A tizedes törtek könnyebben olvashatók. Frakciók

A tizedes törtek megegyeznek a közönséges törtekkel, de úgynevezett tizedes jelöléssel. A 10, 100, 1000 stb. nevezővel rendelkező törteknél tizedes jelölést használunk. Törtek helyett 1/10; 1/100; 1/1000; ... írjon 0,1-et; 0,01; 0,001;... .

Például 0,7 ( nulla pont hetes) egy tört 7/10; 5,43 ( öt pont negyvenhárom) vegyes tört 5 43/100 (vagy ami megegyezik, nem megfelelő tört 543/100).

Előfordulhat, hogy közvetlenül a tizedesvessző után egy vagy több nulla van: 1,03 az 1 3/100 tört; 17,0087 a 17 87/10000 törtrésze. Az általános szabály a következő: a közös tört nevezőjében annyi nullának kell lennie, ahány számjegy van a tizedespont után a tizedes törtben.

A tizedes tört egy vagy több nullára is végződhet. Kiderült, hogy ezek a nullák „extrák” - egyszerűen eltávolíthatók: 1,30 = 1,3; 5,4600 = 5,46; 3000 = 3. Találja ki, miért van ez így?

A tizedesek természetesen akkor keletkeznek, ha „kerek” számokkal osztunk - 10, 100, 1000, ... Ügyeljen arra, hogy megértse a következő példákat:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Észrevesz itt egy mintát? Próbáld meg megfogalmazni. Mi történik, ha egy tizedes törtet megszoroz 10-zel, 100-zal, 1000-zel?

Egy közönséges tört tizedesjegyre konvertálásához le kell csökkentenie valamilyen „kerek” nevezőre:

2/5 = 4/10 = 0,4; 11/20 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5 stb.

A tizedesjegyek hozzáadása sokkal egyszerűbb, mint a törtek hozzáadása. Az összeadás ugyanúgy történik, mint a közönséges számoknál - a megfelelő számjegyek szerint. Oszlopba történő hozzáadáskor a kifejezéseket úgy kell beírni, hogy a vesszőjük ugyanabban a függőlegesben legyen. Az összeg vesszője is ugyanazon a függőlegesen lesz. A tizedes törtek kivonása pontosan ugyanúgy történik.

Ha az egyik tört összeadásakor vagy kivonásakor a tizedesvessző utáni számjegyek száma kevesebb, mint a másikban, akkor ennek a törtnek a végéhez kell hozzáadni a szükséges számú nullát. Ezeket a nullákat nem adhatja hozzá, hanem egyszerűen elképzelheti őket a fejében.

A tizedes törtek szorzásakor ismét közönséges számként kell szorozni (a tizedesvessző alá már nem szükséges vesszőt írni). A kapott eredményben vesszővel kell elválasztani mindkét tényezőben a tizedesjegyek teljes számával megegyező számú számjegyet.

A tizedes törtek osztásakor a tizedesvesszőt az osztóban és az osztóban egyidejűleg ugyanannyi hellyel jobbra mozgathatja: ez nem változtatja meg a hányadost:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Magyarázd meg, miért van ez így?

Rajzolj egy 10x10-es négyzetet. Fesd át annak egy részét, ami egyenlő: a) 0,02; b) 0,7; c) 0,57; d) 0,91; e) a teljes négyzet 0,135 területe.
Mennyi a 2,43 négyzet? Rajzold le képen.
Osszuk el a 37-et 10-zel; 795; 4; 2,3; 65,27; 0,48 és az eredményt tizedes törtként írjuk fel. Osszuk el ugyanazokat a számokat 100-zal és 1000-rel.
Szorozzuk meg a 4,6-ot 10-zel; 6,52; 23,095; 0,01999. Szorozzuk meg ugyanazokat a számokat 100-zal és 1000-rel.
A tizedesjegyet törtként ábrázolja, és csökkenti:
a) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
b) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
c) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
d) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848.
Vegyes frakcióként van jelen: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23,005; 7,0125.
Adjon meg egy törtet tizedesjegyben:
a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
b) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
Keresse meg az összeget: a) 7,3+12,8; b) 65,14+49,76; c) 3,762+12,85; d) 85,4+129,756; e) 1,44+2,56.
Képzelje el az egyet két tizedesjegy összegének. Keressen húsz további módot ennek az ábrázolásnak.
Keresse meg a különbséget: a) 13,4–8,7; b) 74,52–27,04; c) 49,736–43,45; d) 127,24–93,883; e) 67–52,07; e) 35,24–34,9975.
Keresse meg a szorzatot: a) 7,6·3,8; b) 4,8·12,5; c) 2,39·7,4; d) 3,74·9,65.

Utasítás

Tanuld meg a tizedesjegyek konvertálását törtek a hétköznapiakba. Számolja meg, hány karakter van vesszővel elválasztva. Egy számjegy a tizedesvesszőtől jobbra azt jelenti, hogy a nevező 10, kettő azt jelenti, hogy 100, három azt jelenti, hogy 1000, és így tovább. Például a 6,8 tizedes tört olyan, mint a "hat pontos nyolc". Átalakításkor először írja be az egész egységek számát - 6. Írjon 10-et a nevezőbe. A számlálóban megjelenik a 8. Ne feledje a rövidítés szabályait. Ha a számláló és a nevező osztható ugyanazzal a számmal, akkor a tört közös osztóval csökkenthető. BAN BEN ebben az esetben ez a szám 2. 6 8/10 = 6 2/5.

Próbáljon tizedesjegyeket hozzáadni törtek. Ha ezt egy oszlopban teszi, akkor legyen óvatos. Az összes szám számjegyének szigorúan egymás alatt kell lennie - vessző alatt. Az összeadási szabályok pontosan ugyanazok, mint a művelet során. Adjon hozzá még egy tizedes törtet ugyanahhoz a 6,8-hoz - például 7,3. Írj egy hármast a nyolc alá, egy vesszőt a vessző alá, és egy hetest a hatos alá. Kezdje az összeadást az utolsó számjegytől. 3+8=11, azaz írj fel 1-et, emlékezz 1-re. Ezután adj hozzá 6+7-et, 13-at kapsz. Add hozzá, ami eszedbe jutott, és írd le az eredményt - 14.1.

A kivonás ugyanezt az elvet követi. A számjegyeket írja egymás alá, a vesszőt pedig a vessző alá. Mindig használja útmutatóként, különösen, ha a minuendben utána lévő számjegyek száma kevesebb, mint a részfejben. Vonja ki a megadott számból például 2,139-et. Írja a kettőt a hat alá, az egyet a nyolc alá, a maradék két számjegyet pedig a következő számjegyek alá, amelyeket nullának jelölhetünk. Kiderült, hogy a minuend nem 6,8, hanem 6,800. Ennek a műveletnek a végrehajtásával összesen 4,661-et kap.

A negatív számokkal végzett műveleteket ugyanúgy hajtjuk végre, mint a számokkal. Hozzáadáskor a mínusz a zárójelen kívülre kerül, a zárójelben pedig a megadott számok, közéjük egy plusz kerül. A végén kiderül. Ez azt jelenti, hogy a -6,8 és -7,3 összeadásakor ugyanazt az eredményt kapjuk, 14,1-et, de előtte egy „-” jellel. Ha a részfej nagyobb, mint a minuend, akkor a mínusz is kikerül a zárójelből, és a kisebb számot kivonjuk a nagyobb számból. Vonja ki a -7,3-at 6,8-ból. Alakítsa át a kifejezést a következőképpen. 6,8 - 7,3 = -(7,3 - 6,8) = -0,5.

Tizedesjegyek szorzásához törtek, a vesszőt most felejtsd el. Szorozd meg őket így, egész számok állnak előtted. Ezután mindkét tényezőben számolja meg a tizedesvessző után jobbra lévő számjegyek számát. Válasszon el ugyanannyi karaktert a munkában. 6,8 és 7,3 szorzata 49,64-et kap. Vagyis a tizedesvesszőtől jobbra 2 jel lesz, míg a szorzóban és a szorzóban egy-egy.

Osszuk el a megadott törtet valamilyen egész számmal. Ez a művelet pontosan ugyanúgy történik, mint az egész számok esetében. A lényeg az, hogy ne feledkezzünk meg a vesszőről, és tegyünk 0-t az elejére, ha az egész egységek száma nem osztható az osztóval. Például próbálja meg ugyanazt a 6,8-at elosztani 26-tal. Tegyen 0-t az elejére, mivel a 6 kisebb, mint 26. Válasszuk el vesszővel, ekkor tizedek és századok következnek. Az eredmény körülbelül 0,26 lesz. Valójában ebben az esetben egy végtelen, nem periodikus törtet kapunk, amely a kívánt pontossági fokra kerekíthető.

Két tizedes tört osztásakor használjuk azt a tulajdonságot, hogy ha az osztót és az osztót ugyanazzal a számmal szorozzuk, a hányados nem változik. Vagyis mindkettőt átalakítani törtek egész számokra, attól függően, hogy hány tizedesjegy van. Ha el akarja osztani 6,8-at 7,3-mal, csak szorozza meg mindkét számot 10-zel. Kiderült, hogy a 68-at el kell osztania 73-mal. Ha az egyik szám több tizedesjegyet tartalmaz, először egész számmá alakítsa, majd második számmá. Szorozza meg ugyanazzal a számmal. Azaz, ha 6,8-at osztunk 4,136-tal, akkor az osztalékot és az osztót ne 10-zel, hanem 1000-szeresre növeljük. Oszd el a 6800-at 1436-tal, így 4,735-öt kapsz.

0,8 formában írt törtek; 0,13; 2,856; 5,2; A 0,04-et decimálisnak nevezzük. Valójában a tizedesjegyek a közönséges törtek egyszerűsített ábrázolása. Ez a jelölés kényelmesen használható minden olyan törtnél, amelynek nevezője 10, 100, 1000 stb.

Nézzünk példákat (0,5 nulla pont öt);

(0,15, nulla pont tizenöt);

(5.3 olvasva: öt pont három).

Felhívjuk figyelmét, hogy a tizedes tört jelölésénél a vessző választja el a szám egész részét a tört résztől, a megfelelő tört egész része 0. A tizedes tört tört részének jelölése annyi számjegyet tartalmaz, a megfelelő közönséges tört nevezőjének jelölésében nullák vannak.

Nézzünk egy példát, , , .

Egyes esetekben szükséges lehet egy természetes számot tizedesjegyként kezelni, amelynek tört része nulla. Szokás azt írni, hogy 5 = 5,0; 245 = 245,0 és így tovább. Figyeljük meg, hogy egy természetes szám decimális jelölésénél a legkisebb jelentőségű számjegy egysége 10-szer kisebb, mint a szomszédos legjelentősebb számjegy egysége. A tizedes törtek írásának ugyanaz a tulajdonsága. Ezért a tizedesvessző után közvetlenül a tizedek helye, majd a századok helye, majd az ezrelék helye és így tovább. Az alábbiakban a 31.85431 szám számjegyeinek neve látható, az első két oszlop az egész szám, a többi oszlop a tört rész.

Ez a tört harmincegy pont nyolcvanötezer-négyszázharmincegyszázezredik.

Tizedesjegyek összeadása és kivonása

Az első módszer a tizedes törtek közönséges törtté alakítása és az összeadás végrehajtása.

Amint a példából látható, ez a módszer nagyon kényelmetlen, és jobb a második módszert használni, amely a helyesebb, anélkül, hogy a tizedes törteket közönségessé alakítaná. Két tizedes tört hozzáadásához a következőket kell tennie:

kiegyenlíteni a tizedesvessző utáni számjegyek számát a kifejezésekben;
írjuk a kifejezéseket egymás alá úgy, hogy a második tag minden számjegye az első tag megfelelő számjegye alatt legyen;
a kapott számokat ugyanúgy adja hozzá, mint a természetes számokat;
Tegyen vesszőt a kapott összegbe a kifejezések vesszője alá.

Nézzünk példákat:

kiegyenlíteni a tizedesvessző utáni számjegyek számát a minuendben és a részfejben;
írjuk a részfejet a minuend alá úgy, hogy a részrész minden számjegye a minuend megfelelő számjegye alatt legyen;
a kivonást ugyanúgy végezze el, mint a természetes számok kivonását;
Tegyél vesszőt az eredményül kapott különbségbe a vessző alá a minuend és a részfejedelemben.

Nézzünk példákat:

A fentebb tárgyalt példákban látható, hogy a tizedes törtek összeadása és kivonása bitenként történt, vagyis ugyanúgy, ahogy a természetes számokkal is végeztünk hasonló műveleteket. Ez a fő előnye a törtírás decimális formájának.

Tizedesjegyek szorzása

Egy tizedes tört 10, 100, 1000 és így tovább szorzásához a tört tizedespontját jobbra kell mozgatnia 1-gyel, 2-vel, 3-mal és így tovább. Ezért, ha a vesszőt 1, 2, 3 és így tovább számjegyekkel jobbra mozgatjuk, akkor a tört ennek megfelelően 10, 100, 1000 és így tovább növekszik. Két tizedes tört szorzásához a következőket kell tennie:

szorozd meg őket természetes számként, figyelmen kívül hagyva a vesszőket;
a kapott szorzatban a jobb oldalon annyi számjegyet válassza el vesszővel, amennyi a vessző után van mindkét tényezőben együtt.

Vannak esetek, amikor egy termék kevesebb számjegyet tartalmaz, mint amennyit vesszővel kell elválasztani a termék előtt a szükséges számú nullát, majd a vesszőt a kívánt számú számjegygel balra mozgatja.

Nézzünk példákat: 2 * 4 = 8, majd 0,2 * 0,4 = 0,08; 23 * 35 = 805, majd 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Vannak esetek, amikor az egyik szorzó 0,1; 0,01; 0,001 és így tovább, kényelmesebb a következő szabály alkalmazása.

Egy tizedesjegy szorzata 0,1-gyel; 0,01; 0,001 és így tovább, ebben a tizedes törtben a tizedesvesszőt balra kell mozgatni 1-el, 2-vel, 3-mal és így tovább.

Nézzünk példákat: 2,65 * 0,1 = 0,265; 457,6 * 0,01 = 4,576.

A természetes számok szorzásának tulajdonságai a tizedes törtekre is érvényesek.

ab = ba- a szorzás kommutatív tulajdonsága;
(ab) c = a (bc)- a szorzás asszociatív tulajdonsága;
a (b + c) = ab + ac az összeadáshoz viszonyított szorzás elosztó tulajdonsága.

Tizedes osztás

Ismeretes, hogy ha elosztunk egy természetes számot a természetes számra b egy ilyen természetes szám megtalálását jelenti c, amit ha megszorozunk b számot ad a. Ez a szabály igaz marad, ha a számok közül legalább az egyik a, b, c egy tizedes tört.

Nézzünk egy példát: 43,52-t el kell osztani 17-tel egy sarokkal, figyelmen kívül hagyva a vesszőt. Ebben az esetben a hányadosban a vesszőt közvetlenül a tizedesvessző utáni első számjegy elé kell tenni az osztalékban.

Vannak esetek, amikor az osztó kisebb, mint az osztó, akkor a hányados egész része nulla. Nézzünk egy példát:

Nézzünk egy másik érdekes példát.

A felosztási folyamat leállt, mert az osztalék számjegyei elfogytak, és a maradékban nincs nulla. Ismeretes, hogy a tizedes tört nem változik, ha tetszőleges számú nullát adunk hozzá a jobb oldalon. Ekkor világossá válik, hogy az osztalék számai nem érhetnek véget.

Egy tizedes tört 10, 100, 1000 stb. számmal való osztásához a tört tizedespontját balra kell mozgatnia 1, 2, 3 stb. számjegyekkel. Nézzünk egy példát: 5,14: 10 = 0,514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.

Ha az osztalékot és az osztót egyszerre 10, 100, 1000 és így tovább növeljük, akkor a hányados nem változik.

Tekintsünk egy példát: 39,44: 1,6 = 24,65, az osztó és az osztó növelése 10-szeresére 394,4: 16 = 24,65 Érdemes megjegyezni, hogy a tizedes tört természetes számmal való osztása a második példában egyszerűbb.

Egy tizedes tört tizedesjellel való osztásához a következőket kell tennie:

mozgassa a vesszőket az osztóban és az osztóban annyi számjeggyel jobbra, amennyi az osztó tizedespontja után van;
oszd el egy természetes számmal.

Vegyünk egy példát: 23,6: 0,02, vegye figyelembe, hogy az osztónak két tizedesjegye van, ezért mindkét számot megszorozzuk 100-zal, és 2360-at kapunk: 2 = 1180, az eredményt elosztjuk 100-zal, és a választ kapjuk: 11,80 vagy 23,6: 0, 02 = 11.8.

A tizedesjegyek összehasonlítása

A tizedesjegyek összehasonlításának két módja van. Az első módszer: össze kell hasonlítani két tizedes törtet (4,321 és 4,32), ki kell egyenlíteni a tizedesjegyek számát, és el kell kezdeni az összehasonlítást helyenként, a tizedeket a tizedekkel, a századokat a századokkal, és így tovább, a végén 4,321> 4,320-at kapunk.

A tizedes törtek összehasonlításának második módja a szorzás 1000-rel, és a 4321 > 4320 összehasonlítása. Hogy melyik módszer a kényelmesebb, azt mindenki maga választja.

Egy m/n racionális szám tizedes törtként való felírásához el kell osztani a számlálót a nevezővel. Ebben az esetben a hányadost véges vagy végtelen tizedes törtként írjuk fel.

Írja ezt a számot tizedes törtként!

Megoldás. Osszuk el az egyes törtek számlálóját egy oszlopra a nevezőjével: A) osszuk el a 6-ot 25-tel; b) ossza el a 2-t 3-mal; V) ossza el az 1-et 2-vel, majd adja hozzá a kapott törtet eggyel - ennek a vegyes számnak az egész részéhez.

Irreducibilis közönséges törtek, amelyek nevezői nem tartalmaznak más prímtényezőket, mint 2 És 5 , végső tizedes törtként íródnak.

BAN BEN példa 1 amikor A) nevező 25=5·5; amikor V) a nevező 2, így a végső tizedesjegyeket 0,24 és 1,5 kapjuk. Amikor b) a nevező 3, így az eredmény nem írható fel véges tizedesként.

Lehetséges-e hosszú osztás nélkül tizedes törtté alakítani egy olyan közönséges törtet, amelynek nevezője 2-n és 5-ön kívül más osztót nem tartalmaz? Találjuk ki! Melyik törtet nevezzük tizedesnek, és törtsáv nélkül írjuk le? Válasz: tört 10-es nevezővel; 100; 1000 stb. És ezek a számok mindegyike egy termék egyenlő kettesek és ötösök száma. Valójában: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 stb.

Következésképpen egy redukálhatatlan közönséges tört nevezőjét a „kettes” és az „ötes” szorzataként kell ábrázolni, majd meg kell szorozni 2-vel és (vagy) 5-tel, hogy a „kettes” és az „ötes” egyenlővé váljon. Ekkor a tört nevezője 10 vagy 100 vagy 1000 lesz, stb. Annak érdekében, hogy a tört értéke ne változzon, megszorozzuk a tört számlálóját ugyanazzal a számmal, amellyel a nevezőt megszoroztuk.

Adja meg a következő közönséges törteket tizedesjegyben:

Megoldás. Ezen törtek mindegyike redukálhatatlan. Tekintsük az egyes törtek nevezőjét prímtényezőkbe.

20=2·2·5. Következtetés: egy „A” hiányzik.

8=2·2·2. Következtetés: három „A” hiányzik.

25=5·5. Következtetés: két „kettő” hiányzik.

Megjegyzés. A gyakorlatban gyakran nem alkalmazzák a nevező faktorizálását, hanem egyszerűen felteszik a kérdést: mennyivel kell megszorozni a nevezőt, hogy az eredmény egy legyen nullákkal (10 vagy 100 vagy 1000 stb.). És akkor a számlálót megszorozzuk ugyanazzal a számmal.

Szóval abban az esetben A)(2. példa) a 20-as számból 5-tel szorozva 100-at kaphatunk, ezért a számlálót és a nevezőt meg kell szorozni 5-tel.

Amikor b)(2. példa) a 8-as számból nem 100-at kapunk, hanem 125-tel megszorozva az 1000-et. A tört számlálóját (3) és nevezőjét (8) is megszorozzuk 125-tel.

Amikor V)(2. példa) 25-ből 100-at kap, ha 4-gyel szoroz. Ez azt jelenti, hogy a 8-as számlálót meg kell szorozni 4-gyel.

Olyan végtelen tizedes törtet hívunk, amelyben egy vagy több számjegy változatlanul ismétlődik ugyanabban a sorozatban időszakos tizedesként. Az ismétlődő számjegyek halmazát e tört periódusának nevezzük. A rövidség kedvéért a tört periódusát egyszer írjuk be, zárójelben.

Amikor b)(1. példa) csak egy ismétlődő számjegy van, és egyenlő 6-tal. Ezért a 0,66... eredményünk így lesz felírva: 0,(6) . Azt olvasták: nulla pont, hat periódusban.

Ha egy vagy több nem ismétlődő számjegy van a tizedespont és az első pont között, akkor az ilyen periodikus törtet vegyes periodikus törtnek nevezzük.

Egy irreducibilis közös tört, melynek nevezője másokkal együtt szorzó szorzót tartalmaz 2 vagy 5 , válik vegyes periodikus tört.

Már az általános iskolában a tanulók ki vannak téve a törteknek. Aztán minden témában megjelennek. Ezekkel a számokkal nem felejtheti el a műveleteket. Ezért minden információt tudnia kell a közönséges és tizedes törtekről. Ezek a fogalmak nem bonyolultak, a lényeg az, hogy mindent rendben megértsünk.

Miért van szükség törtekre?

A minket körülvevő világ egész tárgyakból áll. Ezért nincs szükség részvényekre. A mindennapi élet azonban folyamatosan arra készteti az embereket, hogy tárgyak és dolgok részeivel dolgozzanak.

Például a csokoládé több darabból áll. Vegyünk egy olyan helyzetet, amikor a lapkáját tizenkét téglalap alkotja. Ha két részre osztod, 6 részt kapsz. Könnyen három részre osztható. De nem lehet majd öt embernek egész számú csokiszeletet adni.

Egyébként ezek a szeletek már töredékek. További felosztásuk pedig összetettebb számok megjelenéséhez vezet.

Mi az a "töredék"?

Ez egy szám, amely egy részből áll. Külsőleg úgy néz ki, mint két szám, amelyeket vízszintes vagy perjel választ el. Ezt a tulajdonságot törtnek nevezzük. A felül (balra) írt számot számlálónak nevezzük. Ami alul (jobbra) van, az a nevező.

Lényegében a perjel osztásjelnek bizonyul. Vagyis a számlálót osztaléknak, a nevezőt pedig osztónak nevezhetjük.

Milyen törtek vannak?

A matematikában csak két típus létezik: a közönséges és a tizedes törtek. Az iskolások az elsősökkel az általános iskolában ismerkednek meg, és egyszerűen „törteknek” nevezik őket. Ez utóbbit az 5. osztályban tanuljuk meg. Ekkor jelennek meg ezek a nevek.

Közös törtek mindazok, amelyek két számmal vannak felírva, amelyeket egy sor választ el. Például 4/7. A tizedes olyan szám, amelyben a törtrész helymegjelöléssel rendelkezik, és vesszővel van elválasztva az egész számtól. Például a 4.7. A tanulóknak világosan meg kell érteniük, hogy a két példa teljesen eltérő szám.

Minden egyszerű tört felírható tizedesként. Ez az állítás szinte mindig fordítva igaz. Vannak szabályok, amelyek lehetővé teszik a tizedes tört közönséges törtként történő felírását.

Milyen altípusai vannak az ilyen típusú törteknek?

Jobb időrendi sorrendben kezdeni, mivel tanulmányozzák őket. A közönséges törtek az elsők. Közülük 5 alfajt lehet megkülönböztetni.

Helyes. A számlálója mindig kisebb, mint a nevezője.

Rossz. A számlálója nagyobb vagy egyenlő a nevezőjével.

Csökkenthető/nem csökkenthető. Kiderülhet, hogy helyes vagy helytelen. Egy másik fontos dolog, hogy a számlálónak és a nevezőnek van-e közös tényezője. Ha vannak, akkor a tört mindkét részét el kell osztani velük, azaz csökkenteni kell.

Vegyes. A szokásos szabályos (szabálytalan) törtrészéhez egy egész számot rendelünk. Ráadásul mindig a bal oldalon van.

Összetett. Két, egymással elosztott frakcióból áll. Vagyis három törtsort tartalmaz egyszerre.

A tizedes törteknek csak két altípusa van:

véges, vagyis olyan, amelynek tört része korlátozott (vége van);

végtelen - olyan szám, amelynek a tizedesvessző utáni számjegyei nem érnek véget (végtelenül írhatók).

Hogyan lehet egy tizedes törtet közönséges törtté alakítani?

Ha ez véges szám, akkor a szabály alapján asszociációt alkalmazunk - ahogy hallom, így írom. Vagyis helyesen kell elolvasni és le kell írni, de vessző nélkül, de törtsávval.

A szükséges nevezőre vonatkozó tippként ne feledje, hogy az mindig egy és több nulla. Ez utóbbiból annyit kell beírni, ahány számjegy van a szóban forgó szám törtrészében.

Hogyan alakítsuk át a tizedes törteket közönséges törtekké, ha hiányzik az egész részük, azaz egyenlő nullával? Például 0,9 vagy 0,05. A megadott szabály alkalmazása után kiderül, hogy nulla egész számot kell írnia. De nincs feltüntetve. Már csak a törtrészeket kell leírni. Az első szám nevezője 10, a másodiké 100. Vagyis a megadott példákban a következő számok lesznek válaszként: 9/10, 5/100. Sőt, kiderül, hogy ez utóbbi 5-tel csökkenthető. Ezért az eredményt 1/20-ban kell írni.

Hogyan alakíthatunk át egy tizedes törtet közönséges törtté, ha annak egész része eltér nullától? Például 5,23 vagy 13,00108. Mindkét példában a teljes rész beolvasásra kerül, és az értékét felírjuk. Az első esetben 5, a másodikban 13. Ezután át kell lépni a tört részre. Ugyanezt a műveletet el kell végezni velük. Az első szám 23/100, a második 108/100000. A második értéket ismét csökkenteni kell. A válasz a következő vegyes törteket adja: 5 23/100 és 13 27/25000.

Hogyan alakíthatunk át egy végtelen tizedes törtet közönséges törtté?

Ha nem időszakos, akkor ilyen művelet nem lehetséges. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy minden tizedes tört mindig véges vagy periodikus törtté alakul.

Az egyetlen dolog, amit egy ilyen törttel tehetsz, az az, hogy kerekítsd. De akkor a tizedesjegy megközelítőleg egyenlő lesz ezzel a végtelennel. Már közönségessé is alakítható. De a fordított folyamat: a decimális átalakítás soha nem adja meg a kezdeti értéket. Vagyis a végtelen nem periódusos törteket nem alakítjuk át közönséges törtekké. Ezt emlékezni kell.

Hogyan írjunk fel egy végtelen periodikus törtet közönséges törtként?

Ezekben a számokban mindig van egy vagy több számjegy a tizedesvessző után, amelyek ismétlődnek. Ezeket periódusnak nevezik. Például 0,3(3). Itt a "3" a periódusban van. Racionálisnak minősülnek, mert közönséges törtekké alakíthatók.

Azok, akik találkoztak periodikus törtekkel, tudják, hogy lehetnek tiszták vagy kevertek. Az első esetben a pont közvetlenül a vesszőtől kezdődik. A másodikban a tört rész néhány számmal kezdődik, majd kezdődik az ismétlés.

Az a szabály, amellyel végtelen tizedesjegyet kell közönséges törtként írni, eltérő lesz a két jelzett számtípus esetében. Meglehetősen könnyű a tiszta periodikus törteket közönséges törtként írni. A végesekhez hasonlóan ezeket is át kell alakítani: számlálóként írjuk fel a periódust, és a nevező a 9-es szám lesz, annyiszor ismételve, ahány számjegyet tartalmaz a periódus.

Például 0,(5). A számnak nincs egész része, ezért azonnal a tört résszel kell kezdeni. Írj 5-öt számlálónak és 9-et nevezőnek, vagyis a válasz az 5/9-es tört lesz.

Az a szabály, hogy hogyan kell felírni egy vegyes tizedes tört.

Nézd meg az időszak hosszát. Ennyi 9-es lesz a nevező.

Írd le a nevezőt: először kilenc, majd nulla.

A számláló meghatározásához fel kell írni két szám különbségét. A tizedesvessző utáni összes szám kicsinyítve lesz, a ponttal együtt. Önrész – időszak nélküli.

Például 0,5(8) - írja be a periodikus tizedes törtet közönséges törtként. A pont előtti tört rész egy számjegyet tartalmaz. Tehát egy nulla lesz. A periódusban is csak egy szám van - 8. Vagyis csak egy kilenc van. Vagyis a nevezőbe 90-et kell írni.

A számláló meghatározásához 58-ból ki kell vonni az 5-öt. 53-at kapunk. Például a választ 53/90-nek kell írnia.

Hogyan konvertálják a törteket tizedesjegyekké?

A legegyszerűbb lehetőség egy olyan szám, amelynek nevezője a 10, 100 stb. Ezután a nevezőt egyszerűen eldobjuk, és vesszőt teszünk a tört és az egész rész közé.

Vannak helyzetek, amikor a nevezőből könnyen 10, 100 stb. alakul át. Például az 5, 20, 25 számok. Elegendő őket 2-vel, 5-tel és 4-gyel megszorozni. Csak nem csak a nevezőt, hanem a számlálót is meg kell szoroznia ugyanazzal a számmal.

Minden más esetben hasznos egy egyszerű szabály: osszuk el a számlálót a nevezővel. Ebben az esetben két lehetséges választ kaphat: véges vagy periodikus tizedes tört.

Műveletek közönséges törtekkel

Összeadás és kivonás

A tanulók korábban ismerkednek meg velük, mint mások. Sőt, eleinte a törteknek ugyanaz a nevezője, majd más. Az általános szabályok erre a tervre redukálhatók.

Keresse meg a nevezők legkisebb közös többszörösét!

Írjon további tényezőket minden közönséges törthez!

Szorozzuk meg a számlálókat és a nevezőket a rájuk megadott tényezőkkel!

Adja össze (vonja ki) a törtek számlálóit, és hagyja változatlanul a közös nevezőt.

Ha a minuend számlálója kisebb, mint a részfejezet, akkor meg kell találnunk, hogy vegyes számunk van, vagy megfelelő tört.

Az első esetben kölcsön kell venni egyet az egész részből. Adja hozzá a nevezőt a tört számlálójához. És akkor végezze el a kivonást.

A másodikban azt a szabályt kell alkalmazni, hogy kisebb számból nagyobb számot vonjunk ki. Vagyis a részfej moduljából vonja ki a minuend modulját, és válaszul tegyen egy „-” jelet.

Figyelmesen nézze meg az összeadás (kivonás) eredményét. Ha nem megfelelő törtet kap, akkor a teljes részt ki kell választania. Vagyis ossza el a számlálót a nevezővel.

Szorzás és osztás

Ezek végrehajtásához a törteket nem kell közös nevezőre redukálni. Ez megkönnyíti a műveletek végrehajtását. De továbbra is megkövetelik a szabályok betartását.

A törtek szorzásakor meg kell nézni a számokat a számlálókban és a nevezőkben. Ha bármely számlálónak és nevezőnek van közös tényezője, akkor csökkenthető.

Szorozzuk meg a számlálókat.

Szorozzuk meg a nevezőket.

Ha az eredmény egy redukálható tört, akkor újra egyszerűsíteni kell.

Osztáskor először az osztást szorzással kell helyettesíteni, az osztót (második tört) pedig a reciprok törttel (felcserélni a számlálót és a nevezőt).

Ezután járjon el ugyanúgy, mint a szorzásnál (az 1. ponttól kezdve).

Azokban a feladatokban, ahol egész számmal kell szorozni (osztani), az utóbbit helytelen törtként kell írni. Azaz 1-es nevezővel. Ezután járjon el a fent leírtak szerint.

Műveletek tizedesjegyekkel

Összeadás és kivonás

Természetesen a tizedesjegyeket mindig törtté alakíthatja. És a már leírt terv szerint járjon el. De néha kényelmesebb e fordítás nélkül cselekedni. Ekkor az összeadás és a kivonás szabályai pontosan ugyanazok lesznek.

Egyenlítse ki a számjegyek számát a szám tört részében, azaz a tizedesvessző után. Adja hozzá a hiányzó nullák számát.

Írd le a törteket úgy, hogy a vessző a vessző alatt legyen!

Összeadás (kivonás), mint a természetes számok.

Távolítsa el a vesszőt.

Szorzás és osztás

Fontos, hogy itt ne kelljen nullákat hozzáadni. A törteket a példában megadott módon kell hagyni. És akkor menjen a terv szerint.

A szorzáshoz a törteket egymás alá kell írni, figyelmen kívül hagyva a vesszőket.

Szorozzuk meg, mint a természetes számokat.

Tegyen vesszőt a válaszba, és a válasz jobb végétől számoljon annyi számjegyet, amennyi mindkét tényező törtrészében van.

Az osztáshoz először át kell alakítani az osztót: természetes számmá kell tenni. Vagyis szorozzuk meg 10-zel, 100-zal stb., attól függően, hogy hány számjegy van az osztó tört részében.

Szorozza meg az osztalékot ugyanennyivel.

A tizedes tört elosztása természetes számmal.

Tegyél vesszőt a válaszodba abban a pillanatban, amikor az egész rész felosztása véget ér.

Mi van, ha az egyik példa mindkét típusú törtet tartalmazza?

Igen, a matematikában gyakran vannak olyan példák, amelyekben közönséges és tizedes törtekkel kell műveleteket végrehajtani. Az ilyen feladatokban két megoldás lehetséges. Objektíven kell mérlegelnie a számokat, és ki kell választania az optimálisat.

Első mód: a közönséges tizedesjegyek ábrázolása

Alkalmas, ha az osztás vagy fordítás véges törteket eredményez. Ha legalább egy szám periodikus részt ad, akkor ez a technika tilos. Ezért, még ha nem is szeret közönséges törtekkel dolgozni, meg kell számolnia őket.

Második mód: írja be a tizedes törteket közönségesnek

Ez a technika akkor bizonyul kényelmesnek, ha a tizedesvessző utáni rész 1-2 számjegyet tartalmaz. Ha több van belőlük, akkor nagyon nagy közös tört kaphat, és a tizedes jelöléssel gyorsabban és könnyebben kiszámítható lesz a feladat. Ezért mindig józanul kell értékelnie a feladatot, és a legegyszerűbb megoldási módot kell választania.