วิธีแก้สมการลอการิทึม สมการลอการิทึม

ดังที่คุณทราบ เมื่อคูณนิพจน์ด้วยกำลัง เลขยกกำลังจะรวมกันเสมอ (a b *a c = a b+c) กฎทางคณิตศาสตร์นี้ได้รับมาจากอาร์คิมิดีส และต่อมาในศตวรรษที่ 8 นักคณิตศาสตร์วีราเซนได้สร้างตารางเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม พวกเขาเป็นผู้ทำหน้าที่ในการค้นพบลอการิทึมเพิ่มเติม ตัวอย่างการใช้ฟังก์ชันนี้สามารถพบได้เกือบทุกที่ที่คุณต้องการลดความซับซ้อนของการคูณที่ยุ่งยากด้วยการบวกง่ายๆ หากคุณใช้เวลา 10 นาทีในการอ่านบทความนี้ เราจะอธิบายว่าลอการิทึมคืออะไรและจะทำงานร่วมกับลอการิทึมได้อย่างไร ในภาษาที่ง่ายและเข้าถึงได้

ความหมายในวิชาคณิตศาสตร์

ลอการิทึมคือนิพจน์ในรูปแบบต่อไปนี้: log a b=c นั่นคือลอการิทึมของจำนวนที่ไม่เป็นลบ (นั่นคือบวกใดๆ) “b” ไปยังฐาน “a” ถือเป็นกำลัง “c ” ซึ่งจำเป็นต้องเพิ่มฐาน “a” เพื่อให้ได้ค่า "b" ในท้ายที่สุด ลองวิเคราะห์ลอการิทึมโดยใช้ตัวอย่างสมมติว่ามีบันทึกนิพจน์ 2 8 จะหาคำตอบได้อย่างไร? ง่ายมาก คุณต้องค้นหากำลังโดยตั้งแต่ 2 ถึงกำลังที่ต้องการ คุณจะได้ 8 หลังจากคำนวณในหัวแล้ว เราก็จะได้เลข 3! และนั่นก็จริง เพราะ 2 ยกกำลัง 3 ให้คำตอบเป็น 8

ประเภทของลอการิทึม

สำหรับนักเรียนและนักเรียนหลายคนหัวข้อนี้ดูซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่จริงๆ แล้วลอการิทึมไม่ได้น่ากลัวนัก สิ่งสำคัญคือการเข้าใจความหมายทั่วไปและจดจำคุณสมบัติและกฎบางอย่าง นิพจน์ลอการิทึมมีสามประเภทแยกกัน:

1. ลอการิทึมธรรมชาติ ln a โดยที่ฐานคือเลขออยเลอร์ (e = 2.7)
2. ทศนิยม a โดยที่ฐานคือ 10
3. ลอการิทึมของจำนวนใดๆ b ถึงฐาน a>1

แต่ละรายการได้รับการแก้ไขด้วยวิธีมาตรฐาน รวมถึงการทำให้ง่ายขึ้น การลดลง และการลดลงตามมาเป็นลอการิทึมเดียวโดยใช้ทฤษฎีบทลอการิทึม เพื่อให้ได้ค่าลอการิทึมที่ถูกต้องคุณควรจำคุณสมบัติของลอการิทึมและลำดับของการกระทำเมื่อทำการแก้ไข

กฎและข้อจำกัดบางประการ

ในทางคณิตศาสตร์ มีกฎ-ข้อจำกัดหลายประการที่ได้รับการยอมรับว่าเป็นสัจพจน์ กล่าวคือ กฎเกณฑ์เหล่านั้นไม่อยู่ภายใต้การอภิปรายและเป็นความจริง ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะหารตัวเลขด้วยศูนย์ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากคู่ของจำนวนลบด้วย ลอการิทึมยังมีกฎของตัวเอง ซึ่งคุณสามารถเรียนรู้การทำงานได้อย่างง่ายดาย แม้จะมีนิพจน์ลอการิทึมที่ยาวและมีความจุมาก:

• ฐาน "a" จะต้องมากกว่าศูนย์เสมอและไม่เท่ากับ 1 มิฉะนั้นนิพจน์จะสูญเสียความหมายเนื่องจาก "1" และ "0" ในระดับใดก็ตามจะเท่ากับค่าของพวกเขาเสมอ
• ถ้า a > 0 แล้วก็ b >0 ปรากฎว่า “c” ต้องมากกว่าศูนย์ด้วย

วิธีการแก้ลอการิทึม?

ตัวอย่างเช่น มอบหมายงานให้ค้นหาคำตอบของสมการ 10 x = 100 ซึ่งง่ายมาก คุณต้องเลือกยกกำลังโดยเพิ่มเลขสิบที่เราได้ 100 ซึ่งแน่นอนว่าคือ 10 2 = 100.

ทีนี้ลองแสดงนิพจน์นี้ในรูปแบบลอการิทึม เราได้บันทึก 10 100 = 2 เมื่อแก้ลอการิทึม การกระทำทั้งหมดจะมาบรรจบกันจริงเพื่อค้นหาพลังที่จำเป็นในการเข้าสู่ฐานของลอการิทึมเพื่อให้ได้ตัวเลขที่กำหนด

ในการกำหนดค่าของระดับที่ไม่รู้จักอย่างแม่นยำ คุณต้องเรียนรู้วิธีทำงานกับตารางองศา ดูเหมือนว่านี้:

อย่างที่คุณเห็น เลขยกกำลังบางตัวสามารถเดาได้โดยสังหรณ์ใจ หากคุณมีความคิดทางเทคนิคและความรู้เกี่ยวกับตารางสูตรคูณ อย่างไรก็ตามสำหรับค่าที่มากขึ้นคุณจะต้องมีตารางกำลัง สามารถใช้งานได้แม้กับผู้ที่ไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนเลย คอลัมน์ด้านซ้ายประกอบด้วยตัวเลข (ฐาน a) แถวบนสุดของตัวเลขคือค่ายกกำลัง c ที่ทำให้ตัวเลข a เพิ่มขึ้น ที่ทางแยก เซลล์จะมีค่าตัวเลขที่เป็นคำตอบ (ac =b) ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเซลล์แรกสุดที่มีหมายเลข 10 แล้วยกกำลังสอง เราจะได้ค่า 100 ซึ่งระบุไว้ที่จุดตัดของทั้งสองเซลล์ของเรา ทุกอย่างเรียบง่ายจนแม้แต่นักมนุษยนิยมที่แท้จริงที่สุดก็ยังเข้าใจ!

สมการและอสมการ

ปรากฎว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ เลขชี้กำลังคือลอการิทึม ดังนั้น นิพจน์ตัวเลขทางคณิตศาสตร์ใดๆ จึงสามารถเขียนเป็นความเท่าเทียมกันของลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น 3 4 =81 สามารถเขียนเป็นลอการิทึมฐาน 3 ของ 81 เท่ากับสี่ (บันทึก 3 81 = 4) สำหรับกำลังลบ กฎจะเหมือนกัน: 2 -5 = 1/32 เราเขียนมันเป็นลอการิทึม เราจะได้บันทึก 2 (1/32) = -5 ส่วนที่น่าสนใจที่สุดส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์คือหัวข้อ "ลอการิทึม" เราจะดูตัวอย่างและคำตอบของสมการด้านล่างทันทีหลังจากศึกษาคุณสมบัติของพวกมัน ตอนนี้เรามาดูกันว่าอสมการมีลักษณะอย่างไรและจะแยกแยะพวกมันออกจากสมการได้อย่างไร

ได้รับนิพจน์ต่อไปนี้: log 2 (x-1) > 3 - เป็นอสมการลอการิทึมเนื่องจากค่าที่ไม่รู้จัก "x" อยู่ภายใต้เครื่องหมายลอการิทึม และในนิพจน์จะมีการเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณ: ลอการิทึมของจำนวนที่ต้องการถึงฐานสองมากกว่าจำนวนสาม

ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดระหว่างสมการลอการิทึมและอสมการคือสมการที่มีลอการิทึม (เช่นลอการิทึม 2 x = √9) บ่งบอกถึงค่าตัวเลขเฉพาะหนึ่งค่าขึ้นไปในคำตอบในขณะที่แก้อสมการทั้งช่วงที่ยอมรับได้ ค่าและจุดถูกกำหนดโดยทำลายฟังก์ชันนี้ ด้วยเหตุนี้ คำตอบจึงไม่ใช่ชุดตัวเลขธรรมดาๆ ดังเช่นในคำตอบของสมการ แต่เป็นชุดต่อเนื่องหรือชุดตัวเลข

ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึม

เมื่อแก้ไขงานดั้งเดิมในการค้นหาค่าลอการิทึมอาจไม่ทราบคุณสมบัติของมัน อย่างไรก็ตาม เมื่อพูดถึงสมการลอการิทึมหรืออสมการ ก่อนอื่น จำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนและนำไปใช้ในทางปฏิบัติเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของลอการิทึม เราจะดูตัวอย่างสมการในภายหลัง เรามาดูรายละเอียดคุณสมบัติแต่ละอย่างกันก่อน

1. ข้อมูลประจำตัวหลักมีลักษณะดังนี้: a logaB =B ใช้เฉพาะเมื่อ a มากกว่า 0 ไม่เท่ากับ 1 และ B มากกว่าศูนย์
2. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถแสดงได้ในสูตรต่อไปนี้: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2 ในกรณีนี้เงื่อนไขบังคับคือ: d, s 1 และ s 2 > 0; ก≠1. คุณสามารถพิสูจน์สูตรลอการิทึมนี้พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ได้ ให้บันทึก a s 1 = f 1 และบันทึก a s 2 = f 2 จากนั้น a f1 = s 1, a f2 = s 2 เราจะได้ว่า s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (คุณสมบัติของ องศา ) จากนั้นตามคำจำกัดความ: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
3. ลอการิทึมของผลหารมีลักษณะดังนี้: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2
4. ทฤษฎีบทในรูปแบบของสูตรจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: log a q b n = n/q log a b

สูตรนี้เรียกว่า “คุณสมบัติของระดับลอการิทึม” มันคล้ายกับคุณสมบัติขององศาปกติ และไม่น่าแปลกใจเลย เพราะคณิตศาสตร์ทั้งหมดมีพื้นฐานมาจากสมมุติฐานตามธรรมชาติ มาดูหลักฐานกัน

ให้บันทึก a b = t จะได้ว่า t =b ถ้าเรายกกำลังทั้งสองส่วน m: a tn = bn ;

แต่เนื่องจาก tn = (a q) nt/q = bn ดังนั้น ให้บันทึก a q bn = (n*t)/t จากนั้นให้บันทึก a q bn = n/q บันทึก a b ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างปัญหาและความไม่เท่าเทียมกัน

ประเภทปัญหาที่พบบ่อยที่สุดในลอการิทึมคือตัวอย่างของสมการและอสมการ มีอยู่ในหนังสือโจทย์ปัญหาเกือบทั้งหมด และยังเป็นส่วนบังคับของการสอบคณิตศาสตร์ด้วย หากต้องการเข้ามหาวิทยาลัยหรือสอบเข้าวิชาคณิตศาสตร์ คุณจำเป็นต้องรู้วิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง

น่าเสียดายที่ไม่มีแผนหรือแผนงานเดียวในการแก้ไขและกำหนดค่าลอการิทึมที่ไม่ทราบ แต่กฎบางอย่างสามารถนำไปใช้กับอสมการทางคณิตศาสตร์หรือสมการลอการิทึมแต่ละรายการได้ ก่อนอื่น คุณควรค้นหาว่านิพจน์นั้นสามารถทำให้ง่ายขึ้นหรือลดลงเป็นรูปแบบทั่วไปได้หรือไม่ คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ลอการิทึมแบบยาวได้หากคุณใช้คุณสมบัติอย่างถูกต้อง มาทำความรู้จักกับพวกเขาได้อย่างรวดเร็ว

เมื่อแก้สมการลอการิทึม เราต้องพิจารณาว่าเรามีลอการิทึมประเภทใด: นิพจน์ตัวอย่างอาจมีลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม

นี่คือตัวอย่าง ln100, ln1026 วิธีแก้ปัญหาอยู่ที่ว่าต้องระบุกำลังที่ฐาน 10 จะเท่ากับ 100 และ 1,026 ตามลำดับ ในการแก้ลอการิทึมธรรมชาติ คุณต้องใช้อัตลักษณ์ลอการิทึมหรือคุณสมบัติของพวกมัน ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาลอการิทึมประเภทต่างๆ

วิธีใช้สูตรลอการิทึม: พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ไข

ลองมาดูตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึมกัน

1. คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถนำไปใช้ในงานที่จำเป็นต้องแยกค่า b จำนวนมากให้เป็นปัจจัยที่ง่ายกว่า เช่น log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512 คำตอบคือ 9
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - อย่างที่คุณเห็น การใช้คุณสมบัติที่สี่ของกำลังลอการิทึม เราจัดการเพื่อแก้นิพจน์ที่ดูเหมือนซับซ้อนและแก้ไขไม่ได้ คุณเพียงแค่ต้องแยกตัวประกอบฐานแล้วนำค่าเลขชี้กำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึม

งานที่ได้รับมอบหมายจากการสอบ Unified State

ลอการิทึมมักพบในการสอบเข้า โดยเฉพาะปัญหาลอการิทึมหลายอย่างในการสอบ Unified State (การสอบของรัฐสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาในโรงเรียนทุกคน) โดยทั่วไปแล้ว งานเหล่านี้ไม่เพียงมีอยู่ในส่วน A (ส่วนทดสอบที่ง่ายที่สุดของการสอบ) แต่ยังอยู่ในส่วน C ด้วย (งานที่ซับซ้อนและมีขนาดใหญ่ที่สุด) การสอบต้องใช้ความรู้ที่ถูกต้องและครบถ้วนในหัวข้อ “ลอการิทึมธรรมชาติ”

ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหานำมาจากการสอบ Unified State เวอร์ชันอย่างเป็นทางการ เรามาดูกันว่างานดังกล่าวจะแก้ไขอย่างไร

ให้บันทึก 2 (2x-1) = 4 วิธีแก้ไข:
ลองเขียนนิพจน์ใหม่ โดยลดความซับซ้อนของลอการิทึมเล็กๆ น้อยๆ 2 (2x-1) = 2 2 โดยนิยามของลอการิทึม เราจะได้ 2x-1 = 2 4 ดังนั้น 2x = 17; x = 8.5

• วิธีที่ดีที่สุดคือลดลอการิทึมทั้งหมดให้เป็นฐานเดียวกัน เพื่อให้การแก้ปัญหาไม่ยุ่งยากและสับสน
• นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายลอการิทึมจะแสดงเป็นค่าบวก ดังนั้น เมื่อเลขชี้กำลังของนิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึมและเมื่อฐานถูกนำออกมาเป็นตัวคูณ นิพจน์ที่เหลืออยู่ภายใต้ลอการิทึมจะต้องเป็นค่าบวก

ในบทนี้ เราจะทบทวนข้อเท็จจริงทางทฤษฎีพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึม และพิจารณาการแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด

ให้เราจำคำจำกัดความกลาง - คำจำกัดความของลอการิทึม มันเกี่ยวข้องกับการแก้สมการเลขชี้กำลัง สมการนี้มีรากเดียว เรียกว่าลอการิทึมของ b ถึงฐาน a:

คำนิยาม:

ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a คือเลขชี้กำลังที่ต้องยกฐาน a เพื่อให้ได้ b

ให้เราเตือนคุณ เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน.

นิพจน์ (นิพจน์ 1) คือรากของสมการ (นิพจน์ 2) แทนที่ค่า x จากนิพจน์ 1 แทน x ลงในนิพจน์ 2 และรับค่าเอกลักษณ์ลอการิทึมหลัก:

ดังนั้นเราจึงเห็นว่าแต่ละค่าเชื่อมโยงกับค่าหนึ่งๆ เราแทน b ด้วย x(), c โดย y และด้วยเหตุนี้จึงได้ฟังก์ชันลอการิทึม:

ตัวอย่างเช่น:

ให้เรานึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันลอการิทึม

ให้เราให้ความสนใจอีกครั้งตรงนี้ เนื่องจากภายใต้ลอการิทึม อาจมีนิพจน์เชิงบวกอย่างเคร่งครัดเป็นฐานของลอการิทึม

ข้าว. 1. กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมในฐานต่างๆ

กราฟของฟังก์ชันที่จะแสดงเป็นสีดำ ข้าว. 1. ถ้าอาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากศูนย์เป็นอนันต์ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอนันต์

กราฟของฟังก์ชันที่จะแสดงเป็นสีแดง ข้าว. 1.

คุณสมบัติของฟังก์ชันนี้:

ขอบเขต: ;

ช่วงของค่า: ;

ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิคตลอดทั้งขอบเขตคำจำกัดความ เมื่อเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจ (อย่างเคร่งครัด) ค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นจะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน เมื่อลดความซ้ำซากจำเจ (อย่างเคร่งครัด) ค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นจะสอดคล้องกับค่าที่น้อยลงของฟังก์ชัน

คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นกุญแจสำคัญในการแก้สมการลอการิทึมต่างๆ

ลองพิจารณาสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด ตามกฎแล้ว สมการลอการิทึมอื่นๆ ทั้งหมดจะถูกลดทอนลงเป็นรูปแบบนี้

เนื่องจากฐานของลอการิทึมและลอการิทึมมีค่าเท่ากัน ฟังก์ชันภายใต้ลอการิทึมจึงเท่ากัน แต่เราต้องไม่พลาดขอบเขตของคำจำกัดความ มีเพียงจำนวนบวกเท่านั้นที่สามารถปรากฏใต้ลอการิทึม เรามี:

เราพบว่าฟังก์ชัน f และ g เท่ากัน ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะเลือกความไม่เท่าเทียมกันอย่างใดอย่างหนึ่งเพื่อให้สอดคล้องกับ ODZ

ดังนั้นเราจึงมีระบบผสมซึ่งมีสมการและอสมการ:

ตามกฎแล้ว ไม่จำเป็นต้องแก้อสมการ แค่แก้สมการและแทนที่รากที่พบเป็นอสมการก็พอแล้ว จึงทำการตรวจสอบ

ให้เรากำหนดวิธีการแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด:

ปรับฐานลอการิทึมให้เท่ากัน

ฟังก์ชันซับลอการิทึมที่เท่ากัน

ดำเนินการตรวจสอบ

ลองดูตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

ตัวอย่างที่ 1 - แก้สมการ:

ฐานของลอการิทึมมีค่าเท่ากันในตอนแรก เรามีสิทธิ์ที่จะถือเอานิพจน์ย่อยลอการิทึม อย่าลืมเกี่ยวกับ ODZ เราเลือกลอการิทึมแรกเพื่อเขียนความไม่เท่าเทียมกัน:

ตัวอย่างที่ 2 - แก้สมการ:

สมการนี้แตกต่างจากสมการก่อนหน้านี้ตรงที่ฐานของลอการิทึมมีค่าน้อยกว่า 1 แต่ไม่ส่งผลต่อคำตอบแต่อย่างใด:

ลองหารากและแทนที่มันลงในอสมการ:

เราได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่ารูทที่พบไม่เป็นไปตาม ODZ

ตัวอย่างที่ 3 - แก้สมการ:

ฐานของลอการิทึมมีค่าเท่ากันในตอนแรก เรามีสิทธิ์ที่จะถือเอานิพจน์ย่อยลอการิทึม อย่าลืมเกี่ยวกับ ODZ เราเลือกลอการิทึมที่สองเพื่อประกอบความไม่เท่าเทียมกัน:

ลองหารากและแทนที่มันลงในอสมการ:

แน่นอนว่ามีเพียงรูทแรกเท่านั้นที่ตรงตาม ODZ

พีชคณิตเกรด 11

หัวข้อ: “วิธีการแก้สมการลอการิทึม”

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทางการศึกษา: การก่อตัวของความรู้เกี่ยวกับวิธีการต่างๆในการแก้สมการลอการิทึมความสามารถในการนำไปใช้ในแต่ละสถานการณ์เฉพาะและเลือกวิธีการแก้

การพัฒนา: การพัฒนาทักษะในการสังเกต เปรียบเทียบ ประยุกต์ใช้ความรู้ในสถานการณ์ใหม่ ระบุรูปแบบ สรุปภาพรวม การพัฒนาทักษะการควบคุมซึ่งกันและกันและการควบคุมตนเอง

การศึกษา: ส่งเสริมทัศนคติที่รับผิดชอบต่องานด้านการศึกษา การรับรู้เนื้อหาในบทเรียนอย่างตั้งใจ และการจดบันทึกอย่างระมัดระวัง

ประเภทบทเรียน: บทเรียนเกี่ยวกับการแนะนำเนื้อหาใหม่

“การประดิษฐ์ลอการิทึมในขณะที่ลดการทำงานของนักดาราศาสตร์ ช่วยยืดอายุของเขา”
นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ลาปลาซ

ความคืบหน้าของบทเรียน

I. การตั้งเป้าหมายบทเรียน

คำจำกัดความของลอการิทึมที่ศึกษา คุณสมบัติของลอการิทึม และฟังก์ชันลอการิทึมจะช่วยให้เราสามารถแก้สมการลอการิทึมได้ สมการลอการิทึมทั้งหมด ไม่ว่าจะซับซ้อนแค่ไหนก็ตาม ได้รับการแก้ไขโดยใช้อัลกอริธึมที่สม่ำเสมอ เราจะดูอัลกอริทึมเหล่านี้ในบทเรียนวันนี้ มีไม่มาก หากคุณเชี่ยวชาญพวกมัน สมการใดๆ ที่มีลอการิทึมก็จะเป็นไปได้สำหรับคุณแต่ละคน

เขียนหัวข้อบทเรียนลงในสมุดบันทึกของคุณ: “วิธีการแก้สมการลอการิทึม” ขอเชิญชวนทุกท่านให้ความร่วมมือ

ครั้งที่สอง การอัพเดตความรู้อ้างอิง

มาเตรียมศึกษาหัวข้อบทเรียนกัน คุณแก้แต่ละงานและจดคำตอบ คุณไม่จำเป็นต้องเขียนเงื่อนไข ทำงานเป็นคู่.

1) ฟังก์ชันนี้สมเหตุสมผลกับค่าใดของ x:

(แต่ละสไลด์จะมีการตรวจสอบคำตอบและแยกข้อผิดพลาดออก)

2) กราฟของฟังก์ชันตรงกันหรือไม่?

3) เขียนความเท่าเทียมกันใหม่เป็นความเท่าเทียมกันของลอการิทึม:

4) เขียนตัวเลขเป็นลอการิทึมที่มีฐาน 2:

5) คำนวณ:

6) พยายามฟื้นฟูหรือเสริมองค์ประกอบที่ขาดหายไปในความเท่าเทียมกันเหล่านี้

III. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับวัสดุใหม่

ข้อความต่อไปนี้จะแสดงบนหน้าจอ:

“สมการคือกุญแจทองที่เปิดงาทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด”
S. Kowal นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์สมัยใหม่

พยายามกำหนดนิยามของสมการลอการิทึม (สมการที่มีสิ่งไม่รู้อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม)

ลองพิจารณาดู สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด:บันทึกกx = ข(โดยที่ a>0, a ≠ 1) เนื่องจากฟังก์ชันลอการิทึมเพิ่มขึ้น (หรือลดลง) บนเซตของจำนวนบวกและรับค่าจริงทั้งหมด ดังนั้นตามทฤษฎีบทราก จึงเป็นไปตามว่าสำหรับสมการ b ใดๆ ก็ตามที่มีเพียงสมการเดียวเท่านั้นคือคำตอบและค่าบวก

จำคำจำกัดความของลอการิทึมไว้ (ลอการิทึมของตัวเลข x ถึงฐาน a เป็นตัวบ่งชี้กำลังที่ต้องยกฐาน a เพื่อให้ได้ตัวเลข x) จากคำจำกัดความของลอการิทึมจะเป็นไปตามนั้นทันที กวีเป็นวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว

เขียนชื่อเรื่อง: วิธีการแก้สมการลอการิทึม

1. ตามคำจำกัดความของลอการิทึม.

นี่คือวิธีการแก้สมการที่ง่ายที่สุดของแบบฟอร์ม

ลองพิจารณาดู เลขที่ 514(ก)): แก้สมการ

คุณจะเสนอวิธีแก้ปัญหาอย่างไร? (ตามคำจำกัดความของลอการิทึม)

สารละลาย. ดังนั้น 2x - 4 = 4; x = 4

ในงานนี้ 2x - 4 > 0 เนื่องจาก > 0 ดังนั้นจึงไม่สามารถปรากฏรากภายนอกได้ และไม่จำเป็นต้องตรวจสอบ งานนี้ไม่จำเป็นต้องเขียนเงื่อนไข 2x - 4 > 0

2. ศักยภาพ(การเปลี่ยนจากลอการิทึมของนิพจน์ที่กำหนดไปเป็นนิพจน์นี้เอง)

ลองพิจารณาดู เลขที่ 519(ก): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

คุณสังเกตเห็นคุณลักษณะอะไร (ฐานเท่ากันและลอการิทึมของทั้งสองนิพจน์เท่ากัน) สิ่งที่สามารถทำได้? (เสริมพลัง).

ควรคำนึงว่ามีวิธีการแก้ปัญหาใดๆ ที่มีอยู่ใน x ทั้งหมดซึ่งมีนิพจน์ลอการิทึมเป็นบวก

โซลูชัน: ODZ:

X2+8>0 คืออสมการที่ไม่จำเป็น

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

เรามาเสริมกำลังสมการดั้งเดิมกันเถอะ

เราได้สมการ x2+8= 8x+8

มาแก้กัน: x2-8x=0

คำตอบ: 0; 8

โดยทั่วไปแล้ว เปลี่ยนไปใช้ระบบที่เทียบเท่า:

สมการ

(ระบบมีเงื่อนไขซ้ำซ้อน - ไม่จำเป็นต้องพิจารณาหนึ่งในความไม่เท่าเทียมกัน)

คำถามสำหรับชั้นเรียน: โซลูชันใดในสามวิธีนี้ที่คุณชอบที่สุด (การอภิปรายวิธีการ)

คุณมีสิทธิ์ตัดสินใจในทางใดทางหนึ่ง

3. การแนะนำตัวแปรใหม่.

ลองพิจารณาดู เลขที่ 520(ก). .

คุณสังเกตเห็นอะไร? (นี่คือสมการกำลังสองเทียบกับ log3x) มีข้อเสนอแนะบ้างไหม? (แนะนำตัวแปรใหม่)

สารละลาย. ODZ: x > 0

อนุญาต จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:. Discriminant D > 0. รากตามทฤษฎีบทของ Vieta:

กลับไปที่การเปลี่ยน: หรือ.

เมื่อแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดแล้ว เราก็จะได้:

คำตอบ: 27;

4. ลอการิทึมทั้งสองด้านของสมการ

แก้สมการ:.

วิธีแก้ปัญหา: ODZ: x>0 หาลอการิทึมของทั้งสองข้างของสมการในฐาน 10:

ลองใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง:

(logx + 3) logx = 4

ให้ logx = y จากนั้น (y + 3)y = 4

, (D > 0) รากตามทฤษฎีบทของ Vieta: y1 = -4 และ y2 = 1

กลับไปที่การแทนที่เราได้รับ: lgx = -4,; lgx = 1, .

คำตอบ: 0.0001; 10.

5. ลดเหลือฐานเดียว

ลำดับที่ 523(ค) แก้สมการ:

วิธีแก้ไข: ODZ: x>0 เรามาต่อกันที่ฐาน 3 กันเลย

6. วิธีการเชิงฟังก์ชันกราฟิก

№ 509(ง)แก้สมการแบบกราฟิก: = 3 - x

เสนอวิธีแก้ปัญหาอย่างไร? (สร้างกราฟของสองฟังก์ชัน y = log2x และ y = 3 - x โดยใช้จุดแล้วมองหาจุดหักล้างของจุดตัดกันของกราฟ)

ดูวิธีแก้ปัญหาของคุณบนสไลด์

มีวิธีหลีกเลี่ยงการสร้างกราฟ . มันเป็นดังนี้ : ถ้าเป็นฟังก์ชันอย่างใดอย่างหนึ่งย = ฉ(x) เพิ่มขึ้นและอื่นๆย = ก(x) ลดลงในช่วง X จากนั้นจึงสมการฉ(x)= ก(x) มีรากมากที่สุดหนึ่งอันในช่วง X.

หากมีรากก็สามารถเดาได้

ในกรณีของเรา ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นสำหรับ x>0 และฟังก์ชัน y = 3 - x ลดลงสำหรับทุกค่าของ x รวมถึงสำหรับ x>0 ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นไม่มีมากกว่าหนึ่งราก โปรดทราบว่าที่ x = 2 สมการจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง เนื่องจาก

“การประยุกต์ใช้วิธีการที่ถูกต้องสามารถเรียนรู้ได้จาก
เพียงแต่นำมาประยุกต์ใช้กับตัวอย่างต่างๆ เท่านั้น”
G. G. Zeiten นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเดนมาร์ก

ฉันV. การบ้าน

หน้า 39 พิจารณาตัวอย่างที่ 3 แก้ข้อ 514(b) ลำดับ 529(b) ลำดับที่ 520(b) ลำดับที่ 523(b)

V. สรุปบทเรียน

เราดูวิธีการแก้สมการลอการิทึมแบบใดในชั้นเรียน

ในบทเรียนหน้า เราจะดูสมการที่ซับซ้อนมากขึ้น วิธีการศึกษาจะมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาเหล่านี้

สไลด์สุดท้ายที่แสดง:

“มีอะไรมากกว่าสิ่งใดในโลก?
ช่องว่าง.
อะไรคือสิ่งที่ฉลาดที่สุด?
เวลา.
ส่วนที่ดีที่สุดคืออะไร?
บรรลุสิ่งที่คุณต้องการ”
ทาเลส

ฉันขอให้ทุกคนบรรลุสิ่งที่ต้องการ ขอขอบคุณสำหรับความร่วมมือและความเข้าใจของคุณ

การเตรียมตัวสำหรับการทดสอบครั้งสุดท้ายทางคณิตศาสตร์มีส่วนสำคัญ - "ลอการิทึม" งานจากหัวข้อนี้จำเป็นต้องมีอยู่ในการตรวจสอบ Unified State ประสบการณ์จากหลายปีที่ผ่านมาแสดงให้เห็นว่าสมการลอการิทึมทำให้เด็กนักเรียนหลายคนลำบาก ดังนั้นนักเรียนที่มีระดับการฝึกอบรมต่างกันจึงต้องเข้าใจวิธีการหาคำตอบที่ถูกต้องและรับมือกับพวกเขาได้อย่างรวดเร็ว

ผ่านการทดสอบการรับรองสำเร็จโดยใช้พอร์ทัลการศึกษา Shkolkovo!

เมื่อเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ผู้สำเร็จการศึกษาระดับมัธยมศึกษาตอนปลายจำเป็นต้องมีแหล่งข้อมูลที่เชื่อถือได้ซึ่งให้ข้อมูลที่ครบถ้วนและถูกต้องที่สุดสำหรับการแก้ปัญหาการทดสอบได้สำเร็จ อย่างไรก็ตาม หนังสือเรียนไม่ได้อยู่ในมือเสมอไป และการค้นหากฎและสูตรที่จำเป็นบนอินเทอร์เน็ตมักต้องใช้เวลา

พอร์ทัลการศึกษา Shkolkovo ช่วยให้คุณเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State ได้ทุกที่ทุกเวลา เว็บไซต์ของเราเสนอแนวทางที่สะดวกที่สุดในการทำซ้ำและดูดซับข้อมูลจำนวนมากเกี่ยวกับลอการิทึม เช่นเดียวกับข้อมูลที่ไม่ทราบหนึ่งหรือหลายรายการ เริ่มต้นด้วยสมการง่ายๆ หากคุณรับมือกับพวกมันได้โดยไม่ยาก ให้ไปยังสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้ หากคุณประสบปัญหาในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน คุณสามารถเพิ่มลงในรายการโปรดเพื่อกลับมาดูในภายหลังได้

คุณสามารถค้นหาสูตรที่จำเป็นในการทำงานให้เสร็จสิ้น ทำซ้ำกรณีพิเศษและวิธีการคำนวณรากของสมการลอการิทึมมาตรฐานโดยดูที่ส่วน "ความช่วยเหลือทางทฤษฎี" ครูของ Shkolkovo รวบรวมจัดระบบและนำเสนอสื่อการสอนทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการส่งผ่านที่ประสบความสำเร็จในรูปแบบที่ง่ายที่สุดและเข้าใจได้มากที่สุด

เพื่อให้สามารถรับมือกับงานที่ซับซ้อนได้อย่างง่ายดาย บนพอร์ทัลของเรา คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับคำตอบของสมการลอการิทึมมาตรฐานบางรายการได้ โดยไปที่ส่วน "แคตตาล็อก" เรามีตัวอย่างจำนวนมาก รวมถึงสมการที่มีระดับโปรไฟล์ Unified State Examination ในวิชาคณิตศาสตร์

นักเรียนจากโรงเรียนทั่วรัสเซียสามารถใช้พอร์ทัลของเราได้ หากต้องการเริ่มชั้นเรียน เพียงลงทะเบียนในระบบและเริ่มแก้สมการ เพื่อรวบรวมผลลัพธ์ เราขอแนะนำให้คุณกลับไปที่เว็บไซต์ Shkolkovo ทุกวัน

ในวิดีโอนี้ ฉันจะเริ่มบทเรียนยาวๆ เกี่ยวกับสมการลอการิทึม ตอนนี้คุณมีสามตัวอย่างโดยเราจะเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดซึ่งเรียกว่า - โปรโตซัว.

บันทึก 0.5 (3x − 1) = −3

บันทึก (x + 3) = 3 + 2 บันทึก 5

ฉันขอเตือนคุณว่าสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดมีดังต่อไปนี้:

บันทึก a f(x) = b

ในกรณีนี้ สิ่งสำคัญคือต้องมีตัวแปร x อยู่ภายในอาร์กิวเมนต์เท่านั้น กล่าวคือ เฉพาะในฟังก์ชัน f (x) และตัวเลข a และ b เป็นเพียงตัวเลข และไม่ว่าในกรณีใด จะเป็นฟังก์ชันที่มีตัวแปร x

วิธีการแก้ปัญหาขั้นพื้นฐาน

มีหลายวิธีในการแก้ไขโครงสร้างดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ครูส่วนใหญ่ที่โรงเรียนเสนอวิธีนี้: แสดงฟังก์ชัน f (x) ทันทีโดยใช้สูตร ฉ ( x ) = ข นั่นคือเมื่อคุณเจอการก่อสร้างที่ง่ายที่สุดคุณสามารถไปยังวิธีแก้ปัญหาได้ทันทีโดยไม่ต้องดำเนินการหรือก่อสร้างเพิ่มเติม

ใช่แน่นอนว่าการตัดสินใจจะต้องถูกต้อง แต่ปัญหาของสูตรนี้คือนักเรียนส่วนใหญ่ ไม่เข้าใจ, มันมาจากไหน และทำไมเราถึงยกตัวอักษร a ถึงตัวอักษร b

ด้วยเหตุนี้ ฉันมักจะเห็นข้อผิดพลาดที่น่ารำคาญมาก เช่น เมื่อมีการสลับตัวอักษรเหล่านี้ ต้องเข้าใจสูตรนี้หรือยัดเยียดให้ และวิธีที่สองนำไปสู่ข้อผิดพลาดในช่วงเวลาที่ไม่เหมาะสมและสำคัญที่สุด: ระหว่างการสอบ การทดสอบ ฯลฯ

นั่นคือเหตุผลที่ฉันแนะนำให้นักเรียนทุกคนละทิ้งสูตรมาตรฐานของโรงเรียนและใช้วิธีที่สองในการแก้สมการลอการิทึมซึ่งตามที่คุณคงเดาได้จากชื่อนั้นเรียกว่า รูปแบบบัญญัติ.

แนวคิดของรูปแบบบัญญัตินั้นเรียบง่าย ลองดูปัญหาของเราอีกครั้ง: ทางด้านซ้ายเรามี log a และโดยตัวอักษร a เราหมายถึงตัวเลข และไม่ว่าในกรณีใดฟังก์ชันจะมีตัวแปร x ดังนั้น จดหมายฉบับนี้จึงอยู่ภายใต้ข้อจำกัดทั้งหมดที่กำหนดไว้บนพื้นฐานของลอการิทึม กล่าวคือ:

1 ≠ ก > 0

ในทางกลับกัน จากสมการเดียวกัน เราจะเห็นว่าลอการิทึมต้องเท่ากับจำนวน b และไม่มีการกำหนดข้อจำกัดใดๆ กับตัวอักษรนี้ เนื่องจากสามารถรับค่าใดๆ ก็ได้ ทั้งบวกและลบ ทุกอย่างขึ้นอยู่กับค่าที่ฟังก์ชัน f(x) ใช้

และที่นี่ เราจำกฎอันมหัศจรรย์ของเราที่ว่าจำนวน b ใดๆ สามารถแสดงเป็นลอการิทึมของฐาน a ยกกำลังของ b:

b = บันทึก a a b

จะจำสูตรนี้ได้อย่างไร? ใช่ ง่ายมาก ลองเขียนโครงสร้างต่อไปนี้:

b = b 1 = b บันทึก a

แน่นอน ในกรณีนี้ ข้อจำกัดทั้งหมดที่เราจดไว้ตอนเริ่มต้นเกิดขึ้น ทีนี้ ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมแล้วแนะนำตัวคูณ b ให้เป็นกำลังของ a เราได้รับ:

b = b 1 = b บันทึก a a = บันทึก a a b

เป็นผลให้สมการเดิมจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b → f (x) = a b

นั่นคือทั้งหมดที่ ฟังก์ชันใหม่ไม่มีลอการิทึมอีกต่อไป และสามารถแก้ไขได้โดยใช้เทคนิคพีชคณิตมาตรฐาน

แน่นอนว่าตอนนี้มีคนจะคัดค้าน: เหตุใดจึงจำเป็นต้องสร้างสูตรมาตรฐานบางประเภทขึ้นมาทำไมต้องดำเนินการเพิ่มเติมอีกสองขั้นตอนที่ไม่จำเป็นหากสามารถย้ายจากการออกแบบดั้งเดิมไปเป็นสูตรสุดท้ายได้ทันที ใช่ ถ้าเพียงเพราะนักเรียนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าสูตรนี้มาจากไหน และเป็นผลให้ทำผิดพลาดเป็นประจำเมื่อนำไปใช้

แต่ลำดับการกระทำนี้ซึ่งประกอบด้วยสามขั้นตอนช่วยให้คุณสามารถแก้สมการลอการิทึมดั้งเดิมได้แม้ว่าคุณจะไม่เข้าใจว่าสูตรสุดท้ายมาจากไหนก็ตาม อย่างไรก็ตาม รายการนี้เรียกว่าสูตรมาตรฐาน:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b

ความสะดวกของรูปแบบบัญญัติยังอยู่ที่ว่าสามารถใช้เพื่อแก้สมการลอการิทึมในระดับที่กว้างมาก และไม่ใช่แค่สมการที่ง่ายที่สุดที่เรากำลังพิจารณาอยู่ในปัจจุบัน

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างจริงกัน ดังนั้นเรามาตัดสินใจกัน:

บันทึก 0.5 (3x − 1) = −3

ลองเขียนใหม่แบบนี้:

บันทึก 0.5 (3x − 1) = บันทึก 0.5 0.5 −3

นักเรียนหลายคนรีบเร่งรีบยกเลข 0.5 ขึ้นมาเป็นกำลังที่มาหาเราจากปัญหาเดิมทันที แน่นอน เมื่อคุณได้รับการฝึกฝนมาเป็นอย่างดีในการแก้ปัญหาดังกล่าวแล้ว คุณสามารถดำเนินการขั้นตอนนี้ได้ทันที

อย่างไรก็ตาม หากคุณเพิ่งเริ่มศึกษาหัวข้อนี้ จะเป็นการดีกว่าที่จะไม่รีบเร่งเพื่อหลีกเลี่ยงความผิดพลาดที่น่ารังเกียจ ดังนั้นเราจึงมีรูปแบบบัญญัติ เรามี:

3x - 1 = 0.5 −3

นี่ไม่ใช่สมการลอการิทึมอีกต่อไป แต่เป็นสมการเชิงเส้นเทียบกับตัวแปร x เพื่อแก้ปัญหานี้ ขั้นแรกให้ดูที่เลข 0.5 ยกกำลัง −3 โปรดทราบว่า 0.5 คือ 1/2

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

แปลงเศษส่วนทศนิยมทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนร่วมเมื่อแก้สมการลอการิทึม

เราเขียนใหม่และรับ:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

แค่นั้นแหละ เราก็ได้คำตอบแล้ว ปัญหาแรกได้รับการแก้ไขแล้ว

ภารกิจที่สอง

มาดูงานที่สองกันดีกว่า:

ดังที่เราเห็นสมการนี้ไม่ใช่สมการที่ง่ายที่สุดอีกต่อไป หากเพียงเพราะมีความแตกต่างทางด้านซ้ายและไม่ใช่ลอการิทึมเดียวต่อฐานเดียว

ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องกำจัดความแตกต่างนี้ออกไป ในกรณีนี้ทุกอย่างง่ายมาก มาดูฐานให้ละเอียดยิ่งขึ้น ทางด้านซ้ายคือตัวเลขใต้รูท:

คำแนะนำทั่วไป: ในสมการลอการิทึมทั้งหมด พยายามกำจัดราก เช่น จากรายการที่มีรากและไปยังฟังก์ชันกำลัง เพียงเพราะว่าเลขชี้กำลังของกำลังเหล่านี้ถูกนำออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมอย่างง่ายดาย และท้ายที่สุดก็เป็นเช่นนั้น รายการช่วยลดความยุ่งยากและเพิ่มความเร็วในการคำนวณอย่างมาก ลองเขียนมันลงไปดังนี้:

ตอนนี้ให้เราจำคุณสมบัติอันน่าทึ่งของลอการิทึม: กำลังสามารถได้มาจากอาร์กิวเมนต์เช่นเดียวกับจากฐาน ในกรณีที่มีเหตุ จะเกิดสิ่งต่อไปนี้:

บันทึก a k b = 1/k loga b

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขที่อยู่ในกำลังฐานจะถูกยกไปข้างหน้าและในขณะเดียวกันก็กลับด้าน นั่นคือ มันจะกลายเป็นจำนวนกลับกัน ในกรณีของเรา ระดับฐานคือ 1/2 เราก็เลยเอาออกมาเป็น 2/1 ได้. เราได้รับ:

5 2 บันทึก 5 x − บันทึก 5 x = 18
10 ล็อก 5 x − ล็อก 5 x = 18

โปรดทราบ: คุณไม่ควรกำจัดลอการิทึมในขั้นตอนนี้ไม่ว่าในกรณีใด จำคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 4-5 และลำดับการดำเนินการ: การคูณจะดำเนินการก่อน จากนั้นจึงบวกและลบเท่านั้น ในกรณีนี้ เราจะลบหนึ่งในองค์ประกอบเดียวกันออกจาก 10 องค์ประกอบ:

9 บันทึก 5 x = 18
บันทึก 5 x = 2

ตอนนี้สมการของเราดูเท่าที่ควร นี่เป็นโครงสร้างที่ง่ายที่สุด และเราแก้ไขมันโดยใช้รูปแบบมาตรฐาน:

บันทึก 5 x = บันทึก 5 5 2
x = 5 2
x = 25

นั่นคือทั้งหมดที่ ปัญหาที่สองได้รับการแก้ไขแล้ว

ตัวอย่างที่สาม

มาดูงานที่สามกันดีกว่า:

บันทึก (x + 3) = 3 + 2 บันทึก 5

ฉันขอเตือนคุณถึงสูตรต่อไปนี้:

บันทึก b = บันทึก 10 ข

หากด้วยเหตุผลบางอย่างคุณสับสนกับสัญกรณ์ บันทึก b จากนั้นเมื่อทำการคำนวณทั้งหมดคุณก็สามารถเขียนบันทึก 10 ข . คุณสามารถทำงานกับลอการิทึมทศนิยมได้เช่นเดียวกับลอการิทึมอื่น: รับกำลังบวกและแทนตัวเลขใด ๆ ในรูปแบบ lg 10

ตอนนี้เราจะใช้คุณสมบัติเหล่านี้ในการแก้ปัญหาเนื่องจากไม่ใช่คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดที่เราจดไว้ตอนเริ่มต้นบทเรียน

ขั้นแรก โปรดทราบว่าสามารถเพิ่มตัวประกอบ 2 หน้า lg 5 ได้และกลายเป็นกำลังของฐาน 5 นอกจากนี้ เทอมอิสระ 3 ยังสามารถแสดงเป็นลอการิทึมได้ด้วย ซึ่งสังเกตได้ง่ายมากจากสัญกรณ์ของเรา

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: สามารถแสดงตัวเลขใดก็ได้เป็นบันทึกถึงฐาน 10:

3 = บันทึก 10 10 3 = บันทึก 10 3

มาเขียนปัญหาเดิมใหม่โดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงที่ได้รับ:

บันทึก (x − 3) = บันทึก 1,000 + บันทึก 25
บันทึก (x − 3) = บันทึก 1,000 25
บันทึก (x − 3) = บันทึก 25,000

เรามีรูปแบบบัญญัติอยู่ตรงหน้าเราอีกครั้งและได้มาโดยไม่ต้องผ่านขั้นตอนการเปลี่ยนแปลงนั่นคือ สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดไม่ปรากฏที่ใดเลย

นี่คือสิ่งที่ฉันพูดถึงในตอนต้นของบทเรียน รูปแบบ Canonical ช่วยให้คุณแก้ปัญหาในชั้นเรียนได้กว้างกว่าสูตรมาตรฐานของโรงเรียนที่ครูในโรงเรียนส่วนใหญ่บอก

เพียงเท่านี้ เรากำจัดเครื่องหมายของลอการิทึมทศนิยมออกไป และเราได้โครงสร้างเชิงเส้นอย่างง่าย:

x + 3 = 25,000
x = 24,997

ทั้งหมด! ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

หมายเหตุเกี่ยวกับขอบเขต

ในที่นี้ ข้าพเจ้าอยากจะกล่าวถึงข้อสังเกตที่สำคัญเกี่ยวกับขอบเขตของคำจำกัดความ แน่นอนว่าตอนนี้จะต้องมีนักเรียนและครูที่จะพูดว่า: “เมื่อเราแก้นิพจน์ด้วยลอการิทึม เราต้องจำไว้ว่าอาร์กิวเมนต์ f (x) จะต้องมากกว่าศูนย์!” ในเรื่องนี้มีคำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: เหตุใดเราจึงไม่ต้องการให้ความไม่เท่าเทียมกันนี้ได้รับความพึงพอใจในปัญหาใด ๆ ที่พิจารณา?

ไม่ต้องกังวล. ในกรณีเหล่านี้ จะไม่มีรากเพิ่มเติมปรากฏขึ้น และนี่ก็เป็นเคล็ดลับดีๆ อีกประการหนึ่งที่ช่วยให้คุณเร่งการแก้ปัญหาได้ แค่รู้ว่าถ้าในปัญหา ตัวแปร x เกิดขึ้นที่เดียวเท่านั้น (หรือในอาร์กิวเมนต์เดียวของลอการิทึมเดียว) และไม่มีที่อื่นในกรณีของเราที่ตัวแปร x ปรากฏ จากนั้นให้เขียนโดเมนของคำจำกัดความ ไม่จำเป็นเพราะมันจะถูกดำเนินการโดยอัตโนมัติ

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ในสมการแรกเราได้ 3x − 1 นั่นคือ อาร์กิวเมนต์ควรเท่ากับ 8 ซึ่งหมายความว่า 3x − 1 จะมากกว่าศูนย์โดยอัตโนมัติ

ด้วยความสำเร็จแบบเดียวกัน เราสามารถเขียนได้ว่าในกรณีที่สอง x ควรเท่ากับ 5 2 นั่นคือ มันมากกว่าศูนย์อย่างแน่นอน และในกรณีที่สาม โดยที่ x + 3 = 25,000 กล่าวคือ เห็นได้ชัดว่ามากกว่าศูนย์อีกครั้ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ขอบเขตจะเป็นไปตามอัตโนมัติ แต่เฉพาะในกรณีที่ x เกิดขึ้นเฉพาะในอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเดียวเท่านั้น

นั่นคือทั้งหมดที่คุณต้องรู้เพื่อแก้ไขปัญหาที่ง่ายที่สุด กฎข้อนี้เพียงอย่างเดียว ร่วมกับกฎการเปลี่ยนแปลง จะช่วยให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาประเภทต่างๆ ได้กว้างมาก

แต่ขอบอกตามตรงว่าในที่สุดเพื่อที่จะเข้าใจเทคนิคนี้เพื่อเรียนรู้วิธีใช้รูปแบบบัญญัติของสมการลอการิทึมการดูบทเรียนวิดีโอเพียงบทเดียวนั้นไม่เพียงพอ ดังนั้นตอนนี้ ให้ดาวน์โหลดตัวเลือกสำหรับโซลูชันอิสระที่แนบมากับบทเรียนวิดีโอนี้ และเริ่มแก้ไขงานอิสระอย่างน้อยหนึ่งในสองงานนี้

จะใช้เวลาไม่กี่นาทีจริงๆ แต่ผลของการฝึกอบรมดังกล่าวจะสูงกว่าการที่คุณดูบทเรียนวิดีโอนี้มาก

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจสมการลอการิทึม ใช้รูปแบบ Canonical ลดความซับซ้อนของนิพจน์โดยใช้กฎสำหรับการทำงานกับลอการิทึม - แล้วคุณจะไม่กลัวปัญหาใดๆ นั่นคือทั้งหมดที่ฉันมีสำหรับวันนี้

โดยคำนึงถึงขอบเขตของคำจำกัดความ

ตอนนี้ เรามาพูดถึงขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันลอการิทึม และสิ่งนี้ส่งผลต่อการแก้สมการลอการิทึมอย่างไร พิจารณาการสร้างแบบฟอร์ม

บันทึก a f (x) = b

นิพจน์ดังกล่าวเรียกว่านิพจน์ที่ง่ายที่สุด - มีเพียงฟังก์ชันเดียวเท่านั้นและตัวเลข a และ b เป็นเพียงตัวเลขและไม่ว่าในกรณีใดฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร x มันสามารถแก้ไขได้ง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องใช้สูตร:

b = บันทึก a a b

สูตรนี้เป็นหนึ่งในคุณสมบัติสำคัญของลอการิทึม และเมื่อนำไปแทนนิพจน์เดิม เราจะได้ดังต่อไปนี้:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b

ฉ (x) = ข

นี่เป็นสูตรที่คุ้นเคยจากตำราเรียนของโรงเรียน นักเรียนหลายคนอาจจะมีคำถาม: เนื่องจากในนิพจน์ดั้งเดิม ฟังก์ชัน f (x) อยู่ใต้เครื่องหมายบันทึก จึงมีข้อ จำกัด ต่อไปนี้:

ฉ(x) > 0

ข้อจำกัดนี้มีผลเนื่องจากไม่มีลอการิทึมของจำนวนลบ ดังนั้นบางทีจากข้อจำกัดนี้ ควรมีการแนะนำการตรวจสอบคำตอบหรือไม่ บางทีอาจจำเป็นต้องแทรกลงในแหล่งที่มา?

ไม่ ในสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบเพิ่มเติม และนี่คือเหตุผล ดูสูตรสุดท้ายของเรา:

ฉ (x) = ข

ความจริงก็คือตัวเลข a ไม่ว่าในกรณีใดมากกว่า 0 - ข้อกำหนดนี้ถูกกำหนดโดยลอการิทึมด้วย เลข a เป็นฐาน ในกรณีนี้ ไม่มีการกำหนดข้อจำกัดใดๆ กับหมายเลข b แต่นั่นไม่สำคัญ เพราะไม่ว่าเราจะยกกำลังเท่าใด เราก็จะยังคงได้เลขบวกที่เอาท์พุต ดังนั้นข้อกำหนด f (x) > 0 จึงเป็นไปตามข้อกำหนดโดยอัตโนมัติ

สิ่งที่ควรตรวจสอบจริงๆ คือโดเมนของฟังก์ชันใต้เครื่องหมายบันทึก อาจมีโครงสร้างที่ค่อนข้างซับซ้อน และคุณต้องจับตาดูโครงสร้างเหล่านี้อย่างแน่นอนในระหว่างกระบวนการแก้ไขปัญหา มาดูกัน.

งานแรก:

ขั้นตอนแรก: แปลงเศษส่วนทางขวา เราได้รับ:

เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมและรับสมการไม่ลงตัวตามปกติ:

จากรากที่ได้รับมีเพียงอันแรกเท่านั้นที่เหมาะกับเราเนื่องจากรูทที่สองมีค่าน้อยกว่าศูนย์ คำตอบเดียวคือหมายเลข 9 เท่านี้ก็หมดปัญหาแล้ว ไม่ต้องตรวจสอบเพิ่มเติมเพื่อให้แน่ใจว่านิพจน์ใต้เครื่องหมายลอการิทึมมีค่ามากกว่า 0 เพราะไม่ใช่แค่มากกว่า 0 แต่ตามเงื่อนไขของสมการจะเท่ากับ 2 ดังนั้นข้อกำหนด "มากกว่าศูนย์ ” พึงพอใจโดยอัตโนมัติ

มาดูงานที่สองกันดีกว่า:

ทุกอย่างเหมือนกันที่นี่ เราเขียนการก่อสร้างใหม่แทนที่สาม:

เรากำจัดเครื่องหมายลอการิทึมและรับสมการไม่ลงตัว:

เราจัดวางทั้งสองด้านโดยคำนึงถึงข้อจำกัดต่างๆ และรับ:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

เราแก้สมการผลลัพธ์ผ่านการจำแนก:

ง = 49 - 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

แต่ x = −6 ไม่เหมาะกับเรา เพราะหากเราแทนจำนวนนี้เป็นอสมการ เราจะได้:

−6 + 4 = −2 < 0

ในกรณีของเรา จำเป็นต้องมากกว่า 0 หรือเท่ากับในกรณีที่รุนแรง แต่ x = −1 เหมาะกับเรา:

−1 + 4 = 3 > 0

คำตอบเดียวในกรณีของเราคือ x = −1 นั่นคือวิธีแก้ปัญหา กลับไปที่จุดเริ่มต้นของการคำนวณของเรากัน

ประเด็นหลักจากบทเรียนนี้คือ คุณไม่จำเป็นต้องตรวจสอบข้อจำกัดของฟังก์ชันในสมการลอการิทึมอย่างง่าย เนื่องจากในระหว่างกระบวนการแก้ปัญหา ข้อจำกัดทั้งหมดจะเป็นไปตามโดยอัตโนมัติ

อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่ได้หมายความว่าคุณจะลืมการตรวจสอบได้เลย ในกระบวนการทำงานกับสมการลอการิทึม สมการลอการิทึมอาจกลายเป็นสมการที่ไม่ลงตัว ซึ่งจะมีข้อ จำกัด และข้อกำหนดของตัวเองสำหรับด้านขวา ซึ่งเราได้เห็นในวันนี้ในสองตัวอย่างที่แตกต่างกัน

รู้สึกอิสระที่จะแก้ไขปัญหาดังกล่าวและระมัดระวังเป็นพิเศษหากมีต้นเหตุในการโต้แย้ง

สมการลอการิทึมที่มีฐานต่างกัน

เราศึกษาสมการลอการิทึมต่อไปและดูอีกสองเทคนิคที่น่าสนใจซึ่งเป็นวิธีที่ทันสมัยในการแก้โครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้น แต่ก่อนอื่น เรามาจำไว้ว่าปัญหาที่ง่ายที่สุดจะได้รับการแก้ไขอย่างไร:

บันทึก a f (x) = b

ในสัญลักษณ์นี้ a และ b เป็นตัวเลข และในฟังก์ชัน f (x) ต้องมีตัวแปร x ปรากฏ และมีเพียง x จะต้องอยู่ในอาร์กิวเมนต์เท่านั้น เราจะแปลงสมการลอการิทึมดังกล่าวโดยใช้รูปแบบมาตรฐาน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โปรดทราบว่า

b = บันทึก a a b

ยิ่งไปกว่านั้น a b ยังเป็นข้อโต้แย้งอีกด้วย ลองเขียนนิพจน์นี้ใหม่ดังนี้:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b

นี่คือสิ่งที่เราพยายามทำให้สำเร็จ เพื่อให้มีลอการิทึมเป็นฐาน a ทั้งทางซ้ายและขวา ในกรณีนี้ เราสามารถขีดฆ่าเครื่องหมายบันทึกในเชิงเปรียบเทียบได้ และจากมุมมองทางคณิตศาสตร์เราสามารถพูดได้ว่าเรากำลังเทียบเคียงข้อโต้แย้ง:

ฉ (x) = ข

เป็นผลให้เราจะได้รับนิพจน์ใหม่ที่จะแก้ไขได้ง่ายกว่ามาก ลองใช้กฎนี้กับปัญหาของเราวันนี้

ดังนั้นการออกแบบครั้งแรก:

ก่อนอื่น ฉันสังเกตว่าทางขวาเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นลอก เมื่อคุณเห็นสำนวนเช่นนี้ เป็นความคิดที่ดีที่จะจดจำคุณสมบัติอันยอดเยี่ยมของลอการิทึม:

เมื่อแปลเป็นภาษารัสเซีย หมายความว่าลอการิทึมใดๆ สามารถแสดงเป็นผลหารของลอการิทึมสองตัวที่มีฐาน c ใดๆ ได้ แน่นอน 0< с ≠ 1.

ดังนั้น: สูตรนี้มีกรณีพิเศษที่ยอดเยี่ยมอย่างหนึ่ง เมื่อตัวแปร c เท่ากับตัวแปร ข. ในกรณีนี้เราจะได้โครงสร้างดังนี้:

นี่คือโครงสร้างที่เราเห็นจากเครื่องหมายทางขวามือในสมการของเรา ลองแทนที่โครงสร้างนี้ด้วย log a b เราได้รับ:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อเปรียบเทียบกับงานดั้งเดิม เราได้สลับอาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม เราต้องกลับเศษส่วนแทน.

ให้เราจำไว้ว่าระดับใดๆ สามารถหาได้จากฐานได้ตามกฎต่อไปนี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าสัมประสิทธิ์ k ซึ่งเป็นกำลังของฐานจะแสดงเป็นเศษส่วนกลับหัว ลองทำให้มันเป็นเศษส่วนกลับด้าน:

ไม่สามารถปล่อยตัวประกอบเศษส่วนไว้ข้างหน้าได้ เพราะในกรณีนี้ เราจะไม่สามารถแสดงสัญกรณ์นี้เป็นรูปแบบมาตรฐานได้ (ท้ายที่สุดแล้ว ในรูปแบบมาตรฐานนั้นไม่มีปัจจัยเพิ่มเติมก่อนลอการิทึมตัวที่สอง) ดังนั้น เรามาบวกเศษส่วน 1/4 เข้ากับอาร์กิวเมนต์เป็นกำลัง:

ตอนนี้เราถือเอาข้อโต้แย้งที่มีฐานเหมือนกัน (และฐานของเราเหมือนกันจริงๆ) และเขียน:

x + 5 = 1

x = −4

นั่นคือทั้งหมดที่ เราได้คำตอบของสมการลอการิทึมแรกแล้ว โปรดทราบ: ในปัญหาเดิม ตัวแปร x ปรากฏในบันทึกเดียวเท่านั้น และปรากฏในอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องตรวจสอบโดเมน และจำนวน x = −4 ของเราคือคำตอบจริงๆ

ตอนนี้เรามาดูนิพจน์ที่สองกัน:

บันทึก 56 = บันทึก 2 บันทึก 2 7 − 3log (x + 4)

ในที่นี้ นอกเหนือจากลอการิทึมปกติแล้ว เราจะต้องทำงานกับบันทึก f (x) ด้วย จะแก้สมการดังกล่าวได้อย่างไร? สำหรับนักเรียนที่ไม่ได้เตรียมตัวไว้ อาจดูเหมือนเป็นงานที่ยาก แต่จริงๆ แล้ว ทุกอย่างสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีเบื้องต้น

ลองดูคำว่า lg 2 log 2 7 อย่างใกล้ชิด เราจะพูดอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้บ้าง? ฐานและอาร์กิวเมนต์ของ log และ lg เหมือนกัน และนี่น่าจะให้แนวคิดบางประการ จำไว้อีกครั้งว่าพลังถูกนำออกมาจากใต้สัญลักษณ์ลอการิทึมอย่างไร:

บันทึก a bn = nlog a b

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สิ่งที่เป็นกำลังของ b ในการโต้แย้งจะกลายเป็นปัจจัยที่อยู่หน้าบันทึกนั่นเอง ลองใช้สูตรนี้กับนิพจน์ lg 2 log 2 7 อย่ากลัว lg 2 - นี่คือนิพจน์ที่พบบ่อยที่สุด คุณสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

กฎทั้งหมดที่ใช้กับลอการิทึมอื่นนั้นถูกต้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปัจจัยที่อยู่ข้างหน้าสามารถเพิ่มระดับของการโต้แย้งได้ ลองเขียนมันลงไป:

บ่อยครั้งที่นักเรียนไม่เห็นการกระทำนี้โดยตรง เนื่องจากการป้อนบันทึกรายการหนึ่งภายใต้สัญลักษณ์ของอีกรายการหนึ่งนั้นไม่ดี ในความเป็นจริงไม่มีอะไรที่ผิดกฎหมายเกี่ยวกับเรื่องนี้ ยิ่งไปกว่านั้น เรายังได้รับสูตรที่คำนวณได้ง่ายหากคุณจำกฎสำคัญได้:

สูตรนี้ถือได้ว่าเป็นทั้งคำจำกัดความและเป็นหนึ่งในคุณสมบัติ ไม่ว่าในกรณีใด หากคุณกำลังแปลงสมการลอการิทึม คุณควรรู้สูตรนี้ในลักษณะเดียวกับที่คุณทราบถึงการแสดงบันทึกของตัวเลขใดๆ

กลับมาที่งานของเรากันดีกว่า เราเขียนมันใหม่โดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าเทอมแรกทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับจะเท่ากับ lg 7 เรามี:

แอลจี 56 = แอลจี 7 - 3แอลจี (x + 4)

เลื่อน lg 7 ไปทางซ้ายเราจะได้:

lg 56 - บันทึก 7 = −3lg (x + 4)

เราลบนิพจน์ทางด้านซ้ายเนื่องจากมีฐานเท่ากัน:

แอลจี (56/7) = −3แอลจี (x + 4)

ทีนี้ลองมาดูสมการที่เราได้รับกันดีกว่า ในทางปฏิบัติแล้ว มันเป็นรูปแบบมาตรฐาน แต่มีตัวประกอบ −3 ทางด้านขวา มาเพิ่มลงในอาร์กิวเมนต์ lg ที่ถูกต้อง:

บันทึก 8 = บันทึก (x + 4) −3

ก่อนหน้าเราคือรูปแบบบัญญัติของสมการลอการิทึมดังนั้นเราจึงขีดฆ่าเครื่องหมายของ lg และถือเอาข้อโต้แย้ง:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0.5

แค่นั้นแหละ! เราแก้สมการลอการิทึมที่สองแล้ว ในกรณีนี้ ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบเพิ่มเติม เนื่องจากในปัญหาเดิม x มีอยู่ในอาร์กิวเมนต์เดียวเท่านั้น

ให้ฉันระบุประเด็นสำคัญของบทเรียนนี้อีกครั้ง

สูตรหลักที่สอนในบทเรียนทั้งหมดในหน้านี้สำหรับการแก้สมการลอการิทึมคือรูปแบบมาตรฐาน และอย่ากลัวความจริงที่ว่าหนังสือเรียนของโรงเรียนส่วนใหญ่สอนให้คุณแก้ไขปัญหาดังกล่าวแตกต่างออกไป เครื่องมือนี้ทำงานได้อย่างมีประสิทธิภาพมากและช่วยให้คุณสามารถแก้ไขปัญหาในประเภทที่กว้างกว่าปัญหาที่ง่ายที่สุดที่เราศึกษาตอนเริ่มต้นบทเรียน

นอกจากนี้ ในการแก้สมการลอการิทึม การทราบคุณสมบัติพื้นฐานจะเป็นประโยชน์ กล่าวคือ:

1. สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานเดียวและกรณีพิเศษเมื่อเราย้อนกลับบันทึก (ซึ่งมีประโยชน์มากสำหรับเราในปัญหาแรก)
2. สูตรการบวกและการลบกำลังจากเครื่องหมายลอการิทึม ที่นี่ นักเรียนจำนวนมากติดขัดและไม่เห็นว่าปริญญาที่นำออกและแนะนำอาจมีบันทึก f (x) ในตัวมันเอง ไม่มีอะไรผิดปกติกับที่ เราสามารถแนะนำบันทึกหนึ่งตามสัญลักษณ์ของอีกบันทึกหนึ่งและในเวลาเดียวกันก็ทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมากซึ่งเป็นสิ่งที่เราสังเกตเห็นในกรณีที่สอง

โดยสรุป ฉันต้องการเสริมว่าไม่จำเป็นต้องตรวจสอบโดเมนของคำจำกัดความในแต่ละกรณี เนื่องจากตัวแปร x ปรากฏอยู่ในสัญลักษณ์บันทึกเดียวเท่านั้น และในขณะเดียวกันก็อยู่ในอาร์กิวเมนต์ของมัน ด้วยเหตุนี้ ข้อกำหนดทั้งหมดของขอบเขตจึงได้รับการปฏิบัติตามโดยอัตโนมัติ

ปัญหาเกี่ยวกับฐานตัวแปร

วันนี้เราจะมาดูสมการลอการิทึม ซึ่งสำหรับนักเรียนหลายๆ คนดูเหมือนไม่ได้มาตรฐาน หรือแก้ไม่ได้ทั้งหมด เรากำลังพูดถึงนิพจน์ที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลข แต่เกี่ยวกับตัวแปรและฟังก์ชันคู่ เราจะแก้ไขโครงสร้างดังกล่าวโดยใช้เทคนิคมาตรฐานของเรา นั่นคือผ่านรูปแบบมาตรฐาน

ขั้นแรก เรามาจำไว้ว่าปัญหาที่ง่ายที่สุดจะได้รับการแก้ไขอย่างไรโดยพิจารณาจากตัวเลขธรรมดา ดังนั้นการก่อสร้างที่ง่ายที่สุดจึงเรียกว่า

บันทึก a f (x) = b

เพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวเราสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:

b = บันทึก a a b

เราเขียนนิพจน์ดั้งเดิมของเราใหม่และรับ:

บันทึก a f (x) = บันทึก a a b

จากนั้นเราก็ถือเอาข้อโต้แย้งเช่น เราเขียน:

ฉ (x) = ข

ดังนั้นเราจึงกำจัดเครื่องหมายบันทึกและแก้ไขปัญหาปกติ ในกรณีนี้ รากที่ได้จากการแก้ปัญหาจะเป็นรากของสมการลอการิทึมดั้งเดิม นอกจากนี้ บันทึกเมื่อทั้งซ้ายและขวาอยู่ในลอการิทึมเดียวกันและมีฐานเดียวกันจะเรียกว่ารูปแบบมาตรฐาน เป็นบันทึกที่เราจะพยายามลดการออกแบบในปัจจุบันลง ไปกันเลย

งานแรก:

บันทึก x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

แทนที่ 1 ด้วยบันทึก x − 2 (x − 2) 1 ระดับที่เราสังเกตเห็นในการโต้แย้งคือตัวเลข b ที่อยู่ทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับ งั้น ลองเขียนพจน์ของเราใหม่. เราได้รับ:

บันทึก x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = บันทึก x − 2 (x − 2)

เราเห็นอะไร? ตรงหน้าเราคือรูปแบบมาตรฐานของสมการลอการิทึม ดังนั้นเราจึงสามารถถือเอาข้อโต้แย้งได้อย่างปลอดภัย เราได้รับ:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

แต่การแก้ปัญหาไม่ได้จบเพียงแค่นั้น เพราะสมการนี้ไม่เทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม ท้ายที่สุดแล้ว โครงสร้างผลลัพธ์ประกอบด้วยฟังก์ชันที่กำหนดไว้บนเส้นจำนวนทั้งหมด และลอการิทึมดั้งเดิมของเราจะไม่ถูกกำหนดทุกที่และไม่เสมอไป

ดังนั้นเราจึงต้องเขียนโดเมนของคำจำกัดความแยกกัน อย่าแบ่งผมและเขียนข้อกำหนดทั้งหมดก่อน:

ขั้นแรก อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแต่ละตัวต้องมากกว่า 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

ประการที่สอง ฐานต้องไม่เพียงแต่มากกว่า 0 แต่ยังแตกต่างจาก 1 ด้วย:

x - 2 ≠ 1

ผลลัพธ์ที่ได้คือระบบ:

แต่อย่าตกใจ: เมื่อประมวลผลสมการลอการิทึม ระบบดังกล่าวสามารถทำให้ง่ายขึ้นอย่างมาก

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง: ในด้านหนึ่ง เราจำเป็นต้องให้ฟังก์ชันกำลังสองต้องมากกว่าศูนย์ และในทางกลับกัน ฟังก์ชันกำลังสองนี้ต้องเท่ากับนิพจน์เชิงเส้นบางตัว ซึ่งกำหนดให้ต้องมากกว่าศูนย์ด้วย

ในกรณีนี้ หากเราต้องการ x − 2 > 0 ก็จะเป็นไปตามข้อกำหนด 2x 2 − 13x + 18 > 0 โดยอัตโนมัติ ดังนั้นเราจึงสามารถขีดฆ่าอสมการที่มีฟังก์ชันกำลังสองได้อย่างปลอดภัย ดังนั้น จำนวนนิพจน์ที่มีอยู่ในระบบของเราจะลดลงเหลือสามรายการ

แน่นอนว่า ด้วยความสำเร็จเดียวกันนี้ เราก็สามารถตัดความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นออกไปได้ กล่าวคือ ขีดฆ่า x − 2 > 0 และกำหนดให้ 2x 2 − 13x + 18 > 0 แต่คุณจะเห็นด้วยว่าการแก้ไขอสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดนั้นเร็วกว่ามาก และง่ายกว่ากำลังสอง แม้จะอยู่ภายใต้เงื่อนไขว่าผลจากการแก้ระบบทั้งหมดนี้ เราได้รากที่เหมือนกัน

โดยทั่วไป พยายามปรับการคำนวณให้เหมาะสมทุกครั้งที่เป็นไปได้ และในกรณีของสมการลอการิทึม ให้ขีดฆ่าอสมการที่ยากที่สุดออก

มาเขียนระบบของเราใหม่:

นี่คือระบบของสามสำนวน ซึ่งอันที่จริงแล้วสองสำนวนเราได้จัดการไปแล้ว ลองเขียนสมการกำลังสองแยกกันแล้วแก้มัน:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

ตรงหน้าเราคือตรีโกณมิติกำลังสองแบบลดรูป ดังนั้น เราจึงใช้สูตรของเวียตาได้ เราได้รับ:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

ตอนนี้เรากลับมาที่ระบบของเราและพบว่า x = 2 ไม่เหมาะกับเรา เพราะเราต้องการให้ x มากกว่า 2 อย่างเคร่งครัด

แต่ x = 5 เหมาะกับเราอย่างยิ่ง เลข 5 มากกว่า 2 และในเวลาเดียวกัน 5 ก็ไม่เท่ากับ 3 ดังนั้น ทางออกเดียวสำหรับระบบนี้คือ x = 5

เพียงเท่านี้ ปัญหาก็ได้รับการแก้ไข รวมถึงคำนึงถึง ODZ ด้วย มาดูสมการที่สองกันดีกว่า การคำนวณที่น่าสนใจและให้ข้อมูลอื่นๆ รอเราอยู่ที่นี่:

ขั้นตอนแรก: เช่นเดียวกับครั้งที่แล้ว เรานำเรื่องทั้งหมดนี้มาอยู่ในรูปแบบบัญญัติ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราสามารถเขียนหมายเลข 9 ได้ดังนี้:

คุณไม่จำเป็นต้องแตะฐานด้วยราก แต่เป็นการดีกว่าถ้าเปลี่ยนข้อโต้แย้ง ลองย้ายจากรากไปสู่ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะกัน มาเขียนกัน:

ผมขออย่าเขียนสมการลอการิทึมขนาดใหญ่ทั้งหมดของเราใหม่ แต่ให้ถือเอาข้อโต้แย้งทันที:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

ตรงหน้าเราคือตรีโกณมิติกำลังสองที่ลดลงใหม่ ลองใช้สูตรของ Vieta แล้วเขียนว่า:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

เราได้รากแล้ว แต่ไม่มีใครรับประกันว่ามันจะเข้ากับสมการลอการิทึมดั้งเดิม ท้ายที่สุดแล้ว สัญญาณบันทึกกำหนดข้อ จำกัด เพิ่มเติม (ที่นี่เราควรเขียนระบบ แต่เนื่องจากลักษณะที่ยุ่งยากของโครงสร้างทั้งหมด ฉันจึงตัดสินใจคำนวณโดเมนของคำจำกัดความแยกกัน)

ก่อนอื่น โปรดจำไว้ว่าอาร์กิวเมนต์ต้องมากกว่า 0 กล่าวคือ:

เหล่านี้เป็นข้อกำหนดที่กำหนดโดยขอบเขตของคำจำกัดความ

ให้เราทราบทันทีว่าเนื่องจากเราเปรียบสองนิพจน์แรกของระบบให้เท่ากัน เราจึงสามารถขีดฆ่านิพจน์ใดๆ ออกไปได้ ขีดฆ่าอันแรกออกไปเพราะมันดูคุกคามมากกว่าอันที่สอง

นอกจากนี้ โปรดทราบว่าการแก้อสมการที่สองและสามจะเป็นชุดเดียวกัน (ลูกบาศก์ของจำนวนบางตัวมากกว่าศูนย์หากจำนวนนี้มากกว่าศูนย์ ในทำนองเดียวกันด้วยรากของระดับที่สาม - ความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ มีความคล้ายคลึงกันโดยสิ้นเชิง ดังนั้นเราจึงสามารถขีดฆ่าได้)

แต่ด้วยความไม่เท่าเทียมกันประการที่สาม สิ่งนี้จะไม่ได้ผล กำจัดเครื่องหมายกรณฑ์ทางซ้ายโดยยกทั้งสองส่วนเป็นลูกบาศก์ เราได้รับ:

ดังนั้นเราจึงได้รับข้อกำหนดดังต่อไปนี้:

− 2 ≠ x > −3

ค่ารากใดของเรา: x 1 = −3 หรือ x 2 = −1 ตรงตามข้อกำหนดเหล่านี้ แน่นอนว่ามีเพียง x = −1 เท่านั้น เนื่องจาก x = −3 ไม่เป็นไปตามอสมการแรก (เนื่องจากอสมการของเราเข้มงวด) กลับมาที่ปัญหาของเรา เราได้หนึ่งราก: x = −1 แค่นั้นแหละ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ประเด็นสำคัญของงานนี้อีกครั้ง:

1. คุณสามารถประยุกต์และแก้สมการลอการิทึมโดยใช้รูปแบบมาตรฐานได้ตามต้องการ นักเรียนที่ทำสัญลักษณ์ดังกล่าว แทนที่จะย้ายจากปัญหาเดิมโดยตรงไปยังโครงสร้างเช่น log a f (x) = b กลับสร้างข้อผิดพลาดน้อยกว่านักเรียนที่เร่งรีบไปที่ไหนสักแห่ง โดยข้ามขั้นตอนการคำนวณขั้นกลางไป
2. ทันทีที่ฐานตัวแปรปรากฏในลอการิทึม ปัญหาจะยุติลงอย่างง่ายที่สุด ดังนั้น เมื่อแก้ไข จำเป็นต้องคำนึงถึงโดเมนของคำจำกัดความ: อาร์กิวเมนต์ต้องมากกว่าศูนย์ และฐานต้องไม่เพียงแต่มากกว่า 0 เท่านั้น แต่ต้องไม่เท่ากับ 1 ด้วย

ข้อกำหนดขั้นสุดท้ายสามารถนำไปใช้กับคำตอบสุดท้ายได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น คุณสามารถแก้ปัญหาทั้งระบบที่มีข้อกำหนดทั้งหมดสำหรับโดเมนของคำจำกัดความ ในทางกลับกัน คุณสามารถแก้ปัญหาได้ด้วยตัวเองก่อน จากนั้นจึงจำขอบเขตของคำจำกัดความ แยกงานออกในรูปแบบของระบบและนำไปใช้กับรากที่ได้รับ

วิธีการเลือกเมื่อแก้สมการลอการิทึมนั้นขึ้นอยู่กับคุณที่จะตัดสินใจ ยังไงซะคำตอบก็จะเหมือนเดิม