วิธีหา x ในสูตรความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "ลำดับจำนวน ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยการศึกษาและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9
เลขยกกำลังและราก ฟังก์ชันและกราฟ

พวกเราวันนี้เราจะมาทำความรู้จักกับความก้าวหน้าอีกประเภทหนึ่ง
หัวข้อของบทเรียนวันนี้คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

คำนิยาม. ลำดับตัวเลขที่แต่ละเทอมเริ่มต้นจากวินาที จะเท่ากับผลคูณของเทอมก่อนหน้า และจำนวนคงที่บางจำนวนเรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ลองกำหนดลำดับของเราแบบวนซ้ำ: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
โดยที่ b และ q เป็นตัวเลขที่กำหนดแน่นอน เลข q เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้า

ตัวอย่าง. 1,2,4,8,16... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับ 1 และ $q=2$

ตัวอย่าง. 8,8,8,8... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยเทอมแรกเท่ากับแปด
และ $q=1$.

ตัวอย่าง. 3,-3,3,-3,3... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับสาม
และ $q=-1$

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีคุณสมบัติของความซ้ำซากจำเจ
ถ้า $b_(1)>0$, $q>1$,
จากนั้นลำดับก็เพิ่มขึ้น
ถ้า $b_(1)>0$, $0 ลำดับมักจะแสดงในรูปแบบ: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$

เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หากในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต จำนวนองค์ประกอบมีจำกัด ความก้าวหน้านั้นเรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจำกัด

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
โปรดทราบว่าถ้าลำดับเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลำดับของกำลังสองของเทอมก็ถือเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเช่นกัน ในลำดับที่สอง เทอมแรกเท่ากับ $b_(1)^2$ และตัวส่วนเท่ากับ $q^2$

สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถระบุได้ในรูปแบบการวิเคราะห์ มาดูวิธีการทำเช่นนี้:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
เราสังเกตรูปแบบนี้ได้ง่าย: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$
สูตรของเราเรียกว่า "สูตรของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต"

กลับไปที่ตัวอย่างของเรา

ตัวอย่าง. 1,2,4,8,16... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับ 1
และ $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

ตัวอย่าง. 16,8,4,2,1,1/2… ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับสิบหก และ $q=\frac(1)(2)$
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

ตัวอย่าง. 8,8,8,8... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับ 8 และ $q=1$
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

ตัวอย่าง. 3,-3,3,-3,3... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่เทอมแรกเท่ากับ 3 และ $q=-1$
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

ตัวอย่าง. จะได้รับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $
ก) เป็นที่รู้กันว่า $b_(1)=6, q=3$. ค้นหา $b_(5)$
b) เป็นที่รู้กันว่า $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. ค้นหา n.
c) เป็นที่รู้กันว่า $q=-2, b_(6)=96$. ค้นหา $b_(1)$
d) เป็นที่รู้กันว่า $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. ค้นหาคิว

สารละลาย.
ก) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ข) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ เนื่องจาก $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
ค) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
ง) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

ตัวอย่าง. ความแตกต่างระหว่างเทอมที่เจ็ดและห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 192 ผลรวมของเทอมที่ห้าและหกของความก้าวหน้าคือ 192 จงหาเทอมที่สิบของความก้าวหน้านี้

สารละลาย.
เรารู้ว่า: $b_(7)-b_(5)=192$ และ $b_(5)+b_(6)=192$.
เรายังรู้: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
แล้ว:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
เราได้รับระบบสมการ:
$\begin(กรณี)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(กรณี)$
การเท่ากันสมการของเราที่เราได้รับ:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
เรามีวิธีแก้ปัญหาสองแบบ q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$
แทนตามลำดับในสมการที่สอง:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
เราได้มา: $b_(1)=4, q=2$
ลองหาเทอมที่สิบ: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันจำกัด

ขอให้เรามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันจำกัด เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ลองคำนวณผลรวมของพจน์ของมันกัน

ให้ค่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจำกัด: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$
ให้เราแนะนำการกำหนดสำหรับผลรวมของพจน์: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$
ในกรณีที่ $q=1$ เงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับเทอมแรก ดังนั้นจะเห็นได้ชัดว่า $S_(n)=n*b_(1)$
ตอนนี้ให้เราพิจารณากรณี $q≠1$
ลองคูณจำนวนข้างต้นด้วย q
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)++b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
บันทึก:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

เราได้สูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันจำกัดแล้ว

ตัวอย่าง.
จงหาผลรวมของเจ็ดเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่งมีเทอมแรกคือ 4 และตัวส่วนคือ 3

สารละลาย.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

ตัวอย่าง.
ค้นหาเทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ทราบ: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

สารละลาย.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$คิว^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1,365q-1365=1,024q-1$
$341q=$1364
$q=4$.
$b_5=b_1*คิว^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

คุณสมบัติเฉพาะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

พวกคุณให้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว ลองดูสมาชิกสามตัวติดต่อกัน: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$
เรารู้ว่า:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
แล้ว:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
หากความก้าวหน้ามีจำกัด ความเท่าเทียมกันนี้จะคงอยู่สำหรับทุกเงื่อนไข ยกเว้นเงื่อนไขแรกและเงื่อนไขสุดท้าย
หากไม่ทราบล่วงหน้าว่าลำดับมีรูปแบบใด แต่ทราบแล้วว่า: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$
แล้วเราก็บอกได้อย่างปลอดภัยว่านี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ลำดับตัวเลขเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตก็ต่อเมื่อกำลังสองของสมาชิกแต่ละตัวเท่ากับผลคูณของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันของความก้าวหน้า อย่าลืมว่าเงื่อนไขนี้จะไม่เป็นไปตามเงื่อนไขข้อแรกและข้อสุดท้ายสำหรับความก้าวหน้าอย่างจำกัด

ลองดูที่เอกลักษณ์นี้: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ เรียกว่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลข a และ b

โมดูลัสของเทอมใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะเท่ากับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของเทอมที่อยู่ติดกันสองเทอม

ตัวอย่าง.
ค้นหา x โดยที่ $x+2; 2x+2; 3x+3$ เป็นสามเทอมติดต่อกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สารละลาย.
ลองใช้คุณสมบัติลักษณะเฉพาะ:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ และ $x_(2)=-1$.
ให้เราแทนที่คำตอบของเราตามลำดับเป็นนิพจน์ดั้งเดิม:
ด้วย $x=2$ เราได้ลำดับ: 4;6;9 – ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย $q=1.5$
สำหรับ $x=-1$ เราจะได้ลำดับ: 1;0;0
คำตอบ: $x=2.$

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

1. ค้นหาเทอมแรกที่แปดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 16;-8;4;-2….
2. ค้นหาเทอมที่สิบของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 11,22,44….
3. เป็นที่รู้กันว่า $b_(1)=5, q=3$. ค้นหา $b_(7)$
4. เป็นที่รู้กันว่า $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. ค้นหา n.
5. จงหาผลรวมของ 11 เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 3;12;48….
6. หา x โดยที่ $3x+4; 2x+4; x+5$ คือเทอมสามเทอมติดต่อกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อแนะนำนักเรียนให้รู้จักกับลำดับรูปแบบใหม่ - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด
งาน:
การกำหนดแนวคิดเริ่มต้นเกี่ยวกับขีด จำกัด ของลำดับตัวเลข
ทำความคุ้นเคยกับวิธีอื่นในการแปลงเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุดให้เป็นเศษส่วนธรรมดาโดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด
การพัฒนาคุณสมบัติทางปัญญาของบุคลิกภาพของเด็กนักเรียน เช่น การคิดเชิงตรรกะ ความสามารถในการประเมินผล และลักษณะทั่วไป
กิจกรรมส่งเสริม การช่วยเหลือซึ่งกันและกัน การร่วมกัน และความสนใจในเรื่อง

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

บทเรียนในหัวข้อ “ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลดลงอย่างไม่สิ้นสุด” (พีชคณิต เกรด 10)

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: แนะนำให้นักเรียนรู้จักกับลำดับรูปแบบใหม่ - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

งาน:

การกำหนดแนวคิดเริ่มต้นเกี่ยวกับขีด จำกัด ของลำดับตัวเลข ทำความคุ้นเคยกับวิธีอื่นในการแปลงเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุดให้เป็นเศษส่วนธรรมดาโดยใช้สูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

การพัฒนาคุณสมบัติทางปัญญาของบุคลิกภาพของเด็กนักเรียน เช่น การคิดเชิงตรรกะ ความสามารถในการประเมินผล และลักษณะทั่วไป

กิจกรรมส่งเสริม การช่วยเหลือซึ่งกันและกัน การร่วมกัน และความสนใจในเรื่อง

อุปกรณ์: ชั้นเรียนคอมพิวเตอร์ โปรเจคเตอร์ จอ

ประเภทบทเรียน: บทเรียน - การเรียนรู้หัวข้อใหม่

ความคืบหน้าของบทเรียน

ฉันองค์กร ช่วงเวลา. ระบุหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

ครั้งที่สอง การอัพเดตความรู้ของนักเรียน

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 คุณเรียนวิชาเลขคณิตและเรขาคณิต

คำถาม

1. คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

(ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือลำดับที่สมาชิกแต่ละคน

เริ่มต้นจากวินาทีจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าที่บวกด้วยจำนวนเดียวกัน)

2. สูตร n ระยะที่ 3 ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

3. สูตรผลรวมของอันแรก n เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

( หรือ )

4. คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

(ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับของตัวเลขที่ไม่เป็นศูนย์

แต่ละเทอมซึ่งเริ่มจากเทอมที่สองจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วย

หมายเลขเดียวกัน)

5. สูตร n ระยะที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

6. สูตรผลรวมของอันแรก n สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

7. คุณรู้สูตรอะไรอีกบ้าง?

(, ที่ไหน ; ;

; , )

เควส

1. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดโดยสูตร n = 7 – 4n . หา 10. (-33)

2. ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 3 = 7 และ 5 = 1 หา 4. (4)

3. ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 3 = 7 และ 5 = 1 หา 17 . (-35)

4. ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 3 = 7 และ 5 = 1 ค้นหาเอส 17 (-187)

5. สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหาเทอมที่ห้า

6. สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตค้นหาเทอมที่ n

7. ชี้แจงข 3 = 8 และ ข 5 = 2 หาข 4 . (4)

8. แบบเอ็กซ์โปเนนเชียลข 3 = 8 และ ข 5 = 2 ค้นหา b 1 และ q

9. ชี้แจงข 3 = 8 และ ข 5 = 2 ค้นหา S5 (62)

III. การเรียนรู้หัวข้อใหม่(การสาธิตการนำเสนอ).

พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับ 1 ลองวาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกอันที่มีขนาดด้านเป็นครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแรก จากนั้นอีกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นครึ่งวินาที จากนั้นสี่เหลี่ยมถัดไป เป็นต้น แต่ละครั้งด้านข้างของสี่เหลี่ยมใหม่จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมก่อนหน้า

เป็นผลให้เราได้รับลำดับด้านของกำลังสองสร้างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยตัวส่วน.

และที่สำคัญมาก ยิ่งเราสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสมากเท่าไร ด้านข้างของสี่เหลี่ยมก็จะเล็กลงเท่านั้นตัวอย่างเช่น ,

เหล่านั้น. เมื่อจำนวน n เพิ่มขึ้น เงื่อนไขของความก้าวหน้าจะเข้าใกล้ศูนย์

เมื่อใช้รูปนี้ คุณสามารถพิจารณาลำดับอื่นได้

ตัวอย่างเช่น ลำดับของพื้นที่สี่เหลี่ยม:

และอีกครั้ง ถ้า n เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ จากนั้นพื้นที่จะเข้าใกล้ศูนย์เท่าที่คุณต้องการ

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง สามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว 1 ซม. ลองสร้างสามเหลี่ยมต่อไปนี้โดยมีจุดยอดอยู่ตรงกลางของด้านข้างของสามเหลี่ยมที่ 1 ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม - ด้านของด้านที่ 2 เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านของด้านแรก และด้านของด้านที่ 3 เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านที่ 2 เป็นต้น เราได้ลำดับความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมอีกครั้ง

ที่ .

หากเราพิจารณาความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วนเป็นลบ

อีกครั้งด้วยจำนวนที่เพิ่มขึ้น n เงื่อนไขของความก้าวหน้าเข้าใกล้ศูนย์

มาดูตัวส่วนของลำดับเหล่านี้กันดีกว่า ทุกที่ที่ตัวส่วนมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1

เราสามารถสรุปได้ว่า: ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุดหากโมดูลัสของตัวส่วนน้อยกว่า 1

งานหน้าผาก.

คำนิยาม:

กล่าวกันว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุดหากโมดูลัสของตัวส่วนน้อยกว่าหนึ่ง.

เมื่อใช้คำจำกัดความ คุณสามารถตัดสินใจได้ว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะลดลงอย่างไม่สิ้นสุดหรือไม่

งาน

ลำดับเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดหรือไม่หากให้ไว้โดยสูตร:

สารละลาย:

ลองหาq.

; ; ; .

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

ข) ลำดับนี้ไม่ใช่ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับ 1 แบ่งครึ่ง แบ่งครึ่งด้านใดด้านหนึ่ง เป็นต้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผลลัพธ์ทั้งหมดก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด:

ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมทั้งหมดที่ได้รับในลักษณะนี้จะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ 1 และเท่ากับ 1

แต่ทางซ้ายของความเสมอภาคนี้ คือผลรวมของเทอมจำนวนอนันต์

ลองพิจารณาผลรวมของพจน์ n ตัวแรก

ตามสูตรสำหรับผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต จะเท่ากับ.

ถ้าไม่มี เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัดแล้ว

หรือ . ดังนั้นนั่นคือ -

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดมีการจำกัดลำดับส 1, ส 2, ส 3, …, ส n, ….

เช่น เพื่อความก้าวหน้า,

เรามี

เพราะ

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดสามารถพบได้โดยใช้สูตร.

III. ความเข้าใจและการรวมตัว(ทำงานให้เสร็จสิ้น)

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. สรุป..

วันนี้คุณคุ้นเคยกับลำดับอะไร

กำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลดลงอย่างไม่สิ้นสุด?

ให้สูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

V. การบ้าน.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

ดูตัวอย่าง:

หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชี Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com

คำอธิบายสไลด์:

ทุกคนควรจะสามารถคิดอย่างสม่ำเสมอ ตัดสินด้วยหลักฐาน และหักล้างข้อสรุปที่ไม่ถูกต้อง เช่น นักฟิสิกส์และกวี คนขับรถแทรกเตอร์ และนักเคมี E. Kolman ในวิชาคณิตศาสตร์ เราไม่ควรจำสูตร แต่เป็นกระบวนการคิด V.P.Ermakov การหากำลังสองของวงกลมนั้นง่ายกว่าการเอาชนะนักคณิตศาสตร์ ออกัสตัส เดอ มอร์แกน วิทยาศาสตร์อะไรจะสูงส่ง น่าชื่นชม และมีประโยชน์ต่อมนุษยชาติมากกว่าคณิตศาสตร์? แฟรงคลิน

ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด เกรด 10

ฉัน. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต คำถามที่ 1. คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือลำดับที่แต่ละเทอมเริ่มต้นจากวินาทีจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าบวกกับจำนวนเดียวกัน 2. สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 3. สูตรสำหรับผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 4. คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับของตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งแต่ละเทอมเริ่มต้นจากเทอมที่สองจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยเลข 5 ที่เท่ากัน สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 6. สูตรสำหรับผลรวมของเทอม n แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ครั้งที่สอง ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ งาน การก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดโดยสูตร a n = 7 – 4 n ค้นหา 10 (-33) 2. ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 3 = 7 และ 5 = 1 หา 4. (4) 3. ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 3 = 7 และ 5 = 1 หา 17 . (-35) 4. ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 3 = 7 และ 5 = 1 ค้นหาเอส 17 (-187)

ครั้งที่สอง ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ภารกิจที่ 5. สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ให้หาเทอมที่ห้า 6. สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ให้หาเทอมที่ n 7. ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต b 3 = 8 และ b 5 = 2 หาข 4 . (4) 8. ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต b 3 = 8 และ b 5 = 2 ค้นหา b 1 และ q 9. ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต b 3 = 8 และ b 5 = 2 ค้นหา S5 (62)

คำจำกัดความ: ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเรียกว่าการลดลงอย่างไม่สิ้นสุดถ้าโมดูลัสของตัวส่วนน้อยกว่าหนึ่ง

ปัญหาที่ 1 ลำดับนั้นเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดหรือไม่หากได้รับจากสูตร: วิธีแก้ไข: ก) ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด b) ลำดับนี้ไม่ใช่ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดคือขีดจำกัดของลำดับ S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... ตัวอย่างเช่น สำหรับความก้าวหน้าที่เรามี เนื่องจากสามารถหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดได้โดยใช้สูตร

ทำงานให้สำเร็จ ค้นหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดด้วยเทอมแรก 3 และเทอมที่สอง 0.3 2. หมายเลข 13; ลำดับที่ 14; หนังสือเรียน น. 138 3. ลำดับที่ 15(1;3); หมายเลข 16(1;3) หมายเลข 18(1;3); 4. หมายเลข 19; ลำดับที่ 20.

วันนี้คุณคุ้นเคยกับลำดับอะไร กำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตลดลงอย่างไม่สิ้นสุด? ให้สูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด คำถาม

นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์ชื่อดัง Hugo Steinhaus อ้างติดตลกว่ามีกฎหมายที่ถูกกำหนดไว้ดังนี้: นักคณิตศาสตร์จะทำให้ดีกว่านี้ กล่าวคือ หากคุณมอบหมายให้คนสองคน โดยคนหนึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ ทำงานใดๆ ที่ไม่คุ้นเคย ผลลัพธ์จะเป็นดังนี้เสมอ นักคณิตศาสตร์จะทำงานได้ดีขึ้น ฮูโก้ สไตน์เฮาส์ 14/01/1887-02/25/1972

ลองพิจารณาซีรีย์บางเรื่อง

7 28 112 448 1792...

เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่ามูลค่าขององค์ประกอบใด ๆ ของมันนั้นมากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้าถึงสี่เท่าอย่างแน่นอน ซึ่งหมายความว่าซีรีส์นี้มีความก้าวหน้า

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็นลำดับของตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด คุณลักษณะหลักคือได้ตัวเลขถัดไปจากตัวเลขก่อนหน้าโดยการคูณด้วยตัวเลขเฉพาะ นี่แสดงโดยสูตรต่อไปนี้

a z +1 =a z ·q โดยที่ z คือจำนวนขององค์ประกอบที่เลือก

ดังนั้น z ∈ N

ช่วงเวลาที่ศึกษาความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่โรงเรียนคือชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ตัวอย่างจะช่วยให้คุณเข้าใจแนวคิด:

0.25 0.125 0.0625...

จากสูตรนี้ ตัวส่วนของความก้าวหน้าสามารถหาได้ดังนี้:

ทั้ง q และ bz ไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ นอกจากนี้ แต่ละองค์ประกอบของความก้าวหน้าไม่ควรเท่ากับศูนย์

ดังนั้น หากต้องการหาตัวเลขถัดไปในชุดข้อมูล คุณต้องคูณตัวเลขสุดท้ายด้วย q

หากต้องการตั้งค่าความก้าวหน้านี้ คุณต้องระบุองค์ประกอบแรกและตัวส่วน หลังจากนี้ คุณสามารถค้นหาคำศัพท์ที่ตามมาและผลรวมได้

พันธุ์

ขึ้นอยู่กับ q และ 1 ความก้าวหน้านี้แบ่งออกเป็นหลายประเภท:

• หากทั้ง 1 และ q มากกว่า 1 ลำดับดังกล่าวจะเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่เพิ่มขึ้นพร้อมกับองค์ประกอบที่ตามมาแต่ละองค์ประกอบ ตัวอย่างนี้แสดงไว้ด้านล่าง

ตัวอย่าง: a 1 =3, q=2 - พารามิเตอร์ทั้งสองมีค่ามากกว่าหนึ่ง

จากนั้นสามารถเขียนลำดับจำนวนได้ดังนี้:

3 6 12 24 48 ...

• ถ้า |q| น้อยกว่าหนึ่ง กล่าวคือ การคูณด้วยมันเท่ากับการหาร ดังนั้นความก้าวหน้าที่มีเงื่อนไขคล้ายกันคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลง ตัวอย่างนี้แสดงไว้ด้านล่าง

ตัวอย่าง: a 1 =6, q=1/3 - a 1 มากกว่า 1, q น้อยกว่า

จากนั้นสามารถเขียนลำดับจำนวนได้ดังนี้:

6 2 2/3 ... - องค์ประกอบใด ๆ ที่มีขนาดใหญ่กว่าองค์ประกอบที่ตามมา 3 เท่า

• ป้ายสลับ. ถ้าถาม<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

ตัวอย่าง: a 1 = -3, q = -2 - พารามิเตอร์ทั้งสองมีค่าน้อยกว่าศูนย์

จากนั้นสามารถเขียนลำดับจำนวนได้ดังนี้:

3, 6, -12, 24,...

สูตร

มีหลายสูตรสำหรับการใช้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่สะดวก:

• สูตรเทอม Z ช่วยให้คุณสามารถคำนวณองค์ประกอบภายใต้ตัวเลขเฉพาะโดยไม่ต้องคำนวณตัวเลขก่อนหน้า

ตัวอย่าง:ถาม = 3, ก 1 = 4. จะต้องนับองค์ประกอบที่สี่ของความก้าวหน้า

สารละลาย:ก 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• ผลรวมขององค์ประกอบแรกที่มีจำนวนเท่ากับ z- ช่วยให้คุณสามารถคำนวณผลรวมขององค์ประกอบทั้งหมดของลำดับได้สูงสุดถึงzรวมอยู่ด้วย

ตั้งแต่ (1-ถาม) อยู่ในตัวส่วน จากนั้น (1 - q)≠ 0 ดังนั้น q จึงไม่เท่ากับ 1

หมายเหตุ: ถ้า q=1 การก้าวหน้าจะเป็นชุดของตัวเลขที่ซ้ำกันอย่างไม่สิ้นสุด

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวอย่าง:ก 1 = 2, ถาม= -2. คำนวณ S5

สารละลาย:ส 5 = 22 - การคำนวณโดยใช้สูตร

• จำนวนเงินถ้า |ถาม| < 1 и если z стремится к бесконечности.

ตัวอย่าง:ก 1 = 2 , ถาม= 0.5. หาจำนวนเงิน.

สารละลาย:เอส ซี = 2 · = 4

เอส ซี = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

คุณสมบัติบางอย่าง:

• คุณสมบัติลักษณะ หากเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้ ทำงานเพื่อสิ่งใด ๆzจากนั้นอนุกรมตัวเลขที่กำหนดจะเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

z 2 = z -1 · กซ+1

• นอกจากนี้ กำลังสองของตัวเลขใดๆ ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถหาได้โดยการบวกกำลังสองของตัวเลขอื่นๆ สองตัวใดๆ ในชุดที่กำหนด หากพวกมันอยู่ห่างจากองค์ประกอบนี้เท่ากัน

z 2 = z - ที 2 + z + ที 2 , ที่ไหนที- ระยะห่างระหว่างตัวเลขเหล่านี้

• องค์ประกอบแตกต่างกันใน qครั้งหนึ่ง.
• ลอการิทึมขององค์ประกอบของความก้าวหน้าก็ก่อให้เกิดความก้าวหน้าเช่นกัน แต่เป็นเลขคณิตนั่นคือแต่ละองค์ประกอบมีค่ามากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้าด้วยจำนวนที่แน่นอน

ตัวอย่างของปัญหาคลาสสิกบางประการ

เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้นว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคืออะไร ตัวอย่างพร้อมคำตอบสำหรับคลาส 9 สามารถช่วยได้

• เงื่อนไข:ก 1 = 3, ก 3 = 48. ค้นหาถาม.

วิธีแก้ไข: แต่ละองค์ประกอบที่ตามมาจะมากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้าในถาม ครั้งหนึ่ง.จำเป็นต้องแสดงองค์ประกอบบางอย่างในรูปขององค์ประกอบอื่นๆ โดยใช้ตัวส่วน

เพราะฉะนั้น,ก 3 = ถาม 2 · ก 1

เมื่อทำการทดแทนถาม= 4

• เงื่อนไข:ก 2 = 6, ก 3 = 12. คำนวณ S 6.

สารละลาย:เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เพียงหา q ซึ่งเป็นองค์ประกอบแรกแล้วแทนที่ลงในสูตร

ก 3 = ถาม· ก 2 , เพราะฉะนั้น,ถาม= 2

ก 2 = คิว · ก 1 ,นั่นเป็นเหตุผล ก 1 = 3

ส 6 = 189

• · ก 1 = 10, ถาม= -2. ค้นหาองค์ประกอบที่สี่ของความก้าวหน้า

วิธีแก้: เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะแสดงองค์ประกอบที่สี่ผ่านทางตัวแรกและตัวส่วนแล้ว

ก 4 = ค 3· ก 1 = -80

ตัวอย่างการใช้งาน:

• ลูกค้าธนาคารฝากเงินจำนวน 10,000 รูเบิล ภายใต้เงื่อนไขที่ลูกค้าจะได้เงินต้นเพิ่ม 6% ทุกปี หลังจาก 4 ปีจะมีเงินเข้าบัญชีเท่าไหร่?

วิธีแก้ปัญหา: จำนวนเงินเริ่มต้นคือ 10,000 รูเบิล ซึ่งหมายความว่าหนึ่งปีหลังจากการลงทุน บัญชีจะมีจำนวนเงินเท่ากับ 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10,000 1.06

ดังนั้นจำนวนเงินในบัญชีหลังจากปีอื่นจะแสดงดังนี้:

(10,000 · 1.06) · 0.06 + 10,000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10,000

นั่นคือทุกๆปีจำนวนเงินจะเพิ่มขึ้น 1.06 เท่า ซึ่งหมายความว่าหากต้องการค้นหาจำนวนเงินในบัญชีหลังจาก 4 ปี ก็เพียงพอที่จะค้นหาองค์ประกอบที่สี่ของความก้าวหน้า ซึ่งกำหนดโดยองค์ประกอบแรกเท่ากับ 10,000 และตัวส่วนเท่ากับ 1.06

ส = 1.06 1.06 1.06 1.06 10,000 = 12625

ตัวอย่างปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณผลรวม:

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถูกนำมาใช้ในปัญหาต่างๆ ตัวอย่างการหาผลรวมได้ดังนี้:

ก 1 = 4, ถาม= 2 คำนวณส 5.

วิธีแก้ไข: ทราบข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการคำนวณแล้ว คุณเพียงแค่ต้องแทนที่ข้อมูลเหล่านั้นลงในสูตร

ส 5 = 124

• ก 2 = 6, ก 3 = 18. คำนวณผลรวมของหกองค์ประกอบแรก

สารละลาย:

ในภูมิศาสตร์ ความก้าวหน้า แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะมากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า q เท่า นั่นคือเพื่อคำนวณผลรวมที่คุณต้องรู้องค์ประกอบนั้นก 1 และตัวส่วนถาม.

ก 2 · ถาม = ก 3

ถาม = 3

ในทำนองเดียวกันคุณต้องค้นหาก 1 , รู้ก 2 และถาม.

ก 1 · ถาม = ก 2

ก 1 =2

ส 6 = 728.

ลำดับตัวเลข VI

§ l48 ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

จนถึงตอนนี้ เมื่อพูดถึงผลรวม เรามักจะถือว่าจำนวนพจน์ในผลรวมเหล่านี้มีจำกัด (เช่น 2, 15, 1,000 เป็นต้น) แต่เมื่อแก้ไขปัญหาบางอย่าง (โดยเฉพาะคณิตศาสตร์ระดับสูง) เราจะต้องจัดการกับผลรวมของจำนวนอนันต์

ส= ก 1 + ก 2 + ... + ก n + ... . (1)

จำนวนเงินเหล่านี้คืออะไร? ตามคำนิยาม ผลรวมของเงื่อนไขจำนวนอนันต์ ก 1 , ก 2 , ..., ก n , ... เรียกว่าลิมิตของผลรวม S n อันดับแรก n ตัวเลขเมื่อใด n -> ∞ :

ส=ส n = (ก 1 + ก 2 + ... + ก n ). (2)

แน่นอนว่าขีดจำกัด (2) อาจมีหรือไม่มีก็ได้ ดังนั้นพวกเขาจึงบอกว่าผลรวม (1) มีอยู่หรือไม่มีอยู่

เราจะทราบได้อย่างไรว่าผลรวม (1) มีอยู่ในแต่ละกรณีหรือไม่? วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับปัญหานี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของโปรแกรมของเรา อย่างไรก็ตาม มีกรณีพิเศษที่สำคัญประการหนึ่งที่เราต้องพิจารณาในตอนนี้ เราจะพูดถึงการสรุปเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

อนุญาต ก 1 , ก 1 ถาม , ก 1 ถาม 2, ... คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่า | ถาม |< 1. Сумма первых n เงื่อนไขของความก้าวหน้านี้เท่ากัน

จากทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับขีดจำกัดของตัวแปร (ดูมาตรา 136) เราได้รับ:

แต่ 1 = 1, ก qn = 0 ดังนั้น

ดังนั้น ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เท่ากับเทอมแรกของความก้าวหน้านี้ หารด้วย 1 ลบตัวส่วนของความก้าวหน้านี้

1) ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... เท่ากับ

และผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 12 -6; 3; - 3 / 2 , ... เท่ากัน

2) แปลงเศษส่วนเป็นงวดอย่างง่าย 0.454545 ... เป็นเศษส่วนธรรมดา

เพื่อแก้ปัญหานี้ ลองจินตนาการถึงเศษส่วนนี้ว่าเป็นผลรวมอนันต์:

ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้คือผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เทอมแรกเท่ากับ 45/100 และตัวส่วนคือ 1/100 นั่นเป็นเหตุผล

เมื่อใช้วิธีการที่อธิบายไว้ สามารถรับกฎทั่วไปสำหรับการแปลงเศษส่วนคาบอย่างง่ายเป็นเศษส่วนสามัญได้ (ดูบทที่ II, § 38):

ในการแปลงเศษส่วนคาบอย่างง่ายเป็นเศษส่วนธรรมดาคุณต้องทำสิ่งต่อไปนี้: ในตัวเศษให้ใส่ระยะเวลาของเศษส่วนทศนิยมและในตัวส่วน - ตัวเลขที่ประกอบด้วยเก้านำมาหลายครั้งตามที่มีตัวเลขในช่วงเวลานั้น ของเศษส่วนทศนิยม

3) แปลงเศษส่วนคาบผสม 0.58333 .... เป็นเศษส่วนสามัญ

ลองจินตนาการถึงเศษส่วนนี้ว่าเป็นผลรวมอนันต์:

ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้ พจน์ทั้งหมดเริ่มต้นจาก 3/1000 ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เทอมแรกเท่ากับ 3/1000 และตัวส่วนคือ 1/10 นั่นเป็นเหตุผล

เมื่อใช้วิธีการที่อธิบายไว้ สามารถรับกฎทั่วไปสำหรับการแปลงเศษส่วนคาบแบบผสมเป็นเศษส่วนสามัญได้ (ดูบทที่ II, § 38) เราจงใจไม่นำเสนอที่นี่ ไม่จำเป็นต้องจำกฎที่ยุ่งยากนี้ การรู้ว่าเศษส่วนคาบแบบผสมใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดและจำนวนหนึ่งจะมีประโยชน์มากกว่ามาก และสูตร

แน่นอนว่าคุณต้องจำไว้เพื่อผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

เพื่อเป็นแบบฝึกหัด เราขอแนะนำให้คุณหันไปใช้ปัญหาหมายเลข 301 § 38 อีกครั้ง นอกเหนือจากปัญหาหมายเลข 995-1000 ที่ระบุด้านล่าง

แบบฝึกหัด

995 ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดเรียกว่าอะไร?

996 ค้นหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด:

997. มีค่าเท่าไร เอ็กซ์ ความก้าวหน้า

มันลดลงอย่างไม่สิ้นสุดเหรอ? จงหาผลรวมของความก้าวหน้าดังกล่าว

998 ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีด้าน ก สามเหลี่ยมใหม่ถูกจารึกไว้โดยเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้าง สามเหลี่ยมใหม่จะถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมนี้ในลักษณะเดียวกัน และเป็นเช่นนี้ไปเรื่อยๆ

ก) ผลรวมของเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมเหล่านี้ทั้งหมด

b) ผลรวมของพื้นที่ของพวกเขา

999.เหลี่ยมมีข้าง ก จัตุรัสใหม่ถูกจารึกไว้โดยเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้าง สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ถูกจารึกไว้ในลักษณะเดียวกัน และไม่มีที่สิ้นสุด หาผลรวมของเส้นรอบวงของกำลังสองเหล่านี้กับผลรวมของพื้นที่

1,000 เขียนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด โดยผลรวมของมันเท่ากับ 25/4 และผลรวมของกำลังสองของพจน์ของมันเท่ากับ 625/24

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตควบคู่ไปกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นชุดตัวเลขสำคัญที่มีการศึกษาในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ในบทความนี้ เราจะดูตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต และค่าของมันส่งผลต่อคุณสมบัติของมันอย่างไร

คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ก่อนอื่น เรามานิยามของอนุกรมตัวเลขนี้กันก่อน ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือชุดของจำนวนตรรกยะที่เกิดขึ้นจากการคูณองค์ประกอบแรกตามลำดับด้วยจำนวนคงที่ที่เรียกว่าตัวส่วน

ตัวอย่างเช่น ตัวเลขในชุด 3, 6, 12, 24, ... เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เพราะถ้าคุณคูณ 3 (องค์ประกอบแรก) ด้วย 2 คุณจะได้ 6 หากคุณคูณ 6 ด้วย 2 คุณจะได้ 12 และอื่นๆ

สมาชิกของลำดับที่กำลังพิจารณามักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ ai โดยที่ i เป็นจำนวนเต็มที่ระบุจำนวนขององค์ประกอบในชุดข้อมูล

คำจำกัดความข้างต้นของความก้าวหน้าสามารถเขียนได้ในภาษาคณิตศาสตร์ดังนี้ an = bn-1 * a1 โดยที่ b คือตัวส่วน ง่ายต่อการตรวจสอบสูตรนี้: ถ้า n = 1 แล้ว b1-1 = 1 แล้วเราจะได้ a1 = a1 ถ้า n = 2 ดังนั้น an = b * a1 และเรามาถึงคำจำกัดความของชุดตัวเลขที่ต้องการอีกครั้ง การให้เหตุผลที่คล้ายกันสามารถดำเนินต่อไปได้สำหรับค่า n ที่มีขนาดใหญ่

ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ตัวเลข b เป็นตัวกำหนดโดยสมบูรณ์ว่าชุดตัวเลขทั้งหมดจะมีอักขระใด ตัวส่วน b สามารถเป็นบวก ลบ หรือมากกว่าหรือน้อยกว่าหนึ่งได้ ตัวเลือกทั้งหมดข้างต้นนำไปสู่ลำดับที่แตกต่างกัน:

• b > 1. มีอนุกรมจำนวนตรรกยะเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 8, ... หากองค์ประกอบ a1 เป็นลบ ลำดับทั้งหมดจะเพิ่มขึ้นเป็นค่าสัมบูรณ์เท่านั้น แต่จะลดลงตามเครื่องหมายของตัวเลข
• b = 1 บ่อยครั้งกรณีนี้ไม่เรียกว่าความก้าวหน้า เนื่องจากมีอนุกรมธรรมดาของจำนวนตรรกยะที่เหมือนกัน ตัวอย่างเช่น -4, -4, -4

สูตรสำหรับจำนวนเงิน

ก่อนที่จะพิจารณาปัญหาเฉพาะโดยใช้ตัวส่วนของประเภทของความก้าวหน้าที่กำลังพิจารณา ควรกำหนดสูตรที่สำคัญสำหรับผลรวมขององค์ประกอบ n ตัวแรก สูตรมีลักษณะดังนี้: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1)

คุณสามารถรับนิพจน์นี้ได้ด้วยตนเองหากคุณพิจารณาลำดับการเรียกซ้ำของเงื่อนไขของความก้าวหน้า โปรดทราบด้วยว่าในสูตรข้างต้น ก็เพียงพอที่จะรู้เฉพาะองค์ประกอบแรกและตัวส่วนเพื่อค้นหาผลรวมของจำนวนคำศัพท์ที่ต้องการ

ลำดับลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

คำอธิบายได้รับข้างต้นว่ามันคืออะไร ทีนี้ เมื่อรู้สูตรของ Sn แล้ว ลองนำไปใช้กับอนุกรมตัวเลขนี้กัน เนื่องจากจำนวนใดๆ ที่มีโมดูลัสไม่เกิน 1 มีแนวโน้มจะเป็นศูนย์เมื่อยกกำลังสูง นั่นคือ b∞ => 0 ถ้า -1

เนื่องจากความแตกต่าง (1 - b) จะเป็นค่าบวกเสมอ ไม่ว่าค่าของตัวส่วนจะเป็นเช่นไรก็ตาม เครื่องหมายของผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด S∞ จึงถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยเครื่องหมายขององค์ประกอบแรก a1

ตอนนี้เรามาดูปัญหาต่างๆ ที่เราจะแสดงวิธีนำความรู้ที่ได้รับมาใช้กับตัวเลขเฉพาะ

ปัญหาหมายเลข 1 การคำนวณองค์ประกอบที่ไม่รู้จักของความก้าวหน้าและผลรวม

เมื่อพิจารณาจากความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวส่วนของความก้าวหน้าคือ 2 และองค์ประกอบแรกของมันคือ 3 เทอมที่ 7 และ 10 จะเท่ากับเท่าใด และผลรวมขององค์ประกอบเริ่มต้นทั้ง 7 องค์ประกอบเป็นเท่าใด

เงื่อนไขของปัญหาค่อนข้างง่ายและเกี่ยวข้องกับการใช้สูตรข้างต้นโดยตรง ดังนั้นในการคำนวณหมายเลของค์ประกอบ n เราใช้นิพจน์ an = bn-1 * a1 สำหรับองค์ประกอบที่ 7 ที่เรามี: a7 = b6 * a1 แทนที่ข้อมูลที่รู้จักเราได้รับ: a7 = 26 * 3 = 192 เราทำเช่นเดียวกันกับเทอมที่ 10: a10 = 29 * 3 = 1536

ลองใช้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับผลรวมและกำหนดค่านี้สำหรับ 7 องค์ประกอบแรกของชุดข้อมูล เรามี: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381

ปัญหาหมายเลข 2 การกำหนดผลรวมขององค์ประกอบโดยพลการของความก้าวหน้า

ให้ -2 เท่ากับตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต bn-1 * 4 โดยที่ n คือจำนวนเต็ม มีความจำเป็นต้องกำหนดผลรวมจากองค์ประกอบที่ 5 ถึง 10 ของซีรีย์นี้รวมอยู่ด้วย

ปัญหาที่เกิดขึ้นไม่สามารถแก้ไขได้โดยตรงโดยใช้สูตรที่ทราบ สามารถแก้ไขได้โดยใช้ 2 วิธีที่แตกต่างกัน เพื่อให้การนำเสนอหัวข้อสมบูรณ์ เราขอนำเสนอทั้งสองอย่าง

วิธีที่ 1 แนวคิดนั้นง่าย: คุณต้องคำนวณผลรวมสองคำที่สอดคล้องกันของเทอมแรกแล้วลบอีกอันออกจากที่หนึ่ง เราคำนวณจำนวนที่น้อยกว่า: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364 ตอนนี้เราคำนวณผลรวมที่มากขึ้น: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20 โปรดทราบว่าในนิพจน์สุดท้ายมีเพียง 4 คำเท่านั้นที่สรุปได้เนื่องจากคำที่ 5 ได้รวมไว้ในจำนวนที่ต้องคำนวณตามเงื่อนไขของปัญหาแล้ว สุดท้าย เราก็หาผลต่าง: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344

วิธีที่ 2 ก่อนที่จะแทนที่ตัวเลขและการนับ คุณสามารถรับสูตรสำหรับผลรวมระหว่างเงื่อนไข m และ n ของชุดข้อมูลที่ต้องการได้ เราทำเช่นเดียวกับวิธีที่ 1 ทุกประการ เพียงแต่ก่อนอื่นเราจะทำงานกับการแสดงจำนวนเงินเชิงสัญลักษณ์ เรามี: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . คุณสามารถแทนที่ตัวเลขที่รู้จักลงในนิพจน์ผลลัพธ์และคำนวณผลลัพธ์สุดท้าย: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344

ปัญหาข้อที่ 3 ตัวส่วนคืออะไร?

ให้ a1 = 2 ค้นหาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยที่ผลรวมอนันต์ของมันคือ 3 และเป็นที่รู้กันว่านี่คือชุดตัวเลขที่ลดลง

เมื่อพิจารณาจากเงื่อนไขของปัญหาแล้วเดาได้ไม่ยากว่าควรใช้สูตรใดในการแก้ปัญหา แน่นอนว่าสำหรับผลรวมของการก้าวหน้าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เรามี: S∞ = a1 / (1 - b) จากที่เราแสดงตัวส่วน: b = 1 - a1 / S∞ ยังคงทดแทนค่าที่ทราบและรับหมายเลขที่ต้องการ: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 หรือ -0.333(3) เราสามารถตรวจสอบผลลัพธ์นี้ได้ในเชิงคุณภาพหากเราจำไว้ว่าสำหรับลำดับประเภทนี้ โมดูลัส b ไม่ควรเกิน 1 ดังที่เห็น |-1 / 3|

ภารกิจที่ 4 การกู้คืนชุดตัวเลข

ให้องค์ประกอบ 2 ตัวของชุดตัวเลขถูกกำหนดไว้ เช่น องค์ประกอบที่ 5 เท่ากับ 30 และองค์ประกอบที่ 10 เท่ากับ 60 จำเป็นต้องสร้างอนุกรมใหม่ทั้งหมดจากข้อมูลเหล่านี้ โดยรู้ว่าเป็นไปตามคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ในการแก้ปัญหา คุณต้องเขียนนิพจน์ที่เกี่ยวข้องสำหรับคำศัพท์แต่ละคำที่ทราบก่อน เรามี: a5 = b4 * a1 และ a10 = b9 * a1 ตอนนี้หารนิพจน์ที่สองด้วยตัวแรกเราจะได้: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5 จากตรงนี้ เราจะหาตัวส่วนโดยการหารากที่ห้าของอัตราส่วนของพจน์ที่ทราบจากประโยคปัญหา ซึ่งก็คือ b = 1.148698 เราแทนที่ตัวเลขผลลัพธ์เป็นหนึ่งในนิพจน์สำหรับองค์ประกอบที่รู้จักเราได้รับ: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966

ดังนั้นเราจึงพบตัวส่วนของความก้าวหน้า bn และความก้าวหน้าทางเรขาคณิต bn-1 * 17.2304966 = an โดยที่ b = 1.148698

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใช้ที่ไหน?

หากไม่มีการประยุกต์ใช้อนุกรมตัวเลขนี้ในทางปฏิบัติ การศึกษาก็จะลดเหลือเพียงความสนใจทางทฤษฎีเท่านั้น แต่มีแอปพลิเคชันดังกล่าวอยู่

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุด 3 ตัวอย่าง:

• ความขัดแย้งของ Zeno ซึ่งจุดอ่อนที่ว่องไวไม่สามารถตามเต่าที่เชื่องช้าได้ ได้รับการแก้ไขโดยใช้แนวคิดเรื่องลำดับตัวเลขที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด
• หากคุณวางเมล็ดข้าวสาลีบนกระดานหมากรุกแต่ละตารางเพื่อที่สี่เหลี่ยมที่ 1 คุณใส่เมล็ดพืช 1 เม็ดในวันที่ 2 - 2 ในวันที่ 3 - 3 และต่อ ๆ ไปเพื่อเติมสี่เหลี่ยมทั้งหมดของกระดานที่คุณต้องการ 18446744073709551615ธัญพืช!
• ในเกม "Tower of Hanoi" เพื่อที่จะย้ายดิสก์จากแท่งหนึ่งไปยังอีกแท่งหนึ่งจำเป็นต้องดำเนินการ 2n - 1 นั่นคือจำนวนของมันจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณตามจำนวน n ของดิสก์ที่ใช้