ระดับกลาง

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม. ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง (2019)

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมและคุณสมบัติของมัน

คุณรู้ไหมว่าจุดกึ่งกลางของกลุ่มคืออะไร? แน่นอนคุณทำ แล้วศูนย์กลางของวงกลมล่ะ? เดียวกัน. จุดกึ่งกลางของมุมคืออะไร? คุณสามารถพูดได้ว่าสิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น แต่เหตุใดจึงสามารถแบ่งส่วนออกเป็นสองส่วนได้ แต่มุมไม่สามารถแบ่งได้ มันค่อนข้างเป็นไปได้ - แค่ไม่ใช่จุด แต่…. เส้น.

คุณจำเรื่องตลกได้ไหม: แบ่งครึ่งคือหนูที่วิ่งไปรอบ ๆ มุมและแบ่งครึ่งมุม ดังนั้นคำจำกัดความที่แท้จริงของเส้นแบ่งครึ่งจึงคล้ายกับเรื่องตลกนี้มาก:

เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยม- นี่คือส่วนของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมที่เชื่อมต่อจุดยอดของมุมนี้กับจุดที่อยู่ด้านตรงข้าม

กาลครั้งหนึ่งนักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์โบราณได้ค้นพบคุณสมบัติที่น่าสนใจมากมายของเส้นแบ่งครึ่ง ความรู้นี้ทำให้ชีวิตของผู้คนง่ายขึ้นมาก การสร้าง นับระยะทาง หรือแม้แต่ปรับการยิงปืนใหญ่กลายเป็นเรื่องง่ายขึ้น... ความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติเหล่านี้จะช่วยให้เราแก้ปัญหา GIA และงาน Unified State Examination ได้!

ความรู้แรกที่จะช่วยในเรื่องนี้คือ เส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ยังไงก็ตาม คุณจำคำศัพท์เหล่านี้ทั้งหมดได้ไหม? คุณจำได้ไหมว่าพวกเขาแตกต่างกันอย่างไร? เลขที่? ไม่น่ากลัว. ลองคิดดูตอนนี้

ดังนั้น, ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว- นี่คือด้านที่ไม่เท่ากับด้านอื่น ดูจากภาพแล้วคุณคิดว่าเป็นฝ่ายไหน? ถูกต้อง - นี่คือด้านข้าง

ค่ามัธยฐานคือเส้นที่ลากจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมและแบ่งด้านตรงข้าม (เหมือนเดิม) ออกเป็นครึ่งหนึ่ง

สังเกตว่าเราไม่ได้พูดว่า "ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว" คุณรู้ไหมว่าทำไม? เพราะค่ามัธยฐานที่ลากจากจุดยอดของสามเหลี่ยมจะตัดด้านตรงข้ามของสามเหลี่ยมใดๆ

ความสูงคือเส้นที่ลากจากด้านบนและตั้งฉากกับฐาน คุณสังเกตเห็นไหม? เรากำลังพูดถึงสามเหลี่ยมใดๆ อีกครั้ง ไม่ใช่แค่หน้าจั่ว ความสูงของสามเหลี่ยมใดๆ จะตั้งฉากกับฐานเสมอ

แล้วคุณคิดออกหรือยัง? เกือบแล้ว เพื่อให้เข้าใจดีขึ้นและจดจำตลอดไปว่าเส้นแบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน และส่วนสูงคืออะไร คุณต้องเปรียบเทียบกันและเข้าใจว่าพวกมันคล้ายกันอย่างไรและต่างกันอย่างไร ในขณะเดียวกัน เพื่อให้จดจำได้ดีขึ้น ควรอธิบายทุกสิ่งด้วย "ภาษามนุษย์" จะดีกว่า จากนั้นคุณจะใช้งานภาษาคณิตศาสตร์ได้อย่างง่ายดาย แต่ในตอนแรกคุณไม่เข้าใจภาษานี้และคุณต้องเข้าใจทุกสิ่งในภาษาของคุณเอง

แล้วมันคล้ายกันยังไงล่ะ? เส้นแบ่งครึ่ง ค่ามัธยฐาน และระดับความสูง - พวกมันทั้งหมด "ออกมา" จากจุดยอดของสามเหลี่ยมและพักอยู่ฝั่งตรงข้ามและ "ทำอะไรบางอย่าง" ไม่ว่าจะด้วยมุมที่พวกมันออกมาหรือกับด้านตรงข้าม ฉันคิดว่ามันง่ายใช่มั้ย?

พวกเขาแตกต่างกันอย่างไร?

• เส้นแบ่งครึ่งจะแบ่งมุมที่มันโผล่ออกมาครึ่งหนึ่ง
• ค่ามัธยฐานแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นสองส่วน
• ความสูงจะตั้งฉากกับด้านตรงข้ามเสมอ

ตอนนี้ก็แค่นั้น มันง่ายที่จะเข้าใจ และเมื่อเข้าใจแล้วก็จะจำได้

ตอนนี้คำถามต่อไป เหตุใดในกรณีของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เส้นแบ่งครึ่งจึงมีทั้งค่ามัธยฐานและระดับความสูง?

คุณสามารถดูรูปนั้นและตรวจดูให้แน่ใจว่าค่ามัธยฐานแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขนาดเท่ากันทุกประการ แค่นั้นแหละ! แต่นักคณิตศาสตร์ไม่ชอบที่จะเชื่อสายตาตัวเอง พวกเขาจำเป็นต้องพิสูจน์ทุกอย่าง คำว่าน่ากลัว? ไม่มีอะไรแบบนั้น - มันง่าย! ดูสิ: ทั้งสองมีด้านเท่ากัน และโดยทั่วไปมีด้านเหมือนกันและ (- เส้นแบ่งครึ่ง!) ปรากฎว่าสามเหลี่ยมสองรูปมีด้านเท่ากันสองด้านและมีมุมระหว่างสามเหลี่ยมเหล่านั้น เราจำสัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมได้ (หากจำไม่ได้ ดูในหัวข้อ) และสรุปได้ว่า ดังนั้น = และ

ถือว่าดีอยู่แล้ว - หมายความว่ากลายเป็นค่ามัธยฐาน

แต่มันคืออะไร?

มาดูรูปกันดีกว่า - . และเราก็เข้าใจแล้ว เช่นกัน! สุดท้ายนี้ ไชโย! และ.

คุณพบว่าหลักฐานนี้หนักไปหน่อยหรือไม่? ดูภาพ - สามเหลี่ยมสองอันที่เหมือนกันพูดเพื่อตัวมันเอง

ไม่ว่าในกรณีใด โปรดจำไว้อย่างมั่นคง:

ตอนนี้มันยากขึ้น: เราจะนับ มุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งของสามเหลี่ยมใดๆ !อย่ากลัวเลย มันไม่ได้ยุ่งยากขนาดนั้น ดูภาพ:

มานับกัน คุณจำได้ไหมว่า ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ?

ลองใช้ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งนี้มาใช้

ในด้านหนึ่งจาก:

นั่นก็คือ

ตอนนี้เรามาดูที่:

แต่แบ่งครึ่งแบ่งครึ่ง!

มาจำเกี่ยวกับ:

ตอนนี้ผ่านตัวอักษร

\มุม AOC=90()^\circ +\frac(\มุม B)(2)

มันไม่น่าแปลกใจเหรอ? มันกลับกลายเป็นว่า มุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งของสองมุมจะขึ้นอยู่กับมุมที่สามเท่านั้น!

เราดูที่เส้นแบ่งครึ่งสองตัว แล้วถ้ามีสามคนล่ะ??!! พวกมันทั้งหมดจะตัดกันที่จุดเดียวหรือเปล่า?

หรือมันจะเป็นเช่นนี้?

คุณคิดอย่างไร? นักคณิตศาสตร์จึงคิดและคิดและพิสูจน์:

ไม่ดีเหรอ?

คุณต้องการที่จะรู้ว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น?

ดังนั้น...สามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน: และ พวกเขามี:

• ด้านตรงข้ามมุมฉากทั่วไป
• (เพราะมันเป็นเส้นแบ่งครึ่ง!)

ซึ่งหมายความว่า - ตามมุมและด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นขาที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้จึงเท่ากัน! นั่นก็คือ

เราพิสูจน์ว่าจุดนั้นอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน (หรือเท่ากัน) จุดที่ 1 จัดการแล้ว ตอนนี้เรามาดูจุดที่ 2 กันดีกว่า

ทำไม 2 ถึงเป็นจริง?

และมาเชื่อมต่อจุดและ

ซึ่งหมายความว่ามันอยู่บนเส้นแบ่งครึ่ง!

แค่นั้นแหละ!

ทั้งหมดนี้สามารถนำมาใช้ในการแก้ปัญหาได้อย่างไร? ตัวอย่างเช่น ในปัญหา มักมีวลีต่อไปนี้: “วงกลมแตะด้านของมุม...” คุณต้องหาอะไรบางอย่าง

แล้วคุณจะตระหนักได้อย่างรวดเร็วว่า

และคุณสามารถใช้ความเท่าเทียมกันได้

3. เส้นแบ่งครึ่งสามเส้นในสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง

จากคุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งให้เป็นตำแหน่งของจุดที่มีระยะห่างเท่ากันจากด้านข้างของมุม ข้อความต่อไปนี้:

มันจะออกมาได้อย่างไร? แต่ดูสิ เส้นแบ่งครึ่งสองตัวจะตัดกันอย่างแน่นอนใช่ไหม?

และเส้นแบ่งครึ่งที่สามอาจเป็นดังนี้:

แต่ในความเป็นจริงแล้ว ทุกอย่างดีขึ้นมาก!

ลองดูจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งสองตัว ลองเรียกมันว่า

เราใช้อะไรที่นี่ทั้งสองครั้ง? ใช่ จุดที่ 1, แน่นอน! หากจุดอยู่บนเส้นแบ่งครึ่ง จุดนั้นก็จะอยู่ห่างจากด้านข้างของมุมเท่ากัน

และมันก็เกิดขึ้น

แต่จงดูความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้ให้ดี! ท้ายที่สุดแล้ว มันตามมาจากพวกเขา และด้วยเหตุนี้ .

และตอนนี้มันจะเข้ามามีบทบาท จุดที่ 2: ถ้าระยะทางด้านข้างของมุมเท่ากัน จุดจะอยู่ที่เส้นแบ่งครึ่ง...มุมอะไร? ดูภาพอีกครั้ง:

และเป็นระยะทางถึงด้านข้างของมุม และพวกมันเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าจุดอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม เส้นแบ่งครึ่งที่สามผ่านจุดเดียวกัน! เส้นแบ่งครึ่งทั้งสามตัดกันที่จุดเดียว! และเป็นของขวัญเพิ่มเติม -

รัศมี จารึกไว้วงกลม

(เพื่อความแน่ใจ โปรดดูหัวข้ออื่น)

ตอนนี้คุณจะไม่มีวันลืม:

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยมคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้

มาดูทรัพย์สินต่อไปกันดีกว่า... ว้าว แบ่งครึ่งมีคุณสมบัติมากมายเลยใช่ไหมคะ? และนี่ก็เยี่ยมมาก เพราะยิ่งมีคุณสมบัติมากเท่าไร เครื่องมือในการแก้ปัญหาเส้นแบ่งครึ่งก็จะมากขึ้นเท่านั้น

4. เส้นแบ่งครึ่งและความขนาน, เส้นแบ่งครึ่งของมุมที่อยู่ติดกัน

ความจริงที่ว่าเส้นแบ่งครึ่งแบ่งครึ่งในบางกรณีนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่คาดคิดโดยสิ้นเชิง ในที่นี้ ตัวอย่างเช่น

กรณีที่ 1

เยี่ยมมากใช่มั้ย? มาทำความเข้าใจว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น

ในอีกด้านหนึ่งเราวาดเส้นแบ่งครึ่ง!

แต่ในทางกลับกัน มีมุมที่วางขวางอยู่ (จำหัวข้อเรื่องไว้)

และตอนนี้ปรากฎว่า; โยนออกตรงกลาง: ! - หน้าจั่ว!

กรณีที่ 2

ลองนึกภาพสามเหลี่ยม (หรือดูภาพ)

มาต่อด้านเกินจุดกันเถอะ ตอนนี้เรามีสองมุม:

• - มุมภายใน
• - มุมด้านนอกอยู่ด้านนอกใช่ไหม?

ดังนั้นและตอนนี้มีคนต้องการวาดไม่ใช่หนึ่งตัว แต่มีสองเส้นแบ่งครึ่งพร้อมกัน: ทั้งเพื่อและเพื่อ จะเกิดอะไรขึ้น?

มันจะได้ผลไหม? สี่เหลี่ยม!

น่าแปลกที่เป็นเช่นนั้นจริงๆ

ลองคิดดูสิ

คุณคิดว่าจำนวนเงินเท่าไหร่?

แน่นอน - ท้ายที่สุดแล้วพวกเขาทั้งหมดรวมกันสร้างมุมจนกลายเป็นเส้นตรง

ทีนี้จำมันไว้ และ เป็นเส้นแบ่งครึ่ง แล้วดูว่าภายในมุมนั้นเป๊ะๆ ครึ่งจากผลรวมของมุมทั้งสี่: และ - - นั่นคือแน่นอน คุณยังสามารถเขียนมันเป็นสมการได้:

เหลือเชื่อแต่เป็นเรื่องจริง:

มุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในและภายนอกของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากัน

กรณีที่ 3

คุณเห็นไหมว่าทุกอย่างเหมือนกันที่นี่กับมุมภายในและภายนอก?

หรือลองคิดอีกครั้งว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น?

อีกครั้งสำหรับมุมที่อยู่ติดกัน

(สอดคล้องกับฐานขนานกัน)

และอีกครั้งที่พวกเขาแต่งหน้า ครึ่งหนึ่งพอดีจากจำนวนเงิน

บทสรุป:หากปัญหามีเส้นแบ่งครึ่ง ที่อยู่ติดกันมุมหรือเส้นแบ่งครึ่ง ที่เกี่ยวข้องมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือสี่เหลี่ยมคางหมูแล้วในปัญหานี้ แน่นอนสามเหลี่ยมมุมฉากมีส่วนเกี่ยวข้องหรืออาจเป็นสี่เหลี่ยมทั้งหมดด้วยซ้ำ

5. เส้นแบ่งครึ่งและฝั่งตรงข้าม

ปรากฎว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมแบ่งด้านตรงข้ามไม่เพียงแค่ในทางใดทางหนึ่งเท่านั้น แต่ด้วยวิธีที่พิเศษและน่าสนใจมาก:

นั่นคือ:

ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งใช่ไหม?

ตอนนี้เราจะพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ แต่เตรียมตัวให้พร้อม: มันจะยากขึ้นกว่าเดิมเล็กน้อย

อีกครั้ง - ออกจาก "อวกาศ" - รูปแบบเพิ่มเติม!

ตรงไปเลย.

เพื่ออะไร? เราจะเห็นตอนนี้

ลองทำเส้นแบ่งครึ่งต่อไปจนกว่าจะตัดกับเส้นตรง

นี่เป็นภาพที่คุ้นเคยใช่ไหม? ใช่ ใช่ ใช่ เช่นเดียวกับในจุดที่ 4 กรณีที่ 1 - ปรากฎว่า (- เส้นแบ่งครึ่ง)

นอนขวาง

ดังนั้นเช่นกัน

ทีนี้ลองดูสามเหลี่ยมและ

คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับพวกเขาได้บ้าง?

พวกเขา...คล้ายกัน ใช่ มุมของมันเท่ากับมุมแนวตั้ง ดังนั้นในสองมุม

ตอนนี้เรามีสิทธิที่จะเขียนความสัมพันธ์ของฝ่ายที่เกี่ยวข้องได้

และตอนนี้มีสัญกรณ์สั้น ๆ :

โอ้! ทำให้ฉันนึกถึงบางสิ่งบางอย่างใช่มั้ย? นี่ไม่ใช่สิ่งที่เราต้องการพิสูจน์ใช่ไหม? ใช่ ใช่ นั่นแหละ!

คุณจะเห็นว่า "การเดินอวกาศ" นั้นยิ่งใหญ่เพียงใด - การสร้างเส้นตรงเพิ่มเติม - หากปราศจากมันก็จะไม่มีอะไรเกิดขึ้น! ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้ว

ตอนนี้คุณสามารถใช้งานได้อย่างปลอดภัย! ลองดูคุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยม - ไม่ต้องกังวล ส่วนที่ยากที่สุดจบลงแล้ว - มันจะง่ายขึ้น

เราเข้าใจแล้ว

ทฤษฎีบท 1:

ทฤษฎีบท 2:

ทฤษฎีบท 3:

ทฤษฎีบท 4:

ทฤษฎีบท 5:

ทฤษฎีบท 6:

เส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมคืออะไร? สำหรับคำถามนี้ มีหนูชื่อดังวิ่งไปรอบมุมแล้วแบ่งครึ่งมุมออกมาจากปากของคนบางคน" ถ้าคำตอบควรจะเป็น "ตลกขบขัน" ก็น่าจะถูกต้อง แต่จากประเด็นทางวิทยาศาสตร์ของ ดูสิ คำตอบสำหรับคำถามนี้ควรเป็น: บางอย่างเช่นนี้: เริ่มต้นจากมุมบนแล้วแบ่งส่วนหลังออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน" ในเรขาคณิต ตัวเลขนี้ยังถูกมองว่าเป็นส่วนหนึ่งของเส้นแบ่งครึ่งจนกระทั่งมันตัดกับด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยม นี่ไม่ใช่ความเข้าใจผิด มีอะไรอีกบ้างที่รู้เกี่ยวกับเส้นแบ่งครึ่งของมุม นอกเหนือจากคำจำกัดความของมัน?

เช่นเดียวกับตำแหน่งของจุดทางเรขาคณิตใด ๆ ก็มีลักษณะเฉพาะของตัวเอง อย่างแรกไม่ใช่แม้แต่เครื่องหมาย แต่เป็นทฤษฎีบทซึ่งสามารถอธิบายสั้น ๆ ได้ดังนี้: “ ถ้าด้านที่อยู่ตรงข้ามถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนด้วยเส้นแบ่งครึ่ง อัตราส่วนของพวกมันจะสอดคล้องกับอัตราส่วนของ ด้านของสามเหลี่ยมขนาดใหญ่”

คุณสมบัติประการที่สองที่มี: จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของทุกมุมเรียกว่าจุดศูนย์กลาง

เครื่องหมายที่สาม: เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในหนึ่งมุมและมุมภายนอกสองมุมของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่ศูนย์กลางของหนึ่งในสามวงกลมที่จารึกไว้

คุณสมบัติประการที่สี่ของเส้นแบ่งครึ่งมุมของรูปสามเหลี่ยมคือ ถ้าแต่ละด้านเท่ากัน แล้วส่วนหลังจะเป็นหน้าจั่ว

เครื่องหมายที่ห้ายังเกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมหน้าจั่วและเป็นแนวทางหลักสำหรับการรับรู้ในการวาดภาพโดยเส้นแบ่งครึ่ง กล่าวคือ: ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะทำหน้าที่เป็นค่ามัธยฐานและระดับความสูงพร้อมกัน

เส้นแบ่งครึ่งมุมสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด:

กฎข้อที่หกระบุว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างรูปสามเหลี่ยมโดยใช้อันหลังกับเส้นแบ่งครึ่งที่มีอยู่เท่านั้น เช่นเดียวกับที่เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างในลักษณะนี้คือการสองเท่าของลูกบาศก์ การยกกำลังสองของวงกลม และการตัดสามส่วนของมุมในลักษณะนี้ พูดอย่างเคร่งครัด สิ่งเหล่านี้ล้วนเป็นคุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งมุมของสามเหลี่ยม

หากคุณอ่านย่อหน้าก่อนหน้านี้อย่างละเอียด แสดงว่าคุณอาจสนใจวลีเดียว "สามเหลี่ยมของมุมคืออะไร?" - คุณอาจจะถาม ไทรเซกเตอร์จะคล้ายกับเส้นแบ่งครึ่งเล็กน้อย แต่ถ้าคุณวาดอันหลัง มุมจะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน และเมื่อสร้างไตรเซกเตอร์ มันจะแบ่งออกเป็นสามส่วน โดยปกติแล้ว เส้นแบ่งครึ่งของมุมจะจดจำได้ง่ายกว่า เนื่องจากไม่มีการสอนเรื่องการแบ่งครึ่งมุมในโรงเรียน แต่เพื่อความสมบูรณ์ฉันจะเล่าให้คุณฟังด้วย

ตามที่ฉันได้กล่าวไปแล้ว ไทรเซกเตอร์ไม่สามารถสร้างขึ้นได้ด้วยเข็มทิศและไม้บรรทัดเท่านั้น แต่สามารถสร้างได้โดยใช้กฎของฟูจิตะและเส้นโค้งบางส่วน: หอยทากของปาสคาล, ควอดราทริกซ์, คอนคอยด์ของนิโคเมเดส, ส่วนทรงกรวย

ปัญหาเรื่องการแยกมุมของมุมนั้นค่อนข้างจะแก้ไขได้ง่าย ๆ โดยใช้เนฟซิส

ในเรขาคณิต มีทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมไตรเซกเตอร์ มันถูกเรียกว่าทฤษฎีบทของมอร์ลีย์ เธอกล่าวว่าจุดตัดของไตรเซกเตอร์ของแต่ละมุมที่อยู่ตรงกลางจะเป็นจุดยอด

สามเหลี่ยมสีดำเล็กๆ ภายในสามเหลี่ยมขนาดใหญ่จะมีด้านเท่ากันหมด ทฤษฎีบทนี้ถูกค้นพบโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ Frank Morley ในปี 1904

ต่อไปนี้คือจำนวนเงินที่คุณสามารถเรียนรู้เกี่ยวกับการหารมุมได้: ไตรเซกเตอร์และเส้นแบ่งครึ่งของมุมจำเป็นต้องมีคำอธิบายโดยละเอียดเสมอ แต่ที่นี่มีคำจำกัดความมากมายที่ฉันยังไม่ได้เปิดเผย เช่น หอยทากของปาสคาล หอยสังข์ของนิโคเมเดส ฯลฯ มั่นใจได้ว่ายังมีอะไรอีกมากมายให้เขียนเกี่ยวกับพวกเขา

คำแนะนำ

หากสามเหลี่ยมที่กำหนดเป็นหน้าจั่วหรือสม่ำเสมอ แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นมี
สองหรือสามด้านแล้วแบ่งครึ่งตามทรัพย์สิน สามเหลี่ยมจะเป็นค่ามัธยฐานด้วย ดังนั้นด้านตรงข้ามจะถูกแบ่งครึ่งโดยเส้นแบ่งครึ่ง

วัดด้านตรงข้ามด้วยไม้บรรทัด สามเหลี่ยมโดยที่เส้นแบ่งเขตจะดูแล แบ่งด้านนี้ออกครึ่งหนึ่งแล้ววางจุดไว้ตรงกลางด้านข้าง

ลากเส้นตรงผ่านจุดที่สร้างขึ้นและจุดยอดตรงข้าม นี่จะเป็นเส้นแบ่งครึ่ง สามเหลี่ยม.

แหล่งที่มา:

• ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และความสูงของรูปสามเหลี่ยม

การแบ่งมุมครึ่งหนึ่งและคำนวณความยาวของเส้นที่ลากจากด้านบนไปยังด้านตรงข้ามเป็นสิ่งที่ช่างตัด ผู้สำรวจ ช่างติดตั้ง และบุคลากรในวิชาชีพอื่นๆ จำเป็นต้องสามารถทำได้

คุณจะต้อง

• เครื่องมือ ไม้บรรทัดดินสอ ไม้โปรแทรกเตอร์ ตารางไซน์และโคไซน์ สูตรทางคณิตศาสตร์และแนวคิด: นิยามของเส้นแบ่งครึ่ง ทฤษฎีบทไซน์และโคไซน์ ทฤษฎีบทเส้นแบ่งครึ่ง

คำแนะนำ

สร้างสามเหลี่ยมตามขนาดที่ต้องการขึ้นอยู่กับว่าคุณให้อะไรมาบ้าง? ด้าน dfe และมุมระหว่างสองมุม สามด้านหรือสองมุม และด้านที่อยู่ระหว่างสองมุม

ติดป้ายกำกับจุดยอดของมุมและด้านข้างด้วยตัวอักษรละตินแบบดั้งเดิม A, B และ C จุดยอดของมุมจะแสดงด้วย และด้านตรงข้ามจะแสดงด้วยตัวอักษรพิมพ์เล็ก ติดป้ายกำกับมุมด้วยตัวอักษรกรีก ??,? และ?

ใช้ทฤษฎีบทของไซน์และโคไซน์ในการคำนวณมุมและด้าน สามเหลี่ยม.

จำแบ่งครึ่ง Bisector - การแบ่งมุมครึ่งหนึ่ง เส้นแบ่งครึ่งมุม สามเหลี่ยมแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นสองส่วนซึ่งเท่ากับอัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันสองด้าน สามเหลี่ยม.

วาดเส้นแบ่งครึ่งของมุม ติดป้ายกำกับส่วนที่เป็นผลลัพธ์ด้วยชื่อของมุม โดยเขียนด้วยตัวพิมพ์เล็กและตัวห้อย l ด้าน c แบ่งออกเป็นส่วน a และ b โดยมีดัชนี l

คำนวณความยาวของส่วนผลลัพธ์โดยใช้กฎของไซน์

วิดีโอในหัวข้อ

โปรดทราบ

ความยาวของส่วนซึ่งเป็นด้านของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นจากด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมเดิม ซึ่งก็คือเส้นแบ่งครึ่งและส่วนของตัวมันเองนั้น คำนวณโดยใช้กฎของไซน์ ในการคำนวณความยาวของส่วนอื่นของด้านเดียวกัน ให้ใช้อัตราส่วนของส่วนผลลัพธ์กับด้านที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมเดิม

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ให้วาดเส้นแบ่งครึ่งของมุมต่างๆ ด้วยสีที่ต่างกัน

แบ่งครึ่ง มุมเรียกว่ารังสีที่เริ่มต้นที่จุดยอด มุมและแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน เหล่านั้น. ที่จะใช้จ่าย แบ่งครึ่งคุณต้องหาตรงกลาง มุม- วิธีที่ง่ายที่สุดในการทำเช่นนี้คือใช้เข็มทิศ ในกรณีนี้ คุณไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณใดๆ และผลลัพธ์จะไม่ขึ้นอยู่กับว่ามีปริมาณหรือไม่ มุมจำนวนเต็ม

คุณจะต้อง

• เข็มทิศ ดินสอ ไม้บรรทัด

คำแนะนำ

โดยปล่อยให้ความกว้างของเข็มทิศเปิดเหมือนเดิม วางเข็มไว้ที่ปลายของส่วนด้านใดด้านหนึ่ง แล้ววาดส่วนหนึ่งของวงกลมเพื่อให้อยู่ภายใน มุม- ทำเช่นเดียวกันกับอันที่สอง คุณจะพบกับวงกลมสองส่วนที่ตัดกันภายใน มุม- ประมาณตรงกลาง. ส่วนของวงกลมสามารถตัดกันที่จุดหนึ่งหรือสองจุดได้

วิดีโอในหัวข้อ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

ในการสร้างเส้นแบ่งครึ่งของมุม คุณสามารถใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ได้ แต่วิธีนี้ต้องการความแม่นยำมากกว่า ยิ่งไปกว่านั้น หากค่ามุมไม่ใช่จำนวนเต็ม ความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดในการสร้างเส้นแบ่งครึ่งจะเพิ่มขึ้น

เมื่อสร้างหรือพัฒนาโครงการออกแบบบ้านมักจำเป็นต้องสร้าง มุมเท่ากับของที่มีอยู่แล้ว เทมเพลตและความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตของโรงเรียนมาช่วยเหลือ

คำแนะนำ

มุมหนึ่งเกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ลากมาจากจุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่าจุดยอดของมุม และเส้นตรงจะเป็นด้านข้างของมุม

ใช้สามมุมเพื่อระบุมุม: หนึ่งอันที่ด้านบน สองอันที่ด้านข้าง เรียกว่า มุมโดยเริ่มจากตัวอักษรที่อยู่ด้านหนึ่ง เรียกว่า ตัวอักษรที่อยู่ด้านบน แล้วจึงเรียกว่าตัวอักษรที่อยู่อีกด้านหนึ่ง ใช้อย่างอื่นเพื่อระบุมุมหากคุณต้องการเป็นอย่างอื่น บางครั้งจะมีชื่อตัวอักษรเพียงตัวเดียวซึ่งอยู่ด้านบน และคุณสามารถแสดงมุมด้วยตัวอักษรกรีก เช่น α, β, γ

มีสถานการณ์เมื่อมีความจำเป็น มุมเพื่อให้แคบกว่ามุมที่กำหนด หากไม่สามารถใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ในการก่อสร้างได้ คุณสามารถใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศเข้าไปได้เท่านั้น สมมติว่าบนเส้นตรงที่มีตัวอักษร MN คุณต้องสร้าง มุมที่จุด K เพื่อให้เท่ากับมุม B นั่นคือจากจุด K จำเป็นต้องวาดเส้นตรงด้วยเส้น MN มุมซึ่งจะเท่ากับมุม B

ขั้นแรก ทำเครื่องหมายจุดในแต่ละด้านของมุมที่กำหนด เช่น จุด A และ C จากนั้นเชื่อมต่อจุด C และ A ด้วยเส้นตรง รับทรี มุมนิค เอบีซี

ตอนนี้สร้าง Tre ​​เดียวกันบนเส้นตรง MN มุมเพื่อให้จุดยอด B อยู่บนเส้นตรงที่จุด K ใช้กฎในการสร้างสามเหลี่ยม มุมนิคในสาม เลย์เอาส่วน KL ออกจากจุด K มันจะต้องเท่ากับส่วน BC รับจุด L

จากจุด K ให้วาดวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับส่วน BA จาก L ให้วาดวงกลมที่มีรัศมี CA เชื่อมต่อจุดผลลัพธ์ (P) ของจุดตัดของวงกลมสองวงด้วย K รับสาม มุม KPL ซึ่งจะเท่ากับสาม มุมหนังสือเอบีซี. นี่คือวิธีที่คุณได้รับ มุม K จะเท่ากับมุม B เพื่อให้สะดวกและรวดเร็วยิ่งขึ้น ให้กำหนดส่วนที่เท่ากันจากจุดยอด B โดยใช้การเปิดเข็มทิศข้างเดียวโดยไม่ต้องขยับขา อธิบายวงกลมที่มีรัศมีเท่ากันจากจุด K

วิดีโอในหัวข้อ

เคล็ดลับ 5: วิธีสร้างสามเหลี่ยมโดยใช้สองด้านและค่ามัธยฐาน

รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดซึ่งมีจุดยอดสามจุดเชื่อมต่อกันเป็นคู่ด้วยส่วนที่ประกอบเป็นด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมนี้ ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดเข้ากับตรงกลางของด้านตรงข้ามเรียกว่าค่ามัธยฐาน เมื่อทราบความยาวของสองด้านและค่ามัธยฐานที่เชื่อมต่อที่จุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง คุณสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้โดยไม่ต้องมีข้อมูลเกี่ยวกับความยาวของด้านที่สามหรือขนาดของมุม

คำแนะนำ

วาดส่วนจากจุด A ซึ่งมีความยาวเป็นด้านที่ทราบของรูปสามเหลี่ยม (a) ทำเครื่องหมายจุดสิ้นสุดของส่วนนี้ด้วยตัวอักษร B หลังจากนั้นสามารถพิจารณาสร้างด้านใดด้านหนึ่ง (AB) ของสามเหลี่ยมที่ต้องการได้แล้ว

ใช้เข็มทิศ วาดวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับสองเท่าของความยาวของค่ามัธยฐาน (2∗m) และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด A

ใช้เข็มทิศวาดวงกลมที่สองโดยมีรัศมีเท่ากับความยาวของด้านที่รู้จัก (b) และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด B วางเข็มทิศไว้ครู่หนึ่ง แต่ปล่อยเข็มทิศที่วัดไว้ไว้ - คุณจะต้อง อีกครั้งในภายหลัง

สร้างส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุด A กับจุดตัดกันของเส้นทั้งสองที่คุณวาด ครึ่งหนึ่งของส่วนนี้จะเป็นส่วนที่คุณกำลังสร้าง - วัดครึ่งหนึ่งนี้และวางจุด M ในขณะนี้ คุณมีด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมที่ต้องการ (AB) และค่ามัธยฐาน (AM)

ใช้เข็มทิศ วาดวงกลมโดยมีรัศมีเท่ากับความยาวของด้านที่สองที่ทราบ (b) และมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด A

วาดส่วนที่ควรเริ่มต้นที่จุด B ผ่านจุด M และสิ้นสุดที่จุดตัดของเส้นตรงกับวงกลมที่คุณวาดในขั้นตอนก่อนหน้า กำหนดจุดตัดด้วยตัวอักษร C ตอนนี้ด้าน BC ซึ่งไม่ทราบเงื่อนไขของปัญหาได้ถูกสร้างขึ้นในสิ่งที่ต้องการแล้ว

ความสามารถในการแบ่งมุมด้วยเส้นแบ่งครึ่งนั้นจำเป็นไม่เพียงแต่เพื่อให้ได้ “A” ในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น ความรู้นี้จะเป็นประโยชน์อย่างมากสำหรับช่างก่อสร้าง นักออกแบบ ช่างสำรวจ และช่างตัดเสื้อ ในชีวิตคุณต้องสามารถแบ่งหลายสิ่งออกเป็นสองส่วนได้

ทุกคนที่โรงเรียนเรียนรู้เรื่องตลกเกี่ยวกับหนูที่วิ่งไปรอบมุมและแบ่งครึ่งมุม ชื่อของสัตว์ฟันแทะที่ว่องไวและชาญฉลาดตัวนี้คือ Bisector ไม่มีใครรู้ว่าหนูแบ่งมุมได้อย่างไร แต่สามารถแนะนำวิธีการต่อไปนี้สำหรับนักคณิตศาสตร์ในตำราเรียนเรื่อง "เรขาคณิต"

การใช้ไม้โปรแทรกเตอร์

วิธีที่ง่ายที่สุดในการดำเนินการแบ่งครึ่งคือการใช้อุปกรณ์สำหรับ คุณต้องติดไม้โปรแทรกเตอร์ไว้ที่ด้านหนึ่งของมุม โดยจัดจุดอ้างอิงให้ตรงกับปลาย O จากนั้นวัดมุมเป็นองศาหรือเรเดียน แล้วหารด้วย 2 ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์อันเดียวกัน แยกองศาที่ได้รับออกจากด้านใดด้านหนึ่งแล้วลากเส้นตรงซึ่งจะกลายเป็นเส้นแบ่งครึ่งไปยังจุดเริ่มต้นของมุม O

การใช้เข็มทิศ

คุณต้องใช้เข็มทิศแล้วย้ายไปที่ขนาดใดก็ได้ (ภายในขอบเขตของภาพวาด) วางส่วนปลายไว้ที่จุดเริ่มต้นของมุม O แล้วให้วาดส่วนโค้งที่ตัดกับรังสีโดยทำเครื่องหมายสองจุดไว้ ถูกกำหนดให้เป็น A1 และ A2 จากนั้นเมื่อวางเข็มทิศสลับกันที่จุดเหล่านี้คุณควรวาดวงกลมสองวงที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน (ตามขนาดของภาพวาด) จุดตัดของพวกเขาถูกกำหนดให้เป็น C และ B ถัดไปคุณต้องลากเส้นตรงผ่านจุด O, C และ B ซึ่งจะเป็นเส้นแบ่งครึ่งที่ต้องการ

การใช้ไม้บรรทัด

ในการวาดเส้นแบ่งครึ่งของมุมโดยใช้ไม้บรรทัด คุณต้องละทิ้งส่วนที่มีความยาวเท่ากันจากจุด O บนรังสี (ด้านข้าง) และกำหนดให้เป็นจุด A และ B จากนั้นคุณควรเชื่อมต่อพวกมันด้วยเส้นตรง และใช้ไม้บรรทัดแบ่งส่วนที่เป็นผลลัพธ์ออกเป็นครึ่งหนึ่งโดยกำหนดจุด C จะได้เส้นแบ่งครึ่งหากคุณวาดเส้นตรงผ่านจุด C และ O

ไม่มีเครื่องมือ

หากไม่มีเครื่องมือวัดคุณสามารถใช้ความเฉลียวฉลาดของคุณได้ ก็เพียงพอแล้วที่จะวาดมุมบนกระดาษลอกลายหรือกระดาษบางธรรมดาแล้วพับกระดาษอย่างระมัดระวังเพื่อให้รังสีของมุมอยู่ในแนวเดียวกัน เส้นพับในภาพวาดจะเป็นเส้นแบ่งครึ่งที่ต้องการ

มุมตรง

มุมที่มากกว่า 180 องศาสามารถหารด้วยเส้นแบ่งครึ่งได้โดยใช้วิธีเดียวกัน เพียงแต่จะต้องไม่แบ่งมัน แต่ต้องแบ่งมุมแหลมที่อยู่ติดกันซึ่งเหลือจากวงกลม ความต่อเนื่องของเส้นแบ่งครึ่งที่พบจะกลายเป็นเส้นตรงที่ต้องการโดยแบ่งมุมที่กางออกครึ่งหนึ่ง

มุมในรูปสามเหลี่ยม

ควรจำไว้ว่าในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่านั้น เส้นแบ่งครึ่งยังเป็นค่ามัธยฐานและระดับความสูงด้วย ดังนั้นจึงสามารถหาเส้นแบ่งครึ่งในนั้นได้โดยการลดตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุม (ความสูง) หรือแบ่งครึ่งด้านนี้แล้วเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางกับมุมตรงข้าม (ค่ามัธยฐาน)

วิดีโอในหัวข้อ

กฎช่วยในการจำ "เส้นแบ่งครึ่งคือหนูที่วิ่งไปรอบมุมแล้วแบ่งครึ่ง" อธิบายสาระสำคัญของแนวคิดนี้ แต่ไม่ได้ให้คำแนะนำในการสร้างเส้นแบ่งครึ่ง ในการวาดนอกเหนือจากกฎคุณจะต้องมีเข็มทิศและไม้บรรทัด

คำแนะนำ

สมมติว่าคุณต้องสร้าง แบ่งครึ่งมุม A. ใช้เข็มทิศ วางปลายไว้ที่จุด A (มุม) แล้ววาดวงกลมใดๆ เมื่อตัดกันด้านข้างของมุม ให้วางจุด B และ C

วัดรัศมีของวงกลมแรก วาดอีกอันที่มีรัศมีเท่ากันโดยวางเข็มทิศที่จุด B

วาดวงกลมถัดไป (ขนาดเท่ากับวงกลมก่อนหน้า) โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C

วงกลมทั้งสามวงจะต้องตัดกันที่จุดหนึ่ง เรียกมันว่า F กันดีกว่า ใช้ไม้บรรทัดวาดรังสีที่ผ่านจุด A และ F นี่จะเป็นเส้นแบ่งครึ่งที่ต้องการของมุม A

มีกฎหลายข้อที่จะช่วยคุณค้นหา ตัวอย่างเช่น มันอยู่ตรงข้ามใน เท่ากับอัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันสองด้าน ในหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้าน หรือเป็นเส้นหักปิดที่มีจุดเชื่อมต่อสามจุด หรือรูปที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดสามจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (ดูรูปที่ 1)

องค์ประกอบพื้นฐานของสามเหลี่ยม abc

ยอดเขา – จุด A, B และ C;

ภาคี – ส่วน a = BC, b = AC และ c = AB เชื่อมต่อจุดยอด

มุม – α, β, γ เกิดจากด้านสามคู่ มุมมักถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับจุดยอด โดยมีตัวอักษร A, B และ C

มุมที่เกิดจากด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมและนอนอยู่ในพื้นที่ภายในเรียกว่ามุมภายใน และมุมที่อยู่ติดกันคือมุมที่อยู่ติดกันของรูปสามเหลี่ยม (2, หน้า 534)

ความสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม

นอกจากองค์ประกอบหลักในรูปสามเหลี่ยมแล้ว ยังมีการพิจารณาส่วนอื่นๆ ที่มีคุณสมบัติที่น่าสนใจด้วย เช่น ความสูง ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง และเส้นกึ่งกลาง

ความสูง

ความสูงของสามเหลี่ยม- สิ่งเหล่านี้คือเส้นตั้งฉากที่ตกลงจากจุดยอดของสามเหลี่ยมไปยังด้านตรงข้าม

หากต้องการพล็อตความสูง คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) วาดเส้นตรงที่มีด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม (หากความสูงถูกดึงมาจากจุดยอดของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมป้าน)

2) จากจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกับเส้นที่ลาก ให้วาดส่วนหนึ่งจากจุดถึงเส้นนี้ โดยทำมุม 90 องศา

จุดที่ระดับความสูงตัดกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่า ฐานความสูง (ดูรูปที่ 2)

คุณสมบัติของระดับความสูงรูปสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ระดับความสูงที่ดึงมาจากจุดยอดของมุมฉากจะแยกออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกับสามเหลี่ยมดั้งเดิม

ในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลัน ระดับความสูงทั้งสองจะตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกันออกไป

ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีลักษณะแหลม ฐานของความสูงทั้งหมดจะอยู่ที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม และในรูปสามเหลี่ยมป้าน ระดับความสูง 2 อันจะตกลงบนเส้นต่อเนื่องของด้านข้าง

ระดับความสูงสามจุดในรูปสามเหลี่ยมเฉียบพลันตัดกันที่จุดหนึ่งและจุดนี้เรียกว่า ศูนย์ออร์โธเซ็นเตอร์ สามเหลี่ยม.

ค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐาน(จากภาษาละติน mediana - "ตรงกลาง") - สิ่งเหล่านี้คือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม (ดูรูปที่ 3)

ในการสร้างค่ามัธยฐาน คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) หาตรงกลางด้านข้าง

2) เชื่อมต่อจุดที่อยู่กึ่งกลางด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมกับจุดยอดตรงข้ามกับส่วน

คุณสมบัติของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม

ค่ามัธยฐานแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง ซึ่งแบ่งแต่ละจุดออกเป็นอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด จุดนี้เรียกว่า จุดศูนย์ถ่วง สามเหลี่ยม.

สามเหลี่ยมทั้งหมดถูกหารด้วยค่ามัธยฐานของมันเป็นสามเหลี่ยมหกรูปเท่าๆ กัน

แบ่งครึ่ง

แบ่งครึ่ง(จากภาษาละติน ทวิ - สองครั้ง และ เซโก - ตัด) คือส่วนของเส้นตรงที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมที่แบ่งครึ่งมุม (ดูรูปที่ 4)

ในการสร้างเส้นแบ่งครึ่ง คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1) สร้างรังสีที่ออกมาจากจุดยอดของมุมแล้วแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน (เส้นแบ่งครึ่งของมุม)

2) ค้นหาจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมกับด้านตรงข้าม

3) เลือกส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของสามเหลี่ยมกับจุดตัดที่อยู่ฝั่งตรงข้าม

คุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่งของมุมของสามเหลี่ยมจะแบ่งด้านตรงข้ามเป็นอัตราส่วนเท่ากับอัตราส่วนของด้านสองด้านที่อยู่ติดกัน

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในและภายนอกตั้งฉากกัน

ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกของสามเหลี่ยมตัดกับส่วนขยายของด้านตรงข้าม ดังนั้น ADBD=ACBC

เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในหนึ่งมุมและมุมภายนอกสองมุมของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของหนึ่งในสามวงกลมด้านนอกของสามเหลี่ยมนี้

ฐานของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในสองมุมและมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกไม่ขนานกับด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยม

ถ้าเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกของสามเหลี่ยมไม่ขนานกับด้านตรงข้าม แสดงว่าฐานของพวกมันอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน