แบบฝึกหัดภาคคณิตศาสตร์ หัวข้อ “ฟังก์ชัน คุณสมบัติและกราฟ” ฟังก์ชัน โดเมนและเซตของค่าของฟังก์ชัน
กระทรวงศึกษาธิการของภูมิภาคซาคาลิน
GBPOU "เทคนิคการก่อสร้าง"
การปฏิบัติงาน
ในสาขาวิชา "คณิตศาสตร์"
บทที่: " ฟังก์ชัน คุณสมบัติ และกราฟ”
เรื่อง: ฟังก์ชั่น โดเมนและเซตของค่าของฟังก์ชัน ฟังก์ชันคู่และคี่
(สื่อการสอน)
เรียบเรียงโดย:
ครู
คาซันเซวา เอ็น.เอ.
ยูจโน-ซาฮาลินสค์-2017
งานภาคปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ตามส่วน« และระเบียบวิธีคำแนะนำในการดำเนินการมีไว้สำหรับนักเรียนGBPOU "วิทยาลัยการก่อสร้างซาคาลิน"
เรียบเรียงโดย : Kazantseva N.A. ครูคณิตศาสตร์
เนื้อหาประกอบด้วยงานภาคปฏิบัติทางคณิตศาสตร์« ฟังก์ชัน คุณสมบัติ และกราฟ"และ คำแนะนำในการดำเนินการ แนวทางนี้รวบรวมตามโปรแกรมงานวิชาคณิตศาสตร์และมีไว้สำหรับนักศึกษาของ Sakhalin Construction College, นักเรียนกำลังศึกษาอยู่ โปรแกรมการศึกษาทั่วไป
1) บทเรียนภาคปฏิบัติหมายเลข 1 ฟังก์ชั่น โดเมนของคำจำกัดความและเซตของค่าของฟังก์ชัน……………………………………………………………...4
2)บทเรียนภาคปฏิบัติหมายเลข 2 - ฟังก์ชันคู่และคี่……………….6
บทเรียนภาคปฏิบัติหมายเลข 1
ฟังก์ชั่น โดเมนและเซตของค่าของฟังก์ชัน
เป้าหมาย: รวบรวมทักษะและทักษะการแก้ปัญหาในหัวข้อ: “ขอบเขตของคำจำกัดความและชุดค่าของฟังก์ชัน
อุปกรณ์:
บันทึก. ขั้นแรกคุณควรทำซ้ำเนื้อหาทางทฤษฎีในหัวข้อ: "โดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่าของฟังก์ชัน" หลังจากนั้นคุณสามารถเริ่มดำเนินการในส่วนที่ใช้งานได้จริง
แนวทาง:
คำนิยาม: โดเมนฟังก์ชัน– นี่คือชุดของค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ x ที่ระบุฟังก์ชัน (หรือชุดของ x ที่ฟังก์ชันเหมาะสม)
การกำหนด:ดี(ใช่)ดี( ฉ)- โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
กฎ: เพื่อค้นหา oบลาสตีในการกำหนดฟังก์ชันจากกราฟ จำเป็นต้องออกแบบกราฟบน OX
คำนิยาม:ช่วงฟังก์ชันคือเซตของ y ที่ฟังก์ชันนี้สมเหตุสมผล
การกำหนด: E(y), E(ฉ)- ช่วงของฟังก์ชัน
กฎ: เพื่อค้นหา oบลาสตีค่าฟังก์ชันตามกราฟจะต้องฉายกราฟลงบน op-amp
№ 1. ค้นหาค่าฟังก์ชัน:
ก) ฉ(x) = 4 x+ ที่จุดที่ 2;20 ;
ข) ฉ(x) = 2 · เพราะ(x) ที่จุด; 0;
วี) ฉ(x) = ที่จุด 1;0; 2;
ช) ฉ(x) = 6 บาป 4 xที่จุด; 0;
จ) ฉ(x) = 2 9 x+10 ที่จุดที่ 2; 0; 5.
№ 2. ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน:
ก) ฉ(x) = ;ข ) ฉ(x) = ;วี ) ฉ(x) = ;
ช) ฉ(x- ง) ฉ(x- จ) ฉ (x) = 6 x +1;
และ) ฉ(x- ชม) ฉ(x) = .
№3. ค้นหาช่วงของฟังก์ชัน:
ก) ฉ(x) = 2+3 x- ข) ฉ(x) = 2 7 x + 3.
№ 4. ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความและโดเมนของค่าของฟังก์ชันที่มีกราฟแสดงในรูป:
บทเรียนภาคปฏิบัติหมายเลข 2
ฟังก์ชันคู่และคี่
เป้าหมาย: รวบรวมทักษะและทักษะการแก้ปัญหาในหัวข้อ “ฟังก์ชันคู่และคี่”
อุปกรณ์: สมุดบันทึกสำหรับการปฏิบัติงาน ปากกา แนวทางการปฏิบัติงานให้สำเร็จ
บันทึก. ขั้นแรกคุณควรทำซ้ำเนื้อหาทางทฤษฎีในหัวข้อ: "ฟังก์ชันคู่และคี่" หลังจากนั้นคุณสามารถเริ่มดำเนินการในส่วนที่ใช้งานได้จริง
อย่าลืมเกี่ยวกับการจัดรูปแบบที่ถูกต้องของโซลูชัน
แนวทาง:
คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของฟังก์ชัน ได้แก่ ความสม่ำเสมอและความคี่
คำนิยาม: ฟังก์ชันนี้เรียกว่าแปลก การเปลี่ยนแปลง ความหมายของมันกลับตรงกันข้าม
เหล่านั้น. ฉ (x)= ฉ (x)
กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด (0;0)
ตัวอย่าง : ฟังก์ชันคี่คือ y=x, y=, ย= บาป x และอื่น ๆ
ตัวอย่างเช่น กราฟ y= มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด (ดูรูปที่ 1):
รูปที่ 1. ช กราฟ y= (ลูกบาศก์พาราโบลา)
คำนิยาม: ฟังก์ชันนี้เรียกว่าสม่ำเสมอ ถ้าเมื่อเปลี่ยนเครื่องหมายของการโต้แย้งแล้วไม่เปลี่ยนแปลง ความหมายของมันนั่นคือฉ (x)= ฉ (x)
กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนออปแอมป์
ตัวอย่าง : ฟังก์ชันคู่ก็คือฟังก์ชัน y=, ย= ,
ย= เพราะxฯลฯ
ตัวอย่างเช่น ลองแสดงความสมมาตรของกราฟ y= ที่สัมพันธ์กับแกน op-amp:
รูปที่ 2. กราฟ =
งานสำหรับงานภาคปฏิบัติ:
№1. ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับการวิเคราะห์คู่หรือคี่:
1) ฉ (x) = 2 x 3 – 3; 2) ฉ (x) = 5 x 2 + 3;
3) ก. (x) = – +; 4) ก. (x) = –2 x 3 + 3;
5) y(x)= 7xค ทีจีx- 6) ย(x)= + เพราะx;
7) ที(เอ็กซ์)= ทีจีx 3; 8) ที(x)= + บาปx.
№2. ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับการวิเคราะห์คู่หรือคี่:
1) ฉ(x) = ; 2) ฉ (x) = 6 + · บาป 2 x· เพราะx;
3) ฉ(x) = ; 4) ฉ (x) = 2 + · เพราะ 2 x· บาปx;
5) ฉ(x) = ; 6) ฉ (x) = 3 + · บาป 4 x· เพราะx;
7) ฉ(x) = ; 8) ฉ (x) = 3 + · เพราะ 4 x· บาปx.
№3. ตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับคู่หรือคี่ตามกราฟ:
№4. ตรวจสอบว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือคี่?
บ่อยครั้ง ในการแก้ปัญหา เราต้องค้นหาค่าต่างๆ ของฟังก์ชันในโดเมนของคำจำกัดความหรือเซ็กเมนต์ ตัวอย่างเช่น จะต้องดำเนินการนี้เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันประเภทต่างๆ ประเมินนิพจน์ ฯลฯ
ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1
ในเนื้อหานี้ เราจะบอกคุณว่าช่วงของค่าของฟังก์ชันคืออะไร ให้วิธีการหลักที่สามารถคำนวณได้ และวิเคราะห์ปัญหาที่มีระดับความซับซ้อนต่างกัน เพื่อความชัดเจน ข้อกำหนดส่วนบุคคลจะแสดงด้วยกราฟ หลังจากอ่านบทความนี้ คุณจะมีความเข้าใจอย่างครอบคลุมเกี่ยวกับช่วงของฟังก์ชัน
เริ่มจากคำจำกัดความพื้นฐานกันก่อน
คำจำกัดความ 1
ชุดของค่าของฟังก์ชัน y = f (x) ในช่วงเวลาหนึ่ง x คือชุดของค่าทั้งหมดที่ฟังก์ชันนี้ใช้ในการวนซ้ำค่าทั้งหมด x ∈ X
คำจำกัดความ 2
ช่วงของค่าของฟังก์ชัน y = f (x) คือชุดของค่าทั้งหมดที่สามารถรับเมื่อค้นหาผ่านค่าของ x จากช่วง x ∈ (f)
ช่วงของค่าของฟังก์ชันบางอย่างมักจะแสดงด้วย E (f)
โปรดทราบว่าแนวคิดของชุดค่าของฟังก์ชันนั้นไม่เหมือนกันกับช่วงของค่าเสมอไป แนวคิดเหล่านี้จะเทียบเท่าก็ต่อเมื่อช่วงเวลาของค่า x เมื่อค้นหาชุดของค่าตรงกับโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
สิ่งสำคัญคือต้องแยกแยะระหว่างช่วงของค่าและช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร x สำหรับนิพจน์ทางด้านขวา y = f (x) ช่วงของค่าที่อนุญาต x สำหรับนิพจน์ f (x) จะเป็นโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้
ด้านล่างนี้เป็นภาพประกอบที่แสดงตัวอย่างบางส่วน เส้นสีน้ำเงินคือกราฟฟังก์ชัน เส้นสีแดงคือเส้นกำกับ จุดสีแดงและเส้นบนแกนพิกัดคือช่วงฟังก์ชัน
แน่นอนว่าสามารถรับช่วงของค่าของฟังก์ชันได้โดยการฉายกราฟของฟังก์ชันลงบนแกน O y ยิ่งไปกว่านั้น มันสามารถแสดงได้ทั้งตัวเลขเดี่ยวหรือชุดตัวเลข, ส่วน, ช่วง, รังสีเปิด, การรวมกันของช่วงตัวเลข ฯลฯ
มาดูวิธีหลักในการค้นหาช่วงค่าของฟังก์ชันกัน
เริ่มต้นด้วยการกำหนดชุดของค่าของฟังก์ชันต่อเนื่อง y = f (x) บนส่วนใดส่วนหนึ่งที่แสดง [ a ; ข ] . เรารู้ว่าฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนเซกเมนต์หนึ่งถึงค่าต่ำสุดและสูงสุดของมัน นั่นคือ ค่าที่ใหญ่ที่สุด m a x x ∈ a ; b f (x) และค่าที่น้อยที่สุด m i n x ∈ a ; ขฉ(x) . นี่หมายความว่าเราได้เซ็กเมนต์ m i n x ∈ a ; เพื่อน(x); ม x x ∈ ก ; b f (x) ซึ่งจะมีชุดค่าของฟังก์ชันดั้งเดิม จากนั้นสิ่งที่เราต้องทำคือค้นหาจุดต่ำสุดและสูงสุดที่ระบุในส่วนนี้
ลองใช้ปัญหาที่เราต้องกำหนดช่วงของค่าอาร์กไซน์กัน
ตัวอย่างที่ 1
เงื่อนไข:ค้นหาช่วงของค่า y = a rc sin x .
สารละลาย
ในกรณีทั่วไป โดเมนของคำจำกัดความของอาร์คไซน์จะอยู่ที่เซ็กเมนต์ [ - 1 ; 1]. เราจำเป็นต้องกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันที่ระบุ
y " = a rc บาป x " = 1 1 - x 2
เรารู้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นค่าบวกสำหรับค่าทั้งหมดของ x ที่อยู่ในช่วงเวลา [ - 1 ; 1 ] นั่นคือ ฟังก์ชันอาร์กไซน์จะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความ ซึ่งหมายความว่าจะใช้ค่าที่น้อยที่สุดเมื่อ x เท่ากับ - 1 และค่าที่ใหญ่ที่สุดคือเมื่อ x เท่ากับ 1
ม ฉัน n x ∈ - 1 ; 1 a rc sin x = a rc sin - 1 = - π 2 ม. x x ∈ - 1 ; 1 a rc บาป x = a rc บาป 1 = π 2
ดังนั้นช่วงของค่าของฟังก์ชันอาร์กไซน์จะเท่ากับ E (a rc sin x) = - π 2; พาย 2.
คำตอบ: E (a rc sin x) = - π 2 ; พาย 2
ตัวอย่างที่ 2
เงื่อนไข:คำนวณช่วงของค่า y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 ในช่วงเวลาที่กำหนด [ 1 ; 4].
สารละลาย
สิ่งที่เราต้องทำคือคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่กำหนด
ในการกำหนดจุดสุดขั้ว ต้องทำการคำนวณต่อไปนี้:
y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1 ; 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 · 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 1 ; = 15 + 33 8 µ 2 .
ตอนนี้เรามาหาค่าของฟังก์ชันที่กำหนดที่ส่วนท้ายของส่วนและจุด x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:
ปี (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 ปี 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 data 2. 08 ปี 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 data - 1 . 62 ปี (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32
ซึ่งหมายความว่าชุดของค่าฟังก์ชันจะถูกกำหนดโดยส่วน 117 - 165 33 512 32.
คำตอบ: 117 - 165 33 512 ; 32 .
เรามาดูชุดของค่าของฟังก์ชันต่อเนื่องกัน y = f (x) ในช่วงเวลา (a ; b) และ a ; + ; ข , - ∞ ; + .
เริ่มต้นด้วยการกำหนดจุดที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด รวมถึงช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงในช่วงเวลาที่กำหนด หลังจากนี้ เราจะต้องคำนวณขีดจำกัดด้านเดียวที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาและ/หรือขีดจำกัดที่อนันต์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราจำเป็นต้องกำหนดพฤติกรรมของฟังก์ชันภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด เรามีข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับสิ่งนี้
ตัวอย่างที่ 3
เงื่อนไข:คำนวณช่วงของฟังก์ชัน y = 1 x 2 - 4 ในช่วงเวลา (- 2 ; 2) .
สารละลาย
กำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ที่กำหนด
y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)
เราได้ค่าสูงสุดเท่ากับ 0 เนื่องจากเมื่อถึงจุดนี้สัญญาณของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไปและกราฟเริ่มลดลง ดูภาพประกอบ:
นั่นคือ y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 จะเป็นค่าสูงสุดของฟังก์ชัน
ตอนนี้เรามาดูพฤติกรรมของฟังก์ชันสำหรับ x ที่มีแนวโน้มเป็น - 2 ทางด้านขวาและ + 2 ทางด้านซ้าย กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราพบขีดจำกัดด้านเดียว:
ลิม x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = ลิม x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ ลิม x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = ลิม x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞
ปรากฎว่าค่าฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากลบอนันต์เป็น - 1 4 เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจาก - 2 เป็น 0 และเมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจาก 0 เป็น 2 ค่าฟังก์ชันจะลดลงไปสู่ลบอนันต์ ดังนั้นชุดของค่าของฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลาที่เราต้องการจะเป็น (- ∞ ; - 1 4 ] .
คำตอบ: (- ∞ ; - 1 4 ] .
ตัวอย่างที่ 4
เงื่อนไข: ระบุชุดของค่า y = t g x ในช่วงเวลาที่กำหนด - π 2; พาย 2.
สารละลาย
เรารู้ว่าในกรณีทั่วไป อนุพันธ์ของแทนเจนต์คือ - π 2; π 2 จะเป็นค่าบวก นั่นคือฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น ตอนนี้เรามาพิจารณาว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไรภายในขอบเขตที่กำหนด:
ลิม x → π 2 + 0 เสื้อ g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 เสื้อ g x = t g π 2 - 0 = + ∞
เราได้รับค่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นจากลบอนันต์เป็นบวกอนันต์เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจาก - π 2 เป็น π 2 และเราสามารถพูดได้ว่าเซตของคำตอบสำหรับฟังก์ชันนี้จะเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ตัวเลข
คำตอบ: - ∞ ; + ∞ .
ตัวอย่างที่ 5
เงื่อนไข:กำหนดช่วงของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ y = ln x
สารละลาย
เรารู้ว่าฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้สำหรับค่าบวกของอาร์กิวเมนต์ D (y) = 0; + . อนุพันธ์ในช่วงเวลาที่กำหนดจะเป็นค่าบวก: y " = ln x " = 1 x . ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น ต่อไป เราต้องกำหนดขีดจำกัดด้านเดียวสำหรับกรณีที่อาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็น 0 (ทางด้านขวา) และเมื่อ x ไปที่ค่าอนันต์:
ลิม x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
เราพบว่าค่าของฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากลบอนันต์เป็นบวกอนันต์เมื่อค่าของ x เปลี่ยนจากศูนย์เป็นบวกอนันต์ ซึ่งหมายความว่าเซตของจำนวนจริงทั้งหมดคือช่วงของค่าของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ
คำตอบ:เซตของจำนวนจริงทั้งหมดคือช่วงของค่าของฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ
ตัวอย่างที่ 6
เงื่อนไข:กำหนดช่วงของฟังก์ชัน y = 9 x 2 + 1 .
สารละลาย
ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดโดยให้ x เป็นจำนวนจริง ให้เราคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันตลอดจนช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง:
y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
ด้วยเหตุนี้ เราจึงพิจารณาว่าฟังก์ชันนี้จะลดลงหาก x ≥ 0; เพิ่มขึ้นถ้า x ≤ 0 ; มีจุดสูงสุด y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 โดยมีตัวแปรเท่ากับ 0
มาดูกันว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไรที่ระยะอนันต์:
ลิม x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 ลิม x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0
จากบันทึกเป็นที่ชัดเจนว่าค่าฟังก์ชันในกรณีนี้จะเข้าใกล้ 0 แบบไม่แสดงสัญญาณ
โดยสรุป: เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจากลบอนันต์เป็นศูนย์ ค่าฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจาก 0 เป็น 9 เมื่อค่าอาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจาก 0 เป็นบวกอนันต์ ค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องจะลดลงจาก 9 เป็น 0 เราได้แสดงสิ่งนี้ในรูป:
แสดงว่าช่วงค่าของฟังก์ชันจะเป็นช่วง E (y) = (0 ; 9 ]
คำตอบ:จ (ย) = (0 ; 9 ]
หากเราจำเป็นต้องกำหนดชุดของค่าของฟังก์ชัน y = f (x) ในช่วงเวลา [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] จากนั้นเราจะต้องดำเนินการศึกษาแบบเดียวกันทุกประการ เราจะไม่วิเคราะห์กรณีเหล่านี้ในตอนนี้: เราจะพบพวกเขาในภายหลัง ปัญหา.
แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าโดเมนของนิยามของฟังก์ชันหนึ่งๆ เป็นผลรวมของหลายช่วง? จากนั้นเราจำเป็นต้องคำนวณชุดของค่าในแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้และรวมเข้าด้วยกัน
ตัวอย่างที่ 7
เงื่อนไข:กำหนดช่วงของค่าที่จะเป็น y = x x - 2 .
สารละลาย
เนื่องจากไม่ควรหมุนตัวส่วนของฟังก์ชันเป็น 0 ดังนั้น D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + .
เริ่มต้นด้วยการกำหนดค่าฟังก์ชันในส่วนแรก - ∞; 2 ซึ่งเป็นลำแสงเปิด เรารู้ว่าฟังก์ชันบนมันจะลดลง นั่นคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้จะเป็นลบ
ลิม x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ ลิม x → - ∞ x x - 2 = ลิม x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = ลิม x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
จากนั้นในกรณีที่อาร์กิวเมนต์เปลี่ยนไปทางลบอนันต์ ค่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้ 1 แบบไม่แสดงกำกับ หากค่าของ x เปลี่ยนจากลบอนันต์เป็น 2 ค่านั้นจะลดลงจาก 1 เป็นลบอนันต์นั่นคือ ฟังก์ชั่นในส่วนนี้จะใช้ค่าจากช่วงเวลา - ∞; 1. เราแยกเอกภาพออกจากการให้เหตุผลของเราเนื่องจากค่าของฟังก์ชันไปไม่ถึง แต่จะเข้าใกล้เพียงเชิงซีมโตติคอลเท่านั้น
สำหรับไฟเปิด 2; + ∞ เราทำการกระทำแบบเดียวกันทุกประการ ฟังก์ชั่นก็ลดลงเช่นกัน:
ลิม x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ ลิม x → + ∞ x x - 2 = ลิม x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = ลิม x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
ค่าของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนดจะถูกกำหนดโดยชุดที่ 1 + . ซึ่งหมายความว่าช่วงของค่าที่เราต้องการสำหรับฟังก์ชันที่ระบุในเงื่อนไขจะเป็นการรวมกันของเซต - ∞ ; 1 และ 1; + .
คำตอบ:จ (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + .
สามารถดูได้บนกราฟ:
กรณีพิเศษคือฟังก์ชันคาบ ช่วงของค่าตรงกับชุดของค่าในช่วงเวลาที่สอดคล้องกับช่วงเวลาของฟังก์ชันนี้
ตัวอย่างที่ 8
เงื่อนไข:กำหนดช่วงของค่าไซน์ y = บาป x
สารละลาย
ไซน์เป็นฟังก์ชันคาบและมีคาบคือ 2 ไพ ใช้ส่วน 0; 2 π แล้วดูว่าเซตของค่านั้นจะเป็นอย่างไร
y " = (บาป x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z
ภายใน 0 ; 2 π ฟังก์ชันจะมีจุดปลายสุด π 2 และ x = 3 π 2 ลองคำนวณว่าค่าฟังก์ชันจะเท่ากับค่าใดรวมถึงขอบเขตของเซ็กเมนต์แล้วเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด
y (0) = บาป 0 = 0 y π 2 = บาป π 2 = 1 y 3 π 2 = บาป 3 π 2 = - 1 y (2 π) = บาป (2 π) = 0 ⇔ นาที x ∈ 0 ; 2 π บาป x = บาป 3 π 2 = - 1, สูงสุด x ∈ 0; 2 π บาป x = บาป π 2 = 1
คำตอบ: E (บาป x) = - 1 ; 1.
หากคุณต้องการทราบช่วงของฟังก์ชันต่างๆ เช่น กำลัง เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ตรีโกณมิติ ตรีโกณมิติผกผัน เราขอแนะนำให้คุณอ่านบทความเกี่ยวกับฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานอีกครั้ง ทฤษฎีที่เรานำเสนอที่นี่ช่วยให้เราสามารถตรวจสอบค่าที่ระบุไว้ในนั้นได้ ขอแนะนำให้เรียนรู้เนื่องจากมักจำเป็นในการแก้ปัญหา หากคุณทราบช่วงของฟังก์ชันพื้นฐาน คุณสามารถค้นหาช่วงของฟังก์ชันที่ได้รับจากฟังก์ชันพื้นฐานได้อย่างง่ายดายโดยใช้การแปลงทางเรขาคณิต
ตัวอย่างที่ 9
เงื่อนไข:กำหนดช่วงของค่า y = 3 a rc cos x 3 + 5 π 7 - 4 .
สารละลาย
เรารู้ว่าส่วนตั้งแต่ 0 ถึง pi คือช่วงอาร์คโคไซน์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง E (rc cos x) = 0; π หรือ 0 ≤ a rc cos x ≤ π เราสามารถหาฟังก์ชัน a r c cos x 3 + 5 π 7 จากส่วนโค้งโคไซน์ได้โดยการขยับและยืดมันไปตามแกน O x แต่การแปลงดังกล่าวไม่ได้ให้อะไรเราเลย นี่หมายถึง 0 ≤ a rc cos x 3 + 5 π 7 ≤ π
ฟังก์ชัน 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 สามารถหาได้จากโคไซน์ส่วนโค้ง a r c cos x 3 + 5 π 7 โดยการยืดไปตามแกนพิกัด เช่น 0 ≤ 3 a rc cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . การแปลงครั้งสุดท้ายคือการเลื่อนไปตามแกน O y ด้วยค่า 4 ค่า เป็นผลให้เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า:
0 - 4 ≤ 3 a rc cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 อาร์คคอส x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
เราพบว่าช่วงของค่าที่เราต้องการจะเท่ากับ E (y) = - 4; 3 π - 4 .
คำตอบ:จ (ย) = - 4 ; 3 π - 4 .
เราจะเขียนอีกตัวอย่างหนึ่งโดยไม่มีคำอธิบายเพราะว่า มันคล้ายกับอันก่อนหน้าโดยสิ้นเชิง
ตัวอย่างที่ 10
เงื่อนไข:คำนวณว่าช่วงของฟังก์ชัน y = 2 2 x - 1 + 3 จะเป็นเท่าใด
สารละลาย
ลองเขียนฟังก์ชันที่ระบุในเงื่อนไขใหม่เป็น y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3 สำหรับฟังก์ชันกำลัง y = x - 1 2 ช่วงของค่าจะถูกกำหนดในช่วงเวลา 0 + ∞ เช่น x - 1 2 > 0 . ในกรณีนี้:
2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3
ดังนั้น E(y) = 3; + .
คำตอบ:อี(ย) = 3; + .
ตอนนี้เรามาดูวิธีการหาช่วงของค่าของฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องกัน ในการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องแบ่งพื้นที่ทั้งหมดออกเป็นระยะๆ และค้นหาชุดของค่าในแต่ละชุด จากนั้นจึงรวมสิ่งที่เราได้รับ เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ได้ดีขึ้น เราขอแนะนำให้คุณตรวจสอบเบรกพอยต์ฟังก์ชันประเภทหลักๆ
ตัวอย่างที่ 11
เงื่อนไข:ฟังก์ชันที่กำหนด y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. คำนวณช่วงของค่า
สารละลาย
ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้สำหรับค่าทั้งหมดของ x ให้เราวิเคราะห์เพื่อความต่อเนื่องโดยมีค่าอาร์กิวเมนต์เท่ากับ - 3 และ 3:
ลิม x → - 3 - 0 f (x) = ลิม x → - 3 2 บาป x 2 - 4 = 2 บาป - 3 2 - 4 = - 2 บาป 3 2 - 4 ลิม x → - 3 + 0 f (x) = ลิม x → - 3 (1) = - 1 ⇒ ลิม x → - 3 - 0 f (x) ≠ ลิม x → - 3 + 0 f (x)
เรามีความไม่ต่อเนื่องแบบแรกที่ไม่สามารถถอดออกได้โดยมีค่าของอาร์กิวเมนต์ - 3 เมื่อเราเข้าใกล้ ค่าของฟังก์ชันมีแนวโน้มเป็น - 2 sin 3 2 - 4 และเมื่อ x มีแนวโน้มเป็น - 3 ทางด้านขวา ค่าจะมีแนวโน้มเป็น - 1 .
ลิม x → 3 - 0 f (x) = ลิม x → 3 - 0 (- 1) = 1 ลิม x → 3 + 0 f (x) = ลิม x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
เรามีความไม่ต่อเนื่องแบบที่สองที่ไม่อาจลบเลือนได้ที่จุดที่ 3 เมื่อฟังก์ชันมีแนวโน้มไปที่ค่าของมัน ค่าของมันจะเข้าใกล้ - 1 เมื่อพุ่งไปที่จุดเดียวกันทางด้านขวา - ถึงลบอนันต์
ซึ่งหมายความว่าโดเมนคำจำกัดความทั้งหมดของฟังก์ชันนี้แบ่งออกเป็น 3 ช่วง (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞)
ในตอนแรก เราได้ฟังก์ชัน y = 2 sin x 2 - 4 เนื่องจาก - 1 ≤ sin x ≤ 1 เราได้:
1 ≤ บาป x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
ซึ่งหมายความว่าในช่วงเวลาที่กำหนด (- ∞ ; - 3 ] ชุดของค่าฟังก์ชันคือ [ - 6 ; 2 ] .
ในช่วงครึ่งเวลา (- 3; 3 ] ผลลัพธ์จะเป็นฟังก์ชันคงที่ y = - 1 ดังนั้นค่าทั้งชุดในกรณีนี้จะลดลงเหลือตัวเลขเดียว - 1
ในช่วงเวลาที่สอง 3 ; + ∞ เรามีฟังก์ชัน y = 1 x - 3 . กำลังลดลงเพราะ y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
ลิม x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ ลิม x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
ซึ่งหมายความว่าชุดของค่าของฟังก์ชันดั้งเดิมสำหรับ x > 3 คือชุด 0; + . ทีนี้มารวมผลลัพธ์กัน: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + .
คำตอบ:จ (ย) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + .
วิธีแก้ไขจะแสดงในกราฟ:
ตัวอย่างที่ 12
เงื่อนไข: มีฟังก์ชัน y = x 2 - 3 e x กำหนดชุดของค่าของมัน
สารละลาย
มันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดที่เป็นจำนวนจริง ให้เราพิจารณาว่าฟังก์ชันนี้จะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาใดและจะลดลงในช่วงใด:
y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x
เรารู้ว่าอนุพันธ์จะกลายเป็น 0 ถ้า x = - 1 และ x = 3 ลองวางจุดสองจุดนี้ไว้บนแกนแล้วดูว่าอนุพันธ์จะมีสัญญาณอะไรในช่วงเวลาผลลัพธ์
ฟังก์ชั่นจะลดลง (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) และเพิ่มขึ้น [ - 1 ; 3]. จุดต่ำสุดจะเป็น - 1 สูงสุด - 3
ตอนนี้เรามาดูค่าฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกัน:
y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3
ลองดูพฤติกรรมของฟังก์ชันที่อนันต์:
ลิม x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = ลิม x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = ลิม x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 ลิม x → + ∞ 1 เช่น x = 2 1 + ∞ = + 0
กฎของโลปิตาลใช้ในการคำนวณขีดจำกัดที่สอง เรามาพรรณนาถึงความคืบหน้าของโซลูชันของเราบนกราฟกัน
มันแสดงให้เห็นว่าค่าฟังก์ชันจะลดลงจากบวกอนันต์เป็น - 2 e เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนจากลบอนันต์เป็น - 1 หากเปลี่ยนจาก 3 เป็นบวกอนันต์ค่าจะลดลงจาก 6 e - 3 เป็น 0 แต่จะไม่ถึง 0
ดังนั้น E(y) = [ - 2 e ; + ) .
คำตอบ:อี(y) = [ - 2 อี ; + )
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
คำนิยาม: ฟังก์ชันตัวเลขคือการโต้ตอบที่เชื่อมโยงแต่ละจำนวน x จากเซตที่กำหนดเข้ากับตัวเลข y ตัวเดียว
การกำหนด:
โดยที่ x คือตัวแปรอิสระ (อาร์กิวเมนต์) y คือตัวแปรตาม (ฟังก์ชัน) ชุดของค่า x เรียกว่าโดเมนของฟังก์ชัน (แทนด้วย D(f)) ชุดของค่า y เรียกว่าช่วงของค่าของฟังก์ชัน (แสดงเป็น E(f)) กราฟของฟังก์ชันคือเซตของจุดในระนาบที่มีพิกัด (x, f(x))
วิธีการระบุฟังก์ชัน
- วิธีวิเคราะห์ (ใช้สูตรทางคณิตศาสตร์)
- วิธีการแบบตาราง (ใช้ตาราง)
- วิธีการพรรณนา (ใช้คำอธิบายด้วยวาจา);
- วิธีกราฟิก (ใช้กราฟ)
คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชัน
1. คู่และคี่
ฟังก์ชันจะถูกเรียกใช้แม้ว่า
– โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับศูนย์
ฉ(-x) = ฉ(x)
กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรรอบแกน 0ปี
ฟังก์ชันเรียกว่าคี่ถ้า
– โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับศูนย์
– สำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความ ฉ(-x) = –ฉ(x)
กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด
2. ความถี่
ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่า คาบ ด้วยจุด ถ้าสำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความ ฉ(x) = ฉ(x+T) = ฉ(x-T) .
กราฟของฟังก์ชันคาบประกอบด้วยส่วนที่เหมือนกันซ้ำกันไม่จำกัด
3. ความซ้ำซากจำเจ (เพิ่มขึ้น ลดลง)
ฟังก์ชัน f(x) จะเพิ่มขึ้นบนเซต P ถ้า x 1 และ x 2 ใดๆ จากเซตนี้ โดยที่ x 1
ฟังก์ชัน f(x) จะลดลงบนเซต P หาก x 1 และ x 2 ใดๆ จากเซตนี้ โดยที่ x 1 f(x 2)
4. สุดขั้ว
จุด X สูงสุดเรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) หาก x ทั้งหมดจากย่านใกล้เคียงบางแห่งของ X max มีความไม่เท่าเทียมกัน f(x) f(X max)
ค่า Y max =f(X max) เรียกว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันนี้
X สูงสุด – จุดสูงสุด
ที่สูงสุด - สูงสุด
จุด X min เรียกว่าจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) ถ้า x ทั้งหมดจากย่านใกล้เคียงของ X min เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน f(x) f(X min)
ค่า Y min =f(X min) เรียกว่าค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้
X นาที – จุดต่ำสุด
ใช่ นาที – ขั้นต่ำ
X นาที , X สูงสุด – จุดสุดขั้ว
Y นาที , Y สูงสุด – สุดขีด
5. ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน
ศูนย์ของฟังก์ชัน y = f(x) คือค่าของอาร์กิวเมนต์ x ซึ่งฟังก์ชันกลายเป็นศูนย์: f(x) = 0
X 1, X 2, X 3 – ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน y = f(x)
งานและการทดสอบในหัวข้อ "คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชัน"
- คุณสมบัติฟังก์ชัน - ฟังก์ชันตัวเลขชั้นประถมศึกษาปีที่ 9
บทเรียน: 2 การมอบหมาย: 11 การทดสอบ: 1
- คุณสมบัติของลอการิทึม - ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมเกรด 11
บทเรียน: 2 การมอบหมาย: 14 การทดสอบ: 1
- ฟังก์ชันสแควร์รูท คุณสมบัติ และกราฟ - ฟังก์ชันรากที่สอง คุณสมบัติของรากที่สองเกรด 8
บทเรียน: 1 การบ้าน: 9 แบบทดสอบ: 1
- ฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติ และกราฟ - องศาและราก ฟังก์ชั่นพลังงานเกรด 11
บทเรียน: 4 การบ้าน: 14 การทดสอบ: 1
- ฟังก์ชั่น - หัวข้อสำคัญในการทบทวนการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์
งาน: 24
เมื่อศึกษาหัวข้อนี้แล้ว คุณควรจะสามารถค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันต่างๆ ได้ กำหนดช่วงความซ้ำซ้อนของฟังก์ชันโดยใช้กราฟ และตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อหาความสม่ำเสมอและความคี่ ลองพิจารณาแก้ไขปัญหาที่คล้ายกันโดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง.
1. ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
สารละลาย:โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันหาได้จากเงื่อนไข
1) โดเมนฟังก์ชันและช่วงฟังก์ชัน.
โดเมนของฟังก์ชันคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องทั้งหมด x(ตัวแปร x) ซึ่งฟังก์ชัน ย = ฉ(x)มุ่งมั่น. พิสัยของฟังก์ชันคือเซตของค่าจริงทั้งหมด ยซึ่งฟังก์ชันยอมรับ
ในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา ฟังก์ชันจะศึกษาเฉพาะเซตของจำนวนจริงเท่านั้น
2) ฟังก์ชั่นศูนย์.
ฟังก์ชันศูนย์คือค่าของอาร์กิวเมนต์ที่มีค่าของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์
3) ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน.
ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชันคือชุดของค่าอาร์กิวเมนต์ซึ่งค่าฟังก์ชันเป็นเพียงค่าบวกหรือค่าลบเท่านั้น
4) ความน่าเบื่อหน่ายของฟังก์ชัน.
ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น (ในช่วงเวลาหนึ่ง) คือฟังก์ชันที่มีค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นจากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันที่ลดลง (ในช่วงเวลาหนึ่ง) คือฟังก์ชันที่มีค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากกว่าจากช่วงเวลานี้สอดคล้องกับค่าที่น้อยกว่าของฟังก์ชัน
5) ฟังก์ชันคู่ (คี่).
ฟังก์ชันคู่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดและสำหรับจุดใดๆ เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความคือความเท่าเทียมกัน ฉ(-x) = ฉ(x)- กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรเกี่ยวกับพิกัด
ฟังก์ชันคี่คือฟังก์ชันที่มีโดเมนของคำจำกัดความสมมาตรโดยคำนึงถึงจุดกำเนิดและสำหรับค่าใดๆ เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง ฉ(-x) = - ฉ(x- กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด
6) ฟังก์ชั่นที่จำกัดและไม่ จำกัด.
ฟังก์ชันจะเรียกว่ามีขอบเขตหากมีจำนวนบวก M โดยที่ |f(x)| ≤ M สำหรับค่าทั้งหมดของ x หากไม่มีตัวเลขดังกล่าว แสดงว่าฟังก์ชันนั้นไม่จำกัด
7) ช่วงเวลาของฟังก์ชัน.
ฟังก์ชัน f(x) จะเป็นคาบหากมีตัวเลข T ที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นสำหรับ x ใดๆ จากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จะคงค่าไว้ดังนี้: f(x+T) = f(x) จำนวนที่น้อยที่สุดนี้เรียกว่าคาบของฟังก์ชัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นแบบคาบ (สูตรตรีโกณมิติ)
19. ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น คุณสมบัติ และกราฟ การประยุกต์ฟังก์ชันทางเศรษฐศาสตร์
ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น คุณสมบัติและกราฟของพวกเขา
1. ฟังก์ชันเชิงเส้น
ฟังก์ชันเชิงเส้น เรียกว่าฟังก์ชันในรูปแบบ โดยที่ x เป็นตัวแปร a และ b เป็นจำนวนจริง
ตัวเลข กเรียกว่าความชันของเส้น ซึ่งเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมเอียงของเส้นนี้กับทิศทางบวกของแกนแอบซิสซา กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง มันถูกกำหนดโดยสองจุด
คุณสมบัติของฟังก์ชันเชิงเส้น
1. โดเมนของคำจำกัดความ - เซตของจำนวนจริงทั้งหมด: D(y)=R
2. ชุดค่าคือชุดของจำนวนจริงทั้งหมด: E(y)=R
3. ฟังก์ชันจะใช้ค่าศูนย์เมื่อหรือ
4. ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (ลดลง) ทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ
5. ฟังก์ชันเชิงเส้นมีความต่อเนื่องตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด สามารถหาอนุพันธ์ได้ และ
2. ฟังก์ชันกำลังสอง
ฟังก์ชันในรูปแบบที่ x เป็นตัวแปร เรียกว่าสัมประสิทธิ์ a, b, c เป็นจำนวนจริง กำลังสอง
การทำงาน y=f(x) เป็นการขึ้นอยู่กับตัวแปร y กับตัวแปร x เมื่อค่าที่ถูกต้องแต่ละค่าของตัวแปร x สอดคล้องกับค่าเดียวของตัวแปร y
โดเมนนิยามฟังก์ชัน D(f) คือเซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปร x
ช่วงฟังก์ชัน E(f) คือเซตของค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของตัวแปร y
กราฟของฟังก์ชัน y=f(x) คือเซตของจุดบนระนาบซึ่งพิกัดเป็นไปตามการพึ่งพาฟังก์ชันที่กำหนด นั่นคือจุดในรูปแบบ M (x; f(x)) กราฟของฟังก์ชันคือเส้นบางเส้นบนระนาบ
ถ้า b=0 ฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ y=kx และจะถูกเรียก สัดส่วนโดยตรง.
D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R
กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรง
ความชัน k ของเส้นตรง y=kx+b คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:
k= tan \alpha โดยที่ \alpha คือมุมเอียงของเส้นตรงไปยังทิศทางบวกของแกน Ox
1) ฟังก์ชั่นจะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากสำหรับ k > 0
ตัวอย่างเช่น: y=x+1
2) ฟังก์ชั่นจะลดลงแบบโมโนโทนเมื่อ k< 0 .
ตัวอย่างเช่น: y=-x+1
3) ถ้า k=0 แล้วให้ b ค่าใดๆ เราจะได้ตระกูลเส้นตรงที่ขนานกับแกน Ox
ตัวอย่างเช่น: y=-1
สัดส่วนผกผัน
สัดส่วนผกผันเรียกว่าฟังก์ชันของแบบฟอร์ม y=\frac (k)(x)โดยที่ k เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์
D(f) : x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \in \left \(R/y \neq 0 \right \).
กราฟฟังก์ชัน y=\frac (k)(x)เป็นอติพจน์
1) ถ้า k > 0 แล้วกราฟของฟังก์ชันจะอยู่ในไตรมาสที่หนึ่งและสามของระนาบพิกัด
ตัวอย่างเช่น: y=\frac(1)(x)
2) ถ้าเค< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.
ตัวอย่างเช่น: y=-\frac(1)(x)
ฟังก์ชั่นพลังงาน
ฟังก์ชั่นพลังงานเป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ y=x^n โดยที่ n คือจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์
1) ถ้า n=2 แล้ว y=x^2 D(f) : x \ใน R; \: E(f) : y \ใน- คาบหลักของฟังก์ชัน T=2 \pi