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Határozza meg a folyamat első hat tagjának összegét.
Megoldás:

	Meg kell találnunk a progresszió első hat tagjának összegét. De nem ismerjük a jelentésüket, csak az első elemet kapjuk. Ezért először egyenként számítjuk ki az értékeket a kapott adatok alapján: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) És miután kiszámoltuk a hat elemet, amire szükségünk van, megtaláljuk az összegüket.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	A szükséges mennyiséget megtaláltuk.

Válasz: \(S_6=9\).

Példa (OGE). Aritmetikai progresszióban \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Keresse meg ennek a progressziónak a különbségét.
Megoldás:

Válasz: \(d=7\).

A számtani progresszió fontos képletei

Amint láthatja, az aritmetikai progresszióval kapcsolatos számos probléma megoldható egyszerűen a fő dolog megértésével - hogy az aritmetikai progresszió számok lánca, és ebben a láncban minden következő elemet úgy kapunk, hogy ugyanazt a számot hozzáadjuk az előzőhöz (a a progresszió különbsége).

Néha azonban vannak olyan helyzetek, amikor nagyon kényelmetlen a „fejjel” döntés. Például képzeljük el, hogy a legelső példában nem az ötödik \(b_5\) elemet kell keresnünk, hanem a háromszáznyolcvanhatodik \(b_(386)\). Adjunk hozzá négyszer \(385\)? Vagy képzeld el, hogy az utolsó előtti példában meg kell találnod az első hetvenhárom elem összegét. Belefáradsz a számolásba...

Ezért ilyenkor nem „fejjel” oldják meg a dolgokat, hanem speciális, számtani haladásra levezetett képleteket használnak. A főbbek pedig a progresszió n-edik tagjának képlete és az \(n\) első tagok összegének képlete.

A \(n\)-edik tag képlete: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ahol \(a_1\) a progresszió első tagja;
\(n\) – a szükséges elem száma;
\(a_n\) – a \(n\) számú progresszió tagja.

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy gyorsan megtaláljuk a háromszázadik vagy milliomodik elemet is, csak az elsőt és a progresszió különbségét ismerve.

Példa. Az aritmetikai progressziót a következő feltételek határozzák meg: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Keresse meg a \(b_(246)\).
Megoldás:

Válasz: \(b_(246)=1850\).

Az első n tag összegének képlete: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ahol

\(a_n\) – az utolsó összegzett tag;

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a \(a_n=3,4n-0,6\) feltételek határozzák meg. Keresse meg ennek a progressziónak az első \(25\) tagjának összegét.
Megoldás:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Az első huszonöt tag összegének kiszámításához ismernünk kell az első és a huszonötödik tag értékét. Progressziónkat az n-edik tag képlete adja meg a számától függően (bővebben lásd). Számítsuk ki az első elemet úgy, hogy a \(n\) helyett eggyel helyettesítjük.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Most keressük meg a huszonötödik tagot úgy, hogy \(n\) helyett huszonötöt helyettesítünk.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Nos, most már könnyedén kiszámolhatjuk a szükséges mennyiséget.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		A válasz kész.

Válasz: \(S_(25)=1090\).

Az első tagok \(n\) összegére egy másik képletet kaphat: csak annyit kell tennie, hogy \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) helyett cserélje ki a képletet \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kapunk:

Az első n tag összegének képlete: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ahol

\(S_n\) – \(n\) első elem szükséges összege;
\(a_1\) – az első összegzett tag;
\(d\) – progresszió különbség;
\(n\) – az összegben szereplő elemek száma.

Példa. Keresse meg az aritmetikai sorozat első \(33\)-ex tagjának összegét: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Megoldás:

Válasz: \(S_(33)=-231\).

Bonyolultabb aritmetikai progressziós feladatok

Mostantól minden olyan információ birtokában van, amelyre szüksége van szinte minden aritmetikai progressziós probléma megoldásához. Fejezzük be a témát azokkal a problémákkal, amelyekben nem csak képleteket kell alkalmazni, hanem egy kicsit gondolkodni is (matematikában ez hasznos lehet ☺)

Példa (OGE). Keresse meg a progresszió összes negatív tagjának összegét: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Megoldás:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		A feladat nagyon hasonló az előzőhöz. Ugyanezt kezdjük megoldani: először megtaláljuk a \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Most szeretném behelyettesíteni a \(d\)-t az összeg képletébe... és itt egy kis árnyalat jelenik meg - nem tudjuk, hogy \(n\). Más szóval, nem tudjuk, hány kifejezést kell hozzáadni. Hogyan lehet megtudni? Gondolkozzunk. Leállítjuk az elemek hozzáadását, amikor elérjük az első pozitív elemet. Vagyis meg kell találnia ennek az elemnek a számát. Hogyan? Írjuk fel a képletet egy aritmetikai sorozat bármely elemének kiszámításához: \(a_n=a_1+(n-1)d\) esetünkben.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Szükségünk van arra, hogy \(a_n\) nagyobb legyen nullánál. Nézzük meg, hogy \(n\) ez mikor fog történni.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Mínusz egyet továbbítunk, nem felejtve el megváltoztatni a jeleket
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Számoljunk...
\(n>65 333…\)		...és kiderül, hogy az első pozitív elem \(66\) lesz. Ennek megfelelően az utolsó negatív értéke \(n=65\). Minden esetre nézzük meg ezt.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Tehát hozzá kell adnunk az első \(65\) elemeket.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		A válasz kész.

Válasz: \(S_(65)=-630,5\).

Példa (OGE). Az aritmetikai progressziót a következő feltételek határozzák meg: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Keresse meg az összeget a \(26\)-ediktől a \(42\) elemig.
Megoldás:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Ebben a feladatban is meg kell találni az elemek összegét, de nem az elsőtől, hanem a \(26\)-ediktől kezdve. Ilyen esetre nincs képletünk. Hogyan döntsünk? Könnyű – a \(26\)-ik és a \(42\)-edik összeg kiszámításához először meg kell találnia az \(1\)-ediktől a \(42\)-edikig terjedő összeget, majd ki kell vonni ebből az elsőtől a \(25\)-edig terjedő összeg (lásd a képet).
	A \(a_1=-33\) progressziónkhoz és a \(d=4\) különbséghez (végül is hozzáadjuk a négyet az előző elemhez, hogy megtaláljuk a következőt). Ennek ismeretében megtaláljuk az első \(42\)-y elemek összegét.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Most az első \(25\) elemek összege.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	És végül kiszámítjuk a választ.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Válasz: \(S=1683\).

Az aritmetikai progresszióhoz számos további képlet létezik, amelyeket ebben a cikkben nem vettünk figyelembe, mivel alacsony gyakorlati hasznosságuk volt. Azonban könnyen megtalálhatja őket.