Az egyenes és a sík közötti szög szinusza. Egy egyenes és egy sík közötti szög

Az l egyenes és a 6 sík közötti a szög az adott l egyenes és egy adott síkra merőleges n további p szöggel határozható meg, amelyet az egyenes bármely pontjából húzunk (144. ábra). A P szög kiegészíti a kívánt a szöget 90°-ig. Ha a P szög valódi értékét úgy határoztuk meg, hogy az l egyenes és a merőleges által alkotott szög síkjának szintjét az egyenes körül elforgatjuk, azt kell kiegészíteni egy derékszöggel. Ez a további szög adja meg az l egyenes és a 0 sík közötti a szög valódi értékét.

27. Két sík szögének meghatározása.

A kétszög valódi értéke két Q és l sík között van. - meghatározható a vetítési sík cseréjével annak érdekében, hogy a kétszög élét vetítő egyenessé alakítsuk (1. és 2. feladat), vagy ha az él nincs megadva, akkor két n1 és n2 merőleges szögeként ezek a síkok ezeknek a merőlegeseknek a B tér egy tetszőleges M pontjából az M pontban két a és P síkszöget kapunk, amelyek rendre megegyeznek a q és l síkok által alkotott két szomszédos szög (diéder) lineáris szögével. Miután a szintegyenes körül elforgatva meghatároztuk az n1 és n2 merőleges szögeinek valódi értékét, meghatározzuk a q és l síkok által alkotott diéderszög lineáris szögét.

Ívelt vonalak. Íves vonalak speciális pontjai.

Egy görbe összetett rajzánál speciális pontjai, amelyek inflexiós, visszatérési, törési és csomópontokat foglalnak magukban, szintén speciális pontok a vetületén. Ez azzal magyarázható, hogy a görbék szinguláris pontjai ezeken a pontokon kapcsolódnak az érintőkhöz.

Ha a görbe síkja egy vetületi pozíciót foglal el (ábra. A), akkor ennek a görbének egy vetülete egyenes alakú.

Egy térbeli görbe esetén minden vetülete görbe vonal (ábra 1). b).

Annak meghatározásához, hogy a rajz alapján melyik görbe adott (sík vagy térbeli), meg kell találni, hogy a görbe minden pontja ugyanahhoz a síkhoz tartozik-e. ábrán látható. b a görbe térbeli, mivel a pont D a görbe nem tartozik a három másik pont által meghatározott síkhoz A, BÉs E ezt a görbét.

Kör - másodrendű sík görbe, amelynek merőleges vetülete lehet kör és ellipszis

A hengeres spirális vonal (hélix) egy térbeli görbe, amely egy spirális mozgást végző pont pályáját ábrázolja.

29. Lapos és térbeli íves vonalak.

Lásd a 28. kérdést

30. Összetett felületrajz. Alapvető rendelkezések.

A felület a térben mozgó vonalak egymás utáni helyzeteinek halmaza. Ez a vonal lehet egyenes vagy ívelt, és ún alkotó felületek. Ha a generatrix egy görbe, akkor állandó vagy változó megjelenésű lehet. A generatrix halad útmutatók, a generátoroktól eltérő irányú vonalakat ábrázolnak. A vezetővonalak meghatározzák a generátorok mozgásának törvényét. Amikor a generatrixot a vezetők mentén mozgatja, a keret felület (84. ábra), amely a generatricák és a vezetők több egymást követő pozíciójának halmaza. A keretet megvizsgálva meggyőződhetünk arról, hogy a generátorok lés útmutatók T cserélhető, de a felület ugyanaz marad.

Bármilyen felületet többféleképpen lehet előállítani.

A generatrix alakjától függően minden felület felosztható uralkodott, amelyek generatív egyenessel rendelkeznek, és nem szabályozott, amelyeknek formáló görbe vonala van.

A fejleszthető felületek közé tartozik az összes poliéder, hengeres, kúpos és törzsfelület felülete. Az összes többi felület nem fejleszthető. A nem vonalas felületeknek lehet egy állandó alakú generatrixa (forgásfelületek és csőfelületek), valamint egy változó alakú generatrix (csatorna- és keretfelületek).

Egy komplex rajzban egy felületet a determináns geometriai részének vetületei határoznak meg, jelezve a generátorok megszerkesztésének módját. Egy felület rajzánál a tér bármely pontjára egyértelműen meg van oldva az a kérdés, hogy az adott felülethez tartozik-e. A felülethatározó elemeinek grafikus megadása biztosítja a rajz visszafordíthatóságát, de nem teszi vizuálissá. Az áttekinthetőség kedvéért egy meglehetősen sűrű generatricus-keret vetületeinek és a felület körvonalainak megszerkesztéséhez folyamodnak (86. ábra). Amikor a Q felületet a vetítési síkra vetítjük, a vetületi sugarak ezt a felületet olyan pontokon érintik, amelyek egy bizonyos vonalat alkotnak rajta. l, ami az úgynevezett körvonal vonal. A szintvonal vetületét ún esszé felületek. Egy összetett rajzon bármely felület rendelkezik: P 1 - vízszintes körvonal, P 2 -n - frontális körvonal, P 3 -on - a felület profilkörvonala. A vázlat a kontúrvonal vetületei mellett a vágási vonalak vetületeit is tartalmazza.

Legyen adott valamilyen derékszögű koordinátarendszer és egy egyenes . Hadd És - két különböző sík, amelyek egy egyenesben metszik egymást és ennek megfelelően egyenletekkel megadva. Ez a két egyenlet együttesen határozza meg az egyenest akkor és csak akkor, ha nem párhuzamosak és nem esnek egybe egymással, azaz normálvektorok
És
ezek a síkok nem kollineárisak.

Meghatározás. Ha az egyenletek együtthatói

nem arányosak, akkor ezeket az egyenleteket nevezzük általános egyenletek egyenes, síkok metszésvonalaként definiálva.

Meghatározás. Bármely, egy egyenessel párhuzamos, nullától eltérő vektort hívunk útmutató vektor ezt az egyenest.

Vezessük le az egyenes egyenletét adott ponton áthaladva
tér és adott irányvektorral
.

Legyen a lényeg
- tetszőleges pont egy egyenesen . Ez a pont akkor és csak akkor van egy egyenesen, ha a vektor
, amelynek koordinátái vannak
, kollineáris az irányvektorral
egyenes. A (2.28) szerint a vektorok kollinearitásának feltétele
És úgy néz ki, mint a

. (3.18)

A (3.18) egyenleteket nevezzük kanonikus egyenletek ponton áthaladó egyenes
és irányvektorral rendelkezik
.

Ha egyenes általános egyenletek (3.17), majd az irányvektor adják meg ez az egyenes merőleges a normálvektorokra
És
egyenletekkel meghatározott síkok. Vektor
a vektorszorzat tulajdonsága szerint az egyes vektorokra ortogonális És . A definíció szerint irányvektorként egyenes vektort vehetsz
, azaz
.

Találni egy pontot
tekintsük az egyenletrendszert
. Mivel az egyenletekkel definiált síkok nem párhuzamosak és nem esnek egybe, legalább az egyik egyenlőség nem teljesül
. Ez ahhoz a tényhez vezet, hogy legalább az egyik meghatározó ,
,
különbözik a nullától. A határozottság kedvéért azt feltételezzük
. Ezután tetszőleges értéket véve , egy egyenletrendszert kapunk az ismeretlenekre És :

Cramer tétele szerint ennek a rendszernek a képletek által meghatározott egyedi megoldása van

,
. (3.19)

Ha veszed
, akkor a (3.17) egyenletek által adott egyenes átmegy a ponton
.

Így arra az esetre, amikor
, a (3.17) egyenes kanonikus egyenleteinek alakja van

A (3.17) egyenes kanonikus egyenletei hasonlóan íródnak fel arra az esetre, amikor a determináns nem nulla
vagy
.

Ha egy egyenes két különböző ponton halad át
És
, akkor a kanonikus egyenletek alakja

. (3.20)

Ez abból következik, hogy az egyenes áthalad a ponton
és van egy irányvektora.

Tekintsük az egyenes kanonikus egyenleteit (3.18). Vegyük mindegyik relációt paraméternek , azaz
. Ezen törtek egyik nevezője nem nulla, és a megfelelő számláló tetszőleges értéket vehet fel, így a paraméter bármilyen valós értéket felvehet. Figyelembe véve, hogy mindegyik arány egyenlő , kapunk parametrikus egyenletek egyenes:

,
,
. (3.21)

Engedd a repülőt általános egyenlet és az egyenes adja meg - parametrikus egyenletek
,
,
. Pont
egy egyenes metszéspontja és repülőgépek egyszerre kell síkhoz és egyeneshez tartoznia. Ez csak akkor lehetséges, ha a paraméter kielégíti az egyenletet, azaz.
. Így az egyenes és a sík metszéspontja koordinátákkal rendelkezik

32. példa. Írjon paraméteres egyenleteket a pontokon átmenő egyenesre!
És
.

Megoldás. Az egyenes irányítóvektorának a vektort vesszük

. Egy ponton halad át az egyenes , ezért a (3.21) képlet szerint a szükséges egyenes egyenletek alakja
,
,
.

33. példa. A háromszög csúcsai
koordinátái vannak
,
És
illetőleg. Állítson össze parametrikus egyenleteket a csúcsból húzott mediánhoz .

Megoldás. Hadd
- az oldal közepén
, Akkor
,
,
. A medián vezetővektorának a vektort vesszük
. Ekkor a medián parametrikus egyenletei alakot kapnak
,
,
.

34. példa. Állítsa össze egy ponton átmenő egyenes kanonikus egyenleteit!
párhuzamos a vonallal
.

Megoldás. Az egyenes a síkok és a normálvektorok metszésvonala
És
. Útmutató vektorként vegyük ennek az egyenesnek a vektorát
, azaz
. A (3.18) szerint a szükséges egyenletnek van alakja
vagy
.

3.8. Az egyenesek közötti szög a térben. Egy egyenes és egy sík közötti szög

Legyen két egyenes vonal És térben a kanonikus egyenleteik adják meg
És
. Aztán az egyik sarok ezen vonalak között egyenlő az irányvektoraik közötti szöggel
És
. A (2.22) képlet segítségével határozza meg a szöget megkapjuk a képletet

. (3.22)

Második sarok e sorok között egyenlő
És
.

Párhuzamos vonalak feltétele És ekvivalens a vektorok kollinearitási feltételével
És
és koordinátáik arányosságában rejlik, azaz az egyenesek párhuzamosságának feltétele a következő

. (3.23)

Ha egyenes És merőlegesek, akkor irányvektoraik merőlegesek, azaz. a merőlegességi feltételt az egyenlőség határozza meg

. (3.24)

Vegyünk egy repülőgépet , amelyet az általános egyenlet és az egyenes vonal ad meg , amelyet a kanonikus egyenletek adnak meg
.

Sarok az egyenes között és repülőgép kiegészíti a szöget az egyenes irányítóvektora és a sík normálvektora között, azaz.
És
, vagy

. (3.24)

Egy egyenes párhuzamosságának feltétele és repülőgépek ekvivalens azzal a feltétellel, hogy az egyenes irányvektora és a sík normálvektora merőlegesek, azaz ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzatának nullának kell lennie:

Ha az egyenes merőleges a síkra, akkor az egyenes irányvektorának és a sík normálvektorának kollineárisnak kell lennie. Ebben az esetben a vektorok koordinátái arányosak, azaz.

. (3.26)

35. példa. Keress egy tompaszöget az egyenesek között
,
,
És
,
,
.

Megoldás. Ezen egyenesek irányvektorai koordinátákkal rendelkeznek
És
. Ezért egy sarok egyenesek között az arány határozza meg, azaz.
. Ezért a feladat feltételét a vonalak közötti második szög teljesíti, egyenlő
.

3.9. Egy pont és egy vonal közötti távolság a térben

Hadd
 pont a térben koordinátákkal
, kanonikus egyenletek által adott egyenes
. Keressük a távolságot pontból
egyenesre .

Alkalmazzunk vezetővektort
lényegre törő
. Távolság pontból
egyenesre a vektorokra épített paralelogramma magassága És
. Keressük meg a paralelogramma területét a keresztszorzat segítségével:

A másik oldalon, . Az utolsó két reláció jobb oldalának egyenlőségéből az következik

. (3.27)

3.10. Ellipszoid

Meghatározás. Ellipszoid egy másodrendű felület, amelyet valamilyen koordinátarendszerben az egyenlet határoz meg

. (3.28)

A (3.28) egyenletet az ellipszoid kanonikus egyenletének nevezzük.

A (3.28) egyenletből következik, hogy a koordinátasíkok az ellipszoid szimmetriasíkjai, a koordináták origója pedig a szimmetriaközéppont. Számok
Ezeket az ellipszoid féltengelyeinek nevezzük, és a szakaszok hosszát jelentik az origótól az ellipszoid koordinátatengelyekkel való metszéspontjáig. Az ellipszoid egy paralelepipedonba zárt korlátos felület
,
,
.

Határozzuk meg az ellipszoid geometriai alakját. Ehhez nézzük meg a koordinátatengelyekkel párhuzamos síkjainak metszésvonalainak alakját.

A pontosság kedvéért vegyük figyelembe az ellipszoid és a síkok metszésvonalait
, párhuzamos a síkkal
. Egyenlet a metszésvonal síkra vetítésére
(3.28)-ból kapjuk, ha beletesszük
. Ennek a vetületnek az egyenlete a

. (3.29)

Ha
, akkor (3.29) egy képzeletbeli ellipszis és az ellipszoid és a sík metszéspontjainak egyenlete
Nem. Ebből következik, hogy
. Ha
, akkor a (3.29) egyenes pontokká, azaz síkokká degenerálódik
pontokban érintse meg az ellipszoidot
És
. Ha
, Azt
és bevezetheti a jelölést

,
. (3.30)

Ekkor a (3.29) egyenlet felveszi a formát

, (3.31)

azaz síkra vetítés
az ellipszoid és a sík metszésvonalai
egy ellipszis féltengelyekkel, amelyeket a (3.30) egyenlőségek határoznak meg. Mivel a felület metszésvonala a koordinátasíkokkal párhuzamos síkokkal egy magasságba „emelt” vetület. , akkor maga a metszésvonal egy ellipszis.

Az érték csökkentésekor tengelytengelyek És növelni és elérni a legnagyobb értéküket
, azaz az ellipszoid koordinátasík szerinti metszetében
a legnagyobb féltengelyes ellipszist kapjuk
És
.

Az ellipszoid ötlete más módon is megszerezhető. Gondolkodj a repülőn
ellipsziscsalád (3.31) féltengelyekkel És , relációk által meghatározott (3.30) és attól függően . Minden ilyen ellipszis egy szintvonal, azaz egy olyan vonal, amelynek minden pontjában az értéket ugyanaz. Minden ilyen ellipszis „emelése” egy magasságba , az ellipszoid térbeli nézetét kapjuk.

Hasonló képet kapunk, ha egy adott felületet a koordinátasíkokkal párhuzamos síkok metszenek
És
.

Így az ellipszoid zárt ellipszis alakú felület. Amikor
Az ellipszoid egy gömb.

Az ellipszoid tetszőleges síkkal való metszésvonala ellipszis, mivel az ilyen egyenes egy másodrendű korlátozott vonal, és az egyetlen másodrendű korlátozott vonal egy ellipszis.

Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Ez azt jelenti, hogy meg kell találni a szöget ezen egyenes és az adott síkra való vetülete között.

A feladatot szemléltető térmodell az ábrán látható.

Problémamegoldási terv:
1. Tetszőleges pontból A∈a engedje le a merőlegest a síkra α ;
2. Határozza meg ennek a merőlegesnek a találkozási pontját a síkkal! α . Pont A α- ortogonális vetítés A a repülőhöz α ;
3. Keresse meg az egyenes metszéspontját! a repülőgéppel α . Pont a α- egyenes nyomvonal a a felszínen α ;
4. Végrehajtjuk ( A α a α) - egyenes vetülete a a repülőhöz α ;
5. Határozza meg a valós értéket ∠! Aa α A α, azaz ∠ φ .

A probléma megoldása keresse meg az egyenes és a sík közötti szöget nagyban leegyszerűsíthető, ha nem definiáljuk ∠-t φ egy egyenes és egy sík között, és komplementer a 90° ∠ γ . Ebben az esetben nincs szükség a pont vetületének meghatározására Aés egyenes vonalú vetületek a a repülőhöz α . A nagyságrend ismeretében γ , a következő képlettel számítjuk ki:

$ φ = 90° - γ $

aés repülőgép α , amelyet párhuzamos egyenesek határoznak meg mÉs n.

a α
Az 5. és 6. pontban meghatározott vízszintes vonal körül elforgatva meghatározzuk a természetes méretet ∠ γ . A nagyságrend ismeretében γ , a következő képlettel számítjuk ki: