A tanárok úgy vélik, hogy minden diáknak tudnia kell számításokat végezni és tudnia kell a trigonometrikus képleteket, de nem minden tanár magyarázza el, mi a szinusz és a koszinusz. Mi a jelentésük, hol használják? Miért beszélünk háromszögekről, de a tankönyv egy kört mutat? Próbáljuk meg az összes tényt összekapcsolni.

Iskolai tantárgy

A trigonometria tanulmányozása általában a gimnázium 7-8. osztályában kezdődik. Ekkor a tanulóknak elmagyarázzák, mi a szinusz és a koszinusz, és megkérik őket, hogy oldjanak meg geometriai feladatokat ezekkel a függvényekkel. Később bonyolultabb képletek, kifejezések jelennek meg, amelyeket algebrailag kell transzformálni (kettős és félszög képletek, hatványfüggvények), és a trigonometrikus körrel történik a munka.

A tanárok azonban nem mindig tudják egyértelműen elmagyarázni a használt fogalmak jelentését és a képletek alkalmazhatóságát. Ezért a hallgató gyakran nem látja értelmét ennek a tantárgynak, és a megjegyzett információ gyorsan elfelejtődik. Azonban ha egyszer elmagyarázza egy középiskolásnak például egy függvény és az oszcilláló mozgás összefüggését, a logikai összefüggés hosszú évekig emlékezetes marad, és a tárgy haszontalanságáról szóló viccek a múlté lesznek.

Használat

Az érdekesség kedvéért nézzük meg a fizika különböző ágait. Meg akarja határozni egy lövedék hatótávolságát? Vagy egy tárgy és egy bizonyos felület közötti súrlódási erőt számolod ki? Lengetni az ingát, figyelni az üvegen áthaladó sugarakat, kiszámítani az indukciót? A trigonometrikus fogalmak szinte minden képletben megjelennek. Mi tehát a szinusz és a koszinusz?

Definíciók

A szög szinusza a szemközti oldal és a hipotenusz aránya, a koszinusz a szomszédos oldal és ugyanahhoz a befogóhoz viszonyított aránya. Itt egyáltalán nincs semmi bonyolult. Talán a diákokat általában összezavarják a trigonometriai táblázaton látható értékek, mert négyzetgyökről van szó. Igen, a tizedesjegyek beszerzése nem túl kényelmes, de ki mondta, hogy a matematikában minden számnak egyenlőnek kell lennie?

Valójában a trigonometriai feladatfüzetekben találhatunk egy vicces utalást: a legtöbb válasz itt páros, és a legrosszabb esetben kettő vagy három gyökét tartalmazza. A következtetés egyszerű: ha a válaszod „többszintű” törtnek bizonyul, ellenőrizze még egyszer a megoldást, hogy nincs-e benne hiba a számításokban vagy az érvelésben. És nagy valószínűséggel megtalálja őket.

Mire kell emlékezni

Mint minden tudománynak, a trigonometriának is vannak olyan adatai, amelyeket meg kell tanulni.

Először meg kell jegyeznie a derékszögű háromszög szinuszainak, a 0 és 90 koszinuszoknak, valamint a 30, 45 és 60 foknak a számértékeit. Ezek a mutatók tízből kilenc iskolai problémában találhatók. Ha megnézi ezeket az értékeket egy tankönyvben, sok időt veszít, és egyáltalán nem lesz hová nézni őket egy teszt vagy vizsga során.

Emlékeztetni kell arra, hogy mindkét függvény értéke nem haladhatja meg az egyet. Ha a számításai során a 0-1 tartományon kívül eső értéket kap, álljon meg, és próbálja meg újra a problémát.

A szinusz és a koszinusz négyzeteinek összege eggyel egyenlő. Ha már megtalálta az egyik értéket, használja ezt a képletet a fennmaradó érték megkereséséhez.

Tételek

Az alapvető trigonometriában két alaptétel van: szinusz és koszinusz.

Az első azt állítja, hogy a háromszög mindkét oldalának az ellenkező szög szinuszához viszonyított aránya azonos. A második az, hogy bármely oldal négyzetét megkaphatjuk úgy, hogy összeadjuk a megmaradt két oldal négyzetét, és kivonjuk a kettős szorzatukat a közöttük lévő szög koszinuszával szorozva.

Így, ha a 90 fokos szög értékét behelyettesítjük a koszinusztételbe, megkapjuk... a Pitagorasz-tételt. Ha most ki kell számítania egy olyan ábra területét, amely nem derékszögű háromszög, akkor többé nem kell aggódnia - a két tárgyalt tétel jelentősen leegyszerűsíti a probléma megoldását.

Célok és célkitűzések

A trigonometria elsajátítása sokkal könnyebbé válik, ha rájössz egy egyszerű tényre: az összes tevékenységed egyetlen cél elérésére irányul. A háromszög bármely paramétere megtalálható, ha ismeri a minimális információt róla - ez lehet egy szög értéke és két oldal hossza, vagy például három oldal.

Bármely szög szinuszának, koszinuszának, érintőjének meghatározásához ezek az adatok elegendőek, és segítségével könnyen kiszámíthatja az ábra területét. A válaszhoz szinte mindig az említett értékek valamelyike ​​szükséges, és ugyanazokkal a képletekkel kereshetők meg.

Következetlenségek a trigonometria tanulásában

Az egyik zavaró kérdés, amelyet a tanulók szívesebben kerülnek, a trigonometria különböző fogalmai közötti összefüggések felfedezése. Úgy tűnik, hogy a háromszögeket a szögek szinuszainak és koszinuszainak tanulmányozására használják, de valamilyen oknál fogva a szimbólumok gyakran megtalálhatók az ábrán egy körrel. Ezen kívül létezik egy teljesen érthetetlen hullámszerű gráf, az úgynevezett szinuszhullám, amely külsőleg nem hasonlít sem körre, sem háromszögekre.

Sőt, a szögeket vagy fokban vagy radiánban mérik, és a képletekben valamilyen oknál fogva megjelenik a Pi szám, amelyet egyszerűen 3,14-ként írnak fel (egységek nélkül), ami 180 foknak felel meg. Hogyan kapcsolódik mindez?

Egységek

Miért pont a Pi 3.14? Emlékszel, mit jelent ez? Ez a sugarak száma, amelyek egy fél kör ívébe illeszkednek. Ha a kör átmérője 2 centiméter, akkor a kerülete 3,14 * 2 vagy 6,28 lesz.

Második pont: valószínűleg észrevette a „radián” és a „sugár” szavak közötti hasonlóságot. A helyzet az, hogy egy radián számszerűen egyenlő a kör középpontjától egy sugár hosszúságú ívig bezárt szöggel.

Most egyesítjük a megszerzett ismereteket, és megértjük, hogy a trigonometriában miért van a koordinátatengely tetejére írva a „Pi felében”, a bal oldalon pedig a „Pi”. Ez egy radiánban mért szögérték, mivel egy félkör 180 fok, vagyis 3,14 radián. És ahol fokozatok vannak, ott szinuszok és koszinuszok vannak. Könnyű háromszöget rajzolni a kívánt pontból, félretéve szegmenseket a középponthoz és a koordináta tengelyéhez.

Nézzünk a jövőbe

Az iskolában tanult trigonometria egy egyenes koordinátarendszerrel foglalkozik, ahol bármennyire furcsán is hangzik, az egyenes egyenes.

De vannak bonyolultabb módszerek is a térrel való munkavégzésre: a háromszög szögeinek összege itt több lesz, mint 180 fok, és az egyenes a mi nézetünkben valóságos ívnek fog kinézni.

Térjünk a szavakról a tettekre! Vegyünk egy almát. Végezzen három vágást egy késsel úgy, hogy felülről nézve háromszöget kapjon. Vegye ki a kapott almadarabot, és nézze meg a „bordákat”, ahol a héj véget ér. Egyáltalán nem egyenesek. A kezében lévő gyümölcsöt hagyományosan kereknek nevezhetjük, de most képzelje el, milyen bonyolultnak kell lennie azoknak a képleteknek, amelyekkel megtalálhatja a vágott darab területét. De néhány szakember minden nap megoldja az ilyen problémákat.

Trigonometrikus függvények az életben

Észrevetted, hogy bolygónk felszínén az A pontból B pontba vezető repülőgép legrövidebb útvonala kifejezetten ív alakú? Az ok egyszerű: a Föld gömb alakú, ami azt jelenti, hogy nem lehet sokat számolni háromszögekkel – bonyolultabb képleteket kell használni.

Nem nélkülözheti a hegyesszög szinuszát/koszinuszát a térrel kapcsolatos kérdésekben. Érdekes, hogy itt nagyon sok tényező összejön: trigonometrikus függvények szükségesek a bolygók körök, ellipszisek és különféle bonyolultabb alakú pályák mentén történő mozgásának kiszámításához; rakéták, műholdak, siklók kilövésének folyamata, kutatójárművek kioldása; távoli csillagok megfigyelése és olyan galaxisok tanulmányozása, amelyeket az ember a belátható jövőben nem fog tudni elérni.

Általánosságban elmondható, hogy a trigonometriát ismerő személy tevékenységi köre nagyon széles, és úgy tűnik, idővel csak bővül.

Következtetés

Ma megtanultuk, vagy legalábbis megismételtük, mi a szinusz és a koszinusz. Ezek olyan fogalmak, amelyektől nem kell félnie – csak akarja őket, és megérti a jelentésüket. Ne feledje, hogy a trigonometria nem cél, hanem csak egy eszköz, amellyel valós emberi igényeket lehet kielégíteni: házakat építeni, közlekedésbiztonságot biztosítani, akár az univerzum hatalmasait is felfedezni.

Valójában maga a tudomány unalmasnak tűnhet, de amint megtalálja benne a módját, hogy elérje saját céljait és önmegvalósítását, a tanulási folyamat érdekessé válik, és nő a személyes motivációja.

Házi feladathoz próbálja megtalálni a trigonometrikus függvények alkalmazásának módját egy olyan területen, amely Önt személyesen érdekli. Képzelje el, használja a fantáziáját, és akkor valószínűleg azt fogja tapasztalni, hogy az új ismeretek hasznosak lesznek a jövőben. Ráadásul a matematika hasznos a gondolkodás általános fejlesztésében.

Az ellenkező oldal és a hipotenusz arányát ún hegyesszögű sinus derékszögű háromszög.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Derékszögű háromszög hegyesszögének koszinusza

A szomszédos láb és a hypotenus arányát ún hegyesszög koszinusza derékszögű háromszög.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Derékszögű háromszög hegyesszögének érintője

Az ellenkező oldal és a szomszédos oldal arányát ún hegyesszög érintője derékszögű háromszög.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Derékszögű háromszög hegyesszögének kotangense

A szomszédos oldal és a szemközti oldal arányát ún hegyesszög kotangense derékszögű háromszög.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Tetszőleges szög szinusza

Meghívjuk az egységkör azon pontjának ordinátáját, amelyhez az \alpha szög tartozik tetszőleges szög szinusza forgatás \alpha .

\sin \alpha=y

Tetszőleges szög koszinusza

Az egységkör azon pontjának abszcisszáját nevezzük, amelyhez az \alpha szög tartozik tetszőleges szög koszinusza forgatás \alpha .

\cos \alpha=x

Tetszőleges szög érintője

Egy tetszőleges \alpha elforgatási szög szinuszának a koszinuszához viszonyított arányát nevezzük tetszőleges szög érintője forgatás \alpha .

barna \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Tetszőleges szög kotangense

Egy tetszőleges \alpha elforgatási szög koszinuszának a szinuszához viszonyított arányát nevezzük tetszőleges szög kotangense forgatás \alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Példa tetszőleges szög megtalálására

Ha \alpha valamilyen AOM szög, ahol M egy pont az egységkörön, akkor

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Például ha \angle AOM = -\frac(\pi)(4), akkor: az M pont ordinátája egyenlő -\frac(\sqrt(2))(2), az abszcissza egyenlő \frac(\sqrt(2))(2)és ezért

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

A kotangensek érintőinek koszinuszainak értéktáblázata

A főbb gyakran előforduló szögek értékeit a táblázat tartalmazza:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\jobb)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\jobb)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\jobb)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\jobb)	180^(\circ)\left(\pi\jobb)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\jobb)	360^(\circ)\left(2\pi\jobb)
\sin\alpha	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Szerintem ennél többet érdemelsz. Itt van a kulcsom a trigonometriához:

• Rajzolja meg a kupolát, a falat és a mennyezetet
• A trigonometrikus függvények nem más, mint ennek a három alaknak a százalékai.

A szinusz és koszinusz metaforája: kupola

Ahelyett, hogy csak magukat a háromszögeket nézné, képzelje el őket működés közben egy konkrét valós példával.

Képzelje el, hogy egy kupola közepén tartózkodik, és fel akar függeszteni egy filmvetítő képernyőjét. Ujjával a kupolára mutat egy bizonyos „x” szögben, és a képernyőt ettől a ponttól fel kell függeszteni.

A szög, amelyre mutat, meghatározza:

• szinusz(x) = sin(x) = képernyő magassága (a padlótól a kupola rögzítési pontjáig)
• koszinusz(x) = cos(x) = távolság Öntől a képernyőig (szint szerint)
• hypotenus, a távolság Öntől a képernyő tetejéig, mindig azonos, egyenlő a kupola sugarával

Szeretné, hogy a képernyő a lehető legnagyobb legyen? Akassza fel közvetlenül maga fölé.

Szeretné, ha a képernyő a lehető legtávolabb lógna Öntől? Akassza fel egyenesen, merőlegesen. Ebben a helyzetben a képernyő nulla magasságú lesz, és a legtávolabb fog lógni, ahogy kérte.

A képernyő magassága és távolsága fordítottan arányos: minél közelebb lóg a képernyő, annál nagyobb a magassága.

A szinusz és a koszinusz százalékok

Tanulmányaim során sajnos senki nem magyarázta el nekem, hogy a szinusz és koszinusz trigonometrikus függvények nem mások, mint százalékok. Értékük +100% és 0 és -100% között, illetve pozitív maximumtól nulláig a negatív maximumig terjed.

Tegyük fel, hogy 14 rubel adót fizettem. Nem tudod, mennyi. De ha azt mondod, hogy 95%-os adót fizettem, akkor megérted, hogy egyszerűen ki voltam húzva.

Az abszolút magasság nem jelent semmit. De ha a szinuszérték 0,95, akkor megértem, hogy a tévé szinte a kupola tetején lóg. Nagyon hamar eléri maximális magasságát a kupola közepén, majd ismét hanyatlásnak indul.

Hogyan számíthatjuk ki ezt a százalékot? Nagyon egyszerű: osszuk el az aktuális képernyőmagasságot a lehetséges maximummal (a kupola sugarával, más néven hipotenuzussal).

Ezért azt mondják nekünk, hogy „koszinusz = ellenkező oldal / hipotenusz”. Az egész az érdeklődés felkeltéséről szól! A legjobb, ha a szinust úgy határozzuk meg, mint „az aktuális magasság százalékos aránya a lehetséges maximumhoz képest”. (A szinusz negatívvá válik, ha a szög a „föld alá” mutat. A koszinusz negatív lesz, ha a szög a mögötted lévő kupolapont felé mutat.)

Egyszerűsítsük a számításokat, feltételezve, hogy az egységkör középpontjában vagyunk (sugár = 1). Kihagyhatjuk az osztást, és csak a magassággal egyenlő szinust vehetjük fel.

Minden kör lényegében egyetlen kör, a kívánt méretre felfelé vagy lefelé méretezve. Tehát határozza meg az egységkör kapcsolatokat, és alkalmazza az eredményeket az adott körméretre.

Kísérlet: vegye ki bármelyik sarkot, és nézze meg, hogy a magasság és a szélesség hány százaléka jelenik meg:

A szinuszérték növekedésének grafikonja nem csak egy egyenes. Az első 45 fok a magasság 70%-át fedi le, de az utolsó 10 fok (80°-tól 90°-ig) csak 2%-át.

Így egyértelműbb lesz számodra: ha körben sétálsz, 0°-nál szinte függőlegesen emelkedsz, de ahogy közeledsz a kupola tetejéhez, egyre kevésbé változik a magasság.

Érintő és szekáns. Fal

Egy nap a szomszéd falat épített közvetlenül egymás mellett a kupolájához. Sírta a kilátást az ablakból és jó áron eladó!

De lehet-e valahogy nyerni ebben a helyzetben?

Természetesen igen. Mi lenne, ha a szomszédunk falára akasztanánk egy filmvásznat? Megcélozza a szöget (x), és megkapja:

• tan(x) = tan(x) = képernyő magassága a falon
• távolság tőled a falig: 1 (ez a kupola sugara, a fal nem mozdul tőled sehova, igaz?)
• secant(x) = sec(x) = „létra hossza” a kupola közepétől a felfüggesztett képernyő tetejéig

Tisztázzunk néhány pontot az érintővel vagy a képernyő magasságával kapcsolatban.

• 0-val kezdődik, és végtelenül magasra mehet. A képernyőt egyre magasabbra feszítheti a falon, hogy végtelen vásznat készítsen kedvenc filmjének nézéséhez! (Egy ilyen hatalmasért persze sok pénzt kell kiadni).
• az érintő csak a szinusz felnagyított változata! És bár a szinusz növekedése lelassul, ahogy a kupola teteje felé haladsz, az érintő tovább növekszik!

A Sekansunak is van mivel dicsekednie:

• A szekáns 1-nél kezdődik (a létra a padlón van, tőled a falig), és onnan kezd emelkedni
• A szekáns mindig hosszabb, mint az érintő. A képernyő felakasztásához használt ferde létrának hosszabbnak kell lennie, mint maga a képernyő, igaz? (Az irreális méreteknél, amikor a képernyő tök hosszú, és a létrát szinte függőlegesen kell elhelyezni, akkor a méretük majdnem megegyezik. De akkor is kicsit hosszabb lesz a szekáns).

Ne feledje, az értékek azok százalék. Ha úgy dönt, hogy a képernyőt 50 fokos szögben függeszti fel, tan(50)=1,19. A képernyő 19%-kal nagyobb, mint a faltól való távolság (a kupola sugara).

(Írja be az x=0 értéket, és ellenőrizze a megérzéseit – tan(0) = 0 és sec(0) = 1.)

Kotangens és koszekáns. Mennyezet

Hihetetlen, hogy a szomszédja most úgy döntött, hogy tetőt épít a kupolájára. (Mi van vele? Nyilván nem akarja, hogy kémkedj utána, miközben meztelenül mászkál az udvaron...)

Nos, ideje kijáratot építeni a tetőre, és beszélni a szomszéddal. Kiválaszthatja a dőlésszöget, és elkezdheti az építkezést:

• a tetőkivezetés és a padló közötti függőleges távolság mindig 1 (a kupola sugara)
• kotangens(x) = cot(x) = távolság a kupola teteje és a kilépési pont között
• koszekáns(x) = csc(x) = a tetőhöz vezető út hossza

Az érintő és a szekáns a falat, a COtangens és a COsecans pedig a mennyezetet írja le.

Intuitív következtetéseink ezúttal hasonlóak az előzőekhez:

• Ha a 0°-os szöget veszi, a tetőre való kilépés örökké tart, mivel soha nem éri el a mennyezetet. Probléma.
• A legrövidebb „létra” a tetőhöz akkor érhető el, ha a padlóhoz képest 90 fokos szögben építi fel. A kotangens 0 lesz (egyáltalán nem haladunk a tető mentén, szigorúan merőlegesen lépünk ki), a koszekáns pedig 1 lesz (a „létra hossza” minimális lesz).

Képzeld el a kapcsolatokat

Ha mindhárom tokot kupola-fal-mennyezet kombinációban rajzoljuk meg, az eredmény a következő lesz:

Nos, ez még mindig ugyanaz a háromszög, megnövelve, hogy elérje a falat és a mennyezetet. Vannak függőleges oldalaink (szinusz, érintő), vízszintes oldalaink (koszinusz, kotangens) és „hipoténuszaink” (szekáns, koszekáns). (A nyilakon láthatod, hogy az egyes elemek hova érnek. A koszekáns az Öntől a tetőig terjedő teljes távolság).

Egy kis varázslat. Minden háromszög azonos egyenlőséggel rendelkezik:

A Pitagorasz-tételből (a 2 + b 2 = c 2) láthatjuk, hogy az egyes háromszögek oldalai hogyan kapcsolódnak egymáshoz. Ezenkívül a „magasság/szélesség” aránynak is azonosnak kell lennie minden háromszögnél. (Egyszerűen lépj át a legnagyobb háromszögről a kisebbre. Igen, változott a méret, de az oldalak aránya változatlan marad).

Ha tudjuk, hogy az egyes háromszögek melyik oldala egyenlő 1-gyel (a kupola sugara), könnyen kiszámíthatjuk, hogy „sin/cos = tan/1”.

Mindig igyekeztem egyszerű vizualizációval emlékezni ezekre a tényekre. A képen jól látja ezeket a függőségeket, és megérti, honnan származnak. Ez a technika sokkal jobb, mint a száraz képletek memorizálása.

Ne feledkezzünk meg a többi szögről sem

Psst... Ne ragadj le egy grafikonon, és azt gondold, hogy az érintő mindig kisebb, mint 1. Ha növeled a szöget, akkor elérheted a mennyezetet anélkül, hogy elérnéd a falat:

A Pitagorasz kapcsolatok mindig működnek, de a relatív méretek változhatnak.

(Lehet, hogy észrevette, hogy a szinusz és koszinusz arány mindig a legkisebb, mert a kupola belsejében vannak).

Összefoglalva: mire kell emlékeznünk?

A legtöbbünknek azt mondanám, hogy ez elég lesz:

• A trigonometria elmagyarázza a matematikai objektumok, például körök és ismétlődő intervallumok anatómiáját
• A kupola/fal/tető analógia a különböző trigonometrikus függvények közötti kapcsolatot mutatja
• A trigonometrikus függvények százalékos értékeket adnak, amelyeket a forgatókönyvünkre alkalmazunk.

Nem kell megjegyeznie az olyan képleteket, mint az 1 2 + kiságy 2 = csc 2 . Csak olyan ostoba tesztekre alkalmasak, amelyekben egy tény ismeretét úgy adják át, mint annak megértését. Szánjon rá egy percet, hogy rajzoljon egy félkört kupola, fal és tető formájában, címkézze fel az elemeket, és az összes képlet papíron megjelenik.

Alkalmazás: Inverz függvények

Bármely trigonometrikus függvény egy szöget vesz fel bemeneti paraméterként, és az eredményt százalékban adja vissza. sin(30) = 0,5. Ez azt jelenti, hogy a 30 fokos szög a maximális magasság 50%-át foglalja el.

Az inverz trigonometrikus függvényt sin -1 vagy arcsinként írjuk fel. Az Asin-t gyakran különféle programozási nyelveken írják.

Ha a magasságunk a kupola magasságának 25%-a, mekkora a szögünk?

Az aránytáblázatunkban találhat egy arányt, ahol a szekáns el van osztva 1-gyel. Például a szekáns 1-gyel (hipoténusz a vízszinteshez képest) egyenlő lesz 1-gyel osztva a koszinusszal:

Tegyük fel, hogy a szekánsunk 3,5, azaz. Az egységkör sugarának 350%-a. A falhoz viszonyított mekkora dőlésszögnek felel meg ez az érték?

Függelék: Néhány példa

Példa: Keresse meg az x szög szinuszát.

Unalmas feladat. Bonyolítsuk a banális „keresd meg a szinust” a következőre: „Mekkora a magasság a maximum százalékában (hipoténusz)?”

Először is figyelje meg, hogy a háromszög el van forgatva. Nincs ezzel semmi baj. A háromszögnek magassága is van, az ábrán zöld színnel jelöljük.

Mivel egyenlő a hipotenusz? A Pitagorasz-tétel szerint tudjuk, hogy:

3 2 + 4 2 = 2. hipotenúza 25 = 2. hipotenusz 5 = hipotenusz

Bírság! A szinusz a háromszög leghosszabb oldalának vagy hipotenuszának a magasságának százalékos aránya. Példánkban a szinusz 3/5 vagy 0,60.

Természetesen többféle úton járhatunk. Most már tudjuk, hogy a szinusz 0,60, egyszerűen megkereshetjük az arcszinust:

Asin(0,6)=36,9

Itt van egy másik megközelítés. Figyeljük meg, hogy a háromszög „a fal felé néz”, tehát a szinusz helyett az érintőt használhatjuk. A magasság 3, a faltól való távolság 4, tehát az érintő ¾ vagy 75%. Az arctangens segítségével százalékos értékről visszaléphetünk egy szögbe:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Példa: úszni fogsz a partra?

Ön egy csónakban ül, és van elég üzemanyaga 2 km megtételéhez. Jelenleg 0,25 km-re van a parttól. Maximum mekkora szögben lehet hozzá úszni a parthoz képest, hogy legyen elég üzemanyagod? Kiegészítés a problémafelvetéshez: csak az ív koszinusz értékek táblázata van.

Amink van? Híres háromszögünkben a partvonal „falként” ábrázolható, a falhoz rögzített „létra hossza” pedig a hajóval megtehető maximális távolság a parttól (2 km). Megjelenik egy szekáns.

Először is a százalékokra kell lépnie. Nálunk 2 / 0,25 = 8, vagyis a part (vagy a fal) egyenes távolság 8-szorosát úszhatjuk meg.

Felmerül a kérdés: "Mi a 8 szekánsa?" De nem tudunk rá válaszolni, hiszen csak ív koszinuszaink vannak.

Korábban levezetett függőségeinket használjuk, hogy a szekánst a koszinuszhoz kapcsoljuk: „sec/1 = 1/cos”

A 8 szekánsa egyenlő ⅛ koszinuszával. Egy szög, amelynek koszinusza ⅛, egyenlő acos(1/8) = 82,8. És ez a legnagyobb szög, amit megengedhetünk magunknak egy hajón a megadott mennyiségű üzemanyaggal.

Nem rossz, igaz? A kupola-fal-mennyezet hasonlat nélkül eltévedtem volna egy rakás képletben és számításban. A probléma vizualizálása nagyban leegyszerűsíti a megoldás keresését, és az is érdekes, hogy végül melyik trigonometrikus függvény segít.

Minden egyes probléma esetében gondolja át a következőt: A kupola (sin/cos), a fal (tan/sec) vagy a mennyezet (kiságy/csc) érdekel?

És a trigonometria sokkal élvezetesebb lesz. Egyszerű számítások az Ön számára!

Utasítás

Ha meg kell találnia a koszinuszát szög tetszőleges háromszögben a koszinusz tételt kell használni:
ha a szög hegyes: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
ha szög: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), ahol a, b a sarokkal szomszédos oldalak hossza, c a sarokkal szemközti oldal hossza.

Hasznos tanács

A koszinusz matematikai jelölése cos.
A koszinusz érték nem lehet nagyobb 1-nél és kisebb, mint -1.

Források:

• hogyan kell kiszámítani egy szög koszinuszát
• Trigonometrikus függvények az egységkörön

Koszinusz a szög alapvető trigonometrikus függvénye. A koszinusz meghatározásának képessége hasznos a vektoralgebrában, amikor a vektorok különböző tengelyekre vetítését határozzák meg.

Utasítás

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Van egy háromszög, amelynek a, b, c oldalai rendre 3, 4, 5 mm.

megtalálja koszinusz a nagyobb oldalak közötti szög.

Jelöljük az a oldallal ellentétes szöget ?-vel, akkor a fenti képlet szerint kapunk:

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Válasz: 0.8.

Ha a háromszög derékszögű, akkor keresse meg koszinuszés egy szöghez elegendő bármely két oldal hosszának ismerete ( koszinusz derékszög 0).

Legyen egy a, b, c oldalú derékszögű háromszög, ahol c a befogó.

Nézzük meg az összes lehetőséget:

Határozzuk meg a cos?-t, ha a háromszög a és b oldalainak hossza ismert

Ezenkívül használjuk a Pitagorasz-tételt:

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Annak érdekében, hogy a kapott képlet helyes legyen, behelyettesítjük az 1. példából, pl.

Néhány alapvető számítás elvégzése után a következőket kapjuk:

Hasonlóan találtak koszinusz téglalapban háromszög egyéb esetekben:

Adott a és c (hipoténusz és ellentétes oldal), keresse meg a cos?

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

A példában szereplő a=3 és c=5 értékeket behelyettesítve a következőt kapjuk:

Ismert b és c (hipoténusz és szomszédos láb).

Cos-t találni?

Ha hasonló átalakításokat végeztünk (lásd a 2. és 3. példát), ebben az esetben ezt kapjuk koszinusz V háromszög egy nagyon egyszerű képlettel számítjuk ki:

A levezetett képlet egyszerűsége egyszerűen magyarázható: valójában a sarokkal szomszédos? a láb a hypotenus egy vetülete, hossza megegyezik a hypotenus hosszával szorozva cos?-val.

Az első példában szereplő b=4 és c=5 értékeket behelyettesítve a következőket kapjuk:

Ez azt jelenti, hogy minden képletünk helyes.

5. tipp: Hogyan találhatunk hegyesszöget egy derékszögű háromszögben

Közvetlenül szénsavas a háromszög történelmi szempontból valószínűleg az egyik leghíresebb geometriai alakzat. A pitagoraszi „nadrágok” csak az „Eurekával” versenyezhetnek! Archimedes.

Szükséged lesz

• - háromszög rajza;
• - vonalzó;
• - szögmérő

Utasítás

Egy háromszög szögeinek összege 180 fok. Téglalapban háromszög az egyik szög (egyenes) mindig 90 fokos lesz, a többi pedig hegyes, pl. egyenként 90 foknál kisebb. Annak meghatározása, hogy mekkora szög van egy téglalapban háromszög egyenes, vonalzóval mérje meg a háromszög oldalait, és határozza meg a legnagyobbat. Ez a hipotenusz (AB), és a derékszöggel (C) szemben helyezkedik el. A fennmaradó két oldal derékszöget és lábakat (AC, BC) alkot.

Miután meghatározta, melyik szög hegyes, használhat szögmérőt a szög matematikai képletek segítségével történő kiszámításához.

A szög szögmérő segítségével történő meghatározásához igazítsa a tetejét (jelöljük az A betűvel) a szögmérő lábának közepén lévő vonalzón található speciális jelöléssel, hogy AC egybeessen a felső élével. Jelölje meg a szögmérő félkör alakú részén azt a pontot, amelyen keresztül az AB hipotenusz. Az ezen a ponton lévő érték a fokban megadott szögnek felel meg. Ha 2 érték van feltüntetve a szögmérőn, akkor hegyesszögnél a kisebbet, a tompaszögnél a nagyobbat kell választani.

Keresse meg a kapott értéket a Bradis referenciakönyvekben, és határozza meg, hogy a kapott számérték melyik szögnek felel meg. Nagyanyáink ezt a módszert alkalmazták.

A miénkben elég a trigonometrikus képletek kiszámításának függvényét venni. Például a beépített Windows számológép. Indítsa el a "Számológép" alkalmazást, a "Nézet" menüpontban válassza a "Műszaki" lehetőséget. Számítsa ki a kívánt szög szinuszát, például sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Kapcsolja át a számológépet inverz funkciós üzemmódba az INV gomb megnyomásával a számológép kijelzőjén, majd kattintson az arcszinusz funkciógombra (a kijelzőn a sin mínusz az első hatvány jelenik meg). A következő üzenet jelenik meg a számítási ablakban: asind (0,5) = 30. Azaz. a kívánt szög értéke 30 fok.

Források:

• Bradis asztalok (szinusz, koszinusz)

A koszinusztételt a matematikában leggyakrabban akkor használják, ha meg kell találni egy szög harmadik oldalát és két oldalát. Néha azonban a probléma feltétele fordítva van beállítva: meg kell találni egy szöget adott három oldallal.

Utasítás

Képzeld el, hogy kapsz egy háromszöget, amelyben ismert a két oldal hossza és egy szög értéke. Ennek a háromszögnek az összes szöge nem egyenlő egymással, és az oldalai is eltérő méretűek. A γ szög az AB-vel jelölt háromszög oldalával szemben helyezkedik el, ez az ábra. Ezen a szögön, valamint a fennmaradó AC és BC oldalakon keresztül a koszinusztétel segítségével megtalálhatja a háromszög ismeretlen oldalát, amelyből az alábbi képletet vezeti le:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, ahol a=BC, b=AB, c=AC
A koszinusztételt egyébként általánosított Pitagorasz-tételnek nevezik.

Most képzeljük el, hogy az ábra mindhárom oldala adott, de a γ szöge ismeretlen. Tudva, hogy az a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ alak, alakítsa át ezt a kifejezést úgy, hogy a kívánt érték a γ szög legyen: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Ezután tegye a fenti egyenletet egy kicsit más formába: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Ezt a kifejezést ezután a következőre kell konvertálni: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Már csak a számokat kell behelyettesíteni a képletbe, és elvégezni a számításokat.

A γ-val jelölt koszinusz megtalálásához a trigonometria inverzével kell kifejezni, amelyet ív koszinusznak neveznek. Az m szám ív koszinusza annak a γ szögnek az értéke, amelynél a γ szög koszinusza egyenlő m-rel. Az y=arccos m függvény csökkenőben van. Képzeljük el például, hogy a γ szög koszinusza egyenlő felével. Ekkor a γ szög az ív koszinuszon keresztül a következőképpen definiálható:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, ahol m = 1/2.
Hasonló módon megkeresheti a háromszög fennmaradó szögeit a másik két ismeretlen oldalával.

A szinusz és a koszinusz két trigonometrikus függvény, amelyeket "közvetlennek" neveznek. Ezeket gyakrabban kell számolni, mint másokat, és ennek a problémának a megoldására ma mindannyiunknak jelentős választási lehetőségei vannak. Az alábbiakban bemutatjuk a legegyszerűbb módszereket.

Utasítás

Használjon szögmérőt, ceruzát és egy darab papírt, ha más számítási mód nem áll rendelkezésre. A koszinusz egyik definíciója egy derékszögű háromszög hegyesszögeiben van megadva - ez egyenlő az ezzel a szöggel ellentétes láb hosszúságának és a hossznak az arányával. Rajzolj egy háromszöget, amelyben az egyik szög derékszögű (90°), a másik pedig a kiszámítani kívánt szög. Az oldalak hossza nem számít – úgy rajzolja meg őket, ahogyan Önnek kényelmesebb a mérés. Mérje meg a kívánt láb és a hypotenus hosszát, és ossza el az elsőt a másodikkal bármilyen kényelmes módon.

Használja ki a trigonometrikus függvények előnyeit a Nigma keresőbe épített számológép segítségével, ha rendelkezik internet-hozzáféréssel. Például, ha ki kell számítania a 20°-os szög koszinuszát, akkor a http://nigma.ru szolgáltatás főoldalának betöltése után írja be a „20 koszinusz” kifejezést a keresőmezőbe, és kattintson a „Keresés! ” gombot. Kihagyhatja a „fok” szót, és a „koszinusz” szót cos-ra cserélheti – a kereső mindenesetre 15 tizedesjegy pontossággal mutatja az eredményt (0,939692620785908).

Nyissa meg a Windows operációs rendszerrel telepített szabványos programot, ha nem rendelkezik internet-hozzáféréssel. Ezt például úgy teheti meg, hogy egyszerre nyomja meg a win és az r billentyűket, majd írja be a calc parancsot, és kattintson az OK gombra. A trigonometrikus függvények kiszámításához itt található egy „mérnöki” vagy „tudományos” interfész (az operációs rendszer verziójától függően) - válassza ki a kívánt elemet a számológép menü „Nézet” szakaszában. Ezután adja meg a szögértéket, és kattintson a program felületén a cos gombra.

Videó a témáról

8. tipp: Hogyan határozzuk meg a szögeket egy derékszögű háromszögben

A négyszögletet bizonyos kapcsolatok jellemzik a sarkok és az oldalak között. Némelyik értékének ismeretében másokat is kiszámíthat. Erre a célra képleteket használnak, amelyek viszont a geometria axiómáin és tételein alapulnak.

lecke a „Derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza, koszinusza és érintője” témában

Az óra céljai:

oktatási - ismertesse meg a derékszögű háromszögben a szinusz, koszinusz, hegyesszög érintő fogalmát, tárja fel e mennyiségek függőségeit és összefüggéseit;

fejlesztése - a szinusz, koszinusz, érintő fogalmának kialakítása, mint szögfüggvények, a trigonometrikus függvények meghatározásának tartománya, a logikus gondolkodás fejlesztése, a helyes matematikai beszéd fejlesztése;

nevelés – az önálló munkavégzés képességeinek fejlesztése, magatartáskultúra, a nyilvántartás pontossága.

Az óra előrehaladása:

1. Szervezési mozzanat

„Az oktatás nem a leckék száma, hanem a megértett órák száma. Szóval, ha előre akarsz menni, akkor lassan siess és légy óvatos."

2. Óramotiváció.

Egy bölcs azt mondta: „A szellem legmagasabb megnyilvánulása az elme. Az értelem legmagasabb megnyilvánulása a geometria. A geometriai cella egy háromszög. Olyan kimeríthetetlen, mint az Univerzum. A kör a geometria lelke. Ismerd meg a kört, és nem csak a geometria lelkét ismered meg, hanem felemeled a lelkedet is."

Megpróbálunk egy kis kutatást végezni veled együtt. Oszd meg ötleteidet, amelyek eszedbe jutnak, és ne félj hibázni, minden gondolat új irányt adhat a kereséshez. Lehet, hogy valakinek nem tűnik nagynak az elért eredményeink, de ezek a saját eredményeink lesznek!

3. Alapismeretek felfrissítése.

Milyen szögek lehetnek?

Mik azok a háromszögek?

Melyek a háromszöget meghatározó fő elemek?

Milyen típusú háromszögek léteznek az oldalaktól függően?

Milyen típusú háromszögek léteznek a szögek függvényében?

Mi az a láb?

Mi az a hipotenusz?

Hogy hívják egy derékszögű háromszög oldalait?

Milyen összefüggéseket ismer ennek a háromszögnek az oldalai és szögei között?

Miért kell ismerni az oldalak és a szögek közötti összefüggéseket?

Milyen problémák vezethetnek az életben ahhoz, hogy ki kell számítani egy háromszög ismeretlen oldalait?

A „hipoténusz” kifejezés a görög „hyponeinouse” szóból származik, ami „valami felett nyújtózkodik”, „összehúzódik”. A szó az ókori görög hárfák képéből ered, amelyeken a húrok két egymásra merőleges állvány végén vannak feszítve. A "cathetus" kifejezés a görög "kathetos" szóból származik, ami "egy függővonal" kezdetét jelenti, "merőleges".

Eukleidész azt mondta: "A lábak azok az oldalak, amelyek derékszöget zárnak be."

Az ókori Görögországban már ismert volt egy módszer a derékszögű háromszög felépítésére a talajon. Ehhez egy kötelet használtak, amelyre 13 csomót kötöttek, egymástól azonos távolságra. Az egyiptomi piramisok építése során derékszögű háromszögeket készítettek így. Valószínűleg ezért nevezték el egy 3,4,5 oldalú derékszögű háromszöget egyiptomi háromszögnek.

4. Új anyag tanulmányozása.

Az ókorban az emberek figyelték a csillagokat, és e megfigyelések alapján naptárt vezettek, kiszámították a vetési dátumokat és a folyók áradásainak idejét; hajók a tengeren és karavánok a szárazföldön a csillagok mentén navigálták útjukat. Mindez ahhoz vezetett, hogy meg kellett tanulni, hogyan kell kiszámítani egy háromszög oldalait, amelynek két csúcsa a földön van, a harmadikat pedig egy pont a csillagos égbolton képviseli. Ezen igény alapján jött létre a trigonometria tudománya - egy olyan tudomány, amely a háromszög oldalai közötti kapcsolatokat vizsgálja.

Ön szerint a már ismert kapcsolatok elegendőek az ilyen problémák megoldásához?

A mai óra célja új összefüggések és függőségek feltárása, összefüggések levezetése, melyek felhasználásával a következő geometria órán ilyen jellegű problémákat tud majd megoldani.

Érezzük magunkat a tudósok szerepében, és az ősi zsenik, Thalész, Euklidész, Pythagoras nyomán az igazság keresésének útját járjuk.

Ehhez elméleti alapokra van szükségünk.

Jelölje ki pirossal az A szöget és a BC lábat.

Jelölje ki az AC lábát zölddel.

Számítsuk ki, hogy az A hegyesszögnek mekkora része a befogójával, ehhez állítsuk össze a szemközti oldal és az alsó oldal arányát:

Ennek az aránynak különleges neve van - így a bolygó minden pontján minden ember megérti, hogy olyan számról beszélünk, amely egy hegyesszög ellentétes oldalának és a hipotenuzusnak az arányát jelenti. Ez a szó szinusz. Írd le. Mivel a szinusz szó a szög neve nélkül minden jelentését elveszti, a matematikai jelölés a következő:

Most állítsa össze a szomszédos láb és a hipotenusz arányát az A hegyesszöghöz:

Ezt az arányt koszinusznak nevezzük. Matematikai jelölése:

Nézzünk egy másik arányt egy A hegyesszögre: a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya:

Ezt az arányt érintőnek nevezzük. Matematikai jelölése:

5. Új anyag konszolidációja.

Konszolidáljuk köztes felfedezéseinket.

Sine az...

A koszinusz...

Az érintő az...

sin A =	bűn RÓL RŐL =	bűn A 1 =
cos A =	kötözősaláta RÓL RŐL =	mivel A 1 =
tan A =	tg RÓL RŐL =	tan A 1 =

88., 889., 892. sz. szóban megoldani (párban dolgozni).

A megszerzett ismeretek felhasználása gyakorlati probléma megoldására:

„A 70 m magas világítótoronyból a horizonthoz képest 3°-os szögben egy hajó látható. Milyen érzés

távolság a világítótoronytól a hajóig?

A probléma frontálisan megoldódik. A beszélgetés során a táblára és a füzetekbe rajzot és a szükséges jegyzeteket készítünk.

A probléma megoldásához Bradis táblákat használunk.

Tekintsük a 175. probléma megoldását.

902. (1) sz. megoldani.

6. Gyakorlat a szemnek.

Anélkül, hogy elfordítaná a fejét, nézzen körül a tanterem falán az óramutató járásával megegyezően, a táblán az óramutató járásával ellentétes irányban, az állványon ábrázolt háromszöget az óramutató járásával ellentétes irányban, az azonos háromszöget pedig az óramutató járásával ellentétes irányban. Fordítsa el a fejét balra, és nézze meg a horizont vonalát, és most az orr hegyét. Csukd be a szemed, számolj 5-ig, nyisd ki a szemed és...

A szemünkre tesszük a tenyerünket,
Nyújtsuk szét erős lábunkat.
Jobbra fordulva
Nézzünk körül fenségesen.
És neked is balra kell menned
Nézz a tenyered alól.
És - jobbra! És tovább
A bal vállad fölött!
Most pedig folytassuk a munkát.

7. A tanulók önálló munkája.

Oldja meg a sz.

8. Óra összefoglalója. Visszaverődés. D/z.

Milyen új dolgokat tanultál? A leckében:

megfontoltad-e...

elemezted...

Megkaptad …

arra a következtetésre jutottál...

a következő kifejezésekkel bővítette szókincsét...

A világtudomány a geometriával kezdődött. Az ember nem fejlődhet igazán kulturálisan és szellemileg, ha nem tanult geometriát az iskolában. A geometria nemcsak gyakorlati, hanem lelki szükségleteiből is fakadt.

Így magyarázta költőien a geometria iránti szeretetét

Imádom a geometriát...

Geometriát tanítok, mert szeretem

Szükségünk van geometriára, enélkül nem jutunk el sehova.

Szinusz, koszinusz, kerület - itt minden fontos,

Itt mindenre szükség van

Csak mindent nagyon világosan meg kell tanulnod és értened,

Végezze el a feladatokat és a teszteket időben.