สมการลอการิทึมและอสมการ อสมการลอการิทึมเชิงซ้อน

คุณคิดว่ายังมีเวลาก่อนสอบ Unified State และคุณจะมีเวลาเตรียมตัวหรือไม่? บางทีอาจเป็นเช่นนี้ แต่ไม่ว่าในกรณีใด ยิ่งนักเรียนเริ่มเตรียมตัวเร็วเท่าไร เขาก็ยิ่งผ่านการสอบได้สำเร็จมากขึ้นเท่านั้น วันนี้เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความเกี่ยวกับอสมการลอการิทึม นี่เป็นหนึ่งในงานซึ่งหมายถึงโอกาสในการได้รับเครดิตพิเศษ

คุณรู้อยู่แล้วว่าลอการิทึมคืออะไร? เราหวังเช่นนั้นจริงๆ แต่แม้ว่าคุณจะไม่มีคำตอบสำหรับคำถามนี้ แต่ก็ไม่ใช่ปัญหา การทำความเข้าใจว่าลอการิทึมคืออะไรนั้นง่ายมาก

ทำไมต้อง 4? คุณต้องเพิ่มเลข 3 เป็นเลขยกกำลังนี้เพื่อให้ได้ 81 เมื่อคุณเข้าใจหลักการแล้ว คุณสามารถดำเนินการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้นได้

คุณผ่านความไม่เท่าเทียมกันเมื่อไม่กี่ปีที่ผ่านมา และตั้งแต่นั้นมา คุณก็ได้เจอพวกมันในวิชาคณิตศาสตร์มาโดยตลอด หากคุณมีปัญหาในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน โปรดดูส่วนที่เกี่ยวข้อง
ตอนนี้เราได้คุ้นเคยกับแนวคิดเป็นรายบุคคลแล้ว เรามาพิจารณาแนวคิดโดยรวมกันต่อ

อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด

อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดไม่ได้จำกัดอยู่เพียงตัวอย่างนี้ ยังมีอีก 3 แบบที่มีเครื่องหมายต่างกันเท่านั้น เหตุใดจึงจำเป็น? เพื่อให้เข้าใจวิธีแก้อสมการลอการิทึมได้ดีขึ้น ทีนี้ลองยกตัวอย่างที่นำไปใช้ได้มากกว่านี้ แต่ยังคงค่อนข้างง่าย เราจะทิ้งอสมการลอการิทึมที่ซับซ้อนไว้ใช้ทีหลัง

วิธีแก้ปัญหานี้? ทุกอย่างเริ่มต้นด้วย ODZ การเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้เป็นเรื่องที่คุ้มค่าหากคุณต้องการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันอย่างง่ายดายอยู่เสมอ

ODZ คืออะไร? ODZ สำหรับอสมการลอการิทึม

ตัวย่อหมายถึงช่วงของค่าที่ยอมรับได้ สูตรนี้มักเกิดขึ้นในงานสำหรับการสอบ Unified State ODZ จะเป็นประโยชน์กับคุณไม่เพียงแต่ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันของลอการิทึมเท่านั้น

ดูตัวอย่างข้างต้นอีกครั้ง เราจะพิจารณา ODZ ตามนั้นเพื่อให้คุณเข้าใจหลักการและการแก้ไขอสมการลอการิทึมจะไม่ทำให้เกิดคำถาม จากคำจำกัดความของลอการิทึม จะได้ว่า 2x+4 ต้องมากกว่าศูนย์ ในกรณีของเรานี่หมายถึงสิ่งต่อไปนี้

ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนนี้จะต้องเป็นบวก แก้ความไม่เท่าเทียมกันที่นำเสนอข้างต้น ซึ่งสามารถทำได้ด้วยวาจา ในกรณีนี้ ชัดเจนว่า X ต้องไม่น้อยกว่า 2 วิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันคือคำจำกัดความของช่วงของค่าที่ยอมรับได้
ทีนี้มาดูการแก้อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดกันดีกว่า

เราละทิ้งลอการิทึมจากทั้งสองด้านของอสมการ สิ่งนี้ทำให้เราอยู่กับอะไร? ความไม่เท่าเทียมกันง่ายๆ

แก้ได้ไม่ยาก X ต้องมากกว่า -0.5 ตอนนี้เรารวมค่าที่ได้รับทั้งสองเข้าไว้ในระบบ ดังนั้น,

นี่จะเป็นช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับอสมการลอการิทึมที่กำลังพิจารณา

ทำไมเราถึงต้องการ ODZ เลย? นี่เป็นโอกาสที่จะกำจัดคำตอบที่ไม่ถูกต้องและเป็นไปไม่ได้ออกไป หากคำตอบไม่อยู่ในช่วงค่าที่ยอมรับได้ คำตอบก็ไม่สมเหตุสมผล สิ่งนี้ควรค่าแก่การจดจำเป็นเวลานานเนื่องจากใน Unified State Examination มักจะจำเป็นต้องค้นหา ODZ และไม่เพียงเกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมกันของลอการิทึมเท่านั้น

อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการลอการิทึม

การแก้ปัญหาประกอบด้วยหลายขั้นตอน ขั้นแรก คุณต้องค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ จะมีสองความหมายใน ODZ เราได้กล่าวถึงเรื่องนี้ข้างต้น ต่อไปคุณต้องแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันนั้นเอง วิธีการแก้ไขมีดังนี้:

• วิธีการแทนที่ตัวคูณ
• การสลายตัว;
• วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง

มันคุ้มค่าที่จะใช้วิธีใดวิธีหนึ่งข้างต้นทั้งนี้ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ เรามาดูวิธีแก้ปัญหากันโดยตรง เราจะมาเปิดเผยวิธีการยอดนิยมซึ่งเหมาะกับการแก้ปัญหางาน Unified State Examination ในเกือบทุกกรณี ต่อไปเราจะมาดูวิธีการสลายตัว สามารถช่วยได้หากคุณพบความไม่เท่าเทียมกันที่ยุ่งยากเป็นพิเศษ ดังนั้น อัลกอริธึมสำหรับแก้อสมการลอการิทึม

ตัวอย่างการแก้ปัญหา :

ไม่ใช่เพื่ออะไรที่เรารับเอาความไม่เท่าเทียมกันนี้อย่างแน่นอน! ให้ความสนใจกับฐาน ข้อควรจำ: หากมีค่ามากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายจะยังคงเหมือนเดิมเมื่อค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้ ไม่เช่นนั้นคุณจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ

เป็นผลให้เราได้รับความไม่เท่าเทียมกัน:

ตอนนี้เราลดด้านซ้ายให้อยู่ในรูปสมการเท่ากับศูนย์ แทนที่จะใส่เครื่องหมาย "น้อยกว่า" เราใส่ "เท่ากับ" แล้วแก้สมการ ดังนั้นเราจะพบ ODZ เราหวังว่าคุณจะไม่มีปัญหาในการแก้สมการง่ายๆ เช่นนี้ คำตอบคือ -4 และ -2 นั่นไม่ใช่ทั้งหมด คุณต้องแสดงจุดเหล่านี้บนกราฟ โดยวาง "+" และ "-" จะต้องทำอะไรเพื่อสิ่งนี้? แทนตัวเลขจากช่วงเวลาลงในนิพจน์ ในกรณีที่ค่าเป็นบวก เราจะใส่ "+" ไว้ตรงนั้น

คำตอบ: x ต้องไม่มากกว่า -4 และน้อยกว่า -2

เราพบช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับด้านซ้ายเท่านั้น ตอนนี้ เราต้องค้นหาช่วงของค่าที่ยอมรับได้สำหรับด้านขวา มันง่ายกว่ามาก คำตอบ: -2. เราตัดกันพื้นที่ผลลัพธ์ทั้งสอง

และตอนนี้เราเพิ่งเริ่มจัดการกับความไม่เท่าเทียมกันเอง

มาลดรูปให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เพื่อแก้โจทย์ได้ง่ายขึ้น

เราใช้วิธีช่วงเวลาในการแก้ปัญหาอีกครั้ง ข้ามการคำนวณไปได้เลย ทุกอย่างชัดเจนแล้วจากตัวอย่างที่แล้ว คำตอบ.

แต่วิธีนี้เหมาะถ้าอสมการลอการิทึมมีฐานเท่ากัน

การแก้สมการลอการิทึมและอสมการด้วยฐานต่างกันจำเป็นต้องลดค่าลงเป็นฐานเดียวกันตั้งแต่แรก จากนั้นใช้วิธีที่อธิบายไว้ข้างต้น แต่มีกรณีที่ซับซ้อนกว่านั้น ลองพิจารณาอสมการลอการิทึมประเภทที่ซับซ้อนที่สุดประเภทหนึ่ง

อสมการลอการิทึมที่มีฐานตัวแปร

จะแก้ไขความไม่เท่าเทียมที่มีลักษณะดังกล่าวได้อย่างไร? ใช่ และบุคคลดังกล่าวสามารถพบได้ในการสอบ Unified State การแก้ไขความไม่เท่าเทียมด้วยวิธีต่อไปนี้จะส่งผลดีต่อกระบวนการศึกษาของคุณด้วย เรามาดูรายละเอียดปัญหากันดีกว่า ทิ้งทฤษฎีแล้วมุ่งตรงสู่การปฏิบัติ ในการแก้ไขอสมการลอการิทึม การทำความคุ้นเคยกับตัวอย่างเพียงครั้งเดียวก็เพียงพอแล้ว

ในการแก้ไขอสมการลอการิทึมของแบบฟอร์มที่นำเสนอ จำเป็นต้องลดด้านขวามือให้เป็นลอการิทึมที่มีฐานเดียวกัน หลักการนี้คล้ายกับการเปลี่ยนผ่านที่เท่ากัน ผลที่ได้คือความไม่เท่าเทียมกันจะเป็นเช่นนี้

จริงๆ แล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการสร้างระบบความไม่เท่าเทียมกันโดยไม่มีลอการิทึม เมื่อใช้วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง เราจะก้าวไปสู่ระบบอสมการที่เทียบเท่ากัน คุณจะเข้าใจกฎเองเมื่อคุณแทนที่ค่าที่เหมาะสมและติดตามการเปลี่ยนแปลง ระบบจะมีความไม่เท่ากันดังต่อไปนี้

เมื่อใช้วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองเมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันคุณต้องจำสิ่งต่อไปนี้: ต้องลบออกจากฐาน x ตามคำจำกัดความของลอการิทึมจะถูกลบออกจากทั้งสองด้านของอสมการ (ขวาจากซ้าย) สองนิพจน์จะถูกคูณ และตั้งไว้ใต้เครื่องหมายเดิมสัมพันธ์กับศูนย์

วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมดำเนินการโดยใช้วิธีช่วงเวลาทุกอย่างทำได้ง่ายที่นี่ สิ่งสำคัญคือคุณต้องเข้าใจความแตกต่างในวิธีการแก้ปัญหา จากนั้นทุกอย่างจะเริ่มดำเนินการได้อย่างง่ายดาย

มีความแตกต่างมากมายในอสมการลอการิทึม สิ่งที่ง่ายที่สุดนั้นค่อนข้างง่ายที่จะแก้ไข คุณจะแก้ปัญหาแต่ละข้อได้อย่างไรโดยไม่มีปัญหา? คุณได้รับคำตอบทั้งหมดในบทความนี้แล้ว ตอนนี้คุณมีการฝึกฝนอันยาวนานรออยู่ข้างหน้าคุณ ฝึกฝนการแก้ปัญหาต่าง ๆ ในข้อสอบอย่างต่อเนื่องแล้วคุณจะสามารถได้คะแนนสูงสุด ขอให้โชคดีในงานที่ยากลำบากของคุณ!

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

การสอน:

• ระดับ 1 – สอนวิธีแก้อสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด โดยใช้คำจำกัดความของลอการิทึมและคุณสมบัติของลอการิทึม
• ระดับ 2 – แก้อสมการลอการิทึม โดยเลือกวิธีการแก้ปัญหาของคุณเอง
• ระดับ 3 – สามารถใช้ความรู้และทักษะในสถานการณ์ที่ไม่ได้มาตรฐาน

ทางการศึกษา:พัฒนาความจำ ความสนใจ การคิดเชิงตรรกะ ทักษะการเปรียบเทียบ สามารถสรุปและสรุปผลได้

ทางการศึกษา:ปลูกฝังความถูกต้อง ความรับผิดชอบต่องานที่ทำ และช่วยเหลือซึ่งกันและกัน

วิธีการสอน: วาจา , ภาพ , ใช้ได้จริง , ค้นหาบางส่วน , การปกครองตนเอง , ควบคุม.

รูปแบบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน: หน้าผาก , รายบุคคล , ทำงานเป็นคู่

อุปกรณ์: ชุดของงานทดสอบ บันทึกอ้างอิง แผ่นเปล่าสำหรับการแก้ปัญหา

ประเภทบทเรียน:การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

ความคืบหน้าของบทเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กรมีการประกาศหัวข้อและเป้าหมายของบทเรียน แผนการสอน: นักเรียนแต่ละคนจะได้รับแผ่นประเมินซึ่งนักเรียนกรอกระหว่างบทเรียน สำหรับนักเรียนแต่ละคู่ - สื่อสิ่งพิมพ์พร้อมงานจะต้องทำเป็นคู่ แผ่นโซลูชันเปล่า เอกสารสนับสนุน: คำจำกัดความของลอการิทึม; กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม คุณสมบัติของฟังก์ชัน คุณสมบัติของลอการิทึม อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการลอการิทึม

การตัดสินใจทั้งหมดหลังจากการประเมินตนเองจะถูกส่งไปยังครู

ใบคะแนนของนักเรียน

2. การอัพเดตความรู้

คำแนะนำของครู นึกถึงคำจำกัดความของลอการิทึม กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม และคุณสมบัติของมัน หากต้องการทำสิ่งนี้ ให้อ่านข้อความในหน้า 88–90, 98–101 ของหนังสือเรียนเรื่อง “พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ 10–11” แก้ไขโดย Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin และคนอื่นๆ

นักเรียนจะได้รับเอกสารที่เขียนไว้: คำจำกัดความของลอการิทึม; แสดงกราฟของฟังก์ชันลอการิทึมและคุณสมบัติของฟังก์ชัน คุณสมบัติของลอการิทึม อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการลอการิทึม ตัวอย่างของการแก้อสมการลอการิทึมที่ลดลงเหลือกำลังสอง

3. ศึกษาเนื้อหาใหม่

การแก้อสมการลอการิทึมจะขึ้นอยู่กับความน่าเบื่อของฟังก์ชันลอการิทึม

อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการลอการิทึม:

A) ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของอสมการ (นิพจน์ย่อยลอการิทึมมีค่ามากกว่าศูนย์)
B) แทน (ถ้าเป็นไปได้) ด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการเป็นลอการิทึมในฐานเดียวกัน
C) พิจารณาว่าฟังก์ชันลอการิทึมเพิ่มขึ้นหรือลดลง: ถ้า t>1 แสดงว่าเพิ่มขึ้น ถ้า 0 1 แล้วลดลง.
D) ไปที่ความไม่เท่าเทียมกันที่ง่ายกว่า (นิพจน์ย่อยลอการิทึม) โดยคำนึงว่าสัญลักษณ์ของความไม่เท่าเทียมกันจะยังคงเหมือนเดิมหากฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและจะเปลี่ยนไปหากลดลง

องค์ประกอบการเรียนรู้ #1

เป้าหมาย: รวมวิธีแก้ปัญหาของอสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด

รูปแบบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน: งานรายบุคคล

งานสำหรับงานอิสระ 10 นาที สำหรับความไม่เท่าเทียมกันแต่ละข้อ มีคำตอบที่เป็นไปได้หลายข้อ คุณต้องเลือกคำตอบที่ถูกต้องและตรวจสอบโดยใช้ปุ่ม

คีย์: 13321 จำนวนคะแนนสูงสุด – 6 คะแนน

องค์ประกอบการเรียนรู้ #2

เป้าหมาย: รวมคำตอบของอสมการลอการิทึมโดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม

คำแนะนำของครู จำคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม หากต้องการทำสิ่งนี้ ให้อ่านข้อความในหนังสือเรียนในหน้า 92, 103–104

งานสำหรับงานอิสระ 10 นาที

คีย์: 2113 จำนวนคะแนนสูงสุด – 8 คะแนน

องค์ประกอบการเรียนรู้ #3

วัตถุประสงค์: เพื่อศึกษาการแก้อสมการลอการิทึมโดยวิธีการลดกำลังสอง

คำแนะนำของครู: วิธีการลดความไม่เท่าเทียมกันให้เป็นกำลังสองคือการแปลงความไม่เท่าเทียมกันให้อยู่ในรูปแบบที่ฟังก์ชันลอการิทึมบางตัวแสดงด้วยตัวแปรใหม่ ดังนั้นจึงได้ค่าอสมการกำลังสองเทียบกับตัวแปรนี้

ลองใช้วิธีช่วงเวลา

คุณผ่านระดับแรกของการเรียนรู้เนื้อหาแล้ว ตอนนี้คุณจะต้องเลือกวิธีการแก้สมการลอการิทึมอย่างอิสระโดยใช้ความรู้และความสามารถทั้งหมดของคุณ

องค์ประกอบการเรียนรู้ #4

เป้าหมาย: รวมผลเฉลยของอสมการลอการิทึมด้วยการเลือกวิธีการแก้ปัญหาแบบมีเหตุผลอย่างอิสระ

งานสำหรับงานอิสระ 10 นาที

องค์ประกอบการเรียนรู้ #5

คำแนะนำของครู ทำได้ดี! คุณเชี่ยวชาญการแก้สมการของความซับซ้อนระดับที่สองแล้ว เป้าหมายของการทำงานต่อไปของคุณคือการใช้ความรู้และทักษะของคุณในสถานการณ์ที่ซับซ้อนและไม่ได้มาตรฐาน

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

คำแนะนำของครู จะดีมากถ้าคุณทำงานทั้งหมดเสร็จสิ้น ทำได้ดี!

คะแนนสำหรับทั้งบทเรียนขึ้นอยู่กับจำนวนคะแนนที่ได้สำหรับองค์ประกอบทางการศึกษาทั้งหมด:

• ถ้า N ≥ 20 คุณจะได้รับคะแนน "5"
• สำหรับ 16 ≤ N ≤ 19 – คะแนน “4”
• สำหรับ 8 ≤ N ≤ 15 – คะแนน “3”
• ที่ N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

ส่งเอกสารการประเมินให้กับอาจารย์

5. การบ้าน: หากคุณได้คะแนนไม่เกิน 15 คะแนน ให้แก้ไขข้อผิดพลาดของคุณ (สามารถรับคำแนะนำจากครูได้) หากคุณได้คะแนนมากกว่า 15 คะแนน ให้ทำงานสร้างสรรค์ในหัวข้อ “อสมการลอการิทึม”

การแนะนำ

ลอการิทึมถูกคิดค้นขึ้นเพื่อเร่งความเร็วและทำให้การคำนวณง่ายขึ้น แนวคิดเรื่องลอการิทึมซึ่งก็คือแนวคิดในการแสดงตัวเลขเป็นกำลังของฐานเดียวกันนั้นเป็นของมิคาอิล สตีเฟล แต่ในสมัยของสตีเฟล คณิตศาสตร์ยังไม่พัฒนามากนักและแนวคิดเรื่องลอการิทึมก็ไม่ได้รับการพัฒนา ในเวลาต่อมา ลอการิทึมถูกประดิษฐ์ขึ้นพร้อมกันและแยกจากกันโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวสก็อต จอห์น เนเปียร์ (ค.ศ. 1550-1617) และชาวสวิส จ็อบส์ เบอร์กี (ค.ศ. 1552-1632) เป็นคนแรกที่ตีพิมพ์ผลงานชิ้นนี้ในปี 1614 ภายใต้ชื่อ "คำอธิบายของตารางลอการิทึมที่น่าทึ่ง" ทฤษฎีลอการิทึมของ Napier ได้รับในปริมาณที่ค่อนข้างสมบูรณ์วิธีการคำนวณลอการิทึมได้รับวิธีที่ง่ายที่สุดดังนั้นข้อดีของ Napier ในการประดิษฐ์ลอการิทึมจึงมากกว่าของBürgi Burgi ทำงานบนโต๊ะพร้อมกับ Napier แต่เก็บเป็นความลับมาเป็นเวลานานและตีพิมพ์ในปี 1620 เท่านั้น เนเปียร์เข้าใจแนวคิดเรื่องลอการิทึมประมาณปี ค.ศ. 1594 แม้ว่าตารางดังกล่าวจะถูกเผยแพร่ในอีก 20 ปีต่อมาก็ตาม ในตอนแรกเขาเรียกลอการิทึมของเขาว่า "ตัวเลขเทียม" จากนั้นจึงเสนอให้เรียก "ตัวเลขเทียม" เหล่านี้ด้วยคำเดียวว่า "ลอการิทึม" ซึ่งแปลมาจากภาษากรีกแปลว่า "ตัวเลขที่สัมพันธ์กัน" โดยอันหนึ่งมาจากความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และอีกอันมาจาก ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่คัดเลือกมาเป็นพิเศษ ตารางแรกในภาษารัสเซียเผยแพร่ในปี 1703 ด้วยการมีส่วนร่วมของอาจารย์ผู้วิเศษแห่งศตวรรษที่ 18 แอล.เอฟ. แมกนิตสกี้. ผลงานของ Leonhard Euler นักวิชาการแห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กมีความสำคัญอย่างยิ่งในการพัฒนาทฤษฎีลอการิทึม เขาเป็นคนแรกที่พิจารณาลอการิทึมเป็นค่าผกผันของการยกกำลัง เขาแนะนำคำว่า "ฐานลอการิทึม" และ "แมนทิสซา" บริกส์รวบรวมตารางลอการิทึมที่มีฐาน 10 ตารางทศนิยมสะดวกกว่าสำหรับการใช้งานจริง ทฤษฎีของพวกเขาคือ ง่ายกว่าลอการิทึมของเนเปียร์ ดังนั้น บางครั้งลอการิทึมฐานสิบจึงเรียกว่าลอการิทึมบริกส์ คำว่า "ลักษณะเฉพาะ" ได้รับการประกาศเกียรติคุณจากบริกส์

ในสมัยที่ห่างไกลเหล่านั้น เมื่อปราชญ์เริ่มคิดถึงความเท่าเทียมกันที่มีปริมาณที่ไม่รู้จัก อาจไม่มีเหรียญหรือกระเป๋าสตางค์เลย แต่ก็มีกองอยู่มากมาย เช่นเดียวกับหม้อและตะกร้า ซึ่งเหมาะอย่างยิ่งสำหรับทำหน้าที่เป็นแคชเก็บของที่สามารถจุสิ่งของได้จำนวนหนึ่งโดยไม่ทราบจำนวน ในปัญหาทางคณิตศาสตร์โบราณของเมโสโปเตเมีย อินเดีย จีน กรีซ ปริมาณที่ไม่รู้จักแสดงจำนวนนกยูงในสวน จำนวนวัวในฝูง และจำนวนรวมของสิ่งต่าง ๆ ที่นำมาพิจารณาเมื่อแบ่งทรัพย์สิน อาลักษณ์ เจ้าหน้าที่ และนักบวชที่เริ่มต้นความรู้ลับ ได้รับการฝึกฝนมาเป็นอย่างดีในด้านศาสตร์การบัญชี รับมือกับงานดังกล่าวได้ค่อนข้างประสบความสำเร็จ

แหล่งที่มาที่มาถึงเราระบุว่านักวิทยาศาสตร์โบราณมีเทคนิคทั่วไปในการแก้ปัญหาโดยไม่ทราบปริมาณ อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่กระดาษปาปิรุสหรือแผ่นดินเหนียวแผ่นเดียวที่มีคำอธิบายเกี่ยวกับเทคนิคเหล่านี้ ผู้เขียนระบุการคำนวณตัวเลขด้วยความคิดเห็นที่ไม่ชัดเจนเป็นครั้งคราว เช่น: "ดูสิ!", "ทำนี่สิ!", "คุณพบอันที่ใช่แล้ว" ในแง่นี้ข้อยกเว้นคือ "เลขคณิต" ของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Diophantus แห่งอเล็กซานเดรีย (ศตวรรษที่ 3) - ชุดของปัญหาสำหรับการเขียนสมการด้วยการนำเสนอวิธีแก้ปัญหาอย่างเป็นระบบ

อย่างไรก็ตาม คู่มือการแก้ปัญหาฉบับแรกซึ่งเป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายคือผลงานของนักวิทยาศาสตร์ชาวแบกแดดแห่งศตวรรษที่ 9 มูฮัมหมัด บิน มูซา อัล-คอวาริซมี. คำว่า "al-jabr" จากชื่อภาษาอาหรับของบทความนี้ - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("หนังสือแห่งการฟื้นฟูและการต่อต้าน") - เมื่อเวลาผ่านไปกลายเป็นคำที่รู้จักกันดี "พีชคณิต" และผลงาน ของอัล-คอวาริซมีเองเป็นจุดเริ่มต้นในการพัฒนาศาสตร์แห่งการแก้สมการ

สมการลอการิทึมและอสมการ

1. สมการลอการิทึม

สมการที่มีสิ่งไม่รู้อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึมหรือที่ฐานเรียกว่าสมการลอการิทึม

สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดคือสมการของรูปแบบ

บันทึก ก x = ข . (1)

คำชี้แจง 1. ถ้า ก > 0, ก≠ 1 สมการ (1) สำหรับจำนวนจริงใดๆ ขมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร x = ข .

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ:

ก)บันทึก 2 x= 3, b) บันทึก 3 x= -1, ค)

สารละลาย. การใช้คำสั่ง 1 เราได้รับ a) x= 2 3 หรือ x= 8; ข) x= 3 -1 หรือ x= 1/3 ; ค)

หรือ x = 1.

ให้เรานำเสนอคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ป1. ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน:

ที่ไหน ก > 0, ก≠ 1 และ ข > 0.

ป2. ลอการิทึมของผลคูณของปัจจัยบวกเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของปัจจัยเหล่านี้:

บันทึก ก เอ็น 1 · เอ็น 2 = บันทึก ก เอ็น 1 + บันทึก ก เอ็น 2 (ก > 0, ก ≠ 1, เอ็น 1 > 0, เอ็น 2 > 0).

ความคิดเห็น ถ้า เอ็น 1 · เอ็น 2 > 0 จากนั้นคุณสมบัติ P2 จะอยู่ในรูปแบบ

บันทึก ก เอ็น 1 · เอ็น 2 = บันทึก ก |เอ็น 1 | + บันทึก ก |เอ็น 2 | (ก > 0, ก ≠ 1, เอ็น 1 · เอ็น 2 > 0).

ป3. ลอการิทึมของผลหารของจำนวนบวกสองตัวจะเท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของเงินปันผลและตัวหาร

(ก > 0, ก ≠ 1, เอ็น 1 > 0, เอ็น 2 > 0).

ความคิดเห็น ถ้า

, (ซึ่งเทียบเท่ากับ เอ็น 1 เอ็น 2 > 0) จากนั้นคุณสมบัติ P3 จะอยู่ในรูปแบบ (ก > 0, ก ≠ 1, เอ็น 1 เอ็น 2 > 0).

ป4. ลอการิทึมของกำลังของจำนวนบวกเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังและลอการิทึมของจำนวนนี้:

บันทึก ก เอ็น เค = เคบันทึก ก เอ็น (ก > 0, ก ≠ 1, เอ็น > 0).

ความคิดเห็น ถ้า เค- เลขคู่ ( เค = 2ส), ที่

บันทึก ก เอ็น 2ส = 2สบันทึก ก |เอ็น | (ก > 0, ก ≠ 1, เอ็น ≠ 0).

ป5. สูตรการย้ายฐานอื่น:

(ก > 0, ก ≠ 1, ข > 0, ข ≠ 1, เอ็น > 0),

โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า เอ็น = ขเราได้รับ

(ก > 0, ก ≠ 1, ข > 0, ข ≠ 1). (2)

การใช้คุณสมบัติ P4 และ P5 ทำให้ง่ายต่อการรับคุณสมบัติดังต่อไปนี้

(ก > 0, ก ≠ 1, ข > 0, ค ≠ 0), (3) (ก > 0, ก ≠ 1, ข > 0, ค ≠ 0), (4) (ก > 0, ก ≠ 1, ข > 0, ค ≠ 0), (5)

และถ้าอยู่ใน (5) ค- เลขคู่ ( ค = 2n) ถือ

(ข > 0, ก ≠ 0, |ก | ≠ 1). (6)

ให้เราแสดงรายการคุณสมบัติหลักของฟังก์ชันลอการิทึม ฉ (x) = บันทึก ก x :

1. ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันลอการิทึมคือเซตของจำนวนบวก

2. ช่วงของค่าของฟังก์ชันลอการิทึมคือเซตของจำนวนจริง

3. เมื่อไหร่ ก> 1 ฟังก์ชันลอการิทึมเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวด (0< x 1 < x 2log ก x 1 < logก x 2) และที่ 0< ก < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2log ก x 1 > บันทึก ก x 2).

4.บันทึก ก 1 = 0 และบันทึก ก ก = 1 (ก > 0, ก ≠ 1).

5. ถ้า ก> 1 ดังนั้นฟังก์ชันลอการิทึมจะเป็นลบเมื่อ x(0;1) และบวกที่ x(1;+∞) และถ้าเป็น 0< ก < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) และลบที่ x (1;+∞).

6. ถ้า ก> 1 แล้วฟังก์ชันลอการิทึมจะนูนขึ้น และถ้า ก(0;1) - นูนลง

ข้อความต่อไปนี้ (ดูตัวอย่าง) ใช้ในการแก้สมการลอการิทึม

โดยมีลอการิทึมอยู่ภายใน

ตัวอย่าง:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

วิธีแก้อสมการลอการิทึม:

เราควรพยายามลดอสมการลอการิทึมให้อยู่ในรูปแบบ \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (สัญลักษณ์ \(˅\) หมายถึงค่าใดๆ ของ ) ประเภทนี้ช่วยให้คุณกำจัดลอการิทึมและฐานของพวกมัน ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันของนิพจน์ภายใต้ลอการิทึม ซึ่งก็คือ เป็นรูปแบบ \(f(x) ˅ g(x)\)

แต่เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงนี้ มีรายละเอียดปลีกย่อยที่สำคัญอย่างหนึ่ง:
\(-\) ถ้าเป็นตัวเลขและมากกว่า 1 เครื่องหมายอสมการจะยังคงเหมือนเดิมระหว่างการเปลี่ยนผ่าน
\(-\) ถ้าฐานเป็นตัวเลขที่มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 (อยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง) เครื่องหมายอสมการควรเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม กล่าวคือ

ตัวอย่าง:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) สารละลาย: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) คำตอบ: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ 1))\) ODZ: \(\begin(กรณี)2x-4>0\\x+1 > 0\end(กรณี)\) \(\begin(กรณี)2x>4\\x > -1\end(กรณี)\) \(\ลูกศรซ้าย\) \(\begin(กรณี)x>2\\x > -1\end(กรณี) \) \(\ลูกศรซ้าย\) \(x\in(2;\infty)\) สารละลาย: \(2x-4\)\(≤\) \(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) คำตอบ: \((2;5]\)

สำคัญมาก!ในความไม่เท่าเทียมกันใดๆ การเปลี่ยนจากรูปแบบ \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) ไปเป็นการเปรียบเทียบนิพจน์ภายใต้ลอการิทึมสามารถทำได้ก็ต่อเมื่อ:

ตัวอย่าง - แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: \(\log\)\(≤-1\)

สารละลาย:

\(\บันทึก\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	มาเขียน ODZ กันดีกว่า
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	เราเปิดวงเล็บแล้วนำมา .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	เราคูณอสมการด้วย \(-1\) โดยไม่ลืมกลับเครื่องหมายการเปรียบเทียบ
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	มาสร้างเส้นจำนวนและทำเครื่องหมายจุด \(\frac(7)(3)\) และ \(\frac(3)(2)\) บนมัน โปรดทราบว่าจุดจากตัวส่วนจะถูกลบออก แม้ว่าความไม่เท่าเทียมกันจะไม่เข้มงวดก็ตาม ความจริงก็คือประเด็นนี้ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา เนื่องจากเมื่อแทนค่าอสมการแล้ว จะนำเราไปสู่การหารด้วยศูนย์
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	ตอนนี้เราพล็อต ODZ บนแกนตัวเลขเดียวกันและเขียนลงไปเพื่อตอบสนองต่อช่วงเวลาที่ตกอยู่ใน ODZ
	เราเขียนคำตอบสุดท้าย

คำตอบ: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

ตัวอย่าง - แก้อสมการ: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

สารละลาย:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	มาเขียน ODZ กันดีกว่า
ODZ: \(x>0\)	มาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า
วิธีแก้ไข: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	ตรงนี้เรามีอสมการกำลังสองลอการิทึมทั่วไป มาทำกัน.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	เราขยายด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันเป็น
\(ง=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	ตอนนี้เราต้องกลับไปสู่ตัวแปรเดิม - x เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ไปที่ ซึ่งมีวิธีแก้ปัญหาเดียวกัน แล้วทำการทดแทนแบบย้อนกลับกัน
\(\left[ \begin(รวบรวม) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	แปลง \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\)
\(\left[ \begin(รวบรวม) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	มาดูการเปรียบเทียบข้อโต้แย้งกันดีกว่า ฐานของลอการิทึมมีค่ามากกว่า \(1\) ดังนั้นเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันจึงไม่เปลี่ยนแปลง
\(\left[ \begin(รวบรวม) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	ให้เรารวมวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันและ ODZ ไว้ในรูปเดียว
	มาเขียนคำตอบกัน

คำตอบ: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)