Az óra típusa:

Az óra típusa: Előadás, problémamegoldó óra.

Időtartam: 2 óra.

Gólok: 1) Tanuld meg a grafikus módszert.

2) Mutassa be a Maple program használatát az egyenlőtlenségrendszerek grafikus módszerrel történő megoldásában!

3) Fejlessze az észlelést és a gondolkodást ebben a témában.

Tanterv:

A lecke előrehaladása.

1. lépés: A grafikus módszer abból áll, hogy a PLP megvalósítható megoldásait összeállítjuk, és ebben a halmazban megtaláljuk a max/min célfüggvénynek megfelelő pontot.

A vizuális grafikus ábrázolás korlátozott lehetőségei miatt ezt a módszert csak két ismeretlennel rendelkező lineáris egyenlőtlenség-rendszerekre és erre a formára redukálható rendszerekre alkalmazzuk.

A grafikus módszer egyértelmű bemutatása érdekében oldjuk meg a következő problémát:

1. Az első szakaszban meg kell alkotni a megvalósítható megoldások régióját. Ebben a példában a legkényelmesebb, ha X2-t választunk abszcisszának, X1-et pedig ordinátának, és az egyenlőtlenségeket a következő formában írjuk fel:

Mivel mind a grafikonok, mind a megvalósítható megoldások területe az első negyedévben van. A határpontok megtalálásához az (1)=(2), (1)=(3) és (2)=(3) egyenleteket oldjuk meg.

Amint az az ábrán látható, az ABCDE poliéder a megvalósítható megoldások tartományát alkotja.

Ha a megvalósítható megoldások tartománya nem zárt, akkor max(f)=+ ?, vagy min(f)= -?.

2. Most továbbléphetünk az f függvény maximumának közvetlen megkeresésére.

A poliéder csúcsainak koordinátáit felváltva az f függvénybe behelyettesítve és az értékeket összehasonlítva azt kapjuk, hogy f(C)=f(4;1)=19 a függvény maximuma.

Ez a megközelítés nagyon előnyös kis számú csúcs esetén. De ez az eljárás sokáig tarthat, ha elég sok csúcs van.

Ebben az esetben célszerűbb egy f=a alakú szintvonalat figyelembe venni. Az a szám monoton növekedésével -? hogy +? az f=a egyenesek a normálvektor mentén eltolódnak A normálvektornak vannak koordinátái (C1;C2), ahol C1 és C2 az f=C1?X1+C2?X2+C0 célfüggvényben lévő ismeretlenek együtthatói. a szintvonal ilyen mozgásával van egy bizonyos pont X a megvalósítható megoldások tartományának (ABCDE poliéder) és a szintvonal első közös pontja, majd f(X) az f minimuma az ABCDE halmazon. Ha X a szintvonal és az ABCDE halmaz utolsó metszéspontja, akkor f(X) a maximum a megvalósítható megoldások halmazán. Ha a>-? az f=a egyenes metszi a megvalósítható megoldások halmazát, ekkor min(f)= -?. Ha ez történik a>+? esetén, akkor max(f)=+?.

Példánkban az f=a egyenes metszi az ABCDE régiót a C(4;1) pontban. Mivel ez az utolsó metszéspont, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségrendszert! Keressen sarokmegoldásokat.

x1>= 0, x2>=0

> with(telkek);

> with(plotools);

> S1:=megold((f1x = X6, f2x = X6), );

Válasz: Minden olyan Si pont, ahol i=1..10, amelyekre x és y pozitív.

A következő pontok által korlátozott terület: (54/11,2/11) (5/7,60/7) (0,5) (10/3, 10/3)

3. szakasz. Minden tanuló kap egyet a 20 lehetőség közül, amelyben a tanulót arra kérik, hogy önállóan oldja meg az egyenlőtlenséget grafikus módszerrel, a többi példát pedig házi feladatként adjuk meg.

4. lecke Lineáris programozási feladat grafikus megoldása

Az óra típusa: lecke az új anyagok tanulásáról.

Az óra típusa: Előadás + problémamegoldó óra.

Időtartam: 2 óra.

Célok: 1) Tanulmányozza a lineáris programozási probléma grafikus megoldását!

2) Tanulja meg a Maple program használatát lineáris programozási feladat megoldásához.

2) Az észlelés és a gondolkodás fejlesztése.

Tanterv: 1. szakasz: új anyagok elsajátítása.

2. szakasz: Új anyagon dolgozunk a Maple matematikai csomagban.

3. szakasz: a tanult anyag és házi feladat ellenőrzése.

A lecke előrehaladása.

A grafikus módszer meglehetősen egyszerű és intuitív két változós lineáris programozási problémák megoldására. Azon alapul geometriai a probléma megvalósítható megoldásainak és TF-einek bemutatása.

A lineáris programozási feladat (1.2) minden egyenlőtlensége meghatároz egy-egy félsíkot a koordinátasíkon (2.1. ábra), az egyenlőtlenségrendszer egésze pedig a megfelelő síkok metszéspontját. Ezen félsíkok metszéspontjainak halmazát ún megvalósítható megoldások területe(ODR). Az ODR mindig képviseli konvexábra, azaz. a következő tulajdonsággal: ha ehhez az ábrához két A és B pont tartozik, akkor a teljes AB szakasz hozzátartozik. Az ODR grafikusan ábrázolható konvex sokszöggel, korlátlan számú konvex sokszögterülettel, szegmenssel, sugárral vagy egy ponttal. Ha az (1.2) feladatban szereplő kényszerrendszer inkonzisztens, akkor az ODS üres halmaz.

A fentiek mind érvényesek arra az esetre is, amikor a korlátozásrendszer (1.2) egyenlőségeket tartalmaz, hiszen minden egyenlőség

két egyenlőtlenség rendszereként ábrázolható (lásd 2.1. ábra)

A rögzített értékű digitális szűrő egy egyenest határoz meg a síkon. L értékeinek megváltoztatásával párhuzamos egyenesek családját kapjuk szintvonalak.

Ennek az az oka, hogy L értékének megváltoztatása csak a tengelyen lévő szintvonal által levágott szakasz hosszában változik (kezdeti ordináta), és az egyenes szögegyütthatója állandó marad (ld. 2.1. ábra). Ezért a megoldáshoz elegendő az egyik szintvonal megépítése, önkényesen megválasztva L értékét.

A CF együtthatók koordinátáival rendelkező vektor a és a szintvonalak mindegyikére merőleges (lásd a 2.1. ábrát). A vektor iránya egybeesik az iránnyal növekvő TF, ami a problémák megoldásának fontos pontja. Irány ereszkedő A CF ellentétes a vektor irányával.

A grafikus módszer lényege a következő. Az ODR-ben lévő vektor irányában (iránnyal szemben) az optimális pontot keresi. Az optimális pont az a pont, amelyen a szintvonal áthalad, amely megfelel a függvény legnagyobb (legkisebb) értékének. Az optimális megoldás mindig az ODD határán található, például az ODD sokszög utolsó csúcsánál, amelyen a célvonal át fog haladni, vagy annak teljes oldalán.

A lineáris programozási problémák optimális megoldásának keresése során a következő helyzetek lehetségesek: létezik egyedi megoldás a problémára; végtelen sok megoldás létezik (alternatíva); A TF nem korlátozott; a megvalósítható megoldások tartománya egyetlen pont; a problémának nincs megoldása.

2.1 ábra A probléma kényszereinek és CF-jének geometriai értelmezése.

Az LP feladatok grafikus módszerrel történő megoldásának technikája

I. Az (1.2) feladat kényszereiben cserélje ki az egyenlőtlenség jeleit pontos egyenlőségjelekre, és állítsa össze a megfelelő egyeneseket.

II. Keresse meg és árnyékolja be az (1.2) feladat egyenlőtlenségi kényszerei által megengedett félsíkokat. Ehhez be kell cserélnie egy pont koordinátáit [például (0;0)] egy adott egyenlőtlenségbe, és ellenőriznie kell a kapott egyenlőtlenség igazságtartalmát.

Ha az egyenlőtlenség igaz,

Hogy az ezt a pontot tartalmazó félsíkot árnyékolni kell;

másképp(az egyenlőtlenség hamis) árnyékolnunk kell azt a félsíkot, amelyik nem tartalmazza az adott pontot.

Mivel és nem negatívnak kell lennie, megengedett értékeik mindig a tengely felett és a tengelytől jobbra lesznek, pl. az első kvadránsban.

Az egyenlőségi megszorítások csak azokat a pontokat engedik meg, amelyek a megfelelő egyenesen vannak. Ezért szükséges az ilyen egyenes vonalakat kiemelni a grafikonon.

III. Határozza meg az ODR-t a sík részeként, amely egyszerre tartozik az összes engedélyezett területhez, és válassza ki. ODD hiányában a problémának nincs megoldása.

IV. Ha az ODR nem egy üres halmaz, akkor meg kell alkotnia a célvonalat, pl. bármelyik szintvonal (ahol L tetszőleges szám, például többszörös, és ez kényelmes a számításokhoz). Az építési mód hasonló a közvetlen kényszerek felépítéséhez.

V. Szerkesszünk egy vektort, amely a (0;0) pontban kezdődik és a pontban ér véget. Ha a célegyenes és a vektor helyesen van megszerkesztve, akkor meg fog tenni merőleges.

VI. A maximális CF keresésekor el kell mozgatnia a célvonalat irányban vektor, a minimális CF keresésekor - az iránnyal szemben vektor. Az ODR utolsó csúcsa a mozgás irányában a CF maximumának vagy minimumának pontja lesz. Ha ilyen pont(ok) nem léteznek, akkor arra következtethetünk korlátlan TF sok tervben felülről (ha maximumot keres) vagy alulról (amikor minimumot keres).

VII. Határozza meg a digitális szűrő max (min) pontjának koordinátáit és számítsa ki a digitális szűrő értékét! Az optimális pont koordinátáinak kiszámításához meg kell oldani azon egyenesek egyenletrendszerét, amelyek metszéspontjában található.

Oldjon meg egy lineáris programozási feladatot

1. f(x)=2x1+x2 ->extr

x1>= 0, x2>=0

> plots((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2..5, b=-2..5, lehetséges opciók=(szín=piros),

Optionsopen=(szín=kék, vastagság=2),

optionsclosed=(szín=zöld, vastagság=3),

optionsexcluded=(szín=sárga));

> with(simplex):

> C:=( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=setup(( x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

> n:=alap(dp);

SH kijelző(C,);

> L:=cterm(C);

SH X:=dual(f,C,p);

SH f_max:=subs(R,f);

SH R1:=minimalizál(f,C,NEMNEGATÍV);

f_min:=subs(R1,f);

VÁLASZ: Mikor x 1 =5/4 x 2 =5/4 f_max=15/4; Nál nél x 1 =0 x 2 =0 f_min=0;

5. lecke Mátrixos játékok megoldása lineáris programozási módszerekkel és szimplex módszerrel

Az óra típusa:órakontroll + óra új anyag tanulása. Az óra típusa: Előadás.

Időtartam: 2 óra.

Gólok: 1) Ellenőrizze és megszilárdítsa az előző leckéken található korábbi anyagok ismereteit.

2) Tanulj meg egy új módszert a mátrixjátékok megoldására.

3) fejleszti a memóriát, a matematikai gondolkodást és a figyelmet.

1. szakasz: ellenőrizze a házi feladatot önálló munkaként.

2. szakasz: adjon rövid leírást a cikkcakk módszerről

3. szakasz:új anyagok összevonása és házi feladat kiosztása.

A lecke előrehaladása.

A lineáris programozási módszerek olyan numerikus módszerek optimalizálási problémák megoldására, amelyek formális lineáris programozási modellekre redukálhatók.

Mint ismeretes, bármely lineáris programozási probléma levezethető egy kanonikus modellre a lineáris célfüggvények lineáris egyenlőség típusú megszorításokkal való minimalizálására. Mivel egy lineáris programozási feladatban a változók száma nagyobb, mint a megszorítások száma (n > m), megoldást kaphatunk (n - m) változók, ún. ingyenes. A fennmaradó m változó ún alapvető, könnyen meghatározható az egyenlőségi kényszerrendszerből a lineáris algebra szokásos módszereivel. Ha létezik megoldás, akkor azt hívják alapvető. Ha az alapmegoldás megengedhető, akkor ún alapvető megengedhető. Geometriailag az alapvető megvalósítható megoldások egy konvex poliéder csúcsainak (szélső pontjainak) felelnek meg, amelyek a megvalósítható megoldások halmazát határolják. Ha egy lineáris programozási feladatnak vannak optimális megoldásai, akkor ezek közül legalább az egyik alapvető.

A fenti megfontolások azt jelentik, hogy amikor egy lineáris programozási probléma optimális megoldását keressük, elegendő az alapvető megvalósítható megoldások felsorolására szorítkozni. Az alapmegoldások száma megegyezik n változó kombinációinak számával m-ben:

C = mn! / n m! * (n - m)!

és elég nagyok lehetnek ahhoz, hogy valós idejű kereséssel felsorolják őket. Az, hogy nem minden alapmegoldás elfogadható, nem változtat a probléma lényegén, hiszen egy alapmegoldás elfogadhatóságának megítéléséhez azt be kell szerezni.

A lineáris programozási probléma bázismegoldásának racionális felsorolásának problémáját először J. Danzig oldotta meg. Az általa javasolt szimplex módszer még mindig a leggyakoribb általános lineáris programozási módszer. A szimplex módszer az elfogadható alapmegoldások irányított keresését valósítja meg a megengedett megoldások konvex poliéderének megfelelő szélső pontjai mentén iteratív folyamat formájában, ahol minden lépésben a célfüggvény értékei szigorúan csökkennek. A szélső pontok közötti átmenetet a megengedhető megoldások konvex poliéderének élei mentén hajtják végre a korlátozási rendszer egyszerű lineáris algebrai transzformációival összhangban. Mivel a szélsőpontok száma véges, a célfüggvény pedig lineáris, ezért a szélső pontokon keresztül a célfüggvény csökkentésének irányába keresve a szimplex módszer véges számú lépésben konvergál egy globális minimumhoz.

A gyakorlat azt mutatja, hogy a legtöbb alkalmazott lineáris programozási probléma esetén a szimplex módszer lehetővé teszi az optimális megoldás megtalálását egy megengedett poliéder szélső pontjainak összességéhez képest viszonylag kis számú lépésben. Ugyanakkor ismeretes, hogy néhány lineáris programozási probléma esetén a megengedett régió speciálisan kiválasztott formájával a szimplex módszer alkalmazása a szélső pontok teljes felsorolásához vezet. Ez a tény bizonyos mértékig ösztönözte a lineáris programozási problémák megoldásának új, hatékony, a szimplex módszertől eltérő ötleteken alapuló módszereinek felkutatását, amelyek lehetővé teszik bármely lineáris programozási probléma megoldását véges számú lépésben, lényegesen kevesebb, mint a szélső pontok száma. .

Az elfogadható értékek tartományának konfigurációjára invariáns polinomiális lineáris programozási módszerek közül a leggyakoribb az L.G. Khachiyan. Ennek a módszernek azonban van egy polinomiális komplexitásbecslése a probléma dimenziójától függően, de a szimplex módszerhez képest nem kompetitívnek bizonyul. Ennek az az oka, hogy a szimplex módszer iterációi számának a probléma dimenziójától való függését a legtöbb gyakorlati probléma esetében egy harmadrendű polinom fejezi ki, míg a Khachiyan-módszerben ennek a függőségnek mindig a nagyságrendje van. legalább negyedik rend. Ez a tény döntő jelentőségű a gyakorlatban, ahol a szimplex módszer számára nehéz alkalmazott problémák rendkívül ritkák.

Azt is meg kell jegyezni, hogy a gyakorlati értelemben fontos alkalmazott lineáris programozási problémákra speciális módszereket dolgoztak ki, amelyek figyelembe veszik a probléma korlátainak sajátos jellegét. Különösen egy homogén szállítási probléma esetén speciális algoritmusokat használnak a kezdeti bázis kiválasztására, amelyek közül a leghíresebb az északnyugati sarok módszer és a közelítő Vogel-módszer, és maga a szimplex módszer algoritmikus megvalósítása közel áll a sajátosságokhoz. a probléma. A lineáris hozzárendelési probléma (kiválasztási probléma) megoldására a szimplex módszer helyett vagy a magyar algoritmust szokták használni, amely a feladat gráfelméleti értelmezése szerint a maximális súly tökéletes illeszkedésének problémája egy bipartitban. gráf, vagy Mack-módszer.

Oldj meg egy 3x3-as mátrixos játékot

f(x)=x 1 +x 2 +x 3

x1>= 0, x2>=0, x3>=0

> with(simplex):

> C:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

SH kijelző(C,);

> megvalósítható(C, NONNEGATÍV , "NewC", "Transform");

> S:=dual(f,C,p);

SH R:=maximál(f,C ,NEMNEGATÍV);

SH f_max:=subs(R,f);

SH R1:=minimalizál(S,NEMNEGATÍV);

> G:=p1+p2+p3;

> f_min:=subs(R1,G);

Keressük a játék árát

> V:=1/f_max;

Keressük meg az első játékos optimális stratégiáját > X:=V*R1;

Keressük meg a második játékos optimális stratégiáját

VÁLASZ: Ha X=(3/7, 3/7,1/7) V=9/7; Ha Y=(3/7,1/7,3/7) V=9/7;

Minden tanuló kap egyet a 20 lehetőség közül, amelyekben a tanuló önállóan oldja meg a 2x2-es mátrixjátékot, a többi példát pedig házi feladatként.

Hadd f(x,y)És g(x, y)- két változós kifejezés xÉs nál nélés hatálya x. Aztán a formai egyenlőtlenségek f(x, y) > g(x, y) vagy f(x, y) < g(x, y) hívott egyenlőtlenség két változóval .

A változók jelentése x, y sokaktól x, amelynél az egyenlőtlenség valódi numerikus egyenlőtlenséggé változik, ezt nevezzük döntés és ki van jelölve (x, y). Oldja meg az egyenlőtlenséget - ez sok ilyen pár megtalálását jelenti.

Ha minden számpár (x, y) a megoldások halmazából az egyenlőtlenséghez, egyeztesse a pontot M(x, y), megkapjuk az egyenlőtlenség által meghatározott síkon lévő pontok halmazát. Neveztetik ennek az egyenlőtlenségnek a grafikonja . Az egyenlőtlenség grafikonja általában egy síkon lévő terület.

Az egyenlőtlenség megoldási halmazának ábrázolása f(x, y) > g(x, y), járjon el az alábbiak szerint. Először cserélje ki az egyenlőtlenség jelét egy egyenlőségjelre, és keressen egy sort, amelyen az egyenlet szerepel f(x,y) = g(x,y). Ez a vonal a síkot több részre osztja. Ezek után elég minden részből egy pontot venni, és ellenőrizni, hogy ezen a ponton teljesül-e az egyenlőtlenség f(x, y) > g(x, y). Ha ezen a ponton hajtják végre, akkor a teljes részben végrehajtódik, ahol ez a pont található. Az ilyen alkatrészeket kombinálva számos megoldást kapunk.

Feladat. y > x.

Megoldás. Először az egyenlőtlenség jelét egyenlőségjelre cseréljük, és egy téglalap alakú koordináta-rendszerben készítünk egy egyenest, amelynek az egyenlete y = x.

Ez a vonal két részre osztja a síkot. Ezek után vegyünk minden részből egy pontot, és ellenőrizzük, hogy ezen a ponton teljesül-e az egyenlőtlenség y > x.

Feladat. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenséget!
x 2 + nál nél 2 £25.

Rizs. 18.

Megoldás. Először cserélje ki az egyenlőtlenség jelét egyenlőségjelre, és húzzon egy vonalat x 2 + nál nél 2 = 25. Ez egy olyan kör, amelynek középpontja az origóban van, sugara pedig 5. A kapott kör a síkot két részre osztja. Az egyenlőtlenség kielégíthetőségének ellenőrzése x 2 + nál nél 2 £ 25 minden részben azt találjuk, hogy a grafikon egy kör pontjainak halmaza és a körön belüli sík részei.

Legyen két egyenlőtlenség adott f 1(x, y) > g 1(x, y)És f 2(x, y) > g 2(x, y).

Kétváltozós egyenlőtlenséghalmazok rendszerei

Egyenlőtlenségek rendszere van saját magad ezen egyenlőtlenségek együttállása. Rendszermegoldás minden jelentése (x, y), amely minden egyenlőtlenséget valódi numerikus egyenlőtlenséggé változtat. Sok megoldás rendszerek Az egyenlőtlenségek egy adott rendszert alkotó egyenlőtlenségek megoldási halmazainak metszéspontja.

Egyenlőtlenségek halmaza van saját magad ezek diszjunkciója egyenlőtlenségek A totalitás megoldásával minden jelentése (x, y), amely az egyenlőtlenségek halmazának legalább az egyikét valódi numerikus egyenlőtlenséggé alakítja. Sok megoldás totalitás egy halmazt alkotó egyenlőtlenségek megoldási halmazainak uniója.

Feladat. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségek rendszerét!

Megoldás. y = xÉs x 2 + nál nél 2 = 25. Megoldjuk a rendszer minden egyenlőtlenségét.

A rendszer grafikonja azon pontok halmaza lesz a síkon, amelyek az első és a második egyenlőtlenség megoldási halmazainak metszéspontját (kettős sraffozását) jelentik.

Feladat. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségek halmazát

Megoldás. Először az egyenlőtlenség jelét egyenlőségjelre cseréljük, és vonalakat rajzolunk egy koordinátarendszerben y = x+ 4 és x 2 + nál nél 2 = 16. Oldja meg az egyes egyenlőtlenségeket a sokaságban! A sokaság grafikonja a síkon lévő pontok halmaza lesz, amelyek az első és a második egyenlőtlenség megoldási halmazainak egyesítése.

Gyakorlatok az önálló munkához

1. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségeket: a) nál nél> 2x; b) nál nél< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 £4.

2. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségrendszereket:

a) b)

A grafikus módszer a másodfokú egyenlőtlenségek megoldásának egyik fő módszere. A cikkben bemutatunk egy algoritmust a grafikus módszer használatához, majd példákon keresztül megvizsgáljuk a speciális eseteket.

A grafikus módszer lényege

A módszer nem csak a másodfokú egyenlőtlenségek megoldására alkalmazható. Lényege: az egyenlőtlenség jobb és bal oldalát két különálló függvénynek tekintjük, y = f (x) és y = g (x), grafikonjaikat egy téglalap alakú koordinátarendszerben ábrázoljuk, és nézzük meg, hogy melyik grafikon a másik felett helyezkedik el, és mely intervallumokon. Az intervallumokat a következőképpen értékeljük:

1. definíció

• Az f (x) > g (x) egyenlőtlenség megoldásai olyan intervallumok, ahol az f függvény grafikonja magasabb, mint a g függvény grafikonja;
• az f (x) ≥ g (x) egyenlőtlenség megoldásai olyan intervallumok, ahol az f függvény grafikonja nem kisebb, mint a g függvény grafikonja;
• az f(x) egyenlőtlenség megoldásai< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• az f (x) ≤ g (x) egyenlőtlenség megoldásai olyan intervallumok, ahol az f függvény grafikonja nem magasabb, mint a g függvény grafikonja;
• Az f és g függvények grafikonjainak metszéspontjainak abszcisszái az f (x) = g (x) egyenlet megoldásai.

Nézzük meg a fenti algoritmust egy példa segítségével. Ehhez vegyük az a x 2 + b x + c másodfokú egyenlőtlenséget< 0 (≤ , >, ≥), és ebből két függvényt származtat. Az egyenlőtlenség bal oldala y = a · x 2 + b · x + c (ebben az esetben f (x) = a · x 2 + b · x + c), a jobb oldala pedig y = 0 ( ebben az esetben g (x) = 0).

Az első függvény grafikonja egy parabola, a második egy egyenes, amely egybeesik az O x x tengelyével. Elemezzük a parabola helyzetét az O x tengelyhez képest. Ehhez készítsünk egy sematikus rajzot.

A parabola ágai felfelé irányulnak. Pontokban metszi az O x tengelyt x 1És x 2. Az a együttható ebben az esetben pozitív, mivel ez a felelős a parabola ágainak irányáért. A diszkrimináns pozitív, ami azt jelzi, hogy a másodfokú trinomnak két gyöke van a x 2 + b x + c. A trinomiális gyökereit as-ként jelöljük x 1És x 2, és ezt elfogadták x 1< x 2 , mivel az O x tengelyen egy abszcissza pont van ábrázolva x 1 az abszcisszaponttól balra x 2.

A parabola O x tengely feletti részeit pirossal, alul kékkel jelöljük. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy a rajzot vizuálisabbá tegyük.

Jelöljük ki az ezeknek a részeknek megfelelő tereket, és jelöljük meg a képen bizonyos színű mezőkkel.

Piros színnel jelöltük a (− ∞, x 1) és (x 2, + ∞) intervallumokat, ezeken a parabola az O x tengely felett van. Ezek a · x 2 + b · x + c > 0. Kék színnel jelöltük az (x 1 , x 2) intervallumot, amely az a x 2 + b x + c egyenlőtlenség megoldása.< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Röviden összefoglaljuk a megoldást. Ha a > 0 és D = b 2 − 4 a c > 0 (vagy D " = D 4 > 0 páros b együttható esetén) kapjuk:

• az a x 2 + b x + c > 0 másodfokú egyenlőtlenség megoldása (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) vagy más jelöléssel x< x 1 , x >x2;
• az a · x 2 + b · x + c ≥ 0 másodfokú egyenlőtlenség megoldása (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) vagy más formában x ≤ x 1, x ≥ x 2 ;
• az a x 2 + b x + c másodfokú egyenlőtlenség megoldása< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• az a x 2 + b x + c ≤ 0 másodfokú egyenlőtlenség megoldása [ x 1 , x 2 ] vagy más jelöléssel x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

ahol x 1 és x 2 az a · x 2 + b · x + c és x 1 másodfokú trinom gyökei< x 2 .

Ezen az ábrán a parabola csak egy pontban érinti az O x tengelyt, amelyet a következőképpen jelölünk x 0 a > 0. D=0, ezért a négyzetháromtagnak egy gyöke van x 0.

A parabola teljes egészében az O x tengely felett helyezkedik el, kivéve a koordinátatengely érintési pontját. Színezzük ki az intervallumokat (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Írjuk fel az eredményeket. Nál nél a > 0És D=0:

• a másodfokú egyenlőtlenség megoldása a x 2 + b x + c > 0(− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) vagy más jelöléssel x ≠ x 0;
• a másodfokú egyenlőtlenség megoldása a x 2 + b x + c ≥ 0 van (− ∞ , + ∞) vagy más jelöléssel x ∈ R;
• másodfokú egyenlőtlenség a x 2 + b x + c< 0 nincs megoldása (nincs olyan intervallum, ahol a parabola a tengely alatt helyezkedik el Ökör);
• másodfokú egyenlőtlenség a x 2 + b x + c ≤ 0 egyedi megoldása van x = x 0(az érintkezési pont adja meg),

Ahol x 0- a négyzetháromtag gyöke a x 2 + b x + c.

Tekintsük a harmadik esetet, amikor a parabola ágai felfelé irányulnak, és nem érintik a tengelyt Ökör. A parabola ágai felfelé irányulnak, ami azt jelenti a > 0. A négyzetháromtagnak nincsenek valódi gyökerei, mert D< 0 .

A grafikonon nincsenek olyan intervallumok, amelyeknél a parabola az x tengely alatt lenne. Ezt figyelembe vesszük, amikor színt választunk rajzunkhoz.

Kiderül, hogy mikor a > 0És D< 0 másodfokú egyenlőtlenségek megoldása a x 2 + b x + c > 0És a x 2 + b x + c ≥ 0 az összes valós szám és az egyenlőtlenségek halmaza a x 2 + b x + c< 0 És a x 2 + b x + c ≤ 0 nincsenek megoldásai.

Három lehetőséget kell mérlegelnünk, amikor a parabola ágai lefelé irányulnak. Nem kell ezen a három lehetőségnél részletesen foglalkozni, hiszen ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk −1-gyel, akkor x 2-re pozitív együtthatójú ekvivalens egyenlőtlenséget kapunk.

A cikk előző részének átgondolása felkészített bennünket az egyenlőtlenségek grafikus módszerrel történő megoldására szolgáló algoritmus észlelésére. A számítások elvégzéséhez minden alkalommal egy rajzot kell használnunk, amely az O x koordináta egyenest és a másodfokú függvénynek megfelelő parabolát ábrázolja. y = a x 2 + b x + c. A legtöbb esetben nem ábrázoljuk az O y tengelyt, mivel nincs rá szükség a számításokhoz, és csak túlterheli a rajzot.

A parabola megalkotásához két dolgot kell tudnunk:

2. definíció

• az ágak iránya, amelyet az a együttható értéke határoz meg;
• a parabola és az abszcissza tengely metszéspontjainak jelenléte, amelyeket a másodfokú trinomiális diszkrimináns értéke határoz meg a · x 2 + b · x + c .

A metszéspontokat és az érintési pontokat a nem szigorú egyenlőtlenségek megoldásánál a szokásos módon, szigorúak megoldásánál üresen jelöljük.

Az elkészült rajz birtokában továbbléphet a megoldás következő lépésére. Ez magában foglalja azon intervallumok meghatározását, amelyek között a parabola az O x tengely felett vagy alatt helyezkedik el. Az intervallumok és a metszéspontok a megoldás a másodfokú egyenlőtlenségre. Ha nincsenek metszéspontok vagy érintési pontok és nincsenek intervallumok, akkor azt tekintjük, hogy a feladat feltételeiben megadott egyenlőtlenségnek nincs megoldása.

Most oldjunk meg néhány másodfokú egyenlőtlenséget a fenti algoritmus segítségével.

1. példa

A 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 egyenlőtlenséget grafikusan kell megoldani.

Megoldás

Rajzoljuk fel az y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 másodfokú függvény grafikonját. Együttható at x 2 pozitív, mert egyenlő 2 . Ez azt jelenti, hogy a parabola ágai felfelé irányulnak.

Számítsuk ki a 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 másodfokú trinom diszkriminánsát, hogy megtudjuk, vannak-e közös pontjai a parabolának az abszcissza tengellyel. Kapunk:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Amint látjuk, D nagyobb nullánál, ezért két metszéspontunk van: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 és x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, azaz x 1 = − 3És x 2 = 1 3.

Egy nem szigorú egyenlőtlenséget oldunk meg, ezért közönséges pontokat teszünk a grafikonra. Rajzoljunk egy parabolát. Amint láthatja, a rajz ugyanolyan megjelenésű, mint az általunk vizsgált első sablonban.

Egyenlőtlenségünk előjele ≤. Ezért ki kell emelnünk a grafikonon azokat az intervallumokat, amelyekben a parabola az O x tengelye alatt helyezkedik el, és metszéspontokat kell hozzáadnunk hozzájuk.

A szükséges intervallum 3, 1 3. Adjuk hozzá a metszéspontokat, és kapunk egy numerikus szakaszt − 3, 1 3. Ez a megoldás a problémánkra. A válasz felírható kettős egyenlőtlenségként: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Válasz:− 3, 1 3 vagy − 3 ≤ x ≤ 1 3.

2. példa

− x 2 + 16 x − 63< 0 grafikus módszer.

Megoldás

A változó négyzete negatív numerikus együtthatóval rendelkezik, így a parabola ágai lefelé irányulnak. Számítsuk ki a diszkrimináns negyedik részét! D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Ez az eredmény azt mutatja, hogy két metszéspont lesz.

Számítsuk ki a másodfokú trinom gyökereit: x 1 = - 8 + 1 - 1 és x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 és x 2 = 9.

Kiderült, hogy a parabola pontokban metszi az x tengelyt 7 És 9 . A grafikonon ezeket a pontokat jelöljük üresnek, mivel szigorú egyenlőtlenséggel dolgozunk. Ezek után rajzoljunk egy parabolát, amely a megjelölt pontokban metszi az O x tengelyt.

Arra leszünk kíváncsiak, hogy a parabola milyen intervallumokban helyezkedik el az O x tengelye alatt. Jelöljük ezeket az intervallumokat kékkel.

Megkapjuk a választ: az egyenlőtlenség megoldása a (− ∞, 7) , (9, + ∞) intervallumok.

Válasz:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) vagy más jelöléssel x< 7 , x > 9 .

Azokban az esetekben, amikor a másodfokú trinom diszkriminánsa nulla, alaposan meg kell fontolni, hogy az érintőpontok abszcisszáját bele kell-e venni a válaszba. A helyes döntés meghozatalához figyelembe kell venni az egyenlőtlenség jelét. Szigorú egyenlőtlenségekben az x tengely érintési pontja nem megoldás az egyenlőtlenségre, a nem szigorúaknál viszont igen.

3. példa

Oldja meg a másodfokú egyenlőtlenséget 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 grafikus módszer.

Megoldás

A parabola ágai ebben az esetben felfelé irányulnak. Ez érinti az O x tengelyt a 0, 7 pontban, mivel

Ábrázoljuk a függvényt y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Ágai felfelé irányulnak, mivel az együttható at x 2 pozitív, és az x tengely pontjában érinti az x tengelyt 0 , 7 , mert D " = (- 7) 2 - 10 4, 9 = 0, ahonnan x 0 = 7 10 ill 0 , 7 .

Tegyünk egy pontot és rajzoljunk egy parabolát.

Egy nem szigorú egyenlőtlenséget ≤ előjellel oldunk meg. Ennélfogva. Arra leszünk kíváncsiak, hogy a parabola milyen intervallumokban helyezkedik el az x tengely és az érintési pont alatt. Az ábrán nincsenek olyan intervallumok, amelyek a feltételeinket kielégítenék. Csak egy érintkezési pont van 0, 7. Ez a megoldás, amit keresünk.

Válasz: Az egyenlőtlenségnek csak egy megoldása van 0, 7.

4. példa

Oldja meg a másodfokú egyenlőtlenséget – x 2 + 8 x – 16< 0 .

Megoldás

A parabola ágai lefelé irányulnak. A diszkrimináns nulla. Metszéspont x 0 = 4.

Jelöljük az érintési pontot az x tengelyen, és rajzolunk egy parabolát.

Súlyos egyenlőtlenséggel küzdünk. Következésképpen arra vagyunk kíváncsiak, hogy a parabola milyen intervallumokban helyezkedik el az O x tengelye alatt. Jelöljük őket kékkel.

A 4-es abszcissza pont nem megoldás, mivel a benne lévő parabola nem az O x tengelye alatt helyezkedik el. Ebből következően két intervallumot kapunk (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Válasz: (− ∞, 4) ∪ (4, + ∞) vagy más jelöléssel x ≠ 4.

Nem mindig, ha a diszkrimináns érték negatív, az egyenlőtlenségnek nem lesz megoldása. Vannak esetek, amikor a megoldás az összes valós szám halmaza.

5. példa

Oldja meg grafikusan a 3 x 2 + 1 > 0 másodfokú egyenlőtlenséget.

Megoldás

Az a együttható pozitív. A diszkrimináns negatív. A parabola ágai felfelé irányulnak. A parabolának nincsenek metszéspontjai az O x tengellyel. Nézzük a rajzot.

Szigorú egyenlőtlenséggel dolgozunk, aminek > jele van. Ez azt jelenti, hogy az érdekel minket, hogy a parabola milyen intervallumokban helyezkedik el az x tengely felett. Pontosan ez az eset, ha a válasz az összes valós szám halmaza.

Válasz:(− ∞, + ∞) vagy így x ∈ R.

6. példa

Az egyenlőtlenségre megoldást kell találni − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 grafikusan.

Megoldás

A parabola ágai lefelé irányulnak. A diszkriminans negatív, ezért a parabola és az x tengely között nincs közös pont. Nézzük a rajzot.

Egy ≥ előjelű nem szigorú egyenlőtlenséggel dolgozunk, ezért számunkra érdekesek azok az intervallumok, amelyekben a parabola az x tengely felett helyezkedik el. A grafikonból ítélve nincsenek ilyen hiányosságok. Ez azt jelenti, hogy a problémafeltételekben megadott egyenlőtlenségnek nincs megoldása.

Válasz: Nincsenek megoldások.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Első szint

Egyenletek, egyenlőtlenségek, rendszerek megoldása függvénygráfok segítségével. Vizuális útmutató (2019)

Sok olyan feladat, amelyet tisztán algebrailag számolni szoktunk, sokkal könnyebben és gyorsabban megoldható függvénygráfok segítségével. Azt mondod "hogyan?" rajzolni valamit, és mit kell rajzolni? Higgye el, néha kényelmesebb és egyszerűbb. Kezdjük? Kezdjük az egyenletekkel!

Egyenletek grafikus megoldása

Lineáris egyenletek grafikus megoldása

Mint már tudod, a lineáris egyenlet grafikonja egy egyenes, innen ered ennek a típusnak a neve. A lineáris egyenleteket meglehetősen könnyű algebrailag megoldani - az összes ismeretlent átvisszük az egyenlet egyik oldalára, mindent, amit tudunk, a másikra, és íme! Megtaláltuk a gyökeret. Most megmutatom, hogyan kell csinálni grafikusan.

Tehát megvan az egyenlet:

Hogyan lehet megoldani?
1.opció, és a legáltalánosabb az ismeretleneket az egyik oldalra, az ismerteket a másik oldalra mozgatni, így kapjuk:

Most építsünk. Mit kaptál?

Ön szerint mi az egyenletünk gyökere? Így van, a grafikonok metszéspontjának koordinátája:

A válaszunk az

Ez a grafikus megoldás teljes bölcsessége. Amint azt könnyen ellenőrizheti, egyenletünk gyökere egy szám!

Ahogy fentebb is mondtam, ez a leggyakoribb lehetőség, közel egy algebrai megoldáshoz, de meg lehet oldani más módon is. Egy alternatív megoldás megfontolásához térjünk vissza az egyenletünkhöz:

Ezúttal nem fogunk semmit egyik oldalról a másikra mozgatni, hanem közvetlenül megszerkesztjük a grafikonokat, ahogy most vannak:

Épült? Lássuk!

Mi a megoldás ezúttal? Úgy van. Ugyanez - a grafikonok metszéspontjának koordinátája:

És ismét a válaszunk.

Amint látja, a lineáris egyenletekkel minden rendkívül egyszerű. Itt az ideje, hogy valami bonyolultabbat nézzünk... Például másodfokú egyenletek grafikus megoldása.

Másodfokú egyenletek grafikus megoldása

Tehát most kezdjük el megoldani a másodfokú egyenletet. Tegyük fel, hogy meg kell találnia ennek az egyenletnek a gyökereit:

Természetesen most már elkezdheti a számolást a diszkriminánson keresztül, vagy Vieta tétele szerint, de sokan idegből hibáznak szorzáskor vagy négyzetesítéskor, főleg, ha a példa nagy számokkal szerepel, és mint tudod, nyertél. 'ne legyen számológép a vizsgához... Ezért próbáljunk meg egy kicsit lazítani és rajzolni az egyenlet megoldása közben.

Ennek az egyenletnek a megoldásai grafikusan többféleképpen is megtalálhatók. Nézzük meg a különböző lehetőségeket, és kiválaszthatja, melyik tetszik a legjobban.

Módszer 1. Közvetlenül

Egyszerűen felállítunk egy parabolát ezzel az egyenlettel:

Ennek gyors megtételéhez adok egy kis tippet: A konstrukciót célszerű a parabola csúcsának meghatározásával kezdeni. A következő képletek segítenek meghatározni a parabola csúcsának koordinátáit:

Azt fogja mondani: „Állj! A képlet nagyon hasonló a diszkrimináns megtalálásának képletéhez”, igen, ez az, és ez óriási hátránya annak, ha „közvetlenül” készítünk egy parabolát, hogy megtaláljuk a gyökereit. Számoljunk azonban a végéig, aztán megmutatom, hogyan kell ezt sokkal (sokkal!) könnyebben megcsinálni!

számoltál? Milyen koordinátákat kapott a parabola csúcsához? Találjuk ki együtt:

Pontosan ugyanaz a válasz? Szép munka! És most már tudjuk a csúcs koordinátáit, de egy parabola felépítéséhez több... pontra van szükségünk. Ön szerint hány minimum pontra van szükségünk? Jobb, .

Tudod, hogy egy parabola szimmetrikus a csúcsára, például:

Ennek megfelelően szükségünk van még két pontra a parabola bal vagy jobb ágán, és a jövőben szimmetrikusan tükrözzük ezeket a pontokat az ellenkező oldalon:

Térjünk vissza a parabolánkhoz. A mi esetünkben, pont. Kell még két pont, hogy vehetünk pozitívat, vagy vehetünk negatívat? Melyik pont kényelmesebb az Ön számára? Kényelmesebb számomra a pozitívakkal dolgozni, így a és -nél fogok számolni.

Most három pontunk van, a parabolánkat könnyen megszerkeszthetjük úgy, hogy az utolsó két pontot tükrözzük a csúcsához képest:

Ön szerint mi az egyenlet megoldása? Így van, pontok, amelyeknél, vagyis és. Mert.

És ha ezt mondjuk, az azt jelenti, hogy egyenlőnek kell lennie, ill.

Éppen? Elkészítettük veled az egyenlet komplex grafikai megoldását, különben lesz még!

Természetesen a válaszunkat algebrailag is ellenőrizheti - a gyököket Vieta tételével vagy diszkriminansával számíthatja ki. Mit kaptál? Ugyanaz? Itt látod! Most nézzünk egy nagyon egyszerű grafikai megoldást, biztos vagyok benne, hogy nagyon fog tetszeni!

2. módszer. Több funkcióra osztva

Vegyük ugyanazt az egyenletünket: , de egy kicsit másképp írjuk, nevezetesen:

Megírhatjuk így? Megtehetjük, hiszen az átalakítás ekvivalens. Nézzük tovább.

Készítsünk két függvényt külön-külön:

1. - a gráf egy egyszerű parabola, amelyet könnyen megszerkeszthet anélkül is, hogy képletekkel határozná meg a csúcsot, és nem készít táblázatot a többi pont meghatározásához.
2. - a grafikon egy egyenes, amelyet ugyanúgy megszerkeszthet, ha fejben becsüli meg az értékeket anélkül, hogy számológépet kellene igénybe vennie.

Épült? Hasonlítsuk össze azzal, amit kaptam:

Ön szerint ebben az esetben mi az egyenlet gyökere? Jobb! Két grafikon metszéspontjából kapott koordináták, azaz:

Ennek megfelelően ennek az egyenletnek a megoldása a következő:

Mit mondasz? Egyetértek, ez a megoldási módszer sokkal könnyebb, mint az előző, és még könnyebb is, mint a gyökerek keresése diszkrimináns segítségével! Ha igen, próbálja meg megoldani a következő egyenletet ezzel a módszerrel:

Mit kaptál? Hasonlítsuk össze grafikonjainkat:

A grafikonok azt mutatják, hogy a válaszok a következők:

Sikerült? Szép munka! Most nézzük meg az egyenleteket egy kicsit bonyolultabban, nevezetesen a vegyes egyenletek megoldását, vagyis a különböző típusú függvényeket tartalmazó egyenleteket.

Vegyes egyenletek grafikus megoldása

Most próbáljuk meg megoldani a következőket:

Természetesen mindent lehet közös nevezőre hozni, megtalálni a kapott egyenlet gyökereit, anélkül, hogy elfelejtené figyelembe venni az ODZ-t, de ismét megpróbáljuk grafikusan megoldani, ahogy minden korábbi esetben tettük.

Ezúttal készítsük el a következő 2 grafikont:

1. - a grafikon egy hiperbola
2. - a grafikon egy egyenes, amelyet könnyedén megszerkeszthet úgy, hogy fejben becsüli meg az értékeket anélkül, hogy számológépet kellene igénybe vennie.

Rájött? Most kezdje el az építkezést.

Íme, amit kaptam:

Ha ezt a képet nézzük, mondd meg, mi az egyenletünk gyökere?

Így van, és. Íme a megerősítés:

Próbálja meg a gyökereinket bedugni az egyenletbe. Megtörtént?

Úgy van! Egyetértek, az ilyen egyenletek grafikus megoldása öröm!

Próbálja meg saját maga grafikusan megoldani az egyenletet:

Adok egy tippet: mozgassa az egyenlet egy részét a jobb oldalra, hogy a legegyszerűbb függvények mindkét oldalon legyenek. Megértette a tippet? Cselekszik!

Most pedig lássuk, mit kaptál:

Illetőleg:

1. - köbös parabola.
2. - közönséges egyenes.

Nos, építsük:

Ahogy régen leírtad, ennek az egyenletnek a gyöke - .

Miután ilyen sok példán keresztül dolgozott, biztos vagyok benne, hogy rájött, milyen egyszerű és gyors az egyenletek grafikus megoldása. Ideje kitalálni, hogyan lehet ilyen módon megoldani a rendszereket.

Rendszerek grafikus megoldása

A rendszerek grafikus megoldása lényegében nem különbözik az egyenletek grafikus megoldásától. Két gráfot is készítünk, és ezek metszéspontjai lesznek ennek a rendszernek a gyökerei. Az egyik gráf egy egyenlet, a második gráf egy másik egyenlet. Minden rendkívül egyszerű!

Kezdjük a legegyszerűbb dologgal - a lineáris egyenletrendszerek megoldásával.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása

Tegyük fel, hogy a következő rendszerünk van:

Először is alakítsuk át úgy, hogy a bal oldalon legyen minden, amihez kapcsolódik, a jobb oldalon pedig minden, amihez kapcsolódik. Más szóval, írjuk fel ezeket az egyenleteket függvényként a szokásos formában:

Most csak két egyenest építünk. Mi a megoldás esetünkben? Jobb! A metszéspontjuk! És itt nagyon-nagyon óvatosnak kell lenni! Gondolj bele, miért? Hadd adjak egy tippet: egy rendszerrel van dolgunk: a rendszerben mindkettő van, és... Megvan a tipp?

Úgy van! Egy rendszer megoldásánál mindkét koordinátát kell néznünk, és nem csak úgy, mint az egyenletek megoldásánál! Egy másik fontos szempont, hogy helyesen írjuk le őket, és ne keverjük össze, hol van a jelentésünk, és hol a jelentés! Leírtad? Hasonlítsunk össze mindent sorrendben:

És a válaszok: és. Végezzen ellenőrzést - cserélje be a talált gyökereket a rendszerbe, és győződjön meg arról, hogy grafikusan helyesen oldottuk meg?

Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása

Mi van, ha egy egyenes helyett másodfokú egyenletünk van? Rendben van! Csak egy parabolát építs az egyenes helyett! Nem hiszek? Próbálja meg megoldani a következő rendszert:

Mi a következő lépésünk? Így van, írd le, hogy kényelmesen tudjunk grafikonokat készíteni:

És most minden apró dolgokról szól – építse meg gyorsan, és itt a megoldás! Építünk:

A grafikonok ugyanazok lettek? Most jelölje be az ábrán a rendszer megoldásait, és írja le helyesen az azonosított válaszokat!

mindent megtettem? Hasonlítsd össze a jegyzeteimmel:

Minden rendben van? Szép munka! Már őrülten töröd az ilyen típusú feladatokat! Ha igen, akkor adjunk egy bonyolultabb rendszert:

Mit csinálunk? Jobb! A rendszert úgy írjuk meg, hogy kényelmes legyen felépíteni:

Adok egy kis tippet, mert a rendszer nagyon bonyolultnak tűnik! Grafikonok építésénél „többet” építsen, és ami a legfontosabb, ne lepődjön meg a metszéspontok számán.

Akkor gyerünk! Kilélegzett? Most kezdje el az építkezést!

Szóval hogyan? Gyönyörű? Hány kereszteződési pontot kapott? nekem három van! Hasonlítsuk össze grafikonjainkat:

Is? Most gondosan írja le rendszerünk összes megoldását:

Most nézd meg újra a rendszert:

El tudod képzelni, hogy ezt mindössze 15 perc alatt megoldottad? Egyetértek, a matematika még mindig egyszerű, főleg ha egy kifejezést nézel, nem félsz hibázni, hanem csak fogd és oldd meg! Nagy fiú vagy!

Egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Az utolsó példa után bármit megtehetsz! Most lélegezzen ki – az előző részekhez képest ez nagyon-nagyon egyszerű lesz!

Kezdjük, mint általában, egy lineáris egyenlőtlenség grafikus megoldásával. Például ez:

Először hajtsuk végre a legegyszerűbb átalakításokat - nyissuk meg a tökéletes négyzetek zárójeleit, és mutassunk be hasonló kifejezéseket:

Az egyenlőtlenség nem szigorú, ezért nem szerepel az intervallumban, és a megoldás az összes jobb oldali pont lesz, hiszen több, több, és így tovább:

Válasz:

Ez minden! Könnyen? Oldjunk meg egy egyszerű egyenlőtlenséget két változóval:

Rajzoljunk függvényt a koordinátarendszerbe.

Kaptál ilyen menetrendet? Most nézzük meg alaposan, milyen egyenlőtlenség van ott? Kevésbé? Ez azt jelenti, hogy mindent átfestünk, ami az egyenesünktől balra van. Mi lenne, ha több lenne? Így van, akkor mindent átfestenénk, ami az egyenesünktől jobbra van. Ez egyszerű.

Ennek az egyenlőtlenségnek minden megoldása narancssárga árnyalatú. Ennyi, a kétváltozós egyenlőtlenség megoldva. Ez azt jelenti, hogy az árnyékolt terület bármely pontjának koordinátái a megoldások.

Másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Most megértjük, hogyan lehet grafikusan megoldani a másodfokú egyenlőtlenségeket.

Mielőtt azonban rátérnénk az üzletre, tekintsünk át néhány anyagot a kvadratikus függvényről.

Miért felelős a diszkrimináns? Ez igaz, a gráf tengelyhez viszonyított helyzetére vonatkozóan (ha erre nem emlékszik, akkor feltétlenül olvassa el a másodfokú függvények elméletét).

Mindenesetre itt van egy kis emlékeztető:

Most, hogy az összes anyagot felfrissítettük emlékezetünkben, lássuk a dolgot – oldjuk meg grafikusan az egyenlőtlenséget.

Azonnal elmondom, hogy két lehetőség van a megoldásra.

1.opció

A parabolánkat függvényként írjuk fel:

A képletek segítségével meghatározzuk a parabola csúcsának koordinátáit (pontosan ugyanaz, mint a másodfokú egyenletek megoldásánál):

számoltál? Mit kaptál?

Most vegyünk még két különböző pontot, és számoljunk rájuk:

Kezdjük el felépíteni a parabola egyik ágát:

Pontjainkat szimmetrikusan tükrözzük a parabola másik ágára:

Most térjünk vissza az egyenlőtlenségünkhöz.

Szükségünk van arra, hogy nullánál kisebb legyen:

Mivel egyenlőtlenségünkben az előjel szigorúan kisebb, mint, kizárjuk a végpontokat - „kilyukasztás”.

Válasz:

Hosszú út, igaz? Most megmutatom a grafikus megoldás egy egyszerűbb változatát ugyanazon egyenlőtlenség példáján:

2. lehetőség

Visszatérünk egyenlőtlenségünkhöz, és megjelöljük a szükséges intervallumokat:

Egyetértek, sokkal gyorsabb.

Most írjuk le a választ:

Tekintsünk egy másik megoldást, amely leegyszerűsíti az algebrai részt, de a lényeg az, hogy ne keveredjünk össze.

Szorozzuk meg a bal és a jobb oldalt a következővel:

Próbáld meg tetszőlegesen megoldani a következő másodfokú egyenlőtlenséget: .

Sikerült?

Nézze meg, milyen lett a grafikonom:

Válasz: .

Vegyes egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Most térjünk át a bonyolultabb egyenlőtlenségekre!

Hogy tetszik ez:

Hátborzongató, nem? Őszintén szólva fogalmam sincs, hogyan lehet ezt algebrailag megoldani... De nem szükséges. Grafikailag nincs ebben semmi bonyolult! A szemek félnek, de a kezek csinálják!

Először is két grafikon felépítésével kezdjük:

Nem írok ki egy táblázatot mindegyikhez - biztos vagyok benne, hogy egyedül is tökéletesen meg tudod csinálni (hú, olyan sok a megoldásra váró példa!).

Te festetted? Most készítsen két grafikont.

Hasonlítsuk össze a rajzainkat?

Veled is így van? Nagy! Most rendezzük el a metszéspontokat, és a szín segítségével határozzuk meg, hogy elméletileg melyik gráfunk legyen nagyobb, vagyis. Nézd meg, mi történt a végén:

Most nézzük csak meg, hol van magasabban a kiválasztott grafikonunk, mint a grafikon? Nyugodtan fogj egy ceruzát és fesd át ezt a területet! Ő lesz a megoldás összetett egyenlőtlenségünkre!

A tengely mentén milyen intervallumokban helyezkedünk el magasabban? Jobb, . Ez a válasz!

Nos, most már bármilyen egyenletet, bármilyen rendszert, és még inkább minden egyenlőtlenséget kezelhet!

RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Algoritmus az egyenletek függvénygráfok segítségével történő megoldásához:

1. Fejezzük ki keresztül
2. Határozzuk meg a függvény típusát
3. Készítsünk grafikonokat a kapott függvényekből
4. Keressük meg a grafikonok metszéspontjait
5. Írjuk fel helyesen a választ (az ODZ és az egyenlőtlenség jeleit figyelembe véve)
6. Ellenőrizzük a választ (helyettesítsük a gyököket az egyenletbe vagy rendszerbe)

A függvénygrafikonok létrehozásával kapcsolatos további információkért lásd a "" témakört.

A grafikus módszer abból áll, hogy a PLP elfogadható megoldásait állítjuk össze, és ebben a halmazban megtaláljuk a max/min célfüggvénynek megfelelő pontot.

A vizuális grafikus ábrázolás korlátozott lehetőségei miatt ezt a módszert csak két ismeretlennel rendelkező lineáris egyenlőtlenség-rendszerekre és erre a formára redukálható rendszerekre alkalmazzuk.

A grafikus módszer egyértelmű bemutatása érdekében oldjuk meg a következő problémát:

1. Az első szakaszban meg kell alkotni a megvalósítható megoldások régióját. Ebben a példában a legkényelmesebb, ha X2-t választunk abszcisszának, X1-et pedig ordinátának, és az egyenlőtlenségeket a következő formában írjuk fel:

Mivel mind a grafikonok, mind a megvalósítható megoldások területe az első negyedévben van. A határpontok megtalálásához az (1)=(2), (1)=(3) és (2)=(3) egyenleteket oldjuk meg.

Amint az az ábrán látható, az ABCDE poliéder a megvalósítható megoldások tartományát alkotja.

Ha a megvalósítható megoldások tartománya nem zárt, akkor max(f)=+ ?, vagy min(f)= -?.

2. Most továbbléphetünk az f függvény maximumának közvetlen megkeresésére.

A poliéder csúcsainak koordinátáit felváltva az f függvénybe behelyettesítve és az értékeket összehasonlítva azt kapjuk, hogy f(C)=f (4; 1)=19 a függvény maximuma.

Ez a megközelítés nagyon előnyös kis számú csúcs esetén. De ez az eljárás sokáig tarthat, ha elég sok csúcs van.

Ebben az esetben célszerűbb egy f=a alakú szintvonalat figyelembe venni. Az a szám monoton növekedésével -? hogy +? az f=a egyenesek a normálvektor mentén eltolódnak. Ha a szintvonal ilyen mozgásával van egy bizonyos X pont - a megvalósítható megoldások tartományának (ABCDE poliéder) és a szintvonal első közös pontja, akkor f(X) az f minimuma a halmazon. ABCDE. Ha X a szintvonal és az ABCDE halmaz utolsó metszéspontja, akkor f(X) a maximum a megvalósítható megoldások halmazán. Ha a>-? az f=a egyenes metszi a megvalósítható megoldások halmazát, ekkor min(f)= -?. Ha ez történik a>+? esetén, akkor max(f)=+?.