ส่วนของลูกบาศก์ข้างระนาบ kmo คือเท่าใด “ส่วนของลูกบาศก์ข้างระนาบและการนำไปใช้จริงในปัญหา”
เลือกรูปทรงหลายเหลี่ยมและระดับความยาก
ขนานกัน
จัตุรมุข.
คิวบ์ ระดับเอ
ระดับเอ
ระดับเอ
ขนานกัน
คิวบ์ ระดับบี
ระดับบี
จัตุรมุข.
ระดับบี
ขนานกัน
จัตุรมุข.
คิวบ์ ระดับซี
ระดับซี
ระดับซี
คิวบ์ ระดับเอ
ชี้ M, H และ K โดยที่KЄ(DCC 1 ดี 1 ).
วี 1
กับ 1
ดี 1
ช่วย
ระนาบ a) โดยมีขอบ BB 1 - b) เครื่องบิน (SS 1 ง)
คิวบ์ ระดับบี
วี 1
กับ 1
ดี 1
ช่วย
คิวบ์ ระดับซี
สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านไป ผ่านจุด K, E และ M (ม Є AB). แล้วหาจุดตัดของเส้นตรง BB 1 กับเครื่องบินลำนี้
วี 1
กับ 1
ดี 1
คิวบ์ ระดับเอ
สร้างภาพตัดขวางของจัตุรมุขที่ลอดผ่าน
ชี้ M, H และ K โดยที่KЄ(DCC 1 ดี 1 ).
วี 1
กับ 1
EP ll MN
ดี 1
คิวบ์ ระดับบี
วี 1
กับ 1
ดี 1
จะเป็น KE
สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านไป
จุด A, K และ E ค้นหาเส้นตัดกันของจุดนี้
ระนาบ a) โดยมีขอบ BB 1 - b) เครื่องบิน (SS 1 ง)
คิวบ์ ระดับซี
สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบที่ผ่านจุด K, E และ M (ม Є AB). แล้วหาจุดตัดของเส้นตรง BB1 กับระนาบนี้
วี 1
กับ 1
ดี 1
ฟเคร์ฟ– ส่วนที่จำเป็น
ระดับเอ บนซี่โครงของเอเอ 1 และก 1 ดี 1 1 1 = 6, อ 1 ดี 1 = 8, AB = 4 ซม.
ช่วย
ระดับบี
ช่วย
ระดับซี มีจุดสามจุด S, R และ L มอบให้ที่ขอบของเส้นขนาน สร้างส่วนของเส้นขนานโดยใช้ระนาบ SRL
ช่วย
ระดับเอ บนซี่โครงของเอเอ 1 และก 1 ดี 1 ของเส้นขนานนั้นจะใช้จุดกึ่งกลาง S และ R ตามลำดับ สร้างส่วนของเส้นขนานโดยใช้ระนาบ SRВ 1 และหาพื้นที่หน้าตัดถ้า AA 1 = 6, อ 1 ดี 1 = 8, AB = 4 ซม.
บันทึก
ใช้สูตรของนกกระสา
ระดับบี
สเรลซ์– ส่วนที่จำเป็น
ระดับซี
จัตุรมุข.
ระดับเอ
ช่วย
จัตุรมุข.
สร้างส่วนของจัตุรมุขโดยมีเครื่องบินผ่านไป
ระดับบี
ช่วย
ในจัตุรมุขที่ความสูงของใบหน้า (STA) และ (ATV) จะมีการนำคะแนน K และ M
และจุด E อยู่ในระนาบ (ABC) วาดหน้าตัดของจัตุรมุข
ผ่านจุดเหล่านี้
จัตุรมุข.
ระดับซี
ช่วย
สร้างส่วนของจัตุรมุขโดยมีเครื่องบินผ่านไป
ผ่านตรงกลางของซี่โครง ST, SA และจุดKЄTV กำหนดมุมมอง
รูปสี่เหลี่ยมที่ได้รับในส่วน
จัตุรมุข.
ระดับเอ
จัตุรมุข.
สร้างส่วนของจัตุรมุขโดยมีเครื่องบินผ่านไป
ระดับบี
ผ่านจุด M และ H และจุดKЄ(ABC)
มน– ส่วนที่จำเป็น
งานเกี่ยวกับการสร้างส่วนของ cubeD1
ค1
อี
A1
B1
ดี
ก
เอฟ
บี
กับ
ทดสอบงาน.
1 ตัวเลือกตัวเลือกที่ 2
1. จัตุรมุข
1. ขนานกัน
2. คุณสมบัติของรูปขนาน
ระนาบการตัดของลูกบาศก์คือระนาบใดๆ ที่ทั้งสองด้านซึ่งมีจุดของลูกบาศก์ที่กำหนด
ซีแคนต์เครื่องบินตัดกับหน้าของลูกบาศก์ตาม
เซ็กเมนต์
รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านเป็น
ส่วนเหล่านี้เรียกว่าส่วนของคิวบ์
ส่วนของลูกบาศก์สามารถเป็นรูปสามเหลี่ยมได้
รูปสี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม และ
รูปหกเหลี่ยม
เมื่อสร้างส่วนต่าง ๆ ควรคำนึงถึงสิ่งนั้นด้วย
ความจริงที่ว่าถ้าระนาบตัดตัดกันสองอัน
ใบหน้าตรงข้ามตามบางช่วงแล้ว
ส่วนเหล่านี้ขนานกัน (อธิบายว่าเหตุใด) B1
ค1
D1
A1
ม
เค
สำคัญ!
บี
กับ
ดี
หากระนาบการตัดตัดกัน
ขอบตรงข้ามกันแล้ว
เค ดีซีซี1
ตัดกันพวกมันแบบขนาน
เอ็ม บีซีซี1
เซ็กเมนต์
กำหนดสามจุดที่เป็นจุดกึ่งกลางของขอบ ค้นหาเส้นรอบวงของส่วนถ้าเป็นขอบ
สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านไปกำหนดสามจุดที่เป็นจุดกึ่งกลางของขอบ
หาเส้นรอบวงของหน้าตัดถ้าขอบของลูกบาศก์เท่ากับ a
D1
เอ็น
เค
A1
ดี
ก
ค1
B1
ม
กับ
บี
สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านจุดที่กำหนดสามจุดซึ่งเป็นจุดยอดของมัน หาเส้นรอบวงของส่วนถ้าเป็นขอบของลูกบาศก์
สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านไปมีจุดที่กำหนดสามจุดซึ่งเป็นจุดยอดของมัน หา
เส้นรอบวงของหน้าตัดถ้าขอบของลูกบาศก์เท่ากับ a
D1
ค1
A1
B1
ดี
ก
กับ
บี
D1
ค1
A1
ม
B1
ดี
ก
กับ
บี
สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านจุดที่กำหนดสามจุด หาเส้นรอบวงของหน้าตัดถ้าขอบของลูกบาศก์เท่ากับ a
D1ค1
A1
B1
เอ็น
ดี
ก
กับ
บี
สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยให้ระนาบผ่านจุดที่กำหนดสามจุด ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของขอบ
ค1D1
B1
A1
เค
ดี
กับ
เอ็น
อี
ก
ม
บี
งานเกี่ยวกับการสร้างส่วนของ cubeD1
ค1
อี
A1
B1
ดี
ก
เอฟ
บี
กับ
ทดสอบงาน.
1 ตัวเลือกตัวเลือกที่ 2
1. จัตุรมุข
1. ขนานกัน
2. คุณสมบัติของรูปขนาน
ระนาบการตัดของลูกบาศก์คือระนาบใดๆ ที่ทั้งสองด้านซึ่งมีจุดของลูกบาศก์ที่กำหนด
ซีแคนต์เครื่องบินตัดกับหน้าของลูกบาศก์ตาม
เซ็กเมนต์
รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านเป็น
ส่วนเหล่านี้เรียกว่าส่วนของคิวบ์
ส่วนของลูกบาศก์สามารถเป็นรูปสามเหลี่ยมได้
รูปสี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม และ
รูปหกเหลี่ยม
เมื่อสร้างส่วนต่าง ๆ ควรคำนึงถึงสิ่งนั้นด้วย
ความจริงที่ว่าถ้าระนาบตัดตัดกันสองอัน
ใบหน้าตรงข้ามตามบางช่วงแล้ว
ส่วนเหล่านี้ขนานกัน (อธิบายว่าเหตุใด) B1
ค1
D1
A1
ม
เค
สำคัญ!
บี
กับ
ดี
หากระนาบการตัดตัดกัน
ขอบตรงข้ามกันแล้ว
เค ดีซีซี1
ตัดกันพวกมันแบบขนาน
เอ็ม บีซีซี1
เซ็กเมนต์
กำหนดสามจุดที่เป็นจุดกึ่งกลางของขอบ ค้นหาเส้นรอบวงของส่วนถ้าเป็นขอบ
สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านไปกำหนดสามจุดที่เป็นจุดกึ่งกลางของขอบ
หาเส้นรอบวงของหน้าตัดถ้าขอบของลูกบาศก์เท่ากับ a
D1
เอ็น
เค
A1
ดี
ก
ค1
B1
ม
กับ
บี
สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านจุดที่กำหนดสามจุดซึ่งเป็นจุดยอดของมัน หาเส้นรอบวงของส่วนถ้าเป็นขอบของลูกบาศก์
สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านไปมีจุดที่กำหนดสามจุดซึ่งเป็นจุดยอดของมัน หา
เส้นรอบวงของหน้าตัดถ้าขอบของลูกบาศก์เท่ากับ a
D1
ค1
A1
B1
ดี
ก
กับ
บี
D1
ค1
A1
ม
B1
ดี
ก
กับ
บี
สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านจุดที่กำหนดสามจุด หาเส้นรอบวงของหน้าตัดถ้าขอบของลูกบาศก์เท่ากับ a
D1ค1
A1
B1
เอ็น
ดี
ก
กับ
บี
สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยให้ระนาบผ่านจุดที่กำหนดสามจุด ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของขอบ
ค1D1
B1
A1
เค
ดี
กับ
เอ็น
อี
ก
ม
บี
โรงเรียนการศึกษาทั่วไประดับ І-ІІІ หมายเลข 2
กรมสามัญศึกษาของการบริหารเมือง Kirovskoye
"ส่วนลูกบาศก์โดยเครื่องบิน
และการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติในปัญหา”
จัดทำโดยครูคณิตศาสตร์
ครูผู้สอน
Chumakova G.V.
2558
การแนะนำ:
ปัญหาในการสร้างส่วนต่างๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมมีส่วนสำคัญทั้งในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนมัธยมปลายและในการสอบในระดับต่างๆ การแก้ปัญหาประเภทนี้มีส่วนช่วยในการดูดซับสัจพจน์ของภาพสามมิติ, การจัดระบบความรู้และทักษะ, การพัฒนาความเข้าใจเชิงพื้นที่และทักษะเชิงสร้างสรรค์ ความยากลำบากที่เกิดขึ้นเมื่อแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับการก่อสร้างส่วนต่าง ๆ เป็นที่รู้จักกันดี
การดำเนินการหลักที่ประกอบขึ้นเป็นวิธีการสร้างส่วนต่างๆ ได้แก่ การหาจุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ การสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ การสร้างเส้นตรงขนานกับระนาบ และการสร้างเส้นตรงตั้งฉากกับ เครื่องบิน.
ฉันจะอธิบายการสร้างส่วนโดยใช้ปัญหาหนึ่งจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน:
№1. สร้างลูกบาศก์อย่างน้อยสองส่วนเอบีซีเอ 1 บี 1 ค 1 ดี 1 เครื่องบินน 1 C ถ้าจุด M 1 เคลื่อนที่ไปตามส่วน BB 1 จาก B ถึง B 1 - ค้นหาขอบเขตของการวัดความสูงของส่วนที่ลากจากจุด M 1 .
สารละลาย: มาสร้างส่วนที่จำเป็นสองส่วน โดยรับจุด M 1
ใกล้กับจุด B และจุด M 2
ใกล้กับ B 1
- ทั้งสองส่วนจะแสดงอยู่ในภาพ ที่จุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหวเมื่อจุด M 1
เพิ่งย้ายออกจากจุด B 1
หน้าตัดเป็นรูปสามเหลี่ยมมีฐาน AC และสูง M 1
O ซึ่งใหญ่กว่าส่วน BO เล็กน้อย เช่น 
ถ้าจุด M 1
จะเข้ารับตำแหน่งเอ็ม 2
ตั้งอยู่ใกล้กับจุด B มาก 1
, ที่ 
เช้า 2
C เกือบจะตรงกันกับ เอบี 1
C และความสูงของมันคือ M 1
O – พร้อมส่วน B 1
O ซึ่งมีความยาวเท่ากับ 
(อ.1 = 
=
).
จากที่นี่ ด้วยเหตุผลของความต่อเนื่อง เราสรุปได้ว่า: 
คุณควรพิจารณาเป็นพิเศษว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากจุด M 1 เข้ารับตำแหน่งจุดยอด B
№2. สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านสามจุด A 1, E และ L ที่วางอยู่บนขอบของลูกบาศก์
ระนาบของใบหน้า A 1 เพิ่ม 1 และ DD 1 C 1 C ตัดกันตามเส้นตรง DD 1 และระนาบของใบหน้า A 1 B 1 C 1 D 1 u DD 1 C 1 C ตัดกันตามเส้นตรง D 1 ซี 1 . โดยการเชื่อมต่อจุด A และ E เราจะได้เส้นตรงของจุดตัดของระนาบการตัดกับระนาบของหน้า AA 1 D 1 D และต่อไปเราจะพบจุด N ซึ่งเป็นของระนาบสามอัน: ระนาบการตัดและ ระนาบของใบหน้า AA 1 D 1 D u DD 1 C 1 C.
ในทำนองเดียวกัน เราพบจุด M ร่วมกันในระนาบสามระนาบ: ระนาบส่วนและระนาบของใบหน้า A 1 B 1 C 1 D 1 u DD 1 C 1 C . ดังนั้นคะแนน N u M เป็นของระนาบการตัดและระนาบ DD 1 C 1 C; เส้นตรง MN คือเส้นตัดของระนาบส่วนกับระนาบของหน้า DD 1 C 1 C และ F และ K คือจุดตัดกับขอบของลูกบาศก์ CD u CC 1 เชื่อมต่อจุดอย่างต่อเนื่อง A 1 , E , F , K u L ด้วยเส้นตรง เราได้รูปห้าเหลี่ยม A ! EFKL ซึ่งจะให้ส่วนที่ต้องการแก่เรา
เมื่อสร้างส่วนของลูกบาศก์โดยใช้ระนาบ เอ็กซ์ด้วยการจัดเรียงจุดตามอำเภอใจในส่วนนั้น ผลลัพธ์ที่ได้คือ: สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม หรือหกเหลี่ยม โดยปกติแล้ว คำถามเกิดขึ้นว่าประเภทของส่วนนั้นขึ้นอยู่กับประเภทของตำแหน่งของจุดที่กำหนดส่วนนี้อย่างไร
ฉันตัดสินใจทำการศึกษาเพื่อหาคำตอบ
สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยระนาบเมื่อให้จุดสามจุดที่เป็นของขอบโดยมีจุดยอดหนึ่งจุด
มีการนำจุดสามจุด A 1 , D , C 1 ซึ่งเป็นของจุดยอด D 1 และจุดยอดของลูกบาศก์เอง
หน้าตัดจะทำให้เกิดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เนื่องจาก A 1 C 1 , A 1 D u DC 1 เป็นเส้นทแยงมุมของหน้าของลูกบาศก์นี้
สามคะแนน: A 1 u C 1 คือจุดยอดของลูกบาศก์ และจุด F อยู่ที่ขอบของลูกบาศก์ DD 1 จุดต่างๆ อยู่ในเส้นตรงที่โผล่ออกมาจากจุดยอด D 1
ภาพตัดขวางทำให้เกิดสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เนื่องจาก F มีระยะห่างเท่ากันจากจุด A 1 u C 1
สามคะแนน: A 1 u C 1 คือจุดยอดของลูกบาศก์ และจุด F อยู่ในเส้นตรงของขอบลูกบาศก์ DD 1 จุดต่างๆ เป็นของเส้นตรงที่โผล่ออกมาจากจุดยอดหนึ่ง D 1
ผลภาคตัดขวางทำให้เกิดสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว เนื่องจาก F มีระยะห่างเท่ากันจากจุด A 1 u C 1 นั่นคือ LA 1 = KC 1
จุดสามจุดที่เป็นของขอบที่มีหนึ่งจุดยอด D 1 จุด F u M อยู่ในความต่อเนื่องของขอบ D 1 D u D 1 C ตามลำดับ และจุด A 1 คือจุดยอดของลูกบาศก์
หน้าตัดกลายเป็นห้าเหลี่ยม A 1 KLNG
มีการใช้จุด F, M และ Q สามจุดเพื่อให้อยู่บนความต่อเนื่องของขอบ D 1 D, D 1 C 1 และ D 1 A 1 ตามลำดับ
ผลภาคตัดขวางเป็นรูปหกเหลี่ยม KLNGJH
มีจุดสามจุดอยู่บนขอบโดยมีจุดยอด D 1 หนึ่งจุด
ภาพตัดขวางทำให้เกิดรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ แต่หากจุดต่างๆ ถูกจัดเรียงเพื่อให้ D 1 Q =D 1 M =D 1 F นั่นคือ ถ้าจุดเหล่านั้นอยู่ห่างจากจุดยอด D 1 เท่าๆ กัน ผลตัดขวางจะส่งผลให้ ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
ระนาบการตัดถูกกำหนดโดยจุด H, Q และ M ภาพตัดขวางจะสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจาก KC ││ MP และ MK ││ PC ตามทฤษฎีบทเรื่องจุดตัดของระนาบขนานสองอันกับหนึ่งในสาม
ถ้าแต้ม H, Q และ M ให้กำหนดระนาบการตัดซึ่งอยู่ห่างจาก D ที่ระยะ 2a โดยที่ a คือขอบของลูกบาศก์ จากนั้นในส่วนจะได้สามเหลี่ยมปกติ ACB 1
สรุป: จุดสามจุดที่กำหนดส่วนนั้นเป็นของขอบทั้งสามของลูกบาศก์ที่มีจุดยอดร่วมหรือเป็นจุดต่อเนื่อง จากนั้นส่วนดังกล่าวจะส่งผลให้เกิด: สามเหลี่ยม ห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยมด้านขนาน
การสร้างส่วนของลูกบาศก์โดยเครื่องบินเมื่อให้จุดสามจุด โดยสองจุดอยู่บนขอบที่อยู่ติดกัน และจุดที่สามอยู่บนขอบที่ไม่ติดกับจุดเหล่านั้น
สามจุด M, K u F ถูกนำมาใช้โดยที่ M u F อยู่ในขอบที่มีจุดยอด A 1 หนึ่งจุด และจุด K อยู่บนขอบที่ไม่ติดกับจุดยอดเหล่านั้น
ภาพตัดขวางให้ผลลัพธ์เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เนื่องจาก A 1 M = D 1 K และใช้ทฤษฎีบทของสามตั้งฉาก จึงพิสูจน์ได้ว่า MKLF เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และถ้า A 1 M 
D 1 K คุณจะได้สี่เหลี่ยมคางหมูหรือห้าเหลี่ยม
มีจุดสามจุดเพื่อให้ K u L อยู่ในขอบที่โผล่ออกมาจากจุดยอด A 1 หนึ่งจุด และจุด N เป็นของขอบ CC 1 ซึ่งไม่ได้อยู่ติดกัน K , L u N ของจุดกึ่งกลางของขอบ A 1 A , A 1 B 1 u CC 1 – ตามลำดับ
หน้าตัดจะให้ผลลัพธ์เป็น KLGNHM หกเหลี่ยมปกติ
ใช้จุดสามจุดเพื่อให้ K u L อยู่ในขอบที่โผล่ออกมาจากจุดยอด A 1 หนึ่งจุด และจุด T เป็นของขอบ DC
ผลภาคตัดขวางเป็นรูปหกเหลี่ยม KLFRTZ
มีจุดสามจุดเพื่อให้ K u L อยู่ที่ขอบของลูกบาศก์จากจุดยอด A 1 หนึ่งจุด และจุด M อยู่ในขอบ DD 1
ภาพตัดขวางส่งผลให้เกิด LKQM สี่เหลี่ยมคางหมู
สามจุด K u L ซึ่งอยู่ในขอบที่มีจุดยอด A 1 หนึ่งจุด และจุด R ซึ่งอยู่บนขอบ BC
ภาพตัดขวางส่งผลให้เป็นรูปห้าเหลี่ยม KLFRT
สรุป: หากระนาบการตัดถูกกำหนดด้วยจุดสามจุด โดยสองจุดอยู่บนขอบที่อยู่ติดกัน และจุดที่สามอยู่บนขอบที่ไม่ติดกับจุดเหล่านั้น ดังนั้นส่วนดังกล่าวอาจส่งผลให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม และสี่เหลี่ยมคางหมู
มีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานอยู่ในหน้าตัดของลูกบาศก์และกรณีพิเศษของมัน
คะแนน T, H, J กำหนดส่วนตั้งอยู่เช่นนั้น ไทย. 
ค.ศ, เอช.เจ. ค.ศ- ภาพตัดขวางให้ผลลัพธ์เป็น HTKJ แบบสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ส่วนนี้ระบุด้วยจุด C, F, L โดย DF = FD 1, BL = LB 1 ภาพตัดขวางทำให้เกิด AFCL สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
ส่วนนี้ถูกกำหนดโดยจุด C, G, H. B 1 H =DG. ในหน้าตัดจะมีสี่เหลี่ยมด้านขนาน A 1 GCH
จุดที่กำหนดส่วนคือจุดยอดของลูกบาศก์ A, D, C 1 ภาพตัดขวางส่งผลให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
รูปหลายเหลี่ยมปกติในหน้าตัดของลูกบาศก์
สามเหลี่ยม ABC 1 มีด้านเท่ากันหมด เนื่องจากด้านข้างเป็นเส้นทแยงมุมของหน้าลูกบาศก์
สามเหลี่ยม KMT มีด้านเท่ากันหมด เนื่องจาก KV = MV = TV
KMTE เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากส่วนถูกกำหนดโดยจุด M, K, E และ MK ค.ศ, เอ.เค. ค.ศ.
ส่วนนี้มีรูปหกเหลี่ยมปกติ KMTNEO เนื่องจากจุด H, E, K ที่กำหนดส่วนนั้นเป็นจุดกึ่งกลางของขอบ CC 1, DC, AA 1 ตามลำดับ
Cube และปัญหาหลายประการเกี่ยวกับ Stereometry จากการสอบ Unified State
ในคู่มือ “Unified State Exam 2005. คณิตศาสตร์. ปัญหาการทดสอบทั่วไป” (Kornikova T. A. et al.) มีปัญหา 10 ข้อ (C4) ในด้าน Stereometry ซึ่งรวมกันเป็นแนวคิดเดียวกัน: ให้ ABCA ปริซึมสามเหลี่ยม 1
ใน 1
กับ 1
ด้านข้างของฐาน AB และ BC ตั้งฉากกันและตั้งฉากกับขอบ BB 1
, AB=BC=บีบี 1
จุดยอด A คือจุดยอดของกรวย (หรือจุดศูนย์กลางของฐานใดฐานหนึ่งของทรงกระบอก หรือจุดศูนย์กลางของทรงกลม) ฐานของกรวย (ทรงกลมหรือฐานที่สองของทรงกระบอก) ลากผ่านตรงกลางของ ขอบด้านหนึ่งของปริซึมก็รู้ความยาวของมัน เราจำเป็นต้องค้นหาปริมาตรหรือพื้นผิวของกรวย (ทรงกลม, ทรงกระบอก) 
โซลูชันตัวอย่างทั่วไป:
เพิ่มปริซึมนี้ลงในลูกบาศก์ หกเหลี่ยม DEFKLM - ส่วนหนึ่งของลูกบาศก์โดยระนาบของฐานของกรวยวงกลมที่ผ่านตรงกลาง A 1 B 1, A คือจุดยอดของกรวยหรือ
DEFKLM คือ ส่วนของลูกบาศก์โดยระนาบของฐานของทรงกระบอก วงกลมที่ลากผ่านตรงกลางของ A 1 B 1, A คือจุดศูนย์กลางของฐานที่สองของทรงกระบอก หรือเป็นส่วนของ ลูกบาศก์โดยระนาบของวงกลมใหญ่ของทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง A ซึ่งเป็นทรงกลมที่ผ่านตรงกลางของ A 1 B 1
หกเหลี่ยมเดฟเคแอลเอ็ม– ส่วนของลูกบาศก์โดยระนาบที่ผ่านตรงกลางขอบ A 1
ใน 1
, บีบี 1
, VSZh เมื่อได้รับคะแนนการสร้างเค,
ล,
มซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของขอบที่สอดคล้องกัน ด้านของรูปหกเหลี่ยมนี้คือด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมดี.บี. 1
อี,
อีบีเอฟ,
เอฟซีเค,
เคคิวแอล,
แอลอาร์เอ็ม,
ศศ.ม. 1
ดีขาซึ่งเท่ากับครึ่งหนึ่งของขอบของลูกบาศก์ จากนั้น จุดศูนย์กลางของรูปหกเหลี่ยมนี้คือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ ซึ่งตัดขอบของลูกบาศก์ตรงจุดนั้นดี,
อี,
เอฟ,
เค,
ลและ M คือรัศมีของวงกลมนี้ 
โดยที่ A 1
ใน 1
=
ก .
อ.โอ. เอล.
ต.
ถึง.
อีล
– หน้าจั่ว:อัล
=
เอ.อี.
.
(
เอเบ้
คุณ
อีล– สี่เหลี่ยมเอบี=
เอคิว=
เอ,
เป็น
=
แอล.คิว.
=
)
EO =OL เป็นจุดกึ่งกลางของ EL ในแนวทแยงของ DEFKLM รูปหกเหลี่ยม กล่าวคือ AO คือค่ามัธยฐาน และความสูงตามคุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว AO ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน ดีเค- เนื่องจาก AO ตั้งฉากกับเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันของระนาบหกเหลี่ยม ดังนั้น AO จึงตั้งฉากกับระนาบทั้งหมด
ถ้า A คือจุดยอดของกรวย ดังนั้น AO คือความสูงของกรวย ถ้า A คือจุดศูนย์กลางของฐานที่สองของทรงกระบอก AO คือความสูงของทรงกระบอก
เอบีซี: เอซี= 
,
ป
– จุดตัดของเส้นทแยงมุมของฐานของลูกบาศก์ AP= 
, ร
1
=เอเอ
1
=
ก
- หรือ=RR
1
= แล้วจากสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ROA JSC= 
- แล้ว AO= 
.
ถ้าเรากำลังพูดถึงกรวย:
=
(จาก 
).
คำตอบ: 
หากเรากำลังพูดถึงกระบอกสูบ:
คำตอบ: 
หากเรากำลังพูดถึงทรงกลม:
คำตอบ: 
Kornikova T. A. และงานทดสอบทั่วไปอื่น ๆ การตรวจสอบสถานะแบบครบวงจร - 2548
ตัวเลือกที่ 6
งาน. ให้มาเป็นปริซึม ABCA 1 B 1 C 1 และทรงกระบอก ด้าน AB และ BC ของฐานของปริซึมตั้งฉากกับขอบ BB 1 และตั้งฉากกัน ศูนย์กลางของฐานของทรงกระบอกคือจุด A 1; วงกลมของฐานที่สองผ่านตรงกลางของขอบ A 1 B 1
ค้นหาพื้นที่ผิวรวมของทรงกระบอกถ้า BB 1 =AB=BC=10 ค้นหาปริมาตรของมัน
สารละลาย:
. 
.
หัวข้อบทเรียน: งานเกี่ยวกับการสร้างส่วนต่างๆ
วัตถุประสงค์ของบทเรียน:
พัฒนาทักษะในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการสร้างส่วนต่างๆ ของจัตุรมุขและสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ความคืบหน้าของบทเรียน
I. ช่วงเวลาขององค์กร
ครั้งที่สอง ตรวจการบ้าน
คำตอบสำหรับคำถามที่ 14, 15
14. มีจัตุรมุขที่มีมุมฉากห้ามุมบนใบหน้าหรือไม่?
(คำตอบ: ไม่ใช่ เนื่องจากมีเพียง 4 หน้า จึงเป็นรูปสามเหลี่ยม และไม่มีรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากสองมุม)
15. มีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี: ก) มีเพียงหน้าเดียว - สี่เหลี่ยมผืนผ้า;
b) ใบหน้าสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่อยู่ติดกันเพียงสองหน้าเท่านั้น c) ทุกมุมของใบหน้ามีความคม d) ทุกมุมของใบหน้าถูกต้อง e) จำนวนขอบคมทั้งหมดไม่เท่ากับจำนวนมุมป้านทั้งหมดของใบหน้า?
(คำตอบ: ก) ไม่ (ด้านตรงข้ามเท่ากัน); b) ไม่ (ด้วยเหตุผลเดียวกัน); c) ไม่ (ไม่มีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานดังกล่าว); d) ใช่ (เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน); e) ไม่ (แต่ละหน้ามีมุมแหลมสองมุมและมุมป้านสองมุม หรือเส้นตรงทั้งหมด)
ที่สาม การเรียนรู้เนื้อหาใหม่
ส่วนทางทฤษฎี ส่วนการปฏิบัติ ส่วนทางทฤษฎี
เพื่อแก้ปัญหาทางเรขาคณิตต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับจัตุรมุขและสี่เหลี่ยมด้านขนาน การวาดส่วนต่างๆ ในระนาบต่างๆ จะเป็นประโยชน์ ตามส่วน เราหมายถึงระนาบใดๆ (ขอเรียกว่าระนาบการตัด) ทั้งสองด้านซึ่งมีจุดของรูปที่กำหนด (นั่นคือ จัตุรมุขหรือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ระนาบการตัดจะตัดกับจัตุรมุข (ขนานกัน) ตามส่วนต่างๆ รูปหลายเหลี่ยมที่จะถูกสร้างขึ้นโดยส่วนเหล่านี้คือส่วนตัดขวางของรูป เนื่องจากจัตุรมุขมีสี่หน้า หน้าตัดของมันจึงเป็นรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมได้ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีหกหน้า หน้าตัดของมันสามารถเป็นรูปสามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, ห้าเหลี่ยม, หกเหลี่ยม
เมื่อสร้างส่วนของเส้นขนานเราคำนึงถึงความจริงที่ว่าหากระนาบการตัดตัดกันสองด้านที่ตรงข้ามกันในบางส่วนดังนั้นส่วนเหล่านี้จะขนานกัน (คุณสมบัติ 1 ย่อหน้าที่ 11: หากระนาบขนานสองอันตัดกันด้วยหนึ่งในสามจากนั้น เส้นตัดกันนั้นขนานกัน)
ในการสร้างส่วนนั้นก็เพียงพอที่จะสร้างจุดตัดของระนาบการตัดด้วยขอบของจัตุรมุข (ขนานกัน) จากนั้นจึงวาดส่วนที่เชื่อมต่อแต่ละจุดที่สร้างขึ้นสองจุดซึ่งอยู่บนใบหน้าเดียวกัน
จัตุรมุขสามารถตัดโดยเครื่องบินให้เป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนดังแสดงในรูปได้หรือไม่?
https://pandia.ru/text/78/630/images/image002_130.gif" width="626" height="287 src=">
2.2. สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านจุดต่างๆ อี, เอฟ, ชนอนอยู่บนขอบของลูกบาศก์
อี, เอฟ, ช,
มาทำไดเร็กกันเถอะ อีเอฟและแสดงถึง ปจุดตัดกับ ค.ศ.
มาแสดงกันเถอะ ถามจุดตัดกันของเส้น พีจีและ เอบี.
มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ อีและ ถาม, เอฟและ ช.
ผลลัพธ์ที่ได้คือสี่เหลี่ยมคางหมู อีเอฟจีคิวจะเป็นส่วนที่อยากได้
https://pandia.ru/text/78/630/images/image004_91.gif" width="624" height="287"> 
2.4. สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านจุดต่างๆ อี, เอฟนอนอยู่บนขอบของลูกบาศก์และจุดยอด บี.
สารละลาย. เพื่อสร้างส่วนของลูกบาศก์ที่ผ่านจุดต่างๆ อี, เอฟและด้านบน บี,
มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ กับส่วนต่างๆ กัน อีและ บี, เอฟและ บี.
ผ่านจุดต่างๆ อีและ เอฟมาวาดเส้นขนานกัน บี.เอฟ.และ เป็นตามลำดับ
สี่เหลี่ยมด้านขนานที่ได้ บีเอฟจีอีจะเป็นส่วนที่อยากได้
2.5. สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านจุดต่างๆ อี, เอฟ, ชนอนอยู่บนขอบของลูกบาศก์
สารละลาย. เพื่อสร้างส่วนของลูกบาศก์ที่ผ่านจุดต่างๆ อี, เอฟ, ช,
มาทำไดเร็กกันเถอะ อีเอฟและแสดงถึง ปจุดตัดกับ ค.ศ.
มาแสดงกันเถอะ ถามรจุดตัดของเส้น พีจีกับ เอบีและ ดี.ซี.
มาแสดงกันเถอะ สจุดตัดกัน ศค เอสเอส 1.
มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ อีและ ถาม, ชและ ส.
รูปห้าเหลี่ยมที่เกิดขึ้น EFSGQจะเป็นส่วนที่อยากได้
2.6. สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านจุดต่างๆ อี, เอฟ, ชนอนอยู่บนขอบของลูกบาศก์
สารละลาย. เพื่อสร้างส่วนของลูกบาศก์ที่ผ่านจุดต่างๆ อี, เอฟ, ช,
มาหาจุดกัน ปจุดตัดของเส้นตรง อีเอฟและระนาบหน้า เอบีซีดี.
มาแสดงกันเถอะ ถาม, รจุดตัดของเส้น พีจีกับ เอบีและ ซีดี.
มาทำไดเร็กกันเถอะ รฟและแสดงถึง ส, ตจุดตัดกับ ซีซี 1 และ วว 1.
มาทำไดเร็กกันเถอะ ที.อี.และแสดงถึง คุณจุดตัดกับ ก 1ดี 1.
มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ อีและ ถาม, ชและ ส, เอฟ และ ยู.
ผลรูปหกเหลี่ยม EUFSGQจะเป็นส่วนที่อยากได้
2.7. สร้างภาพตัดขวางของจัตุรมุข เอบีซีดี ค.ศและผ่านจุดต่างๆ อี, เอฟ.
สารละลาย. มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ อีและ F. ผ่านประเด็นF วาดเส้นตรงFG, ขนานอ.
มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ ชและ อี.
สามเหลี่ยมผลลัพธ์ อีเอฟจีจะเป็นส่วนที่อยากได้
2.8. สร้างภาพตัดขวางของจัตุรมุข เอบีซีดีระนาบขนานกับขอบ ซีดีและผ่านจุดต่างๆ อี, เอฟ .
สารละลาย. ผ่านจุดต่างๆ อีและ เอฟมาวาดเส้นตรงกันเถอะ เช่นและ เอฟเอช, ขนาน ซีดี.
มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ ชและ เอฟ, อีและ ชม.
สามเหลี่ยมผลลัพธ์ อีเอฟจีจะเป็นส่วนที่อยากได้
2.9. สร้างภาพตัดขวางของจัตุรมุข เอบีซีดีเครื่องบินผ่านจุดต่างๆ อี, เอฟ, ช.
สารละลาย. เพื่อสร้างส่วนของจัตุรมุขที่ผ่านจุดต่างๆ อี, เอฟ, ช,
มาทำไดเร็กกันเถอะ อีเอฟและแสดงถึง ปจุดตัดกับ บีดี.
มาแสดงกันเถอะ ถามจุดตัดกันของเส้น พีจีและ ซีดี.
มาเชื่อมต่อจุดต่างๆ เอฟและ ถาม, อีและ ช.
รูปสี่เหลี่ยมที่เกิดขึ้น EFQGจะเป็นส่วนที่อยากได้
IV. สรุปบทเรียน
V. การบ้าน หน้า 14, หน้า 27 หมายเลข 000 – ตัวเลือก 1, 2