ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันคือค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ค่าน้อยที่สุดคือค่าที่น้อยที่สุดในบรรดาค่าทั้งหมด

ฟังก์ชันสามารถมีค่าที่ใหญ่ที่สุดได้เพียงค่าเดียวและค่าน้อยที่สุดเพียงค่าเดียวเท่านั้น หรืออาจไม่มีค่าเลยก็ได้ การค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันเหล่านี้:

1) หากในช่วงเวลาหนึ่ง (จำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุด) ฟังก์ชัน y=f(x) มีความต่อเนื่องและมีเพียงหนึ่งจุดสุดขั้ว และหากนี่คือค่าสูงสุด (ต่ำสุด) มันจะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชัน ในช่วงเวลานี้

2) หากฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องกันในบางเซ็กเมนต์ ก็จำเป็นต้องมีค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์นี้ ถึงค่าเหล่านี้ที่จุดปลายสุดซึ่งอยู่ภายในส่วนหรือที่ขอบเขตของส่วนนี้

หากต้องการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์ ขอแนะนำให้ใช้โครงร่างต่อไปนี้:

1. ค้นหาอนุพันธ์

2. ค้นหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันที่มี =0 หรือไม่มีอยู่

3. ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤติและที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์แล้วเลือกค่า f max ที่ใหญ่ที่สุดและค่า f max ที่เล็กที่สุด

เมื่อแก้ไขปัญหาที่ใช้ โดยเฉพาะการปรับให้เหมาะสม ปัญหาในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด (สูงสุดทั่วโลกและต่ำสุดทั่วโลก) ของฟังก์ชันในช่วงเวลา X มีความสำคัญ ในการแก้ปัญหาดังกล่าว ควรทำตามเงื่อนไข เลือกตัวแปรอิสระและแสดงค่าที่กำลังศึกษาผ่านตัวแปรนี้ จากนั้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดที่ต้องการของฟังก์ชันผลลัพธ์ ในกรณีนี้ ช่วงการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรอิสระซึ่งอาจมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุดก็ถูกกำหนดจากเงื่อนไขของปัญหาด้วย

ตัวอย่าง.ถังที่มีรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านบนเปิดและมีก้นสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะต้องบรรจุกระป๋องไว้ด้านใน ขนาดของถังควรเป็นเท่าใดหากความจุ 108 ลิตร? น้ำเพื่อให้ต้นทุนในการกักเก็บน้อยที่สุด?

สารละลาย.ค่าใช้จ่ายในการเคลือบถังด้วยดีบุกจะน้อยที่สุดหากพื้นที่ผิวของถังมีน้อยตามความจุที่กำหนด ให้เราแสดงด้วย dm ด้านข้างของฐาน b dm ความสูงของถัง แล้วพื้นที่ S ของพื้นผิวจะเท่ากับ

และ

ความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นจะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ผิวของอ่างเก็บน้ำ S (ฟังก์ชัน) และด้านข้างของฐาน a (อาร์กิวเมนต์) ให้เราตรวจสอบฟังก์ชัน S สำหรับส่วนปลายสุด ลองหาอนุพันธ์ตัวแรก จัดให้เป็นศูนย์แล้วแก้สมการผลลัพธ์:

ดังนั้น a = 6 (a) > 0 สำหรับ a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

ตัวอย่าง- ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน ในช่วงเวลา

สารละลาย: ฟังก์ชันที่กำหนดจะต่อเนื่องตลอดเส้นจำนวนทั้งหมด อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

อนุพันธ์สำหรับและสำหรับ มาคำนวณค่าฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้:

.

ค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของช่วงเวลาที่กำหนดจะเท่ากัน ดังนั้น ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันจะเท่ากับ at ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันจะเท่ากับ at

คำถามทดสอบตัวเอง

1. กำหนดกฎของโลปิตาลสำหรับการเปิดเผยความไม่แน่นอนของแบบฟอร์ม ระบุความไม่แน่นอนประเภทต่างๆ ที่กฎของโลปิตาลสามารถใช้เพื่อแก้ไขได้

2. กำหนดสัญญาณของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน

3. กำหนดค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน

4. กำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของสุดขั้ว

5. ค่าใดของอาร์กิวเมนต์ (จุดใด) ที่เรียกว่าวิกฤต? จะหาจุดเหล่านี้ได้อย่างไร?

6. อะไรคือสัญญาณที่เพียงพอของการมีอยู่ของฟังก์ชันสุดขั้ว? เขียนโครงร่างการศึกษาฟังก์ชันที่จุดสุดขั้วโดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1

7. สรุปโครงร่างการศึกษาฟังก์ชันที่จุดสุดขีดโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง

8. กำหนดความนูนและความเว้าของเส้นโค้ง

9. จุดเปลี่ยนเว้าของกราฟของฟังก์ชันเรียกว่าอะไร? ระบุวิธีการหาจุดเหล่านี้

10. กำหนดสัญญาณที่จำเป็นและเพียงพอของความนูนและความเว้าของเส้นโค้งบนส่วนที่กำหนด

11. กำหนดเส้นกำกับของเส้นโค้ง จะค้นหาเส้นกำกับแนวตั้ง แนวนอน และแนวเฉียงของกราฟของฟังก์ชันได้อย่างไร

12. สรุปโครงร่างทั่วไปสำหรับศึกษาฟังก์ชันและสร้างกราฟ

13. กำหนดกฎสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด

จากมุมมองเชิงปฏิบัติความสนใจที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคือการใช้อนุพันธ์เพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับอะไร? เพิ่มผลกำไรสูงสุด ลดต้นทุน กำหนดภาระของอุปกรณ์ที่เหมาะสมที่สุด... กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในหลาย ๆ ด้านของชีวิต เราต้องแก้ไขปัญหาในการปรับพารามิเตอร์บางตัวให้เหมาะสม และนี่คือภารกิจในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน

ควรสังเกตว่าค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันมักจะหาในช่วงเวลาหนึ่ง X ซึ่งเป็นโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันหรือส่วนหนึ่งของโดเมนคำจำกัดความ ช่วง X เองสามารถเป็นส่วนได้ ซึ่งเป็นช่วงเปิด , ช่วงเวลาอันไม่มีที่สิ้นสุด

ในบทความนี้เราจะพูดถึงการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนของตัวแปรหนึ่งตัว y=f(x) .

การนำทางหน้า

ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน - คำจำกัดความ ภาพประกอบ

ลองดูคำจำกัดความหลักโดยย่อ

ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน นั่นสำหรับใครก็ตาม ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง

ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=f(x) บนช่วง X เรียกว่าค่าดังกล่าว นั่นสำหรับใครก็ตาม ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง

คำจำกัดความเหล่านี้เข้าใจง่าย: ค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันคือค่าที่ยอมรับมากที่สุด (น้อยที่สุด) ในช่วงเวลาที่กำลังพิจารณาที่ abscissa

จุดคงที่– นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันกลายเป็นศูนย์

เหตุใดเราจึงต้องมีจุดคงที่เมื่อค้นหาค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุด? คำตอบสำหรับคำถามนี้ได้มาจากทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ จากทฤษฎีบทนี้ เป็นไปตามว่าหากฟังก์ชันหาอนุพันธ์มีจุดสุดโต่ง (ค่าต่ำสุดเฉพาะจุดหรือค่าสูงสุดเฉพาะจุด) ณ จุดใดจุดหนึ่ง จุดนี้จะคงที่ ดังนั้น ฟังก์ชันมักจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (น้อยที่สุด) ในช่วง X ที่จุดใดจุดหนึ่งที่อยู่นิ่งจากช่วงเวลานี้

นอกจากนี้ฟังก์ชันมักจะรับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันนี้และมีการกำหนดฟังก์ชันเอง

มาตอบคำถามที่พบบ่อยที่สุดในหัวข้อนี้ทันที: “เป็นไปได้หรือไม่ที่จะกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ของฟังก์ชัน”? ไม่ ไม่เสมอไป บางครั้งขอบเขตของช่วง X ตรงกับขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน หรือช่วง X เป็นอนันต์ และฟังก์ชันบางฟังก์ชันที่อนันต์และที่ขอบเขตของโดเมนของคำจำกัดความสามารถรับทั้งค่าที่มากเป็นอนันต์และที่เล็กเป็นอนันต์ได้ ในกรณีเหล่านี้ ไม่สามารถพูดได้เกี่ยวกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

เพื่อความชัดเจนเราจะให้ภาพประกอบกราฟิก ดูภาพแล้วจะชัดเจนขึ้นมาก

บนส่วน

ในรูปแรก ฟังก์ชันจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด y) และค่าน้อยที่สุด (ต่ำสุด y) ที่จุดคงที่ซึ่งอยู่ภายในส่วน [-6;6]

พิจารณากรณีที่ปรากฎในรูปที่สอง มาเปลี่ยนส่วนเป็น. ในตัวอย่างนี้ ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันจะได้มา ณ จุดที่อยู่นิ่ง และค่าที่ใหญ่ที่สุด ณ จุดนั้นด้วยค่า Abscissa ที่สอดคล้องกับขอบเขตด้านขวาของช่วงเวลา

ในรูปที่ 3 จุดขอบเขตของเซ็กเมนต์ [-3;2] คือจุดขาดของจุดที่สอดคล้องกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ในช่วงเวลาเปิด

ในรูปที่สี่ ฟังก์ชันจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด y) และค่าน้อยที่สุด (ต่ำสุด y) ที่จุดคงที่ซึ่งอยู่ภายในช่วงเปิด (-6;6)

ในช่วงเวลา ไม่สามารถสรุปเกี่ยวกับค่าที่มากที่สุดได้

ที่อนันต์

ในตัวอย่างที่แสดงในรูปที่ 7 ฟังก์ชันรับค่าที่ใหญ่ที่สุด (สูงสุด y) ที่จุดคงที่โดยมี abscissa x=1 และค่าที่น้อยที่สุด (min y) จะได้รับบนขอบเขตด้านขวาของช่วงเวลา ที่ค่าอนันต์ลบ ค่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y=3 เชิงซีมโตติคัล

ในช่วงเวลาดังกล่าว ฟังก์ชันจะไม่ถึงค่าที่น้อยที่สุดหรือค่าที่มากที่สุด เมื่อ x=2 เข้าใกล้จากทางขวา ค่าของฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะลบอนันต์ (เส้นตรง x=2 เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง) และเมื่อ Abscissa มีแนวโน้มที่จะบวกอนันต์ ค่าของฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y=3 ในรูปแบบเชิงเส้นกำกับ ภาพประกอบกราฟิกของตัวอย่างนี้แสดงในรูปที่ 8

อัลกอริทึมในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์

ให้เราเขียนอัลกอริทึมที่ช่วยให้เราสามารถค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

1. เราค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันและตรวจสอบว่ามีส่วนทั้งหมดหรือไม่
2. เราค้นหาจุดทั้งหมดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับแรกและมีอยู่ในเซ็กเมนต์ (โดยปกติแล้วจุดดังกล่าวจะพบในฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์ภายใต้เครื่องหมายโมดูลัส และในฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน-ตรรกยะ) หากไม่มีจุดดังกล่าวให้ไปยังจุดถัดไป
3. เรากำหนดจุดคงที่ทั้งหมดที่อยู่ในส่วนนั้น ในการทำเช่นนี้เราจัดให้มันเป็นศูนย์แก้สมการผลลัพธ์และเลือกรากที่เหมาะสม หากไม่มีจุดที่อยู่นิ่งหรือไม่มีจุดใดตกอยู่ในส่วน ให้ไปยังจุดถัดไป
4. เราคำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดคงที่ที่เลือก (ถ้ามี) ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (ถ้ามี) รวมถึงที่ x=a และ x=b
5. จากค่าที่ได้รับของฟังก์ชันเราเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด - มันจะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันที่ต้องการตามลำดับ

มาวิเคราะห์อัลกอริทึมในการแก้ตัวอย่างเพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

• ในส่วน;
• ในส่วน [-4;-1] .

สารละลาย.

โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือชุดของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นศูนย์นั่นเอง ทั้งสองส่วนอยู่ในโดเมนคำจำกัดความ

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยคำนึงถึง:

แน่นอนว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันมีอยู่ที่ทุกจุดของเซ็กเมนต์และ [-4;-1]

เราหาจุดคงที่จากสมการ รากที่แท้จริงเพียงตัวเดียวคือ x=2 จุดคงที่นี้อยู่ในส่วนแรก

ในกรณีแรก เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดคงที่ นั่นคือสำหรับ x=1, x=2 และ x=4:

ดังนั้นค่าสูงสุดของฟังก์ชัน ทำได้ที่ x=1 และมีค่าน้อยที่สุด – ที่ x=2.

สำหรับกรณีที่สองเราคำนวณค่าฟังก์ชันเฉพาะที่ส่วนท้ายของส่วน [-4;-1] (เนื่องจากไม่มีจุดคงที่จุดเดียว):

ในบทความนี้ ผมจะพูดถึงวิธีการใช้ทักษะการค้นหากับการศึกษาฟังก์ชัน: เพื่อหาค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุด จากนั้นเราจะแก้ไขปัญหาต่าง ๆ จากงาน B15 จาก Open Bank ของงาน

ตามปกติเรามาจำทฤษฎีกันก่อน

ในตอนเริ่มต้นของการศึกษาฟังก์ชันใดๆ เราจะพบว่า

ในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชัน คุณต้องตรวจสอบว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นในช่วงใดและลดลงช่วงใด

ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและตรวจสอบช่วงของเครื่องหมายคงที่ นั่นคือช่วงที่อนุพันธ์ยังคงรักษาเครื่องหมายไว้

ช่วงเวลาที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นบวกคือช่วงของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น

ช่วงเวลาที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบคือช่วงของฟังก์ชันที่ลดลง

1. มาแก้งาน B15 (หมายเลข 245184) กัน

เพื่อแก้ปัญหานี้ เราจะทำตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:

ก) ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

b) ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน

c) ลองทำให้มันเป็นศูนย์กัน

d) ให้เราค้นหาช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน

e) ค้นหาจุดที่ฟังก์ชันรับค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด

f) ค้นหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้

ฉันให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดสำหรับงานนี้ในวิดีโอสอน:

เบราว์เซอร์ของคุณอาจไม่รองรับ หากต้องการใช้โปรแกรมจำลอง Unified State Exam Hour ให้ลองดาวน์โหลด
ไฟร์ฟอกซ์

2. มาแก้งาน B15 (หมายเลข 282862) กัน

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน

เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันรับค่าสูงสุดของเซ็กเมนต์ที่จุดสูงสุดที่ x=2 ลองหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้:

คำตอบ: 5

3. มาแก้งาน B15 (หมายเลข 245180):

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. เพราะตามโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันดั้งเดิม title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. ตัวเศษมีค่าเท่ากับศูนย์ที่ มาตรวจสอบว่า ODZ อยู่ในฟังก์ชันหรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาตรวจสอบว่าเงื่อนไข title="4-2x-x^2>0"> при .!}

หัวข้อ="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นเป็นของฟังก์ชัน ODZ

ลองตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์ทางด้านขวาและด้านซ้ายของจุด:

เราจะเห็นว่าฟังก์ชันนี้รับค่าสูงสุด ณ จุดนั้น ทีนี้ลองหาค่าของฟังก์ชันที่:

หมายเหตุ 1. โปรดทราบว่าในปัญหานี้ เราไม่พบโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน เราเพียงแต่แก้ไขข้อจำกัดและตรวจสอบว่าจุดที่อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์เป็นของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันหรือไม่ ปรากฏว่าเพียงพอแล้วสำหรับงานนี้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป มันขึ้นอยู่กับงาน

หมายเหตุ 2 เมื่อศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันที่ซับซ้อน คุณสามารถใช้กฎต่อไปนี้:

• ถ้าฟังก์ชันภายนอกของฟังก์ชันเชิงซ้อนเพิ่มขึ้น ฟังก์ชันก็จะรับค่าสูงสุดที่จุดเดียวกับที่ฟังก์ชันภายในรับค่าสูงสุด สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น: ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา I หากค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์จากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน
• ถ้าฟังก์ชันภายนอกของฟังก์ชันเชิงซ้อนลดลง ฟังก์ชันก็จะรับค่าที่มากที่สุด ณ จุดเดียวกับที่ฟังก์ชันภายในรับค่าที่น้อยที่สุด - สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของฟังก์ชันที่ลดลง: ฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลา I หากค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์จากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน

ในตัวอย่างของเรา ฟังก์ชันภายนอกจะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมจะมีนิพจน์ - ตรีโกณมิติกำลังสองซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็นลบรับค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ณ จุดนั้น - ต่อไป เราจะแทนค่า x นี้ลงในสมการของฟังก์ชัน และค้นพบคุณค่าสูงสุดของมัน

ในบทความนี้ฉันจะพูดถึง อัลกอริธึมสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดฟังก์ชั่นจุดต่ำสุดและสูงสุด

ตามทฤษฎีแล้วมันจะมีประโยชน์สำหรับเราอย่างแน่นอน ตารางอนุพันธ์และ กฎความแตกต่าง- ทั้งหมดอยู่ในจานนี้:

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด

ฉันสะดวกกว่าที่จะอธิบายด้วยตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง พิจารณา:

ตัวอย่าง:ค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน y=x^5+20x^3–65x บนเซ็กเมนต์ [–4;0]

ขั้นตอนที่ 1เราหาอนุพันธ์

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

ขั้นตอนที่ 2การหาจุดสุดยอด

จุดสุดขั้วเราเรียกจุดที่ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด

ในการค้นหาจุดสุดขั้ว คุณต้องเทียบอนุพันธ์ของฟังก์ชันให้เป็นศูนย์ (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

ตอนนี้เราแก้สมการกำลังสองนี้แล้วรากที่พบคือจุดสุดขั้ว

ฉันแก้สมการดังกล่าวโดยแทนที่ t = x^2 จากนั้น 5t^2 + 60t - 65 = 0

ลองลดสมการลง 5 เราจะได้: t^2 + 12t - 13 = 0

ง = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + ตร.ม.(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - ตร.ม.(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

เราทำการเปลี่ยนแปลงแบบย้อนกลับ x^2 = t:

X_(1 และ 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 และ 4) = ±sqrt(-13) (เราแยกออก ไม่สามารถมีจำนวนลบใต้รากได้ เว้นแต่ว่าเรากำลังพูดถึงจำนวนเชิงซ้อน)

ผลรวม: x_(1) = 1 และ x_(2) = -1 - นี่คือจุดสุดขั้วของเรา

ขั้นตอนที่ 3กำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุด

วิธีการทดแทน

ในเงื่อนไข เราได้รับเซกเมนต์ [b][–4;0] จุด x=1 ไม่รวมอยู่ในส่วนนี้ เราจึงไม่พิจารณาเรื่องนี้. แต่นอกเหนือจากจุด x=-1 แล้ว เรายังต้องพิจารณาขอบเขตด้านซ้ายและขวาของเซ็กเมนต์ของเราด้วย ซึ่งก็คือจุด -4 และ 0 เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เราจะแทนที่จุดทั้งสามนี้ลงในฟังก์ชันดั้งเดิม โปรดทราบว่าต้นฉบับคืออันที่กำหนดในเงื่อนไข (y=x^5+20x^3–65x) บางคนเริ่มแทนที่มันเป็นอนุพันธ์...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

ซึ่งหมายความว่าค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันคือ [b]44 และไปถึงจุด [b]-1 ซึ่งเรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ [-4; 0].

เราตัดสินใจแล้วได้รับคำตอบ เราเก่งมาก สบายใจได้ แต่หยุด! คุณไม่คิดว่าการคำนวณ y(-4) นั้นยากเกินไปหรือ? ในระยะเวลาที่จำกัด ควรใช้วิธีอื่นดีกว่า ฉันเรียกสิ่งนี้ว่า:

ผ่านช่วงเวลาแห่งความมั่นคงของสัญญาณ

ช่วงเหล่านี้พบได้จากอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งก็คือสมการกำลังสองของเรา

ฉันทำแบบนี้ ฉันวาดส่วนที่กำกับ ฉันวางคะแนน: -4, -1, 0, 1 แม้ว่าข้อเท็จจริงที่ว่า 1 จะไม่รวมอยู่ในส่วนที่กำหนด แต่ก็ควรสังเกตไว้เพื่อกำหนดช่วงเวลาของความคงที่ของเครื่องหมายอย่างถูกต้อง ลองหาจำนวนที่มากกว่า 1 หลายเท่า เช่น 100 แล้วแทนที่มันลงในสมการกำลังสองของเรา 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 แม้จะไม่ได้นับอะไรเลย ก็ชัดเจนว่าที่จุด 100 ฟังก์ชั่นมีเครื่องหมายบวก ซึ่งหมายความว่าในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 100 จะมีเครื่องหมายบวก เมื่อผ่าน 1 (เราไปจากขวาไปซ้าย) ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นลบ เมื่อผ่านจุด 0 ฟังก์ชันจะคงเครื่องหมายไว้ เนื่องจากนี่เป็นเพียงขอบเขตของเซ็กเมนต์ ไม่ใช่รากของสมการ เมื่อผ่าน -1 ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นเครื่องหมายบวกอีกครั้ง

จากทฤษฎี เรารู้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันอยู่ที่ไหน (และเราวาดมันมาเพื่อมันโดยเฉพาะ) เครื่องหมายเปลี่ยนจากบวกเป็นลบ (จุด -1 ในกรณีของเรา)ฟังก์ชั่นถึง สูงสุดในท้องถิ่น (y(-1)=44 ตามที่คำนวณไว้ก่อนหน้านี้)ในส่วนนี้ (นี่เป็นเหตุผลที่เข้าใจได้มาก ฟังก์ชันหยุดเพิ่มเนื่องจากถึงค่าสูงสุดและเริ่มลดลง)

ดังนั้น ที่ไหน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก, บรรลุแล้ว ฟังก์ชันขั้นต่ำในท้องถิ่น- ใช่ ใช่ เรายังพบว่าจุดต่ำสุดในพื้นที่คือ 1 และ y(1) คือค่าต่ำสุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ กล่าวคือตั้งแต่ -1 ถึง +∞ โปรดทราบว่านี่เป็นเพียงขั้นต่ำในท้องถิ่นเท่านั้น นั่นคือขั้นต่ำสำหรับบางเซ็กเมนต์ เนื่องจากค่าต่ำสุดจริง (ทั่วโลก) ของฟังก์ชันจะไปถึงจุดนั้น ที่ -∞

ในความคิดของฉัน วิธีแรกนั้นง่ายกว่าในทางทฤษฎี และวิธีที่สองนั้นง่ายกว่าจากมุมมองของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ แต่ซับซ้อนกว่ามากจากมุมมองของทฤษฎี ท้ายที่สุดแล้ว บางครั้งก็มีกรณีที่ฟังก์ชันไม่เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านรากของสมการ และโดยทั่วไปแล้ว คุณอาจสับสนกับค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดในระดับท้องถิ่น ทั่วโลกได้ แม้ว่าคุณจะต้องเชี่ยวชาญเรื่องนี้เป็นอย่างดีอยู่แล้วหากคุณ วางแผนที่จะเข้ามหาวิทยาลัยเทคนิค (และเพราะเหตุใดจึงต้องใช้โปรไฟล์ Unified State Exam และแก้ไขปัญหานี้) แต่การฝึกฝนและการฝึกฝนเท่านั้นที่จะสอนให้คุณแก้ปัญหาดังกล่าวได้เพียงครั้งเดียวและตลอดไป และคุณสามารถฝึกอบรมบนเว็บไซต์ของเราได้ ที่นี่ .

หากคุณมีคำถามหรือบางสิ่งที่ไม่ชัดเจน โปรดถาม ฉันยินดีที่จะตอบคุณและทำการเปลี่ยนแปลงและเพิ่มเติมบทความ จำไว้ว่าเรากำลังสร้างเว็บไซต์นี้ด้วยกัน!

อัลกอริธึมมาตรฐานสำหรับการแก้ปัญหาดังกล่าวเกี่ยวข้องกับการกำหนดสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาต่างๆ หลังจากค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันแล้ว จากนั้นจึงคำนวณค่าที่จุดสูงสุด (หรือต่ำสุด) ที่พบ และที่ขอบเขตของช่วงเวลา ขึ้นอยู่กับคำถามที่อยู่ในเงื่อนไข

ฉันแนะนำให้คุณทำสิ่งที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย ทำไม ฉันเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้

ฉันเสนอให้แก้ไขปัญหาดังกล่าวดังนี้:

1. ค้นหาอนุพันธ์
2. ค้นหาศูนย์ของอนุพันธ์
3. พิจารณาว่ารายการใดอยู่ในช่วงนี้
4. เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ขอบเขตของช่วงเวลาและจุดของขั้นตอนที่ 3
5. เราได้ข้อสรุป (ตอบคำถามที่ถูกวาง)

ขณะแก้ตัวอย่างที่นำเสนอ การแก้สมการกำลังสองไม่ได้กล่าวถึงโดยละเอียด คุณต้องสามารถทำได้ พวกเขาควรรู้ด้วย

ลองดูตัวอย่าง:

77422. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y=x 3 –3x+4 บนเซ็กเมนต์ [–2;0]

มาหาศูนย์ของอนุพันธ์กัน:

จุด x = –1 อยู่ในช่วงที่ระบุในเงื่อนไข

เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด –2, –1 และ 0:

ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันคือ 6

คำตอบ: 6

77425. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 – 3x 2 + 2 บนเซกเมนต์

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:

มาหาศูนย์ของอนุพันธ์กัน:

ช่วงเวลาที่ระบุในเงื่อนไขมีจุด x = 2

เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดที่ 1, 2 และ 4:

ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ –2

คำตอบ: –2

77426. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 – 6x 2 บนเซ็กเมนต์ [–3;3]

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:

มาหาศูนย์ของอนุพันธ์กัน:

จุด x = 0 อยู่ในช่วงที่ระบุในเงื่อนไข

เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด –3, 0 และ 3:

ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ 0

คำตอบ: 0

77429. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 – 2x 2 + x +3 บนเซกเมนต์

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:

3x 2 – 4x + 1 = 0

เราได้ราก: x 1 = 1 x 1 = 1/3

ช่วงเวลาที่ระบุในเงื่อนไขมีเพียง x = 1

มาหาค่าของฟังก์ชันที่จุดที่ 1 และ 4:

เราพบว่าค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ 3

คำตอบ: 3

77430. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 + 2x 2 + x + 3 บนเซ็กเมนต์ [– 4; –1]

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:

มาหาศูนย์ของอนุพันธ์แล้วแก้สมการกำลังสอง:

3x 2 + 4x + 1 = 0

มารับรากกันเถอะ:

ราก x = –1 เป็นของช่วงที่ระบุในเงื่อนไข

เราค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด –4, –1, –1/3 และ 1:

เราพบว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือ 3

คำตอบ: 3

77433. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = x 3 – x 2 – 40x +3 บนเซ็กเมนต์

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด:

มาหาศูนย์ของอนุพันธ์แล้วแก้สมการกำลังสอง:

3x 2 – 2x – 40 = 0

มารับรากกันเถอะ:

ช่วงเวลาที่ระบุในเงื่อนไขมีราก x = 4

ค้นหาค่าฟังก์ชันที่จุดที่ 0 และ 4:

เราพบว่าค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ –109

คำตอบ: –109

ลองพิจารณาวิธีกำหนดค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดโดยไม่มีอนุพันธ์ สามารถใช้วิธีนี้ได้หากคุณมีปัญหาใหญ่ในการกำหนดอนุพันธ์ หลักการนั้นง่าย - เราแทนที่ค่าจำนวนเต็มทั้งหมดจากช่วงเวลาลงในฟังก์ชัน (ความจริงก็คือในต้นแบบดังกล่าวทั้งหมดคำตอบคือจำนวนเต็ม)

77437. ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=7+12x–x 3 บนเซ็กเมนต์ [–2;2]

คะแนนทดแทนจาก –2 ถึง 2: ดูโซลูชัน

77434. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 บนเซ็กเมนต์ [–2;0]

นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก