จำนวนที่ใหญ่ที่สุดในโลก "ตัวเลข" ไม่มีที่สิ้นสุด

สองสิ่งที่ไม่มีที่สิ้นสุดอย่างแท้จริง:
จักรวาลและความโง่เขลาของมนุษย์
อย่างไรก็ตามเกี่ยวกับจักรวาลที่ฉันมี
มีข้อสงสัยอยู่บ้าง
อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์

เราได้หยิบยกปัญหานี้ขึ้นมาเมื่อเร็ว ๆ นี้ แต่มันสำคัญมากที่จะต้องพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติม

หากบางครั้งมีการกล่าวถึงวัตถุหนึ่งถึงอีกวัตถุหนึ่งด้วยคำเดียวกัน ไม่ได้หมายความว่าวัตถุเหล่านี้มีคุณสมบัติเหมือนกัน

นี่เป็นประโยคที่ยาวและเข้าใจยาก ดังนั้นฉันจะอธิบายด้วยตัวอย่าง:
คุณสามารถพูดว่า "โทรเข้าโทรศัพท์" หรือพูดว่า "กดกริ่ง" - การกระทำที่แตกต่างกันมาก แต่มีคำกริยาเดียว จากนี้เราไม่สามารถสรุปได้ว่าการกระทำอื่น ๆ ทั้งหมดกับโทรศัพท์ (การรับ SMS, หน่วยความจำ 200 หมายเลขและอื่น ๆ ) เป็นลักษณะของเสียงระฆัง เห็นได้ชัดว่าย่อหน้านี้ดูไร้สาระ

แต่ทำไมคนจำนวนมากถึงใช้คำว่าอนันต์ได้อย่างง่ายดายราวกับว่ามันเป็นตัวเลข? ใช่ คุณสามารถใช้การกระทำบางอย่างกับอนันต์ที่ทำงานกับตัวเลขได้สำเร็จ ( ทำการจองที่จำเป็น):
2 + ∞ = ∞,
∞ - 5 = ∞,
2 * ∞ = ∞,
∞ / 5 = ∞,
∞ + ∞ = ∞ (ยิ่งไปกว่านั้น ชุดของจำนวนจริงมักจะถูกขยายด้วยองค์ประกอบคู่หนึ่ง +∞ และ -∞ แต่ กำหนดอย่างเคร่งครัดจะจัดการอย่างไร)

ซึ่งหมายความว่าไม่ใช่ทุกสิ่งที่สามารถทำได้ด้วย "อนันต์" เช่นนั้น เช่น ∞ - ∞ = ? (ในที่นี้เรามีความไม่แน่นอน เนื่องจากเราไม่สามารถให้คำตอบโดยไม่ทราบธรรมชาติของ “อนันต์” ทั้งสองนี้) ไม่ว่าในกรณีใด เป็นการไร้เดียงสาที่จะพูดทันทีว่าผลต่างจะเป็นศูนย์

และถ้าการพูดคุยเริ่มต้นเกี่ยวกับข้อเท็จจริงที่ว่าปริมาณบางจำนวนมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์หรืออนันต์ ก็บ่อยครั้งที่การให้เหตุผลที่ถูกต้องไม่เคยเกิดขึ้นเลย อย่างไรก็ตาม เมื่อหกเดือนที่แล้ว เราได้จัดการกับการใช้แนวคิดเรื่องอนันต์ในชีวิตประจำวัน จากนั้นเราก็สามารถ "พิสูจน์" ว่าผลรวมของขาของสามเหลี่ยมจะเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากเสมอ นี่ไม่ใช่ตัวอย่างง่ายๆ แต่เป็นตัวอย่างที่มีประโยชน์ มีสิ่งก่อสร้างโบราณและมีชื่อเสียงอีกมากมายที่ดูเรียบง่ายจนไม่ชัดเจนว่าจะเกิดปัญหาได้อย่างไร

มาจำ Aporia แบบคลาสสิกของ Zeno กัน:
หากรู้ว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าถึง 10 เท่า และอยู่ห่างจากเต่า 1 กิโลเมตร ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนวิ่งบนกิโลเมตรนี้ เต่าจะคลานเป็นระยะทาง 100 เมตร ดังนั้น เมื่อจุดอ่อนวิ่งอีก 100 เมตร เต่าจะคลานได้ 10 เมตร ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด และอคิลลิสจะไม่สามารถตามเต่าทันได้ แม้ว่าเขาจะเคลื่อนที่เร็วขึ้นก็ตาม

ความสามารถในการพูดสิ่งที่เข้าใจได้เกี่ยวกับปัญหาดังกล่าวเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อที่จะเข้าใจเหตุผลเกี่ยวกับความทะเยอทะยาน ขีดจำกัด อนันต์ และแนวคิดอื่นๆ ที่ชัดเจนแต่ค่อนข้างซับซ้อนในเชิงสัญชาตญาณ หากไม่มีสิ่งนี้ บทสนทนามักจะกลายเป็น "ใครมีเสียงที่ดังกว่า" แม้ว่าประเด็นของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์จะไม่ได้ป้องกันไม่ให้ตัวเองถูกโน้มน้าวใจไม่ว่าจะด้วยวิธีใดก็ตาม อนิจจา ในช่วงหลายทศวรรษที่ผ่านมา มีคนแยกแยะความถูกต้องจากวิทยาศาสตร์น้อยลงเรื่อยๆ ดังนั้นจึงมักถือว่าการหยุดตะโกนและโน้มน้าวใจสำคัญกว่าการเข้าใกล้ความจริงมากขึ้น

แล้วเราจะแก้ปัญหาจุดอ่อนและเต่าได้อย่างไร? โปรดอย่าเขียนว่าเมื่อ Achilles วิ่งไปอีกหนึ่งกิโลเมตร เต่าจะถูกทิ้งไว้ข้างหลังมาก สิ่งนี้ชัดเจนสำหรับทุกคน แต่ก็ไม่ได้ช่วยอะไรเลย ที่นี่คุณจะต้องรู้สึกถึงปัญหาในแนวทางแก้ไขปัญหาเดิม และอย่าคิดทบทวนถึงสภาพเดียวกันของคุณเอง

ขอให้เป็นวันที่ดี!

กาลครั้งหนึ่งในวัยเด็ก เราเรียนรู้ที่จะนับถึงสิบ ร้อย และถึงพัน แล้วคุณรู้จำนวนมากที่สุดเท่าไหร่? หนึ่งพัน หนึ่งล้าน หนึ่งพันล้าน หนึ่งล้าน... แล้วไงล่ะ? Petallion มีคนพูดและเขาจะผิดเพราะเขาสร้างความสับสนให้กับคำนำหน้า SI ด้วยแนวคิดที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ที่จริงแล้วคำถามนั้นไม่ง่ายอย่างที่คิดเมื่อเห็นแวบแรก ประการแรก เรากำลังพูดถึงการตั้งชื่อชื่อผู้มีอำนาจนับพัน และตรงนี้ ข้อแตกต่างแรกที่หลายคนรู้จากภาพยนตร์อเมริกัน ก็คือพวกเขาเรียกเราว่าพันล้านหนึ่งพันล้าน

นอกจากนี้ยังมีเครื่องชั่งสองประเภท - ยาวและสั้น ในประเทศของเรามีการใช้มาตราส่วนสั้น ในระดับนี้ ในแต่ละขั้นตอน แมนทิสซาจะเพิ่มขึ้นสามลำดับความสำคัญ กล่าวคือ คูณด้วยพัน - พัน 10 3, ล้าน 10 6, พันล้าน/พันล้าน 10 9, ล้านล้าน (10 12) ในระยะยาว หลังจาก 1 พันล้าน 10 9 ก็จะมี 10 12 พันล้าน และต่อมาแมนทิสซาก็เพิ่มขึ้น 6 ลำดับขนาด และจำนวนถัดไปซึ่งเรียกว่าล้านล้านก็หมายถึง 10 18 อยู่แล้ว

แต่ขอกลับไปสู่ระดับพื้นเมืองของเรา ต้องการทราบว่าจะเกิดอะไรขึ้นหลังจากล้านล้าน? โปรด:

10 3 พัน
10 6 ล้าน
10 9 พันล้าน
10 12 ล้านล้าน
10 15 สี่ล้านล้าน
10 18 ล้านล้าน
10 21 หกล้านล้าน
10 24 เซทิลล้าน
10 27 ออคทิลเลียน
10 30 ล้านล้าน
10 33 ล้าน
10 36 ล้านล้าน
10 39 สิบล้านล้าน
10 42 ล้านล้าน
10 45 ควอตโตร์เดซิล้าน
10 48 ล้านล้าน
10 51 ล้านล้าน
10 54 กันยายน
10 57 ดูโอดีวิจินล้านล้าน
10 60 ล้านล้าน
10 63 ล้านล้าน
10 66 พันล้านล้าน
10 69 ดูโอวิจินล้านล้าน
10 72 ล้านล้าน
10 75 ควอเตอร์วิจินล้านล้าน
10 78 ล้านล้านล้าน
10 81 sexvigintillion
10 84 กันยายนล้านล้าน
10 87 ออคโตวิกินล้าน
10 90 พ.ย.ล้านล้าน
10 93 ล้านล้าน
10 96 แอนติจินล้านล้าน

เมื่อถึงจำนวนนี้ ขนาดที่สั้นของเราไม่สามารถทนได้ และต่อมาตั๊กแตนตำข้าวก็จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ

10 100 กูเกิล
10,123 สี่ล้านล้าน
10,153 ล้านล้านล้าน
10,183 ล้านล้านเซ็ก
10,213 เจ็ดล้านล้าน
10,243 แปดล้านล้าน
10,273 ล้านล้าน
10,303 ล้านล้าน
10,306 ล้านล้าน
10,309 เซ็นต์ตัน
10,312 ล้านล้าน
10,315 เซ็นต์สี่ล้านล้าน
10,402 ล้านล้านล้านล้าน
10,603 ล้านล้าน
10,903 ล้านล้านล้าน
10 1203 สี่ล้านล้าน
10 1503 ล้านล้าน
10 1803 เซเซนล้าน
10 2103 กันยายนล้านล้าน
10 2403 oxtingentillion
10 2703 นอนเจนล้านล้าน
10 3003 ล้าน
10 6003 ดูโอล้าน
10 9003 สามล้าน
10 3000003 ล้านล้าน
10 6000003 duomimiliaillion
10 10 100 กูเกิลเพล็กซ์
10 3×n+3 ซิลเลียน

Google(จากภาษาอังกฤษ googol) - ตัวเลขในระบบเลขฐานสิบแสดงด้วยหน่วยตามด้วยศูนย์ 100 ตัว:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
ในปี 1938 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Edward Kasner (1878-1955) กำลังเดินเล่นในสวนสาธารณะกับหลานชายสองคนและพูดคุยกันเป็นจำนวนมาก ในระหว่างการสนทนา เราได้พูดคุยเกี่ยวกับตัวเลขที่มีศูนย์นับร้อยซึ่งไม่มีชื่อเป็นของตัวเอง Milton Sirotta หลานชายคนหนึ่งวัย 9 ขวบ แนะนำให้เรียกหมายเลขนี้ว่า "googol" ในปี 1940 Edward Kasner ร่วมกับ James Newman เขียนหนังสือวิทยาศาสตร์ยอดนิยมเรื่อง Mathematics and Imagination ("New Names in Mathematics") ซึ่งเขาเล่าให้คนรักคณิตศาสตร์ฟังเกี่ยวกับหมายเลข googol
คำว่า "googol" ไม่มีความหมายเชิงทฤษฎีหรือปฏิบัติที่จริงจัง แคสเนอร์เสนอให้อธิบายความแตกต่างระหว่างจำนวนมหาศาลกับอนันต์อย่างเหลือเชื่อ และบางครั้งคำนี้ใช้ในการสอนคณิตศาสตร์เพื่อจุดประสงค์นี้

กูเกิลเพล็กซ์(จากภาษาอังกฤษ googolplex) - ตัวเลขที่แสดงโดยหน่วยที่มี googol เป็นศูนย์ เช่นเดียวกับ googol คำว่า "googolplex" ได้รับการประกาศเกียรติคุณจากนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Edward Kasner และหลานชายของเขา Milton Sirotta
จำนวน googols นั้นมากกว่าจำนวนอนุภาคทั้งหมดในส่วนของจักรวาลที่เรารู้จัก ซึ่งมีตั้งแต่ 1,079 ถึง 1,081 ดังนั้น จำนวน googolplex ที่ประกอบด้วยตัวเลข (googol + 1) จึงไม่สามารถเขียนลงในรูปได้ รูปแบบ "ทศนิยม" แบบคลาสสิก แม้ว่าสสารในส่วนที่รู้จักของจักรวาลจะกลายเป็นกระดาษและหมึกหรือพื้นที่ดิสก์ของคอมพิวเตอร์ก็ตาม

ซิลเลี่ยน(ภาษาอังกฤษ zillion) - ชื่อทั่วไปสำหรับจำนวนที่มีขนาดใหญ่มาก

คำนี้ไม่มีคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด ในปี 1996 Conway (อังกฤษ J. H. Conway) และ Guy (eng. R. K. Guy) ในหนังสือภาษาอังกฤษของพวกเขา หนังสือแห่งตัวเลขกำหนด zillion ยกกำลังที่ n เป็น 10 3×n+3 สำหรับระบบการตั้งชื่อหมายเลขสเกลสั้น

ปัญหาทางปรัชญาทำให้ตัวเองรู้สึกเมื่อภายในความไม่มีที่สิ้นสุดอันหนึ่ง อีกอันหนึ่งถูกค้นพบอย่างกะทันหัน ตัวอย่างเช่น การเลือกเฉพาะตัวเลขคู่จากตัวเลขทั้งหมด เราจะได้ลำดับอนันต์ 2, 4, 6, ... เพื่อไม่ให้สับสนกับอนันต์ นักคณิตศาสตร์จึงเริ่มพูดถึงเซตและคาร์ดินัลลิตี้: เซตของจำนวนธรรมชาติ แม้ว่าจะเป็นอนันต์ แต่ก็มีจำนวนเชิงการนับเท่ากับเซตคู่ สิ่งนี้ตามมาจากการมีอยู่ของกฎง่ายๆ ที่สร้างการเชื่อมโยงระหว่างสองชุดนี้: การหารเลขคู่ใดๆ ด้วย 2 หรือคูณจำนวนธรรมชาติใดๆ ด้วย 2 ก็เพียงพอแล้วเพื่อให้แน่ใจว่ากฎนี้เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

กฎที่คล้ายกันซึ่งซับซ้อนกว่าเล็กน้อยคือเชื่อมโยงจำนวนธรรมชาติแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเศษส่วนอย่างง่ายทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่ง เศษส่วนอย่างง่ายสามารถกำหนดหมายเลขใหม่ได้ ซึ่งหมายความว่าเซตของจำนวนตรรกยะมีพลังเช่นเดียวกับเซตของจำนวนตรรกยะ กล่าวคือ อนันต์ทั้งสองนี้ "เท่ากัน" ซึ่งกันและกัน ดังนั้นบางทีอนันต์อาจเป็นหนึ่งเดียวและเซตอนันต์ทั้งหมดในแง่นี้มักจะ "เท่ากัน" ซึ่งกันและกัน? แต่ไม่: ประการแรก มันเป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดหมายเลขจำนวนอตรรกยะใหม่ - และชุดนี้กลายเป็น "มากกว่า" มากกว่าชุดของจำนวนธรรมชาติ - และประการที่สอง สำหรับชุดใด ๆ คุณสามารถสร้าง "ใหญ่กว่า" ได้

นักคณิตศาสตร์โกงชาวเยอรมัน

ข้อความทั้งสองนี้ได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Georg Cantor (1845-1918) เนื่องจากค่าอนันต์ต่างกัน คุณจึงสามารถป้อนชื่อของคุณเองสำหรับค่าอนันต์ได้ กล่าวคือ เป็นจำนวนอนันต์ คันทอร์แสดงพลังของอนุกรมธรรมชาติด้วยตัวอักษร aleph จากอักษรฮีบรูด้วยดัชนีศูนย์: א o และสำหรับพลังของความต่อเนื่อง - นี่คือส่วนที่ต่อเนื่องของเส้นตรงหรือเส้นตรงทั้งหมด - เขาใช้ตัวอักษรเดียวกัน แต่มีดัชนีเป็นหนึ่ง: א l จึงแสดงว่าไม่มี จะไม่มีจำนวน transfinite อื่นระหว่าง א o และ א l

ความจริงที่ว่าความต่อเนื่องซึ่งถือได้ว่าเป็นจุดชุดหนึ่งกลายเป็นที่รู้จักก่อนคันทอร์ไม่นาน แต่เขาก็สามารถพิสูจน์มันได้อีกครั้ง โดยสามารถ "กำหนดหมายเลขใหม่" จุดทั้งหมดของเส้นตรงได้ หรือพูดให้ละเอียดกว่าคือส่วนของหน่วย บทบาทของ “ตัวเลข” ในกรณีนี้เท่านั้นไม่ใช่ตัวเลขธรรมชาติ แต่เป็นลำดับของตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด แค่ศูนย์และศูนย์ก็เพียงพอแล้ว (หากเราถือว่าแต่ละ "ตัวเลข" เขียนในระบบไบนารี่): ชุดเศษส่วนในรูปแบบ 0.100010100111... รวมชุดของจำนวนตรรกยะทั้งหมดพร้อมกับจำนวนอตรรกยะจาก 0 โดยสมบูรณ์ ถึง 1 อย่างไรก็ตาม ตามทฤษฎีของคันทอร์มีบางสิ่งที่มากกว่านั้น นั่นคือ "อาเลฟ" ของเขาทำให้สามารถนับจุดที่เส้นตรงสั้นเกินไปได้ (ด้วยเหตุนี้ชื่ออนันต์ - ซึ่งก็คือ ตั้งอยู่ "เกินอนันต์")

ความคิดของคันทอร์ทำให้เขาโชคร้ายมาก เพื่อนร่วมงานของเขาหลายคนค้นพบในทฤษฎี "alephs" ไม่ใช่แค่ความขัดแย้งและความไร้สาระทางคณิตศาสตร์มากมายเท่านั้น นั่นคงไม่เลวร้ายนัก การให้เหตุผลของคันทอร์เผยให้เห็นถึงความเคร่งศาสนาอันลึกซึ้งและความปรารถนาที่จะเข้าใจ "สัมบูรณ์" ขณะที่เขาพัฒนาทฤษฎี ความสัมพันธ์ของเขากับผู้บังคับบัญชาที่มหาวิทยาลัยในเมืองฮัลเลอเริ่มไม่สบายใจมากขึ้นเรื่อยๆ และแม้แต่นักคณิตศาสตร์ที่กระตือรือร้นเกี่ยวกับทฤษฎีนี้ในตอนแรกก็ละทิ้งทฤษฎีนี้ไป ศูนย์กลางของความคิดทางคณิตศาสตร์ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 คือฝรั่งเศส แต่นักคณิตศาสตร์ชั้นนำชาวฝรั่งเศสสองคนคือ Charles Hermite (1822-1901) และ Paul Emile Appel (1855-1930) ถึงกับต่อต้านการแปลผลงานของ Cantor เป็นภาษาฝรั่งเศส อาจมีคนคาดหวังว่าแนวคิดใหม่นี้จะได้รับการสนับสนุนจากผู้เฒ่าแห่งคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ผู้ที่คาดการณ์การพัฒนาในอนาคตในศตวรรษที่ 20 - Henri Poincaré (, 1854-1912) ... แต่ไม่ - และเขาก็ด้วย ปฏิเสธที่จะพูดถึง "เกี่ยวกับความไม่มีที่สิ้นสุดที่แท้จริง"

ในช่วงปลายศตวรรษ คันทอร์เองก็ถูกโจมตีจากภาวะซึมเศร้ามากขึ้นเรื่อยๆ เห็นได้ชัดว่าเรากำลังพูดถึงความเจ็บป่วยร้ายแรง - โรคจิตคลั่งไคล้ซึมเศร้า เอมิล โบเรล (พ.ศ. 2414-2499) หนึ่งในแฟนทฤษฎีเซต ค่อยๆ เริ่มรู้สึกรังเกียจทฤษฎีเซต ซึ่งทวีความรุนแรงมากขึ้นจากข่าวลือเกี่ยวกับความเจ็บป่วยของนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ หลายปีต่อมาเขาเขียนถึงเพื่อนของเขา Paul Valéry (Paul Valéry, 1871-1945) ว่าเขาต้องละทิ้งการศึกษาทฤษฎีเซต "เพราะการทำงานหนักเกินไปที่ครอบงำเขาและทำให้เขากลัวความเจ็บป่วยร้ายแรงหากเขาเรียนต่อ งาน."

คำถามนี้ถูกปิดโดยนักคณิตศาสตร์ที่เชื่อถือได้อีกคน Jacques Hadamard (1865-1963) ซึ่งสรุปว่าโครงเรื่องทั้งหมดเกิน "ขีดจำกัดของคณิตศาสตร์" และเริ่มเชื่อมโยง "กับจิตวิทยา กับคุณสมบัติของจิตใจของเรา" การตัดสินใจครั้งนี้ดูเหมือนฉลาดสำหรับหลาย ๆ คน แต่ตามคำกล่าวของ Lauren Graham และ Jean-Michel Cantor การตัดสินใจดังกล่าวส่งผลให้คณิตศาสตร์ฝรั่งเศสออกจากแนวหน้าไป เมื่อได้เห็นเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ที่จริงจังในการเปรียบเทียบขนาดของเซตอนันต์และการเรียงลำดับเซตย่อยที่ไม่มีที่สิ้นสุด นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียก็สามารถสร้างโรงเรียนที่ยังคงเป็นแห่งแรกมาเป็นเวลานานและแม้กระทั่งจนถึงทุกวันนี้ก็ยังไม่สูญเสียความสำคัญของมันไปโดยสิ้นเชิง

เบอร์พระเจ้า

ผู้สร้างทฤษฎีเซตใช้เวลาสิบเอ็ดปีแรกของชีวิตในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก อย่างไรก็ตาม สภาพอากาศในเมืองนี้ส่งผลเสียต่อบิดาของเขามากเกินไป และในปี 1856 ทั้งครอบครัวก็ย้ายไปอยู่ที่แฟรงก์เฟิร์ต อัมไมน์ ที่มีสภาพอากาศเอื้ออำนวยมากกว่ามาก การศึกษาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและเทคนิคดำเนินการโดย Cantor รุ่นเยาว์ในเมืองต่างๆ ของยุโรป ตั้งแต่ดาร์มสตัดท์ไปจนถึงซูริก และมาพร้อมกับการต่อสู้ที่คาดหวังอย่างสมบูรณ์กับพ่อแม่ของเขา ซึ่งมีความสุขมากกว่าที่ได้เห็นลูกของพวกเขาเป็นวิศวกร มากกว่านักคณิตศาสตร์ที่มีความโน้มเอียงทางปรัชญาอย่างเห็นได้ชัด อย่างไรก็ตาม เกออร์กค่อยๆ เอาชนะการต่อต้านของพวกเขา และดังที่ได้กล่าวไปแล้ว เขาพบว่าตัวเองอยู่ที่มหาวิทยาลัยฮัลเลอ

เขากำหนดมุมมองทางปรัชญาของเขาด้วยสูตร "ความสมจริงของอริสโตเติลระดับปานกลาง" แต่ลัทธิ Platonism ของพีทาโกรัสนั้นมองเห็นได้ชัดเจนในมุมมองเหล่านั้น อนันต์ที่แท้จริงซึ่งแสดงโดยจำนวนอนันต์นั้นครอบครองตำแหน่งกึ่งกลางสำหรับเขาระหว่างอันมีขอบเขตและอนันต์อย่างแน่นอน - นั่นคือพระเจ้า โดยตระหนักว่าการกำหนดคำถามดังกล่าวอาจมีแนวโน้มที่จะใกล้กับนักปรัชญามากกว่านักคณิตศาสตร์ เขาจึงกล่าวถึงงานหลักของเขาเรื่อง "ประสบการณ์ทางคณิตศาสตร์และปรัชญาในหลักคำสอนเรื่องอนันต์" กับนักปรัชญามากกว่านักคณิตศาสตร์:

[ฉันหมายถึง] นักอ่านสองประเภท ฝ่ายหนึ่งคือนักปรัชญาที่ติดตามพัฒนาการของคณิตศาสตร์มาจนถึงสมัยใหม่ และอีกฝ่ายคือนักคณิตศาสตร์ที่คุ้นเคยกับข้อเท็จจริงที่สำคัญที่สุดของปรัชญาโบราณและสมัยใหม่.

และเขาพบผู้อ่านประเภทนี้ - ในบ้านเกิดของเขา ไม่น่าแปลกใจเลยที่ประการแรกพวกเขากลายเป็น Platonists ของ Pythagorean และนักเวทย์มนตร์คริสเตียนด้วย บางทีที่มีชื่อเสียงที่สุดของพวกเขาในตอนนี้ - (พ.ศ. 2425-2480) - เข้าใจในแง่ที่ว่าเราสามารถพูดถึงจำนวนที่มากกว่าจำนวนธรรมชาติใด ๆ ได้:

ในแง่เดียวกัน เราสามารถพูดได้ว่าฤทธิ์เดชของพระเจ้านั้นมีอยู่จริงและไม่มีที่สิ้นสุด เพราะเมื่อถูกกำหนดแล้ว (เพราะไม่มีการเปลี่ยนแปลงในพระเจ้า) ก็ยิ่งใหญ่กว่าอำนาจอันจำกัดใดๆ ในเวลาเดียวกัน.

คำอุปมานี้ไม่ใช่คำอุปมาในสายตาของ Florensky เองซึ่งไม่ได้บอกเป็นนัยถึงขอบเขตพิเศษระหว่างเทววิทยาและคณิตศาสตร์ นอกจากนี้ทิศทางทางศาสนาและปรัชญาที่ Florensky พัฒนาขึ้นเมื่อต้นศตวรรษที่ 20 ตั้งสมมติฐานว่า "พระนามของพระเจ้าคือพระเจ้าเอง" แต่ชื่อนี้เป็นตัวแทนของชื่อมากมายนับไม่ถ้วน รวมทั้งตัวเลขด้วย

ลาก่อนลูซิทาเนีย!

ในปี 1900 Florensky เข้าเรียนคณะฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ของ Moscow State University แต่สี่ปีต่อมาเขาก็ออกจากคณิตศาสตร์เพื่อไปทำงานที่คริสตจักรและเทววิทยา อย่างไรก็ตาม ในสมัยโซเวียต เขาก็หยุดศึกษาปรัชญาและเทววิทยาเช่นกัน โดยหมกมุ่นอยู่กับประเด็นทางวิศวกรรมเชิงปฏิบัติโดยเฉพาะ เขาทำงานด้านวิศวกรรมไฟฟ้ามากมาย เข้าร่วมในการพัฒนาแผน GOELRO และศึกษาคุณสมบัติของชั้นดินเยือกแข็งถาวร ทั้งหมดนี้ไม่ได้ช่วยเขาจากการกดขี่ของรัฐบาลใหม่และหลังจากการจับกุมหลายครั้งในปี 2480 เขาถูกยิง

สำหรับฟลอเรนสกี การออกจากคณิตศาสตร์ไม่ได้หมายถึงการออกจากชุมชนคณิตศาสตร์ ในบรรดาคนที่ใกล้ชิดกับเขามากที่สุด ได้แก่ Nikolai Nikolaevich Luzin (พ.ศ. 2426-2493) และ Dmitry Fedorovich Egorov (พ.ศ. 2412-2474) ไม่เพียงพอที่จะบอกว่าทั้งคู่เป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่: ในปี 1923 Egorov ได้รับเลือกเป็นประธานาธิบดีและได้รับแต่งตั้งให้เป็นผู้อำนวยการสถาบันคณิตศาสตร์และกลศาสตร์ของ First Moscow State University นักประวัติศาสตร์สมัยใหม่มองเห็นบุคคลสำคัญในตัวเขา การสร้างและพัฒนาทฤษฎีฟังก์ชัน ความสำเร็จอันโดดเด่นของ Luzin ไม่เพียงแต่ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงพลังในการสอนอันเป็นเอกลักษณ์ของเขาด้วย นักคณิตศาสตร์หลักชาวรัสเซียเกือบทั้งหมดเป็นนักเรียนของเขาหรือเป็นนักเรียนของนักเรียนของเขา ซึ่งก่อตัวขึ้นแล้วในยุค 20 เรียกว่า "Lusitania" พวกเขาเป็นคนที่ในยุค 30 ที่ต้องค้นพบซึ่งเปิดทางไปสู่หัวข้อยอดนิยมเช่นเศษส่วนและความโกลาหลในปัจจุบัน

บ่อยครั้งที่ชะตากรรมของวิทยาศาสตร์ถูกกำหนดน้อยลงจากความสำเร็จในการแก้ปัญหา และมากขึ้นโดยการเลือกที่ถูกต้อง ใครจะรู้ว่านักคณิตศาสตร์ให้เหตุผลอะไรกับตัวเอง โดยโน้มน้าวตัวเองให้รับคำตอบของข้อใดข้อหนึ่ง และไม่รับวิธีแก้ปัญหาของผู้อื่น ในกรณีของ Egorov และ Luzin ตามที่ Lauren Graham และ Jean-Michel Cantor กล่าวว่า มุมมองทางศาสนาของพวกเขาและความสามารถในการมองเห็นมุมมองทางคณิตศาสตร์ที่อยู่ห่างไกลเบื้องหลังเกมตั้งชื่อมีความสำคัญขั้นพื้นฐาน แนวคิดทางปรัชญาของคันทอร์ซึ่งทำให้การยอมรับคณิตศาสตร์ของเขาซับซ้อนอย่างมากในประเทศยุโรปตะวันตกและเหนือสิ่งอื่นใดในฝรั่งเศสผู้มีเหตุผลนิยมมีบทบาทตรงกันข้ามในรัสเซียซึ่งมีประเพณีทางปรัชญาที่ตรงกันข้าม - ลึกลับ

แน่นอนว่าข้อความนี้ค่อนข้างยากที่จะพิสูจน์ และควรถือเป็นสมมติฐานที่สวยงามและมีประสิทธิผล แต่ยังคงเป็นสมมติฐาน เขาถูกวิพากษ์วิจารณ์แล้ว - อาจจะค่อนข้างถูกต้อง - จากทั้งนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาของเรา แต่แม้จะเป็นเพียงสมมติฐาน ภาพที่เสนอโดยนักวิจัยชาวตะวันตกก็น่าสนใจมาก: หลังจาก "ยุคเงิน" ของบทกวีรัสเซียและศิลปะโดยทั่วไปก็มาถึง "ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา" ของปรัชญา ซึ่งถูกแทนที่ด้วย "ยุคทอง" ของคณิตศาสตร์ แน่นอนว่าทุกสิ่งผ่านไปความงามทั้งหมดหากไม่พินาศอย่างน้อยก็พิการ: ในปี 1931 Egorov ถูกยิงไม่นานหลังจากนั้นคดีกับ Luzin ก็ถูกเปิดขึ้นมีเพียงปาฏิหาริย์เท่านั้นที่เขาหนีออกจากคุกใต้ดินได้ แต่ ลานสเก็ตแห่งการปราบปรามไม่ได้ละเว้นนักเรียนของเขา ... แต่ความทรงจำเกี่ยวกับความงามในอดีตยังคงอยู่และการไตร่ตรองถึงมันทำให้เกิดความมั่นใจ - มันไม่ใช่เรื่องบังเอิญ

ข่าวพันธมิตร

10 ยกกำลัง 3003

ข้อพิพาทเกี่ยวกับตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลกยังคงดำเนินต่อไป ระบบแคลคูลัสที่ต่างกันเสนอทางเลือกที่แตกต่างกัน และผู้คนไม่รู้ว่าจะเชื่ออะไร และจำนวนใดที่ควรพิจารณาว่าใหญ่ที่สุด

คำถามนี้ทำให้นักวิทยาศาสตร์สนใจมาตั้งแต่สมัยจักรวรรดิโรมัน ปัญหาที่ใหญ่ที่สุดอยู่ที่คำจำกัดความว่า "ตัวเลข" คืออะไร และ "ตัวเลข" คืออะไร ครั้งหนึ่งคนเคยถือว่าจำนวนที่มากที่สุดคือหน่วยเดซิล้าน ซึ่งก็คือ 10 ยกกำลัง 33 แต่หลังจากที่นักวิทยาศาสตร์เริ่มศึกษาระบบเมตริกของอเมริกาและอังกฤษอย่างจริงจัง ก็พบว่าจำนวนที่ใหญ่ที่สุดในโลกคือ 10 ยกกำลัง 3003 - หนึ่งล้าน ผู้คนในชีวิตประจำวันเชื่อว่าจำนวนที่มากที่สุดคือหนึ่งล้านล้าน ยิ่งกว่านั้น นี่ค่อนข้างเป็นทางการ เนื่องจากหลังจากหนึ่งล้านล้านชื่อก็ไม่ได้รับการบอกกล่าว เนื่องจากการนับเริ่มซับซ้อนเกินไป อย่างไรก็ตาม ตามทฤษฎีแล้ว คุณสามารถเพิ่มจำนวนศูนย์ได้อย่างไม่มีกำหนด ดังนั้นจึงแทบเป็นไปไม่ได้เลยที่จะจินตนาการถึงล้านล้านด้วยสายตาล้วนๆ และสิ่งที่ตามมา

ในเลขโรมัน

ในทางกลับกัน คำจำกัดความของ "ตัวเลข" ที่นักคณิตศาสตร์เข้าใจนั้นแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวเลข หมายถึง เครื่องหมายที่เป็นที่ยอมรับในระดับสากล และใช้เพื่อระบุปริมาณที่แสดงเป็นตัวเลขที่เทียบเท่ากัน แนวคิดที่สองของ "ตัวเลข" หมายถึง การแสดงคุณลักษณะเชิงปริมาณในรูปแบบที่สะดวกโดยใช้ตัวเลข จากนี้ไปตัวเลขจะประกอบด้วยตัวเลข สิ่งสำคัญคือตัวเลขนั้นมีคุณสมบัติเชิงสัญลักษณ์ เป็นสิ่งกำหนดเงื่อนไข เป็นที่จดจำ ไม่เปลี่ยนแปลง ตัวเลขก็มีคุณสมบัติเครื่องหมายเช่นกัน แต่ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเลขประกอบด้วยตัวเลข จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าล้านล้านไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นตัวเลข แล้วตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลกถ้าไม่ใช่ล้านล้านจะเป็นตัวเลขอะไร?

สิ่งสำคัญคือมีการใช้ตัวเลขเป็นส่วนประกอบของตัวเลข แต่ไม่ใช่แค่นั้น อย่างไรก็ตาม ตัวเลขก็คือตัวเลขเดียวกันหากเรากำลังพูดถึงบางสิ่ง โดยนับจากศูนย์ถึงเก้า คุณลักษณะของระบบนี้ไม่เพียงแต่ใช้กับเลขอารบิกที่คุ้นเคยเท่านั้น แต่ยังใช้กับเลขโรมัน I, V, X, L, C, D, M อีกด้วย ซึ่งเป็นเลขโรมัน ในทางกลับกัน V I I I เป็นเลขโรมัน ในแคลคูลัสภาษาอาหรับจะตรงกับเลขแปด

ในเลขอารบิค

ดังนั้นปรากฎว่าการนับหน่วยตั้งแต่ศูนย์ถึงเก้าถือเป็นตัวเลข และสิ่งอื่น ๆ ก็เป็นตัวเลข จึงสรุปได้ว่าจำนวนที่มากที่สุดในโลกคือเก้า 9 เป็นเครื่องหมาย และตัวเลขเป็นนามธรรมเชิงปริมาณอย่างง่าย ล้านล้านเป็นตัวเลข ไม่ใช่ตัวเลขเลย ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลกได้ ล้านล้านสามารถเรียกได้ว่าเป็นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดในโลก และนั่นเป็นเพียงการนามเท่านั้น เนื่องจากสามารถนับจำนวนได้ไม่จำกัด จำนวนหลักถูกจำกัดอย่างเคร่งครัด - ตั้งแต่ 0 ถึง 9

ควรจำไว้ว่าตัวเลขและตัวเลขของตัวเลขที่แตกต่างกันไม่ตรงกันดังที่เราเห็นจากตัวอย่างที่มีตัวเลขและตัวเลขอารบิกและโรมัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะตัวเลขและตัวเลขเป็นแนวคิดง่ายๆ ที่มนุษย์ประดิษฐ์ขึ้นมาเอง ดังนั้นตัวเลขในระบบตัวเลขหนึ่งสามารถเป็นตัวเลขในอีกระบบหนึ่งและในทางกลับกันได้อย่างง่ายดาย

ดังนั้น จำนวนที่มากที่สุดจึงมีนับไม่ถ้วน เนื่องจากสามารถบวกจากตัวเลขต่อไปได้ไม่จำกัด สำหรับตัวเลขนั้น ในระบบที่ยอมรับกันโดยทั่วไป 9 ถือเป็นจำนวนที่มากที่สุด

นอกจากนี้ยังมีกลุ่มตัวเลขที่ยาวกว่าซึ่งจะถูกเก็บรักษาไว้ในผลคูณของพวกเขาซึ่งอยู่ท้ายตัวเลขด้วย ดังที่เราจะแสดงจำนวนกลุ่มตัวเลขนั้นมีจำนวนมหาศาลอย่างไม่สิ้นสุด

เรารู้จักกลุ่มตัวเลขสองหลักที่มีคุณสมบัตินี้ ได้แก่ 25 และ 76 หากต้องการค้นหากลุ่มที่มีสามหลัก คุณต้องเพิ่มตัวเลขที่ด้านหน้าของหมายเลข 25 หรือ 76 เพื่อให้ผลลัพธ์เป็นตัวเลขสามหลัก กลุ่มตัวเลขก็มีคุณสมบัติที่ต้องการเช่นกัน

ควรกำหนดตัวเลขใดให้กับหมายเลข 76? ลองแทนมันด้วย k จากนั้นจะแสดงตัวเลขสามหลักที่ต้องการ:

100,000 + 76

นิพจน์ทั่วไปสำหรับตัวเลขที่ลงท้ายด้วยตัวเลขกลุ่มนี้คือ:

1,000a + 100k + 76, 1,000b + 100k + 76 ฯลฯ

ลองคูณตัวเลขประเภทนี้สองตัว เราได้รับ:

1000000ab + 100000ak + 100000bk + 76000a + 76000b + 10000k 2 + 15200k + 5776

ทุกพจน์ ยกเว้นสองคำสุดท้าย มีเลขศูนย์อย่างน้อยสามตัวต่อท้าย ดังนั้นสินค้าจะลงท้ายด้วย 1006+76 หากผลต่าง

15200k + 5776 - (100k + 76) = 15100k + 5700 = 15000k + 5000 + 100 (k + 7)

หารด้วย 1,000 ลงตัว ซึ่งแน่นอนว่าจะเกิดขึ้นกับ k = 3 เท่านั้น

ดังนั้น กลุ่มตัวเลขที่ต้องการจะมีรูปแบบ 376 ดังนั้น ทุกเลขยกกำลังของ 376 จะลงท้ายด้วย 376 ตัวอย่างเช่น

376 2 = 141376.

หากเราต้องการค้นหากลุ่มตัวเลขสี่หลักที่มีคุณสมบัติเหมือนกัน เราจะต้องบวกหลักอีกหลักหนึ่งที่ 376 ข้างหน้า หากเราแสดงตัวเลขนี้ด้วย l เราก็จะเจอปัญหา: สำหรับอะไร ล. ผลิตภัณฑ์

(10,000a + 1,000l + 376) (10,000b + 1,000l + 376)

ลงท้ายด้วย 1,000l + 376? หากในผลิตภัณฑ์นี้เราเปิดวงเล็บและละทิ้งคำศัพท์ทั้งหมดที่ลงท้ายด้วยศูนย์ 4 ตัวขึ้นไป เงื่อนไขนั้นจะยังคงอยู่

752000l + 141376.

สินค้าลงท้ายด้วย 1000l + 376 หากต่างกัน

752000l + 141376 - (1,000l + 376) = 751000l + 141000 = (750000l + 140000) + 1,000(l + 1)

หารด้วย 10,000 ลงตัว ซึ่งจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ l = 9 เท่านั้น

กลุ่มตัวเลขสี่หลักที่ต้องการคือ 9376

กลุ่มตัวเลขสี่หลักที่เป็นผลลัพธ์สามารถเสริมด้วยตัวเลขอีกหนึ่งตัวได้ ซึ่งคุณต้องให้เหตุผลในลักษณะเดียวกับที่กล่าวข้างต้นทุกประการ เราได้ 09376 ก้าวไปอีกขั้นหนึ่ง เราก็พบกลุ่มตัวเลข 109376 ตามด้วย 7109376 เป็นต้น

การกำหนดตัวเลขทางซ้ายนี้สามารถทำได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง เป็นผลให้เราได้รับ "ตัวเลข" ที่มีตัวเลขมากมายไม่สิ้นสุด:

7109376.

"ตัวเลข" ดังกล่าวสามารถเพิ่มและคูณได้ตามกฎปกติ: ท้ายที่สุดแล้วพวกมันจะถูกเขียนจากขวาไปซ้ายและการบวกและการคูณ ("คอลัมน์") จะดำเนินการจากขวาไปซ้ายเช่นกัน ดังนั้นในผลรวมและผลิตภัณฑ์ ของตัวเลขสองตัวดังกล่าว เราสามารถคำนวณได้ทีละหลัก - มากเท่าที่คุณต้องการตัวเลข

เป็นที่น่าสนใจว่า "จำนวน" อนันต์ที่เขียนไว้ด้านบนนั้นเป็นไปตามสมการนี้ ซึ่งดูเหมือนว่าจะน่าเหลือเชื่อ

X 2 = x

อันที่จริง กำลังสองของ "ตัวเลข" นี้ (นั่นคือ ผลคูณของมันเอง) ลงท้ายด้วย 76 เนื่องจากแต่ละตัวประกอบมี 76 ต่อท้าย ด้วยเหตุผลเดียวกัน กำลังสองของ "ตัวเลข" ที่เขียนไว้จึงลงท้ายด้วย 376 ลงท้ายด้วย 9376 เป็นต้น กล่าวอีกนัยหนึ่งโดยการคำนวณทีละหลักของ "ตัวเลข" x 2 โดยที่ x =... 7109376 เราจะได้ตัวเลขเดียวกันกับที่อยู่ในตัวเลข x ดังนั้น x 2 = x.

เราดูกลุ่มตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 76 * หากใช้เหตุผลที่คล้ายกันสำหรับกลุ่มตัวเลขที่ลงท้ายด้วย 5 เราจะได้กลุ่มตัวเลขดังต่อไปนี้:

5, 25, 625, 0625, 90625, 890625, 2890 625 ฯลฯ

* (โปรดทราบว่ากลุ่มตัวเลขสองหลัก 76 สามารถพบได้โดยใช้เหตุผลที่คล้ายกับที่ให้ไว้ข้างต้น: ก็เพียงพอแล้วที่จะตอบคำถามที่ต้องกำหนดหลักไว้ที่ด้านหน้าของหมายเลข 6 เพื่อให้กลุ่มสองหลักที่เป็นผลลัพธ์ของ ตัวเลขมีคุณสมบัติที่ต้องการ ดังนั้นสามารถรับ "หมายเลข" ... 7109376 ได้โดยการเพิ่มตัวเลขที่ด้านหน้าของเลขหกทีละตัว)

เป็นผลให้เราสามารถเขียน "ตัวเลข" ได้อีกอันไม่สิ้นสุด

2890625,

เป็นไปตามสมการ x 2 = x ด้วย อาจแสดงให้เห็นว่า "จำนวน" อนันต์นี้ "เท่ากับ"

5 2 2 2...

ผลลัพธ์ที่น่าสนใจที่ได้รับในภาษาของ "ตัวเลข" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดมีสูตรดังนี้: สมการ x 2 = x มี (นอกเหนือจากปกติ x = 0 และ x = 1) วิธีแก้ปัญหา "อนันต์" สองข้อ:

X = ...7109376 และ x = ...2890625,

และไม่มีคำตอบอื่นใด (ในระบบเลขฐานสิบ) *

* ("ตัวเลข" ที่ไม่มีที่สิ้นสุดสามารถพิจารณาได้ไม่เฉพาะในรูปแบบทศนิยมเท่านั้น แต่ยังพิจารณาในระบบตัวเลขอื่นด้วย จำนวนดังกล่าวที่พิจารณาในระบบจำนวนที่มีฐาน p เรียกว่าจำนวน p-adic คุณสามารถอ่านบางอย่างเกี่ยวกับตัวเลขเหล่านี้ได้ในหนังสือ “Mathematical Conversations” โดย E. B. Dynkin และ V. A. Uspensky (Gostekhizdat, 1952))